МЕТОДИКА НАСТАВЕ МАТЕМАТИКЕ(ЧЕТВРТА ГОДИНА)

ФОРМИРАЊЕ ПОЈМОВА ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА ДО 10

У процесу формирања ових појмова поставља се питање да ли прво упознати бројеве до 10 и њихове међусобне односе (релације, сабирање, одузимање) или прво упознати бројеве до 5, међусобно их успоређивати, њима оперисати, а затим упознати остале бројеве до 10.

Наше је опредјељење за прву варијанту.Кључно питање у овој теми је: Која се главна сазнања о природним

бројевима изграђују у почетној настави математике:Та сазнања су:

изграђивати сазнање о повезаности природних бројева и скупова ; природне бројеве схватати својством бројности скупова с једнако много елемената,

упознати настајање низа природних бројева, упознати релације међу бројевима, упознати бројење као поступак којим се дознаје број, односно

количина елемената у скупу који се броји, упознати значење и писање знакова за бројеве, цифара ( знаменки) и

знакова <, >, =, упознати операције с природним бројевима, упознати нека својства рачунских операција.

Бројеви су апстракције , производ мишљења, њима се не могу изводити конкретне операције.

Конкретне операције се могу изводити с представницима бројева.Предоџба везана уз природне бројеве је предоџба еквивалентних скупова

која успоставља везу између тих бројева и њихове примјене.Апстраховати треба све што је неважно( мисли се на еквивалентне скупове),

а генерализовати само оно што им је заједничко, а то је број елемената у њима.Генерализацијом ученици треба да схвате бројеве као самосталне

математичке објекте и да разумију односе међу њима и да се с њима могу изводити основне рачунске операције.

Рад с еквивалентним скуповима

С еквивалентним скуповима треба радити да ученици стекну сазнање о природном броју као својству бројности еквивалентних скупова.

Важно је да ученици много раде на састављању скупова с једнако много елемената ( на различите начине).

Током рада треба да ученици изводе генерализације о заједничком својству- бројности ( Еквивалентни скупови имају једнако много елемената).

Генерализацију изводити говором за сваки примјер.Овај процес води, организује и методички обликује наставник.За овај посао ученици требају располагати довољном количином

разиличитог дидактичког материјала.

1

Функција дидактичког материјала је да визуализацијом и апстраховањем схвате математичке објекате (бројеве) те да им визуализација буде упориште за мисаоне активности и подлога за извођење генерализација.

На захтјев наставника сваки ученик треба да састави пред собом неколико једнакобројних скупова, а активност се затим методички интерпретира.

У овој активности може добро да послужи фланелограф или магнетограф. Може наставник на магнетографу или фланелографу да направи скуп, а онда

ученици на својим клупама формирају скупове који су једнакобројни задатом скупу.Методичком интерпретацијом треба доћи до закључака:

сви скупови имају једнако много елемената, скупови су састављени од различитих елемената, скуповима с једнако много елемената придружује се исти број Треба радити на много примјера.

Сврха методичке интерпретације је подстицање процеса апстараховања неважних квалитативних својстава (различитост елемената у скуповима) и генерализовање својства бројности скупова.

Ово је најважнија активност ученика у раду с еквивалентним скуповима.Такођер треба постићи прикладним питањима да ученици схвате да

једнакобројних скупова има много.У овој активности треба искористити ситуацију да ученици замишљају

скупове из ученичке ближе и даље околине ( веза математике и ПиД).Константно треба имати на уму да је сврха методичке интерпретације да

ученици постепено на природан начин сазнање о природним бројевима одвајају од перцептивне подлоге.

Манипулисање у састављању једнакоборјних скупова може се изводити дидактичким материјалом ученика и осталим предметима којима ученици лако манипулишу.

Због измјене активности ученика једанкобројни скупови се могу приказивати и цртежом.

Због занимиљивости и везе математике и других предмета једнакобројни скупови се могу идентификовати и именовати из различитих средина ( породица, окружење итд.)

Рад с еквивалентним скуповима треба резултовати сазнањем ученика да таквих скупова има много и да им се увијек придружује један те исти број.

Сазнање о овом је снажан мисаони подстицај за продор у непознато, па је зато драгоцјен резултат математичког васпитања и образовања.

Упознавање настајања низа природних бројеваи мјеста броја у низу

Низ природних бројева настаје додавањем броја 1 претходном броју. Низ полази од 0, али је први природан број 1.

Изом примјера ученике треба оспособљавати у разумијевању настајања низа природних бројева , у одређивању непосредног претходника и непосредног сљедбеника заданог броја.

Сазнања прво треба стицати у подручју конкретности ( на скуповима), а затим у подручју апстрактности (рад с бројевима).

2

Радом с скуповима конкретних предмета успоставља се конкретна подлога за апстраховања и генерализације.

Настајање низа природних бројева визализира се формирањем скупова конкретних предмета тако да сваки сљедећи садржи један елеменат више од претходног.

Рад у овој активности методички обликује учитељ НПР: Постављањем питања, а ученици говором изражавају сазнање.

1 2 3

Процес визуализације настајања низа природних бројева се наставља све док се не дође до скупа од 10 елемената.

Ученике треба упућивати да најприје поставе један елеменат, на примјер троугао, поново стављају троугао и додају му круг, онда стављају троугао и круг па им додају квадрат итд док не дођу до скупа од 10 елемената.

На овај начин ученици увиђају непосредно да сваки сљедећи скуп настаје из претходног додавањем једног елемента, али треба генерализовати практичним радом да сваки претходни скуп настаје из сљедећег одузимањем једног елемента.

Правила методичке интерпретације:

сваки сљедећи скуп настаје из претходног додавањем 1 елемента ( треба показати)

сваки сљедећи скуп садржи 1 елеменат више од претходног ( показати)

Правила се утврђују и говором интерпретирају (објашњавају).

сваки претходни скуп настаје из сљедећег одузимањем 1 елемента, сваки претходни скуп садржи 1 елеменат мање од сљедећег.Све се генерализације изводе послије низа примјера.

Овим поступком у раду се стварају претпоставке за упознавање сљедбеника и претходника међу бројевима.

Упознавање бројања

Упознавањем бројања ученици се оспособљавају у разумијевању и примјени бројања- да се бројање схвати као поступак којим се дознаје број, односно количина, елемената у скупу.

Усвајајући бројање стиче се сазнање да посљедња изговорена бројевна ријеч не означава и не придружује посљедњем избројаном елементу у скупу, неко да посљедња изговорена бројевна ријеч означава број елемената у скупу и да се придружује скупу. ( истуцати то је укупно, заједно)

У почетној настави математике најчешће се броје предмети ученичког дидактичког материјала и предмети из ученичког непосредног школског и осталог животног окружења (школа, кућа, улица, игралиште)

3

Придружујући бројевне ријечи предметима скупа ученици стичу сазнање о повезаности бројевних ријечи и предмета који се роје.

Да би се бројање исправно схватило и с разумијевањем усвоило треба га проводити на различите начине полазећи од лакших и настављајући према сложенијим начинима . Примјери начина бројања у почетној настави математике:

Бројање предмета помицањем, Бројање предмета додиривањем, Бројање предмета погледом, Бројање предмета који се крећу, Бројање предмета и појава који слиједе један иза другог, Бројање у мислима (ментално бројање)

Осим ових начина треба пажњу треба посветити и бројању: од заданог броја унапријед, од заданог броја уназад и бројању између заданих бројева

Суштина методичког приступа начину бројању је сазнање:

бројањем се дознаје колико у скупу има предмета, посљедња изговорена бројевна ријеч означава број предмета у скупу , посљедња изговорена бројевна ријеч се приудружује скупу, а не

посљедњем избројаном елементу скупа, сваки елеменат скупа се броји само једанпут, сваки елеменат скупа који се броји мора се обухватити бројањем.

Ова правила су важна јер се цјелокупно даљње упознавање бројања темељи на знању бројања којег су ученици стекли у почетној настави математике.

Упознавање писања цифара (знаменки)

Упознавајући цифре ученици се први пут систематски и организовано сусрећу с математичким знаковима.

Оно што је већини ученика ново је сазнање да се цифрама означава, односно записује, својство бројности скупова. То ученици морају научити.

У животу се не истиче разлика између броја као математичког објекта и знака за број- цифре. У настави почетне наставе математике ову разлику ученици морају да науче.

На овакав став нас упућују два методичка разлога:1. сваки занак кои се усваја мора бити повезан уз одговарајући појмовни

садржај,2. најприје се усваја појмовни садржај, а затим знак, или скуп знакова којим се

тај садржај приказује.Математичко образовање ученика се може схватити као континуирани процес у којем се ученици оспособљавају да појединим знаковима и терминима , те групама знакова и термина повезаних у цјелину придружују одговарајући појмовни садржај.

4

У току овог рада потребно је ученицима показати исправно писање свих цифара. Исправан је онај начин писања који је објашњен и приказан у уџбенику.

Упознавање односа међу бројевима

Скуп природних бројева је уређен скуп, а то значи да за било која два природна броја а и б вриједи само једна релација и то: а< б, а > б или а=б.

Знање односа међу бројевима укључује два сазнања и то:1. о односима између два броја,2. о томе зашто је један већи, а други мањи, односно зашто су једнаки.

Односе међу бројевима ученици треба да вјежбају на наставникова подстицајна питања.

Релације међу бројевима ученици повезују са релацијама међу скуповима, што омогућава примјену у реалном и свајкодневном животу. Основа разумијевања односа међу бројевима је познавање односа међу скуповима.

У процесу учења треба извршити неопходна апстраховања како би се несметано могле изводити генерализације.Редосљед активности у настави на рјешавању овог проблема је:

1. најприје успоређивати скупове предмета придруживањем, бројањем, погледом,

2. пријећи на успоређивање бројева,3. наставити са упознавањем знакова и термина за односе међу бројевима <, >,

=, "мањи од", "већи од", " једнако", "неједнакост", "једнакост"

Упоређујући скупове са слике ученици то говором изражавају. Успоређивања се врше на скуповима до десет елемената.

Прелазак на успоређивање бројева се врше преко поступка успоређивања скупова.

Биће потребно много успоређивања како би ученици схватили однос међу бројевима. Обавезно говором треба исказивати односе међу бројевима.

Кад ученици схвате односе међу бројевима момоћу односа међускуповима треба пријећи на уочавање односа међу бројевима помоћу бројевне линије. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4. Односе и релације међу бројевима треба уочавати и говорно изражавати и помоћу бројевне линије. Уочене и говором исказане односе треба записивати знаковима и трминима. (<, >, =, "мањи од", "већи од", " једнако", "неједнакост", "једнакост")

Усвајајући значење знакова и термина за обиљежавање односа међу бројевима записе треба читати пуном реченицом.

5

Такођер треба ученике упознати и са сематичким значењем термина "неједнакост ". Ово је важно јер ће ученици касније упознати израз који се зове "једнакост".

Знак једнакост се испраавно употрбљава ако се на лијевој и десној страни налази исти објект. НПР:

Бања Лука = главни град Републике Српске Бања Лука = Бања ЛукаКад се ради о стављању знака једнакости између бројева онада се то може

радити помоћу бројевних ријечи и цифара. пет = 5, 5 = 5. Исправна употреба знака једнакости претпоставља разумијевање чињенице

да исти број може имати различита имена четири, 4, 2+2, 6-2, сљедбеник броја 3, претходник броја 5,

Да би ученици схватили овај начин требају бројеве писати различитим именима и на различите начине.

Ево неких примјера неисправне употребе знака једнакости.

= 6

Упознавање ученика с једнакошћу бројева се заснива на конкретној искуственој подлози, а то је успоређивање скупова с једнако много елемената.

3 = 3

3 3

Чита се "једнако је", или "једнак је" Израз 3 = 3 се зове једнакост , јер се на лијевој и десној страни знака налази исти број.

ФОРМИРАЊЕ ПОЈМОВАПРИРОДНИХ БРОЈЕВА ДО 100

Упознавањем бројева до 100 остварују се исти циљеви који су се остваривали формиирањем појмова бројева до 20:

изграђују се сазнања о природном броју као својству количине, бројности елемената скупа,

о настајању низа природних бројева (додавањем броја 1 претходном броју), о уређености скупа природних бројева, мјесто броја у низу, претходник, сљедбеник), о односима међу бројевима (веећи од, мањи од, једнаки бројеви), те као нови елемент у циљу образовања, сазнање о декадном саставу бројева

до 100.

6

Према томе, остварују се исти васпитно-образовни циљеви приближно истом методичком интерпретацијом наставних садржаја. Разлике које могу настати узроковане су бројевима већим од 20 и евентуално мањом количином очигледних елемената у наставном раду.

Да би се наставио процес формирања појмова природних бројева, започет у првом разреду, ученичку пажњу треба усмјерити на скупове с једнако много елемената (приказаних дидактичким материјалом) и њиховој методичкој интерпретацији. Иако се ради о скуповима с већим бројем елемената, треба уложити напор и формирати барем неколико једнакобројних скупова од 22, 27 . . . елеменала те на основи тога установити да им се придрузују једнаки бројеви, тј. 22, 27. Осим тога ученици цртањем могу приказати неколико скуипова од 30, 32 ... елемента, или пак у ближој околини (учионица) или даљој кућа, улица) идентификовати неколико једнакобројних скупова те установити да се свима онима с једнако много елемената придружује исти број.

Настајање низа бројева до 100 методички треба конкретизовати бројењем -штапића скупљајући их по 10 у цјелину — десетицу. Тимне се омогућује увид у настајање низа бројева (додавањем по 1) и олакшава схватање важног обиљежја декадског система , тј. скупљање по 10 јединица нижег реда у једну јединицу вишег реда. Бројење предмета при упознавању бројева до 100 вјероватно је прво и посљедње систематско бројење до 100, које се у настави ријетко појављује, па га зато треба искористити за боље упознавање бројева и елемената декадског система. Да би се такво бројење методички исправно провело сваки би ученик пред собом требао имати скуп од 100 (или више) штапића, или танких нарезаних шиба. То би требао имати и наставник који заједно с ученицима учествује у бројењу.

Бројење започиње од 1 узимајући по 1 штапић, а кад се изброји 10 штаплћа скупљају се у цјелину (везивањем у снопић) уз објашњење: 10 штапића скупљамо у цјелину коју називамо десетицом. Истиче се да било којих десет предмета скупљених у цјелину можемо назвати десетицом: 10 конвертибилних марака, 10 оловака, 10 ученика и сл. У току овог објашњавања треба нагласити да један штапић, једна конвертибилна марка и сл. називамо јединицом (један, јединица) што омогућује да се ученици припреме за усвајање појмова јединица, десетица, стотица итд.

Након формирања прве десетице бројење се наставља на већ уобичајени начин уз 10 штапића ставља се 1 (једанаест) итд. све до 20 гдје се поновно формира десетица и добијају двије десетице или двадесет јединица. Уз двије десетице (два снопића штапића) додаје се 1 штапић и добија двадесет и један, додавањем 1 штапића добија се број двадесет и два итд. до двадесет и девет гдје се додавањем 1 штапића формира десетица и нови број — три десетице или тридесет. Процес бројења се наставља све док се не формира 10 десетица, тј. док се у бројењу не дође до броја 100. Код броја 100, десет десетица скупљају се у нову јединицу (везивањем десет снопића штапића у једну цјелину) коју називамо стотицом. Таквом конкретизацијом ученици могу видјети како из 10 јединица настаје 1 десетица, а из 10 десетица 1 стотица.

Бројење штапића до 100 захтијева вријеме, а и стрпљење јер од ученика тражи напор и концентрацију на предмете који се броје. Овај поступак треба проводити јер је с гледишта учења плодотворан, а један од позитивних ефеката је доживљај и сазнање величине броја 100, што се не може остварити без бројења

7

конкретних предмета. Не треба страховати да се таквим бројењем губи вријеме. Напротив, постављају се врло чврсте основе за боље и потпуније разу-мијевање бројева до 100, а затим до 1 000 и више.

Приликом бројења пажњу треба посветити бројевним ријечима и њиховом изговарању јер се иза броја 20 уводе бројевне ријечи сложене из двају дијелова: дио којим се означава број десетица и дио којим се означава број јединица. У броју 23 нпр. први дио бројевне ријечи (двадесет) означава двије десетице (два десет), а други број јединица - три, дакле, двадесет и три. Сама етимологија бројевних ријечи упућује на њихово појмовно значење што свакако треба искористити за боље разумијевање њиховог количинског значења.

Бројевне ријечи треба исправно изговарати: тиидесет и један (или тридесет-један), педесет и пет (педесетпет) итд. Корисно је указивати на аналогију бројења од 20 даље, с бројењем од 1 до 10, тј. на то да се од броја 20 броји тако да се иза броја десетица (тридесет, педесет...) наводи број јединица (један, два, три...). Дакле, двадесетпет, тридесетдва итд. Откривање заједничких елемената у бројењу олакшава разумијевање процеса бројења, а сазнања о томе биће још потпуније кад се упознају сличности у бројењу до 100 те бројењу до 1 000 и даље.

Осим изговарања бројевних ријечи пажњу треба поклонити и усвајању нових термина који се уводе: тридесет, осамдесет, сто, стотина, стотица. Иако ученици већ познају термине десет, двадесет, при упознавању нових треба постићи разумијевање њиховог значења: означавају количину, број елемената у скупу, број десетица - три, пет, осам. Увођењем бројевне ријечи сто, стотина, указује на њезино значење, тј. означава број елемената у скупу. Термин стотица означава десет десетица, тј. сто елемената скупљених у десет десетица (што се конкретизује скупљањем 10 снопића штапића у нову цјелину коју називљемо стотицом). Таква конкретизација је корисна јер пружа увид у настајање и састав декадске јединице што је потребна претпоставка да се схвати настајање и састав осталих декадских јединица — хиљаде, десетохиљадице итд.

Бројење конкретних предмета (штапица и сл.) треба употпуњавати менталним бројењем с циљем да се схвати значење бројевних ријечи и њихов редослијед. У ту сврху могу се проводити овакве вјежбе бројења:

- бројење десетица: десет, двадесет... унапријед и уназад,- бројење по 1 унапријед и уназад- бројење на прелазу десетица, унапријед и уназад- бројење од заданог броја, унапријед и уназад.Учећи бројеве до 100 стичу се и основна сазнања о декадском систему (

десет јединица нижег реда чине једну јединицу вишег реда: 10 јединица чини 1 десетицу, 10 десетица 1 стотицу илд.) Упознавању тога садржаја добро служе штапићи скупљени (завезани) по 10 у снопић којим се приказује 1 десетица и појединачни шиапићи којима се приказујиу јединице. У овом раду могу послужити и картончићи на којима су написане десетице и јединице . У почетку предност треба дати употреби снопа штапића због тога сто се у њему види 10 штапића скупљених у цјелину док се то на картончићу десетице [10] не види него се претпоставља, што за ученике те доби није исти ниво конкретности. Користећи се очигледним средствима могу се проводити различите вјежбе:

a) задани број раставља се на број десетица и број јединица; на примјер, број43 садржи 4 десетице и 3 јединице,

8

b) Од заданог броја десетица и јединица саставља се број: нпр. из 5 десетица и 7 јединица саставља се се број 57.

Најприје треба растављати бројеве 20, 30, 40 ... до 100 на број десетица и број јединица, а затим и остале бројеве. Ради се овако: Задани број приказује се одговарајућим бројем снопова односно картончића десетица [10] и затим утврђује његов број десетица и јединица. Тако ће се за број 80 утврдити да садржи 8 десетица (8 снопова штапића), али да изван тих снопова нема појединачних штапића, тј. не садржи ни једну јединицу. Таква објашњења омогућавају разумијевање значења нуле на мјесту јединица или које друге декадске јединице. На исти начин и остали се бројеви растављају на десетице и јединице. На примјер, број 34 најприје се приказује очигледним (картончићи, снопићи) средствима, а затим се утврђује да садржи 3 десетице и 4 јединице.

Из заданих декадских јединица број се саставља тако да се најприје каже број десетица и број јединица. То се затим приказује очигледним средствима, а потом установљава који је број. Од ученика се затражи да пред себе ставе нпр. 5 десетица (пет снопова) и 3 јединице (три штапића) те да именују број који је приказан. На тај начин треба анализирати и остале бројеве посебно указујући на бројеве који се састоје из одређеног броја десетица и нула јединица (40, 70 ...).

Таквим би се радом ученици требали потпуно оспособити у растављању бројева на десетице и јединице и у састављању бројева из одређеног броја десетица и јединица како би се створиле претпоставке за разумијевање начина на који се бројеви пишу, али и за разумљевање поступака писменог рачунања.

Кад се то упозна уводи се писање двоцифреених бројева и броја 100. Притом највећу пажњу треба посветити разумијевању разлога за такво писање, тј. разумијевању значења цифара двоцифрених бројева, Сама техника писања тих бројева не ствара тешкоће јер се пишу познатим цифрама (ученици знају цифре), а сада требају схватити редослијед писања и значење поједине цифре. Да би се то постигло, начин на који се пишу двоцифрени бројеви објашњава се уз помоћ очигледних средстава (снопови штапића, картончићи десетица), а такођер и таблицом мјесних вриједности. Но претходно треба ученике упознати с таблицом мјесних вриједности; састоји се од ступаца (усправних) и редова водоравних) у које се пишу поједине цифре. На првом мјесту (с десне стране) налази се ступац јединица (Ј), на другом мјесту је ступац десетица (Д), а на трећем се налази ступац стотица (С). Писање двоцифрених бројева може се објашњавати овако; задани број најприје се анализира како би се устврдило колико садржи десетица и јединица, а затим се број десетица пише у ступац десетица, а број јединица у ступац јединица. Задани се број претходно може предочити очигледним средствима, а послије писати у таблицу мјесних вриједности.

С Д Ј

4 5

3 3

1 0 0

9

Упознајући уређеност низа бројева до 100, ученици ће упознати мјесто сваког броја у низу, знаће одредити непосредни сљедбеник и непосредни претходник заданом броју, као и одредити број (или бројеве) који се налазе измеду двају бројева. Погодан начин за стицање тог знања јест бројење (на разне начине) и откривање мјеста броја у низу помоћу бројевне линије. Посматрајући, наиме, низ биојева приказан бројевном линијом ученици проналазе мјесто сваког броја наводећи непосредни сљедбеник и непосредни претходник те бројеве између којих се задани број налази. Треба тежити да се ученици оспособе тако да то могу установити за сваки број, и то на нивоу очигледности помоћу бројевне линије), и на нивоу апстрактности - ментално. Наиме, знање мјеста броја у низу бројева до 100 је средство за стицање знања о мјесту појединог броја у низовима бројева до 1 000, до 1 000 000 и даље.

Посебну пажњу заслужује упознавање непосредног сљедбеника бројева 29, 39, 59, 99 ... непосредног претходника десетица 30,40, 60, 100 ... те броја измеду бројева, 49 и 51, измеду 89 и 91, 69 и 71 итд. Упознавању мјеста тих бројева помаже бројење на прелазу десетица и то унапред и уназад.

Упознавањем и образлагањем односа међу бројевима до 100 (мањи, већи, једнаки бројеви), ученици ће се даље оспособљавати у томе да за два броја знају утврдити који је већи (и зашто), који је мањи (зашто) те који су међусобно једнаки. То укључује и исправну употребу знакова за релације (<, >, =) и термина "мањи од", "већи од", "једнако". Очигледна подлога успоређивању бројева може бити двојака; скупови предмета (односно приказ бројева картонима десетица и јединица) и бројевна линија. Успоређујући бројеве тежиште треба ставити на образлагање односа међу бројевима, тј. зашто је једани број већи или мањи, односно зашто су једнаки. То је утолико потребније што су ученици склонији само констатацији односа (нпр. 23 је мањи од 57 односно 74 је већи од 42 и сл.), а мање образлагању разлога зашто је задани број већи односно мањи. Односе међу бројевима ученици могу образлагати скуповима, бројевном линијом, рачунском операцијом. Однос бројева 43 и 52 може се образлагати овако:

а) број 43 мањи је од броја 52 јер се придружује скупу који има мање елемената, а број 52 скупу који има више елемената. Или краће: 43 куглице је мање него 52 куглице; 43 конвертибилне марке су мање него 52 конвертибилне марке.

б) број 43 је мањи од броја 52 јер се на бројевној линији налази испред броја 52; бројећи прије долазимо до броја 43 него до броја 52

в) број 43 је мањи од 52 јер је 43 + 9 = 52; 43 < 52 јер је 43 + 9= 52.

Да су два броја једнака (38 једнако је 38) такодер ће се образлагати скуповно и бројевном линијом: једнаки су јер се придружују скуповима с једнако много етемената, односно, бројећи на бројевној линији увијек се долази до истог броја - 38.

Упознавању бројева до 100 помажу и рачунске операције, а посебно писање појединог броја у облику збира, разлике, умношка и количника, Када се нпр. упознају сабирање и одузимање до 100 (а послије множење и дијељење), бројеви се могу писати у облику назначеног збира односно разлике. Тако ће се нпр: број 25 писати у облику збира односно разлике: 20 + 5, 30 - 5, 15 + 10, 28 - 3 итд. Притом треба настојати да ученици један број напишу у облику што више збирова односно разлика. Задатак може гласлти: број 30 напиши у облику десет

10

збирова или број 50 напиши у облику седам разлика. Такво писање бројева врло је подстицајно и за ученике интересантно, а уз то и снажно ангажује мисаоне процесе и оспособљава ученике у сабирању и одузимању: односно множењу и дијељењу. Ученици поступно откривају и схватају разлику између броја и знакова којима се пишу, што придоноси потпунијем разумијевању једнакости бројева јер ће у назначеном збиру 20 + 8 открити број који се пише овако -28. Осим тога, писање бројева у облику 32 + 5, 56 - 7 и сл. схватаћее се не само назнаком рачунске операције већ и као начини писања бројева, а то значајно проширује сазнања о природним бројевима.

4г-3ФОРМИРАЊЕ ПОЈМОВА ПРИРОДНИХ

БРОЈЕВА ДО 2О

Да би се приступило формирању појмова природних бројева до 20 треба извршити понављање садржаја којег су ученици учили о природним бројевима до 10 и то:

означавање количине елемената у скуповима, како настаје сљедбеник неком броју, да је сваки сљедећи број за 1 већи од претходног, шта је претходник, мјесто броја у низу, односи бројева до 10, успоређивање бројева с употребом знака.

Ово понављање служи ка неопходна основа за формирање појмова природних бројева до 20.

Први корак у упознавању природних бројева до 20 почиње конкретном активношћу и то додавањем бројевима друге десетице једног елемента. Конкретно: Скупу од 10 елемената додаје се 1 елеменат и тако настаје скуп од 11 елемената. Ученици ову активност проводе радом с дидактичким материјалом. Активност се завршава ријечима: Кад скупу од 10 елемената додамо 1 елеменат добијамо скуп од 11 елемената. У овој активности се врши и прирдруживање. Скупу од 11 елемената придружује се број 11.

Активност по истом моделу се проводи све док се не формира скуп од 20 елемената и њему не придружи број 20.

Наставник треба да зна да у овој активности без говорног образложења нема довољне и пуне сазнајне вриједности.

Током рада на формирању појма појединог броја друге десетице врши се и његово записивање цифрама. Ученицима треба објаснити иако се записивање врши двијема цифрама да је то један број.

Формирање појмова природних бројева до 20 се може вршити и на бројевној линији. +1 +10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

11

Рад на бројевној линији треба да прати образлагање. Кад броју 10 додамо 1 настаје број 11 и тако редом док не стигнемо до броја 20.

У овој активности је важно да пажњу посветим изговору бројевних ријечи (једанаест, дванаест, тринаест итд)

Сазнајна активност упознавања низа природних бројева до 20 се врши: радом са скуповима конкретног материјала, радом на бројевној линији, записивањем бројева цифрама и говорним образлагањем ( дванаест и један је тринаест)

Из овог примјера се види да процес усвајања треба да иде од конкретног ка апстрактном.

У процесу упознавања низа природних бројева до 20 ученици треба и да броје и то предмете из непосредне околине и ученички дидактички материјал.

Циљ ове активности је да ученици схвате бројање као поступак којим се сазнаје броје елемената у неком скупу, да се предметима који се броје придружује бројевна ријеч, да се последња изговорена бројевна ријеч не придружује задњем избројеном

елементу, него се задња изговорена бројевна ријеч придружује скупу и она означава број елемената у том скупу,

ученици треба да схвате бројевну ријеч као носиоца информације о бројности елемената у скупу који се броји,

да ученици схвате да бројеве требају повезивати уз предмете који се броје и да им се придружују одговарајуће бројевне ријечи.Ако се поступа на описани начин бројење ће постепено постати свјесна

интелектуална активност заснована на разумијевању.Како треба вјежбати бројање?

Бројати: скупове са различитим бројем елемената, скупове предмета у различитом распореду, предмете у неуређеној групи, предмете у учионици, школски прибор ученика,Увијек треба наглашавати да се предметима придружују бројевне ријечи, али са посебномназнаком да се последња изговорена бројевна ријеч придружује скупу, а не последњем избројаном елементу скупа и да она означава укупан број елемената тог скупа.

У вјежбању бројања треба вршити и ткз умно бројање. Сврха овог бројања је претварање поступка бројања у мисаону активност.

За ову активност се могу користити и овакве вјежбе: бројање унапријед и уназад (од 1 до 20 и од 20 до 1), бројање од заданог броја унапријд и уназад (НПР: од 9 унапријед до 17 и од

16 уназад до 8) бројање унапријед од заданог броја по 2, или 4 до неког другог задатог броја, бројање од заданог броја уназад по 2, или 3, или 5 до неког другог заданог

броја.

