Alunos:

• Anderson Cova• Leonardo Bastos• Otávio Sá• Társsio• Victor Pompeu

Salvador-BA

2012

Universidade Federal da BahiaDisciplina: MAT 174 – Cálculo Numérico.

Professora: Claudia Pôssa.

Método de Gauss

• O Método de Gauss consiste em transforma a matriz A em um sistema triangular superior equivalente A1, através de:

1) Permutação entre duas linhas. 2) Subtração de uma linha por outra multiplicada por

uma constante.

Método de Gauss

• Considerando o sistema linear abaixo:

• Que pode ser escrito na forma: Ax = B. Onde;

Método de Gauss

• Tomando como exemplo o sistema linear:

• Escrevendo a matriz aumentada, ou seja, [A] [B], temos:

Método de Gauss• Escolhendo a11 como pivô, calcula-se os multiplicadores m21 e m31.

• Fazendo as transformações elementares sobre L2 e L3 temos:

Método de Gauss

• Escolhendo a22 como pivô, calcula-se o multiplicador m32.

• Fazendo as transformações elementares sobre L3

temos:

Método de Gauss

• Resolvendo o sistema com a matriz triangular superior encontrada temos:

• O valor de X3 é encontrado, em seguida substituímos na equação acima e encontramos X2, com os valores de X3 e X2 encontramos o valor de X1, obtendo a solução do sistema.

Método de Gauss(técnicas de pivotação)

a) Pivotação Parcial

b) Pivotação Total

Método de Gauss(Pivotação Parcial)

• É escolhido como pivô o elemento que tiver maior valor absoluto na coluna considerada, e assim é feita a troca (ou não) das linhas.

• A partir dessa técnica consegue-se uma redução nos efeitos de erros de arredondamento.

Método de Gauss(Pivotação Parcial)

• Tomando como exemplo o sistema linear:

• Para o 1° pivô busca-se o maior elemento, em módulo, da 1ª coluna. Nota-se que ele está na 2ª linha. Assim, deverá ser feita a troca da L1 com a L2, e vice versa.

Método de Gauss(Pivotação Parcial)

• Após permutar as linhas fazemos a eliminação de Gauss na 1ª coluna:

Método de Gauss(Pivotação Parcial)

• Pivotação parcial para o 2° pivô (busca-se o valor de maior módulo a partir da 2° linha e da 2° coluna (já que a 1ª coluna já foi anulada):

• Fazendo a eliminação de Gauss temos:

Método de Gauss(Pivotação Total)

• Consiste na reordenação das linhas e colunas por forma a escolher em cada passo do método o pivô mais elevado em valor absoluto.

• É um processo que, geralmente, origina uma acumulação de erros de arredondamento menor, porém exige maior esforço computacional e não resulta em ganho significativo na qualidade da solução obtida em relação a Pivotação Parcial.

Método de Gauss(Pivotação Total)

• Tomando como exemplo o sistema linear:

• Para o 1° pivô busca-se o maior elemento, em módulo, dentre todos os elementos da matriz.

Método de Gauss(Pivotação Total)

• Assim, haverá troca entre L1 e L2 e vice versa, e troca entre os elementos da C1 e C2 e vice versa.

L1 e L2

C1 e C2

Método de Gauss(Pivotação Total)

• Com a matriz já pivotada, fazemos a eliminação de Gauss.

Método de Gauss(Pivotação Total)

• O segundo pivô também terá que ser permutado ,visto que não é o maior valor em modulo a partir da L2 e C2.

L2 e L3

Método de Gauss(Pivotação Total)

• Com a matriz pivotada fazemos a eliminação de Gauss para o 2º pivô.

• Assim a solução será:

Resíduo

Para fazer o refinamento da solução, primeiro temos que calcular o resíduo, por meio da seguinte relação:

r = |Ax – b|

Sendo:

x =A =

Dessa forma:

Assim a nova solução será:

Resíduo