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Uno de los métodos mas comunes en el calculo integral "método de integración por fracciones parciales".
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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE
INGENIERIA INDUSTRIAL MTODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES
Clculo II Mtodo de integracin por fracciones parciales 1
UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE
FACULTAD DE INGENIERA
INGENIERA INDUSTRIAL
TRABAJO DE INVESTIGACIN
MTODO DE INTEGRACIN POR FRACCIONES PARCIALES
CURSO: CLCULO II
DOCENTE: Ing. ..
Alumna:
Damaris Cabellos Chiln.
FECHA DE PRESENTACION: 23/06/2015
CAJAMARCA- PER
2015
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INGENIERIA INDUSTRIAL MTODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES
Clculo II Mtodo de integracin por fracciones parciales 2
NDICE
DEDICATORIA 3
I. INTRODUCCIN 4
1.1. OBJETIVOS 5
OBJETIVO GENERAL 5
OBJETIVOS ESPECIFICOS 5
1.2. MARCO TEORICO 6
1.3. BREVE RESEA HISTORICA 6
II. MTODO DE INTEGRACIN POR FRACCIONES PARCIALES 8
2.1. CASOS ESPECIALES DEL MTODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES 13
2.1.1. CASO 1: FACTORES LINEALES DISTINTOS 14
2.1.2. CASO 2: FACTORES LINEALES IGUALES 15
2.1.3. CASO 3: FACTORES CUADRTICOS DISTINTOS 16
2.1.4. CASO 4: FACTORES CUADRTICOS IGUALES 17
2.2. EJERCICIOS ILUSTRATIVOS METODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES
PARCIALES 18
2.2.1. EJERCICIO N 01 18
2.2.2. EJERCICIO N 02 19
2.2.3. EJERCICIO N 03 20
2.2.4. EJERCICIO N 04 21
2.2.5. EJERCICIO N 05 23
2.2.6. EJERCICIO N 06 24
2.2.7. EJERCICIO N 07 25
2.2.8. EJERCICIO N 08 28
2.2.9. EJERCICIO N 09 29
2.2.10. EJERCICIO N 10 30
2.2.11. EJERCICIO N 11 31
RECOMENDACIONES 33
CONCLUSIONES 34
BIBLIOGRAFA Y LINKOGRAFIA 35
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Clculo II Mtodo de integracin por fracciones parciales 3
DEDICATORIA
Este trabajo de investigacin lo dedicamos a nuestros docentes de la Universidad Privada del Norte, que da a da nos ensean que con la perseverancia y la constancia se pueden lograr muchas cosas en la vida. A nuestros padres, que gracias a Dios los tenemos nuestro lado, y son cmplices en nuestro aprendizaje, en nuestra formacin tanto personal como profesional.
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Clculo II Mtodo de integracin por fracciones parciales 4
I. INTRODUCCIN
Dentro del amplio mundo de las Matemticas, existe una herramienta muy
poderosa, El clculo (Calculo diferencial e integral), asimismo existen muchos
mtodos de integracin, unos de los cuales es el mtodo de integracin por
fracciones parciales, este tema provee una visin de conjunto de la matemtica como
herramienta para representar y estudiar los procesos de cambio e integra tres
mtodos para hacerlo: el de las ecuaciones, el de las coordenadas y el de limite.
Permite, al iniciarse la formacin profesional o al terminar la preuniversitaria,
reconocer en el clculo infinitesimal un instrumento de anlisis de los fenmenos y
un lenguaje preciso y claro en la ciencia.
En particular, el que se imparta en el propedutico, obedece a la necesidad educativa
planteada por la heterogeneidad en la formacin de los estudiantes que ingresan a
este nivel.
El curso parte de la premisa de que el alumno ha aprendido los elementos de
algebra, geometra, y geometra analtica; bsicos para comprender los conceptos y
usar las herramientas del clculo.
Suele pasar por ejemplo, que cuando se tiene la necesidad de resolver integrales que
no son posibles resolverlas por mtodos comunes, es indispensable usar fracciones
parciales; las mismas que se dan en cuatro pasos:
Fracciones lineales distintas.
Fracciones lineales iguales.
Fracciones cuadrticas distintas.