12

Ако се појаве тешкоће у овим вјежбама треба се вратити бројање конкретних предмета, или дидактичког материјала, или раду на бројевној линији.

Враћање на конкретно бројење је могуће јер су ученици различитих интелектуалних способности, па ће једном броју ученика бити потребне ове активности.

У процесу формирања појмова природних бројева до 20 ученици упознају и мјесто појединог броја у том низу.

Очигледност у овој активности се може постићи помоћу бројевне линије, или помоћу папирне траке на којој је написан бројевни низ до 20. Поред ових помагала може се користити и дидактички материјал.

Примјери вјежби: кажи (покажи) сљедбеника, кажи (покажи) претходника, кажи (покажи) све сљедбенике броја 8 до броја 14, кажи (покажи) све претходнике броја 14 до броја 8, кажи (покажи) број између 12 и 14, кажи (покажи) све бројеве који се налазе између 12 и 19 итд.

У овим активностима ученици треба да схвате да су сви следбеници већи од тог броја и да су сви претходници мањи од задатог броја, те да сваки број раздваја низ природних бројеба на два дијела и то:

бројеве који су мањи од заданог броја и бројеве који су већи од заданог броја

Разноврсним активностима подстиче се интерес ученика, а када је интерес већи постоји објективна могућност да и разумијевање односа међу бројевима буде квалитетније.

Радећи на формирању појмова природних бројева до 20 ученици треба да стекну знање о међусомним односима међу брпјевима, да знају рећи и да разумију који је број већи и зашто и који је број мањи и зашто, односно да су бројеви једнаки и зашто.

Радећи на бројевној линији ученици треба да уоче и разумију: да је сваки број испред заданог броја мањи од тог броја, да је сваки број иза заданог броја већи од тог броја.

Односе међу бројевима треба увјежбавати на довољно примјера, а то значи увјежбавати их док их дјеца не усвоје разумијевањем. Односе међу бројевима треба ријечима образлагати и знаковима записивати ( <, >, = ).

Односе међу бројевима треба поткрепљивати бројевном линијом и скуповима дидактичког материјала и/или предмета, школског прибора итд.

Образлагање односа међу бројевима помоћу бројевне лиије може се вјежбати и на сљедећи начин:

Број 11 је мањи од броја 17 јер се на бројевној линији број 11 налази испред броја 17. Бројећи од 1 прије долазимо до броја 11 него до броја 17.

Број 18 је већи од броја 13 јер се на бројевној линији број 18 налази иза броја 13. Ако бројимо почевши од 1 до броја 18 долазимо касније него до броја 13.Наставник треба обучити ученике да образлажу односе међу бројевима,

ментално и скуповно. Скуповима на начин да се сваком скупу придружује број и да их (скупове) у тој активности ученици успоређују.

13

Увјежбавајући односе међу бројевима наставник треба обучити ученике да односе повезују у цјелину на начин да се из једног односа изводи други (НПР: 5<7,а то значи да је 7>5)

Обучавајући ученике у повезивању односа истовремено их обучавамо у елементарном закључивању.

Квалитетнијем упознавању бројева до 20 и њихових међусобних односа придонијети ће и операције у скупу природних бројева до 20 ( сабирање и одузимање).

ФОРМИРАЊЕ ПОЈМА ОДУЗИМАЊА ПРИРОДНИХ БРОJЕВА

Слично сабирању и појам одузимања природних бројева постепено се изграђује полазећи од конкретног према апстрактном раду с бројевима. Кад се ученици упознају с одузимањем, то знање повезују у цјелину са знањем сабирања, оспособљавајући се притом да одузимање образлажу сабирањем нпр. 8 — 3 = 5 јер је 5 + 3 = 8.

Етапа конкретних активности први је ниво формирања појма одузимања природних бројева и укључује активности са скуповима конкретних предмета, најћешће ученичкога дидактичког материјала, а основна активност је одузимање скупова.

Одузимање скупова конкретних предмета: Појам одузимања природних бројева изводи се из реалности уз коју се повезује оваква ситуација: задана су два скупа А и Б (Б < А) и њихови кардинални бројеви, непознаиа је диференција А \ Б и њезин кардинални број, тј. број који је разлика кардиналних бројева заданих скупова. На примјер, у аутобусу је 35 путника, на станици је изашло 7 путника, а ниједан није ушао. Колико је путника остало у аутобусу? Познати су скупови путника у аутобусу, пнтника који су изашли и њихови кардинални бројеви, 35 и 7. Непозната је диференција тих скупова и њезин кардинални број који је - разлика кардиналних бројева скупа путника у аутобусу и скупа путника који су изашли. Предоџба уз коју се повезује одузимање природних бројева је предоџба диференције или разлтке скупова којом се успоставља веза између одузимања бројева и примјене те операције у реалним ситуацијама. Одузимањем скупова конкретизује се одузимање бројева, у основним цртама упознаје се садржај појма одузимања бројева, њиме се ученици оспособљавају у проналажењу кардиналног броја разлике скупова и ствара се претпоставка за примјену одузимања бројева у пракси.

Одузимање скупова конкретних предмета у практичној реализацији укључује ове радње:

- поставља се (или уочава у околини) скуп предмета- од тога се скупа одузима један подскуп

- проналази се број елемената у подскупу који је преостао - говором се образлаже изведено одузимање.

14

Примјер: постави се скуп од 7 коцака, одузму се 3 коцке и проналази број коцака у подскупу који је преостао. Говорно образложење гласи: од 7 коцака одузео сам 3 коцке, остале су 4 коцке, или краће 7 мање 3 је 4.

Одузимање скупова може се изводити у двије варијанте.

У првој варијанти наставник задаје скупове и бројеве елемената у њима, а у другој ученици сами одређују бројеве елемената у скуповима који се одузимају. Задаци из прве варијанте су нпр. овакви; постави скуп од 8 кругова, одузми 3 круга и пронађи број кругова који су преостали.

Задаци из друге варијанте гласе: стави скуп штапића, одузми неколико штапића и реци колико је штапића у скупу који је преостао. Одузимање скупова досљедно се говором образлаже како би се материјалне радње с конкретним објектима постепено претварале у мисаоне радње с бројевима. Да би се то остварило, потребно је много активности одузимања скупова и говорног образлагања, а томе могу добро послужити одговарајући текстуални задаци.

Да би се изграђивало сазнање о повезаности сабирања и одузимања бројева, одузимање скупова конкретних предмета треба повезивати уз здруживање скупова, а одузимање бројева образлагати сабирати. Из заданог скупа одузима се један подскуп који се затим здружује с преосталим подскупом (ставља се уз тај подскуп) па се тако добија задани скуп. На примјер:

7 минус 3 је 4

4 плус 3 је 7

Говорно образлагање ће гласити: седам минус три (одузет је подскуп од три елемента) је четири, јер је четири плус три једнако седам (уз подскуп од 4 елемента ставља се подскуп од 3 елемента). Такве радње ученици изводе својим дидактичким материјалом, а послије, кад се упознају записи рачунских операција, веза сабирања и одузимања приказиваће се одговарајућим математичким изразима.

Графичко приказивање одузимања скупова начин је рада којим се употпуњује одузимање скупова конкретних предмета, а изгледа овако:

Затвореном линијом одваја се подскуп који се одузима, а одузимање се означава прекриживањем једном или двјема линијама. Понегдје се могу видјети и овакви графички прикази одузимања скупова:

15

Иако оба приказа исказују исто, претходни је психолошки оправданији, јер подскуп који се одузима приказује као цјелину.Етапа апстрактних операција: У тој етапи процес формирања појма одузимања природних бројева постепено се одваја од материјалне подлоге и преноси на мисаоно подручје, а први корак према том циљу је тзв. ментално одузимање бројева.

а) Ментално (усмено) одузимање: Изводи се без употребе математичког записа облика a — b = c, а реализује се у складу с принципом: најприје изградити мисаону операцију (одузимање бројева), затим уводити запис којим се та радња приказује.

Најједноставнији облик менталног одузимања бројева је одузимање по 1 које се своди на одређивање непосредног претходника и остварује се бројењем уназад. Може се проводити у двије варијанте:

1. Од заданог броја одузима се број 1, 2. или се од заданог броја одузимају остали бројеви тако да се претходно

раставе на јединице па се затим број 1 узастопно одузима.Према првој варијанти одузимање се проводи у облику одређивања

непосредног претходника заданог броја. Наставник или ученик задаје број, а остали проналазе број који је за 1 мањи. Задан је нпр. број 7, а ученици саопштавају број који је за 1 мањи, број 6.

Према другој варијанти одузимање се изводе тако да се број који се одузима растави на јединице које се затим редом одузимају. Задају се нпи. бројеви 8 и 2 који се одузимају:

8 минус 2 је ... 8 минус 1 је 7, 7 минус 1 је 6 ... 8 мање 2 је 6.

Неки ученици такве задатке рјешавају овако: 8 минус 3 је ... 7, 6, 5 ... 8 минус 3 је 5, тј. бројењем уназад за толико јединица колико их садржи број који се одузима. То је добра припрема за непосредно израчунавање разлике заданих бојева.

Вриједан облик менталног одузимања је одузимање једнаких бројева што доводи до сазнања нуле као разлике двају једнаких бројева. Одузимање једнаких бројева треба повезивати уз рјешавање једноставних текстуалних задатака чије се рјешење може, буде ли потребно, конкретизовати одузимањем скупова. Нпр. Лука има 4 књиге (поставља се скуп од 4 елемента), пријатељу је поклонио све 4 књиге (одузимају се сва 4 елемента). Колико му је књига остало? Непосредним увидом се утврђује да није преостао ниједан елемент, што се затим и говором казује: 4 минус 4 је нула. Том се приликом може упознати знак за нулу (0), уз напомену да се нула увијек добија кад се одузимају једнаки бројеви. Притом се не треба ограничити само на бројеве прве десетице, већ се могу користити сви бројеви које ученици познају.

Стимулативан облик менталног одузимања је приказивање заданих бројева у облику разлике двају бројева што се успјешно може проводити и у облику игре. Ученик или наставник саопштава два броја, а остали одузимањем проналазе број који је разлика заданих бројева. На примјер, задају се:

7 и 6, разлика је 19 и 7, разлика је 2 итд.

16

При усвајању одузимања бројева важну улогу имају једноставни и ученицима разумљиви текстуални задаци који се односе на ситуације давања, одузимања, нестајања, потрошње, куповине и сл. и опћенито умањивање броја елемената у неком скупу. Задатак нпр. може бити: На игралишту је 8 ученика, 3 су отишла кући. Колико је ученика остало на игралишту? Не могу ли ученици непосредно ријешити постављени задатак, треба га конкретизовати одузимањем скупова, а рјешење затим говором образложити.

б) Увођење записа за одузимање бројева: Кад се у основним цртарна изгради операција одузимања бројева, уводи се запис облика a - b = c. Да би се с разумијевањем усвојио, претходни рад морао би резултовати сазнавањем веза и односа бројева какви се јављају у одузимању скупова. Без тога ученици неће разумјети значење математичког израза за одузимање бројева.

Увођење записа за одузимање бројева мотивше се могућношћу да се број елемената диференције скупова, осим бројењем, може дознати израчунавањем, тј. одузимањем кардиналних бројева заданог скупа и скупа који се одузима. Објашњење записа за одузимање бројева корисно је поткријепити одузимањем скупова конкретних предмета или графички:

9 - 3 = 6

Објашњава се израз у цјелини и поједини знакови. Цитамо га — девет минус три је шест. Број 9 означава број елемената у заданом скупу, број 3 означава број елемената у подскупу који ае одузима, а број 6 означава број елеменала у подскупу који је преостао. Знак " — " је знак за одузимање бројева (не скупова), а чита се минус или мање. Знак "=" цијелом изразу даје име, тј. једнакост, јер се с обје његове стране налазе исти бројеви написани различитим знаковима.

Тако у основи изгледају процеси формирања појмова сабирања и одузимања природних бројева. Но, како се ради о почетном упознавању, даљњим радом се употпуњује и учвршћује знање тих операција, инсистирајутћи посебно на разумијевању њиховог значења приказаног математичким знаковима. Усвајању и разумијевању израза за сабирање и одузимање природних бројева значајно придоносе двоструке вјежбе.

а) За задану једнакост сабирања односно одузимања наводе се одговарајући примјери из реалности на које се те једнакости могу примијенити. НПР:, Саопштава се или записује једнакост: 4 + 3 = 7 односно 6 — 2 = 4, а ученици проналазе одговарајуће квантитативне ситуације на које се ти изрази односе. Такве ситуације могу бити:

— примјери удруживања односно одузимања скупова предмета— примјери текстуалних задатака који садрже такве бројеве и такве

односе међу њима какви се налазе у заданим једнакостима— различити квантитативни односи из живота изражени задацима с

17

величинама на које се могу примијенити задане једнакости сабирања и одузимања.

Корисно је за исти израз, нпр. 4 + 3 = 7, наводити више различитих примјера како би се уочило да се може примијенити на све оне ситуације у којима се скупови од 4 и 3 елемента удружују у скуп од 7 елемената. На тај се начин поопштава примјена математичког израза на све ситуације које садрже иста квантитативна обиљежја.

б) За одређене примјере из реалности проналази се одговарајући математички израз који се на њих односи. На примјер: задају се карактеристични задаци (ријечима), а ученици проналазе одговарајући математички израз који се на њих односи. У ту сврху могу се:

- задавати примјери удруживања односно одузимања скупова предмета демонстрацијом на магнетографу

- саопштавати једноставни текстуални задаци- проналазити различите ситугације из живота и одговарајући израз који за

њих вриједи.Важно је у таквом раду тражити да се образложи веза између математичког

израза и ситуације на коју се односи. Таквим вјежбањем осмишљавају се садржаји математичких израза и схвата њихова повезаност с објективном стварношћу.

ФОРМИРАЊЕ ПОЈМОВА ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА

до 1 000 и 1 000 000...

Скуп природних бројева до 1 000 и 1 000 000 је материјална подлога математичког васпитања и образовања у четвртом и петом разреду. Због тога се, након понављања градива из претходног разреда, настава математике у тим разредима наставља упознавањем бројева до 1 000 односно до 1 000 000. Током овог рада остварују се ови васпитно-образовни циљеви:

бројеви се схватају својством количине, бројности еквивалентних скупова, упознаје се мјесто сваког броја у низу; даље се изграђују појмови претходник, сљедбеник, бројеви између двају

заданих бројева, упознаје се састав бројева; изградују се појмови декадских јединица и

усвајају термини: десетица, стотица, хиљада, десетхиљада, стохиљада, милион, десетмилиона, стомилиона, милијарда,

изграђују се појмови мјесне и бројне вриједности цифара, упознаје се таблица мјесних вриједности,

проширује се и продубљује знање бројења тј: знање писања и читања вишецифрених бројева; усвајају се основне бројевне ријечикојима се именују бројеви: нула, један, два, три, четири, пет, шест, седам, осам, девет, десет, сто (стотина), хиљада, милион, милијарда.

18

Обзиром на величину бројева, главним средством њиховог упознавања постаје знање бројева до 100, повећана могућност апстрактног мишљења ученика четвртог и петог разреда, те одговарајућа методичка интерпретација садржаја. Наиме, за бројеве које ученици упознавају у четвртом и петом разреду с оправдањем се може рећи да су лишени сваке очигледне подлоге која би поткријепила и помогла процес сазнавања. Зато је главни инструмент сазнавања учениково мишљење, а подручје сазнавања искључиво је подручје рационалног (разумског) сазнавања. Та околност захтијева пажљиву методичку интерпретацију и добру организацију процеса учења. Ево важних елемената методичке интерпретације природних бројева до 1 000 и 1 000 000.

Усвајајући бројеве до хиљаду и милион, ученици се оспособљавају да их схвате као ознаку количине одговаиајућих скупова. Изграђују се, према томе, исти појмовни садржаји какви су се изграђивали усвајањем бројева до 20 односно до 100. Та чињеница осигурава континуитет и јединсиво математичког васпитања и образовања у разредној настави. Разллка је само у томе што су велики бројеви ослобођени очигледне подлоге, што непосредно утиче на обликовање методичке интерпретације. Формирајући нпр: једнакобројне скупове од 3, 5 . . . елемената, њихову бројност ученик је откривао бројењем или непосредним посматрањем. Перцептивне активности (посматрање и манипулисање скуповима предмета из непосредне околине) биле су у том раду значајна подлога у процесу сазнавања. Када се, међутим, упознају велики бројеви, скупове којима се придружују такви бројеви немогуће је перцептивно захватати па зато и нема непосредне помоћи манипулисањем скуповима. Умјесто скупова учцници корисие наставна помагала којима се предочавају бројеви; јединица (1), десетица (10) стотина (100), хиљада (1000) итд.

Обзиром на величину бројева који се усвајају и на повећане могућности ученичког мишљења, при упознавању бројева до 1 000 и даље, велику улогу има бројење које се изводи искључиво ментално, без присутности скупова предмета који се броје. Будући да бројење нема упоришта у реалности пријети опасност претварања у формално изговарање бројевне ријечи. Да би се очувала рационална основа бројења, треба указивати на његову функцију: бројењем се упознаје својство количине, бројности предмета који се броје, бројењем се елементима скупа придружују одговарајући бројеви, посљедња изговорена ријеч у бројењу означава број елемената у скупу, та се ријеч придружује скупу, а не посљедњем изговореном елементу. Корисно је зато барем у мислима бројење повезивати уз поједине сегменте реалности како би се постигло разумијевање функције самог чина бројења.

Ради упознавања бројева до 1 000 и даље проводе се различите вјежбе бројења:

бројење по 100 (200, 300 . . . 1000), по 1000 (2 000, 3 000 . . . 10 000), по 10 000 (20 000, 30 000 ... 100 000), по 100 000 (200 000, 300 000 ... 1 000 000) итд. То се бројење може поткријепити картонима стотица (100), хиљада (1000), десетхиљадица (10 000), стохиљадица (100 000), милион (1 000 000) како би се бројење бар донекле учинило очигледним. У овој активности треба имати на уму да се предочаваују бројеви који се изговарају, а не скупови. У току бројења уводи се нов термин "вишеструки садржалац" ("вишекратник") уз објашњење да је то број који је већи од заданог броја два пута, три пута итд.

19

бројење по 1 (од 100 ... од 1000 ... од 10 000 . . . од 100 000 ... од 1 000 000 ...). Бројење по 1 такођер је корисно у почетку поткријепити споменутим очигледним помагалима, али и објашњењима начина на који се у поједином случају броји. Треба, наиме, указивати на сљедеће:

од бројева 100, 1 000, 10 000 ... по 1 се броји тако да се најприје изговара име декадске јединице: сто и један, сто и два ... хиљаду и један, хиљаду и два ... десет хиљада и један, десет хиљада и два ... итд,, шио се илуструје одговарајућим очигледним приказима нпр: 1001, 10 001

од сто до двије (три, четири ...) стотине броји се као до 100 тако да се уз бројевну ријеч за поједину стотину наводе бројеви од 1 до 99; на примјер, двије стотине тридесет пет,

од хиљаду до двије (три ...) хиљаде броји се као до 1 000 тако да се уз број хиљада наводе бројеви од 1 до 999; три хиљаде двјесто тридесет два,

број милион схвата се као хиљаду хиљада (на хиљаду мјеста по хиљаду марака). Милиони се броје као хиљаде до 999 милиона, а број који садржи хиљаду милиона зове се милијарда.

Бројевна ријеч милијарда је посљедња, петнаеста ријеч за именовање бројева којима се оперише у дневном животу и којима се у разредној настави заокружује ученичко знање бројева. Основне ријечи за именовање бројева, према томе, су:

нула, један, два, три, четири, пет, шест, седам, осам, девет, десет, сто, хиљаду, милион, милијарда.

Корисно је указати на то да се с тих петнаест бројевних ријечи и њиховим комбинацијама могу именовати сви бројеви до једног билиона, тј. хиљаду милијарди. Таква информација дјелује на ученике импресивно, јер показује како се с мало ријечи именује врло много бројева.

Осим споменутих посебну пажњу треба посветити и овим начинима бројења: бројење прелазећи у идућу десетицу - од 137 даље, прелазећи у идућу стотицу - од 294 даље, прелазећи у идућу хиљаду - од 996 даље, прелазећи у идућу десетохиљадицу - од 29 997 даље, на прелазу стохиљадица - од 299 998 даље, на прелазу у милион - од 999 998 даље.

Бројење треба опрезно и стрпљиво проводити, јер пред ученике поставља велике мисаоне напоре. Зато се проводи уз помоћ бројевне линије, или уз помоћ картона декадских јединица:

бројити за одређени број јединица од заданог броја, нпр. од 537 за 10 унапријед или уназад,

бројити од једног до другог заданог броја, нпр. од 5 483 до 5495 унапријед и уназад.

Све начине бројења треба учинити свјесном и свиховитом интелектуалном активношћу како би се осигурало оперативно знање бројења као подлоге рачунским операцијама с пииродним бројевима.

Познавање бројева до 1000 и милион укључује и знање мјеста сваког броја у низу, тј знање претходника заданом броју (непосредни претходник и сви остали

20

који му претходе), знање сљедбеника заданом броју (непосредни сљедбеник и сви остали сљедбеници), те знање бројева између двају заданих бројева.

Да би се то постигло, треба: одредивати непосредни претходник и непосредни сљедбеник

заданом броју. Пажња се поклања одређивању претходника и сљедбеника вишеструким садржиоцима (вишекратницима) бројева 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 и 1 000 000, нпр. бројевима 340, 800, 9 000 итд.

одредивати и именовати број или бројеве измеду двају заданих бројева , нпр. између 345 и 356, између 4 523 и 4534 и сл. Посебо је корисно да ученици знају именовати и такве бројеве између двају заданих бројева којииспуњавају неки услов. На примјер, одредити све вишеструке садржиоце броја 100 измеду 300 и 900, све парне бројеве између 1 246 и 1 266 и сл.

Упознавање мјеста броја у низу бројева корисно је употпуњавати и оваквим сазнањима :

сви претходници заданог броја мањи су од њега, а такођер и од свих сљедбеника тога броја,

сви сљедбеници заданог броја већи су од тога броја, а и од свих претходника заданог броја.

Именовањем неколико узастопних сљедбеника заданог броја показује се настајање низа природних бројева и учвршћује сазнање о томе да низ бројева настаје додавањем броја 1 претходном броју.

Упознавањем бројева до 1000 односно милион проширују се сазнања о декадском саставу бројева. Да би се изградила и трајно усвојила сазнања изводе се овакве вјежбе:

задани број раставља се на одговарајуће декадске јединице; број 458 раставља се на 4 С, 5 Д, 8 Ј; број 485 956 раставља се на 4 СХ, 8 ДХ, 5 Х, 9С, 5Д и 6Ј,

из заданог броја декадских јединица састави број; НПР: из 5 ДХ, 8 Х, 6 С, 4 Д и 3 Ј (саставља се број 58 643)

У почетку вјежбања треба проводити уз помоћ очигледних средстава као што су картони јединица, десетица, стотица, хиљадица итд., а послије, кад се изграде основна сазнања, закључивање се изводи искључиво мишљењем. Такве вјежбе треба проводити све док се не постигне потпуна јасноћа и знање састава сваког броја, тј. док се сви ученици не оспособе тако да задани биој могу раставити на одговарајући број декадских јединица и да из заданих декадских јединица знају саставити одговарајући број. Без знања састава бројева неће се разумјети писање и читање вишецифрених бројева нити ће се моћи усвојити поступци писменог рачунања с тим бројевима. Због тога је знање састава бројева релевантно предзнање за усвајање наведених садржаја.

Објашњавање начина на који се пишу вишецифрени бројеви укључује ове елементе:

Слијед писања цифара вишецифреног броја; (најприје се пише цифра највеће декадске јединице (цифра која означава хиљаде, или цифра која означава стохиљадице, или цифра која означава милионе итд.), затим цифра непосредно мање декадске јединице и тако редом да би

21

се посљедња написала цифра која означава јединице. Вишецифрени бројеви се пишу слијева надесно.

Читање вишецифрених бројева врши се на начин њиховог писања, значи редом којим се пишу и то слијева надесно. Чита се и изговара, према томе, најприје цифра највеће декадске јединице, затим цифра непосредно мање декадске јединице итд. да би се посљедња прочитала цифра јединица. На примјер, број 5463 читамо пет хиљада четиристо шездесет три.

Значење сваке цифре вишецифреног броја: (цифра на мјесту јединица означава број јединица, цифра на мјесту хиљада означава број хиљада, цифра на мјесту стохиљадица означава број стохиљадица итд.

Значење свих цифара вишецифреног броја; (с више цифара пише се један број) Као што се број пет пише једном цифром (5), бројтридесетчетири пише се двјема цифрама (34), број двијехиљаде пет стотина осамдесет пише се четирима цифрама (2580), тако се вишецифрени број пише с више цифара (број цифара није ограничен). Радећи на оваквим примјерима треба схватити разлику измеду броја (појма) и знака (знакова)којима се пише.

Објашњење начина на који се пишу бројеви корисно је поткријепити очигледним помагалима (картони јединица, десетица, стотица итд.).

С методичког гледишта ученике је добро упућивати да уз сваки написани или именовани вишецифрени број наведу основна образложења. Тако нпр. уз број 32 674 могло би се наводити: број 32 674 је петоцифрени број, придружује се скупу који има 32 674 елемента, цифра 4 је на мјесту јединица, цифра 7 је на мјесту десетица ... цифра 3 је на мјесту десетхиљадица и означава број десетхиљадица , пишемо и читамо најпријед цифру десетхиљадица, затим цифру хиљада итд. Број 32 674 садржи 3 десетхиљадице , 2 хиљадице, 6 стотица итд. Број 32 674 непосредни је претходник броја 32 675 и непосрдни сљедбеник броја 32 673. Поступајући на тај начин писање, читање и уопште познавање бројева биће свјесно и смислено што у коначном придоноси бољем разумијевању природних бројева.

Објашњавање начина на који се пишу вишецифрени бројеви употпуњује се и таблицом мјесних вриједности. Користећи се њоме треба објашњавати сљедеће;

РАЗРЕД МИЛИЈАРДИ РАЗРЕД МИЛИОНА

РАЗРЕД ХИЉАДА

РАЗРЕД ЈЕДИНИЦА

СМИЛ ДМИЛ МИЛ СМ ДМ М СХ ДХ Х С Д Ј

22

Свака цифра лијево има 10 пута већу вриједност од цифре десно; вриједност сваке цифре зависи о мјесту (ступцу) на којем је у табели написана.

Три цифре почевши од јединица, стављамо у групе које називамо разреди.

Сваки разред, тј. свака група од три цифре има посебно име: -(разред јединица обухвата јединице (основне), десетице, и стотице;

- разред хиљада обухвата хиљаде, десетхиљадице и стохиљадице; - разред милиона обухваћа милионе, десетмилионе и стомилионе; - разред милијарди обухвата милијарде, десетмилијарде и стомилијарде, итд.

(Табела мјесних вриједности на лијевој страни није ограничена, може се проширити колико желимо.)

Кад се бројеви пишу изван табеле, што је најчешће, између сусједних разреда оставља се мали размак ради прегледности и лакшег читања бројева.

Бројеве читамо слијева надесно; кад у читању дођемо до размака, изговарамо име претходног разреда. На примјер, број 356 864 247 читаћемо тристо педесет шест милона, осамсто шездесет четири хиљаде, двјесточетрдесет седам.

И приликом писања бројева у табели мјесних вриједности треба истицати; са шест и више цифара пише се један број. Дакле, као што број три пишемо једном цифром (3), број милион пет стотина хиљада три пишемо са седам цифара - 1 500 003.

На примјеру таквих бројева може се објаснити писање нула у појединим ступцима табеле. Ако се анализом састава броја установи да не садржи нпр. хиљадице или столице, у ступац хиљада односно стотица пише се цифра 0 (јер има нула хиљада, односно стотица). Писању бројева у табелу мјесних вриједности треба претходити анализа састава броја како би се установио број појединих декадских јединица и потом исправно записао у табелу.

Разумијевању начина на који се пишу велики бројеви помаже писање бројева тзв. диктатом којим се при саопштавању броја истичу и наглашавају поједини разреди и бројеви декадских јединица у њему. То је посебно корисно када се велики бројеви пишу изван табеле, пазећи притом на размаке између појединих разреда.

САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ БРОЈЕВА ДО 100

23

Градиво ове цјелине обухвата три основна садржаја: Сабирање двоцифреног и једноцифреног броја броја, нпр. 45 + 7,те одузимање једноцифреног броја од двоцифреног 58 - 7.

Сабирање и одузимање двоцифрених бројева, нпр. 45 + 23, 89 - 53.Остали садржаји као што су:

комутативност и асоцијативност сабирања, зависност збира и разлике о члановима, одузимање као обрнута радња сабирања, трансформације једнакости у једначине те, неједначине. То је основица на којој се даље изграђују ученичка сазнања о сабирању и одузимању природних бројева и развијају психичке способности ученика.

Ученици се оспособљавају у примјени стеченог знања у рјешавању задатака из практичног живота.При обради тих садржаја посебна се пажња поклања редослиједу учења, повезаности сабирања и одузимања, поступцима сабирања и одузимања, те степену на којем су ученици усвојили садржаје учења.

