MÉTODO DE OBTENCIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE LA …oa.upm.es/49103/1/TFG_IVAN_SACRISTAN_RUEDA.pdf · Un ajuste de las tensiones de rotura ... está muy extendida la utilización de

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES

Trabajo Fin De Grado:

MÉTODO DE OBTENCIÓN DE LA

DISTRIBUCIÓN DE LA TENSIÓN DE ROTURA

DEL VIDRIO UTILIZANDO VARIABLES

GLOBALES DE ENSAYOS Y TÉCNICAS DE

MÁXIMA VEROSIMILITUD

Autor:

Iván Sacristán Rueda

Tutor:

Mª Consuelo Huerta Gómez de Merodio

Jesús Alonso Álvarez

Madrid, Septiembre 2017

Iván Sacristán Rueda 2

AGRADECIMIENTOS

En primer lugar, me gustaría agradecer a mis dos tutores, Consuelo Huerta y Jesús

Alonso por todo el trabajo y dedicación, sin los cuales no podría haber realizado este

trabajo. Gracias por todo lo que he aprendido, por los consejos y por poner todo por

vuestra parte para que fuera entretenido.

No podía faltar, por supuesto, mi familia, mis padres y mi hermano, los cuales me han

dado la posibilidad de estudiar, y sin cuyo cariño y apoyo nunca podría haber terminado

este grado.

También quiero agradecer a mis amigos de la universidad, especialmente a Edu,

Miguel, Salva y Soto, por aguantarme todos estos años y hacer que el paso por el grado

haya sido una de las mejores etapas de mi vida.

Por último agradecer a mis amigos del colegio, quienes siempre me ayudan a

desconectar y a olvidarme de los problemas cuando estoy saturado y no puedo más.

En definitiva, gracias a todas aquellas personas que, a lo largo de los años, han

contribuido en mayor o menor medida a que haya llegado hasta este punto.

3 Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)

RESUMEN

Este trabajo está realizado en el contexto de una amplia labor de investigación que se

está llevando a cabo sobre el fenómeno de impacto humano contra vidrios de

edificación en el departamento de Ingeniería Mecánica de la ETSII desde el año 2003.

El trabajo en concreto se centra en la elaboración de un procedimiento para, a partir de

una campaña de ensayos de placas de vidrio a flexión por anillos concéntricos

debidamente realizada y documentada, elaborar un modelo de elementos finitos

actualizado que, con los ajustes de tensiones obtenidos, permita prever el

comportamiento de placas con tratamientos semejantes en este tipo de ensayos.

El estudio parte de una campaña de ensayos realizada en la ETSII, en la cual se

sometieron 27 probetas a ensayos de flexión por anillos concéntricos. En estos ensayos

se consideraban grandes desplazamientos, por lo que era necesario introducir una

presión que compensara la deformación de la probeta con el fin de mantener las

tensiones constantes. Sin embargo, esta presión viene dada por la norma de manera

muy poco precisa, lo que da lugar a distintas interpretaciones y hace que las tensiones

no sean constantes en todo el área como era esperable. Esto hace necesario, a la hora

de ajustar las tensiones, estimar el área de referencia, definido como el área efectiva en

la que los esfuerzos de flexión se pueden considerar constantes.

Figura 1: Imagen de la campaña de ensayos.

Para poder predecir el comportamiento de estas probetas sometidas a ensayos de

anillos concéntricos se hacen necesarias dos cosas:

Un modelo de elementos finitos actualizado con las propiedades de las probetas.

Para ello se ha realizado un estudio modal de los especímenes para poder

desarrollar un modelo con unas propiedades lo suficientemente próximas a la

realidad.


Un ajuste de las tensiones de rotura de las placas que permita decidir con qué

probabilidad puede, una placa de vidrio, romper al sufrir una tensión

determinada.

Para la obtención de este segundo punto, es necesario, en primer lugar, decidir a qué

distribución aproximar esta probabilidad de fallo. Se ha decidido que la distribución más

precisa es una distribución de Weibull de 3 parámetros. Sin embargo, y debido a que en

la comunidad científica, debido a la comodidad y a que es esencialmente empleado para

hacer comparaciones entre variables, está muy extendida la utilización de la distribución

de Weibull de 2 parámetros, se ha decidido realizar además, un modelo simplificado en

paralelo empleando distribuciones biparamétricas.

El método empleado para el cálculo de los parámetros de las distribuciones ha sido el

método de la máxima verosimilitud. Este método nos permite obtener, para cada

parámetro, un estimador con una distribución normal, de media y desviación típica

calculadas.

Para este proceso, en primer lugar se hace necesario asignar una probabilidad de fallo a

cada probeta que permita, posteriormente, ajustar la distribución de las tensiones para

aproximarse a estas probabilidades de fallo obtenidas de los ensayos.

Con este objetivo se ajustan por máxima verosimilitud las probabilidades de fallo de las

probetas de ensayo en función de cada una de las variables obtenidas en los ensayos.

Estas variables son las siguientes:

Fmax: Es la fuerza que introduce el pistón en el momento de la rotura.

Fanillo. Otra variable de entrada en los ensayos es la presión. Dado que la

presión por sí misma no tiene demasiada repercusión en la rotura directa de los

especímenes, se estudia dentro de la Fanillo, que es la reacción en el anillo de

carga, es decir, la Fmax quitandole el efecto de la presión.

U esquina: Desplazamiento de la esquina, medido en el ensayo.

U-instron: Desplazamiento del pistón. medido en el ensayo.

U-anillo: Desplazamiento del anillo de carga. Obtenido a partir de la U-instron y la

rigidez del pistón.

U-centro: Desplazamiento del centro de la probeta. obtenido por medio de MEF.

Tensiones de la norma: tensiones calculadas según el procedimiento dado por la

norma.

La probabilidad de fallo obtenida para cada probeta es una distribución probabilística que sigue

una distribución normal. Analizando las desviaciones típicas de estas distribuciones de la

probabilidad de fallo en función de las distintas variables, se aprecian valores claramente

menores para la Fmax y la Fanillo, es decir, las variables que se introducen directamente en el

ensayo, siendo las desviaciones mucho mayores en variables calculadas y medidas. Es por esto

que se decide seguir el estudio basándonos en las probabilidades dadas por ellas.


Figura 2: Pf media asignada a cada probeta en función de la variable empleada.

Este proceso se realiza tanto con 3 como con 2 parámetros, obteniéndose probabilidades ligeramente diferentes.

Una vez asignada la distribución de probabilidad de fallo a cada probeta se procede a ajustar los parámetros de las tensiones de rotura para que se aproximen lo más posible al valor medio de dichas probabilidades.

Para ello se parte de una distribución de la tensión con los parámetros de Weibull obtenidos por máxima verosimilitud y se inicia un proceso iterativo. Este proceso se realiza de la siguiente manera:

Se emplea un modelo de elementos finitos actualizado mediante ensayos

modales de las placas de estudio. A este modelo se le introducen las cargas

aplicadas y los parámetros de la distribución de tensiones. El área de referencia

inicial se considera la sección de probeta interior al anillo de carga.

Tras resolver el modelo, se postprocesa la información y se obtienen unas

probabilidades de fallo, las cuales se comparan con el valor medio de las

probabilidades asignadas.

Inmediatamente después, se inicia un subproceso iterativo por el que se

introducen pequeñas variaciones en el área de referencia de cada probeta, con

lo que se modifican ligeramente las probabilidades de fallo, y se obtiene como

resultado la probabilidad de fallo final, el error relativo respecto a la probabilidad

asignada, y el área de referencia que se ha empleado para obtener dicha

probabilidad de fallo.

Habiendo obtenido las nuevas áreas de referencia, se obtendrían las nuevas

tensiones que aplicarían en este nuevo área de referencia.

Se realiza un nuevo ajuste de máxima verosimilitud para los valores de tensiones

obtenidos y se vuelve a iniciar el proceso hasta que el error obtenido entre las

probabilidades de fallo dadas por el modelo y las asignadas sea mínimo.

Este proceso iterativo se llevo a cabo tres veces: para las Pf asignadas a la Fmax y la

Fanillo en W3P, y para la Fmax en W2P.


Al terminar el proceso iterativo se obtendrían los valores finales para los parámetros de

Weibull de las distribución de la probabilidad de fallo en función de las tensiones, que

son unos de los resultados fundamentales de este trabajo.

CL-T W3P

Lambda Desv. Tip. Beta Desv. Tip. Theta Desv. Tip.

Fmax 146.06 3.44% 3.13 12.70% 87.16 2.02%

Fanillo 146.74 3.44% 3.11 12.56% 86.41 1.92%

Tabla 1: Parámetros de Weibull 3 parámetros finales.

CL-T W2P

Beta Desv. Tip. Delta Desv. Tip.

Fmax 8.18 13.27% 235.73 1.65%

Tabla 2: Parámetros de Weibull 2 parámetros finales.

La siguiente gráfica muestra la distribución de la probabilidad de fallo calculada en este trabajo para valores medios de los parámetros frente a la probabilidad de fallo asignada, también en valores medios. Se puede observar como la distribución triparamétrica sigue a la perfección a la Pf asignada mientras que la biparamétrica, aun siendo bastante precisa, presenta mayor desviación.

En morado se representa el error obtenido entre la curva de 3 parámetros y los valores

asignados.

Figura 3: Distribuciones obtenidas de la Pf.

Por último se ha aplicado este modelo con la distribución de la probabilidad de fallo obtenida a una campaña de ensayos realizada en la universidad con anterioridad, en concreto en 2007, para comprobar la validez de dicho modelo y distribuciones.


Para ello se realizó el mismo proceso para obtener la distribución de la probabilidad de fallo asignada a cada probeta, solo que en esta ocasión se realizó directamente para los valores de la Fmax en el pistón, pues ya habíamos concluido que eran los valores más favorables para ello.

Una vez obtenidos estas distribuciones, se lanzó el modelo con los valores de weibull de la tensión obtenidos con la campaña inicial, pero con las propiedades y cargas de esta campaña, y se compara los valores de Pf dados por el modelo con los asignados basándonos en los resultados de los ensayos.

Se comprueba que, salvo para valores de Pf casi nulos, la probabilidad de fallo cae dentro de los rangos de Pf asignada a cada uno de los especímenes, por lo que se puede considerar el procedimiento como válido y funcional.

Figura 4: Pf calculada y Pf de la norma frente a la tensión de rotura.

Palabras clave:

Modelo de elementos finitos

Parámetros

Weibull

Ajustes

Ensayo

Probabilidad

Códigos de la UNESCO:

330538 - Regulaciones, códigos y especificaciones.

331206 - Vidrio.

331208 - Propiedades de los materiales.

331212 - Ensayo de materiales.


INDICE 1. INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 9 1.1Antecedentes............................................................................................................................ 9 1.2 Estado del arte ...................................................................................................................... 10 1.3 Objetivo .................................................................................................................................. 13 1.4 Planteamiento del trabajo .................................................................................................... 14 10. Índice de Figuras y Tablas. ................................................................................................. 94 10.2 Índice de tablas................................................................................................................... 96 11. ABREVIATURAS, UNIDADES Y ACRÓNIMOS. ............................................................................ 98 12. ANEXOS. ............................................................................................................................... 99 2. DATOS DE ENSAYO ............................................................................................................. 16 2.1 Campaña de ensayos de referencia .................................................................................. 16 2.2 Estudio estadístico de las variables de ensayo y ajuste de Weibull 3 parámetros .... 19 2.2.1 Estadística descriptiva. ..................................................................................................... 20 2.2.2 Ajuste por mínimos cuadrados........................................................................................ 21 2.2.3 Ajuste por máxima verosimilitud. .................................................................................... 23 2.3 Intervalos de confianza y selección de la variable característica representativa del

ensayo. ..................................................................................................................................... 26 3. Estimación de la función de distribución de la tensión de rotura. ................................... 33 3.1 Procedimiento. ...................................................................................................................... 33 3.1.1 Descripción del modelo: características generales. .................................................... 37 3.1.2 Actualización del modelo. ................................................................................................ 41 3.1.2.1 Ensayo modal. ................................................................................................................ 44 3.2 Modelo de elementos finitos. .............................................................................................. 37 3.3 Estimación del área de referencia y de los parámetros de Weibull. ............................ 49 4. MODELO SIMPLIFICADO DE 2 PARÁMETROS. ............................................................ 61 4.1 Procedimiento. ...................................................................................................................... 61 4.2 Asignación de probabilidad de fallo experimental. .......................................................... 61 4.3 Estimación del área de referencia y de los parámetros de Weibull. ............................ 70 5. Análisis de la validez de las mediciones en ensayos. ...................................................... 78 6. Aplicación del modelo a los ensayos de 2007. .................................................................. 83 6.1 Estimación de la probabilidad de fallo experimental. ...................................................... 83 6.2 Comparación de resultados. ............................................................................................... 85 7. Resultados y predicciones. ................................................................................................... 87 7.1 Conclusiones generales. ..................................................................................................... 87 7.2 Trabajo realizado. ................................................................................................................. 87 7.3 Resultados principales. ........................................................................................................ 88 8. Sostenibilidad, planificación y presupuesto. ....................................................................... 89 8.1 Sostenibilidad. ....................................................................................................................... 89 8.2 Planificación temporal. ......................................................................................................... 89 8.3 Presupuesto. ......................................................................................................................... 91 9. Bibliografía. .............................................................................................................................. 92 Anexo A: Programas desarrollados para el trabajo. ............................................................ 100 Anexo B: Fichas de ajustes de las variables de los ensayos............................................. 113 Anexo C: Fichas de ajustes de las tensiones. ...................................................................... 127


1. INTRODUCCIÓN

1.1Antecedentes

El vidrio es un material cada vez más usado en construcción debido a sus buenas

propiedades mecánicas y a lo vanguardista de su estética.

Con los años, el vidrio ha pasado de ser un elemento empleado mayoritariamente en

cerramientos a ser la parte principal de las fachadas de muchos edificios. Esta

tendencia, lejos de estar quedando atrás, está sufriendo un auge por lo que es

necesario un estudio más exhaustivo del comportamiento del vidrio. Desde el punto de

vista de la seguridad, es muy importante comenzar a dimensionar teniendo en cuenta el

posible impacto humano

A diferencia de la mayoría de elementos empleados en la construcción sometidos a

cargas, el vidrio sigue un mecanismo de rotura específico. Mientras que, en materiales

como el acero, la tensión característica está establecida en un percentil de un 5%

utilizando una distribución normal, el vidrio sigue una distribución diferente propia de los

materiales frágiles. La tensión característica en el vidrio, para dimensionamiento

estático, se establece en un percentil de un 8 ‰ utilizando una distribución de Weibull,

sin ser fundamental las características estadísticas de la distribución, que dependen,

además de la las tensiones existentes en el vidrio, del área sobre la que aparece dicha

tensión.

Sin embargo, en el comportamiento que se observa durante un impacto humano en las

placas de vidrio, se registran tensiones superiores a las dimensionamiento estático sin

producirse la rotura. Algunos códigos internacionales aportan unas soluciones probadas

para determinados tipos de vidrio. La solución más reconocida consiste en usar como

tensión característica en dinámica una mayoración de la anterior (entre 1.5 y 3 veces la

tensión de diseño en estática), pero esta aproximación es excesivamente simplista si se

compara con normativas de otros materiales como hormigón o acero. Por lo tanto,

existen ciertas lagunas que es necesario solventar, siendo importante seguir estudiando

la forma estimar la posible rotura.

Dada la gran variedad de distribuciones de tensiones que pueden aparecer en las

cargas dinámicas, parece apropiado abordar un método en el que, una vez calculadas

las tensiones con un modelo correcto de elementos finitos (actualizado con ensayos) se

estime la probabilidad de supervivencia. Para ello es necesario contar con los

parámetros de la distribución estadística de la tensión de rotura.

Desde el año 2006 se viene estudiando el procedimiento, abordando tanto la obtención

de la distribución estadística de la tensión de rotura como el procedimiento de su

incorporación al modelo de elementos finito. Se ha realizado dos campañas de ensayos

en rotura en probetas con anillos concéntricos y grandes desplazamientos de acuerdo a

la norma ****(año 2006 y 2013). Este tipo de comportamiento es el más cercano al que

se puede producir durante el impacto, ya que aparecen situaciones de tensión biaxial


junto con comportamiento de grandes desplazamientos. La placa se rigidiza y, aunque

aparecen esfuerzos axiles de tracción, las tensiones que aparecen son menores.

El estudio del procedimiento para estimar la posible rotura de la placa de vidrio está

enmarcado dentro del trabajo de un grupo de investigación que se formó en 2005 que

estudia el comportamiento del vidrio de edificación ante la carga de impacto humano.

Los dos principales objetivos de este grupo son: identificar las áreas críticas en las que

se deben utilizar los vidrios de seguridad, y definir el vidrio de seguridad y los métodos

para ensayarlo. Para conseguir estos objetivos, el trabajo del grupo se divide en el

estudio de ensayos y de modelos. Con la parte de modelos se pretende predecir con

modelos de elementos finitos el fenómeno del impacto y la parte dedicada a ensayos

trata aportar los datos empíricos para los modelos..

Este TFG se encuentra dentro de la parte de modelos y pretende establecer un

procedimiento mixto, ensayo-modelo MEF, para definir completamente la los

parámetros de la distribución estadística de la tensión de rotura del vidrio utilizando el

modelo de Weibull de dos y tres parámetros.

1.2 Estado del arte

La norma europea y americana propone usar la distribución de Weibull de 2 o 3

parámetros para ajustar la distribución de la tensión de rotura en materiales frágiles

(Ref). Para ello se pueden usar las siguientes aproximaciones:

Asignación de una probabilidad de fallo para cada probeta

[Ecuación 1]

y ajuste de los parámetros de la función estadística de Weibull por mínimos

cuadrados.

Ajuste de los parámetros por el método de máxima verosimilitud, aplicado,

habitualmente, solo a la distribución de 2 parámetros.

Multitud de autores han realizado estudios para comprender el comportamiento del

vidrio en su rotura:

Stephen Freiman, en su artículo "The Fracture of Glass: Past, Present, and

Future" expresa la incapacidad de predecir el proceso de fractura del vidrio, a

pesar de todos los estudios que se han realizado. También explica la presencia

de una gran cantidad de microgrietas en el vidrio, introducidas durante el

proceso de mecanizado, cuando se alcanza un SIF suficientemente elevado

como para romper las uniones Si-O que conforman el material.