Fracciones cuadrticas iguales.
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1.1. OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL Comprender, analizar y desarrollar el mtodo de integracin por fracciones
parciales.
OBJETIVOS ESPECIFICOS Entender el mecanismo de descomposicin de una funcin racional en
fracciones parciales.
Propiciar el desarrollo de la visin del mundo que dan las ciencias; en
particular, reconocer que la matemtica es un lenguaje preciso y claro que
permite plantear hiptesis respecto a la dinmica de la naturaleza.
Desarrollar habilidades de solucin de ejercicios matemticos
fundamentados en conocimientos previos como descomposicin de
fracciones parciales.
ALCANCE O DELIMITACION DE LA INVESTIGACION
DELIMITACION ESPACIAL: La investigacin se ha dado en la biblioteca de
nuestra universidad y en el domicilio del investigador, ya que se ha tomado
muchas referencias bibliogrficas.
DELIMITACION TEMPORAL
La investigacin ha durado aproximadamente dos semanas, del 10 al 21 de
Junio del 2015.
LIMITACIONES DE LA INVESTIGACION
Solo se desarrollaran manualmente los ejercicios referentes a el mtodo de
integracin por fracciones parciales, mas no se usaran software como el
derive, Matlab, etc.
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1.2. MARCO TEORICO
MTODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES
El uso de las fracciones parciales ha permitido solucionar mltiples problemas en el
lgebra superior y de ah su gran importancia en aprenderlas para aplicarlas a la
solucin de algunas integrales especiales.
FRACCION PARCIAL
Una fraccin parcial es el resultado del proceso de descomposicin de una funcin
racional en fracciones simples o parciales.
1.3. BREVE RESEA HISTORICA
JHON BERNOULLI (1667 - 1748)
El mtodo de descomposicin de las fracciones simples o parciales fue introducido
por John Bernoulli, matemtico suizo cuyas investigaciones fueron fundamentales
en el desarrollo temprano del clculo. John Bernoulli fue profesor en la universidad
de Basilea donde conto con ilustres discpulos, el ms famoso fue Leonhard Euler.
A la izquierda, Jhon Bernoulli, junto a su discpulo Leonhard Euler; grandes
matemticos que introdujeron el mtodo de fracciones parciales.
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OLIVER HEAVISIDE (1850 - 1925)
Conocido por su afamado Mtodo de Heaviside, que permite calcular las
constantes de los desarrollos en fracciones parciales para fracciones racionales
propias; este fsico matemtico ingles nunca recibi una educacin formal, sin
embargo genero mtodos prcticos para convertir fracciones complejas en
fracciones simples o parciales.
Oliver Heaviside; gran matemtico ingles que propuso el mtodo que lleva su nombre
para desarrollar las fracciones parciales.
Este mtodo consiste en encontrar las variables de los denominadores de las
fracciones parciales empleando los puntos crticos al factorizar.
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II. MTODO DE INTEGRACIN POR FRACCIONES
PARCIALES
En este captulo examinaremos un procedimiento para descomponer una funcin
racional en funciones racionales ms simples para poder aplicar las formulas bsicas
de integracin. Este procedimiento se llama Mtodo de las fracciones simples o
parciales. Para ver el beneficio del mtodo de las fracciones simples.
Para comprender con claridad y precisin el tema de las fracciones parciales,
veremos a continuacin el desarrollo paso a paso de la transformacin de una
fraccin compleja en fracciones simples o parciales, como se muestra a
continuacin:
Procedimiento para:
Descomposicin en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.
Paso 1:
Siempre me debo de fijar si el grado de la funcin del numerador es menor que la
del denominador. Si es mayor debo realizar una divisin larga para bajar el grado de
la funcin del numerador.
Paso 2:
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales, px
+q, o factores cuadrticos irreductibles, cbxax 2 , y agrupar los factores repetidos
para que la funcin del denominador sea un producto de factores diferentes de la
forma mqpx , donde 1m o ncbxax 2 los nmeros m y n no pueden ser negativos.
Paso 3:
Si son Descomposicin en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal
o fracciones parciales con un factor lineal repetido.
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...factor factor
segundo
B
primer
A
Ejemplo 1:
Determinar la descomposicin en fracciones parciales de:
xxx
xx
32
913423
2
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por
lo tanto no tengo que hacer una divisin larga.