Методички распоред сабирања и одузимања до 100:1. Сабирање двоцифреног и једноцифреног броја и одузимање

једноцифреног броја од двоцифреног. Овај поступак обухвата:

а) сабирање вишеструког садржиоца броја 10 и једноцифреног броја, 50 + 7 = ,

б) одузимање једноцифреног броја од двоцифреног — разлика је вишеструки садржилац броја 10, 68 - 8,

в) сабирање двоцифреног и једноцифреног броја — збир јединица мањи је од 10, 63 + 5,

г) одузимање једноцифреног броја од двоцифреног — број јединица умањеника већи је од броја јединица умањитеља, 58 — 5,

д) сабирање двоцифреног и једноцифреног броја — збир јединица је 10, 54 + 6,

ђ) одузимање једноцифреног броја од вишеструког садржиоца броја 10, 70 - 8, е) сабирање двоцифреног и једноцифреног броја — збир јединица већи је од

10, 37 + 8, ж) одузимање једноцифреног броја од двоцифреног прелазећи десетицу, 53

- 7 = .

Сабирање и одузимање двоцифрених бројева:

а) сабирање и одузимање вишеструког садржиоца броја 10, 50 + 30 =, 90 — 40, б) сабирање двоцифреног броја и вишеструког садржиоца броја 10, 43 + 20 = , в) одузимање вишеструког садржиоца броја 10 од двоцифреног броја, 75 - 30 = , г) сабирање двоцифрених бројева - збир јединица сабирака мањи је

од 10, 42 + 27, д) одузимање двоцифрених бројева - број јединица умањеника већи је од

броја јединица умањитеља, 67 — 24,24

ђ) сабирање двоцифрених бројева — збир јединица већи је од 10, 47 + 26, е) одузимање двоцифрених бројева с прелазом десетице, 85 — 37.

Овакав методички распоред учења сабирања и одузимања заснива се на принципу поступности, од једноставнијег ка сложенијем, од лакшег према тежем. Претходно усвојени једноставнији садржаји заједнички су елементи у старом и новом садржају учења и они су средство стицања новог знања, носилац смисла и фактор разумијевања, бржег усвајања и трајнијег памћења. При учењу треба указивати на заједничке елементе како би се створили услови да се сложенији примјери сабирања и одузимања не доживљавају као непознат и нов, већ као дијелом познат садржај. На тај начин остварују се двије погодности: скрацћује се вријеме учења, а ново се знање заснива на релевантном предзнању.

Када је ријеч о учењу сабирања и одузимања до 100 не може се мимоићи поступак којим се израчунава збир односно разлика двају двоцифрених бројева. Већ на почетку треба се опредијелити за једну или обје ове могућности.

Током обраде треба предлагати ученицима релативно сврсисходан и економичан поступак сабирања и одузимања двоцифрених бројева или пак сваком ученику препустити да властитим снагама проналази начин на који ће израчунавати збир односно разлику.

Прва могућност се заснива на чињеници да дио ученика властилим снагама не може пронаћи рационалан поступак израчунавања збира и разлике, док би некима то успијевало, али уз велик утрошак времена и снаге.

Друга могућност се заснива на претпоставци да властито проналажење поступка израчунавања резултата има трајну васпитно-образовну вриједност.

Било како било, ни једну могућност не треба апсолутизовати. И тамо гдје се учцницима предлаже поступак израчунавања збира и разлике има мјеата и њиховој властитој иницијативи као што и наставникова помоћ има мјеста при властитом ученичком проналажењу поступка израчунавања. Зато је методички најприхватљивије оно рјешење које укључује елементе обију могућности: предлагати поступак израчунавања, али и подстицати ученике да самостално проналазе пут до рјешења.

Објашњавање сабирања и одузимања до 100 поткрепљује се, по потреби, одговарајућим очигледним средствима као што су штапићи (при чему сноп од 10 штапића предочава десетицу, а појединачни штапићи јединице) или картончићи с бројем 10 квадратног облика предочава деселицу, картончићи с бројем 1, квадратног облика предочавају јединице, те бројевна линија. Тим средствима успјешно се визуелизира састављање и растављање бројева којима се оперише, а такођер и цјелокупан мисаони процес.

Сабирање и однзимање вишеструког садржиоца броја 10 усваја се помоћу знања сабирања и одузимања једноцифрених бројева: сабирање 50 + 30 односно одузимање 80 — 40 своди са на сабирање и одузимање бројева десетица, а то су једноцифрени бројеви. Да би се указало на заједничке елементе у старом и новом садржају, сабирање и одузимање вишеструког садржиоца броја 10 може се приказати овако:

50 + 30=............ 5Д + 3 Д = 8 Д .........8090- 50 =............ 9 Д - 5 Д = 4 Д..........40Након низа ријешених примјера утврдује се: Сабирају се и одузимају

бројеви десетица.25

Усвајање сабирања двоцифреног и једноцифреног броја, те одузимање једноцифреног броја од двоцифреног, заснива се на знању сабирања и одузимања унутар прве и друге десетице. Тако се нпр. бројеви у задатку 43 + 6 сабирају се уз помоћ знања сабирања 3 + 6 односно 13 + 6, а бројеви у задатку 87-5 одузимају се помоћу знања одузимања 7 - 5 односно 17 — 5.

На тај се начин знање сабирања и одузимања бројева до 20 трансферише на шире подручје, на сабирање и одузимање до 100, 1 000 и даље. Разумијевању поступка сабирања и одузимања до 100 придоносе и одговарајући очигледни прикази којима се показује да нпр. броју 53 додати број 5 значи додати га јединицама тога броја, односно да од броја 37 одузети број 3 значи одузети га од броја јединица тога броја. (Очигледно приказати ову радњу са штапићима, или картончићима.)

Обрађујући сабирање и одузимање двоцифрених бројева, пажњу треба поклонити релевантном предзнању и поступку сабирања односно одузимања. Предзнање укључује ове садржаје:

знање свих претходно обрађених сабирања и одузимања, знање асоцијативности за сабирање те знање растављања двоцифрених

бројева на збир десетица и јединица. Поступак сабирања и одузимања двоцифрених бројева укључује

растављање другог члана на збир десетица и јединица, а затим се додаје односно одузима од првог члана најприје број десетица другог члана, а затим и број јединица.

Приказан знаковима, тај поступак изгледа овако:Дужи облик

53 + 26 = 53 + 20 + 6 = (53 + 20) + 6 = 73 + 6 = 79Краћи облик

53 + 26 =79

Одузимање:

Дужи облик

86 - 23 = 86 - (20 + 3) = (86-20)-3 = 66-3 = 63

Краћи облик

86 - 23 = 63

Приликом овог рада треба имати на уму да је дужи поступак сабирања и одузимања само средство које помаже усвајању краћег поступка.

Кад ученици усвоје основну структуру поступка, постепено се скраћује запис поступка изостављајући записивање дјелимичних радњи.

Међутим и надаље се задржава и његује размишљање којим се израчунава збир, односно разлика — у мислима се раставља други члан и изводе сва дјелимична сабирања односно одузимања, а записује се само коначни резултат.

Према томе, збир 42 + 25 израчунава се додавањем првом сабирку најприје броја 20, а заиим броја 5. Говорно образлагање гласи: 42 + 25 једнако је - 42 плус 20 једнако је 62, плус 5 једнако је 67, дакле, 42 плус 25 једнако је 67. Аналогно томе изводи се и одузимање. Да би се сачувао и користио овај начин размишљања, ученике треба оспособљавати да растављање другог члана изводе у свијести,

26

напамет, те да затим редом сабирају односно одузимају. На тај начин изграђиваће се одговарајућа мисаона радња, а ученици ће се оспособити да релативно лако и брзо израчунавају збирове и разлике двају двоцифрених бројева што је и коначни циљ учења.

САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ БРОЈЕВА ДО 20

Прво проширивање сабирања и одузимања јест проширивање на другу десетицу, на бројеве до 20. Тиме се уједно заокружује обим бројева унутар којих се најчешће сабира и одузима на почетку школовања у основној школи. Усвајају се задаци сабирања и одузимања који чине тзв. таблицу сабирања и одузимања. Будући да је знање сабирања и одузимања до 20 средство којим се усвајају сложенији примјери тих операција, обради тог градива придаје се велика пажња, што се најјасније огледа у захтјеву да се усвоји до степена аутоматизације. О усвојености тог наставног градива зависи учење сабирања и одузимања у идућим разредима и у усменом и у писменом облику.

У склопу сабирања и одузимања до 20 ученици упознају и нека својства тих рачунских операција као што су комутативност и асоцијативноси сабирања, инверзност операција, зависност бројевне вриједности збира и разлике о члановима, слово као знак за број и др. Све то показује да учење сабирања и одузимања у првим двјема десетицама има основно значење, поготово ако се има на уму да су сви ти садржаји за ученике нови. Сабирање и одузимање бројева у идућим разредима нису за ученике више нова грађа управо због тога што у себи садрже једноставније, у претходним разредима већ упоз-нате примјере сабирања и одузимања.

Градиво сабирања и одузимања до 20 има овај методички распоред: а) Сабирање броја 10 и једноцифреног броја, односно одузимање

једноцифреног броја од двоцифреног тако да разлика буде 10, нпр. 10 + 4 односно 15 - 5.

b) Сабирање једноцифреног и двоцифреног броја чији је збир 20,односно одузимање једноцифреног броја од 20, нпр. 14 + 6, односно 20 - 4.

c) Сабирање једноцифреног и двоцифреног броја, односно одузиниање једноцифреног броја од двоцифреног унутар друге десетице, нпр. 13 + 4 односно 18 — 5.

Сабирање и одузимање прелазећи десетицу, нпр. 8 + 7, односно 15-8.d) Тај се методички распоред заснива на принципу поступности према којем се у учењу полази од једноставног према сложеном, од познатог према непознатом, што је због хијерархијског поретка грађе почетне наставе математике врло важно. Знање једноставнијих садржаја из којих су састављени сложенији примјери сабирања и одузимања повезују ново знање са старим уносећи смисао у нову грађу. Тиме се омогућује лакше и брже учење с већим разумијевањем. На тој психолошкој чињеници заснива се методички захтјев за постојањем релевантног предзнања које омогућује разумијевање новог градива. Зато прије учења сабирања и одузимања до 20, сви ученици морају располагати релевантним предзнањем.

27

Обрађивање, вјежбање и понављање сабирања и одузимања до 20 поткрепљује се одговарајућим конкретизацијама бројева и односа међу њима. Тој сврси може послужити одговарајући дидактички материјал или штапићи којима се предочавају десетица и јединице. На примјер, број 14 предочава се једним снопом (десет штапића свезаних у цјелину) и 4 штапића који предочавају четири јединице. Осим штапићима, јединице и десетице могу се предочити картончићима десетица и јединица или пластичним плочицама.

Кад је ријеч о млађим који још немају изграђен појам десетице, приказивање бројева помоћу снопова штапића методички је оправданије, јер се скупљање штапића у цјелину непосредно може обавити. У том случају сноп од 10 штапића очигледни је приказ десетице као декадске јединице. Насупрот томе, у приказу десетице картончићем се не може обавити нити се непосредно види десет елементарних јединица. Такво приказивање мање је очигледно па се успјешније користи старијим разредима када су ученици интелектвиално развијенији и када посједују веће знање о саставу бројева.

Прва група задатака, тј. сабирање 10 + 5 и одузимање облика 15 - 5, објашњава се уз помоћ знања бројења до 20 и од 20 до 1 јер се непосредно надовезује на упознавање низа бројева до 20. Учење сабирања и одузимања тих примјера већини ученика не задаје тешкоће, но ипак буде ли потребно, усвајање нове грађе покријепиће се одговарајућим демонстрацијама.

Објашњавање сабирања и одузимања задатака облика 16 + 4 односно 20-4 треба засновати на релевантном предзнању, тј. на знању 6 + 4 односно 10 - 4 и на одговарајућим очигледним помагалима којима се показује како се поступа кад је збир јединица 10 (10 јединица скупља се у 1 деселицу). То сазнање зачетак је разумијевања декадског система, а ученик млађег разреда не може је схватити без потребних очигледних радњи.

На примјер, сабирање 15 + 5 очигледно се може приказати помоћу дидактичког материјала. ( Сноп од петнаест штапића и пет појединачних штапића), или пак помоћу бројевне линије. Скупљајући у цјелину штапиће изван снопа, приказује се сабирање јединица тих сабирака. Тиме се уједно чини очигледним објашњење да броју 15 додајемо број 5 тако да га додајемо јединицама броја 15.Одузимање бројева, као нпр. 20 - 6, такођер се поткрепљује очигледним

приказима (помоћу штапића или бројевном линијом) изграђујући сазнање о томе да се одузима тако што се број 6 одузме од 1 десетице (што се приказује развезивањем снопа штапића из којег се затим одузима 6 штапића). Кардинални број скупа штапића који је остао је разлика бројева 20 и 6. Дакако, искористиће се и знање одузимања једноцифрених бројева од броја 10, нпр. 10 — 5, 10 — 3, као инструмент за стицање новог знања.

Сабирање и одузимање унутар дестице, 14 + 5 односно 18 - 3, такођер се објашњава манипулисањем конкретним објектима, бројевном цртом и релевантним предзнањем. у овом примјеру знањем 4 + 5 односно 8 — 3.

Све те радње с дидактичким материјалом изводе ученици, а посебно то требају чинити они којима је таква помоћ потребна. Не смије се, међутим, заборавити да су радње с конкретним објектима само помоћно средство које се напушта кад је ученик способан задатак ријешити без те помоћи. Све што ученик може ријешити мишљењем, својим умом, треба тако и рјешавати!

28

Сабирање двају једноцифрених бројева и одузимање једноцифреног од двоцифреног броја прелазећи десетицу (8 + 7,16 — 9), најсложенији су примјери тих операција у другом разреду који дијелу ученика причињава тешкоће. Наиме, други чланови у тим задацима, сабирак односно умањилац, за ученике другог разреда релативно су велики бројеви које треба додати односно одузети. Зато при сабирању и одузимању таквих бројева треба учинити прилично велик корак (на бројевној линији) да би се дошло до збира односно разлике.

Традиционална методика почетне наставе математике сматра да је узрок тешкоћа прелаз преко десетице, која као нека међа отежава сабирање и одузимање. Чини се, ипак, да је главни узрок тешкоћа величина броја који се додаје односно одузима. Када би десетица била узрок тешкоћа, с правом би се могло питати да ли у сабирању и одузимању и прелаз преко осталих бројева такођер ствара тешкоће? Стварају ли лешкоће прелази преко бројева нпр. 9 и 11 при рјешавању задатака као што су 7 + 6 односно 15 - 9? Очито такво се тумачење не може прихватити јер би то значило да и сви остали бројеви могу узро-ковати такве тешкоће. Зато као највјероватнији узрок тешкоћа у сабирању и одузимању, прелазећи десетицу, остаје релативна величина броја који се додаје односно одузима. На то упућују и методички поступци замишљени као помоћ ученицима којима је таква помоћ потребна. Главно обиљежје поступака је смањивање броја који се додаје односно одузима, с циљем да се олакша проналажење збира односно разлике. Један се такав поступак заснива на растављању броја који се додаје, односно одузима, други на непромјенљивости разллке и збира, а тред на изједначавању сабирака. Размотрићемо сваки од тих поступака.

Сабирање односно одузимање прелазећи десетицу растављањем другог члана изгледа овако: 8 + 7 = 8 + 2 + 5 односно 15 — 7 = 15 — 5 - 2 . Дакле, други се члан раставља тако да се умјесто једног већег додају, односно одузимају два мања броја и то редом како је записано. Смањујући други члан растављањем на два броја, доиста се олакшава сабирање, односно одузимање јер се додају, односно одузимају бројеви мањи од заданих. Међутим, иако на први поглед изгледа једноставан, поступак је заправо доста сложен, јер укључује низ мисаоних дјелатности које се морају исводити синхронизовано и симултано да би се дошло до резултата. Тежина рјешавања неког задатка управо и јест у количини и квалитету мисаоних операција које се морају обавити да би се дошло до рјешења. Посматрајмо примјер сабирања 8 + 7 =. Да би се тим поступком сабрали наведени бројеви, број 7 се мора раставити на два броја од којих један додат броју 8 даје број 10, тј. на 2 и 5. То пак претпоставља могућност да се симултано изведу двије мисаоне радње: растављање броја 7 на два одговарајућа броја и додавање једног од њих (не било којег!) броју 8 да би се добило 10. Умјесто да олакша, неким ученицима то отежава израчунавање збира. Тешкоћа настаје због немогућности симултаног извођења растављања броја (уз одређени услов) и додавање првом сабирку једног од тако добивених двају бројева.

Нешто једноставније, али сличне мисаоне активности захтијева и поступак при одузимању прелазећи десетицу. Ипак, ситуација је нешто другачија, јер растављање другог члана олакшава чињеница да се из задатка непосредно може видјети један од бројева на које треба раставити умањитељ — то показује цифра на мјесту јединица у умањенику. У примјеру 15 — 8, посматрајући задатак ученик непосредно дознаје да један од бројева на који се раставља умањитељ мора бити број 5 (број на мјесту јединица у умањенику) који одузет од броја 15 даје 10, што значајно олакшава

29

растављање, а затим и одузимање. Због тога је примјена тог поступка у одузимању успјешнија него у сабирању. Све у свему слабијим ученицима тај поступак понекад више отежава него што олакшава сабирање и одузимање прелазећи десетицу. Неприлика је тим већа што се ради о слабијим ученицима, способнији ионако рјешавају такве задатке без помоћног поступка и средства.

Тешкоће што их ствара наведени поступак значајно се ублажавају примјеном поступка који се заснива на непромјенљивости збира и разлике. Знање тог својства збира и разлике може бити средство сабирања и одузимања, али само уз услов да је претходно трајно и с разумијевањем усвојено. Уз претпоставку да је тај услов испуњен може се тврдити да примјена поступка не задаје готово никакве тешкоће, јер се додаје односно одузима не било који број, него онај који додат првом сабирку даје број 10, а од чланова разлике одузима се износ јединица умањеника. Примјена тог поступка изгледа овако:

8 + 7 = (8 + 2) + (7 - 2) = 10 + 5 = 151 5 - 7 - ( 1 5 - 5 ) - ( 7 - 5 ) = 1 0 - 2 = 8.Дакле, првом се сабирку додаје број 2 да би се добио број 10, а од другог се

сабирка одузима тај исти број како се збир не би промијенио. При одузимању од умањеника се одузима број 5 (број јединица) да би се добио број 10, а да се разлика не би промијенила од уманитеља се одузима исти тај број. Знају ли се својства збира и разлике, те примјењујући то знање у сабирању и одузимању прелазећи десетицу, нова грађа се претвара у стару, већ прије познату. Наиме, тзв. нова грађа у том случују не садржи ништа ново, осим што се члановима збира и разлике не додаје односно одузима било који број него онај који додат, односно одузет од првог члана једнакости даје број 10. Зато је примјена тих својстава збира и разлике у сабирању и одузимању прелазећи десетицу и за слабије ученике лакши и подстицајнији пут до рјешења задатка. Поступак има и ту предност што ученике оспособљава да се у рјешавању задатка користе математичким законитостима, а то њиховом учењу даје дубљи и трајнији смисао.

Трећи поступнк којим се настоји олакшати сабирање прелазећи десетицу заснива се на сабирању истих сабирака. Будући да ученици релативно лако израчунавају збирове једнаких бројева, та се чињеница користи и у сабирању неједнаких бројева (7 + 8, 6 + 7 и сл.), сводећи сабирање на сабирање истих сабирака. На примјер, задатак 7 + 8 ријешио би се на тај начин овако: 7 + 8 = 7 + 7 + 1 = 14 + 1 = 15, преводећи га у сабирање једнаких сабирака уз додавање остатка, тј. броја 1. Но и тај поступак претпоставља одговарајуће предзнање без којега се не може успјешно примјењивати, а то је знање растављања бројева и знање сабирања једнаких бројева. Највећу помоћ поступак пружа онима који тим знањем располажу, а то су најчешће ученици који и без те помоћи сабирају прелазећи десетицу.

Сви поступци сабирања и одузимања прелазећи десетицу само су помоћно средство које служи постизању главне сврхе, а то је непосредно израчунавање збира и разлике. Могу ли ученици сабирати и одузимати без помоћи тих поступака, требају тако и радити. Циљ је почетне наставе математике да се сабирање и одузимање до 20 прво схвати, а затим усвоји до степена аутоматизације. Онима којима је помоћ потребна треба омогућити да се послуже неким од ових поступака или, пак, што је још боље, да пронађу неки свој лични поступак.

30

ПРОШИРИВАЊЕ ПОЈМОВА САБИРАЊА И ОДУЗИМАЊА БРОЈЕВА

Након почетног упознавања сабирања и одузимања бројева до 20, уччничко знање тих операција проширује се усвајањем математичких садржаја као сто су:

термини за именовање бројева,

релација и операција,

замјена мјеста сабирака (комутативност),

удруживање сабирака (асоцијативност),

број нула у сабирању и одузимању (неутрални елемент),

одузимање као обратна операција сабирања,

зависност збира и разлике о члановима,

слово као знак за број,

неједначине.

Усвајањем тих садржаја обогаћује се васпитно-образовни процес почетне наставе математике, с више разумијевања сазнају се везе и односи међу бројевима, боље се упознавају математичке законитости, а ученици се осим с различитом техником сусрећу и с вриједним математичким садржајима. Слабост традиционалне почетне наставе математике била је управо у томе што се учење математике редуковало само на рачунску технику. Посљедица је био одбојан и негативан емоционални однос ученика према тој науци. У учењу математике ти садржаји уносе драж проблемских ситуација, што стимулише и потиче ученичку радозналост, и наставу чини занимљивом и привлачном. Због свега наведеног усвајање тих садржаја добра је подлога за стварање позитивног емоционалног односа према математици, а то је упиаво један од циљева који се жели остваривати почетном наставом математике.

У обрађивању треба се придржавати истих методичких принципа који вриједе за усвајање операција сабирања и одузимања природних бројева: полазити од материјалних радњи с конкретним објектима - дидактички материјал - и напредовати према апстрактним радњама с појмовним објектима, бројевима. Да би биле извор нових сазнаја све те радње морају бити властита активност сваког појединог ученика, а да би постале менталне, радње с конкретним објектима досљедно се морају образлагати говором. Узастопним извођењем и говорним образлагањем изградиће се ментална радња и схватити њен садржај, а кад се то постигне уводе се математички записи којима се пртказују,

31

За усвајање математичких садржаја значајан је и овај методички став; све садржаје најпиије треба упознати у скупу бројева до 20, евентуално до 30, а потом и на осталим бројевима. Тај се став оправдава са два разлога:

први је чињеница да радећи с мањим бројевима ученици лакше и брже уошавају односе и везе у одређеној грађи.

Други је разлог што се на тај начин упознати садржаји лако трансферишу на друга подручја бројева до 100, 1 000, 10 000 и даље.

Стечена у једном, а затим трансферирана у друго подручје, та се знања у новом подручју идентификују као елеменат који постаје средство разумијевања нове наставне грађе.

Математички термини. Први садржај којим се проширује ученичко знање сабирања и одузимања природних бројева су термини за означавање бројева, релација и операција. Циљ учења математичких термина је двојак:

усвајање термина којима се поједини математички објекти именују и

појмовног садржаја који се термином означава.

Усвајајући, НПР: термин сабирак, осим имена треба упознати и функцију броја који се тим термином именује, тј. то је број који се сабира, или уз термине збир и разлика, осим имена треба усвојити и улогу бројева који се тако именују, тј. то су бројеви који се израчунавају сабирањем односно одузимањем. Уз термине више (плус) односно мање (минус) треба повезивати њихово значење, тј. они означавају радњу коју треба извести са заданим бројевима.

Учење математичких термина у неким је аспектима слично учењу ријечи и њиховог значења у матерњем језику. То је у основи процес усвајања појединих ријечи и њиховог појмовног садржаја који се означава. Зато је учење математичких термина дуготрајан и континуиран процес који се реализује досљедном и правилном свакодневном употребом, почевши од првог разреда основне школе. Учење ће бити успјешније буду ли и наставник и ученик у свакодневном раду исправним терминима означавали одговарајуће математичке објекте, а добро ће били буде ли се објашњавао појмовни садржај који се термином именује. Није добра пракса која учење термина своди на изговарање појединих ријечи-термина тражећи само именовање објекта. Дакако, то је потребно, али није довољно. Тек објашњавање функције објекта који се именује упућује на прави садржај термина.

У вези с учењем математичких термина јавља се и питање треба ли осим српских, хрватских и бошњачких усвајати и интернационалне математичке термине? Ако треба, којим редослиједом? Најприје учити српске па затим остале термине или пак истовремено и једне и друге? Та су питања актуелна зато што за многе математичке појмове у српском језику не постоје одговарајући термини. Непостојање одговарајућих термина у српском језику те значајна употреба интернационалне терминологије на вишим нивоима школовања упућује да се већ од почетка математичког образовања уз српске уводе и интенационални термини. Медутим, из методичких разлога први термин који ученик усваја мора бити на српском

32

језику. Дакако, ако такав постоји. Тек након тога уводи се интернационални. У даљњем раду једнакоправно треба користити и једне и друге термине.

Комутативност за сабирање представља значајно проширење ученичког знања о сабирању. Тим садржајима изграђује се сазнања о томе да вриједност збира не зависи о поретку сабирака.

Упознавање комутативности за сабирање у почетној настави математике повезује се уз одговарајуће материјалне радње као што је комутативност уније скупова. Мисаона радња замјене мјеста сабирака изводи се из квантитативних односа реалности, а процес учења ускладује се с психолошким законитостима формирања менталних операција. Поступајући тако, ученици откривају да до истог кардиналног броја уније долази удруже ли се скупови од 5 и 3 елемента или скупови од 3 и 5 елемената:

Користећи се мноштвом таквих радњи, изградиће се опше сазнање да замјена мјеста сабирака не утиче на збир, не мијења га. Сазнање ће бити квалитетно буде ли се заснивало на радњама чији је садржај комутативност уније скупова и сабирање бројева. Те се радње морају говором образлагаии како би се сазнање комутативности сабирања уздигло на појмовни, мисаони ниво.

Кад се упозна својство непромјенљивосии збира, комутативност сабирања може се приказати и помоћу тога својства. Примјењујући га ученици постепено откривају како замјена мјеста сабирака не мијења бројевну вриједност збира, те како се из једнакости 4 + 3 = 7 добија једнакост 3 + 4 = 7. Ево примјера:

4 + 3 = 74 + 3 = (4 - 1) + (3 + 1) = 3 + 4 = 7

Или на примјер:12 + 8 = 2012 + 8 = (12 -4) + (8 + 4) = 8 + 12 =20

Током овог рада ученике упозорити да се сабирцима не додаје и не одузима било који број него разлика заданих сабирака: од већег сабирка та се разлика одузима, а мањем се додаје.

Асоцијативност сабирања најприродније ће се упознавати ако се пође од проблема како сабрати више сабирака 5 + 2 + 3 + 1 + 4 = . Рјешавајући такве задатке, ученици че открити двије важне чињенице:

да је сабирање бројева операција, тј. да се односи на два броја те,

да начин удруживања сабирака не мијења збир.

Успоредбе ради, корисно је испитати вриједи ли то и за одузимање.Да би се спријечило поистовјећивање тога својства са својством

комутативности, треба уочити да се комутативност односи на поредак

33

сабирака, а асоцијативност на удруживање сабирака. У једнакости (2 + 3) + 4 = 9 и у једнакости 2 + (3 + 4) = 9 поредак сабирака је исти, али је различит начин њиховог удруживања. Да би се, дакле, могло говорити о асоцијативности збрајања, морају постојати три сабирка да би се примјенило својство асоцијативности, док је својство комутативности могуће у сабирању најмање двају сабирака, у чему је важна разлика између тих двају својстава збира.

Да би се конкретизовала ментална операција сабирања трију сабирака, својство асоцијативности за сабирање у почетној настави математике објашњава се одговарајућим радњама са скуповима конкретних предмета. Удруживањем трију скупова на различите начине: први и други, а затим трећи, односно други и трећи, а потом први, дакле, (А U Б) U Ц односно А U (Б U Ц), ученици ће постепено откривати чињеницу да број елемената у удруженом скупу у оба случаја остаје непромијењен. Таква удруживања ученици изводе својим дидактичким материјалом, а задатке за ту сврху треба узимати из њима познате околине.

Различито удруживање трију скупова може се и графички приказати што придоноси динамичности наставе и практичности рада. Треба га повезивати уз одговарајуће ситуације у реалности. На примјер: на првој станици у аутобус су ушла 3 путника, на другој 4 путника, а на трећој 2 путника. Колико је путника ушло у аутобус? Удружујући скупове путника на различите начине, илустроваће се чињеница да број путника који су ушли у аутобус остаје непромијењен независно о редослиједу удруживања скупова. Може се направити и графички приказ. Увођењем записа асоцијативности за сабирање у облику (а + б) + ц = а + (б + ц) учинит ће се даљњи корак у изградњи тога појма. Запис се уводи пошто се претходним радом с конкретним предметима (дидактички материјал) изгради мисаона радња с бројевима и њиховим односима у асоцијативности сабирања. Повезујући запис уз удруживање трију скупова, добија се израз облика: (3+ 4)+ 2 = 7 + 2 = 9 односно 3 +(4+ 2) = 3 + 6 = 9. Ученицима непознат елеменат у том изразу су знакови заграда ( ). Треба објаснити њихово значење. Најприје се објашњава начин писања (закривијеном линијом), затим назив (заграде) и шта значе (да се најприје израчунава оно што је њима заграђено).

