Método de bisecciónEn matemáticas, el método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz.

Introducción

Bisección.

Supóngase que queremos resolver la ecuación f(x) = 0 (donde f es continua). Dados dos puntos a y b tal que f(a) y f(b) tengan signos distintos, sabemos por el Teorema de Bolzano que f debe tener, al menos, una raíz en el intervalo [a, b]. El método de bisección divide el intervalo en dos, usando un tercer punto c = (a+b) / 2. En este momento, existen dos posibilidades: f(a) y f(c), ó f(c) y f(b) tienen distinto signo. El algoritmo de bisección se aplica al subintervalo donde el cambio de signo ocurre.

El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia.

Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y f(a)f(b) < 0, entonces este método converge a la raíz de f. De hecho, una cota del error absoluto es:

en la n-ésima iteración. La bisección converge linealmente, por lo cual es un poco lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y f(b) tienen distinto signo.

Si existieran más de una raíz en el intervalo entonces el método sigue siendo convergente pero no resulta tan fácil caracterizar hacia qué raíz converge el método.

Ejercicios:

Ejemplo.- Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache. La longitud del puente obtenida es de 9999 cm y la del remache es de 9 cm.

Si los valores verdaderos son 10,000 y 10 cm, respectivamente, calcule :

el error absoluto

el error relativo %

para cada caso:

Puente Remache

Vv = 10000 cm 10 cm

Va = 9999 cm 9 cm

EA = 10000 - 9999 EA = 10 - 9

EA = 1 cm EA = 1 cm

Error Porcentual = 1 x 100 = 0.01 %

10,000

Error Porcentual = 1 x100 = 10 %

10

Ejemplo:

Suponga que el valor para un cálculo debería ser Vv = 0.10 x 102 pero se obtuvo el resultado de Va = 0.08 x 102. Determine el error absoluto y el error relativo porcentual:

EA = 0.10 x 102 - 0.08 x 102

EA = 2 = 0.2 x 101

ERP = 0.2 x 101 x 100 = 20%

0.10 x 102

Ejemplo:

Vv = 0.24 x 10 - 4 Va = 0.12 x 10 - 4

EA = 0.24 x 10 - 4 - 0.12 x 10 - 4

EA = 1.2 x 10 - 5 , 0.12 x 10 - 4 , por lo tanto es pequeño

ERP = 0.12 x 10 - 4 x 100 = 50%, por lo tanto es grande.

0.24 x 10 - 4

Ejemplo :

Vv = 0.46826564 x 10 6

Va = 0.46830000 x 10 6

EA = 0.46826564 x 10 6 - 0.46830000 x 10 6

EA = 34.46 , por lo tanto es grande.

ERP = 34.36 x 100 =7.33771504 x 10 - 3, es pequeño

0.46826564 x 10 6

Concluyendo , cuando se manejen cantidades muy grandes o muy pequeñas el EA puede ser engañoso, mientras que el error relativo es más significativo en estos casos.

Determinación del error en ausencia del valor verdadero

Cuando no se conoce la respuesta verdadera, es necesario estimar el valor en ausencia de los valores verdaderos. Ciertos métodos numéricos usan un método iterativo para calcular resultados, tales casos se hace una aproximación con base en la aproximación anterior. Es decir, el error se calcula como la diferencia ente la aproximación actual y la aproximación previa.

Ea = aproximación actual - aproximación anterior x 100 (14)

aproximación actual

Ea <

El siguiente criterio es útil para tener la seguridad que el resultado es correcto en al menos n cifras significativas.

= ( 0.5 x 10 2 - n ) = 0.5 x 10 -3 %, = 0.005 %

Ejemplo:

La función exponencial llamada expansión por serie de Mc Laurin, se puede calcular mediante la ecuación:

ex = 1 + x + x2 + x3 + ........... + x n

2! 3! n!

Mientras más términos se le agreguen a la serie, la aproximación se acercará cada vez más al valor de ex . Estímese el valor de e 0.5 , calculando los valores del ERP ( error relativo porcentual y el valor de aproximación ) , si el valor real o verdadero es e 0.5 = 1.648721, agréguese términos a la serie hasta que Ea < , cumpla 3 cifras significativas.

Solución:

E = ( 0.5 x 10 2 -3 ) % = 0.5 x 10 - 1

E = 0.005

Ea < 0.05 %

1er término

ex = 1

ERP = 1.648721 - 1 x 100 = 39.34 %

1.648721

2do término

ex = 1 + 0.5 = 1.5

ERP = 1.648721 - 1.5 x 100 = 9.02 %

1.648721

3er término

ex = 1 + x + x2

2!

ex = 1.5 + (0.5)2 = 1.625

2!

ERP = 1.648721 - 1.625 x 100 = 1.438 %

1.648721

Ea = 1.625 - 1.5 x 100 = 7.692%

1.625

4to término

e x = 1.625 + (0.5)3 = 1.645833

3!

ERP = 1.648721 - 1.645833 x 100 = 0.175 %

1.648721

Ea = 1.645833 - 1.625 x 100 = 1.265%

1.645833

5to término

e x = 1.645833 + (0.5)4 = 1.648437

4!

ERP = 1.648721 - 1.648437 x 100 = 0.0172 %

1.648721

Ea = 1.648437 - 1.645833 x 100 = 0.158%

1.648437

6to término

e x = 1.648437+ (0.5)5 = 1.648697

5!