También habla del fenómeno de ruptura retardada, que implica la posible ruptura

del material ante una aplicación prolongada en el tiempo de una carga constante,

debido al lento crecimiento de las grietas bajo dicha carga. Este fenómeno

implica, que a la hora de realizas ensayos sobre placas de vidrio, no solamente


es importante la carga aplicada por el pistón de la máquina de ensayos, sino

también la velocidad a la que se aplica la carga, lo que introduce aun más

incertidumbre en el proceso propuesto por la norma.

El departameno de química de Lomonosov Moscow State University, en su

artículo "Effects of Ion Exchange on the Mechanical Properties of Basaltic Glass

Fibers" emplean la distribución de Weibull de 2 parámetros para ajustar la

tensión de fallo de su estudio.

La Tabla 3muestra los parámetros de forma y de escala de Weibull obtenidos

por Konstantin L. Kuzmin para fibras de vidrio basáltico sometidas a distintos

tratamientos térmicos

Tabla 3: Parámetros de Weibull 2 parámetros obtenidos por la Lomonosov Moscow State University.


Hidekatsu Morozumi, Hirotaka Nakano, Satoshi Yoshida, y Jun Matsuoka, en su

artículo "Crack Initiation Tendency of Chemically Strengthened Glasses" estudian

la influencia del endurecimiento químico de las placas de vidrio en la iniciación y

la propagación de las grietas. Para ello, uno de los ensayos realizados fue de

anillos concéntricos, con anillos de 6 y 30mm de diámetro. También, en todos los

ensayos, ajustan las cargas de rotura a una distribución de Weibull de 2

parámetros.

Vincenzo M. Sglavo, en su artículo "Mechanical Properties of Phosphate Glass

Optical Fibers" plantea el cálculo de la probabilidad de fallo de una probeta de

dos maneras: como una probabilidad acumulativa con una fórmula similar a

nuestra [Ecuacion 1], y el empleo de una distribución de Weibull de 2 parámetros

para obtener una probabilidad de fallo más precisa.

Jeffrey j. Swab, en su artículo "Equibiaxial Flexure Strenght of Glass: Influence of

Glass Plate Size and Equibiaxial Ring Ratio" estudia la influencia de los distintos

parámetros en los ensayos de anillos concéntricos. En primer lugar, realiza una

comparativa entre las dos normativas vigentes para la realización de dichos

ensayos: la ASTM C1499 y la EN 1288. Pese a que ambas normativas poseen

un amplio abanico de puntos en común, también difieren en varios aspectos. La

siguiente tabla compara los principales aspectos de ambas normativas:

Tabla 4: Comparativa de ASTM C1499 y EN 1288 de Jeffrey J. Swab.

El autor también manifiesta su desacuerdo con varias de las especificaciones de ambas

normas, que dan lugar a duda o a resultados no del todo fiables. De cualquier manera,

concluye que, considerando los resultados obtenidos con ambas normativas, la ASTM

C1499 parece más apropiada.

Como se puede observar, parece estar claro que la rotura del vidrio se puede aproximar

a una distribución de Weibull, optando la mayoría por una distribución biparamétrica por

su mayor simplicidad. También se aprecia que la normativa no cubre completamente los

ensayos con una precisión adecuada.


Cuando el objetivo de la investigación es la comparación del comportamiento del

material para diferentes tratamientos térmicas, velocidades de aplicación de la carga,

materiales análogos, para estudiar el efecto de la temperatura, etc. el método o

precisión del ajuste no es esencial, puesto que es de esperar que las conclusiones

alcanzadas sean similares.

Sin embargo, cuando lo que se pretende es obtener una distribución probabilística de la

tensión de rotura, que permita estudiar la posible rotura en diversas condiciones

(estructuras reales), ajustar la distribución con una mayor precisión adquiere una

importancia mucho mayor. De hecho, la consideración de tensión uniaxial o biaxial es

también un factor de gran importancia.

Es por ello que la normativa plantea la realización de diversos tipos de ensayos: flexión

a 4 puntos (B4P), anillos concéntricos con pequeñas superficies de solicitación (CS-

RoR-SS), anillos concéntricos con grandes superficies de solicitación (CS-RoR-LS).

Para todos ellos, la norma asigna una tensión de rotura (y un área efectiva) en función

de la carga de rotura.

En el caso de CS-RoR-LS, debido a los grandes desplazamientos, se hace necesario

acompasar la carga del pistón de la máquina de ensayos con una presión que permita

mantener la tensión constante en toda la zona de solicitación. Esta presión viene

definida en la norma por expresiones adimensionales establecidas en ciertos puntos sin

indicación sobre la forma de interpolación para los tramos intermedios. Esto implica que

la distribución real de tensiones en cada configuración de ensayo (con su programa de

control incluido) utilizada en cada laboratorio difiere y, por tanto, la aproximación de la

norma es menos fiable que en B4P y CS-RoR-SS.

Teniendo en cuenta que la mayor parte de las placas de vidrio trabajan en el rango no

lineal con grandes desplazamientos, parece que este último ensayo puede ser el más

representativo para predecir la rotura en la estructura.

Es por ello por lo que en este artículo se presenta una metodología para estimar la

distribución de probabilidad de la tensión de rotura en ensayos CS-RoR-LS, basada en

un método mixto en el que se aúnan el ajuste de máxima verosimilitud para la obtención

de los parámetros de Weibull, y la estimación de la distribución de tensiones en casa

probeta con el método de elementos finitos, aplicado sobre un modelo actualizado de la

probeta de ensayos.

En este artículo se presenta el método propuesto utilizando los datos de ensayos de la

campaña de referencia de rotura RoR-LS realizada por la UPM comprobando su

aplicabilidad a los resultados de una campaña realizada por la universidad de Gijón.

1.3 Objetivo El objetivo planteado en este trabajo es la definición de un procedimiento iterativo que

minimice la diferencia entre la probabilidad de fallo asignada a cada probeta en los

ensayos y la estimada con un modelo de elementos finitos en el que se incorporan los

parámetros de la distribución de Weibul que se quiere asignar a la tensión de rotura.


Se comparan varias aproximaciones cubriendo dos vertientes:

El método de estimación de los parámetros de la distribución de Weibull. Se

utilizan tanto ajuste por mínimos cuadrados como con máxima verosimilitud para

2 y parámetros.

La forma de asignar la probabilidad de fallo experimental a cada probeta. Se han

utilizado tanto la propuesta por la norma como el ajuste estadístico de variables

globales registradas durante el ensayo: carga aplicada por el pistón, carga

resultante en el anillo y desplazamientos en la esquina de la placa.

1.4 Planteamiento del trabajo El objetivo final del trabajo es, como se ha explicado en el apartado anterior, conseguir

llegar a un modelo que prevea la probabilidad de rotura de placas de vidrio sometidas a

una carga de flexión constante.

Para ello se ha seguido el siguiente esquema:

Figura 5: Esquema de trabajo.

Los principales pasos a seguir serían por tanto:

Asignación inicial de una distribución de probabilidad de rotura a cada probeta de

ensayo. Para ello, se procederá a ajustar, mediante el método de máxima

verosimilitud, las variables más representativas del ensayo realizado,

procediendo con posterioridad a realizar una simulación asignando a los

parámetros de Weibull valores aleatorios dentro de los rangos calculados. Con

estos valores obtendremos una distribución normal de la probabilidad de fallo

para cada probeta y cada variable estudiada.


Cálculo de la distribución de tensiones para cada probeta, estimada mediante un

modelo de elementos finitos actualizado.

Asignación a cada probeta de una tensión de rotura y un área efectiva, que

inicialmente es la del anillo de carga, ajustándose con máxima verosimilitud los

parámetros de la distribución de Weibull para la tensión de rotura (2 y 3

parámetros).

Estimación de la probabilidad de fallo de cada probeta mediante el uso de la

distribución de tensiones del modelo MEF y la distribución de la tensión de rotura

de Weibull aceptando la teoría del eslabón más débil (productorio de las

propiedades de supervivencia de cada elemento obtenida con la extrapolación

de área correspondiente).

Obtención de la distribución de tensiones definitiva mediante un proceso iterativo

en el que se comparan la probabilidad de fallo experimental con la obtenida por

el modelo MEF, ajustando el área efectiva y, por tanto, variando la distribución

de tensiones hasta minimizar el error entre las dos probabilidades de fallo.

En este trabajo se aplica el procedimiento a placas de vidrio templadas, pero sería

igualmente aplicable a otros tratamientos térmicos.


2. DATOS DE ENSAYO

2.1 Campaña de ensayos de referencia Como ya se explicó anteriormente, el ensayo a flexión que mejor caracteriza las

posibles condiciones de servicio de las placas de vidrio de construcción es el ensayo de

anillos concéntricos con grandes superficies de solicitación.

La configuración básica del ensayo está compuesta por dos anillos concéntricos de

diferentes diámetros entre los cuales se ubica la placa a ensayar, de dimensiones, como

fija la norma, superiores a las del anillo mayor.

El anillo mayor, ubicado por debajo de la placa, está fijo, siendo el anillo de apoyo. Es,

por tanto, el anillo menor, a través del cual se introduce la carga que tensiona la placa.

Este anillo, llamado anillo de carga, cuenta con una cámara de aire en la que se

introduce una presión entre el anillo y la placa de vidrio. Esta presión introducida en la

cámara de homogeneización tiene como objetivo corregir la aparición del efecto

membrana no lineal, debido a los grandes desplazamientos, con el fin de homogeneizar

el campo de tensiones en la superficie en estudio. Con todo esto, la placa queda

sometida a un campo constante de tensiones, libre del efecto de borde, es decir, una

superficie controlada con equiprobabilidad de fallo.

La Figura 2 muestra el útil empleado en los ensayos realizados:

Figura 6: Útil de la campaña de ensayo.

Se ensayaron probetas sometidas a tres tratamientos térmicos diferentes pero de

material y dimensiones idénticas: recocidas, termoendurecidas, y las empleadas en este

trabajo, templadas. Se ensayaron un total de 27 probetas de cada clase. En la siguiente

tabla se muestran los resultados de los ensayos explicados, mostrando todas las

variables medidas en cada una de las 27 probetas ensayadas en el momento de la

rotura:


TABLA RESUMEN ENSAYOS: VIDRIO__ TEMPLADO

CARGA MAXIMA

TENSION NORMA

Velocidad del ensayo:

Variables del ensayo

Probeta h Fmax Pmax V σ max Vel t0 tmax Pf_Obs Fanillo_carga U-Anillo U-Esquina Posicion Instron Uz_centro_MEF

mm kN bar KN/s MPa MPa/s s s % kN mm mm mm mm

CL-T-18 4.83 20.42 0.65 0.37 176.71 2.38 45.10 200.00 2.55% 18.75 5.45 -2.18 6.66 4.38

CL-T-25 4.84 22.17 0.79 0.37 190.01 2.49 46.30 205.60 6.20% 20.15 5.62 -2.39 6.89 4.60

CL-T-19 4.84 25.91 1.22 0.41 219.94 2.63 44.30 216.80 9.85% 22.81 5.94 -2.79 7.35 5.01

CL-T-14 4.82 26.31 1.33 0.40 225.11 2.68 18.50 190.80 13.50% 22.92 5.97 -2.83 7.39 5.06

CL-T-11 4.84 26.91 1.36 0.50 227.50 3.18 5.30 148.40 17.15% 23.45 6.02 -2.89 7.46 5.12

CL-T-09 4.83 26.95 1.37 0.39 228.79 2.65 13.00 191.80 20.80% 23.46 6.02 -2.89 7.46 5.12

CL-T-27 4.84 27.77 1.45 0.44 234.55 2.74 46.30 222.40 24.45% 24.08 6.09 -2.97 7.56 5.21

CL-T-29 4.84 27.80 1.44 0.44 234.24 2.73 46.90 222.30 28.10% 24.13 6.09 -2.97 7.56 5.20

CL-T-24 4.82 28.27 1.56 0.45 239.67 2.75 46.00 223.50 31.75% 24.31 6.13 -3.02 7.62 5.25

CL-T-26 4.83 28.30 1.56 0.44 239.16 2.75 42.80 223.00 35.40% 24.33 6.13 -3.02 7.61 5.25

CL-T-04 4.83 28.36 1.52 0.45 239.69 2.75 45.0 223.7 39.05% 24.49 6.14 -3.03 7.62 5.26

CL-T-28 4.83 28.66 1.58 0.44 241.59 2.77 44.30 224.30 42.70% 24.64 6.16 -3.05 7.66 5.29

CL-T-06 4.84 28.81 1.61 0.38 243.01 2.77 19.00 197.10 46.35% 24.72 6.17 -3.07 7.67 5.30

CL-T-30 4.84 28.95 1.60 0.43 243.30 2.78 43.80 224.10 50.00% 24.87 6.18 -3.08 7.69 5.32

CL-T-07 4.82 29.51 1.73 0.44 248.66 2.80 22.00 200.40 53.65% 25.11 6.22 -3.13 7.75 5.37

CL-T-10 4.82 30.42 1.89 0.45 256.27 2.83 22.50 199.80 57.30% 25.62 6.29 -3.21 7.85 5.45

CL-T-20 4.83 31.02 1.93 0.45 260.11 2.82 47.00 231.50 60.95% 26.10 6.33 -3.27 7.91 5.51

CL-T-05 4.83 31.59 2.00 0.44 263.45 2.85 21.10 205.10 64.60% 26.51 6.37 -3.32 7.97 5.56

CL-T-08 4.82 31.71 2.05 0.47 265.83 2.85 19.10 204.70 68.25% 26.49 6.38 -3.32 7.98 5.57

CL-T-02 4.82 32.33 2.15 0.46 270.45 2.85 44.9 233.3 71.90% 26.86 6.42 -3.38 8.05 5.63

CL-T-23 4.84 33.21 2.26 0.48 275.14 2.88 47.50 236.70 75.55% 27.47 6.48 -3.45 8.14 5.71

CL-T-12 4.82 33.26 2.31 0.57 278.74 3.49 6.50 158.30 79.20% 27.38 6.49 -3.45 8.14 5.71


TABLA RESUMEN ENSAYOS: VIDRIO__ TEMPLADO

CARGA MAXIMA

TENSION NORMA

Velocidad del ensayo:

Variables del ensayo

CL-T-22 4.82 34.05 2.45 0.45 283.49 2.87 9.30 210.30 82.85% 27.82 6.54 -3.51 8.22 5.79

CL-T-21 4.84 34.34 2.44 0.46 283.63 2.86 44.40 239.30 86.50% 28.14 6.56 -3.54 8.25 5.81

CL-T-03 4.83 35.88 2.73 0.47 295.59 2.91 44.9 242.7 90.15% 28.92 6.65 -3.66 8.40 5.95

CL-T-13 4.83 35.90 2.72 0.48 294.99 2.88 21.80 216.70 93.80% 28.98 6.65 -3.65 8.40 5.95

CL-T-15 4.84 44.98 4.55 0.53 357.12 2.93 24.40 236.60 97.45% 33.40 7.01 -4.04 9.25 6.87

Tabla 5: Variables del ensayo.


Como se puede ver en la Tabla 3, se obtuvieron múltiples variables a la hora de ensayar

cada probeta. A continuación se explican todas las columnas en dicha tabla:

Probeta: en esta columna se muestra el código de cada probeta, expresado por CL-

T-Nº, siendo la T por ser del conjunto de placas templadas, y Nº números del 1 al 27

para numerar las probetas.

h: espesor de las probetas en mm.

Fmax: Fuerza máxima registrada en el pistón en el momento de la rotura, en kN.

Pmax: Presión registrada en la cámara de homogeneización en el momento de la

rotura en bares.

V: velocidad de aplicación de la carga, en kN/s. Como ya se dijo, la velocidad de

aplicación es importante debido al fenómeno de la rotura lenta, por lo que se intentó

que las velocidades fueran similares. Sin embargo, pequeñas variaciones son

inevitables.

σ max: tensión, en MPa, dada por la norma en el momento de la rotura.

Vel: velocidad de aumento de la tensión, en MPa/s.

t0: es el tiempo, en segundos, transcurrido desde el comienzo del ensayo hasta que

se establece el contacto entre el anillo de carga y la probeta.

tmax: es el tiempo, en segundos, transcurrido desde el comienzo del ensayo hasta la

rotura de la probeta.

Pf_obs: Primera aproximación de la probabilidad de fallo, calculado según la

[Euación 1].

Fanillo_carga: Fuerza en el anillo superior de contacto, calculada restando a la Fmax

la fuerza ejercida por la Pmax sobre el pistón superior.

U-Anillo: Desplazamiento del anillo de carga, en mm.

U-Esquina: Sería el desplazamiento del extremo de las esquinas de las probetas en

el momento de la rotura, medido en mm. Es negativo porque el desplazamiento de

las esquinas es de sentido opuesto al resto de desplazamientos medidos.

Posicion Instron: Desplazamiento del pistón de la máquina de ensayos.

Uz_centro_MEF: Desplazamiento del centro de la placa, calculado por medio de un

MEF.

2.2 Estudio estadístico de las variables de ensayo y ajuste de Weibull 3

parámetros. Como se dijo con anterioridad, uno de los objetivos del trabajo consiste en un ajuste más

preciso que el usado en la norma de la probabilidad de rotura de cada probeta en los

ensayos. Para ello se pretende ajustar la probabilidad de rotura a una distribución de Weibull

de 3 parámetros, tomando como datos de partida las variables explicadas en el apartado

anterior.

Ya que a priori nos era imposible saber cuál de estas variables nos permitiría ajustar con

mayor precisión la probabilidad de rotura, se ha realizado el análisis en paralelo de todas las

variables. Sin embargo, para reducir la extensión del documento, en este apartado se

mostrará únicamente el ajuste de la Fmax, pues es la variable finalmente usada para el


ajuste, como se explicará más adelante. Los ajustes del resto de variables pueden

encontrarse en el Anexo B.

El estudio se divide en 3 partes. En primer lugar se hace un estudio de estadística

descriptiva a la variable, para comprender como se comporta. Después de esto se hace una

primera aproximación de los parámetros de Weibull 3 parámetros mediante el método de los

mínimos cuadrados. Por último, tomando estos parámetros como valores de partida, se

hace el ajuste definitivo por máxima verosimilitud.

2.2.1 Estadística descriptiva.

En este paso se han obtenido los parámetros más representativos de los valores de carga

máxima en el pistón obtenidos en los ensayos. Para la Fmax, los resultados obtenidos son

los siguientes:

Estadistica Descriptiva

Carga Piston KN

Media 30.14060474

Error típico 0.914248447

Mediana 28.94565198

Desviación estándar 4.750574285

Varianza de la muestra 22.56795604

Curtosis 2.830330726

Coeficiente de asimetría 0.845573091

Rango 24.56112321

Mínimo 20.41875021

Máximo 44.97987343

Suma 813.796328

Cuenta 27

Figura 7: Resultados del análisis de estadística descriptiva para Fmax.