Одузимање као супротна радња сабирања. Тим терминима означава се веза сабирања и одузимања која се записује знаковима: а - б = ц јер је ц + б = а што омогућује да се из једнакости нпр. 5 + 3 = 8 пријеђе у једнакост 8 — 5 = 3. Усвајајући наставно градиво ученици дознају да одузети број б од биоја а значи пронаћи број ц, који додат броју б даје број а. Изграђује се сазнање о одузимању као операцији којом се из познатог збира и једног сабирка израчунава непозртати сабирак, тј. ако је а + б = ц тада је ц — б = а. Одузимање као обратна рачунска радња користи се у примјерима одузимања бројева гдје се резултат проналази (провјерава) додавањем разлике умањитељу: 47 - 39 = 8 јер је 8 + 39 = 47. С гледишта васпитања и образовања упознавање повезаности тих операција је

34

плодоносно јер активира ученикове интелектуалне способности и подстче стварање позитивног емоционалног односа према учењу математике.

Обрађивање овога наставног градива поткрепљује се одговарајућим радњама са скуповима конкретних предмета (дидактички материјал) с циљем да се конкретизује апстрактни садржај укључен у појам одузимања као обратне рачунске радње. Веза сабирања и одузимања конкретизује се истовременим одузимањем и удруживањем скупова: полази се од одузимања скупова (А \ Б = Ц) (Б је подскуп А) и прелази на удруживање (Ц U Б = А). НПР: поставља се скуп од 5 елемената, одузима подскуп од 2 елемента и добија разлика од 3 елемента којој се потом додаје подскуп од 2 елемента и поновно добија скуп уд 5 елемената:

Будући да је та радња састављена од неколико дијелова треба је изводити постепено како би ју ученици разумјели. Разумијевању њезина садржаја придонијеће говорно образлагање: пет мање два је три, три више два једнако је пет. Да би се апстраховале неважне појединости (скупови и природа елемената) и генерализовало важно, ученике треба подстицати да у говорном исказу наводе само важно, а то су бројеви и односи меду њима: 5 мање 2 је 3 јер је 2 + 3 је 5.

Када се схвати садржај инверзности сабирања и однзимања, приказује се математичким знаковима: 8 — 5 = 3 јер је 3 + 5 = 8- Запис се уводи након што су ученици схватили појмовни садржај инверзности тих операција како би се спријечило оперисање знаковима без разумијевања њиховог значења.

Да би сазнање о вези сабирања и одузимања било потпуније, ученике треба подстицати да те записе посматрају и здесна на лијево полазећи од сабирања: 3 + 5 = 8 јер је 8 - 5 = 3. Разумијевању тих израза придоноси приказивање њиховог значења радњама са скуповима дидактичког материјала, чиме се остварује пут сазнавања од апстрактнога према конкретном, као допуна ономе од конкретнога према апстрактном.

Број 0 у збрајању и одузимању. Усвајајући ово градиво, ученици ће доћи до трију сазнања:

a) Ако се нула дода неком броју, тај број се не мијења, 5 + 0 = 5.b) Ако се нули дода неки број, тај број се не мијења, 0 + 5 = 5, односно збир нуле и тог броја је тај број.c) Ако се од неког броја одузме нула, тај се број неће промијенити, односно

разлика неког броја и нуле је тај број.7 - 0 = 7.Упознавање нуле у сабирању и однзимању треба заснивати на одго-варајућим

емпиријским ситуацијама какве се налазе у различитим текстуатним задацима, нпр. Мира је добила 5 јабука од стрица, а од стрине није добила ниједну (тј. добила је нулу јабука). Колико укупно Мира има јабука? Овај задатак илуструје бројевне односе приказане изразом облика: а + 0 = а. Сљедећи примјер задатка гласи: Перица има 7 оловака, изгубио је нулу оловака (није изгубио ниједну оловку). Колико му је оловака остало? Задатак илуструје бројевне односе приказане изразом облика: а — 0 = а. Анализом таквих ситуација, постављањем математичког израза и рјешавањем долази се до примјера који показују улогу нуле у сабирању и одузимању:

15 + 0= 15 1 3 - 0 = 138 + 0 = 8 9 - 0 = 90 + 5 = 5

35

Посматрајући и анализирајући примјере, ученици ће открити шта им је заједничко, тј. додајући, или одузимајући нулу од појединог броја резултат увијек остаје исти, непромијењени број. Од тога закључка лако долазимо до опшег сазнања: нула додата броју или одузета од неког броја не мијења тај број. Добро је подстакнути ученике да опште сазнање примјене на све бројеве које познају чиме ће се значајно проширити домет учења.

Слово као знак за број. У традиционалној почетној настави математике слово се не користи као знак за број. Умјесто слова користе се различити други знаковикао: ?,------, • и сл. Уз помоћ таквих знакова добијају се записи: 6 + ■ = 10.4 + ■ — ~ = 9, 3 + ? = 15 који се читају: шест више колико је ... итд. У таквим задацима број се означава знаком који се у математици уопштено не употребљава у смислу знака за број. Стога употреба таквих знакова има двије негативне посљедице:

уводе се знакови који се не употребљавају као знакови за бројеве и, најприје се уводе нематематички знакови који се затим замјењују

математичким. Наведене негативности посебно су неприкладне, јер стварају збрку, те

непотребно продужују и отежавају учење. Методички је исправније од почетка математичког образовања уводити оне термине и знакове који се у математици користе, а поготово зато што нематематички знакови ученицима нису ни ближи ни разумљивији од уобичајених математичких. Тим се разлозима оправдава увођење слова у почетној настави математике као знака за брај. Упознавајући слово у значењу броја, ученици дознају да мало слово латинице, или ћирилице може замијенити један или више бројева. Хоће ли нпр. слово замјењивати један или више бројева зависи о врсти задатка: а < 5, а > 7, 5 < а < 10, 5 + а ~ 8 и сл. Слово, дакле, означава број или бројеве одређене задатком. Слова која у задатку означавају бројеве називамо варијаблама (промјенљивима).

Слово као знак за број упознаје се рјешавањем одговарајућих задатака као нпр.: може ли се и како ријешити задатак 5 + а = ? Садржећи за ученике нов елемент, слово на мјесту броја, тако поатављен задатак подстиче њихово мишљење. Присјећајући се улоге броја на мјесту гдје се сада налази слово интензивно размишљају о рјешењу. Најчешће реагују констатацијом да се задатак не може ријешити, јер на мјесту броја стоји слово а, то је управо зачетак сазнања да слово треба замијенити бројем како би се задатак могао ријешити. Притом треба извести стварну, физичку замјену слова бројем користећи се тзв. хеуристичким поступком. На наљепници написати бројеве 3, 4, 2 и ставити их преко слова па се добивају задаци 5 + 3 =, 5 + 4 =, 5 + 2 = који се затим рјешавају на већ познати начин.

Рјешавање задатака у којима се слово јавља као знак за број оспособљава ученике у правилном мишљењу чиме се остварује значајан васпитно-образовни задатак. Упућујући ученике да размишљају на начин: ако је ... онда је ... стварамо услове за откривање узрочно-посљедичних веза што је врло корисно и пожељно. Задаци такве врсте пружају изванредне могућности. Зато ученике непрекидно треба стављати у прилику да размишљају: ако је а једнако 2, онцла је 3 + а једнако 5, ако је а једнако 5, онда је 3 + а једнако 8, итд. Такав рад је плодоносан јер је искључиво мисаони и зато чини основ за развијање ученичких интелектуалних способности. Стварању таквог модела мишљења придоноси и говорно репродуковање рјешавања задатка па га зато треба укључивати у наставни рад.

36

Значајна импликација упознавања слова у значењу броја је приказивање и извођење рачунских операдја у табели. Испуњавајући табелу ученик ствара парове, а скуп парова је функција: бројеви у првом ступцу табеле чине скуп аргумената (домена), а они у трећем ступцу скуп вриједности функције. Радећи тако ученици откривају како вриједност функције зависи о вриједности аргумента што ће посматрати и у ситуацијама објективне реалности.

Да би се ученици оспособили за извођење рачунских операција у табели, најприје их треба упознати с табелом. У првом ступцу табеле задане су вриједности за а, б, ц, ... (вриједности аргумента), у другом је ступцу назначена операција коју треба изводити, а у трећем су резултати (вриједности функција). На примјер:

а а + 22 2 + 2 44 4 + 2 63 3 + 2 5

Дакле, ако је а једнако 2, онда је а + 2 једнако 4 итд. На сличан начин ученици ће упознати и сложеније табеле које у основи не доносе ништа шта би требало посебно објашњавати. Пракса показује да ученици већ у првом разреду веома радо рјешавају задатке задане табелом. Тако постављени задаци добијају облик новости која подстиче радозналост и уноси занимљивост у учење.

Неједначине: Значајно проширење ученичког знања о бројевима и њиховим односима остварује се упознавањем неједначина облика: а < 7, а > 5, 3 < а < 8, 3 + x < 7, а - 3 < 5, 3 + а < 20 и сл. Неједначином називамо неједнакост у којој се јавља непозната, а ријешити је значи пронаћи оне вриједности непознате које неједначину чине ваљаном неједнакошћу. Будући да рјешавање неједначина укључује низ мисаоних радњи, усвајање те наставне грађе пружа изванредне могућности за развијање интелектуалних способности. Да би се ријешила неједначина а < 7, активирају се мисаоне дјелатности као што су: проналажење одговарајућих бројева, стављање тих бројева у однос према броју 7, просуђивање чине ли пронађени бројеви задану неједначину ваљаном неједнакошћу. Рјешавање неједначине 3 + а < 9 укључује про-налажење одговарајућих бројева, сабирање сваког броја с бројем 3, стављање тога збира у однос према броју 9 да би се установило је ли већи или је мањи од 9. Мноштво мисаоних радњи што их захтијева рјешавање неједначина чини ту грађу веома атрактивном, али и релативно тежом једном дијелу ученика. Медутим, у успоредби с васпитно-образовним ефектом који се њима постиже, евентуалне тешкоће при њиховом усвајању нису разлог да се изоставе из почетне наставе математике. Тешкоће које могу настати компензирају се добро оиганизованим и постепеним учењем. Наиме, могућност учениковог учења значајно зависи о способности да се садржај учења презентује у облику у којем га ученик може усвојити.

Главни услов учења неједначина је постојање одговарајућег предзнања, а то је знање успоређивања бројева, те знање бројева који се налазе измеду двају заданих бројева. Прије учења неједначина ученик би требао знати именовати или написати бројеве мање односно веће од заданог броја, а такођер именовати све

37

бројеве између два броја. То је потребно јер је такво знање садржано у неједначинама и представља средство разумијевања. Будући да се усваја већ при упознавању бројева до 10, 20, 100, са сигурношћу се може претпоставити да сви њиме располажу, чиме се учење неједначина своди на усвајање начина на који се математичким знаковима приказује већ познат математички садржај, јер именовати све бројеве мање од 6 значи ријешити неједначину а < 6. И управо на то се мисли када се каже да усвајањем програма почетне наставе математике ученици заправо усвајају значење које се придружује одговарајућим математичким знаковима.

Упознавање неједначина ученици свладавају постепено и на хеурисиички, откривалачки начин па се, у складу с тим, неједначине обрађују овим редони: а < 4, а > 3, 2 < а < 7, 2 + а < 9 итд. Тако се остварује захтјев да се помоћу једноставнијих усвајају сложенији математички садржаји. Неједначине облика а < 5 и а > 5 укључене су у сложенију неједначину облика 2 < а < 5 која се усваја знањем једноставнијих. Сложена неједначина облика 3 < а < 9 садржи два услова зато што бројеви који су њезино рјешење морају испунити два услова — морају бити већи од 3 и мањи од 9. То у још већој мјери вриједи и за неједначине у којима се налази рачунска операција. Што више услова неједначина садржи, то више мисаоних операција њезино рјешење захтијева. Дакле, обрађујући неједначине, идући од једноставнијих према сложенијима, постепено ученике оспособљавамо за све сложеније и квалитетније мисаоне операције.

Циљ хеурисиичког поступка у рјешавању неједначина је подстакнути ученике да самосталним експеримeнтисањем откривају бројеве који су рјешење задане неједначине. Тај се поступак састоји у уврштавању бројева у задану неједначину све док се не пронађу они који су њезино рјешење, како ријешити нпр. задатак а < А. Корисно је саслушати евентуалне ученичке приједлоге о рјешењу. Бројеви се у неједначину могу уврштавати или служећи се картончићима с написаним бројевима 1, 2 0, 4 или без те помоћи, тј. искључиво мисаоним радњом. Но у оба случаја треба указивати да се у сврху рјешења траже бројеви мањи од 4 и усмјеравати на исправан начин размишљања - сваки уврштени број успоредити са заданим те утврђивати је ли он рјешење неједначине. Ако, дакле, умјесто а уврстимо број 1, долази се до неједнакости 1 < 4, што је истина, па је тај број рјешење неједначине ; ако умјесто а ставимо број 0, биће 0 < 4 што је такођер истина па је и то рјешење неједначине. Ако, међутим, ставимо умјесто а број 5, имаћемо 5 < 5, што није исиина, па зато тај број није рјешење неједначине. Омогуђмо ли ученицима да постепено уврштавају бројеве и да процјењују јесу ли ти бројеви рјешење задане неједначине створићемо услове да активно и самостално раде на втаститом образовању. Током тог рада треба имати много стрпљења и ученицима дати прилику и вријеме за такав рад.

Осим на хеуристички начин ученици ће неједначине (прва три облика) рјешавати и помоћу бројевне линије. Уз помоћ те линије неједначина облика а < 8 рјешаваће се тако што ће се на њој пронаћи тачка којој је придружен број 8 и очитати сви бројеви мањи од 8. Слично се поступа и с другим неједначинама. Рјешавање неједначина у којима се јављају рачунске операције треба рјешавати хеуристичким поступком, тј. стварним или мисаоним уврштавањем бројева у задану неједначину. Оба ова поступка, хеуристички и помоћу бројевне линије, треба сматрати помоћним средством којим се остварује коначна сврха, а то је

38

оспособити ученике да их рјешавају искључиво мисаоним радом без помоћи очигледних средстава.

Зависност збира и разлике о члановима. Наставни садржаји означени тим терминима оспособљавају ученике у разумијевању начина на који бројевне вриједности збира и разлике зависе о бројевним вриједностима чланова — сабирака односно умањеника и умањитеља. Сличне функционалне зависности упознаваће се у множењу и дијељењу.

У подручју сабирања упознавају се сљедеће зависности збира о сабирцима:

а + б = ц а + б = ц а + б = ц(а + x) + б = ц + x (а - x) + б = ц - x (а + x) + (б - x) = ц

Дакле, један се сабирак увећава за x, други је непромијењен, збир се увећава за x; један се сабирак умањује за x, други је непромијењен, збир се умањује за x; један се сабирак увећава за x, други се умањује за x, збир остаје непромијењен. У одузимању треба упознати својство сталности или непромјенљивости разлике, тј. да се разлика не мијења ако се умањенику и умањитељу дода, или одузме исти број:

а — б = ц а — б = ц(а + x) - (б + x) = ц (а - x) - (б - x) = ц

Познавање тога својства разлике има далекосежне импликације јер се њиме ученици користе у писменом одузимању вишецифрених бројева у којих су фактори појединих декадских јединица умањеника мањи од фактора одговарајућих декадских јединица уманитеља. Зато знање сталности разлике постаје средство стицања новог знања, што је разлог да се трајно и с разумијевањем усвоји.

Методичка интерпретација те наставне грађе укључује три елемента: промјену бројевне вриједности чланова једнакости, посматрање и откривање утицаја промјене на збир односно разиику

те, формулисање одговарајућег закључка.

Утицај промјене бројевне вриједности једног члана једнакости на резултат дознаје се успоређивањем резултата задане и резултата добивене једнакости:

7 + 3 = 10(7 + 2) + 3 = 9 + 3 = 12Закључак о промјенама бројевних вриједности појединих чланова једнакосии

биће ваљан буде ли се темељио на узроку, тј. врсти или природи промјене и буде ли садржавао посљедицу, односно начин на који тај узрок дјелује на резултат. На примјер: један сабирак је увећан за x (узрок) па се зато збир увећао за x (посљедица). То су главни елементи обраде наставне грађе и не могу се изоставити без штете за коначни резултат учења.

Ту грађу треба обрађивати и усвајати постепено, дио по дио, с ослонцем у одговарајућим радњама са скуповима конкретних предмета (дидактички материјал). Редослијед обраде је овакав:

a) увећавање једног сабирка (други је сталан),b) умањивање једног сабирка (други је сталан),c) непромјенљивост или сталност збира,

39

d) непромјенљивост или сталност разлике.Због заједничких елеменма у тим садржајима редослијед обраде омогућује

брже усвајање и потпуније разумијевање. Знају ли се нпр. садржаји а) и б), без тешкоће ће се усвојити садржај ц) који укључује претходне па зато и није нека новост. Знање садржаја ц) олакшаваће усвајање садржаја д) који, и поред различите рачунске операције, имају заједничке елементе што је основица разумијевања.

Бројевни односи у тим садржајима конкретизују се одговарајућим радњама са скуповима предмета.

Имамо ли нпр. 3 трокута и 2 круга, удружени скуп ће садржавати 5 елемената. Додамо ли скупу кругова 1 правоугаоник, број елемената у удруженом скупу увећаће се за 1; вратимо ли се на полазно стање те скупу кругова додамо 2 правоугаоника, број елемената у удруженом скупу увећаће се за 2 итд. Уз помоћ таквих радњи увиђа се како се број елемената у удруженом скупу увећава зависно о увећавању броја елемената у једном од скупова.

На сличан начин, одузимајући од једног или другог скупа одређени број елемената, ученици ће дознати како се умањује број елемената у удруженом скупу.

Сталност или непромјенљивост зброја конкретизује се тако да се поставе два скупа, затим се удружују и утврђује се број елемената у удруженом скупу. Након тога, поновно се поставе та два скупа па се затим од једног одузима, а другом додаје исти биој елемената (1, 2 ...), скупови се удружују и утврђује број елеменала у удруженом скупу. Направи такав примјер са дидактичким материјалом!

Такве радње са скуповима дидактичког материјала изводиће ученици откривајући како се, зависно о промјени броја елемената у скуповима, мијења, односно не мијења број елеменаиа у удруженом скупу. Да би се то постигло, ученици требају властитом активношћу откривати односе и везе меду бројевима у радњама са скуповима. Не смије се заборавити говорно образлагање, то средство трансформисања радњи у менталне операције с појмовним објектима. Сталност или непромјенљивост разлике обрађиваће се на сличан начин користећи се знањем о увећавању односно умањивању заданог броја. Подстицајно је поћи од проблема: Шта се може учинити са члановима разлике 8 — 3 = 5, а да разлика остане иста, непромијењена? Ослањајући се на претходно знање о сталности збира, ученици дају различите одговоре, што је знак да о постављеном проблему размишљају, да их подстиче на активност и да грађу треба обрађивати према принципу: мијењати бројевну вриједност чланова, уочити промјену бројевне вриједности разлике на више примјера, те формулисати одговарајући закључак. Имамо ли нпр. једнакост 8 — 5 = 3 и промијенимо ли бројевну вриједност чланова тако да им додамо број 2, биће (8 + 2) - (5 + 2) = 10- 7 = 3. Успоређујући разлике прве и добијене једнакости, уочиће се посљедица, тј. чињеница да се разлика није промијенила. На исти се начин објашњава непромјенљивост разлике када се чланови умањују, Генераиизација својства непромјенљивости разлике мора се утемељити на мноштву ријешених задатака и на исправној вербалној формулацији њезина садржаја. Разумијевању зависности збира и разлике о члановима придоноси рјешавање задатака који садрже само неке претпоставке потребне за рјешење. Такви су задаци:

40

а + б = ц (а + x) + б = ц + 3 x =

а + б = ц (а + x) + (б - 4) = ц x =

а + б = ц а + (б - x) = ц - 2 x =

а - б = ц (а - 5) - (б - x) = ц x =

а — б = ц (а + x) — (б + 6) = ц x=

Слични задаци подстичу ученике на размишљање да, анализирајући услове садржане у задатку, проналазе одговарајуће рјешење. У првом примјеру, из чињенице да се збир увећао за 3, ученик ће закључити да је то могуће само ако је x = 3, тј. ако је један од сабирака увећан за 3. Слични се проблеми налазе и у примјерима осталих задатака, па ученике треба упутити да их пажљиво посматрају повезујући шта је у њима познато с оним шта је непознато како би дошли до рјешења. Због богатства мисаоних активности, рјешавање таквих задатака врло је корисно јер позитивно утиче на развијање интелектуалних способности ученика.

41

САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ БРОЈЕВА ДО 1ООО И ДАЉЕ

Ова цјелина садржи усмено и писмено рачунање. Све што ученици уче о сабирању, одузимању, множењу и дијељењу у другом и трећем разреду обично се убраја у тзв. усмено рачунање. У четвртом разреду, медутим, учи се и други поступак у рачунању који се традиционално назива писмено рачунање. Будући да се понекад јављају нејасноће о значењу и улози усменог и писменог рачунања у почетној настави математике, размотрићемо главне аспекте тих облика рачунања.

Прво питање везано је уз термин усмено и писмено рачунање. У почетној настави математике тим се терминима означавају различити поступци израчунавања збира, разлике, производа и количника заданих бројева. Треба имати на уму да ти термини нису најприкладнији зато што недовољно тачно објашњавају појмовни садржај који би требали изразити. Израз усмено рачунање упућује на помисао да се рачун изводи усмено, напамет, без записивања, а израз писмено рачунање упућује на помисао да се рачун изводи само писмено. Истина је, пак, да усмено рачунање садржи елементе писменог (дјелимичне се радње записују), а и писмено рачунање садржи елементе усменог (дјелимични се резултати израчунавају усмено, напамет). Зато термине усмено и писмено рачунање прихватамо као конвенционалне, договорене изразе којима означавамо различите начине израчунавања резултата. Ознаке усмено и писмено нису важне за начин на који се рачунање изводи. Погледајмо који се садржаји означавају тим терминима.

Усменим рачунањем називамо постнпак којим се задани бројеви ради израчунавања збира, разлике, производа и количника на различите начине раставијају и састављају. За тај поступак су карактеристична ова два обиљежја:

бројеви којима се оперише растављају се како би се лакше дошло до резултата и,

друго, дјелимичне се радње изводе усмено, напамет, а дјелимични се резултати записују.

Начин на који се бројеви растављају и састављају у усменом рачунању није одређен, жто омогућује да се изаберу најразлидтији путеви до резултата. Могућност да се бројеви на различите начине растављају и да се на различите начине долази до резултата позитивно утиче на развој учениковог стваралачког мишљења. У усменом рачунању размишљање није фиксирано алгоритмом, мисао је покретљива и садржајем богата. Управо то је главна позитивна карактеристика усменог рачунања у почетној настави математике.

Писменим рачунањем назива се поступак у којем се бројеви не растављају и састављају, већ се по одређеним правилима оперише мјесним вриједностима цифара у поједином бројевном систему, најчешће декадском. За тај су поступак важна ова обиљежја:

42

оперише се мјесним вриједностима цифара и, друго, поједине дјелимичне радње изводе се и записују по тачно

одређеним правилима.Због рада с позицијским вриједностима цифара тај је поступак

апстрактнији и више формализован од усменог рачунања, што понекад доводи до његовог фомалистичког усвајања. Писмено рачунање практично је и економично средство за израчунавање резултата које штеди вријеме и снаге онога ко рачуна. То је велика предност у настави математике, али и у свакодневном животу.

Дакле, нека су обиљежја тих двају поступака рачунања заједничка, а нека различита.

Заједничка су им ова обиљежја: записивање дјелимичних радњи - и у једном и у другом поступку

резултати тих радњи се записују, извођење дјелимичних радњи - у оба поступка те се радње изводе

напамет, усмено.Насупрот заједничких налазимо ова различита обиљежја: у усменом рачунању бројеви се на различите начине растављају и

састављају — у писменом то се најчешће не чини, начин на који се у усменом рачунању изводе дјелимичне радње није

одређен, није прописан, а у писменом је тачно одређен, начин на који се израчунавају збир, разлика, производ и количник у

писменом је рачунању увијек исти, одређен је алгоритмом дотичне операције - у усменом рачунању може бити врло различит,

интелеклуалне способности у оба начина рачунања нису подједнако ангажовање — усмено рачунање много више од писменог подстиче и активира мишљење, памћење, пажњу и сл.

Опћенито, усмено је рачунање теже од писменог управо зато што више и снажније ангажује различите интелектуалне процесе као што су мишљење, пажња, памћење, предочавање и сл. Проналажење мисаоног пута који води до резултата, извођење дјелимичних радњи и памћење њихових резултата, растављање и састављање бројева, предочавање и замишљање веза и односа меду бројевима, менталне су операције које изискују значајан интелектуални напор. У писменом рачунању тај је напор мањи јер су операције које се изводе обимом и садржајем мање, а неке се и посве искључују (нпр. растављање и састављање бројева).

Имајући све то на уму, поставља се питање је ли усмено рачунање уопште потребно у почетној настави математике или ученике треба уводити само у поступак писменог рачунања? И поред тога што је усмено рачунање теже и што захтијева више времена него писмено, мора се његовати у почетној настави математике, и то због најмање трију разлога: васпитно-образовног, дидактичко-методичког и практичног (свакодневни живот).

Васпитно-образовни разлог састоји се у чињеници да усмено рачунање више него писмено развија интелектуалне способности ученика. А како је задатак почетне наставе математике да васпита и развија психичке способности ученика, природно је да се у ту сврху искористи средство које то омогућује, тј. усмено рачунање. Већа. васпитно-образовна вриједност усменог рачунања произлази из већег ангажовања интелектуалних способности. Тај облик рачунања богатији је

43

мисаоним активностима те зато у васпитном погледу и ефикаснији. Зато се може реци да, с обзиром на развијање интелектуалних способности, усмено рачунање надилази писмено па га у настави треба досљедно проводити.

Дидактичко-методички разлози који условљавају усмено рачунање произлазе из начина на који се оно изводи. С обзиром на начин извођења, усмено је рачунање једноставније и у извјесном смислу конкретније него писмено.

Осим споменутих разлога у прилог усменог рачунања говоре и потребе дневног живота с мноштвом ситуација у којима се једноставнији примјери рачунања морају изводити усмено, напамет, у мислима, без оловке и папира. Међу задацима који се постављају почетној настави математике је и оспособљавање ученика у примјени математичког знања у практичном, свакодневном животу. Усмено рачунање с бројевима до 1000 врло је погодно за остваривање таквог задатка.

Будући да у усменом рачунању поступак није прописан, питање је треба ли ученик сам бирати начин рачунања ли ће му се предложити најсврсисходнији? Одговор би се могао сажети овако: Треба предлагати релативно најекономичнији поступак израчунавања резултата, али ученике такодер подстицати да се користе и поступком који ће евентуално сами пронаћи. Став се образлаже сљедећим чињеницама. Ученик није увијек кадар у усменом рачунању сам пронаћи најекономичнији пут до рјешења задатка. Не може то увијек учинити јер му најчешће недостаје цјеловит преглед пута који мора пријећи. Видљиво је то у подручју усменог множења и дијељења гдје се понекад морају свладати значајне тешкоће да би се дошло до резултата. У таквим приликама разумно је предложити поступак којим ће се уз релативно мален напор доћи до рјешења.

Дио ученика властитим снагама није у стању пронаћи рационалан поступак усменог рачунања, а дио ученика тек уз значајне тешкоће и велик напор проналази начин израчунавања. Разлози економичности налажу да онај ко зна (наставник) покаже пут ономе ко не зна (ученик).

Поступак који се предлаже има у усменом рачунању шире, опћенитије значење и вриједи за више сличних случајева, а не само за један. Тако је нпр. поступак усменог сабирања и одузимања двоцифрених бројева једнак ономе за сабирање и одузимање троцифрених и вишецифрених бројева. Није вјерватно да ће ученици властитим снагама увијек пронаћи такав поступак који вриједи за више сличних ситуација.

Поступак који се у усменом рачунању предлаже има заједничких елемената с поступком писменог рачунања, премда та обиљежја нису увијек непосредно видљива. Такав поступак у усменом рачунању најнепосредније припрема за разумијевање поступка писменог рачунања. С обзиром на то, није вјероватно да би ученици у усменом рачунању пронашли поступак који би истовремено омогућавао учење и схватање писменог рачунања.

Имајући све то на уму, може се закључити да ће се у усменом рачунању ученицима предложити сврсисходан и економичан начин израчунавања резултата упућујући их да се њиме интелигентно и стваралачки користе. Али не смију се спречавати у проналажењу властитог пута до резултата, пазећи притом да се проналажење властитог поступка не равна по принципу покушаја и погрешака. Тамо гдје су

44

ученичке снаге недовољне помоћи ће наставник предлажући пут до рјешења како би се уштедило вријеме и избјегло непотребно напрезање.

УСМЕНО САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ БРОЈЕВА

Градиво усменог сабирања и одузимања до 1 000 обухвата ове садржаје: сабирање и одузимање вишеструког садржиоца броја 100, нпр. 400 +

300, 800 - 500, сабирање троцифреног и једноцифреног броја те одузимање

једноцифреног броја од троцифреног, нпр. 567 + 8, 869 — 7, сабирање троцифреног броја и вишеструког садржиоца броја 10 те

одузимање вишеструког садржиоца броја 10 од троцифреног броја, 638 + 50, 735 - 60,

сабирање троцифреног и двоцифреног броја те одузимањедвоцифреног броја од троцифреног, нпр. 457 + 42, 864 — 57,

сабирање троцифрених бројева и одузимање троцифрених бројева, нпр. 357 + 243, 867 - 432.

