Método de cross y bombas

Universidad de Chile - Facultad de Ciencias Fısicas y MatematicasCI4102-HidraulicaProf. Aldo Tamburrino, Prof. Aux. Carlos Calvo, Aldo Munoz - Semestre Otono 2016

Tarea 1 y 2Bombas y Redes

NombreGonzalo Parada D.

ProfesorAldo Tamburrino T.

AuxiliaresCarlos CalvoAldo munozAyudantes

Matıas Cornejo F.Diego Dıaz

Cristobal Traslavina S.Kevin Vidal

Rodrigo Gonzalez H.Fecha de entrega

8 de Abril 2016

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Indice general

1. Diseno de redes 41.1. Supuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Largo tuberıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Calculo presion Nodo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4. Iteracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Determinacion bombas 162.1. Determinacion de tuberıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2. Bernoulli en el pozo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Perdidas en tuberıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4. Carga de bombas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5. NPSH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

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Problema.- Se requiere disenar diversos aspectos para satisfacer la demanda de agua deuna planta industrial. Para esto es necesario disenar la red de tuberıas y las bombas necesariaspara que este transporte se lleve a cabo.Solucion.- A modo de solucion ha de dividirse el problema inicial en dos sub problemas, unocorrespondiente a la elevacion del agua mediante un sistema de bombas de tal manera que estesatisfaga un caudal Q requerido y un segundo problema, relacionado al diseno de la red detuberıas de manera que se cumplan los requerimientos del problema.

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Capıtulo 1

Diseno de redes

1.1. SupuestosUno de los primeros supuestos corresponde al de la ecuacion de continuidad, puesto que

estamos trabajando con un regimen permantente se tiene que:

Centrada = Csalida

Dada la restriccion de diametro de tuberıas y velocidades es posible calcular, para agua a20 grados Celcius los reynolds.

Cuadro 1.1: Mınimo y maximo de reynoldsReynolds

Minimo 37500Maximo 1200000

Dado el reynolds es posible determinar que nos encontramos en regimen turbulento y a suvez, es posible despreciar el segundo termino en la ecuacion de colebrook white, resultando asıpara el calculo de f:

1√f

= −2log( ε

3, 7 ·D )

Ahora bien, puesto que nos encontramos en pared hidrodinamicamente rugosa (pues e/D espequeno), se tiene que r=2, por lo cual b=0.

f = aQb

f = a

Reemplazando en la ecuacion para n se tiene que:

4


n = f · L

2gD(πD2

4

)A su vez se consideraran despreciables las perdidas singulares y se considerara tuberıa rıgida.Dadas las restricciones de presion y velocidad, se establece la siguiente tabla de restricciones:

Cuadro 1.2: Restricciones del problemaRestricciones Mınimo Maximo

Velocidad 0,5 2,5Presion 166713,05 686465,5

1.2. Largo tuberıasEn una primera instancia, utilizando los datos pertinentes al archivo ”tarea 1 y 2”se presenta

la siguiente tabla de coordenadas, utilizando el codigo verificador respectivo (0).

Cuadro 1.3: Tabla de coordenadas nodosNodo x(m) y(m)

Estanque 482 1786Bomba 180 1315

1 485 16452 696 16313 890 16054 484 14165 735 14196 907 14087 478 13008 763 1310

Ahora, a partir de la figura 1. Podemos encontrar las cotas correspondientes a cada uno delos puntos. A su vez, se calcula la distancia horizontal, el desnivel y mediante pitagoras, el largode las tuberıas:

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Cuadro 1.4: Calculo de distancia horizontal y desnivelNodo Cota[m] Puntos Dist.Horizontal[m] Desnivel[m]

Estanque 1475 Bomba -Estanque 559,504245 55Bomba 1420 Estanque-1 141,031911 -15

1 1460 1→2 211,463945 22 1458 1→4 229,002183 253 1453 2→3 195,734514 54 1435 2→5 215,557417 185 1440 3→6 197,732142 236 1430 4→7 116,155069 157 1420 4→5 251,017928 -58 1427 5→6 172,351385 10

5→8 112,538882 137→8 285,175385 -7

Cuadro 1.5: Largo tuberıasTuberia Largo[m]