De entre estos datos, algunos nos proporcionan información de mayor utilidad que otros. Por

un lado tenemos los valores máximo y mínimo que ha tomado esta variable en los ensayos,

tomados en kN, estando nuestra variable en el rango [20.419,44.980], tomando valores

dentro de un rango de amplitud 24.561. Por otro lado tenemos que la media es de 30.14

mientras que la mediana es de 28.94, lo que nos indica que hay mayor desviación hacia

valores altos de carga de rotura que hacia valores bajos. Esto queda reflejado también por el

valor de 0.856 en el coeficiente de asimetría, lo que nos da una distribución asimétrica

positiva.

La desviación estándar es de 4.75 lo que, en un ensayo de 27 probetas, nos da un error

típico de 0.914.

Por último tenemos una curtosis de 2.83, siendo la distribución bastante normalizada, sin

tener valores muy extremos.


Toda esta información se entiende mucho mejor al representar los datos sobre un

histograma, como en la Figura 8.

Figura 8: Histograma de la carga de rotura en los ensayos .

2.2.2 Ajuste por mínimos cuadrados.

Después de haber analizado la distribución de las cargas del pistón en el momento de la

rotura, se procede a hacer una primera estimación de los parámetros de Weibull

ajustándolos por mínimos cuadrados.

Como ya se ha dicho, las variables se van a ajustar a una distribución de Weibull. Esta

distribución tiene las siguientes funciones de densidad y probabilidad:

uación 2]

[Ecuación 3]

Donde es el parámetro de forma de la distribución, es el parámetro de escala, y el de

localización.

Este ajuste consiste en minimizar el error cuadrático medio entre la probabilidad de fallo

observada [Ecuación 1] y la probabilidad de fallo de una distribución de Weibull [Ecuación

3]. Esto se ha llevado a cabo maximizando el valor el coeficiente de correlación de Pearson


entre estas dos variables, haciendo uso de la función solver de Excel. Los parámetros

introducidos en solver para ello se muestran en la Figura 5, donde la celda objetivo sería el

coeficiente de correlación, las celdas a modificar son las correspondientes a los parámetros

, y las restricciones limitan los parámetros a valores positivos y en el caso del

parámetro de localización, a valores inferiores a la menor de las cargas de rotura.

Figura 9: Input de solver: mínimos cuadrados.

A continuación se presentan resumidos los parámetros ajustados por este método para las

variables de ensayo analizadas:

Sigma norma

Fmax Fanillo U-Anillo U-

Esquina Posicion Instron

Uz_centro_MEF

lambda 163.39 20.419 18.75 5.45 2.13 6.66 4.38

beta 3.07 2.878 3.22 3.87 3.37 3.19 3.30

delta 66.58 10.417 7.23 0.88 1.10 1.23 1.11

Tabla 6: Resumen de parámetros de Weibull por mínimos cuadrados CL-T.

En la Figura 10 se han representado las cargas de rotura frente a las probabilidades de fallo

según la [Ecuación 1] y según el ajuste de Weibull que hemos realizado. Se puede ver que

la aproximación es bastante precisa.


Figura 10: Probabilidad de fallo frente a carga de rotura CL-T.

2.2.3 Ajuste por máxima verosimilitud.

Existen varios métodos para la estimación de parámetros de cualquier modelo paramétrico.

En este trabajo hemos decidido emplear el método de máxima verosimilitud debido a que

nos permite obtener estimadores con buenas propiedades límite, ya que es aplicable en una

gran cantidad de situaciones.

La idea de este método es el de encontrar primero la función de densidad conjunta de todas las observaciones, que bajo condiciones de independencia, es:

[Ecuación 4]

Observando esta función bajo un ángulo ligeramente distinto, se puede suponer que los

valores observados son fijos mientras que ẟ puede variar libremente. Esta es

la función de verosimilitud:

[Ecuación 5]

En la práctica, se suele utilizar el logaritmo de esta función:

[Ecuación 6]

El método de la máxima verosimilitud estima buscando el valor de ẟ que maximiza .

En el caso del análisis de los resultados obtenidos de los ensayos de vidrio, la función que

se ha empleado con el fin de ajustar los resultados es una función de Weibull de tres

parámetros, ya definida en el apartado anterior. Aplicando lo anteriormente descrito se llega

a la siguiente función:

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_verosimilitud


Esta función se ajustará aplicando el método de máxima verosimilitud.

Ahora definiremos la matriz de información de Fisher, cuya matriz inversa es la matriz de varianzas-covarianzas que utilizaremos para construir los intervalos de confianza basados en las estimaciones de máxima verosimilitud de nuestros parámetros:

Como se puede observar la matriz de Fisher es una matriz cuadrada con dimensiones .

Cada elemento de la matriz es el opuesto de la segunda derivada parcial de la función de log- verosimilitud evaluada posteriormente en los estimadores de máxima verosimilitud del modelo de distribución. A continuación están desarrollados todos los términos necesarios de la matriz.


Habiendo obtenido la matriz de Fisher de la distribución de Weibull, obtenemos la

estimación final de los parámetros de Weibull maximizando la función de máxima

verosimilitud con solver. Los valores de partida tomados para empezar a iterar fueron los

obtenidos con mínimos cuadrados.

El input para solver sería el siguiente:

Figura 11: Input de solver: máxima verosimilitud.

Siendo la celda objetivo en la que está formulada la función de verosimilitud, las celdas

variables los parámetros, y las restricciones limitan estos parámetros a valores positivos.

En la siguiente gráfica se representa la probabilidad de fallo observada frente a la

probabilidad según la distribución de Weibull, en amarillo con los parámetros obtenidos por

mínimos cuadrados, y en gris con los parámetros medios de Weibull por máxima

verosimilitud.


Figura 12: Probabilidad de fallo: máxima verosimilitud CL-T.

La Tabla 5 recoge la media y la desviación típica de los estimadores de los parámetros de

Weibull obtenidos por este método.

Sigma norma

Fmax Fanillo U-

Anillo U-

Esquina Posición Instron

Uz_centro_MEF

lambda

media 144.82 18.63 16.66 5.02 1.56 6.35 4.15

desviación típica

3.45% 5.56% 3.16% 1.04% 3.89% 1.50% 2.27%

beta

media 3.18 2.56 3.28 4.27 4.70 3.08 2.85

desviación típica

12.77% 10.30% 12.89% 13.90% 14.12% 12.49% 11.68%

delta

media 88.41 12.91 9.71 1.34 1.74 1.61 1.41

desviación típica

2.13% 4.01% 2.28% 2.52% 2.43% 1.83% 1.38%

Tabla 7: Resumen de parámetros de Weibull por máxima verosimilitud CL-T

2.3 Intervalos de confianza y selección de la variable característica

representativa del ensayo. Como ya se ha visto, contamos con el ajuste por máxima verosimilitud de los parámetros de

Weibull para las 7 variables medidas en el ensayo. Sin embargo, para asignar una

probabilidad de fallo a cada probeta es necesario seleccionar una de ellas.

Con este fin se ha desarrollado un programa con Excel cuyo objetivo es generar una matriz

de valores aleatorios para los parámetros de Weibull dentro de sus intervalos de confianza

ya calculados, para cada una de las variables. De esta manera, se calcula la probabilidad de


fallo para cada una de las situaciones, y posteriormente se calcula la media y la desviación

de las probabilidades.

Cuanto mayor sea el número de casos generados más preciso será el intervalo obtenido

para la probabilidad de fallo. Por este motivo se han generado un total de 10000 casos para

cada variable.


A continuación se muestra un fragmento de la hoja empleada para explicar el proceso seguido:

Figura 13: Hoja de simulación de casos Weibull 3 parámetros CL-T.


En esta hoja, en las columnas N, O y P se han generado 10000 números aleatorios en cada

una de ellas. Estos números siguen una distribución normal de media 0 y desviación típica

1. Por otro lado, en las columnas G, H e I, se calculan los 10000 valores para Lambda, Delta

y Beta respectivamente, calculados de la siguiente forma:

[Ecuación 7] Es decir, el parámetro estimado sería igual al valor medio de ese parámetro sumado a la desviación típica del parámetro multiplicada por el valor aleatorio generado según una distribución normal estándar. En la columna J se calcula la probabilidad de fallo para cada caso según la [Ecuación 3], mientras que en la columna K aparece la probabilidad de supervivencia. Modificando el tratamiento térmico en la celda B25 y la variable simulada en la B26 se modificaran automáticamente los valores de los parámetros recogidos en el rango C3:D5, modificándose automáticamente los valores de los parámetros simulados en las columnas G:I. Por otro lado, modificando el número de la probeta en la celda B27 cambiará el valor que toma la variable seleccionada, recogido en la celda B28, modificándose por tanto el valor de las probabilidades de fallo y de supervivencia. Por último, las celdas B29:B32 recogen las probabilidades de fallo y de supervivencia medias tanto como las desviaciones típicas considerando todos los casos simulados. Los botones Guardar y Guardar todo nos permitirán memorizar esta información en una hoja que se mostrará más adelante. Más información sobre esta hoja de cálculo y las macros desarrolladas puede encontrarse en el Anexo A. La Tabla 8 y la Tabla 9 muestran los resultados obtenidos para cada probeta y cada variable de ensayo: la probabilidad de fallo media y su desviación típica, la probabilidad de supervivencia media, y el porcentaje de desviación calculado como el cociente entre la desviación y la media de la probabilidad de fallo. Debajo de las desviaciones se encuentra la media de las desviaciones para cada variable. Como puede observarse las menores desviaciones se dan en la fuerza en el pistón y en la fuerza en el anillo, siendo ligeramente menores en esta última. Sin embargo, como en el caso de modelos con pequeñas superficies de solicitación no hay cámara de homogeneización, y la fuerza en el anillo sería equivalente a la fuerza en el pistón, se ha continuado ajustando el modelo MEF a las probabilidades obtenidas por estas dos variables en paralelo.


Tabla 8: Tabla de resultados: Pf asignada a cada probeta y sus desviaciones CL-T (1).

CL-T

Sigma Nor (MPa) Fmax Fanillo_carga U-Anillo [mm]

Pf_media Pf_desviación P_sup Desviacion % Pf_media Pf_desviación P_sup Desviacion % Pf_media Pf_desviación P_sup Desviacion % Pf_media Pf_desviación P_sup Desviacion %

1 0.000 0.000 1.000 87.01% 0.007 0.001 0.993 21.98% 0.007 0.001 0.993 20.46% 0.008 0.002 0.992 20.54%

2 0.005 0.001 0.995 25.89% 0.036 0.005 0.964 13.73% 0.035 0.005 0.965 13.32% 0.031 0.005 0.969 15.42%

3 0.145 0.012 0.855 8.19% 0.207 0.011 0.793 5.56% 0.201 0.011 0.799 5.49% 0.185 0.018 0.815 9.60%

4 0.193 0.013 0.807 6.61% 0.233 0.012 0.767 4.98% 0.211 0.011 0.789 5.26% 0.211 0.019 0.789 9.18%

5 0.221 0.013 0.779 5.84% 0.275 0.012 0.725 4.19% 0.266 0.011 0.734 4.19% 0.252 0.022 0.748 8.60%

6 0.235 0.013 0.765 5.49% 0.278 0.012 0.722 4.13% 0.267 0.011 0.733 4.17% 0.255 0.022 0.745 8.56%

7 0.283 0.013 0.717 4.42% 0.342 0.011 0.658 3.16% 0.339 0.010 0.661 3.08% 0.322 0.025 0.678 7.78%

8 0.307 0.012 0.693 3.97% 0.339 0.011 0.661 3.19% 0.345 0.010 0.655 3.00% 0.319 0.025 0.681 7.81%

9 0.367 0.011 0.633 2.95% 0.380 0.010 0.620 2.66% 0.367 0.010 0.633 2.71% 0.365 0.027 0.635 7.33%

10 0.369 0.011 0.631 2.93% 0.378 0.010 0.622 2.68% 0.370 0.010 0.630 2.68% 0.363 0.027 0.637 7.36%

11 0.374 0.011 0.626 2.84% 0.385 0.010 0.615 2.60% 0.390 0.010 0.610 2.45% 0.370 0.027 0.630 7.29%

12 0.403 0.010 0.597 2.43% 0.408 0.010 0.592 2.33% 0.409 0.009 0.591 2.24% 0.395 0.028 0.605 7.05%

13 0.420 0.009 0.580 2.18% 0.420 0.009 0.580 2.20% 0.419 0.009 0.581 2.13% 0.407 0.028 0.593 6.94%

14 0.426 0.009 0.574 2.11% 0.431 0.009 0.569 2.09% 0.438 0.008 0.562 1.94% 0.418 0.029 0.582 6.83%

15 0.498 0.006 0.502 1.25% 0.476 0.008 0.524 1.66% 0.470 0.008 0.530 1.64% 0.469 0.030 0.531 6.38%

16 0.600 0.002 0.400 0.32% 0.548 0.006 0.452 1.13% 0.536 0.006 0.464 1.15% 0.548 0.031 0.452 5.71%

17 0.655 0.002 0.345 0.25% 0.594 0.005 0.406 0.90% 0.599 0.005 0.401 0.85% 0.601 0.032 0.399 5.28%

18 0.698 0.003 0.302 0.47% 0.636 0.005 0.364 0.78% 0.650 0.005 0.350 0.74% 0.648 0.032 0.352 4.87%

19 0.723 0.004 0.277 0.61% 0.644 0.005 0.356 0.77% 0.647 0.005 0.353 0.74% 0.658 0.032 0.342 4.79%

20 0.774 0.006 0.226 0.83% 0.687 0.005 0.313 0.75% 0.691 0.005 0.309 0.74% 0.705 0.031 0.295 4.37%

21 0.820 0.008 0.180 0.98% 0.745 0.006 0.255 0.82% 0.759 0.006 0.241 0.83% 0.768 0.029 0.232 3.78%

22 0.847 0.009 0.153 1.02% 0.748 0.006 0.252 0.83% 0.749 0.006 0.251 0.81% 0.771 0.029 0.229 3.75%

23 0.884 0.009 0.116 1.04% 0.793 0.007 0.207 0.89% 0.793 0.007 0.207 0.88% 0.818 0.027 0.182 3.26%

24 0.888 0.009 0.112 1.03% 0.808 0.007 0.192 0.91% 0.823 0.007 0.177 0.91% 0.835 0.026 0.165 3.07%

25 0.943 0.008 0.057 0.87% 0.878 0.008 0.122 0.93% 0.883 0.008 0.117 0.90% 0.903 0.020 0.097 2.19%

26 0.945 0.008 0.055 0.86% 0.877 0.008 0.123 0.93% 0.887 0.008 0.113 0.90% 0.902 0.020 0.098 2.20%

27 1.000 0.000 0.000 0.02% 0.998 0.001 0.002 0.10% 0.997 0.001 0.003 0.12% 0.995 0.003 0.005 0.26%

0.008

6.39%

0.008

3.22%

0.008

3.12%

0.024

6.68%


CL-T

U-Esquina [mm] Posicion Instron(mm) Uz_centro_MEF (mm)

Pf_media Pf_desviación P_sup Desviacion % Pf_media Pf_desviación P_sup Desviacion % Pf_media Pf_desviación P_sup Desviacion %

1 0.008 0.003 0.992 33.00% 0.007 0.002 0.993 25.53% 0.006 0.002 0.994 34.99%

2 0.031 0.008 0.969 24.64% 0.035 0.006 0.965 16.13% 0.038 0.007 0.962 19.55%

3 0.182 0.028 0.818 15.13% 0.204 0.015 0.796 7.42% 0.218 0.019 0.782 8.69%

4 0.208 0.030 0.792 14.40% 0.231 0.016 0.769 6.83% 0.245 0.020 0.755 8.04%

5 0.250 0.033 0.750 13.38% 0.271 0.016 0.729 6.08% 0.287 0.021 0.713 7.15%

6 0.253 0.034 0.747 13.31% 0.275 0.017 0.725 6.02% 0.290 0.021 0.710 7.09%

7 0.318 0.038 0.682 11.99% 0.341 0.017 0.659 5.04% 0.352 0.021 0.648 6.03%

8 0.315 0.038 0.685 12.03% 0.339 0.017 0.661 5.07% 0.350 0.021 0.650 6.07%

9 0.362 0.040 0.638 11.19% 0.380 0.017 0.620 4.56% 0.390 0.021 0.610 5.49%

10 0.360 0.040 0.640 11.23% 0.378 0.017 0.622 4.59% 0.387 0.021 0.613 5.52%

11 0.366 0.041 0.634 11.12% 0.384 0.017 0.616 4.52% 0.394 0.021 0.606 5.44%

12 0.390 0.042 0.610 10.71% 0.408 0.017 0.592 4.26% 0.417 0.021 0.583 5.14%

13 0.404 0.042 0.596 10.48% 0.420 0.017 0.580 4.14% 0.428 0.021 0.572 5.00%

14 0.416 0.043 0.584 10.30% 0.430 0.017 0.570 4.04% 0.438 0.021 0.562 4.88%

15 0.468 0.044 0.532 9.49% 0.476 0.017 0.524 3.63% 0.481 0.021 0.519 4.41%

16 0.547 0.046 0.453 8.31% 0.550 0.017 0.450 3.09% 0.548 0.021 0.452 3.76%

17 0.600 0.045 0.400 7.56% 0.596 0.017 0.404 2.81% 0.591 0.020 0.409 3.41%

18 0.649 0.045 0.351 6.86% 0.638 0.016 0.362 2.58% 0.631 0.020 0.369 3.11%

19 0.658 0.044 0.342 6.72% 0.646 0.016 0.354 2.54% 0.639 0.020 0.361 3.06%

20 0.708 0.043 0.292 6.01% 0.690 0.016 0.310 2.34% 0.679 0.019 0.321 2.78%

21 0.771 0.039 0.229 5.05% 0.748 0.016 0.252 2.09% 0.734 0.018 0.266 2.44%

22 0.774 0.039 0.226 5.00% 0.750 0.016 0.250 2.08% 0.736 0.018 0.264 2.42%

23 0.822 0.035 0.178 4.24% 0.796 0.015 0.204 1.88% 0.780 0.017 0.220 2.17%

24 0.838 0.033 0.162 3.96% 0.811 0.015 0.189 1.81% 0.795 0.017 0.205 2.08%

25 0.908 0.024 0.092 2.66% 0.879 0.013 0.121 1.47% 0.865 0.014 0.135 1.65%

26 0.907 0.024 0.093 2.68% 0.878 0.013 0.122 1.48% 0.864 0.014 0.136 1.66%

27 0.994 0.003 0.006 0.33% 0.998 0.001 0.002 0.12% 0.998 0.001 0.002 0.10%

0.034

10.07%

0.015

4.90%

0.018

6.00%

Tabla 9: Tabla de resultados: Pf asignada a cada probeta y sus desviaciones CL-T (2).


