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Método da Diferença Central
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002
001
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222
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2
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2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 (A) de
2 (B) de
se- tem,fornecidos e Com
efetiva rigidez de matriz da ofatorizaçãrequer não
211 2
211
21 2 1
tempono equilíbrio
(B) 2 1 (A); 21
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Método da Diferença Central
_____________________________________________________________________________ 2
tempono saceleraçõe e es velocidadas calcule requerido, Caso 3.
ˆ
: tempono tosdeslocamen os para Resolva 2. ˆ
: tempono efetivas cargas as Calcule 1. B.
_____________________________________________________________________________. ˆ :ˆ Decomponha .6
.ˆ :ˆ efetiva massa de matriz a Construa .5
. 2
Calcule 4.
.1 ;2 ;21 ;1
:integração de constantes as calcule e , , tempode passo o Selecione .3 . e , Inicialize .2
. ntoamortecime de e , massa de , rigidez de matrizes as Construa 1. A.
_____________________________________________________________________________
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CMKniciais: Cálculos I
Método de Hubolt
esquema. outro utilizando e Calcule
fornecidos e , Com
efetiva rigidez de matriz da ofatorizaçãrequer Implícito Integração de Método
311
234 35
6112
21 2 1
tempono equilíbrio
(B) 4 5 21 (A); 2 9 1161
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Método de Hubolt
_____________________________________________________________________________
tempono saceleraçõe e es velocidadas calcule requerido, Caso 3.
ˆ
: tempono tosdeslocamen os para Resolva 2. ˆ
: tempono efetivas cargas as Calcule 1. B.
_____________________________________________________________________________. ˆ :ˆ Decomponha .6
.ˆ :ˆ efetiva rigidez de matriz a Construa .5
. e calcular para partida de especial toprocedimen um Use4.
.9
;2
;2
;2
;3 ;5 ;611 ;2
:integração de constantes as calcule e tempode passo o Selecione .3 . e , Inicialize .2
. ntoamortecime de e , massa de , rigidez de matrizes as Construa 1. A.
_____________________________________________________________________________
26420
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CMKniciais: Cálculos I
Método de Wilson
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232
22
322
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t t+t t+t
Método de Wilson
_____________________________________________________________________________ 2
tempono tos,deslocamen os e es velocidads,aceleraçõe as Calcule 3.
ˆ
: tempono tosdeslocamen os para Resolva 2. 2 2 ˆ
: tempono efetivas cargas as Calcule 1. B.
_____________________________________________________________________________. ˆ :ˆ Decomponha .5
.ˆ :ˆ efetiva rigidez de matriz a Construa .4
.6
;2
;31 ;
;2
;2 ;3 ;6
:1,4) te(normalmen integração de constantes as calcule e tempode passo o Selecione .3 . e , Inicialize .2
. ntoamortecime de e , massa de , rigidez de matrizes as Construa 1. A.
_____________________________________________________________________________
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CMKniciais: Cálculos I
Método de Newmark
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fornece tempono Equilíbrio
61 e 21 61 611 6 2
21 211 2
1) com Wilson de (MétodoLinear Aceleração da Método
41 e 21 41 4121 2 21
21 21 21
21
Constante Aceleração da Método
21
1
232
2
22
2
tU tU ttU
t t+t
Método de Newmark
_____________________________________________________________________________
tempono s aceleraçõe e es velocidadas Calcule 3.
ˆ
: tempono tosdeslocamen os para Resolva 2. ˆ
: tempono efetivas cargas as Calcule 1. B.
_____________________________________________________________________________. ˆ :ˆ Decomponha .5
.ˆ :ˆ efetiva rigidez de matriz a Construa .4
. ;1 ;22
;1
;121 ;1 ; ;1
5,025,0 ;5,0
integração de constantes as calcule e e parâmetros , tempode passo o Selecione .3 . e , Inicialize .2
. ntoamortecime de e , massa de , rigidez de matrizes as Construa 1. A.
_____________________________________________________________________________
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CMKniciais: Cálculos I
Superposição Modal
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Superposição Modal
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00 com
onde ;
0M ;0M com
Ω
ntoAmortecime sem Análise a)
Superposição Modal
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Titi
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Rayleigh de ntoAmortecime 2
se satisfeita é I quemostrar sePode
1 e iniciais condições daspartir a calculados são e onde
cossensene1
Duhamel de integral pela dada é soluçãoA
00 com onde ; 2
para0para1Kronecker de delta o é onde
I 2 que em especial caso no
0M ;0M com Ω
ntoAmortecime com Análise b)
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1
1
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Aproximação da Integração Direta e Operadores de Carga
Método da Diferença Central
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Aproximação da Integração Direta e Operadores de Carga
Método de Wilson
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Aproximação da Integração Direta e Operadores de Carga
Método de Wilson
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21
21
26211
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1
32
22
2
2
22
22
2
2
2
Aproximação da Integração Direta e Operadores de Carga
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txxxxrxxx
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21
12112211
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21
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2
2
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2
2
2
2
Método de Newmark
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Análise de Estabilidade
tnttnttnt
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tn
tn
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rLrLArLA
rLArLAXAX
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1232
21
...ˆˆ
ˆˆ
Para r(t) = 0
tn
tnt XAX ˆˆ
Um método de integração é incondicionalmente estável se a solução para quaisquer condições iniciais não cresce sem limite para qualquer t, em particular quando t/T é grande. O método é somente condicionalmente estável se a condição é satisfeita somente se t/T é menor do que certo valor, usualmente chamado de limite de estabilidade.
Análise de Estabilidade
Análise de Estabilidade
Análise da Precisão
Análise da Precisão
Extrapolação de Richardson
1111111
mmm hOhChOhe
111111
mm hOhChqq
Seja q1(h1) o resultado de uma análise numérica, utilizando-se uma malha definida pelo parâmetro h1. Seja, por outro lado, e1(h1) o erro desta solução, de ordem m, ou seja,
onde C1 é uma constante. Tem-se, então,
Seja q2(h2) a solução obtida a partir de outra malha. Se a forma do erro for suposta a mesma, tem-se:
122122
mm hOhChqq
Subtraindo a primeira equação, multiplicada por h2m, da segunda, multiplicada por h1m, obtém-se:
mmmmmmmm hhOhhOhqhqhhq 21
111
2211221
Extrapolação de Richardson
Se os erros de ordem superior forem considerados aproximadamente os mesmos, tem-se:
Pode também ser mostrado que, se o erro na solução tem a forma:
com Ci constantes , tendo-se três soluções, q1, q2 e q3, uma solução melhorada pode ser obtida da expressão
mm
mm
ext hhhqhq
qq21
2112
...221 mm hChCe
mmmmmmmmmmmm
mmmmmmmmmmmm
ext hhhhhhhhhhhhhhhhqhhhhqhhhhq
q121231312323
121233131223231
Extrapolação de Richardson
Extrapolação de Richardson