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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA INDUSTRIAL TRABAJO DE INVESTIGACIÓN “MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES” CURSO: CÁLCULO II DOCENTE: Ing. ….. Alumna: Damaris Cabellos Chilón. FECHA DE PRESENTACION: 23/06/2015 CAJAMARCA- PERÚ 2015

Metodo de Integracion Por Fracciones Parciales

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Uno de los métodos mas comunes en el calculo integral "método de integración por fracciones parciales".

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    INGENIERIA INDUSTRIAL MTODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES

    Clculo II Mtodo de integracin por fracciones parciales 1

    UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

    FACULTAD DE INGENIERA

    INGENIERA INDUSTRIAL

    TRABAJO DE INVESTIGACIN

    MTODO DE INTEGRACIN POR FRACCIONES PARCIALES

    CURSO: CLCULO II

    DOCENTE: Ing. ..

    Alumna:

    Damaris Cabellos Chiln.

    FECHA DE PRESENTACION: 23/06/2015

    CAJAMARCA- PER

    2015

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    Clculo II Mtodo de integracin por fracciones parciales 2

    NDICE

    DEDICATORIA 3

    I. INTRODUCCIN 4

    1.1. OBJETIVOS 5

    OBJETIVO GENERAL 5

    OBJETIVOS ESPECIFICOS 5

    1.2. MARCO TEORICO 6

    1.3. BREVE RESEA HISTORICA 6

    II. MTODO DE INTEGRACIN POR FRACCIONES PARCIALES 8

    2.1. CASOS ESPECIALES DEL MTODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES 13

    2.1.1. CASO 1: FACTORES LINEALES DISTINTOS 14

    2.1.2. CASO 2: FACTORES LINEALES IGUALES 15

    2.1.3. CASO 3: FACTORES CUADRTICOS DISTINTOS 16

    2.1.4. CASO 4: FACTORES CUADRTICOS IGUALES 17

    2.2. EJERCICIOS ILUSTRATIVOS METODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES

    PARCIALES 18

    2.2.1. EJERCICIO N 01 18

    2.2.2. EJERCICIO N 02 19

    2.2.3. EJERCICIO N 03 20

    2.2.4. EJERCICIO N 04 21

    2.2.5. EJERCICIO N 05 23

    2.2.6. EJERCICIO N 06 24

    2.2.7. EJERCICIO N 07 25

    2.2.8. EJERCICIO N 08 28

    2.2.9. EJERCICIO N 09 29

    2.2.10. EJERCICIO N 10 30

    2.2.11. EJERCICIO N 11 31

    RECOMENDACIONES 33

    CONCLUSIONES 34

    BIBLIOGRAFA Y LINKOGRAFIA 35

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    DEDICATORIA

    Este trabajo de investigacin lo dedicamos a nuestros docentes de la Universidad Privada del Norte, que da a da nos ensean que con la perseverancia y la constancia se pueden lograr muchas cosas en la vida. A nuestros padres, que gracias a Dios los tenemos nuestro lado, y son cmplices en nuestro aprendizaje, en nuestra formacin tanto personal como profesional.

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    I. INTRODUCCIN

    Dentro del amplio mundo de las Matemticas, existe una herramienta muy

    poderosa, El clculo (Calculo diferencial e integral), asimismo existen muchos

    mtodos de integracin, unos de los cuales es el mtodo de integracin por

    fracciones parciales, este tema provee una visin de conjunto de la matemtica como

    herramienta para representar y estudiar los procesos de cambio e integra tres

    mtodos para hacerlo: el de las ecuaciones, el de las coordenadas y el de limite.

    Permite, al iniciarse la formacin profesional o al terminar la preuniversitaria,

    reconocer en el clculo infinitesimal un instrumento de anlisis de los fenmenos y

    un lenguaje preciso y claro en la ciencia.

    En particular, el que se imparta en el propedutico, obedece a la necesidad educativa

    planteada por la heterogeneidad en la formacin de los estudiantes que ingresan a

    este nivel.

    El curso parte de la premisa de que el alumno ha aprendido los elementos de

    algebra, geometra, y geometra analtica; bsicos para comprender los conceptos y

    usar las herramientas del clculo.