ERP = 0.00142 %

Ea = 1.648697 - 1.648437 x 100 = 0.0158%

1.648697

Ea <

0.0158 < 0.05 %

Término ex ERP Ea

1 1

2 1.5

3 1.625

6 1.648697 0.00142 0.0158

Ea <

Errores de Truncamiento

Con 5 cifras significativas:

75.667891 75.667591 75.66453

75.668 75.668 75.665

Es el que ocurre al aumentar o disminuir artificialmente el valor de una magnitud.

Criterio de redondeo

D1 d2 d3 ..... d1 i +1 ..... dn ( i < n )

Di + 1 > 5 di = di +1

Di + 1 < 5 di = di

Di es par di = di

Di + 1 = 5

Di es impar di = di +1

Ejemplos:

Redondear a 4 cifras significativas:

42.37834 = 42.38

382.154 = 382.2

545.21 = 545.2

Ejemplo:

Error de redondeo, al restar dos números iguales.

Considere las ecuaciones:

31.69 x + 14.31 y = 45.00

13.05 x + 5.89 y = 18.53

Determine los valores aproximados de x e y usando redondeo a dos cifras decimales, obtenga el error absoluto y el error relativo porcentual para cada variable si sus valores verdaderos son:

X = 1.25055 = 1.250547046

Y = 0.37527 = 0.375273523

EA = 1.25055 - 1.250547046

EA = 0.000002954

EA = 0.37527 - 0.375273523

EA = 0.000003523

ERP = 0.000002954 x100

1.25055

ERP = 0.00023 %

ERP = 0.000002954 x100

0.37527

ERP =0.00078 %

Resuelva la ecuación cuadrática:

100x2 -10011x + 10.011 = 0

Para encontrar las raíces reales ( x1,x2 ), redondeando a 5 dígitos significativos y a 5 dígitos decimales.

10011 +- " (-10011)2 -4(100)(10.011)

2(100)

x1 = 80.088, 10041

x2 = 20.022, 9981.0

Errores de Truncamiento

Ej. 653. 45931

653. 45

Son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático.

Para estos casos las series de Taylor, en los métodos numéricos, expresan las funciones en forma polinomial:

f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h +f” (xi)h2+ f”'(xi)h3 + .....fn(xi)hn

2! 3! n!

h(x1 +1- xi)

Ej. Use términos en la serie de Taylor de cero a 4to orden para aproximar la función f(x) = -0.1x4 -0.15x3-0.5x2-0.25x +1.2, desde xi = 0 con h =1 para predecir el valor de la función en x1 +1 = 1.

Solución:

n = 0 orden

f(x1 +1) = f(xi) = -0.1x4 -0.15x3-0.5x2-0.25x +1.2

f(x1 +1) = 1.2

n = 1er orden

f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h

f(x1 +1) =1.2 + (-0.4 x3-0.45x2-x-0.25) (1)

f(x1 +1) =1.- 0.25

f(x1 +1) = 0.95

n= 2do orden

f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h +f” (xi)h2

2!

f(x1 +1) = 1.2-0.25+(-1.2x2-0.90x-1) (1)2

2!

f(x1 +1) = 0.95 -0.5

f(x1 +1) = 0.45

n = 3er orden

f(x1 +1) + f(xi) +f´(xi)h +f” (xi)h2+ f”'(xi)h3

2! 3!

f(x1 +1) = 0.45+ ( -2.4x-0.90 ) (1)3

6

f(x1 +1) = .45 - 0.15

f(x1 +1) = 0.3

n = 4to orden

f(x1 +1) = 0.3 + f4 (xi) h4

4!

f(x1 +1) = 0.3 + (-2.4) (1)4

24

f(x1 +1) = 0.2

Error numérico total

Es la suma de los errores de truncamiento y redondeo.

Para minimizar los errores de redondeo debe incrementarse el número de cifras significativas.

El error de truncamiento puede reducirse por un tamaño de paso más pequeño.

Punto Fijo.

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

EJEMPLO 2

Encontrar una buena aproximación a la raíz de la siguiente función por el método del Punto Fijo:

Como puede verse, se trata de la misma función que la del ejemplo 1, pero esta vez la función ha sido despejada de una forma diferente, por lo cual se encontrará otra raíz (dado que la función tiene dos raíces, como se puede apreciar en la gráfica. Utilizando el mismo procedimiento del ejemplo 1, los resultados en Excel quedarán de esta manera:

 

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

EJEMPLO 3

Encontrar una buena aproximación a la raíz de la siguiente función por el método del Punto Fijo:

Los resultados en Excel quedan de esta manera:

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

EJEMPLO 4

Utilizar el método del Punto Fijo para f(x)=sin(sqrt(x))-x, siendo g(x)=sin(sqr(x)) con Xo=0.5 y h=10^(4).

Para este ejercicio, "h=10^(4)" es la tolerancia o el error. Nótese que al hacer las fórmulas en Excel se debe usar SENO( ) para sin( ) y RAIZ( ) para sqrt( ). Esto si se usa una versión en español de Microsoft Office. Los resultados en la hoja de cálculo son los siguientes:

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN f(x)=sin(sqrt(x))-x