Segundo: factorizo el denominador
133232 223 xxxxxxxxx
Tercero: coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el mnimo comn denominador, lo opero y lo igualo al numerador.
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Podemos resolverlo por matrices o por el mtodo que ms nos convenga:
Opero los parntesis
xxCxxBxxAxx 3329134 2222
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Ahora formo mi primera ecuacin con los trminos al cuadrado as:
ACBAxCBAxxx
ACxBxAxCxBxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
CxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134
3329134
3329134
3329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
Mis tres ecuaciones son:
4111 CBA
13312 CBA
A39
Tomo la tercera ecuacin y encuentro el valor de A
A39
A
A
3
3
9
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
1
34
43
413
4111
CB
CB
CB
CB
CBA
Multiplico las letras en los parntesis
Quito los parntesis
Los ordeno
Factorizo as
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73
6133
1336
13332
13312
CB
CB
CB
CB
CBA
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo as los valores de B y C
73
1
CB
CB
2C
84
C
1
21
12
1
B
B
B
CB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
Hay otro sistema que se puede usar nicamente cuando los trminos son lineales y
no repetidos que es mucho ms fcil.
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1332
913423
2
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Obtengo el mnimo comn denominador, lo opero y lo igualo al numerador.
31139134 2 xxCxxBxxAxx
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccin parcial
0x 3
03
x
x
1
01
x
x
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
31139134 2 xxCxxBxxAxx
A
A
CBA
CBA
3
39
0013900
30010010309013042
x = -3
31139134 2 xxCxxBxxAxx
B
B
CBA
CBA
1
1212
03434093936
33313313339313342
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x = 1
31139134 2 xxCxxBxxAxx
C
C
CBA
CBA
2
48
4101049134
31111111319113142
Respuesta:
1
2
3
13
1332
913423
2
xxxx
C
x
B
x
A
xxx
xx
2.1. CASOS ESPECIALES DEL MTODO DE INTEGRACION POR
FRACCIONES PARCIALES
En este captulo mostraremos como expresar una funcin racional (un cociente de
polinomios) como una suma de fracciones ms sencillas, denominadas fracciones
parciales, que son fciles de integrar, para ello existen 4 casos especiales, y son:
La Integracin mediante fracciones parciales, es uno de los mtodos de Integracin
ms fcil, en donde la forma a seguir esta dada (se podra decir), por unos criterios.
Definicin: Se llama funcin racional a toda funcin del tipo
En donde y son polinomios con coeficientes reales, y grado
Adems q(x) es diferente de cero.
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Ejemplo:
Cmo descomponer una funcin racional en fracciones parciales?
Veamos los siguientes casos:
2.1.1. CASO 1: FACTORES LINEALES DISTINTOS A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fraccin racional propia (que el
denominador se puede descomponer), le corresponde una fraccin de la forma
, siendo A una constante a determinar.
Ejemplo:
Luego nos queda la siguiente igualdad
O tambin lo podemos escribir 1 = (A + B) x + 2A - 2B
Haciendo un Sistema.
A + B = 0
2A - 2B = 1, las soluciones son:
Quedando de esta manera:
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Con lo cual
2.1.2. CASO 2: FACTORES LINEALES IGUALES A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fraccin
racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma
EJEMPLO:
Calculemos la siguiente integral
Pero: Tendremos
Amplificando por
Las Soluciones son:
Nos queda:
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2.1.3. CASO 3: FACTORES CUADRTICOS DISTINTOS
A cada factor cuadrtico reducible, que figure en el denominador de
una fraccin racional propia, le corresponde una fraccin de la forma
siendo A y B constantes a determinar.
Ejemplo:
Calcular:
Factor izando el denominador ya sea por aspa simple o por aspas dobles especiales;
o utilizando algunos productos notables, tenemos:
Con lo que se obtiene
de donde
Luego los valores a encontrar son.
A = 0, B = 1, C = 1, D = 0
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2.1.4. CASO 4: FACTORES CUADRTICOS IGUALES
A cada factor cuadrtico irreducible, que se repita n veces en el
denominador de una fraccin racional propia, le corresponde una suma de n
fracciones de la forma
Siendo los valores de A y B constantes reales.