    Suele pasar por ejemplo, que cuando se tiene la necesidad de resolver integrales que

    no son posibles resolverlas por mtodos comunes, es indispensable usar fracciones

    parciales; las mismas que se dan en cuatro pasos:

    Fracciones lineales distintas.

    Fracciones lineales iguales.

    Fracciones cuadrticas distintas.

    Fracciones cuadrticas iguales.

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    1.1. OBJETIVOS

    OBJETIVO GENERAL Comprender, analizar y desarrollar el mtodo de integracin por fracciones

    parciales.

    OBJETIVOS ESPECIFICOS Entender el mecanismo de descomposicin de una funcin racional en

    fracciones parciales.

    Propiciar el desarrollo de la visin del mundo que dan las ciencias; en

    particular, reconocer que la matemtica es un lenguaje preciso y claro que

    permite plantear hiptesis respecto a la dinmica de la naturaleza.

    Desarrollar habilidades de solucin de ejercicios matemticos

    fundamentados en conocimientos previos como descomposicin de

    fracciones parciales.

    ALCANCE O DELIMITACION DE LA INVESTIGACION

    DELIMITACION ESPACIAL: La investigacin se ha dado en la biblioteca de

    nuestra universidad y en el domicilio del investigador, ya que se ha tomado

    muchas referencias bibliogrficas.

    DELIMITACION TEMPORAL

    La investigacin ha durado aproximadamente dos semanas, del 10 al 21 de

    Junio del 2015.

    LIMITACIONES DE LA INVESTIGACION

    Solo se desarrollaran manualmente los ejercicios referentes a el mtodo de

    integracin por fracciones parciales, mas no se usaran software como el

    derive, Matlab, etc.

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    1.2. MARCO TEORICO

    MTODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES

    El uso de las fracciones parciales ha permitido solucionar mltiples problemas en el

    lgebra superior y de ah su gran importancia en aprenderlas para aplicarlas a la

    solucin de algunas integrales especiales.

    FRACCION PARCIAL

    Una fraccin parcial es el resultado del proceso de descomposicin de una funcin

    racional en fracciones simples o parciales.

    1.3. BREVE RESEA HISTORICA

    JHON BERNOULLI (1667 - 1748)

    El mtodo de descomposicin de las fracciones simples o parciales fue introducido

    por John Bernoulli, matemtico suizo cuyas investigaciones fueron fundamentales

    en el desarrollo temprano del clculo. John Bernoulli fue profesor en la universidad

    de Basilea donde conto con ilustres discpulos, el ms famoso fue Leonhard Euler.

    A la izquierda, Jhon Bernoulli, junto a su discpulo Leonhard Euler; grandes

    matemticos que introdujeron el mtodo de fracciones parciales.

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    OLIVER HEAVISIDE (1850 - 1925)

    Conocido por su afamado Mtodo de Heaviside, que permite calcular las

    constantes de los desarrollos en fracciones parciales para fracciones racionales

    propias; este fsico matemtico ingles nunca recibi una educacin formal, sin

    embargo genero mtodos prcticos para convertir fracciones complejas en

    fracciones simples o parciales.

    Oliver Heaviside; gran matemtico ingles que propuso el mtodo que lleva su nombre

    para desarrollar las fracciones parciales.

    Este mtodo consiste en encontrar las variables de los denominadores de las

    fracciones parciales empleando los puntos crticos al factorizar.

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    II. MTODO DE INTEGRACIN POR FRACCIONES

    PARCIALES

    En este captulo examinaremos un procedimiento para descomponer una funcin

    racional en funciones racionales ms simples para poder aplicar las formulas bsicas

    de integracin. Este procedimiento se llama Mtodo de las fracciones simples o

    parciales. Para ver el beneficio del mtodo de las fracciones simples.

    Para comprender con claridad y precisin el tema de las fracciones parciales,

    veremos a continuacin el desarrollo paso a paso de la transformacin de una

    fraccin compleja en fracciones simples o parciales, como se muestra a

    continuacin:

    Procedimiento para:

    Descomposicin en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal.

    Paso 1:

    Siempre me debo de fijar si el grado de la funcin del numerador es menor que la

    del denominador. Si es mayor debo realizar una divisin larga para bajar el grado de

    la funcin del numerador.

