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Descripcion del metodo de MullerProgramacion y ejemplos del
metodo de Muller
Bibliografa
Metodo de Muller
Diego F. Chavez Henao
[email protected]
25 de noviembre de 2014
Diego F. Chavez Henao Metodo de Muller
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Descripcion del metodo de MullerProgramacion y ejemplos del
metodo de Muller
Bibliografa
PreliminaresComparacion de los metodos de la Secante y de
MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el
metodo de Muller
Contenidos
1 Descripcion del metodo de MullerPreliminaresComparacion de los
metodos de la Secante y de MullerEn que consiste el metodo de
Muller?Medida del error en el metodo de Muller
2 Programacion y ejemplos del metodo de MullerCodigo Matlab del
metodo de MullerEjemplo de aplicacion del metodo de Muller
3 Bibliografa
Diego F. Chavez Henao Metodo de Muller
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metodo de Muller
Bibliografa
PreliminaresComparacion de los metodos de la Secante y de
MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el
metodo de Muller
Preliminares
Un problema que se presenta al aplicar los metodos
Secante,Posicion Falsa, o de Newton a polinomios, es la posibilidad
de que elpolinomio contenga races complejas, aun cuando todos
loscoeficientes son numeros reales.
El metodo presentado por D.E. Muller puede ser usado
paraencontrar ceros de una funcion cualquiera, pero resulta de
granutilidad sobre todo al aproximar las races de polinomios
(reales ocomplejas).
Cerca a una raz simple el metodo de Muller converge mucho
masrapido que el metodo de la Secante y alcanza a ser tan rapido
comoel metodo de Newton.
Ademas, el metodo de Muller puede ser programado para
usararitmetica compleja.
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MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el
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Preliminares
Un problema que se presenta al aplicar los metodos
Secante,Posicion Falsa, o de Newton a polinomios, es la posibilidad
de que elpolinomio contenga races complejas, aun cuando todos
loscoeficientes son numeros reales.
El metodo presentado por D.E. Muller puede ser usado
paraencontrar ceros de una funcion cualquiera, pero resulta de
granutilidad sobre todo al aproximar las races de polinomios
(reales ocomplejas).
Cerca a una raz simple el metodo de Muller converge mucho
masrapido que el metodo de la Secante y alcanza a ser tan rapido
comoel metodo de Newton.
Ademas, el metodo de Muller puede ser programado para
usararitmetica compleja.
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MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el
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Preliminares
Un problema que se presenta al aplicar los metodos
Secante,Posicion Falsa, o de Newton a polinomios, es la posibilidad
de que elpolinomio contenga races complejas, aun cuando todos
loscoeficientes son numeros reales.
El metodo presentado por D.E. Muller puede ser usado
paraencontrar ceros de una funcion cualquiera, pero resulta de
granutilidad sobre todo al aproximar las races de polinomios
(reales ocomplejas).
Cerca a una raz simple el metodo de Muller converge mucho
masrapido que el metodo de la Secante y alcanza a ser tan rapido
comoel metodo de Newton.
Ademas, el metodo de Muller puede ser programado para
usararitmetica compleja.
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MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el
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Preliminares
Un problema que se presenta al aplicar los metodos
Secante,Posicion Falsa, o de Newton a polinomios, es la posibilidad
de que elpolinomio contenga races complejas, aun cuando todos
loscoeficientes son numeros reales.
El metodo presentado por D.E. Muller puede ser usado
paraencontrar ceros de una funcion cualquiera, pero resulta de
granutilidad sobre todo al aproximar las races de polinomios
(reales ocomplejas).
Cerca a una raz simple el metodo de Muller converge mucho
masrapido que el metodo de la Secante y alcanza a ser tan rapido
comoel metodo de Newton.
Ademas, el metodo de Muller puede ser programado para
usararitmetica compleja.
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PreliminaresComparacion de los metodos de la Secante y de
MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el
metodo de Muller
Secante vs Muller
El metodo de Muller es unageneralizacion del metodo de
lasecante, en el sentido de que norequiere la derivada de
lafuncion.