Ejemplo:
Calcular la siguiente integral
Tendremos que:
Por tanto multiplicando a ambos lados de la igualdad por el mnimo comn
denominador tenemos
Donde los valores de las constantes son
A = 0 , B = 2 , C = 0 , D = 1
De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.
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2.2. EJERCICIOS ILUSTRATIVOS METODO DE INTEGRACION POR
FRACCIONES PARCIALES
Se desarrollaran algunos ejercicios ilustrativos de los 4 casos especiales antes
mencionados, para poder fortalecer nuestra habilidad del clculo de integrales
mediante el mtodo de las fracciones parciales:
2.2.1. EJERCICIO N 01
+ + = ( + )
+ =
+
+
+ =
( ) +
( + )
= ( + ) + =
= ( + ) + ( ) + =
= ( ) + =
=
=
=
= ( + ) +
= ( + ) + ( )
=
=
=
+ = (
+
+ ) =
+
= || | + | +
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2.2.2. EJERCICIO N 02
+
+ + + + = ( + ) ( + )
+
+ + =
( + )+
( + )
+
+ + = ( + ) + ( + )
( + )( + )
+
+ + = + + +
( + )( + )
+ = + + +
+ = ( + ) + +
{ + = + =
Resolviendo el Sistema
+ = ( )
+ = + =
= =
+ = = +
= =
= =
+
+ + = [
( + )+
( + )]
=
( + )+
( )
( + )
=
( + )
( + )
= | + | | + | +
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2.2.3. EJERCICIO N 03
+
( + )
+
( + )=
+
+ +
+ = ( + ) + ( + ) + + ( )
( + )
+
( + )= + + + + +
( + )
+ = + + + + +
+ = + + + + +
+ = ( + ) + ( + ) + +
{
+ = =
+ = =
= =
= =
+
( + ) = [
+
+ +
+ ]
[
+
+( ) +
+ ] =
+
+
+
(
) +
+
(
) +
+
(
) +
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2.2.4. EJERCICIO N 04
+
+ =
+
( + )( + + )
Completando el Cuadrado
+
+ +
( + ) =
( + ) =
+ =
+ = + + =
Solucin de la Integral Por Fracciones Parciales
+
( + )( + + )=
( + )+
( + + )
+
( + )( + + )= ( + + ) + ( + )
( + )( + + )
+ = + + + +
+ = + + + +
+ = ( + ) + + +
+ = ( + ) + ( + ) + ( )
{( + ) + ( ) =
+ =
Entonces
[( + ) + ( ) = ]
( + ) [ + = ]
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( + ) ( ) =
( + ) + ( + ) = ( + )
( ) =
+ ( + ) = +
( + ) =
( + ) = +
= +
= +
=
+
=
+
=
()+
=
+
= +
=
+ =
+
=
=
= +
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= +
+
+ + = [
( + )+
( + + )]
+
+ + = [
+
( + )+
( + + )]
= +
+ +
( + + )
= +
| + | +
| + + | +
2.2.5. EJERCICIO N 05
+ = ( ) ( + )
=
( )+
( + )= ( + ) + ( )
( ) ( + )
= + +
( ) ( + )
= + +
= ( + ) +
{ + = ()
=
=
= + = ,
+ =
= =
= =
=
=
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=
( )+
( + ) =
( )+
( + )
=
( ) +
( + )
=
| | +
| + | +
2.2.6. EJERCICIO N 06
( + )
( + )=
+
+ +
( + )=( + ) + ( + ) +
( + )
( + )= ( + + ) + + +
( + )
( + )= + + + + +
( + )
= + + + + +
= + + + + +
= ( + ) + ( + + ) +
{
+ = = + + = =
= =
= =
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( + ) = [
+
+ +
( + )]
= [
+
+ +
( + )]
=
( + )
= + =
= =
= =
+
= +
+
=
+ +
2.2.7. EJERCICIO N 07
( + )( )
( + )( )= +
( + )+
( )= + ( ) + ( + )
( + )( )
( + )( )= + + +
( + )( )
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= + + +
= + + +
= ( + ) + ( + ) +
+ = + + =
+ = + + =
+ = + =
Resolviendo el Sistema Metodo de Sustitucion
+ + = () ". "
+ + = ". "
+ + =
+ + =
+ = ". "
+ + = () ". "
+ = ".