    Paso 2:

    Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales, px

    +q, o factores cuadrticos irreductibles, cbxax 2 , y agrupar los factores repetidos

    para que la funcin del denominador sea un producto de factores diferentes de la

    forma mqpx , donde 1m o ncbxax 2 los nmeros m y n no pueden ser negativos.

    Paso 3:

    Si son Descomposicin en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal

    o fracciones parciales con un factor lineal repetido.

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    ...factor factor

    segundo

    B

    primer

    A

    Ejemplo 1:

    Determinar la descomposicin en fracciones parciales de:

    xxx

    xx

    32

    913423

    2

    Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por

    lo tanto no tengo que hacer una divisin larga.

    Segundo: factorizo el denominador

    133232 223 xxxxxxxxx

    Tercero: coloco cada factor obtenido de la siguiente forma

    1332

    913423

    2

    x

    C

    x

    B

    x

    A

    xxx

    xx

    Obtengo el mnimo comn denominador, lo opero y lo igualo al numerador.

    31139134 2 xxCxxBxxAxx

    Podemos resolverlo por matrices o por el mtodo que ms nos convenga:

    Opero los parntesis

    xxCxxBxxAxx 3329134 2222

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    Ahora formo mi primera ecuacin con los trminos al cuadrado as:

    ACBAxCBAxxx

    ACxBxAxCxBxAxxx

    CxCxBxBxAAxAxxx

    CxCxBxBxAAxAxxx

    xxCxxBxxAxx

    3329134

    3329134

    3329134

    3329134

    3329134

    22

    2222

    2222

    2222

    2222

    Mis tres ecuaciones son:

    4111 CBA

    13312 CBA

    A39

    Tomo la tercera ecuacin y encuentro el valor de A

    A39

    A

    A

    3

    3

    9

    Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones

    1

    34

    43

    413

    4111

    CB

    CB

    CB

    CB

    CBA

    Multiplico las letras en los parntesis

    Quito los parntesis

    Los ordeno

    Factorizo as

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    73

    6133

    1336

    13332

    13312

    CB

    CB

    CB

    CB

    CBA

    Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo as los valores de B y C

    73

    1

    CB

    CB

    2C

    84

    C

    1

    21

    12

    1

    B

    B

    B

    CB

    Coloco las respuestas en la letra correspondiente

    1

    2

    3

    13

    1332

    913423

    2

    xxxx

    C

    x

    B

    x

    A

    xxx

    xx

    Hay otro sistema que se puede usar nicamente cuando los trminos son lineales y

    no repetidos que es mucho ms fcil.

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    1332

    913423

    2

    x

    C

    x

    B

    x

    A

    xxx

    xx

    Obtengo el mnimo comn denominador, lo opero y lo igualo al numerador.

    31139134 2 xxCxxBxxAxx

    Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fraccin parcial

    0x 3

    03

    x

    x

    1

    01

    x

    x

    Ahora sustituyo los valores de x

    x = 0

    31139134 2 xxCxxBxxAxx

    A

    A

    CBA

    CBA

    3

    39

    0013900

    30010010309013042

    x = -3

    31139134 2 xxCxxBxxAxx

    B

    B

    CBA

    CBA

    1

    1212

    03434093936

    33313313339313342

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    x = 1

    31139134 2 xxCxxBxxAxx

    C

    C

    CBA

    CBA

    2

    48

    4101049134

    31111111319113142

    Respuesta:

    1

    2

    3

    13

    1332

    913423

    2

    xxxx

    C

    x

    B

    x

    A

    xxx

    xx

    2.1. CASOS ESPECIALES DEL MTODO DE INTEGRACION POR

    FRACCIONES PARCIALES

    En este captulo mostraremos como expresar una funcin racional (un cociente de

    polinomios) como una suma de fracciones ms sencillas, denominadas fracciones

    parciales, que son fciles de integrar, para ello existen 4 casos especiales, y son:

    La Integracin mediante fracciones parciales, es uno de los mtodos de Integracin

    ms fcil, en donde la forma a seguir esta dada (se podra decir), por unos criterios.

    Definicin: Se llama funcin racional a toda funcin del tipo

    En donde y son polinomios con coeficientes reales, y grado

    Adems q(x) es diferente de cero.

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    Ejemplo:

    Cmo descomponer una funcin racional en fracciones parciales?

    Veamos los siguientes casos:

    2.1.1. CASO 1: FACTORES LINEALES DISTINTOS A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fraccin racional propia (que el

    denominador se puede descomponer), le corresponde una fraccin de la forma

    , siendo A una constante a determinar.