Bomba -Estanque 562,201032Estanque-1 141,82736

1 211,4734032 195,7983663 230,3627574 216,3076515 199,0653166 251,067727 172,6412478 117,1195979 113,287246

10 285,261284

1.3. Calculo presion Nodo 1Bernoulli estanque: Puesto que se considera un estanque de grandes dimensiones, el

bernoulli en la superficie libre corresponde al bernoulli en la tuberıa que traslada el flujo hasta1. Ahora bien, en la superficie libre la presion corresponde a la atmosferica y la velocidad es0 (puesto que al ser de grandes dimensiones esta velocidad es mucho menor a la velocidad delflujo).

Bsuplib = Btubest

Zsuplib + Patm

γ= Btubest

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1475 + 10 + 1013259810 = Btubest

Btubest = 1495, 32

Para la tuberıa correspondiente a .estanque-1”se le asigna un diametro de 480mm y uncaudal de 289m

s, por lo que la velocidad del flujo corresponde a v = 1, 59m

s.

Con estos datos es posible conocer el valor del coeficiente de friccion y junto con el largo esposible determinar la perdida existente entre estos puntos.

λ = fLv2

2gD

λ = 141, 82 · 1, 592 · 0, 0112 · 9, 81 · 0, 48

λ = 0, 444[m]

Finalmente, conocidos estos datos es posible conocer el bernoulli en 1, para ası lograr des-pejar la presion en el punto 1.

Btubest = B1 + λ

1495, 32 = B1 + 0, 444

B1 = 1494, 88[m]

B1 = 1, 592

2 · 9, 81 + P1

9810 + 1460 = 1494, 88

P1 = 340937, 9[Pa]

Cuadro 1.6: Bernoulli y presiones Estanque-Nodo 1Punto Presion Bernoulli[m]

Estanque 101325 1495,328751 340937,9039 1494,88412

Es necesario notar que la presion en el nodo 1 esta dentro del rango preestablecido.

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1.4. IteracionA continuacion se muestra la red de tuberıas, con las curvas de nivel respectivas:

Figura 1.1: Esquema de la red

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Figura 1.2: Distribucion puntos y tuberıas de la red

Ahora bien, puesto que se realizara el metodo de cross para la distribucion de caudaleses necesario, en una primera instancia, definir un inicio ınteligente”para reducir el numero deiteraciones. Para lograr lo anterior, utilizando los desniveles es posible determinar, medianteintuicion el sentido que llevaran los caudales:

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Figura 1.3: Desniveles y flujo de caudales

Ya definido el flujo de los caudales, es necesario determinar el caudal que circulara por cadauna de estas tuberıas, en particular, por continuidad, el caudal que entra es igual al caudal quesale, por ende, dado que en cada nodo existe una ”perdida de caudal”, el caudal que entrepor 1 debe ser la suma de todos los caudales que salen, en este caso, 289L

s.

Para determinar cuanto caudal circula por cada tuberıa se hizo una regla de tres, propor-cional a los desniveles.

Ahora bien, para nuestro diseno es necesario especificar el diametro de las tuberıas a utilizar,de manera que se cumpla la restriccion de velocidad (0.5m/s hasta 2.5m/s), para esto, se eligeel mayor caudal y se le asigna la tuberıa de mayor tamano (480mm) y mediante una regla detres, se estima la relacion entre el caudal y el diametro de tal manera de cumplir la restriccionde velocidad (En algunos casos se utilizo un diametro diferente, pero parecido al arrojado poresta regla de 3).

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Figura 1.4: Distribucion de caudales y diametro tuberıas

Ya definidos ası, el largo de las tuberıas, el diametro y los caudales, solo resta determinarel coeficiente n.

Con respecto al reynolds, se considero una temperatura de 20C lo que implica un valor delcoeficiente de viscosidad igual a 10−6, y se tomaron los valores extremos de velocidad 0,5− 2,5con lo cual se encontro un valor maximo de 1.200.000 y un valor mınimo de 37500, porlo cual se determina que nos encontramos en un regimen turbulento, lo que a su vez indicaque nos encontramos en tuberıas con pared hidrodinamicamente rugosas.