Secante: comienza con dosaproximaciones iniciales ydetermina la
siguienteaproximacion de la raz al cortarel eje x con la lnea que
cruzalos dos puntos
Muller: comienza con tresaproximaciones iniciales ydetermina la
siguienteaproximacion de la raz al cortarel eje x con una parabola
quecruza los tres puntos.
Figura 1: Comparacion entre dos
metodos relacionados para encontrar
races: a) el metodo de la Secante, y b)
el metodo de Muller.
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PreliminaresComparacion de los metodos de la Secante y de
MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el
metodo de Muller
Secante vs Muller
El metodo de Muller es unageneralizacion del metodo de
lasecante, en el sentido de que norequiere la derivada de
lafuncion.
Secante: comienza con dosaproximaciones iniciales ydetermina la
siguienteaproximacion de la raz al cortarel eje x con la lnea que
cruzalos dos puntos
Muller: comienza con tresaproximaciones iniciales ydetermina la
siguienteaproximacion de la raz al cortarel eje x con una parabola
quecruza los tres puntos.
Figura 1: Comparacion entre dos
metodos relacionados para encontrar
races: a) el metodo de la Secante, y b)
el metodo de Muller.
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MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el
metodo de Muller
Secante vs Muller
El metodo de Muller es unageneralizacion del metodo de
lasecante, en el sentido de que norequiere la derivada de
lafuncion.
Secante: comienza con dosaproximaciones iniciales ydetermina la
siguienteaproximacion de la raz al cortarel eje x con la lnea que
cruzalos dos puntos
Muller: comienza con tresaproximaciones iniciales ydetermina la
siguienteaproximacion de la raz al cortarel eje x con una parabola
quecruza los tres puntos.
Figura 1: Comparacion entre dos
metodos relacionados para encontrar
races: a) el metodo de la Secante, y b)
el metodo de Muller.
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PreliminaresComparacion de los metodos de la Secante y de
MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el
metodo de Muller
En que consiste el metodo de Muller?
El metodo consiste en obtener los coeficientes de la parabola
(a, b yc) que pasa por los tres puntos. Dichos coeficientes se
sustituyen enla formula cuadratica para obtener el valor donde la
parabolainterseca al eje x, es decir, la raz estimada.
Sin perdida de generalidad asumimos que x2 es la
mejoraproximacion a la raz, y por ello escribimos la ecuacion de
laparabola en una forma conveniente:
f(x) = a(x x2)2 + b(x x2) + c (1)
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PreliminaresComparacion de los metodos de la Secante y de
MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el
metodo de Muller
En que consiste el metodo de Muller?
El metodo consiste en obtener los coeficientes de la parabola
(a, b yc) que pasa por los tres puntos. Dichos coeficientes se
sustituyen enla formula cuadratica para obtener el valor donde la
parabolainterseca al eje x, es decir, la raz estimada.
Sin perdida de generalidad asumimos que x2 es la
mejoraproximacion a la raz, y por ello escribimos la ecuacion de
laparabola en una forma conveniente:
f(x) = a(x x2)2 + b(x x2) + c (1)
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metodo de Muller
En que consiste el metodo de Muller?
Queremos que esta parabola pase por los tres puntos (x0,
f(x0)),(x1, f(x1)) y (x2, f(x2)). Sustituyendo cada uno de esos
trespuntos en la ecuacion (1) obtenemos el sistema (2) formado por
tresecuaciones con tres incognitas (a, b y c):
f(x0) = a(x0 x2)2 + b(x0 x2) + cf(x1) = a(x1 x2)2 + b(x1 x2) +
cf(x2) = a(x2 x2)2 + b(x2 x2) + c
(2)El libro de Burden y Faires [1] propone como solucion al
sistema (2)la siguiente:
c = f(x2)
b = (x0x2)2[f(x1)f(x2)](x1x2)2[f(x0)f(x2)]
(x0x2)(x1x2)(x0x1)a =
(x1x2)[f(x0)f(x2)](x0x2)[f(x1)f(x2)](x0x2)(x1x2)(x0x1)
(3)
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metodo de Muller
En que consiste el metodo de Muller?