    Ejemplo:

    Luego nos queda la siguiente igualdad

    O tambin lo podemos escribir 1 = (A + B) x + 2A - 2B

    Haciendo un Sistema.

    A + B = 0

    2A - 2B = 1, las soluciones son:

    Quedando de esta manera:

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    Con lo cual

    2.1.2. CASO 2: FACTORES LINEALES IGUALES A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fraccin

    racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

    EJEMPLO:

    Calculemos la siguiente integral

    Pero: Tendremos

    Amplificando por

    Las Soluciones son:

    Nos queda:

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    2.1.3. CASO 3: FACTORES CUADRTICOS DISTINTOS

    A cada factor cuadrtico reducible, que figure en el denominador de

    una fraccin racional propia, le corresponde una fraccin de la forma

    siendo A y B constantes a determinar.

    Ejemplo:

    Calcular:

    Factor izando el denominador ya sea por aspa simple o por aspas dobles especiales;

    o utilizando algunos productos notables, tenemos:

    Con lo que se obtiene

    de donde

    Luego los valores a encontrar son.

    A = 0, B = 1, C = 1, D = 0

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    2.1.4. CASO 4: FACTORES CUADRTICOS IGUALES

    A cada factor cuadrtico irreducible, que se repita n veces en el

    denominador de una fraccin racional propia, le corresponde una suma de n

    fracciones de la forma

    Siendo los valores de A y B constantes reales.

    Ejemplo:

    Calcular la siguiente integral

    Tendremos que:

    Por tanto multiplicando a ambos lados de la igualdad por el mnimo comn

    denominador tenemos

    Donde los valores de las constantes son

    A = 0 , B = 2 , C = 0 , D = 1

    De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.

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    2.2. EJERCICIOS ILUSTRATIVOS METODO DE INTEGRACION POR

    FRACCIONES PARCIALES

    Se desarrollaran algunos ejercicios ilustrativos de los 4 casos especiales antes

    mencionados, para poder fortalecer nuestra habilidad del clculo de integrales

    mediante el mtodo de las fracciones parciales:

    2.2.1. EJERCICIO N 01

    + + = ( + )

    + =

    +

    +

    + =

    ( ) +

    ( + )

    = ( + ) + =

    = ( + ) + ( ) + =

    = ( ) + =

    =

    =

    =

    = ( + ) +

    = ( + ) + ( )

    =

    =

    =

    + = (

    +

    + ) =

    +

    = || | + | +

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    2.2.2. EJERCICIO N 02

    +

    + + + + = ( + ) ( + )

    +

    + + =

    ( + )+

    ( + )

    +

    + + = ( + ) + ( + )

    ( + )( + )

    +

    + + = + + +

    ( + )( + )

    + = + + +

    + = ( + ) + +

    { + = + =

    Resolviendo el Sistema

    + = ( )

    + = + =

    = =

    + = = +

    = =

    = =

    +

    + + = [

    ( + )+

    ( + )]

    =

    ( + )+

    ( )

    ( + )

    =

    ( + )

    ( + )

    = | + | | + | +

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    2.2.3. EJERCICIO N 03

    +

    ( + )

    +

    ( + )=

    +

    + +

    + = ( + ) + ( + ) + + ( )

    ( + )

    +

    ( + )= + + + + +

    ( + )

    + = + + + + +

    + = + + + + +

    + = ( + ) + ( + ) + +

    {

    + = =

    + = =

    = =

    = =

    +

    ( + ) = [

    +

    + +

    + ]

    [

    +

    +( ) +

    + ] =

    +

    +

    +

    (

    ) +

    +

    (

    ) +

    +

    (

    ) +

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    2.2.4. EJERCICIO N 04

    +

    + =

    +

    ( + )( + + )

    Completando el Cuadrado

    +

    + +

    ( + ) =

    ( + ) =

    + =

    + = + + =

    Solucin de la Integral Por Fracciones Parciales

    +

    ( + )( + + )=

    ( + )+

    ( + + )

    +

    ( + )( + + )= ( + + ) + ( + )

    ( + )( + + )

    + = + + + +

    + = + + + +

    + = ( + ) + + +

    + = ( + ) + ( + ) + ( )