Utilizando la siguiente formula:

n = f · L

2gD(πD2

4

)Con lo anterior, se determina, mediante el calculo de el coeficiente de friccion f, el valor del

coeficiente n, al cual, para reducir su orden de magnitud, se le aplica un factor n0. Estos datosson posible encontrarlos en el excel adjunto a este informe.

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Ya definidos los diametros y caudales como condiciones iniciales se puede comenzar a ite-rar, pero primero, es necesario tener en cuenta que han de cumplirse ciertas restricciones, enparticular, velocidad y presion, para esto es necesario encontrar el bernoulli en el estanque y enel punto 1. Por lo cual es necesario conocer estos valores en funcion del diametro y del caudal.

Conocidas ya las condiciones iniciales es necesario armar la plantilla que realizara las itera-ciones, en particular esta esta compuesta por:

n

n0Q2

| nn0

2Q|

∆Q: correccion del caudal

Q′i: Caudal corregido.

Con respecto a las correcciones del caudal, se utilizo el siguiente sistema de ecuaciones:

Q′

1 = Q1 + ∆1

Q′

2 = Q2 + ∆2

Q′

3 = Q3 + ∆1

Q′

4 = Q4 + ∆1 −∆2

Q′

5 = Q5 + ∆2

Q′

6 = Q6 + ∆1 −∆3

Q′

7 = Q7 + ∆2

Q′

8 = Q8 + ∆3

Q′

9 = Q9 + ∆3

Q′

10 = Q10 + ∆3

Cuadro 1.7: Condiciones inicialesTuberıa Diametro[mm] Caudal[L/s]

1 480 2552 110 453 140 -224 380 1955 140 316 75 57 339 -1198 110 -129 250 49

10 75 5

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Algoritmo de iteracion: Utilizando la planilla excel, se describe el algoritmo utilizadopara disminuır el numero de iteraciones.

Comenzar con condiciones iniciales previamente comentadas

Iterar hasta reducir lo mas posible el δQ

Si δQ > 0,1, calculamos nuevos diametros de manera que se cumpla la restriccion develocidad y presion, luego, con estos diametros se cambia la condicion inicial y se iteranuevamente.

Cuadro 1.8: Condiciones iniciales# D[m] Qin[L/s] friccional Largo[m] n n/n0 Velocidad Perdidas1 0,44 265 0,0118 211,473 12,466 0,125 1,7428 0,3852 0,09 50 0,0163 195,798 44565,675 445,657 7,8595 10,0273 0,09 -12 0,0163 230,363 52432,878 524,329 1,8863 0,6804 0,38 200 0,0121 216,308 27,288 0,273 1,7635 0,4155 0,16 36 0,0144 199,065 2254,916 22,549 1,7905 0,4686 0,14 10 0,0148 251,068 5702,283 57,023 0,6496 0,0807 0,38 -114 0,0121 172,641 21,779 0,218 1,0052 0,1088 0,125 -7 0,0151 117,120 4802,154 48,022 0,5704 0,0299 0,2 54 0,0137 113,287 401,617 4,016 1,7189 0,234

10 0,075 10 0,0169 285,261 168291,910 1682,919 2,2635 1,262

Finalizada la iteracion resultan los siguientes valores para δQi segun la iteracion:

Cuadro 1.9: Correcciones por iteracionIteracion ∆Q1 ∆Q2 ∆Q3

1 3,606703263 -24,8435694 -5,106611012 -0,563174205 -12,7596059 -3,116517773 -0,706414009 -6,99949286 -2,773644224 -0,58783655 -4,1601182 -2,626552515 -0,549574235 -4,4351064 -0,042440456 -0,041041077 -0,08989765 0,076251303

Ahora bien, es necesario verificar que estos cumplen las condiciones de presion y velocidad.En particular, verificar si cumple la velocidad es facil utilizando el caudal corregido y el diametroasignado a cada tuberıa. En cambio, para la presion es necesario calcular la presion en cadanodo mediante el calculo de bernoulli. Puesto que el bernoulli en 1 es conocido y las perdidasson calculadas en funcion de la velocidad correspondiente a la presente iteracion se utiliza elsiguiente sistema para determinar las presiones.

