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Metodo de Gauss-JordanColunas Basicas da Matriz Aumentada

ExemplosRelacao entre colunas

Metodo de Gauss-Jordan e Colunas Basicas de uma Matriz

Marcio Nascimento

Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em MatematicaDisciplina: Algebra Matricial - 2015.1

8 de julho de 2015

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Lembremos que na Eliminacao Gaussiana o plano e:

Escrever a Matriz Ampliada do Sistema [A | b]↓Realizar Operacoes Elementares sobre as linhas de [A | b]↓Obter a Forma Escalonada [E | b�]↓Escrever o Sistema Equivalente↓Aplicar Substituicao Reversa e encontrar a SOLUCAO

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Alem disso, quando resolvemos o sistema atraves de Eliminacao Gaussiana, nossoobjetivo e triangularizar a matriz dos coeficientes e depois resolver o sistema porsubstituicao reversa.

S

x − y + z = 0−x + y + z = −6x + y − 2z = 4

1 −1 1 | 0−1 1 1 | −61 1 −2 | 4

1 −1 1 | 00 2 −3 | 40 0 2 | −6

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Para sistemas onde o numero de equacoes e igual ao numero de variaveis,podemos melhorar a Forma Escalonada para exibir a solucao de uma forma maisdireta: atraves da DIAGONALIZACAO da Matriz dos Coeficientes.

Vamos considerar, novamente, o sistema

S

x − y + z = 0−x + y + z = −6x + y − 2z = 4

Ja vimos que sua forma escalonada e:

[E | b�] =

1 −1 1 | 00 2 −3 | 40 0 2 | −6

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Vamos anular os coeficientes que estao tambem ACIMA de cada pivot.

1 −1 1 | 00 2 −3 | 40 0 2 | −6

1 −1 1 | 00 2 −3 | 40 0 2 | −6

← 2L1 + L2

2 0 −1 | 40 2 −3 | 40 0 2 | −6

← 2L1 + L3← L2 +

32L3

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Assim, essa e uma outra Forma Escalonada para o sistema original S

4 0 0 | 20 2 0 | −50 0 2 | −6

Sistema Equivalente:

S �

4x = 22y = −5

2z = −6

Substituicao:

4x = 2 =⇒ x =1

2

2y = −5 =⇒ x = −5

22z = −6 =⇒ z = −3

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Poderıamos facilitar ainda mais a determinacao da solucao se em cada posicao depivot (na Forma Escalonada) tivessemos 1.

4 0 0 | 20 2 0 | −50 0 2 | −6

4 0 0 | 20 2 0 | −50 0 2 | −6

←

�14

�L1

←�12

�L2

←�12

�L3

1 0 0 | 12

0 1 0 | −52

0 0 1 | −3

→ x = 12

→ y = −52

→ z = −3

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O processo de TRIANGULARIZACAO da matriz aumentada do sistema [A | b],e a ELIMINACAO GAUSSIANA.

Ela nos da uma Forma Escalonada do Sitema [E | b�].O processo de DIAGONALIZACAO da matriz aumentada do sistema, e oMETODO DE GAUSS-JORDAN.

Ela nos da a Forma Escalonada REDUZIDA do Sistema [EA |s].Na Forma Escalonada Reduzida, a coluna dos termos independentes ja e apropria solucao do sistema!

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Eliminacao Gaussiana -Triangularizacao daMatriz dos Coeficientes

� � . . . � �0 � . . . � �...

.... . .

......

0 0 . . . � �

Metodo de Gauss-Jordan- Diagonalizacao daMatriz dos Coeficientes

1 0 . . . 0 ξ10 1 . . . 0 ξ2...

.... . .

......

0 0 . . . 1 ξn

ξ1, ξ2, . . . , ξn: Solucao doSistema!

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Resolva o seguinte problema usando o Metodo de Gauss-Jordan:

“Tres fardos de uma boa colheita, dois fardos de uma colheita medıocre e umfardo de uma colheita ruim foram vendidos por 39 dou. Dois fardos da boa, tres damedıocre e um da ruim, foram vendidos por 34 dou. Um da boa, dois da medıocree tres da ruim, foram vendidos por 26 dou. Qual o preco recebido pela venda decada fardo associado a boa colheita, a colheita medıocre e a colheita ruim?”

Resposta...

Colheita boa: 9,25 dou; Colheita medıocre: 4,25 dou; Colheita ruim: 2,75 dou.

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Resolva o seguinte problema usando o Metodo de Gauss-Jordan:

Uma loja vende kits de presentes para o dia das criancas conforme a tabela aseguir:Carro Boneca Jogo Fantasia Total (R $)

2 0 2 2 150,001 1 1 2 180,000 2 2 2 240,002 2 2 2 300,00

Qual o valor de cada item separadamente?

Resposta...

Carro: R$ 30,00, Boneca: R$ 75,00, Jogo: R$ 15,00 e Fantasia: R$ 30,00.

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COLUNAS BASICAS DE UMA MATRIZ

Ate agora vimos casos onde o numero de equacoes e igual ao numero de variaveis.Vamos “complicar”um pouco mais!