    {( + ) + ( ) =

    + =

    Entonces

    [( + ) + ( ) = ]

    ( + ) [ + = ]

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    ( + ) ( ) =

    ( + ) + ( + ) = ( + )

    ( ) =

    + ( + ) = +

    ( + ) =

    ( + ) = +

    = +

    = +

    =

    +

    =

    +

    =

    ()+

    =

    +

    = +

    =

    + =

    +

    =

    =

    = +

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    = +

    +

    + + = [

    ( + )+

    ( + + )]

    +

    + + = [

    +

    ( + )+

    ( + + )]

    = +

    + +

    ( + + )

    = +

    | + | +

    | + + | +

    2.2.5. EJERCICIO N 05

    + = ( ) ( + )

    =

    ( )+

    ( + )= ( + ) + ( )

    ( ) ( + )

    = + +

    ( ) ( + )

    = + +

    = ( + ) +

    { + = ()

    =

    =

    = + = ,

    + =

    = =

    = =

    =

    =

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    INGENIERIA INDUSTRIAL MTODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES

    Clculo II Mtodo de integracin por fracciones parciales 24

    =

    ( )+

    ( + ) =

    ( )+

    ( + )

    =

    ( ) +

    ( + )

    =

    | | +

    | + | +

    2.2.6. EJERCICIO N 06

    ( + )

    ( + )=

    +

    + +

    ( + )=( + ) + ( + ) +

    ( + )

    ( + )= ( + + ) + + +

    ( + )

    ( + )= + + + + +

    ( + )

    = + + + + +

    = + + + + +

    = ( + ) + ( + + ) +

    {

    + = = + + = =

    = =

    = =

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    Clculo II Mtodo de integracin por fracciones parciales 25

    ( + ) = [

    +

    + +

    ( + )]

    = [

    +

    + +

    ( + )]

    =

    ( + )

    = + =

    = =

    = =

    +

    = +

    +

    =

    + +

    2.2.7. EJERCICIO N 07

    ( + )( )

    ( + )( )= +

    ( + )+

    ( )= + ( ) + ( + )

    ( + )( )

    ( + )( )= + + +

    ( + )( )

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    Clculo II Mtodo de integracin por fracciones parciales 26

    = + + +

    = + + +

    = ( + ) + ( + ) +

    + = + + =

    + = + + =

    + = + =

    Resolviendo el Sistema Metodo de Sustitucion

    + + = () ". "

    + + = ". "

    + + =

    + + =

    + = ". "

    + + = () ". "

    + = ".

    + + =

    + =

    + = ". "

    + = () ". "

    + = ". "

    + =

    + =

    =

    =

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    Clculo II Mtodo de integracin por fracciones parciales 27

    Encontare B Encontrar A

    + = Ec. 4 + = ". "

    + (

    ) = +

    =

    +

    = =

    =

    =

    ( + )( ) =

    +

    ( + )+

    ( ) =

    () + (

    )

    ( + )+

    ()

    ( )

    =

    + +

    + +

    =

    +

    + +

    =

    +

    (

    ) +

    || +

    =

    || +

    (

    )

    +

    || +

    =

    | + | +

    (

    )

    +

    | | +

    =

    | + | +

    | | +

    (

    )

    +

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    Clculo II Mtodo de integracin por fracciones parciales 28

    2.2.8. EJERCICIO N 08

    + + = ( + )

    ( + )=

    +

    +

    +

    + = ( + ) + ( + ) + +(

    )

    ( + )

    ( + )= + + + + +

    ( + )

    = + + + + +

    = ( + ) + ( + ) + +

    + = = + = + =

    + = = () + = () + =

    = = + = + =

    = = = =

    + = [

    +

    +

    +

    + ] =

    +

    +() + ()

    +

    =

    +

    =

    +

    =

    + /

    =

    +

    =

    .

    (

    ) +

    =

    .