B2 = B1 −∆f

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B3 = B2 −∆f

B4 = B1 −∆f

B5 = B2 −∆f

B6 = B3 −∆f

B7 = B4 −∆f

B8 = B7 −∆f

Con lo cual se obtienen las siguientes condiciones finales:

Cuadro 1.10: Resultados iteracion# D[m] Qi[L/s] Velocidad[m/s] friccional Largo[m] Perdida[m]1 0,44 266,159 1,7504 0,01177 211,473 0,88312 0,09 -3,288 0,5168 0,01627 195,798 0,48173 0,09 -10,841 1,7042 0,01627 230,363 6,16274 0,38 254,446 2,2436 0,01210 216,308 1,76675 0,16 -17,288 0,8598 0,01438 199,065 0,67396 0,14 24,748 1,6077 0,01478 251,068 3,49257 0,38 -167,288 1,4751 0,01210 172,641 0,60958 0,125 -20,590 1,6778 0,01514 117,120 2,03589 0,2 40,410 1,2863 0,01373 113,287 0,6558

10 0,075 -3,590 0,8125 0,01694 285,261 2,1684

De la cual, a modo de resumen:

Cuadro 1.11: Resumen diametro y velocidad por tuberıa# D[m] Velocidad[m/s]1 0,44 1,750432522 0,09 0,516807993 0,09 1,704150464 0,38 2,243568475 0,16 0,859824156 0,14 1,607671367 0,38 1,475051458 0,125 1,677784599 0,2 1,2863057

10 0,075 0,81249991

A partir de la cual es posible notar que se cumple la restriccion de velocidad y de diametrosde tuberıas.

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Cuadro 1.12: Bernoulli y presion por nodoPunto Bernoulli Presion

1 1494,88412 340937,9042 1494,00102 351638,0213 1493,51929 397360,6574 1488,72144 525555,3095 1492,23432 509901,886 1492,84537 616143,3847 1485,22895 638488,5638 1491,62482 633639,434

De la cual es posible notar que se cumple la restriccion de presion.

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Capıtulo 2

Determinacion bombas

2.1. Determinacion de tuberıasPara el siguiente diseno es necesario definir las tuberıas con la cual se trabajara, en parti-

cular, se utilizaran tuberıas de 480[mm] para ”Pozo-Bomba 2”Bomba-Estanque”. Es necesariocomentar, que se definio la tuberıa ”Pozo-Bombacomo una tuberıa vertical, de manera que estadesciende verticalmente desde la posicion en la que se encuentra la bomba, teniendo un largoası, de 5 metros.

Cuadro 2.1: Add captiontuberıa Diametro Friccional Velocidad Reynolds Largo[m]

B-E 0,48 0,011575056 1,59707564 766596,309 562,201032Pozo-bomba 0,48 0,011575056 1,59707564 766596,309 5

A su vez, dado el tamano del reynolds se calculo el coeficiente de friccion de la misma maneraque se hizo para el item anterior. A su vez, para calcular la velocidad se utilizo un caudal de289L/s, correspondiente al caudal que se debe elevar hasta el estanque.

2.2. Bernoulli en el pozoPara determinar la carga en las bombas es necesario encontrar el bernoulli en el pozo, en el

estanque y las perdidas. Puesto que el bernoulli en el estanque se encontro en el item anteriorsolo resta calcular el bernoulli en el pozo y las perdidas.

Se tiene que la cota z corresponde a z=1415[m], puesto que consideramos estanque degrandes dimensiones, la velocidad es v es 0, finalmente, al estar abierto a la atmosfera seconsidera P = Patm. Resultando ası el bernoulli:

Bpozo = 1415 + 1013259810

Bpozo = 1425,33[m]

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2.3. Perdidas en tuberıaEs necesario calcular la perdida de 2 tuberias: ”Pozo-Bomba 2”Bomba Estanque”, las que

llamaremos ∆1 y ∆2. De manera que calculando la perdida con la ecuacion ∆f = JL resulta:

∆1 = 1, 76248510

∆2 = 0, 01567486

2.4. Carga de bombasSe tiene que:

Bpozo = Best + ∆f −∆BPor lo que reemplazando:

1425, 33 = 1495, 32 + 1, 76248510 + 0, 01567486−∆B∆B = 71,76[m]

Este corresponde al valor maximo de carga que deben soportar las bombas, ahora bien, esposible encontrar una recta de carga, la cual, a diferentes caudales entregara la carga que debensoportar las bombas.

