METODO DE HORNER

INTODUCCION

Un caso especial de importancia práctica es encontrar las raíces de la ecuación f(x)=0 cuando f(x) es un polinomio en x.

El método de Horner se usa para el cálculo de raíces de polinomios con el método de Newton Raphson. Mediante la división sintética se calcula P’(x)=Q(x) y se evalúa en un valor dado P(x) y Q(x). Es una algoritmo poderoso para evaluar de forma muy eficiente a los polinomios de una forma monomial. Se usa a menudo para convertir entre distintos problemas numéricos posicionales (cuyo caso x es la base del sistema numérico, y los coeficientes ai son los dígitos de la representación del número dado en la base x) y puede usarse también si x es una matriz en cuyo caso la carga computacional se reduce a un más.

MARCO HISTORICO

El método fue nombrado así en honor de William George Horner quien fue quien lo descubrió; aunque fue su única contribución significativa a las matemáticas, lo presentó a la Royal Society en junio de 1819. A saber que el método ya era conocido por Isaac Newton en 1966, e incluso por el matemático chino Ch ’in Chiu-Shao en el siglo XIII.

JUSTIFICACION

Es muy importante en el mundo de las matemáticas conocer varias herramientas que nos sirvan de apoyo para darle solución a ecuaciones no lineales, encontrar raíces y la evaluación de polinomios. Por esta razón se estudia el método de horner entre otros métodos, que apoyado de teoremas y corolarios del algebra básica hace de su teorema un método que facilita el análisis de los Ceros de polinomios.

OBJETIVOS GENERALES

Que el alumno sepa la importancia de simplificar las operaciones, esta es una tarea necesaria para realizar de forma eficaz los cálculos numéricos a la hora de evaluar polinomios.

OBJETIVOS PARTICULARES

Si queremos localizar los ceros aproximados de un polinomio P(x) con el procedimiento de Newton, necesitamos evaluar P(x) y P’(x) en valores especificados, puesto que P(x) y P’(x) son polinomios, la eficiencia computacional requiere evaluar estas funciones en forma anidada. El Objetivo Particular del estudio del método de Horner es que incorpora esta técnica y, por lo mismo requiere solo n multiplicaciones y n sumas para evaluar un polinomio arbitrario de grado n facilitándonos mucho el cálculo.

DESARROLLO

EL METODO DE HORNER

Sea:P ( x )=a0 xN+a1 x

N−1+..+aN−1+aN

Si

d0=a0 & dk=ak+d k−1 x0 para k=1,2,…,N-1,N

Entonces: d N=¿ P (x0)¿

Además si

Q ( x )=d0 xN−1+d1 x

N−2+..+d N−2 x+dN−1

Entonces: P ( x )=(x−x0 )Q (x )+dN

Demostración: la primera parte de la demostración es obvia, debido a la definición de los coeficientes de dk, (basta ahora sólo escribir el polinomio, la segunda parte por definición de Q(x):

(x−x0 )Q ( x )+dN=(x−x0 ) (d0 xN−1+d1 xN−2+..+dN−2 x+dN−1)+d N

¿ (d0 xN+d1 x N−1+..+dN−2 x2+d N−1 x )+d0 xN+(−(d¿¿0 x0

N−1+d1 x0 xN−2+..+d N−2 x0 x+dN−1 x0))+dn=¿❑❑¿¿

¿d0 xN+(d1−d0 x0 )xN−1+…+(dN−2−dN−3 x0 ) x2+(dN−1−dN−2 x0 )+(dN−dn−1 x0)

Ahora por la hipótesis

d0=a0 & dk−dk−1 x0=ak ; así que:

(x−x0 )Q ( x )+dN=a0 xN+a1 x

N−1+..+aN−1+aN=P(x )

& d N=¿ P (x0)¿ L.q.d.

PROBLEMA RESUELTO

Evaluar P ( x )=2x 4−3 x2+3x−4 en x0 =2 usando el método de Horner.

d0=2

d1=2 (−2 )+0=−4

d2= (−4 ) (−4 )−3=5

d3=5 (−2 )+3=−7

y finalmente:

P (2 )=d 4=(−7 ) (−2 )−4=10

Además el teorema de Horner nos dice que:

P ( x )=( x+2 ) (2x3−4 x2+5 x−7 )+10

Por división sintética tenemos que con aproximación inicial x0=−2

Coef. De x4 Coef. De x3 Coef. De x2 Coef. De x Cte.

a0=2 a1=0 a2=−3 a3=3 a4=−4

d0 x0=−4 d1 x0=8 d2 x0=−10 d4 x0=14

d0=¿ d1=¿ d2=¿ d3=¿ d4=¿

2 -4 5 -7 10

Una ventaja adicional al usar el procedimiento de Horner es que, como

P ( x )=(x−x0 )Q (x )+dN

Donde

Q ( x )=d0 xN−1+d1 x

N−2+..+d N−2 x+dN−1

Diferenciando con respecto a x da:

P' ( x )=Q ( x )+(x−x0 )Q' ( x )

Y P' (x0 )=Q (x0 ).

Así cuando se use el método de Newton-Raphson para encontrar un cero aproximado de un polinomio P, ambos P y P’ pueden ser evaluados de esta manera. El algoritmo siguiente calcula P(x0) y P’(x0) usando el método de Horner.

PROBLEMA PROPUESTO

Expresar el desarrollo de Taylor de un polinomio de cualquier punto usando el método de Horner. Sea el polinomio P dado por el teorema fundamental del algebra y buscar los coeficientes Ck de la ecuación. Q(x)=?

P ( x )=a0 xN+a1 x

N−1+..+aN−1+aN

Claramente Cn=P(x0) de modo que este coeficiente se obtiene aplicando horner al polinomio P en X0