Considere um sistema cuja matriz aumentada e:

[A | b] =

1 2 1 3 3 52 4 0 4 4 61 2 3 5 5 92 4 0 4 7 9

Uma forma escalonada para tal matriz e a seguinte:

[E | b�] =

1 2 1 3 3 50 0 -2 −2 −2 −40 0 0 0 3 30 0 0 0 0 0

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Repare que no processo de Eliminacao Gaussiana, tivemos 3 pivots.

[E | b�] =

1 2 1 3 3 50 0 -2 −2 −2 −40 0 0 0 3 30 0 0 0 0 0

Chamaremos de colunas basicas de [A | b] as colunas 1, 3 e 5

[A | b] =

1 2 1 3 3 52 4 0 4 4 61 2 3 5 5 92 4 0 4 7 9

O posto da Matriz [A | b] sera o numero de pivots encontrados em [E | b�].Neste caso, posto([A|b]) = 3.

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IMPORTANTE: Seja [A | b] a Matriz Aumentada de um sistema S e [E | b�] umaforma escalonada.

1 As colunas basicas em [A | b] independem da forma escalonada;

2 O numero de pivots e suas posicoes tambem independem da forma escalonada;

3 posto([A|b]) = numero de colunas basicas de [A | b];4 posto([A|b]) = numero de linhas nao nulas em [E | b�].

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EXEMPLOS

Exemplo 01: Encontre as colunas basicas e o posto da seguinte matriz:

3 3 −1 4 | 21 −2 −3 0 | 13 2 4 5 | 7

Uma forma escalonada:1 −2 −3 0 | 10 9 8 4 | −10 0 53 13 | 44

Colunas Basicas: 1, 2, 3 � Posto: 3

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EXEMPLOS

Exemplo 02: Encontre as colunas basicas e o posto da seguinte matriz:

1 4 2 −2 5 | 14 −1 3 3 5 | −12 −2 2 −2 2 | −20 8 −3 0 2 | 22 1 1 5 3 | −3

Uma forma escalonada:

1 4 2 −2 5 | 10 −17 −5 11 −15 | −50 0 16 −76 14 | −180 0 0 −5508 −102 | −17340 0 0 0 0 | −68

Colunas Basicas: 1,2, 3, 4 e 6

Posto: 5

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RELACAO ENTRE COLUNAS

Retomando o sistema

[A | b] =

1 2 1 3 3 52 4 0 4 4 61 2 3 5 5 92 4 0 4 7 9

Vimos que uma forma escalonada e:

[E | b�] =

1 2 1 3 3 50 0 −2 −2 −2 −40 0 0 0 3 30 0 0 0 0 0

Colunas Basicas: 1,3,5 (A∗1,A∗3,A∗5)Colunas nao Basicas: 2,4,6 (A∗2,A∗4,A∗6)

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[E | b�] =

1 2 1 3 3 50 0 −2 −2 −2 −40 0 0 0 3 30 0 0 0 0 0

Na forma escalonada, observando as colunas nao basicas, vemos que

Coluna 2 = dobro da coluna 1 (E∗2 = 2E∗1)

Coluna 4 = 2×coluna 1 + coluna 3 (E∗4 = 2E∗1 + E∗3)

Coluna 6 = coluna 1+coluna 3+coluna 5 (E∗6 = E∗1 + E∗3 + E∗5)

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E∗2 = 2E∗1 | E∗4 = 2E∗1 + E∗3 | E∗6 = E∗1 + E∗3 + E∗5Na matriz aumentada (inicial)

[A | b] =

1 2 1 3 3 52 4 0 4 4 61 2 3 5 5 92 4 0 4 7 9

Ocorrem as mesmas relacoes:

Coluna nao basica 2 = dobro da coluna basica 1 (A∗2 = 2A∗1)Coluna nao basica 4 = 2×coluna basica 1 + col. basica 3 (A∗4 = 2A∗1 + A∗3)Coluna nao basica 6 = col. basica 1+col. basica 3+col. basica 5(A∗6 = A∗1 + A∗3 + A∗5)

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Teorema

Dada uma matriz A, cada uma de suas colunas nao basicas pode ser escrita comocombinacao linear das colunas basicas precedentes. A mesma relacao ocorre entre ascolunas de qualquer forma escalonada de A.

IMPORTANTE: veja que o resultado se aplica a qualquer matriz e naoapenas a matrizes aumentadas de sistemas lineares!

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Exemplo 03: Encontre as relacoes entre as colunas da matriz

U =

2 1 3 4 0 11 3 4 2 1 23 4 2 1 2 34 2 1 3 3 0

E =

1 3 4 2 1 20 −5 −5 0 −2 −30 0 −5 −5 1 00 0 0 0 2 −2

posto(U) = 4. Colunas basicas: U∗1,U∗2,U∗3,U∗5

Colunas nao basicas: U∗4 = U∗1 − U∗2 + U∗3 e

U∗6 =1

5U∗1 +

6

5U∗2 −

1

5U∗3 − U∗5

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