+ + =
+ =
+ = ". "
+ = () ". "
+ = ". "
+ =
+ =
=
=
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Encontare B Encontrar A
+ = Ec. 4 + = ". "
+ (
) = +
=
+
= =
=
=
( + )( ) =
+
( + )+
( ) =
() + (
)
( + )+
()
( )
=
+ +
+ +
=
+
+ +
=
+
(
) +
|| +
=
|| +
(
)
+
|| +
=
| + | +
(
)
+
| | +
=
| + | +
| | +
(
)
+
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2.2.8. EJERCICIO N 08
+ + = ( + )
( + )=
+
+
+
+ = ( + ) + ( + ) + +(
)
( + )
( + )= + + + + +
( + )
= + + + + +
= ( + ) + ( + ) + +
+ = = + = + =
+ = = () + = () + =
= = + = + =
= = = =
+ = [
+
+
+
+ ] =
+
+() + ()
+
=
+
=
+
=
+ /
=
+
=
.
(
) +
=
.
(
) +
=
() +
Sustituciones
= 2 + 2 = 2 =
2
2 = = , = 2 = 2 = 3 = =
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2.2.9. EJERCICIO N 09
+ + + + = ( + + )
+ + =
+
+
+ + = ( + + ) + + ()
( + + )
+ + = + + + +
( + + )
= + + + +
= ( + ) + ( + ) +
+ =
+ =
=
= , = , =
+ + = (
+
+
+ + ) =
+
+ +
=
+
+ +
=
| + + |
( +
)
= 1
= 3
= 3
=
3
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2.2.10. EJERCICIO N 10
Lo primero que haremos ser calcular las fracciones parciales
Tenemos que
Igualando y multiplicando por el mnimo comn mltiplo tenemos que
Ahora determinemos las constantes igualando coeficientes de potencias idnticas
C = 0
A = 1
Entonces los valores de A, B, C y D son:
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As pues:
Para resolver la segunda y tercera integral usamos el siguiente cambio de variable:
Entonces tenemos:
2.2.11. EJERCICIO N 11
Calcular la siguiente Integral mediante Fracciones Parciales
Primero podemos factorizar el denominador de la siguiente manera
Entonces calculando las fracciones parciales tenemos:
Multiplicando por el mnimo comn mltiplo
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Igualando coeficientes tenemos:
A = -1
B = 1
C = -3
Entonces remplazando los valores de A , B y C, tenemos:
La primera integral da como resultado:
La segunda integral la debemos resolver completando cuadrados y luego por sustitucin trigonomtrica
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RECOMENDACIONES
Utilizar correctamente los tipos de factorizacin; para poder trabajar las
fracciones parciales.
Emplear el mtodo de Heaviside para poder desarrollar con ms eficiencia, y
menor tiempo las fracciones parciales.
Recurrir algunos software de Matemticas que permiten factorizar funciones
racionales complejas, en caso que no poderese factorizar manualmente.
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CONCLUSIONES
El mtodo de integracin por fracciones parciales consiste en transformar
una fraccin compleja en fracciones simples o parciales.
Hay 4 casos especiales para dar solucin a integrales por el mtodo de las
fracciones parciales, y son:
o CASO 1: Factores lineales distintos.
o CASO 2: Factores lineales iguales.
o CASO 3: Factores cuadrticos distintos.
o CASO 4: Factores cuadrticos iguales.
Mediante la solucin de algunas integrales se puede comprender la dinmica
de la naturales; as mismo se puede aplicar para el clculo y resolucin de
problemas de la vida real.( Maximizacin, Minimizacin, etc.)
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BIBLIOGRAFA Y LINKOGRAFIA
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ANEXOS
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Ejemplificacin del procedimiento para integrar mediante el mtodo de
fracciones parciales.
Tabla de la clasificacin de los tipos de fracciones parciales de acuerdo a la
naturaleza de la fraccin.
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Tabla de los distintos mtodos de integracin, dentro de ellos el de fracciones
parciales.
Ejemplo de algunas funciones racionales transformadas a fracciones simples o
parciales.