La siguiente gráfica representa las probabilidades de fallo en función de las probetas y de la variable

empleada para su ajuste:

Figura 14: Pf asignada en función de la variable empleada W3P CL-T.


3. ESTIMACIÓN DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE LA

TENSIÓN DE ROTURA.

3.1 Procedimiento. Llegados a este punto tenemos una campaña de ensayos en la cual, para cada probeta

tenemos:

Una tensión de rotura característica inicial, dada por la norma (Tabla 3).

Un área de referencia (Aref) inicial, considerada inicialmente igual para todas las

probetas, calculada como el área encerrada por la línea media del anillo de carga, es

decir:

[Ecuación 8]

Siendo r1 el radio del anillo de carga.

Una probabilidad de fallo Pf,i asignada a cada probeta. Resumiendo las Tabla 8 y Tabla 9, tendríamos las siguientes :

CL-T

Sigma Nor (MPa)

Fmax Fanillo_carga U-Anillo

[mm] U-Esquina

[mm] Posicion

Instron(mm) Uz_centro_MEF

(mm)

Pf_media Pf_media Pf_media Pf_media Pf_media Pf_media Pf_media

1 0.000 0.007 0.007 0.008 0.008 0.007 0.006

2 0.005 0.036 0.035 0.031 0.031 0.035 0.038

3 0.145 0.207 0.201 0.185 0.182 0.204 0.218

4 0.193 0.233 0.211 0.211 0.208 0.231 0.245

5 0.221 0.275 0.266 0.252 0.250 0.271 0.287

6 0.235 0.278 0.267 0.255 0.253 0.275 0.290

7 0.283 0.342 0.339 0.322 0.318 0.341 0.352

8 0.307 0.339 0.345 0.319 0.315 0.339 0.350

9 0.367 0.380 0.367 0.365 0.362 0.380 0.390

10 0.369 0.378 0.370 0.363 0.360 0.378 0.387

11 0.374 0.385 0.390 0.370 0.366 0.384 0.394

12 0.403 0.408 0.409 0.395 0.390 0.408 0.417

13 0.420 0.420 0.419 0.407 0.404 0.420 0.428

14 0.426 0.431 0.438 0.418 0.416 0.430 0.438

15 0.498 0.476 0.470 0.469 0.468 0.476 0.481

16 0.600 0.548 0.536 0.548 0.547 0.550 0.548


CL-T

Sigma Nor (MPa)

Fmax Fanillo_carga U-Anillo

[mm] U-Esquina

[mm] Posicion

Instron(mm) Uz_centro_MEF

(mm)


17 0.655 0.594 0.599 0.601 0.600 0.596 0.591

18 0.698 0.636 0.650 0.648 0.649 0.638 0.631

19 0.723 0.644 0.647 0.658 0.658 0.646 0.639

20 0.774 0.687 0.691 0.705 0.708 0.690 0.679

21 0.820 0.745 0.759 0.768 0.771 0.748 0.734

22 0.847 0.748 0.749 0.771 0.774 0.750 0.736

23 0.884 0.793 0.793 0.818 0.822 0.796 0.780

24 0.888 0.808 0.823 0.835 0.838 0.811 0.795

25 0.943 0.878 0.883 0.903 0.908 0.879 0.865

26 0.945 0.877 0.887 0.902 0.907 0.878 0.864

27 1.000 0.998 0.997 0.995 0.994 0.998 0.998

Tabla 10: Probabilidades de fallo asignadas CL-T.

Como ya se explicó, se han realizado cálculos empleando las Pf según la Fmax y la

Fanillo_carga, por ser las que menores desviaciones presentan. Sin embargo en este

apartado se mostrará el proceso siguiendo las de la Fmax. Más información sobre el resto

del trabajo realizado se podrá encontrar en el anexo C.

A la hora de ajustar la distribución de tensiones de rotura se deben de tomar una serie de

hipótesis. Las hipótesis que hemos tomado como partida son las siguientes:

La norma proporciona una presión para la cámara de homogeneización para cada

carga aplicada. Sin embargo, como se explicó en la introducción, para ello tan solo

proporcionan un conjunto muy limitado de puntos, sin indicación alguna sobre cómo

interpolar los tramos intermedios, lo que da lugar a importantes desviaciones. Esto se

puede ver en la siguiente figura:

Figura 15: Puntos de interpolación para la presión de homogeneización.


Ya que son estas presiones las que consiguen que las tensiones sean constantes en el Aref,

una desviación en esta presión supone un error en el Aref en la que se pueden considerar

constantes las tensiones y, en consecuencia, una modificación de estas. Esto se ve en la

Figura 11. En esta gráfica, el eje x representa el semiancho de la probeta. La zona interior al

radio del anillo de carga, que es la zona de estudio, presenta tensiones más o menos

constantes en función de la presión introducida. Se puede observar que el área en el que las

tensiones son casi constantes varía mucho en función de la presión.

Figura 16: Distribución de tensiones en una placa de vidrio en función de la presión.

Ya que no podemos saber la presión exacta que habría que introducir para igualar las

tensiones, solo podemos introducir una aproximada, por lo que suponemos que el área de

referencia va a ser arbitrario. Suponiendo esto, se seguirá un proceso iterativo modificando

el área de referencia y, como consecuencia, las tensiones, hasta encontrar aquella que nos

permite alcanzar una probabilidad de fallo con el modelo MEF lo suficientemente próxima a

la probabilidad asignada.

Como hemos estado haciendo durante todo el trabajo, como está generalmente

propuesto en la mayor parte de estudios de rotura de materiales frágiles suponemos,

que las tensiones en la rotura se aproximan a una distribución de Weibull

triparamétrica.

Tenemos en cuenta en el modelo la teoría del eslabón más débil, ya que al fallar una

sola grieta de la placa fallará toda la pieza. Según Rubio en su "Análisis de

componentes de material frágil por medio de métodos finitos", para analizar

materiales frágiles es necesario tener en cuenta en el análisis la totalidad del

volumen de la pieza, y trabajar con una distribución probabilística de los defectos. La

siguiente imagen ilustra este principio:


Figura 17: Probabilidades de supervivencia de cada elemento

La probabilidad de supervivencia del sistema como un conjunto (Ps,sistema)

dependerá, como resulta evidente, de las probabilidades de fallo (Ps,i) de cada uno

de los componentes que lo conforman. Por lo tanto, la Ps,sistema, tendrá la siguiente

forma:

[Ecuación 9]

Por definición del método de los elementos finitos, las tensiones en cada uno de los

elementos serán constantes. El aporte de la probabilidad de fallo de cada elemento a

la probabilidad de fallo del sistema dependerá, por lo tanto, del área de cada uno de

los elementos. Por lo tanto:

[Ecuación 10]

Esta [Ecuación 10] nos lleva a que la probabilidad de fallo del sistema se exprese de

la siguiente manera:


[Ecuación 11]

Partiendo de estas hipótesis el proceso a seguir sería analizar, en primer lugar, las probetas según un modelo de elementos finitos actualizado que se detallará y explicará más adelante. Este modelo simula la placa en el ensayo con sus propiedades, condiciones de contorno y cargas aplicadas, y nos da como resultados las tensiones, deformaciones y demás resultados de la simulación. Posteriormente, se procesa esta información, se obtienen las probabilidades de fallo, y se compara con aquellas asignadas a cada probeta según los ensayos, modificando el Aref dentro de unos rangos para minimizar el error obtenido. Tras esto, se inicia un proceso iterativo en el que, con el nuevo Aref asignado a cada probeta, se reajustan las tensiones teóricas según la norma, volviendo a obtener los parámetros de la distribución de Weibull, y volviendo a correr el modelo de elementos finitos, hasta que el error entre la Pf del MEF y la asignada según los ensayos esté dentro de los niveles requeridos.

3.2 Modelo de elementos finitos.

3.1.1 Descripción del modelo: características generales.

A la hora de definir el modelo empleado para poder representar correctamente las probetas

ensayadas se han hecho una serie de suposiciones:

La probeta se simula mediante elementos SHELL63 de Ansys, ya que el

comportamiento principal del sistema es a flexión. Trabajaremos con elementos de 4

nodos, aunque hay posibilidad de emplear elementos triangulares. Los elementos

SHELL63 están diseñados para calcular estados tensionales combinados de flexión

y membrana, que es nuestro caso.

Consideraremos el espesor de la placa uniforme, aunque hay evidencias

experimentales que indican una ligeras oscilaciones en el espesor entre unas

probetas y otras.

Debido a la complejidad de caracterizar con precisión la ligera anisotropía del

material, se definirán las propiedades como isótropas. Se sabe sin embargo que

debido a la geometría durante el enfriamiento este se produce de manera no

uniforme, lo que provoca pequeñas variaciones de la microestructura en su espesor.

Además, los tratamientos térmicos introducen una direccionalidad debido a la

dirección del flujo de aire en el que se realiza el temple.

Debido a las simetría de nuestras placas es posible realizar un cálculo simplificado

modificando las condiciones de contorno. Las simetrías nos permitirían reducir el

sistema a un octavo de la probeta. Sin embargo, se decidió emplear un cuarto de

esta por la mayor sencillez en su definición.

Debido a la simplicidad geométrica de nuestro problema, el modelo se va a definir directamente dentro del entorno del módulo mecánico; no se va a importar de ningún entorno CAD.


La definición se ha realizado a través de una serie puntos, líneas y áreas. En primer lugar se

definen una serie de constantes: =0.300, 1=0.090, 2=0.120; donde L corresponde a la

longitud del lado, 1 corresponde con el radio de carga y 2 corresponde con el radio del

anillo soporte. Se definen una serie de puntos, en función de estos parámetros: (0,0); (0, 1);

(0, 2); (0, /2); ( /2, /2); ( /2, 2); ( /2, 1); ( /2,0). Uniendo los puntos se definen líneas

formando el siguiente esquema:

Figura 18: Modelo inicial-construcción.

A partir de la definición de estas líneas se definen tres áreas diferentes para el posterior mallado. El área 1 es la que corresponde al área interior correspondiente a la cámara de presión, El área 2 corresponde al espacio existente entre la junta del anillo de carga y del anillo soporte. El área 3 corresponde al resto de la superficie de la placa. Respecto a la definición del mallado, se ha optado por realizar un mallado uniformemente

distribuido de longitud característica de 6 mm dentro de las 3 áreas definidas.


Figura 19:Modelo inicial-Nodos.

Este sistema de mallado funciona de la siguiente manera: Utilizando las líneas definidas posiciona nodos en cada una de las líneas que definen el área a mallar en función de la distancia definida. Después posiciona nodos de manera equidistante en todo el área utilizando como patrón los nodos de los lados. Respecto a las condiciones de contorno se pueden dividir en 2 grupos:

Las condiciones de contorno debidas a las restricciones reales del ensayo, que se encargan de modelizar el comportamiento de los apoyos. En este modelo corresponden con la restricción del desplazamiento vertical (uz=0) de todos los

nodos situados en el anillo soporte = 2

Las condiciones de contorno debidas las condiciones de simetría. Esta serie de restricciones se definen cuando se realizan modelos simplificados para introducir el efecto de la parte no calculada. Centrándonos en nuestro modelo del cuarto de placa las condiciones existentes son de simetría; por lo que hay que restringir el desplazamiento en el plano, perpendicular al plano de simetría, y los giros en los ejes perpendiculares a este. En nuestro caso para el eje X se restringen desplazamiento en Y y giros en eje X y eje Z (uy=0, ẟx=0, ẟz=0); y para el eje Y se restringe el desplazamiento en X y los giros en eje Y y eje Z (ux=0, ẟy=0, ẟz=0).

La modelización de las cargas se ha realizado de la siguiente manera:

El caso de del carga del anillo se ha definido como una carga puntual uniforme sobre todos los nodos situados en la línea que define el anillo de carga. La carga puntual aplicada se define como:

[Ecuación 12]


El 4 del denominador es debido a las condiciones de simetría; ya que hay que aplicar las cargas proporcionales al modelo calculado. Hay que tener en cuenta que el efecto de la presión en la cámara produce un cierto esfuerzo que se opone al pistón; por lo que hay que incluirlo en el modelo.

En el caso de la presión de la cámara se modela como una presión uniforme aplicada en el área 1 definida anteriormente.

Figura 20: Modelo inicial, Condiciones de contorno y cargas

Los motivos por los que se decidió mejorar este modelo son los siguientes:

Las medidas experimentales sobre la probeta nos mostraron que la zona de contacto del anillo de carga tiene un espesor de 8 mm, por lo que la modelización a través de carga puntual no representa fielmente cómo se comporta la placa en este entorno. Debido a que es la zona con tensiones esperadas más altas, esta superficie tiene peso específico en el resultado final del estudio; por lo que se decide modificar esta definición.

Algo similar ocurre con la modelización del anillo soporte. A esto hay que añadir que se ha comprobado experimentalmente que el desplazamiento vertical de la junta tórica no es despreciable; por lo que simularlo como restringido (uz=0), no reproduce fielmente las condiciones del ensayo.


3.1.2 Actualización del modelo.

Este segundo modelo desarrollado, ha basado su desarrollo en el modelo ya descrito realizándole varias modificaciones. El procedimiento de creación del modelo ha sido análogo al realizado con anterioridad,

aunque en vez de 3 áreas se han definido 5 zonas diferenciadas: la primera denota el área

interior al anillo de carga, la segunda define la superficie del anillo de carga, la tercera

corresponde con la zona que existe entre el anillo de carga y el anillo soporte, la cuarta

representa la superficie del anillo soporte, y la quinta engloba el área restante de la placa.

Para ello se han definido un mayor número de puntos: (0,0); (0, 1−ℎ2⁄); (0, 1+ℎ2⁄); (0,

2−ℎ2⁄); (0, 2+ℎ2⁄); (0, /2); ( /2, /2);( /2, 1−ℎ2⁄); ( /2, 1+ℎ2⁄); ( /2, 2−ℎ2⁄); (0, 2+ℎ2⁄);

( /2,0).

Figura 21: Modelo Actualizado-Construcción.

La segunda modificación introducida en el modelo es el tamaño de malla. Se decide

conservar el tamaño característico de definición de la malla a 6 mm; pero disminuirlo a 3

para las áreas 2 y 4, las áreas de la junta tórica del anillo de carga y anillo soporte. El motivo

es de este segundo ajuste es el de intentar obtener mejor precisión de las tensiones

producidas en ambos anillos, ya que son las zonas más problemáticas desde el punto de

vista de precisión del modelo, aunque cada uno de ellos por un motivo distinto.


Figura 22: Modelo Actualizado-Nodos.

Respecto a la definición de las condiciones de contorno la variación respecto al modelo inicial se aplica en la definición de las restricciones en el anillo soporte. El cambio a realizar ha sido reemplazar la restricción del desplazamiento vertical por la definición de una rigidez equivalente. Esta rigidez se define dentro de las características del elemento SHELL63 utilizado. Esto ha provocado que se hayan tenido que definir dos tipos de elementos en el modelo: El elemento 1 que consiste en el elemento SHELL63 con las características mecánicas de material (Modulo de Young, coeficiente de poisson y densidad) y un segundo elemento denotado como elemento 2 definido también a través de SHELL63 con las mismas características mecánicas y con la definición de la rigidez equivalente. El valor de esta rigidez está definida, calculada y justificada en el último apartado del capítulo anterior. Aquí hay que aclarar el motivo por el cual la definición de la rigidez equivalente solo se

aplica al anillo soporte y no a los ambos anillos. En ambos casos el fenómeno que ocurre es

similar, existe un elemento intermedio flexible por el que se transmite la carga; por lo que

tiene cierta lógica que la rigidez se aplicara en el modelo tanto en un anillo como en el otro.

La problemática surge en que el definir la rigidez equivalente en esta zona implicaría definir

los casos de carga a través de desplazamientos impuestos; mientras que nuestras

mediciones de ensayos se han centrado en obtener con precisión las cargas de rotura.

Debido a que los valores de los casos de carga están ampliamente estudiados, y que no

existe medición alguna del desplazamiento durante la campaña de ensayos, no tiene sentido

definir nuestro ensayo a través de desplazamientos. El utilizar una estimación del

desplazamiento a través de los valores calculados de carga y rigidez tiene mucha más

incertidumbre que utilizar los valores de carga y la hipótesis de presión uniforme. Por ello se

ha omitido la definición de la rigidez en el anillo de carga.

Por último se ha realizado una pequeña modificación en la definición del caso de carga,

actualizándolo con la nueva definición del anillo de carga. Se ha sustituido la definición de


esta carga de carga puntual a carga distribuida; y se ha modelizado como una presión

uniforme aplicada sobre el área del anillo de carga:

[Ecuación 13]

La definición es similar a la utilizada en el modelo inicial, salvando el hecho de que en este caso el área 1 es algo inferior debido a la definición de anillo de carga; y la modificación ya mencionada de que introducimos al modelo una presión en vez de una fuerza por lo que las unidades deben ser diferentes.

Figura 23: Modelo Actualizado-Elementos, C. Contorno y Cargas.

En esta imagen se puede observar el diseño del modelo con las modificaciones

introducidas. Se pueden ver en morado los elementos del anillo soporte; en azul marino el

área en la que esta aplicada la presión de la cámara y en rojo el anillo de carga. Se observa

un claro aumento del número de elementos utilizados respecto al modelo inicial. Aunque en

la zona externa de la placa se observa una cierta asimetría en los elementos definidos, no

se considera importante ya que no es una zona en la que se esperen un estado tensional de

alta solicitación; por lo que no va a ser influyente en nuestros estudios posteriores.

En la siguiente imagen se muestra el resultado de nuestro modelo representado expandido;

en el que se puede observar la gran cantidad de elementos utilizados para su definición.


Figura 24: Modelo Actualizado- Expandido.

De aquí en adelante se utilizara la representación simétrica de la probeta, debido a que es

realmente nuestro modelo de cálculo; además de que los resultados son más fácilmente

analizables en un modelo simplificado de un cuarto de placa.

3.1.2.1 Ensayo modal.

En este apartado del capítulo se van a definir las propiedades mecánicas de los

distintos vidrios ensayados. Para obtener una cierta mejora en los resultados del

modelo se deciden realizar mediciones sobre las probetas de ensayos. El método

utilizado es el siguiente:

Se realizan ensayos modales a los distintos tipos de probetas. El ensayo realizado consiste de vibración “libre” de la probeta. Para ello se suspendió la probeta de la manera que restringiera lo menos posible. Para ello se utilizó una cinta adhesiva formando un lazo. Se colocó el acelerómetro en la esquina inferior y se excito la placa en el mismo punto por la otra cara de la probeta.