Queremos que esta parabola pase por los tres puntos (x0,
f(x0)),(x1, f(x1)) y (x2, f(x2)). Sustituyendo cada uno de esos
trespuntos en la ecuacion (1) obtenemos el sistema (2) formado por
tresecuaciones con tres incognitas (a, b y c):
f(x0) = a(x0 x2)2 + b(x0 x2) + cf(x1) = a(x1 x2)2 + b(x1 x2) +
cf(x2) = a(x2 x2)2 + b(x2 x2) + c
(2)El libro de Burden y Faires [1] propone como solucion al
sistema (2)la siguiente:
c = f(x2)
b = (x0x2)2[f(x1)f(x2)](x1x2)2[f(x0)f(x2)]
(x0x2)(x1x2)(x0x1)a =
(x1x2)[f(x0)f(x2)](x0x2)[f(x1)f(x2)](x0x2)(x1x2)(x0x1)
(3)
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metodo de Muller
En que consiste el metodo de Muller?
El libro de Chapra y Canale [2] propone como solucion al sistema
(2)la siguiente (en terminos de diferencias):
c = f(x2)
a = 10h1h0b = ah1 + 1
(4)en donde
h0 = x1 x0h1 = x2 x10 =
f(x1)f(x0)x1x0
1 =f(x2)f(x1)
x2x1
(5)
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MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el
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En que consiste el metodo de Muller?
El libro de Mathews y Fink [3] propone como solucion al sistema
(2)la siguiente:
c = f(x2)
a = e0h1e1h0h1h20h0h21
b =e1h
20e0h21
h1h20h0h21
(6)en donde
h0 = x1 x0h1 = x2 x1e0 = f(x0) f(x2)e1 = f(x1) f(x2)
(7)
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MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el
metodo de Muller
En que consiste el metodo de Muller?
Reemplazamos a, b y c en (1), y para determinar x = x3
(elsiguiente cero de f(x)) usamos la formula cuadratica mejorada
parasolucionar f(x) = 0:
a(x x2)2 + b(x x2) + c = 0 x x2 = 2cbb2 4ac
x = x2 + 2cbb2 4ac(8)
(Se utiliza la formula cuadratica mejorada para evitar problemas
delerror de redondeo ocasionados por la sustraccion de numeros
casiiguales).
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MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el
metodo de Muller
En que consiste el metodo de Muller?
Reemplazamos a, b y c en (1), y para determinar x = x3
(elsiguiente cero de f(x)) usamos la formula cuadratica mejorada
parasolucionar f(x) = 0:
a(x x2)2 + b(x x2) + c = 0 x x2 = 2cbb2 4ac
x = x2 + 2cbb2 4ac(8)
(Se utiliza la formula cuadratica mejorada para evitar problemas
delerror de redondeo ocasionados por la sustraccion de numeros
casiiguales).
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MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el
metodo de Muller
En que consiste el metodo de Muller?
La formula (8) da dos posibilidades para x = x3, dependiendo de
elsigno que precede al termino radical. En el metodo de Muller
elsigno se elige para coincidir con el signo de b, de manera que
eldenominador sea el de mayor magnitud, con lo cual resultara que
x3sea seleccionada como la raz de f(x) que esta mas cercana a
x2:
x3 = x2 +2c
b+ sgn(b)b2 4ac (9)
Notese que al usar la formula (9) es posible localizar tanto las
racesreales como las complejas. Esta es la mayor ventaja del
metodo!
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MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el
metodo de Muller
En que consiste el metodo de Muller?
La formula (8) da dos posibilidades para x = x3, dependiendo de
elsigno que precede al termino radical. En el metodo de Muller
elsigno se elige para coincidir con el signo de b, de manera que
eldenominador sea el de mayor magnitud, con lo cual resultara que
x3sea seleccionada como la raz de f(x) que esta mas cercana a
x2:
x3 = x2 +2c
b+ sgn(b)b2 4ac (9)
Notese que al usar la formula (9) es posible localizar tanto las
racesreales como las complejas. Esta es la mayor ventaja del
metodo!
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MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el
metodo de Muller
En que consiste el metodo de Muller?