Методички распоред одређен је структуром наставне грађе (сложенији примјери укључују једноставније који се прије усвајају), дидактичким принципом поступности (од лакшег ка тежем, од једноставног ка сложеном), те сазнајним разлозима (помоћу једноставних усвајају се сложенији примјери сабирања и одузимања).

Учење нових садржаја заснива се на знању сабирања и одузимања до 20 и до 100. Да би се то осигурало, проводе се одговарајућа вјежбања и понављања, а према потреби неки се ученици упућују и у допунску наставу како би и они најслабији располагали одговарајућим предзнањем.

Ново градиво треба објашњавати на довољном броју одговарајућих примјера, тј. оних који садржајем и обликом чине скуп задатака с истим обиљежјем.

Трајно усвајање градива ове цјелине захтијева одговарајућа вјежбања и понављања што се постиже правилном организацијом и извођењем вјежбања и понављања, властитом активношћу ученика, примјеном стеченог знања те накнадним повременим понављањем. Да би се ученици оспособили у примјени стеченог знања сабирања и одузимања, треба рјешавати одговарајуће текстуалне задатке и задатке с величинама, Извори таквих задатака су уџбеник, насиавни листићи, збирке задатака, наставник и ученици.

Поступак усменог сабирања и одузимања троцифрених и вишецифрених бројева је овакав:

други члан се раставља на зир стотица, десетица и јединица, затим се првом члану додаје, односно од њега одузима најприје број

стотица, па број десетица и затим број јединица. Знаковима приказан тај поступак је овакав:

Дужи облик:432 + 245= 432 + (200 + 40+5) = (432 + 200) + 40 + 5 = (632 + 40) + 5 = 672 + 5 = 677Краћи облик :432 + 245 = 677

односно за одузимање

45

586 - 235 = 586 - (200 + 30 + 5) = 586 - 200 - 30 - 5 = 386-30-5 = 356-5 = 351Краћи облик:586- 235 = 351

У почетку треба записивати све дјелимићне операције, тј. растављање другог члана и постепено сабирање односно одузимање. Кад ученици схвате поступак, записивање дјелимичних радњи може се изоставити, али задржавајући исти ток мишљења - замишљати и у свијести растављати други члан те у свтјести изводити све дјелимичне радње. Дакле, размишљање тече овако: 432 + 256 једнако је „432 + 200 је 632, више 50 је 682, више 6 је 688. Запис ће бити: 432 + 256 = 688.

Када се усменим поступком сабирајуи и одузимају троцифрени (вишецифрени бројеви), може ли се рачунаии тако да се међусобно сабирају односно одузимају фактори декадских јединица? На тај би се начин задатак 453 + 532 ријешио овако: 2 више 3 је 5, 3 више 5 је 8, 5 више 4 је 9 записујући притом дјелимичне резултате на одговарајуће мјесто. Аналогно томе изводи се и одузимање. Дакако и на тај се начин могу израчунавати збир и разлика двају бројева, али то није усмено, већ писмено рачунање. Иако се можда чини лакшим од прије изложеног поступка усменог сабирања и одузимања, не треба се тиме користити у подручју усменог рачунања. У васпитању и образовању не бирају се увијек најлакши путеви, већ они који боље и потпуније остварују постављене васпитно-образовне задатке.

У вези с том наставном грађом треба истакнути и ово: Обзиром на велику васпитно-образовну вриједност усменог рачунања до 1 000, врло је корисно кад се пријеђе на писмено рачунање, понеки задатак рјешавати усменим рачунањем. Прешавши на писмено рачунање, методички није прихватљиво посве напустити усмено рачунање. Наставник би требао након неколико задатака ријешених писменим поступком, ученицима дати неке задатке које би рјешавали усменим поступком. Таква комбинација мисаоних дјелатности позитивно утиче на развијање интелектуалних способности ученика, али и на боље разумијевање рачунских операција. Корисно је, такођер, исти задатак ријешити и усменим и писменим поступком, а затим с ученицима идентификовати заједничке и различите елементе у оба поступка.

ПИСМЕНО САБИРАЊЕ БРОЈЕВА

Први корак у писменом рачунању је упознавање поступка писменог сабирања. Градиво писменог сабирања има сљедећи методички распоред:

сабирање бројева у којих збир фактора одговарајућих декадских јединица није већи од 9,

453

+236

сабирање бројева у којих је збир фактора јединица већи од 9, 536

46

+ 249

сабирање бројева у којих је збир фактора десетица већи од 9,

75 483+ 93 +175

сабирање бројева у којих су збирови фактора јединица и фактора десетица већи од 9,

397 + 278

сабирање бројева у којих су збирови фактора неких или свих декадских јединица већи од 9,

578 + 987

Такав методички распоред имплицира захтјев да се прије усвајања сложенијих примјера сабирања осигура знање сабирања лакших и једноставнијих примјера, те захтјев да се при обради указује на заједничке елементе у старом и новом садржају.

Главни елементи поступка писменог сабирања који се усвајају су: сабирање фактора декадских јединица, тј. једноцифрених бројева, сабирање фактора истих декадских јединица који се записују један

испод, односно изнад другога, сабирање започиње од фактора најмање декадске јединице одозго

према доље или одоздо према горе, ако је збир фактора појединих декадских јединица већи од 9 тада:

- број јединица пишемо у ступац јединица, а број десетица додајемо збиру десетица,

- број десетјца пишемо у ступац десетица, а број стотица додајемо збиру стотица,

- број стотица пишемо у ступац стотица, а број хиљадица додајемо збиру хиљадица итд.

Предзнање потребно за усвајање писменог сабирања укључује: знање сабирања једноцифрених бројева до степена аутоматизације (таблица

сабирања), знање декадског састава бројева и мјесних вриједности цифара, знање декадских јединица и фактора декадских јединица, те знање писања вишецифрених бројева у облику збира вишеструких

садржиоца декадских јединица. Зато прије поласка у ново учење треба систематски понављати те садржаје

одвајајући за то потребно вријеме.

47

Да би се садржај поступка писменог сабирања усвојио с разумијевањем, корисно је његове елементе приказати на примјеру сабирања двају двоцифрених бројева пишући их један испод односно један изнад другога. Сабирање бројева 43 и 35 може се приказати овако:

4 десетице + 3 јединице 40 + 3 4 x 10 + 3 x1+ 3 десетице + 5 јединица +30 + 5 3x10 + 5 x 1

7 десетица + 8 јединица 70 + 8= 78 7 x 10 + 8 x 1=78

Писмено сабирање троцифрених бројева корисно је у почетку објашњавати постепено, записујући сабирке на три начина:

1. начин: сабирци се растављају на збир вишеструких садржиоца декадских јединица:

432 + 246 = 4 x 100+ 3 x 10+ 2 x 1_________+ 2 x 100 + 4 x 10 + 6 x 1

6 x 100 + 7 x 10 + 8 x 1 = 678

Сврха овог објашњења је двојака:

схватити да се сабирају фактори декадских јединица а не декадске јединице, те

да сабирање започињемо од фактора најмање декадске јединице.

Практична вриједност сабирања, полазећи од фактора најмање декадске јединице, у потпуности ће се разумјети кад се буду сабирали бројеви у којих је збир фактора неких декадских јединица већи од 9. Зато већ од почетка треба уводити праксу да се сабира по-лазећи од јединица. Треба такођер објаснити значење водоравне црте - то је знак једнакости и пише се испод посљедњег сабирка, затим писање знака • + - који стоји испред посљедњег сабирка, као и чињеницу да сабирати можемо почевши одоздо према горе или одозго према доље. У почетку је корисно сабиратио одозго према доље ради тачнијег потписивања дјелимичних збирова.

2. начин: сабирци се уписују у таблицу мјесних вриједности:

С Д Ј4 2 3 4 2

66 7 8

48

Такав приказ поступка сабирања омогућује учење правилног поиписивања — фактори истих декадских јединица потписују се један испод другога у исти ступац. Потреба правилног потписивања посебо је изражена при сабирању више сабирака с различитим бројем цифара, а разумијевању тога помаже управо таблица мјесних вриједности. Но да би томе и послужила, ученике треба подсјетити да садржи ступац јединица, ступац десетица, итд., да је вриједност цифре уписане у лијеви ступац 10 пута већа, да се ступац јединица налази на 1. мјесту, ступац десетица на 2. мјесту итд., те да се у поједине ступце уписују фактори одговарајућих декадских јединица. Истиче се важно: Сабирају се фактори истих декадских јединица (који се пишу у исии ступац), сабирање почиње од фактора најмање декадске јединице, сабирамо одозго према доље.

3. начин; Сабирке пишемо један испод односно изнад другога тако да се фактори истих декадских јединица налазе у истом ступцу:

4 3 2

+ 2 4 6

То је коначни и најкраћи запис поступка писменог сабирања који ученици усвајају. У њему су садржани сви елементи из претходних начина објашњавања, а напуштени су они чија је сврха била дидактичка, тј. да омогуће учење и исправно разумијевање.

Током свих објашњавања, осим фактора треба именовати и декадске јединице чији се фактори сабирају, па зато треба говорити: 2 јединице више 6 јединица је 8 јединица, 3 десетице више 4 десетице је 7 десетица, 4 стотице више 2 стотице је 6 стотица. Именовање је потребно да би се спријечило евентуално сабирање фактора различитих декадских јединица. Медутим, кад ученици схвате поступак писменог сабирања вербализација се скраћује изостављањем имена декадских јединица изговарајући само сабирање фактора: 2 и 6 је 8, 3 и 4 је 7, 4 и 2 је 6 записујући дјелимичне збирове у одговарајуће ступце табиице мјесних вриједносии.

Потом се обрађују сложенији примјери сабирањау којих је збир фактора појединих декадских јединица већи од 9 што уноси нов елемент у поступак писменог сабирања: дио збира фактора појединих декадских јединица додаје се збиру непосредно веће декадске јединице — десетица, стотица .,. зависно о томе збир фактора којих декадских јединица је већи од 9. Зато је један од услова учења сабирања таквих бројева знање декадског састава бројева и знање мјесних вриједности цифаара.

Сабирање бројева у којих је збир фактора појединих декадских јединица већи од 9, треба најприје упознати сабирајући двоцифрене бројеве. У ту сврху може се поћи од питања како сабрати бројеве 47 и 38? Један одговор може бити: бројењем, почевши од 47 за 38, добија се зброј 85. Но то је усмено сабирање, а задатак треба ријешити писменим поступком. Објашњење таквих примјера писменог сабирања може се поткријепити одговарајућом демонстрацијом (ученици је изводе својим дидакдчким материјалом). Дакле,

47 Овај поступак сабирања може се извести помоћу дидактичког

49

+38 материјала и то картончића који означавају десетице и ___ картончића који означавају јединице НПР: 4 картончића 85 десетица и 7 картончића јединица конкретизују број 47, а 3 картончића десетица и 8 картончића јединица конкретизују број 38.Исти примјер може се затим изложити без очигледне подлоге ослањајући се на знање декадског састава сабирака

4 десетице + 7 јединица + 3 десетице + 8 јединица7 десетица + 15 јединица7 десетица + 1 десетица + 5 јединица

(7 десетица + 1 десетица) + 5 јединица8 десетица + 5 јединица = 85

Уз помоћ таблице мјесних вриједности поступак се рационализује:

Д Ј4 7

3■

8

8 5

Коначно, на уобичајени начин, без визуелне помоћи, водећи рачуна о исправном потписивању сабирака, запис је:

47

+ 38

85

То ће бити добра припрема за учење сабирања вишецифрених бројева у којих су збирови неких (или више) фактора декадских јединица већи од 9.

Сабирање троцифрених бројева у којих је збир јединица већи од 9 као у примјеру 437 + 249 објашњава се најприје уз помоћ таблице мјесних вриједности, а затим без те помоћи.

с Д Ј4 3 7

2 4 9

1 16

6 8 6

50

Истичу се главни елементи поступка писменог сабирања: Сабирају се фактори истих декадских јединица (бројеви јединица, бројеви десетица итд.), сабира се почевши од фактора најмање декадске јединице, и то одозго према доље или обратно). Нов елемент у сабирању бројева је додавање дијела збира фактора јединица збиру фактора непосредно веће декадске јединице, тј. збиру десетица. Да би се то исправно схватило, збир јединица (који је већи од 9 и износи 16) у првим објашњењима пишемо у ступац јединица. Но, како број 16 садржи 6 јединица и 1 десетицу, 6 јединица пишемо у ступац јединица, а једну десетицу додајемо збиру десетица.

Сабирање тих бројева без помоћи таблице усваја се као коначни облик писменог сабирања, тако се таблица изоставља. У почетку је корисно записивати додавање дијела збира фактора јединица збиру десецица. Запис је овакав:

437

+249 и коначно 437

1 + 249

_______ ____________

686 686

При обради треба пазити на садржај говорног објашњавања. Говоримо: 7 јединица више 9 јединица је 16 јединица, 6 јединица пишемо у ступац јединица, а 1 десетицу додајемо збиру десетица. Већ од почерка треба сузбијати евениуалну тенденцију да се говори како једну десетицу "преносимо" даље, јер уистину ништа се не преноси, него се сабира. Кад се у основи усвоји поступак сабирања таквих бројева, говор се још више скраћује, а напосљетку и потпуно изоставља.

Сабирање бројева у којих је збир фактора десетица већи од 9 такођер се најприје објашњава у таблици мјеснх вриједности, а затим изван ње.

С Д Ј341

4

8 6

23

8 14 58 4 5

382 382 +463 + 463 1 _____ _____ 845 845

Будући да је збир десетица 14, а да су то 4 десетице и 1 стотица, 4 десетице пишемо у ступац десетица, а 1 стотицу додајемо (сабирамо) збирустотица.

На сличан начин објашњавају се и остали примјери сабирања таквих бројева, истичући да се дио дјелимичног збира записује у одговарајући ступац, а дио у

51

ступац непосредно веће декадске јединице. Кад се сабира више сабирака, збир фактора неких декадских јединица може бити веии и од 99 што се обрадује након упознавања бројева до 10 000, 100 000, 1 000 000 и приликом сабирања висецифрених бројева. Ако је, нпр, збир фактора јединица 123, тада 3 јединице пишемо у ступац јединица, а 12 десетица додајемо збиру десетица, или, ако је збир десетица 137, тада 7 десетица пишемо у ступац десетица, а 13 стотица додајемо збиру стотица.

PROŠIRIVANJE POJMOVAMNOŽENJA I DIJELJENJA PRIRODNIH BROJEVA

Nakon početnog upoznavanja množenja i dijeljenja, ti se pojmovi upotpunjuju usvajanjem novih sadržaja kao što su tablica množenja i dijeljenja, komutativnost i asocijativnost za množenje, distributivnost množenja prema sabiranju, redoslijed izvođenja računskih operacija, brojevi 1 i 0 u množenju i dijeljenju, djeljivost brojeva i sl. Metodička obrada navedenih sadržaja realizuje se pretežno brojevima, ali u izuzetnim situacijama i očiglednim sredstvima kada je potrebno konkretizovati (vizualizovati ) sadržaje koji se usvajaju.

Obrada tablica množenja i dijeljenia brojeva. Obradom toga gradiva započinje sistematsko usvajanje množenja i dijeljenja u skupu brojeva do 100. Taj rad ima dalekosežno značenje jer se znanje koje učenici stiču koristi kao sredstvo za učenje složenijih sadržaja kao što su množenje i dijeljenje višecifrenih brojeva. Obradom tablica množenja i dijeljenja ostvarujii se ovi obrazovni zadaci:

a) shvatiti i usvojiti sve proizvode jednocifrenih brojeva i broja 10 (tablica množenja pojedinih brojeva),

b) shvatiti i usvojiti količnike dvocifrenih i jednocifrenih brojeva od npr. 5 : 5 do 50: 5 (tablica dijeljenja pojedinih brojeva),

c) usvojiti tablice množenja i dijeljenja do nivoa automatizovanosti,d) osposobljavati učenike u razumijevanju veza izmedu množenja i

dijeIjenja, množenja i sabiranja, te dijeljenja i oduzimanja,e) osposobljavati učenike u primjeni znanja tablica množenja i dijeljenja u

rješavanju odgovarajućih zadataka.Iz tako koncipiranih zadataka proizlaze posve određene implikacije za nastavnu praksu: redoslijed obrade, sadržaj i način metodičke interpretacije, uslovi i načini automatizovanja tablica množenja i dijeljenja te sadržaj i struktura nastavnog časa.

Kada je rijeć o obradi tablica množenja i dijeljenja, pitanje je kojim redom ih obrađivati i usvajati. Da Ii redom od 1 do 10 ili kojim drugim redoslijedom? Iz istorije metodike početne nastave matematike poznati su različiti redoslijedi obradivanja, a jedan se temelji na udvostručavanju brojeva pa se obrađuju ovim redom: tablica množenja broja 2, 4, 8, 5, 10, 3, 6, 9, 7. Iako takav redoslijed obrade ima određeno opravdanje, danas prevladava onaj koji se temelji na nizu prirodnih brojeva, prema kojem se tablice obrađuju počevši od brojeva 2 i 10, a zatim redom 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ovaj redoslijed ima više prednosti, a glavna je što omogućuje postepeno usvajanje polazeći od lakšeg prema težem. On je i logičan jer slijedi niz prirodnih brojeva koji učenici već otprije poznaju, a omogućuje i da se prethodno znanje iskoristi za sticanje novog što je važan faktor uspješnog učenja.

52

Redoslijed obradivanja tablica množenja i dijeljenja uslovljava i raspored usvajanja tablice množenja npr. broja 4 i tablice dijeljenja brojem 4. U praktičnoj realizaciji taj se problem rješava najćešće tako da se u jednom nastavnom času obraduje tablica množenja, u idućem tablica dijeljenja tim brojem, a u trećem času (tj. treći dan) istovremeno se usvajaju sadržaji obiju tablica. Na taj način povezuje se učenje množenja i dijeljenja, što omogućuje da se učvrsti spoznaja o povezanosti tih računskih operacija. Prema tome, redoslijed obrađivanja tablica množenja i dijeljenja bio bi ovakav: usvajanje tablice množenja npr. broja 3, zatim usvajanje tablice dijeljenja brojem 3, a nakon toga sintetičko usvajanje i množenja i dijeljenja tim brojem. Obzirom na relativno dugo vremensko usvajanje (oko dva mjeseca) i na sadržaj tablica množenja i dijeljenja, u nastavnom radu ponekad se zapažaju znaci jednoličnosti i monotonije. Da bi se to spriječilo, treba mijenjati načine rada i vrste učeničkih aktivnosti. Posebno treba paziti da se svi primjeri množenja, odnosno dijeljenja ne prezentuju na isti naćin, nego različito, ali uvijek s istom svrhom razumijevanja i trajnog usvajanja. Izložićemo metodičko oblikovanje nastavnog časa i upozoriti na različite mogućnosti prezentovanja tablica množenja i dijeljenja.

Čas obrade tablice množenja broja 5 (6, 4, 3 ...). Nastavnim časom ostvaruju se ovi obrazovni zadaci:

a) izlažu se i usvajaju svi primjeri množenja broja 5 ostalim jednocifrenim brojevima i brojem 10, tj. od 1 • 5 pa do 10 • 5,

b) izgrađuje se spoznaja o povezanosli množenja i sabiranja; učenici seosposobljavaju da zbir istih brojeva prikazuju množenjem i, obratno,da množenje broja 5 prikazuju u obliku sabiranja istog broja,

c) množenje broja 5 jednocirenim brojevima i brojem 10 usvaja sedo nivoa automaiizacije; učenici se osposobljavaju da množenje izvode brzo, točno, s malim napororn i s malim učestvovanjem svijesti,

d) učenici se osposobljavaju da znanje množenja broja 5 primjenjuju u rješavanju odgovarajućih zadataka iz svakodnevnog života.

Ti se zadaci, dakako, ostvaruju i pri obradi tabiica množenja ostalih brojeva što na kraju rezultuje ukupnošću učeničkih znanja o množenju jednocifrenih brojeva. Da bi se tako postavljeni zadaci realizovali, u pojedinim dijelovima nastavnog časa provode se određene nastavne aktivnosti.

Priprema: Učenici se pripremaju za usvajanje množenja broja 5 ostalim jednocifrenim brojem. Relevantno predznanje osigurava se ponavljanjem tablica množenja prethodno obrađenih brojeva, u ovom slučaju brojeva 2, 3, 4 i 10, a provodi se usmenim i pismenim ponavljanjem.

Obrađivanje novog gradiva. U tom dijelu časa učenici se upoznavaju sa svim primjerima množenja broja 5 jednocifrenim brojem i brojem 10. Zajedničkim radom s ućenicima gradivo treba izložiti, prokomenttarisati svaki primjer i na kraju ga prikazati u obliku tablice množenja. Da bi se izbjegla jednoličnost u izlaganju, pojedine primjere množenja treba objašnjavati na različite načine, npr. udruživanjem jednakobrojnih skupova, sabiranjem istih brojeva prelazeći na množenje, tekstualnim zadacima, a također i tako da se iz poznatog primjera izvodi nepoznati (iz 5 • 5 izvodi se 6 • 5). Koristeći se tim mogućnostima, osiguraće se dinamičnost rada, aktivnost učenika i interes, a izbjeći monotonija koja nerijetko prati rad. Rezultat izlaganja novog gradiva

53

trebala bi biti na tabli (i u učeničkim sveskama) formirana tablica množenja broja 5 radi njezine daljnje upotrebe.

Vježbanje i ponavljanje. Zadatak je toga dijela časa da osigura trajnost usvajanja novog gradiva. Rad takoder mora biti dinamičan, što se postiže raznolikošću i stimulisanjem učenika. Evo nekoliko mogućnosti vježbanja i ponavljanja: kratko usmeno ponavljanje sadržaja tablice, pismeno ponavljanje koje se provodi uz pomoć udžbenika, nastavnih listića i zbirke zadataka, rješavanje odgovarajućih tekstualnih zadataka u kojima se zbir istih brojeva prikazuje u obliku množenja, a zadaci množenja u obliku zbira istih brojeva, postavljeni zadatak rješava se napamet, usmeno, a zapisuje se samo rezultat. Kombinujući različite načine ponavljanja, postići ce se trajnost znanja i, što je važno, razumijevanje novog gradiva.

Čas obrade tablice dijeljenja brojem 5 (6, 3, 7 ...). Nastavnim časovima obrade tablice dijeljenja ostvaruju se ovi obrazovni zadaci:a) shvatiti i usvojiti sve primjere iz tablice dijeljenja brojem 5, tj). od 5 : 5 pa do 50 : 5,

b)izgrađivati spoznaju o povezanosti dijeljenja i množenja obrazlažući dijeljenje množenjem (15 : 5 = 3 jer je 3 • 5 = 15),

c) te dijeljenja i oduzimanja (dijeleći uzastopnim oduzimanjem),d)usvajati tablicu dijeljenja brojem 5 do stupnja automatizacije,e)osposobljavati učenike u primjeni znanja dijeljenja brojem 5 u rješavanju

jednostavnih zadataka.

Priprema. Da bi se učenici pripremili za usvajanje novih sadržaja, provode se odgovarajuća ponavljanja tablice dijeljenja prethodno obradenih brojeva (4, 3, 2) i množenje broja 5 radi obrazlaganja dijeljenja množenjem. Ponavljanje se provodi na različite načine, usmeno, ili, što je još bolje, pismenim postavljanjem zadataka.

Obrada novog gradiva. U tom dijelu izlažu se sadržaji tablice dijeijenja brojem 5, objašnjava se i komentariše svaki primjer dijeljenja i kao rezultat nastaje kompletna tablica. Treba nastojati da rad bude dinamičan a učenici zainteresovani i aktivni. Zato pojedine primjere iz tablice dijeljenja treba izlagati na različite načine: rastavljanjem skupova na oba načina, uzastopnim oduzimanjem broja 5 od višestrukog sadržioca toga broja (od brojeva 50, 45, 30 itd.), rješavanjem odgovarajućih tekstualnih zadataka. Primjere dijeljenja treba obrazlagati suprotnom računskom radnjom, množenjem, pa će formirana tablica izgledati:

20 : 5 = 4 jer je 4 • 5 = 2045 : 5 = 9 jer je 9 • 5 = 45. Itd.Vježbanje i ponavljanje. Da bi se trajno usvojila tablica dijeljenja, treba provoditi odgovarajuća ponavljanja: usmeno ponavljanje tablice, pismeno ponavljanje uz pomoć udžbenika, listića i zbirki zadataka, rješavanje prikladnih tekstualnih zadataka, uzastopno oduzimanje broja 5 izraziti u obliku dijeljenja (npr. 15 - 5 = 10, 10 - 5 = 5, 5 - 5 = 0, 15 ; 5 = 3), a dijeljenje izraziti uzastopnim oduzimanjem (12 : 4 = 3 odnosno 12-4 = 8, 8 - 4 = 4, 4 - 4 = 0) i sve to na odgovarajući način obrazlagati. Postavljeni zadatak rješava se napamet, a zapisuje se samo rezultat. Sistematskim vježbanjem i ponavljanjem tablica dijeljenja postepeno će se usvojiti do stepena automatizacije i tako postati sredstvom sticanja novog znanja.

54

Tako u osnovi izgleda usvajanje tablica množenja i dijeljenja. U nekim situacijama biće, naravno, stanovitih odstupanja od izloženog predloška. Na primjer, nakon usvajanja množenja i dijeljenja brojeva 2, 3, 4, skraćvaće se a poslije i posve izostavijati aktivnosti s didaktičkim materijalom intenzivirajući radnje s brojevima. Važno je da budu zastupljene sve one radnje koje osiguravaju razumijevanje i trajnost usvajanja gradiva.U vezi s obradom tablica množenja i dijeljenja brojeva evo još nekoliko važnih napomena.Prvo je rijeć o terrainima „množenje broja 5“ odnosno "dijeljenje brojem 5“. Prvi izraz iskazuje da se broj 5 množi ostalim brojevima, a drugi izraz upućuje na to da se tim brojem dijele ostali brojevi. O razlici u izrazima treba voditi računa, pogotovo zato što se u školskoj praksi ti izrazi zamjenjuju i nepravilno upotrebljavaju. Tako npr. izraz „tablica dijeljenja broja 5“ govori da se taj broj dijeli drugim brojevima što u ovom slučaju nije točno.Značajan faktor usvajanja tablica množenja i dijeljenja je sistematsko i organizovano vježbanje i ponavljanje. Ono mora biti utemeljeno na razumijevanju, glavnom uslovu uspješnog učenja. Praksa pokazuje da se neuspjesi u usvajanju tablica množenja i dijeljenja najčešće mogu pripisati nedovoljnom razumijevanju, te neorganizovanom i nedosljednom vježbanju i ponavljanju. Radi automatizovanja množenja i dijeljenja svakodnevno treba provoditi jednominutno ili dvominutno brzo ponavljanje tablica. Najprikladniji način za to je ponavljanje u kojem se usmeno (nastavnik ili učenik) postavlja zadatak. Učenici ga rješavaju napamet, a u svesku zapisuju samo rezultate.Budući da se tablice množenja i dijeljenja usvajaju u dužem vremenskom razdoblju, izmedu obrade pojedinih tablica treba uključivati sadržaje kao što su komutativnost i asocijativnost za množenje, distributivnost množenja prema sabiranju, brojevi 1 i O u množenju i dijeljenju i sl. Na taj način sadržaji množenja i dijeljenja integrišu se u spoznajnu cjelinu i sprječava se jednoličnost i monotonija nastavnog rada.

Upoznavanje komutativnosti za množenje. Tim gradivom učenici usvajaju spoznaju da faktori mogu zamijeniti mjesta a da se brojevna vrijednost proizvoda neće promijeniti. Budući da učenici već poznaju zamjenu mjesta sabiraka, stiče se novo znanje o zamjeni mjesta faktora. Da bi se omogućio pozitivan transfer, prethodno treba obnoviti znanje o toj pojavi u sabiranju, a zatim ukazivati na zajedničke i različite elemente u dvije strukture znanja, zamjeni mjesta sabiraaka i zamjeni mjesta faktora.Sadržaj svojstva komutativnosti za množenje korisno je vizualizovati ovakvim grafičkim prikazom:O O O O 4 •2 = 8

O O O O 2•4= 8Posmatranjem se uočavaju 4 skupa, a u svakom po 2 elementa. Dakle, 4 • 2 = 8, ali takoder i 2 skupa po 4 elementa pa se dobiva 2 • 4 = 8. Posmatrajući, zatim, sadržaj toga svojstva među brojevima, nakon niza primjera izvodi se generalizacija: ako faktori zamijene mjesta proizvod se ne mijenja.