Figura 25: Ensayo Modal.

Una vez realizados los ensayos se realiza un análisis de Fourier a la señal captada en el acelerómetro y se obtiene la respuesta en frecuencia de la excitación captada por el acelerómetro. A partir de esta respuesta se determinan los picos de resonancia captados y se mide la frecuencia de pico y amortiguación. Las resonancias obtenidas del experimento son solo aquellas que han sido activadas por la excitación aplicada y que están dentro del rango de frecuencias medibles.

Se desarrolla un modelo de elementos finitos sencillo de una placa con las dimensiones de nuestras probetas y con valores genéricos de las

características mecánicas del material: =70 =0.23 y el obtenido experimentalmente y se realiza un análisis frecuencial del modelo.

Se obtienen los primeros 10 modos de vibración y se comparan con los obtenidos experimentalmente para identificar a qué modo corresponde cada uno de los registrados.

Una vez identificados se comparan el valor experimental obtenido y el numérico y se realiza un proceso iterativo en el que se modifica el valor del módulo de elasticidad en función de la siguiente expresión:

[Ecuación 14]

Este cálculo se itera hasta que se obtiene una convergencia en la solución. Se decide como hipótesis de cálculo que el módulo de poisson tiene un valor de 0.23.Para decidir cuál de todas las frecuencias se va a utilizar como frecuencia para ajustar el módulo se va a realizar un primer cálculo con el modelo desarrollado para ajustes modales se realiza un primer análisis modal con los siguientes valores aproximados

=70 ; =0.23; =2500 / 3


El modelo utilizado Figura 21, se define una placa con las dimensiones características de las probetas; utilizando el elemento SHELL63 con las características mecánicas descritas y un mallado uniforme de 6 mm.

Figura 26: Modelo para ensayo modal.

Se calculan los 15 primeros modos de vibración de la placa. Los resultados son los

siguientes:

Resultados Análisis Modal Placa Vidrio Genérica [Hz]

Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6 Modo 7 Modo 8

0 0 0 0 0 0.87683 188.7 272.64

Modo 9 Modo 10 Modo 11 Modo 12 Modo 13 Modo 14 Modo 15

320.5 481.4 481.4 822.58 822.58 878.58 958.6 Tabla 11: Modos Vibración Placa.

Los resultados de los 6 primeros modos de vibración corresponden a los de sólido

rígido con valor 0. Al definir el modelo sin restricciones el sólido se puede moverse a

través de los 6 grados de libertad del solido rígido. El valor del modo 6 se justifica por

que la definición del tipo de elemento sigue su formulación según la teoría de placas.

Esta teoría tiene una cierta inconsistencia con la definición de giros respecto al eje

normal a la placa; es decir los giros a torsión. Este modo corresponde al giro de

sólido rígido según ese eje. Debido a las simetrías existen modos duplicados. En las

siguientes capturas se van observar los distintos modos obtenidos:


Figura 27: Modo 7. Figura 28: Modo 8.

Figura 29: Modo 9. Figura 30: Modo 10-11.

Figura 31: Modo 12-13. Figura 32: Modo 14.


Figura 33: Modo 15.

Las representaciones corresponden con el desplazamiento según la normal a la placa (eje z). Se ha elegido esta representación porque se considera la más identificativa con la morfología del modo de vibración. Como se puede apreciar la mayoría de modos calculados representan diferentes modos de flexión de la placa. Observando cada una de las deformadas observamos que existe uno de los modos, según la numeración de la tabla corresponde al modo 9, tiene una deformada de comportamiento similar al que se obtiene en nuestro caso de carga. Esto significa que nuestro caso de carga evoluciona principalmente a través de este modo, por lo que la rigidez que desarrolla la placa para nuestro caso de carga va a estar fuertemente influenciada por la rigidez de este modo. Por ello vamos a tomar la frecuencia de este modo de vibración como la referencia para ajustar nuestras propiedades mecánicas. El valor de esta frecuencia está en el entorno de los 320 Hz, por lo que se asumirá que la frecuencia medida en este entorno corresponderá con dicho modo. Cabe añadir que en los siguientes casos los parámetros geométricos utilizados son

los medidos de la probeta en cuestión excepto la densidad que es un valor promedio

de todas las probetas estudiadas.

Nuestro caso de estudio es el de las probetas sometidas a un tratamiento térmico de

templado. El ensayo modal se realizó sobre la probeta CL-T-12. Los resultados del

ensayo están recopilados en la siguiente tabla:

modo 1 [Hz] Amort 1 [%] modo 2 [Hz] Amort 2 [%] modo 3 [Hz] Amort 3 [%]

176 0.59% 332.2 0.75% 456.5 1.26%

Lado 1 [mm] Lado 2 [mm] Esp. Med [mm] Peso [g] Dens [Kg/m3]

300 300 4.839 1075 2468.37

Tabla 12: Mediciones CL-T-12.

Partiendo de estos datos se ha realizado el proceso descrito. En este caso el valor

del modo experimental es 332.2 Han sido necesarias 2 iteraciones para la obtención

de resultados. En la siguiente taba se muestran los resultados:


Frecuencia Obs. [Hz] 176.000 332.200 456.500

Amortiguamiento 0.590% 0.750% 1.260%

E r E'

Iteración 1 190.940 321.630 486.200 7.00E+10 0.968 7.47E+10

Iteración 2 197.240 332.250 502.260 7.47E+10 1.000 7.47E+10

Tabla 13: Ajuste Modulo Elástico Vidrio Templado.

Los resultados obtenidos tienen coherencia con los resultados obtenidos en el ajuste de los termoendurecidos. El efecto observado se acentúa: el modo 7 y el 10-11 aparecen a frecuencias más bajas mientras que el modo 9 incrementa la frecuencia a la que aparece. Es interesante observar que la variación que sufren las distintas frecuencias de resonancia no sigue ningún criterio de proporcionalidad. Las frecuencias de los modos 10-11 sufren un descenso comparativamente mucho mayor que el que aparece en el modo 7. Respecto al modo 9 incrementa el valor de su frecuencia de resonancia, pero la variación es mucho menos notable que en los casos. Aunque no está registrado aquí los modos 10-11 que el modelo los predice acoplados, debido a la direccionalidad del temple ya descrito se observan desacoplados en la FFT. Aquí se vuelve a evidenciar el comportamiento anisotrópico existente por diferencias microestructurales provocadas por el tratamiento térmico. Las características mecánicas obtenidas finalmente para definir las probetas de vidrio con un tratamiento de temple son:

=74.7 ; =0.23; =2468,37 / 3

3.3 Estimación del área de referencia y de los parámetros de Weibull.

Una vez corrido el modelo con las tensiones planteados, se procede a procesar la

información para obtener las áreas de referencia que más aproximen las probabilidades de

fallo a las asignadas en los ensayos. Con estas áreas de referencia se reajustan las

tensiones, con lo que se debe volver a lanzar el modelo, comenzando un proceso iterativo

hasta que las desviaciones en las Pf sean lo suficientemente pequeñas.

A continuación se presenta el código usado para obtener estos valores en la primera

iteración para aproximar las Pf a las asignadas empleando el ajuste de la Fmax. El resto de

iteraciones y el código del estudio según la Fuerza en el anillo se resumirán más adelante.

El código completo de estos casos se encuentra en los anexos C y D.

!*DEFINICION DE DIFERENTES ELEMENTOS PARA BUCLE DE PF

/post1

*DIM,area_elem,ARRAY,emax,1,1, , , !*DEFINO VECTOR PARA AREAS

*VGET,area_elem,ELEM, ,GEOM, , ,4 !*EXTRAIGO VALORES

*DIM,ten_par,ARRAY,emax,1,1, , , !*VECTORES PARA DIFERENTES PASOS

*DIM,ten_par2,ARRAY,emax,1,1, , ,

*DIM,P_super,ARRAY,emax,1,1, , ,

*DIM,SI_par,ARRAY,emax,1,1, , ,

*DIM,Area_0,array,ncasos,1,1, , ,

*DIM,resul,ARRAY,15,ncasos,1, , , !*DEFINO VECTOR SALIDA DE DATOS


!* Bucle para asignar Pf-observada

/post1

Ao=pi*r1**2

*do,i,1,ncasos

Area_0(i)=Ao

*enddo

niter=50

v0a=.1

/post1

landa_S=144.819232729959e6

delta_S=88.4103220929941e6

beta_s=3.17723776340912

inv_landa_S=1./landa_S

inv_delta_S=1./delta_S

landa_delta=-(landa_S/delta_S)

!* postproceso los casos de carga

*DIM,Pfensayo,ARRAY,ncasos,1,1, , ,

*DIM,PfAref,ARRAY,ncasos,1,1, , ,

*DIM,Ai,ARRAY,niter,1,1, , ,

*DIM,PAi,ARRAY,ncasos,1,1, , ,

*DIM,Pf_t_Ai,ARRAY,niter,ncasos,1, , ,

!* Bucle para asignar Pf-observada

Pfensayo(1)=0.006531602

Pfensayo(2)=0.036193245

Pfensayo(3)=0.206739585

Pfensayo(4)=0.233084020

Pfensayo(5)=0.275029987

Pfensayo(6)=0.278315177

Pfensayo(7)=0.341582420

Pfensayo(8)=0.339244820

Pfensayo(9)=0.380261335

Pfensayo(10)=0.378008557

Pfensayo(11)=0.384603227

Pfensayo(12)=0.408416484

Pfensayo(13)=0.420489616

Pfensayo(14)=0.431001194

Pfensayo(15)=0.476259821

Pfensayo(16)=0.547774518

Pfensayo(17)=0.593652539

Pfensayo(18)=0.635838005

Pfensayo(19)=0.644202968

Pfensayo(20)=0.687452328

Pfensayo(21)=0.744827338

Pfensayo(22)=0.747534574

Pfensayo(23)=0.792821542

Pfensayo(24)=0.808433029

Pfensayo(25)=0.877842719

Pfensayo(26)=0.876939756

Pfensayo(27)=0.997773150

!*Bucle para obtener conjunto de areas de muestreo

*do,j,1,niter

Ai(j)=Ao*((1-v0a)+2*v0a*(j-1)/niter)

*enddo

!* Bucle general Para obtencion W3P

*do,i,1,ncasos

set,i,last

presion=press(i)

Fpiston=Fp(i)

!*Mostrar durante el calculo el caso de carga manejado

SHELL,botto

PLESOL, S,1, 0,1.0


/VIEW,1,,,-1

/ANG,1

/REP,FAST

!* Pf(svm)=(1-exp(-((svm-landa_s)/delta_s)^beta_s))

AVPRIN,0, ,

!* Define como calcular las tensiones principales de un elemento (0 suma nodos y luego obtiene

tens princip;1 lo contrario)

ETABLE,sI,S,1,EQV !*Se crea una Etable llamada sI con la

tension principal 1 de todos los elementos

AVPRIN,0, ,

ETABLE,,VOLU,

SEXP,uno,VOLU,VOLU,1,-1, !*(Lab1^exp1)*(Lab2^exp2); Esta creando en

uno una ETABLE con todo valores unidad

SADD,ten1,sI,UNO,inv_delta_S,landa_delta, , !*SADD,Labr,Lab1,Lab2,fact1,fact2,const;

Labr=Lab1*fac1+Lab2*fact+const

!*Se define el etable ten1 el valor de (sigma-landa)/delta para todos los elemento

SABS,1 !* Define que se utilicen valores absolutos en las

operaciones

sadd,ten1_abs,TEN1, ,1, , !*ten1_abs saca todos los valores de ten1 en

positivo

SABS,0

Sadd,ten1_b,TEN1,TEN1_ABS,.5,.5, !* Con esta operación nos estamos sacando del bucle

de calculo los elem con sI<lambda

!*Bucle de areas

*do,ji,1,niter

Aoi=Ai(ji)

Aoo=-(1/Aoi) !*Signo menos de weibull

SEXP,ten2,TEN1_b,UNO,beta_s,1, !*ten2=Ten1_b^beta_s*1

SADD,ten3,ten2,,Aoo,, , !*ten3=Aoo*ten2

*VGET,ten_par2,ELEM, ,ETAB,TEN3, ,2 !*Metemos en el vector ten_par2

los valores de ten3

*VOPER,ten_par,ten_par2,MULT,area_elem !*Los multiplicamos por area del

elemento y guardamos en ten_par

*VGET,sI_par,ELEM, ,ETAB,SI, ,2 !* !*Metemos en sI_par los valores de

sI

*VFUN,P_super,EXP,TEN_par, , , , !*Definimos p_super con los valores

de exp(ten_par2) Prob sup de cada elemento

*vput,p_super,elem,,etab,volu,,,2 !*Defino un Etable con pf de cada

elemento

!*******************************************************

!*defino probabilidad de fallo para cada caso de carga

P_super_total=1 !*Inicializo variables de

salida

smax=0

smin=400e6

P_s_min=0

*do,j,1,emax

P_super_total=P_super_total*P_super(j)

*if,si_par(j),gt,smax,THEN !*gt=greater than

smax=si_par(j)

*endif

*if,si_par(j),lt,smin,THEN !*lt=less than

smin=si_par(j)

*endif

*if,p_super(j),lt,P_s_min,THEN

p_s_min=p_super(j)

*endif

*enddo

P_super_total=P_super_total**4

P_fallo_total=1-P_super_total

Pf_t_Ai(ji,i)=P_fallo_total


*if,Aoi,eq,Area_0(i),then !*eq=equal than

Pai(i)=p_fallo_total

*endif

*enddo

!****************************************************

!*FIN DEL BUCLE DE AREAS

!*Obtención de area optima para cada probeta

error=1E5

*do,ji,1,niter

errorparcial=ABS((Pfensayo(i)-Pf_t_Ai(ji,i))/Pfensayo(i))

*if, errorparcial,lt,error, THEN

Pfaref(i)=Pf_t_Ai(ji,i)

Area_0(i)=Ai(ji)

error=errorparcial

*endif

*enddo

!*****************************************************

!*FATA BUCLE NEWTON-RAPSHON PARA OBTENER LA NUEVA DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL

!*Salida de resultados x definir

resul(1,i)=presion

resul(2,i)=Fpiston

resul(3,i)=smax

resul(4,i)=Pfaref(i)

resul(5,i)=1-Pfaref(i)

resul(6,i)=Area_0(i)

resul(7,i)=landa_S

resul(8,i)=delta_S

resul(9,i)=beta_s

resul(10,i)=smin

resul(11,i)=Pai(i)

resul(12,i)=error

resul(13,i)=0

resul(14,i)=Pfensayo(i)

*enddo

*status,resul

Como se puede ver, en un primer lugar se toma como área de referencia el área interior al

anillo de carga como en la [Ecuación 8], y se introduce para todas las probetas. Los valores iniciales introducidos para los parámetros de Weibull que definen las tensiones son los calculados en el ajuste resumido en la Tabla 7. Posteriormente se introducen las probabilidades de fallo asignadas, recogidas en la Tabla 8, que se emplearán para aproximar las Aref. A continuación se generan un rango de áreas de referencia, con distintas desviaciones respecto de la final, de entre las cuales nos quedaremos, para cada probeta, con la que hace menor el error entre las Pf. Una vez planteados todos los parámetros se inicia el bucle para obtener el Aref de cada probeta; se recuperan la F y la p, ya introducidas anteriormente en el modelo, y se muestra el caso estudiado por pantalla. Por último, se introduce otro bucle en el que se calcula, para cada probeta, la probabilidad de supervivencia y de fallo para cada Aref en el rango anteriormente generado. Cada una de estas probabilidades de fallo es comparada con la Pf asignada a esa probeta y se conserva aquella que presente un error menor.


El output del postproceso en ANSYS es un fichero .lis en el que se recogen los resultados de cada probeta en vectores de 14 componentes. Los valores recogidos son los siguientes:

resul(1,i): presión introducida para la probeta i en la cámara de homogeneización.

resul(2,i): Fmax en el pistón en el momento de la rotura. En el estudio según las Pf asignadas por la Fanillo el resultado en esta componente sería dicha fuerza.

resul(3,i): smax

resul(4,i): Probabilidad de fallo estimada con el Aref resultante.

resul(5,i): Probabilidad de supervivencia estimada con el Aref resultante.

resul(6,i): Aref del rango calculado que minimiza el error entre las Pf.

resul(7,i): Parámetro lambda de Weibull de las tensiones.

resul(8,i): Parámetro delta de Weibull de las tensiones.

resul(9,i): Parámetro beta de Weibull de las tensiones.

resul(10,i): smin

resul(11,i): Pai

resul(12,i): error entre las áreas de referencia; el objetivo del proceso es minimizar este parámetro.

resul(13,i): Componente vacia.

resul(14,i): Pf asignada según los ensayos.

El archivo .lis salida de esta iteración tiene el siguiente formato:


PARAMETER STATUS- RESUL ( 70 PARAMETERS DEFINED)

(INCLUDING 16 INTERNAL PARAMETERS)

LOCATION VALUE

1 1 1 65400.0000

2 1 1 20418.7502

3 1 1 176777907.

4 1 1 9.228749069E-03

5 1 1 0.990771251

6 1 1 2.788980294E-02

7 1 1 144819233.

8 1 1 88410322.1

9 1 1 3.17723776

10 1 1 6166325.08

11 1 1 1.011021585E-02

12 1 1 0.412938062

13 1 1 0.00000000

14 1 1 6.531602000E-03

15 1 1 0.00000000

1 2 1 79300.0000

2 2 1 22165.1002

3 2 1 189154532.

4 2 1 3.625530086E-02

5 2 1 0.963744699

6 2 1 2.595583850E-02

LOCATION VALUE

7 2 1 144819233.

8 2 1 88410322.1

9 2 1 3.17723776

10 2 1 4954388.72

11 2 1 3.696683782E-02

12 2 1 1.714570270E-03

13 2 1 0.00000000

14 2 1 3.619324500E-02

15 2 1 0.00000000

1 3 1 121800.000

2 3 1 25908.5128

3 3 1 214303009.

4 3 1 0.206946126

5 3 1 0.793053874

6 3 1 2.341114845E-02

7 3 1 144819233.

8 3 1 88410322.1

9 3 1 3.17723776

10 3 1 0.00000000

11 3 1 0.192098386

12 3 1 9.990397037E-04

LOCATION VALUE

13 3 1 0.00000000

14 3 1 0.206739585

15 3 1 0.00000000

1 4 1 133200.000

2 4 1 26307.6788

3 4 1 216641032.

4 4 1 0.233184961

5 4 1 0.766815039

6 4 1 2.381829886E-02

7 4 1 144819233.