Una vez que se determino x3, el proceso se repite. Esto trae
elproblema de que un valor es descartado. En general dos
estrategiasson usadas:
1 Si solo se localizan races reales, elegimos los dos valores
originalesmas cercanos a la nueva raz estimada, x3.
2 Si se localizan races reales y complejas, se emplea un
metodosecuencial. Es decir, como en el metodo de la secante, x1, x2
y x3toman el lugar de x0, x1 y x2.
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PreliminaresComparacion de los metodos de la Secante y de
MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el
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En que consiste el metodo de Muller?
Una vez que se determino x3, el proceso se repite. Esto trae
elproblema de que un valor es descartado. En general dos
estrategiasson usadas:
1 Si solo se localizan races reales, elegimos los dos valores
originalesmas cercanos a la nueva raz estimada, x3.
2 Si se localizan races reales y complejas, se emplea un
metodosecuencial. Es decir, como en el metodo de la secante, x1, x2
y x3toman el lugar de x0, x1 y x2.
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MullerEn que consiste el metodo de Muller?Medida del error en el
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En que consiste el metodo de Muller?
Una vez que se determino x3, el proceso se repite. Esto trae
elproblema de que un valor es descartado. En general dos
estrategiasson usadas:
1 Si solo se localizan races reales, elegimos los dos valores
originalesmas cercanos a la nueva raz estimada, x3.
2 Si se localizan races reales y complejas, se emplea un
metodosecuencial. Es decir, como en el metodo de la secante, x1, x2
y x3toman el lugar de x0, x1 y x2.
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Medida del error en el metodo de Muller
La formula cuadratica para x3 x2 proporciona una forma
direcatapara determinar el error de aproximacion, debido a que su
ladoizquierdo representa la diferencia entre la raz estimada actual
(x3) yla raz estimada anterior (x2):
x3 x2 = 2cb+ sgn(b)
b2 4ac a =
x3 x2x3 100% (10)
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Codigo Matlab del metodo de MullerEjemplo de aplicacion del
metodo de Muller
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2 Programacion y ejemplos del metodo de MullerCodigo Matlab del
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Codigo Matlab del metodo de MullerEjemplo de aplicacion del
metodo de Muller
Codigo Matlab (basado en el libro de Mathews y Fink [MF])
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Codigo Matlab (basado en el libro de Mathews y Fink [MF])
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Codigo Matlab del metodo de MullerEjemplo de aplicacion del
metodo de Muller
Enunciado
Considere el polinomio f(x) = x4 3x3 + x2 + x+ 1. Utilize
elmetodo de Muller para hallar sus cuatro races.
Figura 2: Grafica del polinomio f(x) = x4 3x3 + x2 + x+ 1.Diego
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Codigo Matlab del metodo de MullerEjemplo de aplicacion del
metodo de Muller
Codigo Matlab usado para correr la funcion muller.m
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Codigo Matlab del metodo de MullerEjemplo de aplicacion del
metodo de Muller
Consola de Matlab con resultados
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Codigo Matlab del metodo de MullerEjemplo de aplicacion del
metodo de Muller
Resultados organizados: Races reales
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Codigo Matlab del metodo de MullerEjemplo de aplicacion del
metodo de Muller
Resultados organizados: Races complejas
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Muller?Medida del error en el metodo de Muller
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metodo de MullerEjemplo de aplicacion del metodo de Muller
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Bibliografa
Bibliografa
Burden, R.L. and Faires, J.D., Numerical Analysis, 9th
Ed.,CENGAGE Learning, Boston, 2011.
Chapra, S.C. y Canale, R.P., Metodos numericos para ingenieros,
5taEd., McGraw-Hill, Mexico, 2007.
Mathews, J.H. and Fink, K.D., Numerical Methods Using MATLAB,3th
Ed., Prentice Hall, New Jersey, 1999.
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Descripcin del mtodo de MllerPreliminaresComparacin de los
mtodos de la Secante y de MllerEn qu consiste el mtodo de
Mller?Medida del error en el mtodo de Mller
Programacin y ejemplos del mtodo de MllerCdigo Matlab del mtodo
de MllerEjemplo de aplicacin del mtodo de Mller
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