Upoznavanje uloge brojeva 1 i 0 u množenju. Učenici će upoznati činjenicu da broj pomnožen s 1 ostaje nepromijenjen (a • 1 = a), a pomnožen s 0 za rezultai daje nulu (a • 0 = 0). Budući da znanje uloge tih brojeva u množenju brojeva služi kao sredstvo za usvajanje složenijih primjera množenja (skraćeni postupci pismenog množenja), treba ga

55

usvojiti s razumijevanjem i trajno. Uloga broja 1 u množenju izlaže se pomoću sabiranja istih brojeva, prikazujući ga najprije očigledno, a zatim brojevima. o o o o o1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5Udruživanjem jednočlanih skupova odnosno sabiranjem njima pridruženih brojeva dobiva se zbir istih brojeva: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 koji se zatim piše u obliku množenja 5 • 1 = 5. Primjenom svojstva komutativnosti takoder se utvrđuje da je tačno i 1 • 5 = 5. Proširujući izlaganje korisno je ulogu broja 1 u množenju posmatrati i u odgovarajućim tekstualmm zadacima: Marko pokloni majci svaki dan 1 cvijet. Koliko će joj cvjetova pokloniti za 7 dana? Nakon takvih i sličnih primjera zaključuje se da broj pomnožen s 1 ostaje nepromijenjen. Sadržaj generalizacije povremeno treba obrazložiti sabiranjem istih brojeva i provjeravati rješavanjem odgovarajućh zadataka.Već otprije učenici su upoznali ulogu 0 u sabiranju i oduzimanju, a sada će doznati i njenu drukčiju funkciju. Pritom za njih može biti zanimljiva činjenica da nula, kao faktor proizvod čini nulom, pogotovo kad shvate da to vrijedi i za više faktora (na primjer 2 •3 • 1 • 0 • 5 = 0).Obrađivanje novog gradiva može se započeti množenjem brojeva 2, 3, 4 ... (npr. 4 • 3, 6 • 7 ...) ukazujući pritom da su brojevi koji se množe veći od 0, te da su proizvodi također veći od nule. Postavlja se pitanje, kakav će biti proizvod ako je jedan faktor 0, npr. 6 • 0? Saslušavši mišljenja učenika, koja znaju biti vrlo zanimljiva i raznolika, nastavnik novo gradivo objašnjava pomoću sabiranja istih brojeva (analogno s drugim brojevima). Dakle: 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 odnosno 6• 0 = 0. Zapis množenja treba zatim objasniti: broj 6 pokazuje koliko se sabiraka sabiralo, broj 0 pokamje koji je to sabirak , a broj 0 u proizvodu pokazuje da je zbir tih brojeva jednak 0. Koristetći se svojstvom komutativnosti, zaključuje se da vrijedi i obratno 0 • 6 = 0.

PlSMENO ODUZIMANJE BROJEVA

Pismeno oduzimanje brojeva prirodno se nastavlja na pismeno sabiranje s kojim ima niz zajednićkih elemenata. Medutim, neki primjeri pismenog oduzimanja brojeva stvaraju teškode koje se rješavaju odgovarajućim metodičkim postupcima. Metodički raspored gradiva pismenog oduzimanja je ovakav:

a) oduzimanje brojeva u kojih su faktoti svih dekadskih jedinica u umanjeniku veći od faktora odgovaraju&h dekadskih jedinica u umanjiocu.

867 - 4 3 2

b) oduzimanje brojeva u kojih je faktor jedinica u umanjeniku manji od faktora jedinica u umanjiocu.

9 6 2

- 4 3 7

56

c) oduzimanje brojeva u kojih je faktor desetica u umanjeniku manji od faktora desetica u umanjiocu.

728

- 362

d) oduzimanje brojeva u kojih su i faktori jedinica i faktori desetica u umanjeniku manji od tih faktora u umanjiocu.

623

- 3 8 7

e) oduzimanje brojeva u kojih su faktori nekih dekadskih jedinica u umanjeniku nule.

5 0 7 0

- 3 2 6 7

Rasporedom gradiva postepeno se usvajaju sve složeniji primjeri pismenog oduzimanja što obavezuje da se prethodno usvoje svi jednoslavniji primjeri uključeni u one složenije.

Elementi postepenog pismenog oduzimanja su:a) oduzimanje faktora dekadskih jedinica, tj. jednocifrenih brojeva,b) oduzimanje faktora istih dekadskih jedinica koji se potpisuju jedan

ispod drugoga,c) oduzimanje započinjemo od faktora najmanje dekadske jedinice, a

zatim se oduzimaju faktori neposredno veće dekadske jedinice itd.,

d) ako je faktor dekadske jedinice u umanjeniku (jedan ili više) manji od faktora odgovarajuće dekadske jedinice u umanjiocu, postupa se na različite načine:

- koristi se svojstvo nepromjenljivosti razlike- veća se dekadska jedinica preračunava u manju

e) tačnost oduzimanja provjerava se suprotnom računskom radnjom -sabiranjem. Neki elementi toga postupka zajednički su s postupkom pismenog sabiranja pa u obradi na to treba ukazivati kako bi se olakšao i skratio proces učenja, a novo znanje povezalo sa starim.Primjeri oduzimanja iz prve grupe zadataka izlažu se na tri načina skraćujući ih

postepeno sve dok se ne dode do najkraćeg, konačnog oblika zapisivanja pismenog oduzimanja.

1. način: umanjenik i umanjilac rastavljaju se na zbir višestrukog sadržioca dekadskih jedinica.

57

867-435 = 8·100+ 6·10+ 7·1

- (4·100+ 3·10+ 5·1)4·100 + 3·10 + 2·1 = 432

Kao u pismenom sabiranju, i ovim se zapisom pokazuje da se oduzimaju faktori dekadskih jedinica te da se oduzima počevši od fakktora najmanje dekadske jedinice. Govorimo: 7 jedinica manje 5 jedinica je 2 jedinice, 6 desetica manje 3 desetice je 3 desetice, 8 stotica manje 4 stotice je 4 stotice. U početku se osim faktora imenuju i dekadske jedinice, što se poslije izostavlja. Dakle, pri prvom upoznavanju koristimo se tkz. direktnim oduzimanjem, a kasnije će se oduzimati obratnom računskom radnjom tzv. aditivnim oduzimanjem tražeći broj koji dodat umanjiocu daje umanjenik. 2. način: umanjenik i umanjilac upisuju se u tablicu mjesnih vrijednosti.

S D J8 4

6 3

7 5

4 3 2

Svrha objašnjenja uz pomoć tablice je uputiti učenike u ispravno potpisivanje kako bi se izbjeglo eventualno oduzimanje faktora razlićitih dekadskih jedinica.

3. način: brojevi koji se oduzimaju pišu se jedan ispod odnosno iznad drugoga tako da se faktori istih dekadskih jedinica nalaze jedan ispod drugoga.

8 6 7 - 4 3 5 4 3 2

Korisno je usporediti sva tri načina oduzimanja ukazujući pritom na zajedničke elemente, tj. oduzimaju se faktori istih dekadskih jedinica i to počevši od faktora najmanje dekadske jedinice.

Budući da je oduzimanje radnja koja nije uvijek izvodiva u skupu prirodnih brojeva, njeno pismeno izvođenje u nekim zadacima stvara teškoće. Naime, u pojedinim bi zadacima od manjeg broja trebalo oduzeti veći, kao u primjerima gdje su faktori nekih dekadskih jedinica u umanjeniku manji od faktora odgovarajucfih dekadskih jedinica u umanjiocu. Oduzimanje takvih brojeva može biti otežano, što nerijetko rezultuje formalističkim znanjem. Metodičkim postupcima nastoje se otkloniti uzroci teškoća. Razmotrićemo dva postupka.

Jedan je tradicionalan u početnoj nastavi matematike. To je preračunavanje veće dekadske jedinice u neposredno manju: 1 desetica, 1 stotica, 1 hiljadica itd. preračunava se u neposredno manje - 1 desetica u 10 jedinica, 1 stotica u 10 desetica, 1 hiljadica u 10 stotica itd. Na primjer:

5 12

8 6 2

- 3 2 8

58

Da bi se brojevi oduzeli, 1 desetica u umanjeniku preračunava se u 10 jeciinica i dodaje jedinicama pa se tako dobija 12 jedinica (u početku to se i posebno zapisuje). Preračunavanjem umanjenik se tako oblikuje da se od većeg broja (12) oduzima manji (8), što je u skupu prirodnih brojeva izvodivo.

Slično se postupa u primjerima gdje je broj desetica u umanjeniku manji od broja desetica u umanjiocu. Na primjer:

6 12

7 2 8

- 3 8 4

od 7 stotica u umanjeniku 1 stotica se preračunava u 10 desetica pa se u umanjeniku dobija veći broj desetica (12) nego u umanjiocu (8) i oduzimanje se može izvesti. Slično se postupa i u primjerima gdje je broj stotica, hiljadica ... u unamjeniku manji od broja tih dekadskih jedinica u umanjiocu. Medutim, postupak je komplikovan i nepodesan kad u jednom zadatku treba izvesti dva ili više preračunavanja, kao u primjeru:

11 13

8 12

9 2 3

- 4 8 7

Da bi se ti brojevi oduzeli, 1 stotica preračunava se u 10 desetica pa se u umanjeniku dobija 8 stotica i 12 desetica; zatim se 1 desetica preračunava u 10 jedinica pa u umanjeniku sada imamo 11 desetica i 13 jedinica što je posebno i zapisano.

Neprikladnost toga postupka još je izraženija kad se oduzimaju višecifreni brojevi što zahtijeva više preračunavanja. Time se cijeli postupak značajno otežava. Na primjer, u zadatku:

32 532 - 8 769 moraju se izvrsti četiri preračunavanja -

1 desethiljadica preračunava se u 10 hiljadica , 1 hiljadica u 10 stotica, 1 stotica u 10 desetica te 1 desetica u 10 jedinica. To je dug i zamršen postupak koji ne osigurava uvijek razumijevanje, a nije ni lak, već iziskuje značajne misaone napore.

Premda je navedeni postupak pismenog oduzimanja posve korektan, zbog metodičkih se razloga ne može preporučiti jer iziskuje značajan napor i otežava razumijevanje.

Zato se kao metodički ispravniji postupak pismenog oduzimanja brojeva u kojih su faktori pojedinih dekadskih jedinica u umanjeniku manji od faktora odgovarajućih dekadskih jedinica u umanjiocu, uzima onaj koji se zasniva na stalnosti razlike. Dodajući umanjeniku ( minuendu) i umanjiocu (suptrahendu) isti broj (10 jedinica umanjeniku odnosno 1 deseticu umanjiocu, 10 desetica umanjeniku odnosno 1 stoticu umanjiocu itd.), mijenjamo ih tako da se od većeg broja oduzima manji, što se u skupu prirodnih brojeva izvodi bez teškoća.

Dva su razloga koji upućuju na to da se pismeno oduzimanje takvih brojeva izvodi pomoću stalnosti razlike:

59

a)postupak je jednostavniji i u praksi se češće primjenjuje nego preračunavanje veće dekadske jedinice u manju,

b)upotrebom takvog postupka suzbija se formalizam u znanju učenika, svjesno se primjenjuje određena matematička zakonitost čime se osigurava razumijevanje.

Vrijednost postupka posebno je velika pri oduzimanju trocifrenih i uopšte višecifrenih brojeva. Oduzimajući takve brojeve, bilo bi teško preračunavati veće dekadske jedinice u manje, pa bi osim sporosti oduzimanja, postupak stvarao i nejasnoće. Imajući to na umu, u našem sistemu matematičkog obrazovanja oduzimanje takvih brojeva dosljedno se provodi pomoću stalnosti razlike.

Gradivo se obraduje ovim redom:a) primjeri u kojima je faktor jedinica u umanjeniku (minuendu) manji od faktora

jedinica u umanjiocu (suptrahendu),8 6 2

- 4 3 8

b) primjeri u kojima je faktor desetica u umanjeniku manji od faktoradesetica u umanjiocu,

7 2 6 - 3 7 3

c) primjeri u kojima su i faktori jedinica i faktori desetica u umanjeniku manji od faktora tih dekadskih jedinica u umanjiocu,

9 2 3- 4 8 7 itd.

Budući da se oduzimanje ovakvih brojeva zasniva na stalnosti razlike, svi učenici moraju raspolagati tim znanjem jer je ono glavni uslov sticanja novog znanja. Zbog toga se mora temeljno ponoviti svojstvo razlike, a posebnu pažnju obratiti primjerima u kojima se umanjeniku i umanjiocu dodaje broj 10.

Objašnjavanje novog gradiva treba početi konstatacijom da od manjeg broja jedinica treba oduzeti veći broj jedinica kao u ovom primjeru:

7 6 2

- 3 2 7

Kako se od 2 jedinice ne može oduzeti 7 jedinica, moramo broj jedinica u umanjeniku povećati tako da postane veci od 7, kako bi se moglo izvesti oduzimanje. To se postiže dodavanjem umanjeniku 10 jedinica u stupac jedinica, pa će u umanjeniku biti 12 jedinica. Ali budući da smo umanjeniku dodali 10 jedinica, moramo isti broj dodati i umanjiocu kako se razlika ne bi promijenila (l0 jedinica = 1 desetica). Dodavanje tih brojeva u početku se može i posebno naznačiti;

10

7 6 2

60

- 3 1 2 7

4 3 5

Treba još objasniti zbog čega se umanjeniku dodaje u stupac jedinica, a umanjiocu u stupac desetica, Kada bismo i umanjeniku i umanjoacu dodavali isti broj u stupcu jedinica, opet bi veći broj trebalo oduzimati od manjega, u ovom primjeru od broja 12 broj 17.

Na sličan način objašnjava se oduzimanje brojeva u kojima je, npr: faktor desetica u umanjeniku manji od faktora desetica u umanjiocu:

10

8 2 6

1

- 3 8 4

_________

4 4 2

Budući da se od 2 desetice ne može oduzeti 8 desetica, umanjeniku se u stupac desetica dodaje 10 desetica, a umanjiocu u stupac stotica 1 stotica (10 desetica = 1 stotica).

Kako se ostali primjeri oduzimanja takvih brojeva analogno objašnjavaju, upozorava se na važne elemente:

a) Najprije se utvrduje specifičnost pojedinog primjera oduzimanja: od 5jedinica ne može se oduzeti 9 jedinica, od 7 stotica ne može se oduzeti8 stotica i sl.

b) Dodavanjem umanjeniku i umanjiocu istog broja oblikujemo ih lako da se od većeg broja oduzima manji; umanjeniku se dodaje 10 jedinica, a umanjiocu 1 desetica, ili se pak umanjeniku dodaje 10 desecica, a umanjiocu 1 stotica itd.

c) Oduzimaju se faktori istih dekadskih jedinica, počevši od faktora najmanje dekadske jedinice.

d) Oduzimanje treba podrobno komentarisati ukazujući na primjenu svojstava stalnosti razlike; oduzimanje usvojiti tako da se stalnost razlike primjenjuje u mislima, napamet, bez zapisivanja.

e) Provjeravanje rezultata suprotnom računskom radnjom; sabiranjem razlike i umanjioca dobiva se umanjenik.

Pri obradi pismenog oduzimanja javlja se pitanje da li brojeve oduzimati direktnim ili aditivnim putem? Naime, da li razliku faktora dekadskih jedinica umanjenika i umanjioca pronalaziti direktnim, neposrednim oduzimanjem (8 manje 5 je 3) ili je pronalaziti suprotnom računskom operacijom, tzv. aditivnim putem (3 i 5 je 8)?

Iskustvo i praksa početne nastave matematike pokazuju da se najbolji rezultati postižu ako se u početku, pri početnom upoznavanju algoritma pismenog oduzimanja, brojevi oduzimaju neposredno, direktnim putem. Razlog je u tome što

61

neposredno oduzimanje faktora dekadskih jedinica umanjenika i umanjioca omogućuje bolje i potpunije razumijevanje pismenog oduzimanja budući da se izvodi na isti način na koji su učenici usmeno oduzimali brojeve. Međutim, nakon početnog upoznavanja postupka pismenog oduzimanja učenike treba uputiti da brojeve pismeno oduzimaju aditivnim načinom jer je takvo oduzimanje u praksi češće, a i omogućuje da se dvije računske operacije povežu u spoznajnu cjelinu. Aditivno pismeno oduzimanje je i praktičnije, posebno pri oduzimanju brojeva u kojih su faktori nekih dekadskih jedinica umanjenika manji od odgovarajućih faktora tih jedinica u umanjiocu.

Aditivno pismeno oduzimanje postepeno treba usvajati rješavajući najprije najlakše primjere kao:

9 8 7 - 3 4 3

Prije objašnjavanja novog gradiva učenike treba podsjetiti na ono što su prethodno upoznali, a to je obrazlaganje oduzimanja sabiranjem: 7 - 3 = 4 jer 4 + 3 = 7, tj. na činjenicu da oduzimanjem tražimo broj koji dodat umanjiocu daje umanjenik. Prema tome, umjesto direktnog oduzimanja, 7 manje 3 je 4, razliku pronalazimo sabiranjem: 3 i 4 je 7; 4 i 4 je 8; 3 i 6 je 9. Razlika je, dakle, 644. Svaku djelomičnu razliku faktora jedinica, desetica i stotica posebno treba istaknuti kako bi se jasno uočila i na odgovarajuće mjesto zapisala.

Kada sc aditivnim načinom pismeno oduzimaju brojevi u kojih su faktori nekih dekadskih jedinica umanjenika manji od odgovarajućih faktara u umanjioca, mogu nastati teškoće. Naime, istodobno se moraju izvesti dvije misaone radnje: sairanjem pronalaziti razliku, te umanjeniku i umanjiocu dodavati isti broj. Oduzimajući npr: brojeve

10

9 7 2

1

-3 4 8

osim pronalaženja razlike (8 i 4 je ...) istovremeno se umanjeniku i umanjiocu dodaje isti broj pa objašnjenje glasi: 8 i 4 je 12 (uz 2 jedinice umanjenika dodaje se 10 jedinica); 1 i 4 je 5 (1 desetica dodaje se broju 4 desetice u umanjiocu ), 5 i 2 je 7; 3 i 6 je 9. Razlika je 624.

Sadržaj objašnjenja korisno je potkrijepiti vizuelnom komponentom tako da se dodavanje istog broja umanjeniku i umanjiocu posebno naznači, kao što je prikazano u prethodnom primjeru. Kad se jednom shvati da se govorenjem 8 i 4 je 12, broju jedinica u umanjeniku dodaje 10 jedinica, te da se iskazom 1 i 4 je 5 broju deselica u umanjiocu dodaje 1 desetica, zapisivanje dodavanja istog broja može se izostaviti. U

62

tome ne bi trebalo žuriti, pa takav način rada treba napustiti tek onda kad se proces ispravno shvati.

Na sličan se način aditivno pismeno oduzimanje objašnjava kada je faktor, npr: desetica u umanjeniku manji od faktora desetica u umanjiocu u kao u ovom primjeru:

8 2 6

- 3 7 2

Objašnjenje glasi: 2 i 4 je 6; 7 i 5 je 12 (uz 2 desetice umanjenika dodaje se 10 desetica); 1 i 3 je 4 (1 stotica dodaje se uz 3 stotice umanjioca), 4 i 4 je 8. Razlika je, dakle, 454.

Nakon toga aditivno pismeno oduzimanje objašnjava se i u primjerima gdje su faktori dviju ili više dekadskih jedinica u umanjeniku manji od faktora odgovarajućih dekadskih jedinica u umanjiocu. Pritom posebnu pažnju treba posvetiti razumijevanju aditivnog oduzimanja jer upravo se ono često usvaja bez razumijevanja. Ne razumije li učenik sadržaj misaone radnje u oduzimanju npr. brojeva

7 8 2

- 3 4 8

izraženu riječima: 4 i 8 je 12 odnosno 1 i 4 je 5, tj. ne razumije li da time umanjeniku i umanjiocu dodaje isti broj, takvo je znanje formalističko. Često se događa da učenik ispravno riješi zadatak, čak ispravno i govorom slijedi proces rješavanja, ali pritom ne razumije da umanjeniku i umanjiocu dodaje isti broj. Zato treba preduzeti sve da se taj proces shvati, da mu se dodjeljuje odgovarajuće pojmovno značenje. Jedan od načina da se to postigne je komentarisanje, obrazlaganje procesa aditivnog oduzimanja.

ММ4г- 1

ФОРМИРАЊЕ ПОЈМОВАПРИРОДНИХ БРОЈЕВА

Да ли дјеца долазе у школу са знањем бројева? Треба ли их у томе подучавати? Заиста дјеца долазе у школу са неким знањима о бројевима, појединци чак знају и неке рачунске операције. Да би се то знање валоризовало треба га посматрати са аспекта циља почетног математичког васпитања и образовања. Дјеца познају поједине бројеве, али без разумијевања веза и односа међу њима, а то знање се манифестује изговарањем бројевних ријечи.

Поласком у школу дјеца не знају и не схватају повезаности и односе међу бројевима. НПР: Број осам схвата као 8= 4+4 , 8 = 5 + 3, 8 = 9 - 1, 8 је сљедбеник броја 7, 8 је претходник броја 9, 8 се налази између 7 и 9, 8 < 9 , 8 > 6 итд. Јасно је да је изузетно ријетко наћи које дијете да посједује претходно наведена знања.

Дјеса управо ова знања, између осталих, требају стећи у полетној настави математике (ПНМ).

Када је у питању познавање бројева од стране ученика прије поласка у школу онда је посве јасно да она ( дјеца) у ствари имају "знања" о бројевима на нивоу вербалних асоцијација без разумијевања њиховог значења. Пијаже је доказао да дијете значајно прије сазна изговор бројевне ријечи, него што схвати

63

инваријантност броја елемената у скупу- тај важан услов за изградњу појма природног броја.

Изговарајући бројевне ријечи дјеца школски почетници не знају да се бројењем, предметима који се броје, придружују бројевне ријечи, те да се њима именују кардинални бројеви коначних скупова, а управо то требају научити у почетној настави математике.

Задатак ПНМ је бројевним ријечима којима дјеца располажу прируже одговарајуће садржаје.

Исти приступ вриједи и за евентуално познавање сабирања и обузимања од стране дјеце поласком у основну школу. У искуству дјеце почетника у основној школи најчешће, или готово увијек не постоји сазнање о повезаности збира двају бројева и кардиналног броја унје , те разлике двају бројева и кардиналног броја разлике (диференције) скупова.

Математичко искуство ученика полазника у ОШ треба уважавати и њиме се користити.

Све што се у почетној настави математике чини природни је продужетак дјечијег предшколског математичког искуства.

Упознавање скупаБројење је поступак којим се утврђује неко својство скупа- својство

бројности, прије бројања треба знати који су предмети укључени у скуп који се броји, а који нису. Дакле, треба да постоји недвосмислено и јасно увјерење код ученика који члан припада скупу, а који не.

За овакав приступ постоји потреба неких знања о скупу као НПР: знање термина члан- елеменат, знање графичког приказивања скупова,Ако ученици посједују нека знања о скупу, треба та знања искористити.Прије почетка рада на појму скупа треба провјерити која знања о скупу ученици посједују, па почетни рад темељити на тим знањима.

Треба уважавати евентуално именовање скупова изразима као што су: јато, стадо, крдо, множина, тим, породицајер ти термини показују да су бића скупљена у цјелину, скуп.Током рада објаснићемо ученицима значење израза скуп, указујући да се тим термином исказују скупљени предмети у једну цјелину- скуп.Ученике треба оспособљавати да припадност, или неприпадност скупу изводе именовањем, стим да се групишу својства предмета заједничким именом НПР: воће, поврће.Како упознавати скупове?

Скупове предмета прво треба посматрати, па их затим именовати.

64

Прије упознавања припадности односно неприпадности предмета, скупу на основу заједничког својства треба провјерити знају ли ученици нека својства предмета.

Радећи на скуповима треба тежити да се разликују предмети од њихових својстава,

Упознавајући скупове и предмете који их чине треба разликовати предмете и по њиховим својствима исправно именујући њихова својства,

Треба проналазити иста својства у мноштву различитих предмета, ( Уочавајући иста својства ученици долазе до сазнања зашто су ти премети припадници истог скупа.

На овај начин ученици се припремају, поред осталог, за откривање и сазнавање заједничког својства скупова с једнако много елемената- својства бројности,

Из различитог дидактичког материјала, али на основу истог својства формираће се скупови. ( сви предмети црвене боје, исти облик, итд)

Увијек треба с ученицима утврђивати присуство истог својства, Све радње око припадања- неприпадања скупу треба образлагати

наглашавајући својство које их повезује,Након много вјежбе и примјера ученици ће схватити да скуп чине чланови - елементи.Најприроднији пут до овог сазнања јесте онај гдје се уочава НПР: скуп дјечака, скуп дјевојчица. Прво се усваја термин члан скупа, а затим постепено елеменат скупа.Затворену линију (Венов дијаграм) ученици ће упознати као ознаку припадности елемената скупу- елементи унутар затворене линије припадају скупу, а они изван му не припадају. ( Линија не припада скупу.) Природна ситуација која може да послужи разумијевању припадности јесте да оно што заједно сврставамо по неком својству треба оградити.Ученици лако усвајају цртање затворене линије. Увијек треба наглашавати ово што смо уврстили заједно по неком својству припада скупу. Затворена линија се срта на крају кад смо здружили елементе по неком својству.

Упознавање подскупаПодскуп треба упознати након што су ученици добро савладали упознавање скупова. Подскуп је дио елемената неког скупа који се такођер сврставају у подскуп по неком својству.За скуп А кажемо да је подскуп скупа Б ако је сваки елеменат скупа А истовремено елеменат скупа Б. Симбол А припада Б, А је подскуп скупа Б, А је дио Б.Прво: Визуелно уочавати подскупове. Именовати и показивати подскупове у различитим ситуацијама.( Ученици одјељења, воће, намјештај )

65

Друго: Треба уочавати подскупове истоврсних елемената ( НПР: Скуп куглица - подскуп црвених куглица)Прелаз на графичко приказивање подскупова за ученике је корак у апстракцију, јер се из мноштва конкретности апстрахују квалитативна својства, а мисао је усмјерена на однос између скупа и подскупа.Прије упознавања графичког приказивања подскупа ученике треба подсјетити на значење затворене линије. Графички приказ подскупа може се упознати одговарајућим цртањем на табли или одговарајућим демонстрирањем на магнетографу. Подскуп такођер приказујемо затвореном линијом унутар скупа. Треба нагласити да се издвајањем једног подскупа задани скуп у ствари раздваја на два подскупа.Приликом издвајања подскупа треба водити рачуна о правилном говорном образлагању. Увијек треба наглашавати чији је подскуп.Овим наглашавањем у свијести ученика се формира веза између скупа и подскупа преко њихових елемената.

Успостављање скупова придруживањем

Придруживање је један од основних појмова у читавој математици и људском сазнању.

Придруживање је поступак којим се елементима једног скупа по неком пропису придружују елементи другог скупа.

Придруживањем елемената скупа А и елемената скупа Б добија се одговор на питање имају ли та два скупа једнако много елемената, или им се број елемената разликује.

Оспособљавањем учњника у придруживању изграђује се искуствена подлога за формирање појма функција.

Да би скупове ученици могли придруживањем њихових елемената успоређивати прво треба ученике упознати са поступком придруживања.

Како ученике ефикасно упознати са поступком придруживања? на практичнним и ученицима блиским примјерима, ученицима су придружене оловке, сваком ученику је придружена столица на којој сједи, сваком писму је придружена марка, у породици је сваком члану придружено име,

Током рада иченицимаје потребно објаснити значење ријечи придруживање.И ово се упознавање и објашњавање врши на ученицима блиским примјерима. НПР: Дваученика иду у школу и њима се током пута прикључи још троје ученика (придружи). На писма се стављају маркице (придружују). Родитењима се придружују дјеца итд. На овај начин се ученицима чини доступним сазнање да се придруживањем чини одређена веза између елемената једног и елемената другог скупа.

Посебно треба ученицима скренути пажњу на ситуацију у којој се елеменат из једног скупа повезује (придружује) са једним елементом из другог скупа.

66

Приказивање се најчешће приказује ријечима ( придруживање, пресликавање, коресподенција), затим графички и стварним физичким активностима- давањем оловке сваком ученику, стављањем капе на главу скупа дјечака.

У почетној настави математике најпогоднији је начин приказивања придруживања физички-стварно и графички. ( Поред(испод,изнад)сваког елемента једног скупа ставља се елеменат другог скупа све док се не исцрпе елементи једног, или оба скупа). На овај се начин врши ученицима блиска конкретизација.

Други начин је графичко приказивање. (види цртеж ) Овај начин укључује цртање скупова и придруживање њихових чланова.

Важно је да се у овим активностима што више користи искуство ученика и говорно образлагање. У графичком придруживању треба објаснити улогу стрелицаПридруживање треба објашњавати ученицима у реалним животним

ситуацијама. Извести пред таблу неколико ученика, а затим на наставников сто ставити неколико свесака. Поставити питање ученицима. Чега има више/ мање ученика или свесака? Одговор на ово питање ће дати поступак придруживања. На сугестију наставниак сваки ученик узима по једну свеску.

О радњи ученика са свескама изводе се закључци. Сваком ученику припада по једна свеска, или неки други закључак.

Поступајући на исти начин скупу ученика се могу придружити њихове торбе и послије тога изводити закључци.

Заједнички са ученицима треба уочавати и методички интерпретирати мноштво таквих, посебно животних, ситуација.

Прво треба упознати скупове с једнако много елемената,а послије тога и скупове који немају једнак броје елемената- тј неки елементи остају непридружени.

И оваква придруживања треба проналазити на примјерима блиским искуству ученика. ( Скуп ученика и скуп столица- има столица без ученика, скуп капута и скуп вјешалица - има вјешелица без капута.)Методичко образложење ових примјера треба да буде: Сваком ученику је придружена столица, али свакој столици није придружен ученик. Сва остала образложења треба вршити по аналогији.

Послије извршене анализе треба формирати закључак: Столица има више него ученика. Закључке треба изводити за сваки примјер.

Оваквим придруживањима изградиће се сазнање код ученика о томе зашто скупови имају различит број елемената.

67

Догодиће се да се у просесу успоређивања два скупа са истим бројем елемената имају низ различите дужине. ( НПР:Зрна кукуруза и кокоши итд.) Вербална перцепција скупова биће различита. Ученици ће радом на оваквим примјерима доћи до закључка да треба да се закључује независно од визуелне перцепције- да визуелна перцепција може да завара. Треба радити на већем броју примјера, јер ће већи број примјера довести до квалитетнијег знања.