8 4 1 88410322.1

9 4 1 3.17723776

10 4 1 0.00000000

11 4 1 0.220043428

12 4 1 4.330678230E-04

13 4 1 0.00000000

14 4 1 0.233084020

15 4 1 0.00000000

1 5 1 136100.000

2 5 1 26908.7138

3 5 1 220683008.

LOCATION VALUE

4 5 1 0.274570985

5 5 1 0.725429015

6 5 1 2.361472366E-02

7 5 1 144819233.

8 5 1 88410322.1

9 5 1 3.17723776

10 5 1 0.00000000

11 5 1 0.257610044

12 5 1 1.668915523E-03

13 5 1 0.00000000

14 5 1 0.275029987

15 5 1 0.00000000

1 6 1 137500.000

2 6 1 26954.3462

3 6 1 220943070.

4 6 1 0.278339036

5 6 1 0.721660964

6 6 1 2.361472366E-02

7 6 1 144819233.

8 6 1 88410322.1

9 6 1 3.17723776

LOCATION VALUE

10 6 1 0.00000000

11 6 1 0.261189221

12 6 1 8.572583237E-05

13 6 1 0.00000000

14 6 1 0.278315177

15 6 1 0.00000000

1 7 1 145300.000

2 7 1 27773.0033

3 7 1 226249470.

4 7 1 0.341950719

5 7 1 0.658049281

6 7 1 2.330936085E-02

7 7 1 144819233.

8 7 1 88410322.1

9 7 1 3.17723776

10 7 1 0.00000000

11 7 1 0.318407644

12 7 1 1.078215461E-03

13 7 1 0.00000000

14 7 1 0.341582420

15 7 1 0.00000000

LOCATION VALUE

1 8 1 144500.000

2 8 1 27803.5630

3 8 1 226489382.

4 8 1 0.338865276

5 8 1 0.661134724

6 8 1 2.371651126E-02

7 8 1 144819233.

8 8 1 88410322.1

9 8 1 3.17723776

10 8 1 0.00000000

11 8 1 0.319997906

12 8 1 1.118791878E-03

13 8 1 0.00000000

14 8 1 0.339244820

15 8 1 0.00000000

1 9 1 155800.000

2 9 1 28274.0746

3 9 1 229244726.

4 9 1 0.380217233

5 9 1 0.619782767

6 9 1 2.361472366E-02

LOCATION VALUE

7 9 1 144819233.

8 9 1 88410322.1

9 9 1 3.17723776

10 9 1 0.00000000

11 9 1 0.358497648

12 9 1 1.159792014E-04

13 9 1 0.00000000

14 9 1 0.380261335

15 9 1 0.00000000

1 10 1 156200.000

2 10 1 28302.8756

3 10 1 229424272.

4 10 1 0.377461432

5 10 1 0.622538568

6 10 1 2.402187407E-02

7 10 1 144819233.

8 10 1 88410322.1

9 10 1 3.17723776

10 10 1 0.00000000

11 10 1 0.360717301

12 10 1 1.447386994E-03

LOCATION VALUE

13 10 1 0.00000000

14 10 1 0.378008557


15 10 1 0.00000000

1 11 1 152000.000

2 11 1 28358.3047

3 11 1 229966112.

4 11 1 0.385210397

5 11 1 0.614789603

6 11 1 2.351293606E-02

7 11 1 144819233.

8 11 1 88410322.1

9 11 1 3.17723776

10 11 1 0.00000000

11 11 1 0.362054910

12 11 1 1.578692980E-03

13 11 1 0.00000000

14 11 1 0.384603227

15 11 1 0.00000000

1 12 1 158000.000

2 12 1 28660.6971

3 12 1 231774710.

LOCATION VALUE

4 12 1 0.408109845

5 12 1 0.591890155

6 12 1 2.371651126E-02

7 12 1 144819233.

8 12 1 88410322.1

9 12 1 3.17723776

10 12 1 0.00000000

11 12 1 0.386621258

12 12 1 7.508003860E-04

13 12 1 0.00000000

14 12 1 0.408416484

15 12 1 0.00000000

1 13 1 160900.000

2 13 1 28813.1914

3 13 1 232688787.

4 13 1 0.420967932

5 13 1 0.579032068

6 13 1 2.371651126E-02

7 13 1 144819233.

8 13 1 88410322.1

9 13 1 3.17723776

LOCATION VALUE

10 13 1 0.00000000

11 13 1 0.399049309

12 13 1 1.137521583E-03

13 13 1 0.00000000

14 13 1 0.420489616

15 13 1 0.00000000

1 14 1 160300.000

2 14 1 28945.6520

3 14 1 233605469.

4 14 1 0.431605944

5 14 1 0.568394056

6 14 1 2.361472366E-02

7 14 1 144819233.

8 14 1 88410322.1

9 14 1 3.17723776

10 14 1 0.00000000

11 14 1 0.408009467

12 14 1 1.403129080E-03

13 14 1 0.00000000

14 14 1 0.431001194

15 14 1 0.00000000

LOCATION VALUE

1 15 1 172900.000

2 15 1 29514.7233

3 15 1 236922326.

4 15 1 0.476719371

5 15 1 0.523280629

6 15 1 2.392008646E-02

7 15 1 144819233.

8 15 1 88410322.1

9 15 1 3.17723776

10 15 1 0.00000000

11 15 1 0.455985370

12 15 1 9.649140024E-04

13 15 1 0.00000000

14 15 1 0.476259821

15 15 1 0.00000000

1 16 1 188700.000

2 16 1 30422.2725

3 16 1 242329496.

4 16 1 0.547389860

5 16 1 0.452610140

6 16 1 2.422544927E-02

LOCATION VALUE

7 16 1 144819233.

8 16 1 88410322.1

9 16 1 3.17723776

10 16 1 0.00000000

11 16 1 0.529835846

12 16 1 7.022203644E-04

13 16 1 0.00000000

14 16 1 0.547774518

15 16 1 0.00000000

1 17 1 193200.000

2 17 1 31020.6223

3 17 1 246100844.

4 17 1 0.593441068

5 17 1 0.406558932

6 17 1 2.412366167E-02

7 17 1 144819233.

8 17 1 88410322.1

9 17 1 3.17723776

10 17 1 0.00000000

11 17 1 0.573961267

12 17 1 3.562202376E-04

LOCATION VALUE

13 17 1 0.00000000

14 17 1 0.593652539

15 17 1 0.00000000

1 18 1 199600.000

2 18 1 31590.3414

3 18 1 249582816.

4 18 1 0.635697083

5 18 1 0.364302917

6 18 1 2.412366167E-02

7 18 1 144819233.

8 18 1 88410322.1

9 18 1 3.17723776

10 18 1 0.00000000

11 18 1 0.616057144

12 18 1 2.216320566E-04

13 18 1 0.00000000

14 18 1 0.635838005

15 18 1 0.00000000

1 19 1 205000.000

2 19 1 31706.2253

3 19 1 250120083.

LOCATION VALUE

4 19 1 0.644859115

5 19 1 0.355140885

6 19 1 2.422544927E-02

7 19 1 144819233.

8 19 1 88410322.1

9 19 1 3.17723776

10 19 1 0.00000000

11 19 1 0.626765793

12 19 1 1.018541467E-03

13 19 1 0.00000000

14 19 1 0.644202968

15 19 1 0.00000000

1 20 1 214900.000

2 20 1 32325.1216

3 20 1 253750006.

4 20 1 0.688122533

5 20 1 0.311877467

6 20 1 2.432723687E-02

7 20 1 144819233.

8 20 1 88410322.1

9 20 1 3.17723776

LOCATION VALUE

10 20 1 0.00000000

11 20 1 0.671716766

12 20 1 9.749108018E-04

13 20 1 0.00000000

14 20 1 0.687452328

15 20 1 0.00000000

1 21 1 225700.000

2 21 1 33214.5775

3 21 1 259063147.


4 21 1 0.744245953

5 21 1 0.255754047

6 21 1 2.442902447E-02

7 21 1 144819233.

8 21 1 88410322.1

9 21 1 3.17723776

10 21 1 0.00000000

11 21 1 0.729909311

12 21 1 7.805628247E-04

13 21 1 0.00000000

14 21 1 0.744827338

15 21 1 0.00000000

LOCATION VALUE

1 22 1 231100.000

2 22 1 33259.0624

3 22 1 259125385.

4 22 1 0.747857307

5 22 1 0.252142693

6 22 1 2.453081208E-02

7 22 1 144819233.

8 22 1 88410322.1

9 22 1 3.17723776

10 22 1 0.00000000

11 22 1 0.735035850

12 22 1 4.317299249E-04

13 22 1 0.00000000

14 22 1 0.747534574

15 22 1 0.00000000

1 23 1 244800.000

2 23 1 34048.3663

3 23 1 263621962.

4 23 1 0.792213520

5 23 1 0.207786480

6 23 1 2.473438728E-02

LOCATION VALUE

7 23 1 144819233.

8 23 1 88410322.1

9 23 1 3.17723776

10 23 1 0.00000000

11 23 1 0.782867915

12 23 1 7.669088623E-04

13 23 1 0.00000000

14 23 1 0.792821542

15 23 1 0.00000000

1 24 1 243900.000

2 24 1 34344.4893

3 24 1 265551831.

4 24 1 0.808594212

5 24 1 0.191405788

6 24 1 2.453081208E-02

7 24 1 144819233.

8 24 1 88410322.1

9 24 1 3.17723776

10 24 1 0.00000000

11 24 1 0.796855680

12 24 1 1.993769852E-04

LOCATION VALUE

13 24 1 0.00000000

14 24 1 0.808433029

15 24 1 0.00000000

1 25 1 273300.000

2 25 1 35876.2169

3 25 1 274019033.

4 25 1 0.878128253

5 25 1 0.121871747

6 25 1 2.473438728E-02

7 25 1 144819233.

8 25 1 88410322.1

9 25 1 3.17723776

10 25 1 0.00000000

11 25 1 0.870729999

12 25 1 3.252680673E-04

13 25 1 0.00000000

14 25 1 0.877842719

15 25 1 0.00000000

1 26 1 271800.000

2 26 1 35899.9721

3 26 1 274232123.

LOCATION VALUE

4 26 1 0.877433088

5 26 1 0.122566912

6 26 1 2.483617488E-02

7 26 1 144819233.

8 26 1 88410322.1

9 26 1 3.17723776

10 26 1 0.00000000

11 26 1 0.871100187

12 26 1 5.625605024E-04

13 26 1 0.00000000

14 26 1 0.876939756

15 26 1 0.00000000

1 27 1 455100.000

2 27 1 44979.8734

3 27 1 321380754.

4 27 1 0.997791459

5 27 1 2.208540637E-03

6 27 1 2.595583850E-02

7 27 1 144819233.

8 27 1 88410322.1

9 27 1 3.17723776

LOCATION VALUE

10 27 1 0.00000000

11 27 1 0.998045717

12 27 1 1.835022588E-05

13 27 1 0.00000000

14 27 1 0.997773150

15 27 1 0.00000000


Como se puede ver, este formato de salida es bastante incómodo para trabajar. Es debido a

esto que se ha desarrollado un programa que permite recoger esta información en un

formato de uso mucho más sencillo. Estas tablas de resultados de ANSYS están recogidas

en el anexo E.

La principal información que queremos extraer de estos ficheros es el área de referencia que

ha minimizado el error en la probabilidad de fallo, ya que se empleará para reajustar las

tensiones, y el error obtenido, ya que es el que queremos minimizar. Las Tablas 14 y 15

recogen las 4 iteraciones realizadas. En la primera columna de cada iteración se indica la

tensión de rotura asignada para cada probeta. En el caso de la iteración 1 esta es la tensión

dada por la norma. En el caso de las siguientes iteraciones, esta tensión se ha calculado en

función de la tensión de la iteración previa y de las áreas de referencia según la siguiente

fórmula:

[Ecuación 15]

Es decir, el proceso iterativo parte de unas tensiones dadas por la norma. Tras obtener los

parámetros de Weibull de estas tensiones por máxima verosimilitud siguiendo un proceso

semejante al descrito en el capítulo se introducen en el MEF de ANSYS que nos da como

salida un área de referencia y un error en la probabilidad de fallo frente a la asignada. Con

este área de referencia se modifican las tensiones, se vuelven a ajustar por máxima

verosimilitud y se vuelve a correr el modelo de elementos finitos con estos nuevos

parámetros. Este proceso se repetirá mientras se aprecie una disminución del error. Las

fichas de ajustes de las tensiones se encuentran en el anexo C.

Las Tablas 14 y 15 también resumen los parámetros de Weibull obtenidos por máxima

verosimilitud para las tensiones de cada iteración.


It1

It2

lambda 144819232.73

lambda 148330374.46

delta 88410322.09

delta 83488152.25

beta 3.177237763

beta 2.963121227

Tensiones Aref Error


163387240.1957 0.027889803 41.294% 163930752.6787 0.027889803 35.555%

174661008.2920 0.025955839 0.171% 174847582.6093 0.027075502 0.045%

199359450.7232 0.023411148 0.100% 197946746.6396 0.025243325 0.112%

203261752.6213 0.023818299 0.043% 202057743.8493 0.025650476 0.086%

205322580.8104 0.023614724 0.167% 203916241.1665 0.025345113 0.127%

206310857.7344 0.023614724 0.009% 204881546.5846 0.025345113 0.039%

209525106.3997 0.023309361 0.108% 207762710.1533 0.025039750 0.153%

210998875.4945 0.023716511 0.112% 209548161.4634 0.025345113 0.036%

214590951.0756 0.023614724 0.012% 212969177.4606 0.025243325 0.035%

214693586.9248 0.024021874 0.145% 213437622.5089 0.025650476 0.092%

215003961.1375 0.023512936 0.158% 213279448.1093 0.025141538 0.086%

216642186.1467 0.023716511 0.075% 215067765.9485 0.025243325 0.103%

217655041.0629 0.023716511 0.114% 216058418.2239 0.025345113 0.064%

217966791.2693 0.023614724 0.140% 216266549.6348 0.025243325 0.100%

221991638.4288 0.023920086 0.096% 220503277.0941 0.025446900 0.016%

227724933.2538 0.024225449 0.070% 226451265.6487 0.025548688 0.124%

230928860.7563 0.024123662 0.036% 229493685.2144 0.025446900 0.054%

233577253.9512 0.024123662 0.022% 232097938.0591 0.025345113 0.020%

235229006.8346 0.024225449 0.102% 233840055.2941 0.025548688 0.113%

238780474.6162 0.024327237 0.097% 237459135.0954 0.025548688 0.056%

242411765.6184 0.024429024 0.078% 241165891.6328 0.025446900 0.054%

244757054.2494 0.024530812 0.043% 243610442.3569 0.025548688 0.059%

248473538.4858 0.024734387 0.077% 247551161.5619 0.025650476 0.063%

248911605.1272 0.024530812 0.020% 247717327.0222 0.025446900 0.036%

256875518.1876 0.024734387 0.033% 255878375.5111 0.025446900 0.010%

257341476.7427 0.024836175 0.056% 256484428.8202 0.025548688 0.015%

299565359.0583 0.025955839 0.002% 300532850.1787 0.025548688 0.000%

error medio 1.607%

error medio 1.380%

desviación 494%

desviación 495%

Tabla 14: Resumen iteraciones Aref CL-T (1).


It3

It4

lambda 146060939.61

lambda 148060483.47

delta 87159942.46

delta 83748146.57

beta 3.129565224

beta 2.97800053



163930752.6787 0.027889803 32.121% 163930752.6787 0.027889803 36.980%

175228233.2054 0.025243325 0.048% 174582465.2099 0.027177290 0.041%

199224623.9418 0.023309361 0.034% 197887697.9991 0.025243325 0.170%

203418415.3301 0.023716511 0.069% 201999546.1337 0.025650476 0.147%

205258765.9191 0.023512936 0.046% 203856305.0770 0.025243325 0.157%

206247385.6524 0.023512936 0.137% 204821503.3344 0.025345113 0.018%

209216503.1351 0.023309361 0.028% 207787809.0732 0.024937962 0.129%

210935769.7951 0.023614724 0.101% 209486298.6174 0.025345113 0.010%

214440507.4359 0.023614724 0.100% 212998748.0127 0.025243325 0.073%

214895032.7580 0.023920086 0.100% 213375853.9124 0.025650476 0.129%

214764101.1461 0.023512936 0.072% 213309517.9930 0.025141538 0.049%

216487859.7058 0.023716511 0.140% 215097747.3421 0.025243325 0.073%

217593592.9241 0.023716511 0.058% 216091548.4424 0.025345113 0.091%

217812935.4944 0.023614724 0.089% 216300069.5977 0.025243325 0.125%

222026225.2564 0.023920086 0.070% 220539047.0383 0.025446900 0.002%

227866042.0406 0.024225449 0.078% 226487632.2329 0.025548688 0.129%

230969653.9826 0.024123662 0.041% 229533120.1933 0.025446900 0.039%

233505976.1632 0.024123662 0.029% 232136697.7465 0.025345113 0.045%

235388643.3335 0.024225449 0.095% 233883478.2612 0.025548688 0.085%

238944952.7225 0.024327237 0.086% 237502291.8879 0.025548688 0.020%

242453708.0756 0.024327237 0.096% 241077674.2737 0.025446900 0.008%

244926758.3511 0.024530812 0.021% 243650704.5827 0.025650476 0.080%

248776444.2136 0.024632600 0.062% 247456037.0224 0.025650476 0.011%

248954724.5315 0.024530812 0.014% 247756320.3474 0.025446900 0.018%

256914104.4097 0.024734387 0.014% 255912709.5388 0.025446900 0.046%

257521765.2338 0.024836175 0.009% 256518931.4333 0.025650476 0.046%

299722891.8647 0.025752263 0.003% 300113071.7398 0.025650476 0.001%

error medio 1.250%

error medio 1.434%

desviación 493%

desviación 495%

Tabla 15: Resumen iteraciones Aref CL-T (2).


Como se puede apreciar, hasta la It3 las desviaciones descienden, pero empiezan a

aumentar a partir de la It4, por lo que decidimos tomar los parámetros de la It3 como los

definitivos para nuestro modelo.

En resumen, los parámetros definitivos para la distribución de tensiones para las dos

variables estudiadas son los siguientes:

CL-T-Parámetros finales

Lambda Desv. Tip. Beta Desv. Tip. Delta Desv. Tip.

Fmax 146.06 3.44% 3.13 12.70% 87.16 2.02%

Fanillo 146.74 3.44% 3.11 12.56% 86.41 1.92%

Tabla 16: Parámetros definitivos de la distribución de tensiones W3P CL-T.