    (

    ) +

    =

    () +

    Sustituciones

    = 2 + 2 = 2 =

    2

    2 = = , = 2 = 2 = 3 = =

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    Clculo II Mtodo de integracin por fracciones parciales 29

    2.2.9. EJERCICIO N 09

    + + + + = ( + + )

    + + =

    +

    +

    + + = ( + + ) + + ()

    ( + + )

    + + = + + + +

    ( + + )

    = + + + +

    = ( + ) + ( + ) +

    + =

    + =

    =

    = , = , =

    + + = (

    +

    +

    + + ) =

    +

    + +

    =

    +

    + +

    =

    | + + |

    ( +

    )

    = 1

    = 3

    = 3

    =

    3

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    Clculo II Mtodo de integracin por fracciones parciales 30

    2.2.10. EJERCICIO N 10

    Lo primero que haremos ser calcular las fracciones parciales

    Tenemos que

    Igualando y multiplicando por el mnimo comn mltiplo tenemos que

    Ahora determinemos las constantes igualando coeficientes de potencias idnticas

    C = 0

    A = 1

    Entonces los valores de A, B, C y D son:

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    Clculo II Mtodo de integracin por fracciones parciales 31

    As pues:

    Para resolver la segunda y tercera integral usamos el siguiente cambio de variable:

    Entonces tenemos:

    2.2.11. EJERCICIO N 11

    Calcular la siguiente Integral mediante Fracciones Parciales

    Primero podemos factorizar el denominador de la siguiente manera

    Entonces calculando las fracciones parciales tenemos:

    Multiplicando por el mnimo comn mltiplo

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    Clculo II Mtodo de integracin por fracciones parciales 32

    Igualando coeficientes tenemos:

    A = -1

    B = 1

    C = -3

    Entonces remplazando los valores de A , B y C, tenemos:

    La primera integral da como resultado:

    La segunda integral la debemos resolver completando cuadrados y luego por sustitucin trigonomtrica

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    RECOMENDACIONES

    Utilizar correctamente los tipos de factorizacin; para poder trabajar las

    fracciones parciales.

    Emplear el mtodo de Heaviside para poder desarrollar con ms eficiencia, y

    menor tiempo las fracciones parciales.

    Recurrir algunos software de Matemticas que permiten factorizar funciones

    racionales complejas, en caso que no poderese factorizar manualmente.

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    CONCLUSIONES

    El mtodo de integracin por fracciones parciales consiste en transformar

    una fraccin compleja en fracciones simples o parciales.

    Hay 4 casos especiales para dar solucin a integrales por el mtodo de las

    fracciones parciales, y son:

    o CASO 1: Factores lineales distintos.

    o CASO 2: Factores lineales iguales.

    o CASO 3: Factores cuadrticos distintos.

    o CASO 4: Factores cuadrticos iguales.

    Mediante la solucin de algunas integrales se puede comprender la dinmica

    de la naturales; as mismo se puede aplicar para el clculo y resolucin de

    problemas de la vida real.( Maximizacin, Minimizacin, etc.)

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    BIBLIOGRAFA Y LINKOGRAFIA

    Clculo de una variable - George Thomas - 11va Edicin

    Clculo I - Ron Larson - 9na Edicin

    Leithold - El Clculo - espaol - 7a.Ed.

    https://assassinezmoi.files.wordpress.com/2013/03/calculo-una-variable-11vo-

    edicic3b3n-george-b-thomas.pdf.

    http://dme.ufro.cl/clinicamatematica/images/Libros/Calculo/Leithold%2

    0-%20El%20Calculo%20-%20espa%C3%B1ol%20-%207a.Ed..pdf

    http://es.slideshare.net/alexvillada927/calculo-de-una-variable-james-

    stewart-6-edicin

    http://www.monografias.com/trabajos99/integrales-fracciones-parciales-

    calculo-integral/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral.shtml

    http://www.alasala.cl/wp-content/uploads/2012/07/capitulo9.pdf

    http://es.slideshare.net/kovovaro/integracin-por-fracciones-parciales-

    22028519

    http://dme.ufro.cl/clinicamatematica/images/ejercicios_resueltos/metodo

    s_de_integracion/Integraci%C3%B3n-por-Fracciones-Parciales1.pdf

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    ANEXOS

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    Ejemplificacin del procedimiento para integrar mediante el mtodo de

    fracciones parciales.

    Tabla de la clasificacin de los tipos de fracciones parciales de acuerdo a la

    naturaleza de la fraccin.

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    Clculo II Mtodo de integracin por fracciones parciales 38

    Tabla de los distintos mtodos de integracin, dentro de ellos el de fracciones

    parciales.

    Ejemplo de algunas funciones racionales transformadas a fracciones simples o

    parciales.