ФОРМИРАЊЕ ПОЈМОВА САБИРАЊА И ОДУЗИМАЊА ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА

Сабирање и одузимање прве су операције с бројевима што их ученици усвајају у основној школи. Појмови сабирања и одузимања природних бројева изводе се из реалности како би се у њој могли примјењивати. Будући да су то операције с појмовним објектима, сазнајни процес остварује се у континуитету од конкретног (активности са скуповима) према апстрактном (операције с бројевима) и, дакако, према практичној стварности, тј. примјени операција с бројевима у свакодневном животу. Активности са скуповима само су средство којим се ученици оспособљавају за операције с бројевима, што је циљ математичког васпитања и образовања.

Иако се у почетној настави математике тежи сазнању о повезаности сабирања и одузимања природних бројева, ученици се најприје уводе у сабирање , а затим одузимање. Свака операција има свој смисао који посебно треба упознати, а формирање појмова сабирања и одузимања на тај се начин најприродније надовезује на физичко искуство дјетета о реалним ситуацијама уједињавања, увећавања, односно одузимања, умањивања скупова предмета. Међутим, кад се изгради елементарно сазнање о тим операцијама, оне се повезују у јединствену сазнајну цјелину. Због тога ће најприје бити изложен методички поступак формирања појма сабирања, а затим одузимања природних бројева.

ФОРМИРАЊЕ ПОЈМА САБИРАЊА ПРИРОДНИХ БРОЈЕВА

Како се формирање појма сабирања природних бројева остварује у складу с принципом поступности, од конкретног према апстрактном, најприје се наводе активности које се изводе у нивоу конкретности, а затим оне у нивоу апстрактности. Функционишући као цјелина, те активности чине суштину методичког поступка формирања појма сабирања природних бројева.

Етапа конкретних активности: Тим термином означавамо све ученичке активности с конкретним предметима као што су дидактички материјал (пластичне плочице, кругови, троуглови, правоугаоници, коцке и сл.) и други предмети којима се може лако манипулисати (штапићи, каменчићи, куглице, разни плодови и сл.). Активностима са скуповима конкретизује се, односно чини доступним

68

осјетилном запажању апстрактни појам сабирања, са сврхом да се схвати садржај мисаоне операције сабирања бројева. Због тога се проводе ове активности са скуповима.

Растављање скупова предмета на подскупове. (Сврха те активности је оспособити ученике у разумијевању односа између цјелине (скупа) и дијелова - подскупова, у разумијевању чињенице да нпр. скуп воћа садржи више елемената него његов подскуп јабука. Коначна сврха је оспособити ученике у растављању бројева. Те се активности узимају за полазиште у сабирању бројева због тога што су елементарније и у сазнајном смислу примарније од удруживања, скупљања у цјелину. Полази се од познате цјелине (скупа) према непознатим дијеловима (подскуповима), што у когнитивном развоју школских почетника претходи здруживању, гдје се из заданих дијелова ствара нова цјелина. То је за њјх много тежа радња.

Скупови предмета се растављају на подскупове у двије варијанте; с обзиром на логичке, и с обзиром на бројевне односе.

С обзииом на логичке односе растављају се скупови воћа, цвијећа, играчака, намјештаја, школског прибора, ученика, птица, животиња и сл. Обично се пред ученике, да сви виде, постави нпр. скуп књига састављен од књига које носе ученици у школу. Задатак је раставити тај скуп на два подскупа, (књига за математику и књига за српски језик). Растављање се назначује раздвајањем што се и говором утврђује; скуп књига је растављен на подскуп књига за математику и подскуп књига за српски језик . Притом се указује на чињеницу да скуп књига садржи више елемената него подскуп књига за математику, односно подскуп књига за српски језик. Изводи се низ таквих радњи утврђујући односе између скупа и подскупова.

С обзиром на бројевне односе раставља се нпр. скуп од 5 оловака на подскупове од 3 и 2 оловке и сл. Сваки ученик ставља пред себе скуп предмета које затим раставља на два подскупа образлажући говором, нпр. скуп од 7 свесака је растављен на подскуп од 3 и подскуп од 4 свеске. Ученици требају говором правилно да свако растављање скупа образложе.

Корисно је растављање скупова употпуњавати супротном радњом - здруживањем добивених подскупова у један скуп. На примјер: скуп од 6 куглица раставља се на два подскупа, ОООО и ОО. Након образложења колико елемената садржи сваки подскуп поставља се питање колико ће куглица бити ако се здруже у један скуп. Кад ученик одговори (ако зна), подскупови се здружују у један скуп да би се провјерио одговор. Таквим радњама ученици се оспособљавају у разумијевању реверзибилности, што омогућује да се размишља у релацији од 6 = 4 + 2 према 4 + 2 = 6. То је најнепосреднија припрема за сабирање бројева.

Након растављања скупова растављају се бројеви на различите начине, нпр. број 5 се раставља на 3 и 2, 4 и 1 или број 7 на 5 и 2, 3 и 4 итд. Растављање бројева може се записати: 7 8 9

2 5 5 3 4 5

69

4 3 6 2 3 6 6 1 1 7 2 7 итд.

Користећи се дидактичким материјалом, али радећи и без њега, ученике би требало оспособити да све бројеве до 10 могу раставити на два броја (или више), чиме се непосредно припремају за разумијевање значења записа за сабирање бројева.

Здруживање (унија) скупова конкретних предмета: Појам сабирања природних бројева изводи се из реалности за коју је карактерисрична оваква ситуација: задана су два дисјунктна скупа А и Б и њихови кардинални бројеви, а непозната је унија и њен кардинални број, тј. збир кардиналних бројева скупова А и Б. Ево примјеиа: У разреду се налази 15 дјевојчица и 13 дјечака. Колико ученика има укупно у разреду? Познати су скупови дјевојчица и дјечака и њихови кардинални бројеви, а непозната је унија и њен кардинални број који је збир кардиналних бројева скупова дјевојчица и дјечака. Дакле, основна предоџба која се повезује уз сабирање природних бројева је предоџба уније или здруживања дисјунктивних скупова успостављајући везу између сабирања бројева и примјене у пракси. Здруживањем скупова конкретизује се сабирање бројева, појмовни садржај транспонује се у перцептивни, остварује се захтјев да се сабирање изводи из реалности, успоставља се веза између сабирања и физичког искуства ученика те ствара претпоставка за примјену сабирања у пракси. То је и први корак у апстракцију, јер се из мноштва скупова непосредне околине издваја здруживање из којега се апстрахују и генерализују бројеви — кардинални бројеви заданих скупова и кардинални број здруженог скупа. Зато ученике треба оспособљавати да у реалним ситуацијама откривају скупове и њихову унију.

У практичној реализацији здруживање скупова проводи се најчешће овако:- постављају се два скупа који немају заједничких елемената (дидактички материјал ученика),- скупови се потом удружују у један скуп,- проналази се број елемената у удруженом скупу,- говором се образлаже изведено здруживање истичући посебно бројеве елемената у скуповима, нпр. 3 коцке и 2 коцке је 5 коцака, или краће 3 и 2 је 5 коцака.Здруживање скупова треба повезивати уз реалне и ученицима познате

ситуације (школа, кућа, тржница, улица и сл.), што се постиже употребом једноставних текстуалних задатака. На примјер, у једној клупи сједе 3 дјечака, а у другој 2 дјевојчице, колико је ученика у обје клупе? Ученици ће рјешавати тако да за 3 дјечака ставе скуп од 3 елемента, а за 2 дјевојчице скуп од 2 елемента, затим те скупове здружују и проналазе број елемената у здрженом скупу. Важан и неизоставан дио тога процеса је говорно образлагање којим се материјална радња (здруживање скупова) постепено трансформише у мисаону радњу ( сабирање бројева). Говорно образлагање треба бити кратко, без непотребних детаља, важно је да укљућује бројеве придружене скуповима којима се оперише.

Један облик здруживања скупова, за ученике занимљив и стимулативан, је графичко здруживање гдје се скупови који се здружују приказују сликом или

70

цртежом предмета. С обзиром на циљ та је радња једнака претходној од које се разликује нешто већим степеном апстракције због занемаривања неких својстава елемената. Као елементи скупова који се графички здружују могу послужити кружиђи, трокути, правоугаоници итд. Могу то бити и једноставни цртежи плодова као што су шљиве, трешње, кестени и сл. Здруживање скупова графички се може приказати овако:

Дакако, и графичко здруживање скупова треба говором објашњавати; нпр. 3 елемента и 2 елемента је 5 елемената или крацће 3 и 2 је 5.

Етапа апстрактних операцрја: Да би се изградио појам сабирања постепено треба напуштати емпиријску, конкретну подлогу те проналажење збира двају бројева преносити на мисаоно подручје. Вањска радња здруживања скупова постепено се претвара у унутрашњу, мисаону радњу сабирања бројева. То се, уз остало, остварује тзв. менталним или усменим сабирањем за које је у овој етапи карактеристично да се изводи без употребе уобичајеног записа. Сврха активности је усвојити појмовни садржај те опцрације како би се разумјело значење записа облика а + б = ц који се послије уводи. Тиме се остварује методички став: најприје усвојити појам, а затим нводити знак или знакове којима се појмовни садржај приказује.

Ментално (усмено) сабирање бројева: У практичној реализацији ментално сабирање се изводи на више начина, а као очигледна помоћ могу послужити елементи ученичког дидактичког материјала и бројевна линија.

Први и најлакши начин менталногсабирања је додавање броја 1 заданом броју, што се темељи на одређивању узастопног сљедбеника. Изводи се у двије варијанте:

заданом се броју додаје 1 или му се додају остали бројеви (2, 3, 4 . . . ) али тако да се додаје по 1. Према првој варијанти сабирање се може проводити и у облику игре у којој један ученик (или наставник) саопшти број, а остали проналазе и говоре број који је за 1 већи. Задаје се нпр. број 6, а ученици проналазе и казују број који је за 1 већи, тј. број 7. Корисно је рјешење допунити образложењем: то је број 7 јер је 6 и 1 једнако 7.

Друга варијанта сабирања додавањем броја 1 захтијева растављање броја на јединице НПР: 1 и 1, односно на 1 и 1 и 1 итд. Зато претходно треба бројеве растављати на сљедећи начин: број 2 на 1 и 1, број 3 на 1 и 1 и 1 итд. Притом треба ученике подсјетити (то су научили при упознавању бројева) да је 2 једнако 1 и 1, 3 једнако 1 и 1 и 1 итд. Ако је потребно, то треба конкретизовати очигледним средствима. Растављање бројева на јединице може се записати овако: 2 је 1 и 1, 4 је

71

1 и 1 и 1 и 1. Када се уведе знак за сабирање "+", тај ће се процес записивати на уобичајени начин.

Усвојивши растављање бројева, може се сабирати додавањем по 1: задају се број 6 и број 2 који се додаје по 1. Дакле,

6 и 2 је .. .6 и 1 је 7, 7 и 1 је 8 .. 6 и 2 је 84 и 3 је .. .4 и 1 је 5, 5 и 1 је 6, 6 и 1 је 7 ... 4 и 3 је 7Да би се сабирање олакшало, може се изводити уз помоћ бројевне линије,

а може се и записати:6 и 2 је 8, 5 и 2 је 7, 3 и 1 је 4.Неки ученици сабирају овако:6 и 3 је ... 7, 8, 9 ... 6 и 3 је 9, тј. бројећи од заданог броја за толико

јединица колико их има број који се додаје. Тај начин сабирања је непосредна припрема за израчунавање збира па ученике треба подстицати да се њиме служе.

Даљња могућност менталног или усменог сабирања је сабирање једнаких и различитих бројева, као нпр. 3 и 3, 5 и 5 односно 4 и 3, 5 и 1 и сл. Најприје треба сабирати једнаке бројеве, јер се то релативно лако и брзо усваја. Могу се сабирати и они једнаки бројеви чији су збирови већи од 10, све до 10 и 10. Након тога сабирају се различити бројеви као нпр. 5 и 3, 6 и 2 и сл. Ако ученици не могу непосредно израчунати збир или ако у томе наилазе на тешкоће, треба их упућивати да то чине додавањем по 1. У неким случајевима можда ће се морати послужити и здруживањем скупова како би се олакшало проналажење збира.

Прикладан начин рада с бројевима је приказивање заданог броја у облику збира двају бројева записујући га овако; 3 и 1, 4 и 2, 2 и 1 и сл. Ученицима другог разреда то је занимљиво, поготово ако се изводи у облику игре: "тражимо друго име за задани број". Радећи овако, осим што увјежбавају сабирање ученици стичу сазнање да се број, нпр. број 8, може приказати и као 7 и 1, 4 и 4, 6 и 2 и сл. Може се радити на два начина. Први је онај у којем ученик или наставник задаје број, а остали проналазе друго име за тај број. Зада се број 4, а ученици зањега проналазе друга имена, тј. 2 и 2, 3 и 1; За број 7 проналазе имена 5 и 2, 6 и 1 итд. Други начин је онај у којем наставник или ученик поставља задатак, нпр. 4 и 1, а ученици саопштавају који је то број. Задатке треба формулисати што краће: 5 и1 ... који је то број?, 3 и 2 ... који је то број? Рјешења таквих задатака саопштавају се усмено. Могу се и записати, па су тако активни сви, а не само комуникативнији и способнији ученици.Ментално сабирање се проводи рјешавањем једноставних текстуалних задатака из средине коју ученици познају. Како се у њима налазе примјери здруживања скупова, врло су прикладни за ментално извођење те радње. Општи облик задатака је овакав: Марко има 5 конвертибилних марака, Јован има 3 конвертибилне марке. Колико конвертибилних марака имају Марко и Јован? Мајка је Мири дала 3 бомбона, а од тете је добииа још 2 бомбона. Колико бомбона има Мира? Или још краће - 3 оловке и још 3 оловке колико је укупно оловака? Корисно је да и сами ученици проналазе и састављају текстуалне задатке, јер то снажно активира ученичко мишљење.

72

С обзиром на то да активности са скуповима и ментално сабирање претходе увођењу записа за сабирање бројева, поставља се питање какав би требао бити њихов непосредни образовни учинак? Уопштено , резултат тога рада морао би били изграђен слијед мисли о односима бројева у здруживању скупова, што је појмовни садржај записа облика а + б = ц. Тек кад се то усвоји створени су услови за увођење математичког записа за сабирање бројева. У противном, усвојиће се форма без разумијевања садижаја који се њоме приказује.

Увођење записа за сабирање бројева: Главни је услов за увођење записа за сабирање бројева могућност проналажења кардиналног броја уније скупова о чему свједочи говорна интерпретација. Може ли ученик говором изразити односе бројева у унији скупова, знак је да је у основи схватио мисаону операцију с бројевима приказану записом облика а + б = ц. Други услов за увођење тога записа је разумијевање значења сваког знака из којег је састављен, знакова за бројеве и знака за релацију (=). Посебно је важно да се исправно схвати знак "=" у смислу идентичности објеката с обје његове стране. Значење знака за збрајање (+) постепено ће се схваћати правилном употребом и исправним објашњавањем.

Прелаз са здруживања скупова на сабирање бројева биће стимулативнији укаже ли се на могућност да се број елемената у здруженом скупу, осим бројењем, може дознати и рачунањем, тј. сабирањем кардиналних бројева скупова који се здружују. Објашњење се повезује уз здруживање скупова конкретних предмета или уз графички приказ здруживања.

3 + 2 = 5

Објашњење записа укључује сљедеће: читање, 3 више 2 једнако је 5, или 3 више 2 је 5; значење сваког знака, број 3 означава број елемената у једном скупу, број 2 означава број елемената у другом скупу, а број 5 означава број елемената у здруженом скупу; знак "+" је знак за сабирање бројева и чита се више или плус. Знак " = " је знак за једнаке бројеве и цијели израз добива име "једнакост", јер су с обје стране знака једнакости исти бројеви (написани различитим зна-ковима). Да би се запис сабирања бројева потпуно усвојио, треба мноштвом примјера илустровати прелаз са здруживања скупова на сабирање бројева. Пажњу треба посветити разумијевању значења знакова у запису како би се већ на почетку спријечило формалистичко оперисање знаковима умјесто бројевима.

73

Тако у основи изгледа методички поступак формирања појма сабирања бројева чија је коначна сврха изградити мисаону радњу с бројевима и схватити начин на који се записује математичким знаковима. Пут води од материјалних радњи конкретним објектима (здруживање скупова) до апстрактне радње с појмовним објектима ( сабирање бројева). Задатак је почетне наставе математике даље изграђивати тај рад с бројевима интегришући га у систем осталих рачунских операција.

FORMIRANJE POJMOVA MNOŽENJA I DIJELJENJA PRIRODNIH BROJEVA

Pojmovi množenja i dijeljenja prirodnfh brojeva, kao i pojmovi sabiranja i oduzimanja, izvode se iz realnosti, a konkretizuju se odgovarajućim aktivnostima sa skupovima (didaktički materijal), Spoznajni proces ostvaruje se napredovanjem od konkretnog prema apstrakinom, a potom prema primjeni znanja u rješavanju odgovarajućih zadataka iz života. Dvije su karakteristične grupe aktivnosti u formiranju tih pojmova: aktivnosti na nivou konkretnosti (skupovima predmeta) i aktivnosti na nivou apstraktnosti (brojevima). S obzirom na prethodno matematičko obrazovanje i stepen intelektualne razvijenosti učenika drugog razreda, aktivnosti sa skupovima nisu i ne moraju biti tako bogate kao pri formiranju pojmova sabiranja i oduzimanja. Ipak, te aktivnosti imaju određeno mjesto i ulogu u shvatanju množenja i dijeljenja brojeva,

Iako se teži spoznaji o povezanosti množenja i dijeljenja, najprije se usvaja množenje, a zatim dijeljenje brojeva. Nakon početnog usvajanja daljnjim radom izgrađuju se spoznaje o povezanosti množenja i dijeljenja, množenja i sabiranja, te dijeljenja i oduzimanja. Da bi se izgradile, dijeljenje se obrazlaže množenjem, množenje se prikazuje uzastopnim sabiranjem, a dijeljenje uzastopnim oduzimanjem istog broja. Postupajući tako izgrađuje se spoznajna cjelina o vezi računskih opeiacija prirodnim brojevima.

FORMIRANjE POJMA MNOŽENJA PRIRODNIH BROJEVA

Pojam množenja brojeva izgrađuje se polazeći od aktivnosti u nivou konkretnosti te napredujući do onih na nivou apstraktnosti. Evo osnovnih etapa u tom procesu,

74

Etapa konkretnih aktivnosti. Konkretnima označavamo sve one učeničke aktivnosti s didakličkim materijalom (plastične pločice, štapići, kocke, plodovi i sl.) kojima se sadržaj pojma množenja transponira u oblik dostupan osjetilnom spoznavanju. To su aktivnosti udruživanja jednakobrojnih skupova čija je svrha konkretizovati sabiranje istlh brojeva. Pojam množenja brojeva izvodi se iz realnosti za koju je karakteristična ovakva situacija: zadani su jednakobrojni disjunktni skupovi i njihovi kardinalni brojevi te skup jednakobrojnih akupova i njegov kardinalni broj. Nepoznata je i traži se unija jednakobrojnih skupova i njen kardinalni broj koji je proizvod kardinalnog broja jednakobrojnih skupova i kardinalnog broja skupa tih skupova, Primjer: U svakoj klupi sjede 3 učenika. Koliko učenika sjedi u 6 klupa? Zadani su, dakle, jednakobrojni skupovi (učenici u klupama) i njihov kardlnalni broj (3) te skup jednakobrojnih skupova (skup klupa) i njegov kardinalni broj (6). Nepoznata je unija jednakobrojnlh skupova i njen kardinalni broj koji je proizvod broja 3 (broj učenika u jednoj klupi) i broja 6 (broj klupa). Osnovna predstava koju učenici povezuju uz množenje brojeva jest predstava unije jednakobrojnih skupova koja omogućuje primjenu u realnosti. Zato učenike treba osposobljavati da u realnim situacijama otkrivaju jednakobrojne skupove i njihovu uniju.

Udruživanje (unija) jednakobrojnih skupova. Svrha je te aktivnosti osposobljavati učenike u pronalaženju kardinalnog broja unije jednakobrojnih skupova (didaktički materijal), a uktjučuje ove djelimične radnje:

- postavlja se nekoliko jednakobrojnih skupova od dva, tri, četiri ...elemenata

- skupovi se zatim redom udružuju, prvi i drugi, zatim treći, četvrti itd.sve dok se svi ne stave u jedan skup

- pronalazi se kardinalnl broj unije jednakobrojnih skupova.Udruživanje jednakobrojnih skupova treba govorom pratiti izgovarajući

djelimične zbirove odnosno višestruke sadržioce broja koji se množi; pet više pet je deset, deset više pet je petnaest itd. Govornim obrazlaganjem udruživanje jednakobrojnih skupova postepeno će se transformisati u sabiranje istih brojeva koje će se potom izvoditi i bez očigledne podloge, bez udruživanja jednakobiojnih skupova.

U praksi se udruživanje jednakobrojnih skupova najčešće izvodi u dvije varijante: udružujući jednakobrojne skupove didaktičkog materijala i udružujući takve skupove koristeći se odgovarajućim tekstualnim zadatkom. Prema prvoj varijanti nastavnik (ili učenik) saopštava zadatak: stavi pred sebe (složi) nekoliko skupova od 3, 5, 4 ...) elementa, udruži ih i pronađe broj elemenata u udruženom skupu. Prema drugoj varijanti saopštava se tekstualni zadatak, na primjer: Marko svaki dan pročita 6 stranica knjige. Koliko ce stranica pročitati za 7 dana? Zadatak se rješava tako da se za svakih 6 stranica stavi skup od 6 elemenata, tj. složi 7 skupova od po 6 elemenata. Skupovi se redom udružuju i potom pronalazi kardinalni bioj udruženog skupa.

Jedan oblik udruživanja ekvivalentnih skupova može biti grafičko udruživanje koje je sadržajem jednako prethodnom: umjesto da postavljaju jednakobrojne skupove učenici ih crtaju. Zadatak može glasiti: Nacrtaj 5 skupova, a u svakom skupu 3 elementa, udruži ih i pronađi broj elemenata u udruženom skupu.

I grafičko udruživanje, dakako, treba govorom obrazložiti navodeći djelimične zbirove odnosno višestruke sadržioce broja koji se sabira odnosno množi.

75

Etapa apstraktnih operacija. Nakon udruživanja jednakobrojnih skupova konkrelnih predmeta, formiranje pojma množenja prirodnih brojeva postepeno se prenosi na misaono područje, na rad s brojevima. Svrha je osposobiti učenike u razumijevanju pojmovnog sadržaja množenja brojeva kako bi se ispravno shvatio zapis oblika a · b = c koji se kasnije uvodi.

a) Mentalno (usmeno) množenje brojeva. Izvodi se na više načina, a svima je zajednički cilj usvojiti sadržaj pojma množenja. Jedan oblik takvog rada je uzastopno sabiranje istog broja, što se može izvoditi usmeno, bez zapisivanja, ali i zapisujući zbir istih brojeva. U usmenoj varijanti zadaci se mogu posiavljati ovako: broj 5 saberi 7 puta; broj 4 saberi 9 puta i sl., što učenici i rade naglašavajući višestruke sadržioce broja koji se sabira npr: 5, 10, 15, 20 ... Uzastopno sabiranje istog broja može se i zapisivati, a zadatak se formulira ovako: broj 6 napiši 8 puta kao sabirak, a zatim saberi.

Uzastopno sabiranje istog broja može se potkrijepiti brojevnom linijom, a u nekim situacijama (bude li potrebno) i udruživanjem jednakobrojnih skupojva.

+2 +2 +2 +2 +2 +2 +2

__ ___ __ ___ ___ __ __ ___ __ ___ ___ __ ____ __ ___ ____0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Da bi se uočila i shvatila veza između uzastopnog sabiranja istog broja i množenja, svako takvo sabiranje trebalo bi sugerisati množenje, što će se postići bude li se sabiranje povezivalo uz množenje. Pošto učenici riješe, npr:, zadatak 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 21, treba istaknuti da je, prema tome, 7 puta 3 jednako 21. Korisno je da se učenik sam uvjeri da u zadatku ima 7 sabiraka, što će doznati brojenjem sabiraka, te da je svaki sabirak broj 3.

Uzastopnim sabiranjem istog broja mogu se rješavati i različiti tekstualni zadaci zapisujući zbir istih brojeva ili bez zapisa, usmeno, napamet. Zadatak: Na svakoj polici nalazi se 8 knjiga. Koliko je knjiga na 5 polica? Učenici zadatak mogu rješavati na dva načina: a) usmeno, 8 više 8 je 16, više 8 je 24, više 8 je 32, više 8 je 40; b) pišući zbir istog broja, tj. 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40.

Poželjno je da i sami učenici sastavljaju pojedine tekstualne zadatke rješavajući ih zatim uzastopnim sabiranjem istog broja. Uvijek treba uspostavljati vezu između sabiranja istih brojeva i množenja, čime se obavlja neposredna priprema za razumijevanje zapisa oblika a • b = c.

Rješavanje zadataka uzastopnim sabiranjem istog broja korisno je upotpunjavati i vježbanjima tipa 3 puta 6, 4 puta 7, 9 puta 4 i sl. upućujući učenike da razmišljaju: 2 puta 6 je, 6 više 6 je 12; 3 puta 6 je, 12 više 6 je 18 ... ili2 puta 7 je, 7 više 7 je 14; 3 puta 7 je 14 više 7 je ... itd. Rješavanje takvihzadataka vrlo je pogodno jer osim uzastopnog sabiranja istog broja uključujei množenje, čime se još potpunije izražava povezanost sabiranja i množenja.

Za usvajanje sadržaja množenja prirodnih brojeva korisno je učenike stavljati u njima poznate situacije u kojima se javlja množenje brojeva. Takve se situacije oblikuju u jednostavne i razumljive zadatke. Na primjer, Perica ide 3 puta u podrum i svaki put donese 4 jabuke. Koliko je ukupno jabuka donio? Ili: U domaćinstvu se

76

svaki dan potroši 2 litre mlijeka. Koliko ce se litara mlijeka potrošiti za 9 dana? Takve zadatke učenici mogu rješavati usmenim sabiranjem istog broja (zamišljajući pritom skupove predmeta na koje se brojevi odnose), zapisivanjem sabiranja istih brojeva ili (ako se ne može drukčije) udruživanjem jednakobrojnih skupova.

Množenje se usvaja i rješavanjem ovakvih zadataka:2 puta 5 je ... 3 puta 5 je ... 4 puta 5 je ...4 puta 7 je ... 5 puta 7 je .. . itd.Učenike treba podsticati da množenje, npr. 2 puta 5 je ... izvode ne samo do 10

puta 5, nego i dalje, koliko god mogu. Pritom, ako treba, mogu se pomagati sabirati istog broja.

Malo teži, ali zato vrlo koristan oblik množenja je onaj koji se zasniva na izvođenju novog rezultata iz već poznatoga. Takvi su npr. zadaci:

2 puta 9 je 18, 3 puta 9 je 18 više 9 ... 2 puta 4 je 8, 3 puta 4 je 8 više 4 ... itd.Uz rješavanje takvih zadataka mogu se uključivati i oni formulisani na najkraći

način: 7 puta 2 je . . . , 9 puta 3 je ..., 6 puta 4 je ... itd., upućujući nčenike da ih rješavaju uzastopnim sabiranjem istog broja, ako ne mogu neposrednim navođenjem proizvoda. Najvjerovatnije većina učenika neće moći pronaći rješenja pa ih treba upućivati da sabiraju počevši od npr. 1 puta 8 ili pak od 2 puta 2 i sl. Takav postupak veoma je pogodan jer sadrži mnoštvo djelimičnih misaonih operacija izračunavanja pojedinih proizvoda.

Mentalno množenje trebalo bi rezultirati razumijevanjem množenja kao sabiranje istih brojeva, odnosno shvatanjem činjenice da se zbir istih brojeva kraće i brže pronalazi množenjem. To je ujedno spoznajna podloga razumijevanja značenja zapisa za množenje brojeva oblika a · b = c.

b) Uvođenje zapisa za množenje brojeva. Glavni uslov za uvođenje zapisa je vladanje mentalnim, usmenim množenjem, što je znak da je u važnim crtama izgrađena misaona operacija množenja brojeva te se u osnovi shvata radnja prikazana brojevima zapisom oblika a • b = c.

Prelaz sa sabiranja istih brojeva na množenje treba obrazložiti mogućnošću bržeg i lakšeg pronalaženja zbira istih brojeva. Umjesto da se postepeno sabiraju po dva sabirka (a njih može biti mnogo), množenjem samo dvaju brojeva dolazi se do istog rezultata. Objašnjenje treba povezivati uz sabiranje istog broja. Zadatak: U školskoj kuhinji ima 7 stolova, za svakim stolom sjede 4 učenlka. Koliko učenika sjedi za stolovima? Uz zadatak se postavlja i izračunava zapis: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28. Pritom svi trebaju uočiti da je zbir sastavljen od istih brojeva, tj. da je broj 4 napisan 7 puta kao sabirak. Takav zbir može se napisati u obliku množenja, 7 • 4 = 28. Radi usporedbe korisno je uz zbir napisati zbir različitih sabiraka, na primjer 4 + 2 + 3 + 5+ 1 + 6 + 8 = 29, uz napomenu da se takav zbir ne može napisati u obliku množenja.