Las probabilidades de fallo para la tensión de rotura de cada probeta en función de los

parámetros empleados vienen resumidas en la siguiente tabla:

Tensiones de rotura Pf observada Pf parametros tension

según Fanillo Pf parámetros tensión

según Fmax

163.3872402 0.02555 0.00608 0.00648

174.6610083 0.06204 0.02964 0.03040

199.3594507 0.09854 0.19278 0.19334

203.2617526 0.13504 0.23463 0.23502

205.3225808 0.17153 0.25832 0.25861

206.3108577 0.20803 0.27004 0.27028

209.5251064 0.24453 0.30965 0.30973

210.9988755 0.28102 0.32851 0.32850

214.5909511 0.31752 0.37598 0.37578

214.6935869 0.35401 0.37736 0.37716

215.0039611 0.39051 0.38156 0.38134

216.6421861 0.42701 0.40387 0.40357

217.6550411 0.46350 0.41781 0.41745

217.9667913 0.50000 0.42211 0.42174

221.9916384 0.53650 0.47824 0.47768

227.7249333 0.57299 0.55842 0.55763

230.9288608 0.60949 0.60236 0.60148

233.577254 0.64599 0.63776 0.63683

235.2290068 0.68248 0.65930 0.65834

238.7804746 0.71898 0.70385 0.70286

242.4117656 0.75547 0.74652 0.74553

244.7570542 0.79197 0.77231 0.77134

248.4735385 0.82847 0.81009 0.80917

248.9116051 0.86496 0.81429 0.81337

256.8755182 0.90146 0.88061 0.87987

257.3414767 0.93796 0.88391 0.88318

299.5653591 0.97445 0.99703 0.99700

Desviación media 2.94% 2.94%

Tabla 17: Pf para cada tensión de rotura en función de los parámetros finales empleados W3P CL-T.


En la siguiente gráfica se puede ver como las probabilidades de fallo obtenida tras los dos

procesos iterativos son muy similares, lo que muestra una gran robustez del proceso

iterativo.

Figura 34: Pf vs tensiones de rotura para cada conjunto de parámetros obtenido W3P CL-T.

4. MODELO SIMPLIFICADO DE 2 PARÁMETROS. Como ya se ha explicado con anterioridad, decidimos realizar el modelo ajustando las

tensiones a una distribución de Weibull de 3 parámetros. Sin embargo, puesto que en gran

parte de los análisis realizados en numerosos estudios de rotura de materiales frágiles se

han ajustado a una distribución de Weibull biparamétrica, se ha decidido desarrollar el

modelo también ajustándolo con solo dos parámetros.

4.1 Procedimiento.

El procedimiento a seguir va a ser semejante al seguido para el caso de 3 parámetros. En

primer lugar se van a ajustar las probabilidades de fallo en función de las distintas variables

medidas en los ensayos para asignar una probabilidad de fallo experimental a cada probeta.

A continuación, por un proceso iterativo, se irán ajustando las áreas de referencia y las

tensiones hasta conseguir que la probabilidad de fallo dada por el modelo se ajuste lo

suficiente a la probabilidad asignada.

4.2 Asignación de probabilidad de fallo experimental.

Al igual que sucedió en el caso de W3P, se ha realizado todo el proceso de ajuste para

todas las variables pero, con el fin de acortar la extensión del documento en este apartado

solo se mostrará la Fmax, ya que fue la finalmente seleccionada. El resto de fichas podrán

encontrarse en el Anexo B.

El análisis estadístico de las variables da los mismos resultados que en el apartado 2.2.1, ya

que los valores medidos son los mismos.


Después de haber analizado la distribución de las cargas del pistón en el momento de la

rotura, se procede a hacer una primera estimación de los parámetros de Weibull

ajustándolos por mínimos cuadrados.

Como ya se ha dicho, las variables se van a ajustar a una distribución de Weibull. Esta

distribución tiene las siguientes funciones de densidad y probabilidad:

Ecuación 16]

[Ecuación 17]

Donde es el parámetro de forma de la distribución y es el parámetro de escala. Las

ecuaciones son semejantes a las de W3P pero sustituyendo lambda por un valor nulo.

Este ajuste consiste en minimizar el error cuadrático medio entre la probabilidad de fallo

observada [Ecuación 1] y la probabilidad de fallo de una distribución de Weibull 2

parámetros [Ecuación 17]. Esto se ha llevado a cabo maximizando el valor el coeficiente de

correlación de Pearson entre estas dos variables, haciendo uso de la función solver de

Excel. Los parámetros introducidos en solver para ello se muestran en la Figura 35, donde la

celda objetivo sería el coeficiente de correlación, las celdas a modificar son las

correspondientes a los parámetros y las restricciones limitan los parámetros a valores

positivos.

Figura 35: Input de solver: mínimos cuadrados W2P.

A continuación se presentan resumidos los parámetros ajustados por este método para las

variables de ensayo analizadas:


Sigma norma


Esquina Posicion Instron

Uz_centro_MEF

beta 10.6912937 8.51501796 11.5946949 24.4470738 10.4286411 20.6430417 16.6084403

delta 228.91968 30.6348885 25.8915341 6.30568969 3.24018769 7.86861867 5.4753305

Tabla 18: Resumen de parámetros de Weibull por mínimos cuadrados CL-T.

En la se han representado las cargas de rotura frente a las probabilidades de fallo según la

y según el ajuste de Weibull que hemos realizado. Se puede ver que la aproximación es

bastante precisa, aunque se aprecia una desviación mayor que en el caso de tres

parámetros.

Figura 36: Probabilidad de fallo frente a carga de rotura W2P CL-T.

Para el ajuste por máxima verosimilitud se han empleado las mismas derivadas

desarrolladas en el caso de tres parámetros. La diferencia a la hora de calcular los

parámetros radicará en que el valor de lambda se igualará a 0 para que no intervenga en la

formulación y obtener los valores de 2 parámetros.

Habiendo obtenido la matriz de Fisher de la distribución de Weibull, obtenemos la

estimación final de los parámetros de Weibull maximizando la función de máxima

verosimilitud con solver. Los valores de partida tomados para empezar a iterar fueron los

obtenidos con mínimos cuadrados.

El input para solver sería el siguiente:


Figura 37: Input de solver: máxima verosimilitud W2P.

Siendo la celda objetivo en la que está formulada la función de verosimilitud, las celdas

variables los parámetros, y las restricciones limitan estos parámetros a valores positivos.

En la siguiente gráfica se representa la probabilidad de fallo observada frente a la

probabilidad según la distribución de Weibull, en amarillo con los parámetros obtenidos por

mínimos cuadrados, y en gris con los parámetros medios de Weibull por máxima

verosimilitud.

Figura 38: Probabilidad de fallo: máxima verosimilitud CL-T.

La Tabla 20 recoge la media y la desviación típica de los estimadores de los parámetros de Weibull obtenidos por este método.


Sigma norma


Esquina Posición Instron

Uz_centro_MEF

beta

media 8.32115761 6.09772394 8.81831027 20.3574386 9.04823299 14.5999494 10.5888203

desviación típica

13.22% 12.79% 13.21% 13.67% 14.03% 12.93% 12.67%

delta

media 236.187285 32.1764715 26.6806117 6.38972267 3.31857128 8.03422339 5.63470832

desviación típica

1.63% 2.10% 1.55% 0.72% 1.50% 0.98% 1.32%

Tabla 19: Resumen de parámetros de Weibull por máxima verosimilitud CL-T.

Al igual que en el caso de 3 parámetros, contamos con el ajuste por máxima verosimilitud de

los parámetros de Weibull para las 7 variables medidas en el ensayo. Sin embargo, para

asignar una probabilidad de fallo a cada probeta es necesario seleccionar una de ellas.

Para ello empleamos la misma hoja Excel previamente explicada, cuyo objetivo es generar

una matriz de valores aleatorios para los parámetros de Weibull dentro de sus intervalos de

confianza ya calculados, para cada una de las variables. De esta manera, se calcula la

probabilidad de fallo para cada una de las situaciones, y posteriormente se calcula la media

y la desviación de las probabilidades. La única diferencia será que en este caso el

parámetro lambda tomará un valor nulo.

Cuanto mayor sea el número de casos generados más preciso será el intervalo obtenido

para la probabilidad de fallo. Por este motivo se han generado un total de 10000 casos para

cada variable.

Las Tablas 21 y 22 muestran los resultados obtenidos para cada probeta y cada variable de ensayo: la probabilidad de fallo media y su desviación típica, la probabilidad de supervivencia media, y el porcentaje de desviación calculado como el cociente entre la desviación y la media de la probabilidad de fallo. Debajo de las desviaciones se encuentra la media de las desviaciones para cada variable. Como puede observarse las menores desviaciones se dan en la fuerza en el pistón y en la fuerza en el anillo, siendo ligeramente menores en esta última. Sin embargo, como en el caso de modelos con pequeñas superficies de solicitación no hay cámara de homogeneización, y la fuerza en el anillo sería equivalente a la fuerza en el pistón, se ha continuado ajustando el modelo MEF a las probabilidades obtenidas por estas dos variables en paralelo.


CL-T



1 0.046 0.002 0.954 4.73% 0.061 0.003 0.939 5.62% 0.044 0.002 0.956 4.56% 0.038 0.001 0.962 3.07%

2 0.078 0.003 0.922 3.81% 0.098 0.004 0.902 4.51% 0.081 0.003 0.919 3.57% 0.070 0.002 0.930 2.76%

3 0.217 0.004 0.783 1.97% 0.234 0.006 0.766 2.43% 0.222 0.004 0.778 1.87% 0.204 0.004 0.796 2.20%

4 0.249 0.004 0.751 1.70% 0.254 0.006 0.746 2.23% 0.230 0.004 0.770 1.80% 0.225 0.005 0.775 2.14%

5 0.268 0.004 0.732 1.57% 0.286 0.006 0.714 1.94% 0.274 0.004 0.726 1.50% 0.258 0.005 0.742 2.06%

6 0.277 0.004 0.723 1.50% 0.288 0.006 0.712 1.92% 0.275 0.004 0.725 1.50% 0.261 0.005 0.739 2.06%

7 0.309 0.004 0.691 1.30% 0.337 0.005 0.663 1.54% 0.332 0.004 0.668 1.17% 0.315 0.006 0.685 1.94%

8 0.324 0.004 0.676 1.21% 0.335 0.005 0.665 1.55% 0.338 0.004 0.662 1.14% 0.313 0.006 0.687 1.94%

9 0.363 0.004 0.637 1.00% 0.367 0.005 0.633 1.32% 0.356 0.004 0.644 1.05% 0.351 0.007 0.649 1.86%

10 0.364 0.004 0.636 0.99% 0.365 0.005 0.635 1.33% 0.358 0.004 0.642 1.04% 0.349 0.007 0.651 1.87%

11 0.367 0.004 0.633 0.97% 0.371 0.005 0.629 1.30% 0.375 0.004 0.625 0.97% 0.355 0.007 0.645 1.86%

12 0.386 0.003 0.614 0.88% 0.390 0.005 0.610 1.18% 0.391 0.004 0.609 0.90% 0.376 0.007 0.624 1.81%

13 0.397 0.003 0.603 0.83% 0.400 0.004 0.600 1.12% 0.399 0.003 0.601 0.86% 0.387 0.007 0.613 1.79%

14 0.401 0.003 0.599 0.81% 0.408 0.004 0.592 1.07% 0.416 0.003 0.584 0.80% 0.397 0.007 0.603 1.77%

15 0.450 0.003 0.550 0.60% 0.446 0.004 0.554 0.86% 0.444 0.003 0.556 0.69% 0.441 0.007 0.559 1.69%

16 0.522 0.002 0.478 0.33% 0.509 0.003 0.491 0.56% 0.503 0.003 0.497 0.51% 0.514 0.008 0.486 1.55%

17 0.564 0.001 0.436 0.19% 0.551 0.002 0.449 0.40% 0.562 0.002 0.438 0.38% 0.564 0.008 0.436 1.45%

18 0.598 0.001 0.402 0.10% 0.591 0.002 0.409 0.28% 0.611 0.002 0.389 0.31% 0.611 0.008 0.389 1.36%

19 0.620 0.000 0.380 0.05% 0.599 0.002 0.401 0.27% 0.609 0.002 0.391 0.31% 0.621 0.008 0.379 1.34%

20 0.666 0.001 0.334 0.08% 0.642 0.001 0.358 0.23% 0.653 0.002 0.347 0.29% 0.671 0.008 0.329 1.23%

21 0.711 0.001 0.289 0.17% 0.703 0.002 0.297 0.29% 0.726 0.002 0.274 0.31% 0.739 0.008 0.261 1.08%

22 0.740 0.002 0.260 0.22% 0.706 0.002 0.294 0.29% 0.715 0.002 0.285 0.30% 0.742 0.008 0.258 1.07%


CL-T



23 0.782 0.002 0.218 0.28% 0.756 0.003 0.244 0.37% 0.764 0.003 0.236 0.33% 0.796 0.007 0.204 0.93%

24 0.787 0.002 0.213 0.29% 0.774 0.003 0.226 0.40% 0.798 0.003 0.202 0.35% 0.816 0.007 0.184 0.87%

25 0.866 0.003 0.134 0.34% 0.858 0.004 0.142 0.47% 0.869 0.003 0.131 0.36% 0.898 0.005 0.102 0.60%

26 0.870 0.003 0.130 0.34% 0.857 0.004 0.143 0.47% 0.874 0.003 0.126 0.36% 0.897 0.005 0.103 0.61%

27 0.999 0.000 0.001 0.02% 1.000 0.000 0.000 0.02% 0.999 0.000 0.001 0.02% 0.999 0.000 0.001 0.02%

0.003

0.97%

0.004

1.26%

0.003

1.01%

0.006

1.59%

Tabla 20: Tabla de resultados: Pf asignada a cada probeta y sus desviaciones W2P CL-T.


CL-T



1 0.022 0.002 0.978 7.06% 0.063 0.002 0.937 2.89% 0.068 0.003 0.932 3.87%

2 0.050 0.003 0.950 5.99% 0.101 0.003 0.899 2.51% 0.110 0.004 0.890 3.35%

3 0.189 0.008 0.811 4.26% 0.237 0.004 0.763 1.84% 0.252 0.006 0.748 2.47%

4 0.212 0.009 0.788 4.11% 0.257 0.005 0.743 1.78% 0.272 0.007 0.728 2.39%

5 0.249 0.010 0.751 3.89% 0.287 0.005 0.713 1.69% 0.302 0.007 0.698 2.28%

6 0.252 0.010 0.748 3.88% 0.289 0.005 0.711 1.69% 0.305 0.007 0.695 2.27%

7 0.310 0.011 0.690 3.59% 0.339 0.005 0.661 1.56% 0.351 0.007 0.649 2.13%

8 0.308 0.011 0.692 3.60% 0.337 0.005 0.663 1.57% 0.349 0.007 0.651 2.13%

9 0.350 0.012 0.650 3.42% 0.369 0.006 0.631 1.50% 0.379 0.008 0.621 2.04%

10 0.348 0.012 0.652 3.43% 0.367 0.006 0.633 1.50% 0.377 0.008 0.623 2.05%

11 0.354 0.012 0.646 3.40% 0.372 0.006 0.628 1.49% 0.382 0.008 0.618 2.03%

12 0.377 0.012 0.623 3.31% 0.390 0.006 0.610 1.45% 0.400 0.008 0.600 1.98%

13 0.389 0.013 0.611 3.26% 0.400 0.006 0.600 1.43% 0.409 0.008 0.591 1.96%

14 0.400 0.013 0.600 3.22% 0.408 0.006 0.592 1.42% 0.417 0.008 0.583 1.94%

15 0.449 0.014 0.551 3.03% 0.445 0.006 0.555 1.35% 0.451 0.008 0.549 1.85%

16 0.527 0.014 0.473 2.75% 0.508 0.006 0.492 1.24% 0.508 0.009 0.492 1.72%

17 0.579 0.015 0.421 2.56% 0.549 0.006 0.451 1.17% 0.546 0.009 0.454 1.63%

18 0.629 0.015 0.371 2.38% 0.589 0.006 0.411 1.10% 0.582 0.009 0.418 1.55%

19 0.639 0.015 0.361 2.34% 0.597 0.006 0.403 1.09% 0.589 0.009 0.411 1.53%

20 0.690 0.015 0.310 2.14% 0.640 0.007 0.360 1.02% 0.628 0.009 0.372 1.44%

21 0.758 0.014 0.242 1.86% 0.700 0.006 0.300 0.92% 0.683 0.009 0.317 1.31%

22 0.761 0.014 0.239 1.84% 0.703 0.006 0.297 0.91% 0.686 0.009 0.314 1.31%

23 0.813 0.013 0.187 1.59% 0.753 0.006 0.247 0.82% 0.733 0.009 0.267 1.19%


CL-T



24 0.831 0.012 0.169 1.50% 0.771 0.006 0.229 0.79% 0.750 0.009 0.250 1.15%

25 0.909 0.009 0.091 1.02% 0.855 0.005 0.145 0.61% 0.833 0.008 0.167 0.92%

26 0.908 0.009 0.092 1.03% 0.853 0.005 0.147 0.61% 0.832 0.008 0.168 0.92%

27 0.997 0.001 0.003 0.08% 1.000 0.000 0.000 0.01% 1.000 0.000 0.000 0.01%

0.011

2.98%

0.005

1.33%

0.007

1.83%

Tabla 21: Tabla de resultados: Pf asignada a cada probeta y sus desviaciones W2P CL-T (2).


La siguiente gráfica representa las probabilidades de fallo en función de las probetas y de la variable

empleada para su ajuste:

Figura 39: Pf asignada en función de la variable empleada W3P CL-T

4.3 Estimación del área de referencia y de los parámetros de Weibull.

Llegados a este punto tenemos una campaña de ensayos en la cual, para cada probeta

tenemos:

Una tensión de rotura característica inicial, dada por la norma (Tabla 5).

Un área de referencia (Aref) inicial, considerada inicialmente igual para todas las

probetas, calculada como el área encerrada por la línea media del anillo de carga.