B1 + ∆B = B2 + ∆f

z1 + ∆B = z2 + ∆f

∆B = ∆ + z2 − z1

∆B = 1485− 1415 + ∆f

∆B = 70 + ∆f

∆B = 70 + fLQ2

2gD ·(πD2

4

)2

∆B = 70 + 21,28Q2

En donde Q esta en m3

s, luego, transformando a m3

hrresulta:

∆B = 70 + 0, 000002Q2

Ahora bien, de acuerdo a lo anterior necesitamos encontrar un sistema de bombas tal quese cumpla que Ha = 71,76[m] y Q = 289[L/s] = 1040m3/hr.

Revisando el catalogo de bombas se utilizaran 4 bombas, 2 en paralelo unidas en serie con2 en paralelo. La bomba escogida corresponde a una bomba de 4 polos llamada TP-200-510.

Para escogerla se utilizo el siguiente criterio:

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Para la carga, puesto que no existen bombas que logren soportar tal carga, se dividio talvalor en dos, dando un aproximado de 37[m] (para asegurar que la bomba escogida noquede corta.

Para el caudal, correspondiente a 1040 m3/hr, puesto que se trata de un gran caudal, lasbombas que trabajan con esta intensidad no generan gran carga, por lo que se consideraron2 bombas cuyo caudal es cercano a los 520 m3/hr.

Finalmente, realizando la interseccion, se determino la bomba TP-200-510.

Ahora, utilizando las lineas caracteristicas, y sumando correspondientemente las cargas ylos caudales resulta lo siguiente:

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Resolviendo el sistema de ecuaciones:

H = −2 · 10−5 ·Q2 − 0, 0031Q+ 101,49H = 2 · 10−6 ·Q2 − 6 · 10−7Q+ 70

Resulta que el caudal y la altura resultantes son:

Q = 1128,01m3

hr= 313L

s

H = 72,58[m]Ambos mayores al caudal y altura que debemos suplir, por ende solo basta verificar las

restricciones. En particular:Q = V · A

0, 313(πD2/4)

V = 1,79ms

Por lo que cumple la restriccion de velocidad.

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2.5. NPSHEl valor de NPSH corresponde a un valor proporcionado por quien fabrica las bombas, en

particular, existen dos tipos:NPSH disponible: es una medida de como de cerca esta el fluido de la cavitacion.NPSH requerido: valor lımite requerido, en cierto punto de la instalacion, para evitar que elfluido entre en cavitacion.

El valor proporcionado corresponde a NPSH disponible, y para asegurar que el sistema debombeo funcione se debe cumplir:

NPSHdisponible > NPSHrequerido

Puesto que NPSHdisponible lo determinan las bombas a eleccion, tenemos que calcularNPSHrequerido y encontrar una bomba que cumpla con la restriccion.

NPSHrequerido = v2succion

2g + Psuccion

γ+ Pvapor

γ

Donde Vsuccion y Psuccion corresponden a la velocidad y presion junto antes de la bomba.Tomando bernoulli entre el pozo y el punto justo antes de la bomba resulta:

Bpozo = Bbomba + ∆f

1425, 33 = (1,792

2g + P1

γ+ 1420) + v2 · fL

2gDP1 = 48853,8[Pa]

Por lo cual, considerando una presion de vapor pv = 2500[Pa] es posible calcular elNPSHrequerido.

NPSHrequerido = 488539810 + 1,592

2g −25009810

NPSHrequerido = 4,98 + 0,15− 0,255

NPSHrequerido = 4, 8775

De esta manera, es necesario encontrar una bomba cuyo NPSH sea mayor a 4,87[m] paraasegurar que no se corte la columna de agua.

Ya escogidas las bombas es posible utilizar la curva que determina el NPSH para ver si secumple la restriccion de NPSH.

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Por lo que, al trazar la recta que parte desde 1128.01m3

hrse encuentra un NPSH aproximado

de 7[m], por lo cual:

NPSHdisponible > NPSHrequerido

Por lo cual, la columna de agua no se cortara

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