Objašnjavanje zapisa za množenje brojeva uključuje čitanje: sedam puta četiri je dvadeset osam; zatim objašnjenje značenja svakog znaka, tj. broj 7 označava (pokazuje) koliko sabiraka ima zbir (odnosno koiiko skupova učenika ima u kuhinji), a braj 4 označava broj koji se sabira (odnosno koliko učenika sjedi za svakim stolom), dok je broj 28 zbir istlh brojeva (odnosno broj svih učenika koji sjede za stolovima), odnosno to je proizvod brojeva 7 i 4. Znak "• " je znak za množenje brojeva, a čita se "puta". Cijeli

77

zapis zove se jednakost jer se s obje strane znaka "• " nalaze isti brojevi napisani različitim znakovima.

Da bi se zapis za množenje potpuno shvatio i zatim mogao primijeniti, treba rješavati zadatke koji omogućuju da se iz sabiranja istih brojeva prijeđe na množenje. Posebna pažnja posvećuje se razumijevanju značenja pojedinih brojeva i znakova u izrazu, što se postiže obrazlaganjem sabiranja istih brojeva i iz njega izvedenog zapisa za množenje brojeva.

FORMIRANJE POJMOVA MNOŽENJA I DIJELJENJAPRIRODNIH BROJEVA

Pojmovi množenja i dijeljenja prirodnih brojeva, kao i pojmovi sabiranja i oduzimanja, izvode se iz realnosti, a konkretizuju se odgovarajućim aktivnostima sa skupovima (didaktički materijal). Spoznajni proces ostvaruje se napredovanjem od konkretnog prema apstraktnom, a potom prema primjeni znanja u rješavanju odgovarajućih zadataka iz života. Dvije su karakteristične grupe aktivnosti u formiranju tih pojmova:

aktivnosti na nivou konkretnosti (skupovima predmeta) i

aktivnosti na nivou apstraktnosti (brojevima).

S obzirom na prethodno matematičko obrazovanje i stepen intelektualne razvijenosti učenika ovog uzrasta, aktivnosti sa skupovima nisu i ne moraju biti tako bogate kao pri formiranju pojmova sabiranja i oduzimanja. Ipak, te aktivnosti imaju određeno mjesto i ulogu u shvatanju množenja i dijeljenja brojeva.

Iako se teži spoznaji o povezanosti množenja i dijeljenja, najprije se usvaja množenje, a zatim dijeljenje brojeva. Nakon početnog usvajanja daljnjim radom izgrađuju se spoznaje o povezanosti množenja i dijeljenja, množenja i sabiranja, te dijeljenja i oduzimanja. Da bi se izgradile, dijeljenje se obrazlaže množenjem, množenje se prikazuje uzastopnim sabiranjem, a dijeljenje uzastopnim oduzimanjem istog broja. Postupajući tako izgrađuje se spoznajna cjelina o vezi računskih operacija prirodnim broievima.

FORMIRANJE POJMA MNOŽENJA PRIRODNIH BROJEVA

78

Pojam množenja brojeva izgrađuje se polazeći od aktivnosti na nivou konkretnosti te napredujući do onih na nivou apstraktnosti. Evo osnovnih etapa u tom procesu.Etapa konkretnih aktivnosti. Konkretnim označavamo sve one učeničke aktivnosti s didaktičkim materijalom (plastične pločice, štapići, kocke, plo-dovi i sl.) kojima se sadržaj pojma množenja transponuje u oblik dostupan osjetilnom spoznavanju. To su aktivnosti udruživanja jednakobrojnih skupova čija je svrha konkretizovati sabiranje istih brojeva. Pojam množenja brojeva izvodi se iz realnosti za koju je karakteristična ovakva situacija: zadani su jednakobrojni disjunktni skupovi i njihovi kardinalni brojevi te skup jednakobrojnih skupova i njegov kardinalni broj. Nepoznata je i traži se unija jednakobrojnih skupova i njezin kardinalni broj koji je proizvod kardinalnog broja jednakobrojnih skupova i kardinalnog broja skupa tih skupova. Primjer: U svakoj klupi sjede 3 učenika. Koliko učenika sjedi u 6 klupa? Zadani su, dakle, jednakobrojni skupovi (učenici u klupama) i njihov kardinalni broj (3) te skup jednakobrojnih skupova (skup klupa) i njegov kardinaini broj (6). Nepoznata je unija jednakobrojnih skupova i njen kardinalni broj koji je proizvod broja 3 (broj ućenika u jednoj klupi) i broja 6 (broj klupa). Osnovna predodžba koju učenici povezuju uz množenje brojeva jest predodžba unije jednakobrojnih skupova koja omogućuje primjenu u realnosti. Zato učenike treba osposobljavati da u realnim situacijama otkrivaju jednakobrojne skupove i njihovu uniju.

Udruživanje (unija) jednakobrojnih skupova. Svrha je te aktivnosti osposobljavati učenike u pronalaženju kardinalnog broja unije jednakobrojnih skupova (didaktički materijal), a uključuje ove djelimične radnje:

- postavlja se nekoiiko jednakobrojnih skupova od dva, tri, četiri ...elemenata

- skupovi se zatim redom udružuju, prvi i drugi, zatim treći, četvrti itd.sve dok se svi ne stave u jedan skup

- pronalazi se kardinalni broj unije jednakobrojnih skupova.Udruživanje jednakobrojnih skupova treba govorom pratiti izgovarajući

djelimične zbirove odnosno višestruke sadržioce broja koji se množi; pet više pet je deset, deset više pet je petnaest itd. Govornim obrazlaganjem udruživanje jednakobrojnih skupova postepeno će se transformisati u sabiranje istih brojeva koje će se potom izvoditi i bez očigledne podloge, bez udruživanja jednakobrojnih skupova.

U praksi se udruživanje jednakobrojnih skupova najčešće izvodi u dvije varijante: udružujući jednakobrojne skupove didaktičkog materijala i udružujući takve skupove koristeći se odgovarajućim tekstualnim

zadatkom. Prema prvoj varijanti nastavnik (ili učenik) saopštava zadatak: stavi pred sebe

(složi) nekoliko skupova od 3 (5, 4 ...) elementa, udruži ih i pronađi broj elemenata u udruženom skupu.

Prema drugoj varijanti saopštava se tekstualni zadatak, na primjer: Milan svaki dan pročita 6 stranica knjige. Koliko ce stranica pročitati za 7 dana? Zadatak se rješava tako da se za svakih 6 stranica stavi skup od 6 elemenata, tj. složi 7 skupova od po 6 elemenata. Skupovi se redom udružuju i potom pronalazi kardinalni broj udruženog skupa.

79

Jedan oblik udruživanja ekvivalentnih skupova može biti grafičko udruživanje koje je sadržajem jednako prethodnom: umjesto da postavijaju jednakobrojne skupove učenici ih crtaju. Zadatak može glasiti: Nacrtaj 5 skupo-va, a u svakom skupu 3 elementa, udruži ih i pronadi broj elemenata u združenom skupu.

I grafičko udruživanje, dakako, treba govorom obrazložiti navodeći djelimične zbirove odnosno višestruke sadržioce broja koji se sabira odnosno množi.

Etapa apstraktnih operacija. Nakon udruživanja jednakobrojnih skupova konkretnih predmeta, formiranje pojma množenja prirodnih brojeva postepeno se prenosi na misaono područje, na rad s brojevima. Svrha je osposobiti učenike u razumijevanju pojmovnog sadržaja množenja brojeva kako bi se ispravno shvatio zapis oblika a · b = c koji se kasnije uvodi.

a) Mentalno (usmeno) množenje brojeva. Izvodi se na više načina, a svima je zajednički cilj usvojiti sadržaj pojma množenja. Jedan oblik takvog rada je uzastopno sabiranje istog broja, što se može izvoditi usmeno, bez zapisivanja, ali i zapisujući zbir istih brojeva. U usmenoj varijanti zadaci se mogu postavIjati ovako: broj 5 saberi 7 puta; broj 4 saberi 9 puta i sl., što učenici i rade naglašavajući višestruke sadržioce broja koji se sabira - 5, 10, 15, 20 ... Uzastopno sabiranje istog broja može se i zapisivati, a zadatak se formuliše ovako: broj 6 napiši 8 puta kao sabirak, a zatim saberi.

Uzastopno sabiranje istog broja može se potkrijepiti brojevnom linijom, a u nekim situacijama (bude li potrebno) i udruživanjem jednakobrojnih skupova.

+2 +2 +2 +2 +2 +2 +2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Da bi se uočila i shvatila veza izmedu uzastopnog sabiranja istog broja i množenja, svako takvo sabiranje trebalo bi sugerisati množenje, što će se postići bude li se sabiranje povezivalo uz množenje. Pošto učenici riješe, npr:, zadatak 3+3+3+3+3+3+3 = 21 , treba istaknuti da je, prema tome, 7 puta 3 jednako 21. Korisno je da se učenik sam uvjeri da u zadatku ima 7 sabiraka, što će doznati brojenjem sabiraka, te da je svaki sabirak broj 3.

Uzaslopnim sabiranjem istog broja mogu se rješavati i različiti tekstualni zadaci zapisujući zbir istih brojeva ili bez zapisa, usmeno, napamet. Zadatak: Na svakoj polici nalazi se 8 knjiga. Koliko je knjiga na 5 polica? Učenici zadatak mogu rješavati na dva naćina: a) usmeno, 8 više 8 je 16, više 8 je 24, više 8 je 32, više 8 je 40; b) pišući zbir istog broja, tj. 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40. Poželjno je da i sami učenici sastavljaju pojedine tekstualne zadatke rješavajući ih zatim uzastopnim sabiranjem istog broja, Uvijek, međutim, treba uspostavljati vezu između sabiranja istih brojeva i množenja, čime se obavlja neposredna priprema za razumijevanje zapisa oblika a · b = c.

Rješavanje zadataka uzastopnim sabiranjem istog broja korisno je upotpunjavati i vježbanjima tipa 3 puta 6, 4 puta 7, 9 puta 4 i sl. upućujući uče nike da razmišljaju: 2 puta 6 je, 6 više 6 je 12; 3 puta 6 je, 12 više 6 je 18 ... ili 2 puta 7 je, 7 više 7 je 14; 3 puta 7 je 14 više 7 je ... itd. Rješavanje takvih zadataka vrlo je pogodno jer osim

80

uzastopnog sabiranja istog broja uključuje i množenje, čime se još potpunije izražava povezanost sabiranja i množenja.

Za usvajanje sadržaja množenja prirodnih brojeva korisno je učenike stavljati u njima poznate situacije u kojima se javlja množenje brojeva. Takve se situacije oblikuju u jednostavne i razumljive zadatke. Na primjer, Jovan ide 3 puta u podrum i svaki put donese 4 jabuke. Koliko je ukupno jabuka donio? ili U domaćinstvu se svaki dan potroši 2 litre mlijeka. Koliko će se litara mlijeka potrošiti za 9 dana? Takve zadatke učenici mogu rješavati usmenim sabiranjem istog broja (zamišljajući pritom skupove predmeta na koje se brojevi odnose), zapisivanjem sabiranja istih brojeva ili (ako se ne može drukčije) udruživanjem jednakobrojnih skupova.

Množenje se usvaja i rješavanjem ovakvih zadataka:2 puta 5 je ... 3 puta 5 je ... 4 puta 5 je ...4 puta 7 je ... 5 puta 7 je ... itd.Učenike treba podsticati da množenje, npr. 2 puta 5 je ... izvode ne samo do 10

puta 5, nego i dalje, koliko god mogu. Pritom, ako treba, mogu se pomagati sabiranjem istog broja.

Malo teži, ali zato vrlo koristan oblik rnnoženja je onaj koji se zasniva na izvođenju novog rezultata iz već poznatoga. Takvi su npr. zadaci:

2 puta 9 je 18, 3 puta 9 je 18 više 9 ...2 puta 4 je 8, 3 puta 4 je 8 više 4 ... itd.Uz rješavanje takvih zadataka mogu se uključivati i oni formulisani na najkraći

način: 7 puta 2 je ,.., 9 puta 3 je ..., 6 puta 4 je ... itd., upućujući učenike da ih rješavaju uzastopnim sabiranjem istog broja, ako ne mogu neposrednim navođenjem proizvoda. Najvjerovatnije većina učenika neće moći pronaći rješenja pa ih treba upućivati da sabiraju počevši od npr. 1 puta 8 ili pak od 2 puta 2 i sl. Takav postupak veoma je pogodan jer sadrži mnoštvo djelimičnih misaonih operacija izračunavanja pojedinih proizvoda.

Mentalno množenje trebalo bi rezultovati razumijevanjem množenja kao sabiranja istih brojeva, odnosno shvatanjem činjenice da se zbir istih brojeva kraće i brže pronalazi množenjem. To je ujedno spoznajna podloga razumijevanju značenja zapisa za množenje brojeva oblika a · b = c.

b) Uvodenje zapisa za množenje brojeva. Glavni uslov za uvođenje zapisa je vladanje mentalnim, usmenim množenjem, što je znak da je u bitnim crtama izgrađena misaona operacija množenja brojeva te se u osnovi shvata radnja prikazana brojevima zapisom oblika a · b = c.

Prelaz sa sabiranja istih brojeva na množenje treba obrazložiti mogućnošću bržeg i lakšeg pronalaženja zbira istih brojeva. Umjesto da se postepeno sabiraju po dva sabirka (a njih može biti mnogo), množenjem samo dvaju brojeva dolazi se do istog rezultata. Objašnjenje treba povezivati uz sabiranje istog broja. Zadatak: U školskoj trpezariji ima 7 stolova, za svakim stolom sjede 4 učenika. Koliko učenika sjedi za stolovima? Uz zadatak se postavlja i izračunava zapis; 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28. Pritom svi trebaju uočiti da je zbir sastavljen od istih brojeva, tj. da je broj 4 napisan 7 puta kao sabirak. Takav zbir može se napisati u obliku množenja, 7 · 4 = 28. Radi usporedbe korisno je uz zbir napisati zbir različitih sabiraka, na primjer 4 + 2 + 3 + 5 + 1 + 6 + 8 = 29, uz napomenu da se takav zbir ne može napisati u obliku množenja.

81

Objašnjavanje zapisa za množenje brojeva uključuje čitanje: sedam puta četiri je dvadeset osam; zatim objašnjenje značenja svakog znaka, tj. broj 7 označava (pokazuje) koliko sabiraka ima zbir (odnosno koliko skupova učenika ima u trpezariji), a broj 4 označava broj koji se sabira (odnosno koliko učenika sjedi za svakim stolom), dok je broj 28 zbir istih brojeva (odnosno broj svih učenika koji sjede za stolovima), odnosno to je proizvod brojeva 7 i 4. Znak (·) jest znak za množenje brojeva, a čita se "puta". Cijeli zapis zove se jednakost jer se s obje strane znaka " = " nalaze isti brojevi napisani različitim znakovima.

Da bi se zapis za množenje potpuno shvatio i zatim mogao primijeniti, treba rješavati zadaike koji omogućuju da se iz sabiranja istih brojeva prijeđe u množenje. Posebna pažnja posvećuje se razumijevanju značenja pojedinih brojeva i znakova u izrazu, što se postiže obrazlaganjem sabiranja istih brojeva i iz njega izvedenog zapisa za množenje brojeva.

FORMIRANJE POJMA DIJELJENJA PRIRODNIH BROJEVA

Upoznavanjem dijeljenja brojeva, posljednje od četiriju osnovnih računskih operacija što ih učenici usvajaju u razrednoj nastavi, zaokružuje se prvi ciklus njihovog matematičkog vaspitanja i obrazavanja u nižim razredima osnovne škole. Kao i oslali pojmovi, i pojam dijeljenja brojeva izvodi se iz realnosti kako bi se u njoj mogao primjenjivati. Empirijska podloga na kojoj se izgrađuje je rastavljanje skupova konkretnih predmeta. lzgrađuje se u dvije osnovne etape.

Etapa konkretnih aktivnosti. Realna situacija za koju se povezuje dijeljenje prirodnih brojeva je:

rastavljanje skupova na jednakobrojne podskupove tražeći broj elemenala u svakom podskupu i

rastavljanje tražeći broj jednakobrojnih podskupova.

Za prvi način rastavljanja karakterisiična je ovakva situacija: skup od 12 jabuka treba podijeliti na 4 podskupa tako da u svakom bude jednako mnogo elemenata. Koliko će jabuka biti u svakom podskupu? Poznat je, dakle, skup i njegov kardinalni broj (12), poznat je broj jednakobrojnih podskupova (4), nepoznat je broj elemenata u svakom podskupu koji je količnik brojeva 12 i 4.

Za drugi način rastavljanja skupa karakteristična je ovakva situacija: skup od 12 olovaka treba podijeliti na podskupove od po 4 olovke. Koliko de biti podskupova?

Poznat je skup olovaka i njegov kardinalni broj (12), poznat je broj elemenata u podskupovima (4), a nepoznat je broj podskupova koji je količnik brojeva 12 i 4.

Razlika izmedu tih rastavljanja je u sljedećem:

82

u prvom načinu zadan je broj jednakobrojnih podskupova (traži se broj elemenata u svakom podskupu),

a u drugom načinu zadan je broj elemenata u svakom podskupu (traži se broj podskupova). U praksi se provode oba načina rastavljanja skupova jer, iako se razlikuju (što zavisi o realnim situacijama), neposredno vode u dijeljenje brojeva.

a) Rastavljanje skupova na jednakobrojne podskupove (tražeći broj eiemenata u svakom podskupu) uključuje ove djelimične radnje:

- postavlja se skup od 18, 24, 30 i sl. elemenata (koji se može rastaviti bez ostatka)

- skup se zatim rastavlja na zadani broj jednakobrojnih podskupova (na4, 6 ,7 . . . )

- pronalazi se broj elemenata u svakom podskupu- izvedeno rastavljanje obrazlaže se govorom.

Zadatak: 20 olovaka treba podijeliti na 5 učenika tako da svaki dobije jednako mnogo olovaka. Koliko će dobiti svaki? Rješava se ovako:

Iz skupa od 20 olovaka uzima se 5 olovaka (jer se dijeli na 5 učenika) i svakom se učeniku daje po 1 olovka; ponovno se uzima 5 olovaka i svakom učeniku daje po 1 olovka i tako sve dok se ne podijele sve olovke. Na kraju se utvrduje da je svaki dobio 4 olovke. Razlog takvom postupku je dvojak. Bududi da se na početku rastavtjanja skupa ne zna (bez računanja) koliko će elemenata biti u svakom podskupu, najsigurniji način da se to ustanovi jest da se u svaki podskup redom stavlja po 1 element, zatim ponovno 1 element i tako sve dok se ne uzmu svi elementi danog skupa. Na taj naćin postiže se sigurnost da će u svim podskupovima biti jednak broj elemenata.

Drugi je razlog u činjenici da se takvim postupkom konkretizuje dijeljenje kao uzastopno oduzimanje istog broja od zadanog broja. Uzimajući po 3, po 5, po 7, zavisno o tome na koliko se jednakobrojnih podskupova rastavlja, uzastopno oduzimanje istog broja čini se očiglednim te zato dostupnim osjetilnom spoznavanju.

Rastavljanje skupa obrazlaže se govorom navodći bitne brojčane aspekte toga procesa: 20 (olovaka) podijeljeno na 5 (učenika) je 4 (olovke svakom) jer je 4 puta 5 jednako 20. Ili: 12 (knjiga) podijeljeno na 3 (učenika) je 4 jer je 4 puta 3 jednako 12. Takvim obrazlaganjem materijalna radnja (rastavljanje skupa) se inleriorizira, prenosi na misaoni plan, a dijeljenje se povezuje uz množenje.

b) Rastavljanje skupa na podskupove sa zadanim brojem elemenata (npr. 2, 3, 5 •••), tražeći broj podskupova, sadrži ove djelimične radnje:

- postavlja se skup koji se može bez ostatka rastaviti- skup se rastavtja na podskupove od 2, 3, 5 elemenata- pronalazi se broj podskupova- rastavljanje se govorom obrazlaže.Postavi se, npr, skup od 24 elementa, a zadatak je rastaviti ga na podskupove od 6

elemenata te ustanoviti broj podskupova. Rastavlja se ovako: uzima se 6 elemenata i stavlja na stranu, ponovno se uzima 6 etemenata i stavlja na drugo mjesto (pored prethodnog podskupa) i tako redom dok se ne uzme i posljednji podskup od 6 elemenata. Nakon toga, utvrduje se da su dobivena 4 podskupa (svaki po 6 elemenata). I to se rastavljanje povezuje uz odgovarajuće tekstualne zadatke:

83

30 jaja treba slaviti u kutije od po 5 jaja. Koliko je kutija potrebno? Ili: 18 svesaka treba podijeliti učenicima tako da svaki dobije 3 sveske? Koliko

će učenika dobiti sveske? Uzimaju se 3 sveske i daju jednom učeniku, zatim se ponovno uzimaju 3 sveske i daju drugom učeniku itd. dok se ne podijele sve sveske. Na kraju se utvrduje da je 6 učenika dobilo sveske (toliko učenika koliko ima podskupova od 6 elemenata).

Dakako i ovaj način rastavljanja skupova treba govorom obrazlagati: 18 svesaka podijeljeno na podskupove od 3 sveske daje 6 podskupova.

Osim učeničkim didaktičkim materijalom, rastavljanje skupova može se prikazati i grafički, crtanjem, što je sadržajem identično rastavljanju didaktičkim materijalom, a razlikuje se samo vizuelnom strukturom. Zadatak: 15 kuglica treba podijeliti na 3 učenika tako da svaki dobije jednako mnogo. Napravite grafički prikaz.

Zadatak: 15 kuglica treba podijeliti učenicima tako da svaki dobije 3 kugiice. Koliko će učenika dobici kuglice? Napravite grafički prikaz!

Utvrduje se da je 5 učenika dobilo kuglice (toliko učenika koliko ima podskupova od 3 elementa).

I grafičko rastavljanje skupova prati odgovarajuće govorno obrazlaganje: 15 podijeljeno na 3 je 5 jer je 5 puta 3 jednako 15.

Etapa apstraktnih operacija. Rastavljanjem skupova konkretnih predmeta učenici su stekli osnovne spoznaje o odnosima brojeva u tim radnjama čime su ujedno stvoreni uslovi da se formiranje pojma dijeljenja brojeva postepeno prenosi na misaono područje.

a) Mentalno (usmeno) dijeljenje. Da bi se rastavljanje skupova kao materijalna radnja transformisalo u misaonu radnju, učenike treba stavljati u situacije u kojima će konkretne (očigledne) aktivnosti postepeno zamjenjivati misaonim. Takve su situacije kada učenici umjesto stvarnog zamišljaju rastavIjanje skupova. U tu svrhu mogu se rješavati ovakvi zadaci:

Zamisli 12 učenika koje treba podijeliti u 4 grupe (da u svakoj grupi bude jednako mnogo učenika). Koliko će učenika bili u svakoj grupi? Ili:

Zamisli kutiju i u njoj 15 olovaka u boji koje treba podijeliti na 5 učenika tako da svaki dobiva jednako mnogo elemenata. Koliko će olovaka dobiti svaki učenik?

Ako se rastavljanje ne može izvesti zamišljanjem, treba se vratiti na konkretnu, očiglednu podlogu (didaktički materijal). Podsticaj zamišljanju rastavljanja skupova može biti podsjećanje na realne situacije o kojima se u zadatku govori.

Daljnji oblik mentalnog dijeljenja može biti uzastopno oduzimanje istog broja koje se može izvoditi zapisivanjem, uz pomoć brojevne linije ili, što je najbolje, usmeno, napamet.

Kao oblik mentalnog dijeljenja uzaslopno oduzimanje istog broja treba povezivati uz realnosl, najćešce izraženu jednostavnim tekstualnim zadatkom.

Na primjer: majka dijeli 12 jabuka na 3-je djece (svako dijete treba dobiti jednako mnogo jabuka). Koliko će jabuka dobiti svako dijete?

84

Neki će možda, na osnovu prethodnog rada, odmah odgovoriti da će svako dijete dobiti 4 jabuke. Neki će možda zadatak htjeti riješiti koristeći se didaktićkim materijalom i rastavIjajući skup od 12 elemenata, a neki će pronaći svoj vlastiti put do rješenja. Ipak treba predložiti (objasniti) kako se do rezultata dolazi uzastopnim oduzimanjem broja 3 od broja 12.

Objašnjenje može biti: od 12 jabuka uzimaju se 3 (za svako dijete po 1) ostaje 9; od 9 uzimaju se ponovno 3 (za svakog po 1) ostaje 6 i tako dok se ne uzmu sve jabuke. Svako je dijete dobilo 4 jabuke, odnosno toliko puta po 1 jabuku koliko puta se 3 može oduzeti od 12. Znakovima taj se proces zapisuje:

12-3 = 9

9 - 3 = 6

6 - 3 = 3

3 - 3 = 0

Kako se broj 3 može 4 puta oduzeti od broja 12, to je 12 podijeljeno na 3 jednako 4 (jer 4 puta 3 jednako je 12).

Uzastopno oduzimanje istog broja može se prikazati i brojevnom linijom: -3 -3 -3 -3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Dijeljenje uzastopnim oduzimanjem može se, dakako, izvoditi i usmeno, napamet, bez zapisivanja, pazeći pritom (što se može na neki način registrovati ) koliko puta je isti broj oduzet.

Na primjer: 32 čokolade treba podijeliti na 8 učenika tako da svaki učenik dobije jednako mnogo čokolada. Koliko će čokolada dobiti svaki učenik? Zadatak se može riješiti razmišljajući: 32 manje 8 je 24; 24 manje 8 je 16; 16 manje 8 je 8; 8 manje 8 je 0. Znači, svaki je dobio 4 čokolade (jer se 8 može 4 puta oduzeti od 32).

Na isti način uzastopnim oduzimanjem treba rješavati i one tekstualne zadatke koji sadrže drugi način rastavljanja skupova.

Na primjer: 48 boca treba smjestiti na police tako da na svakoj bude 8 boca. Koliko je polica potrebno? Zadatak se rješava: 48 boca manje 8 boca (za jednu policu) je 40; 40 manje 8 je 32 itd. sve dok se izvrše sva oduzimanja. Na kraju se doznaje: potrebno je 6 polica, jer 48 podijeljeno sa 8 je 6.

Jedan oblik mentalnog dijeljenja može biti onaj pomoću množenja. Dijeli se tako da se traži broj kojim treba pomnožiti djelitelj (divizor) da bi se dobio djeljenik (dividend). Pretpostavka za takvo dijeljenje jest znanje množenja, pa zato prethodno treba osigurati relevantno predznanje množenja.

Zadatak: 27 podijeljeno sa 3 rješava se traženjem broja kojim treba pomnožiti broj 3 da bi se dobio broj 27. Ne mogu li učenici neposredno pronaći taj broj, treba ih upućivati na postepeno pronalaženje množenjem broja 3 najprije s 1 ili 2, zatim sa 3 itd., dok ne pronađu traženi broj. Na kraju, razmišljanje treba koncizno izraziti: 27 podijeljeno sa 3 je 9 jer je 9 puta 3 jednako 27. Taj način dijeljenja preglednije se može zapisati ovako:

85

27 podijeljeno sa 3 je 9 jer je 9 · 3 = 27,35 podijeljeno sa 5 je 7 jer je 7· 5 = 35 itd.Mentalno ili usmeno dijeljenje ima, dakle, taj cilj da se u osnovnim crtama usvoji

sadržaj operacije dijeljenja brojeva kako bi se moglo pristupiti usvajanju zapisa za tu računsku operaciju.

h) Uvođenje zapisa za dijeljenje brojeva. Prelaz na dijeljenje brojeva treba motivisati mogućnošću bržeg i lakšeg pronalaženja količnika dvaju brojeva. Umjesto da se skup rastavlja ili da se neki broj uzastopno oduzima od zadanog broja, dijeljenjem dvaju brojeva dolazi se do istog rezultata. Zato objašnjenje zapisa za dijeljenje brojeva treba povezivati uz rastavljanje skupova i uzastopno oduzimanje.

Može se poći od zadatka: 12 kuglica treba podijeliti na 4 dječaka tako da svaki dobije jednako mnogo kuglica. Koliko će kuglica dobiti svaki dječak?

Ili: 12 kuglica treba podijeliti dječacima tako da svaki dobije 4 kuglice. Koliko de dječaka dobiti kuglice? Polazedi od takvih situacija: dolazimo do zapisa 12 : 4 = 3, a zatim ga objašnjavamo: broj 12 označava broj kuglica, broj 4 označava broj dječaka kojima se dijele kuglice, a broj 3 označava koliko je svaki dječak dobio, odnosno u drugom primjeru koliko dječaka je dobilo kuglice. Zapis se čita: 12 podijeljeno sa 4 je 3. Znak ": " (dvije tačke) je znak za dijeljenje brojeva, a čita se "podijeljen sa". Cijeli se izraz zove jednakost.

Oba načina rastavljanja skupa dovode do istog brojevnog zapisa. Zato je korisno u početku uz isti zapis povezivati oba načina raslavljanja skupa na jednakobrojne podskupove tražeći broj elemenata u svakom i na podskupove od 2, 3, 5 . . . elemenata tražeći broj podskupova.

Kad se zapis za dijeljenje upozna treba ga primjenjivati na odgovarajuće realne situacije (tekstualne zadatke), ukazujući pritom na značenje pojedinih znakova u njemu. Mogu se provodiii dvojake vježbe: uz tekslualni zadatak učenici navode zapis i objašnjavaju njegovo značenje ili za odgovarajući zapis učenici pronalaze realne situacije na koje se zapis odnosi.

86