[Ecuación 8]

Una probabilidad de fallo Pf,i asignada a cada probeta. Resumiendo las Tablas 21 y 22, tendríamos las siguientes :


CL-T

Sigma Nor

(MPa) Fmax Fanillo_carga

U-Anillo [mm]

U-Esquina [mm]

Posicion Instron(mm)

Uz_centro_MEF (mm)


1 0.046 0.061 0.044 0.038 0.022 0.063 0.068

2 0.078 0.098 0.081 0.070 0.050 0.101 0.110

3 0.217 0.234 0.222 0.204 0.189 0.237 0.252

4 0.249 0.254 0.230 0.225 0.212 0.257 0.272

5 0.268 0.286 0.274 0.258 0.249 0.287 0.302

6 0.277 0.288 0.275 0.261 0.252 0.289 0.305

7 0.309 0.337 0.332 0.315 0.310 0.339 0.351

8 0.324 0.335 0.338 0.313 0.308 0.337 0.349

9 0.363 0.367 0.356 0.351 0.350 0.369 0.379

10 0.364 0.365 0.358 0.349 0.348 0.367 0.377

11 0.367 0.371 0.375 0.355 0.354 0.372 0.382

12 0.386 0.390 0.391 0.376 0.377 0.390 0.400

13 0.397 0.400 0.399 0.387 0.389 0.400 0.409

14 0.401 0.408 0.416 0.397 0.400 0.408 0.417

15 0.450 0.446 0.444 0.441 0.449 0.445 0.451

16 0.522 0.509 0.503 0.514 0.527 0.508 0.508

17 0.564 0.551 0.562 0.564 0.579 0.549 0.546

18 0.598 0.591 0.611 0.611 0.629 0.589 0.582

19 0.620 0.599 0.609 0.621 0.639 0.597 0.589

20 0.666 0.642 0.653 0.671 0.690 0.640 0.628

21 0.711 0.703 0.726 0.739 0.758 0.700 0.683

22 0.740 0.706 0.715 0.742 0.761 0.703 0.686

23 0.782 0.756 0.764 0.796 0.813 0.753 0.733

24 0.787 0.774 0.798 0.816 0.831 0.771 0.750

25 0.866 0.858 0.869 0.898 0.909 0.855 0.833

26 0.870 0.857 0.874 0.897 0.908 0.853 0.832

27 0.999 1.000 0.999 0.999 0.997 1.000 1.000

Tabla 22: Probabilidades de fallo asignadas CL-T.


Como ya se explicó, se han realizado cálculos empleando las Pf según la Fmax y la

Fanillo_carga, por ser las que menores desviaciones presentan. Sin embargo en este

apartado se mostrará el proceso siguiendo las de la Fmax. Más información sobre el resto

del trabajo realizado se podrá encontrar en el anexo C.

Las hipótesis tomadas de cara a estimar el área de referencia y ajustar las tensiones ya

fueron explicadas en el apartado 3.1.

Partiendo de estas hipótesis el proceso a seguir sería analizar, en primer lugar, las probetas según un modelo de elementos finitos actualizado ya detallado. Este modelo nos da como resultados las tensiones, deformaciones y demás resultados de la simulación. Posteriormente, se procesa esta información, se obtienen las probabilidades de fallo, y se compara con aquellas asignadas a cada probeta según los ensayos, modificando el Aref dentro de unos rangos para minimizar el error obtenido. Tras esto, se inicia un proceso iterativo en el que, con el nuevo Aref asignado a cada probeta, se reajustan las tensiones teóricas según la norma, volviendo a obtener los parámetros de la distribución de Weibull, y volviendo a correr el modelo de elementos finitos, hasta que el error entre la Pf del MEF y la asignada según los ensayos esté dentro de los niveles requeridos.

El modelo empleado es el mismo usado en el caso de tres parámetros, con la única

diferencia de que al parámetro lambda se le asignó un valor de 0. Por lo demás, todo el

proceso iterativo para estimar las áreas de referencia y las tensiones de nuestro modelo

simplificado, es semejante al ya descrito en el apartado 3.3.

La Tabla 24 también resumen los parámetros de Weibull obtenidos por máxima verosimilitud

para las tensiones de cada iteración.


It1

It2

It3

lambda 0.00

lambda 0.00

lambda 0.00

delta 236187285.415837

delta 235730147.02756

delta 236187971.444489

beta 8.32115761001762

beta 8.18290535200136

beta 8.30285052854199




163.3872 0.02290221 7.130%

161.3 0.022902 0.999%

161.331512 0.02290221 6.568%

174.6610 0.02290221 3.380%

172.5 0.023411 0.124%

172.927285 0.02290221 2.911%

199.3595 0.0238183 0.015%

197.8 0.024836 0.164%

198.795181 0.02392009 0.099%

203.2618 0.02422545 0.094%

202.1 0.025142 0.171%

202.982365 0.02432724 0.031%

205.3226 0.02422545 0.002%

204.1 0.025142 0.117%

205.04036 0.02432724 0.144%

206.3109 0.02422545 0.174%

205.1 0.025142 0.038%

206.027279 0.02432724 0.025%

209.5251 0.02422545 0.015%

208.3 0.025040 0.071%

209.133403 0.02422545 0.149%

210.9989 0.02453081 0.082%

210.1 0.025345 0.113%

210.911252 0.02453081 0.081%

214.5910 0.02453081 0.049%

213.6 0.025243 0.091%

214.396375 0.02453081 0.092%

214.6936 0.02483617 0.023%

214.1 0.025549 0.136%

214.808945 0.02483617 0.117%

215.0040 0.02453081 0.141%

214.1 0.025243 0.019%

214.809011 0.02453081 0.003%

216.6422 0.0246326 0.004%

215.8 0.025345 0.043%

216.550399 0.0246326 0.129%

217.6550 0.02473439 0.105%

216.9 0.025447 0.102%

217.667591 0.02473439 0.012%

217.9668 0.0246326 0.003%

217.1 0.025345 0.035%

217.874443 0.0246326 0.116%

221.9916 0.02493796 0.015%

221.5 0.025549 0.108%

222.109073 0.02493796 0.074%

227.7249 0.02524332 0.125%

227.5 0.025752 0.060%

228.060858 0.02524332 0.069%

230.9289 0.02514154 0.041%

230.6 0.025650 0.002%

231.159505 0.02514154 0.004%

233.5773 0.02514154 0.037%

233.2 0.025650 0.111%

233.810543 0.02514154 0.016%

235.2290 0.02524332 0.064%

235.0 0.025752 0.031%

235.576002 0.02524332 0.081%

238.7805 0.02534511 0.017%

238.7 0.025752 0.043%

239.130754 0.02534511 0.018%

242.4118 0.02534511 0.036%

242.3 0.025650 0.050%

242.649905 0.02534511 0.052%

244.7571 0.0254469 0.082%

244.8 0.025854 0.042%

245.232299 0.0254469 0.064%

248.4735 0.02554869 0.042%

248.6 0.025854 0.003%

248.953981 0.02554869 0.013%

248.9116 0.0254469 0.074%

248.9 0.025650 0.024%

249.154102 0.02534511 0.068%

256.8755 0.0254469 0.035%

256.9 0.025650 0.037%

257.125774 0.0254469 0.007%

257.3415 0.02565048 0.034%

257.6 0.025752 0.022%

257.712718 0.02554869 0.053%

299.5654 0.02554869 0.000%

299.7 0.025142 0.001%

299.121298 0.0254469 0.000%

error medio 0.438%

error medio 0.102%

error medio 0.407%

desviación 339%

desviación 182%

desviación 331%

Tabla 23: Resumen iteraciones Aref CL-T.

Como se puede apreciar, hasta la It2 las desviaciones descienden, pero empiezan a

aumentar a partir de la It3, por lo que decidimos tomar los parámetros de la It2 como los

definitivos para nuestro modelo.

En resumen, los parámetros definitivos para la distribución de tensiones para la variable

estudiada son los siguientes:


CL-T Parámetros definitivos

Beta Desv. Tip. Delta Desv. Tip.

Fmax 8.18 13.27% 235.73 1.65%

Tabla 24: Parámetros definitivos de la distribución de tensiones W2P CL-T.

Las probabilidades de fallo para la tensión de rotura de cada probeta en función de los

parámetros empleados vienen resumidas en la siguiente tabla:

Tensiones de rotura

Pf observada

Pf parametros tension según Fanillo

163.3872402 0.02555 0.04864

174.6610083 0.06204 0.08245

199.3594507 0.09854 0.22418

203.2617526 0.13504 0.25729

205.3225808 0.17153 0.27606

206.3108577 0.20803 0.28537

209.5251064 0.24453 0.31702

210.9988755 0.28102 0.33221

214.5909511 0.31752 0.37098

214.6935869 0.35401 0.37212

215.0039611 0.39051 0.37558

216.6421861 0.42701 0.39414

217.6550411 0.46350 0.40584

217.9667913 0.50000 0.40947

221.9916384 0.53650 0.45763

227.7249333 0.57299 0.52940

230.9288608 0.60949 0.57046

233.577254 0.64599 0.60453

235.2290068 0.68248 0.62572

238.7804746 0.71898 0.67075

242.4117656 0.75547 0.71549

244.7570542 0.79197 0.74334

248.4735385 0.82847 0.78529

248.9116051 0.86496 0.79004

256.8755182 0.90146 0.86728

257.3414767 0.93796 0.87123

299.5653591 0.97445 0.99916

Desviación media 0.96%

Tabla 25: Pf para cada tensión de rotura en función de los parámetros finales empleados W2P CL-T.


En la siguiente gráfica se puede ver la representación de estas probabilidades de fallo:


Como ya se ha ido diciendo a lo largo del trabajo. Durante el proceso iterativo se han ido

estimando las áreas de referencia sobre las que aplica la tensión de manera constante en

cada probeta. Las áreas de referencia se encuentran resumidas en la siguiente tabla.

Probeta Fmax W3P Fanillo W3P Fmax W2P

1 27889.8029 27889.8029 22902.2100

2 25243.3253 25955.8385 23411.1480

3 23309.3609 24021.8741 24836.1744

4 23716.5113 26464.7765 25141.5372

5 23512.9361 24429.0245 25141.5372

6 23512.9361 24734.3873 25141.5372

7 23309.3609 23614.7237 25039.7496

8 23614.7237 23207.5733 25345.1124

9 23614.7237 24632.5997 25243.3248

10 23920.0865 24632.5997 25548.6876

11 23512.9361 23105.7857 25243.3248

12 23716.5113 23716.5113 25345.1124

13 23716.5113 23920.0865 25446.9000

14 23614.7237 23207.5733 25345.1124

15 23920.0865 24429.0245 25548.6876

16 24225.4493 25039.7501 25752.2628


Probeta Fmax W3P Fanillo W3P Fmax W2P

17 24123.6617 23818.2989 25650.4752

18 24123.6617 23309.3609 25650.4752

19 24225.4493 24123.6617 25752.2628

20 24327.2369 24225.4493 25752.2628

21 24327.2369 23512.9361 25650.4752

22 24530.8121 24530.8121 25854.0504

23 24632.5997 24632.5997 25854.0504

24 24530.8121 23512.9361 25650.4752

25 24734.3873 24225.4493 25650.4752

26 24836.1749 23920.0865 25752.2628

27 25752.2633 26770.1393 25141.5372

Promedio 24240.52892 24429.0245 25288.5637

Desviación 3.888% 4.723% 2.675%

Tabla 26: Aref finales por probeta.

En la siguiente gráfica se encuentran representadas estas áreas para poder visualizar la diferencia

entre un modelo y otro:

Figura 41: Aref finales.

Por último, en la siguiente gráfica se encuentran representadas las distribuciones de la

probabilidad de fallo en función de la tensión aplicada para nuestros parámetros finales

ajustados, tanto para W2P como para W3P, junto al error respecto a la Pf asignada:


Figura 42: Distribuciones de la Pf finales.


5. Análisis de la validez de las mediciones en ensayos. Como ya se ha mostrado a lo largo de todo el trabajo, nuestro modelo ajustado depende de

muchos factores. Entre ellos la precisión a la hora de aplicar la presión correcta para

homogeneizar las tensiones, o las dimensiones de las probetas que se deben de ajustar en

cierta medida a las proporcionadas por la norma.

Debido a la multitud de parámetros que intervienen, en el caso de que a la hora de realizar

los ensayos no se tenga suficiente cuidado al dimensionar las probetas y al aplicar las

condiciones dadas por la norma, se puede llegar a una situación en las que las tensiones no

sean constantes salvo en una zona muy pequeña de la probeta. En estas circunstancias

nuestro modelo no podría prever con precisión la probabilidad de fallo, ya que no se

ajustaría a la situación planteada.

Es por esto que antes de aplicar el modelo hemos desarrollado un sistema para juzgar la

aplicabilidad o no de nuestro modelo a las probetas ensayadas.

Para ello en primer lugar se ajustan las tensiones, tanto las de nuestros ensayos (que ya

están ajustadas) como las de los ensayos a analizar, según tres procedimientos:

Ajuste por mínimos cuadrados de los parámetros aproximando la probabilidad de

fallo a la observada, obtenida según la [Ecuación 1]. Este proceso está reflejado en

el apartado 2.2.2.

Ajuste por máxima verosimilitud, explicado en el apartado 2.2.3.

Ajuste por mínimos cuadrados aproximando la probabilidad de fallo a la asignada a

cada probeta tras el procedimiento descrito en el apartado 2.3.

Tras estos ajustes se obtienen tres conjuntos de parámetros que, aun habiendo diferencias

entre ellos por el método de obtención deben de guardar un cierto parecido en cuanto a

órdenes de magnitud.

En el caso de nuestras probetas los parámetros obtenidos serían los siguientes:

CLT - Madrid P (F-MV) - Tensión P (Norma) - Tensión Tensión -MV

LANDA 163.38724 163.38724 144.81923

DELTA 66.61249 66.58359 88.41032

BETA 2.45646 3.07058 3.17724

Tabla 27: Parámetros de W3P para las probetas CL-T de Madrid (Aref).

Los parámetros de máxima verosimilitud serían los introducidos en el modelo.

Representando la probabilidad de fallo frente a las tensiones con estos parámetros se

obtiene lo siguiente:


Figura 43: Pf-tensión CLT-Madrid según los parámetros obtenidos por diversas vías CL-T (Aref).

Como se puede observar, las distribuciones obtenidas son bastante similares. Sin embargo, debido a

que a un mayor Aref sobre el que se aplica la carga mayor es la probabilidad de fallo, para comparar

nuestros parámetros con los de otros ensayos con otro Aref diferente, se hace necesario transformar

nuestros parámetros a los equivalentes en un Aref genérico. Para este Aref genérico hemos tomado

un área de 100mm2.

Al adaptar los parámetros al nuevo área de referencia, el único parámetro que sufre modificaciones

es el parámetro delta, que varía según la siguiente ecuación:

[Ecuación 18]

Adaptando los parámetros de weibull al área genérica de 100mm2, obtenemos, para nuestras

probetas, los siguientes parámetros:

CLT - Madrid P (F-MV) - Tensión P (Norma) - Tensión Tensión -MV

LANDA 163.38724 163.38724 144.81923

DELTA 635.13179 404.40244 505.41673

BETA 2.45646 3.07058 3.17724

Tabla 28: Parámetros de W3P para las probetas de Madrid (100mm2).

Representando ahora las probabilidades de fallo según estos parámetros frente a las tensiones

tenemos la siguiente gráfica:


Figura 44: Pf-tensión CLT-Madrid según los parámetros obtenidos por diversas vías CL-T (100mm2).

Se aprecia que, debido a las variaciones durante la adaptación al nuevo área las diferencias se

acentúan. Sin embargo, se sigue conservando una configuración y unos órdenes de magnitud

similares.

Una vez llegados a este punto, y considerando que los datos de nuestros ensayos son los correctos,

ya que son de los únicos de los que tenemos la certeza de que las mediciones y las cargas se han

aplicado de la manera más congruente posible respecto a la norma , tomaremos los valores de los

parámetros ajustados, transformados al área genérica de 100mm2 como los valores de referencia. Si

analizamos los datos de otros ensayos y extrapolamos los parámetros obtenidos a un área de

100mm2 de la manera ya explicada, deberíamos de obtener tres curvas que se aproximen a las

representadas en la Figura 44.

En un primer lugar queríamos aplicar el modelo ajustado a unas probetas ensayadas que tenían el

mismo material que las nuestras, por lo que procedimos a aplicar este método para ver si era viable.

A continuación se muestra el proceso.

Los datos obtenidos del ensayo son los siguientes:


TABLA RESUMEN ENSAYOS: VIDRIO TEMPLADO

CARGA MÁXIMA TENSION NORMA VELOCIDAD DEL ENSAYO

Probeta h Fmax Desplaz σ max Vel t0 tmax Vmedia

mm kN mm MPa MPa/s s s mm/min

CS-T-01 4.85 8.41 5.77 222.46 2.00 8.01 148.01 2.47

CS-T-02 4.84 6.88 3.88 182.69 1.40 11.01 175.51 1.42

CS-T-03 4.84 11.48 5.01 304.03 1.50 7.51 260.01 1.19

CS-T-04 4.84 8.91 4.45 236.41 1.50 8.51 211.01 1.32

CS-T-05 4.84 12.46 5.07 330.31 1.80 10.01 267.01 1.18

CS-T-06 4.83 7.78 4.68 115.80 1.20 2.88 247.17 1.15

CS-T-07 4.83 7.08 4.47 188.27 2.30 4.01 96.51 2.90

CS-T-08 4.86 7.48 4.75 197.06 2.00 3.03 100.52 2.92

CS-T-09 4.86 7.68 4.74 201.97 2.00 3.01 107.51 2.72

CS-T-10 4.84 8.53 5.06 225.98 2.10 3.01 115.51 2.70

CS-T-11 4.83 6.24 4.28 166.11 2.00 3.01 88.51 3.00

CS-T-12 4.83 8.84 5.14 235.59 2.15 3.01 115.51 2.74

CS-T-13 4.84 6.19 4.22 164.39 2.10 3.51 84.51 3.13

CS-T-14 4.84 7.20 4.53 190.63 2.00 2.51 91.51 3.05

CS-T-15 4.82 6.79 4.43 181.33 2.10 4.01 93.01 2.99

CS-T-16 4.82 7.50 4.76 200.22 2.15 2.01 98.01 2.98

CS-T-17 4.83 7.53 4.75 200.67 2.30 3.01 100.51 2.92

CS-T-18 4.83 8.48 5.08 226.18 2.10 2.01 110.01 2.82

CS-T-19 4.83 8.23 4.96 219.25 2.00 3.01 108.51 2.82

CS-T-20 4.84 8.16 4.94 215.91 2.00 5.51 116.01 2.68

CS-T-21 4.83 6.61 4.43 175.82 2.20 3.51 91.51 3.02

CS-T-22 4.84 9.16 5.24 242.45 2.00 5.01 126.51 2.59

CS-T-23 4.84 8.29 5.02 220.12 2.10 2.51 109.01 2.83

CS-T-24 4.83 7.47 4.73 198.92 2.00 5.01 106.51 2.80

CS-T-25 4.82 7.68 4.74 205.06 2.00 7.01 113.01 2.68

CS-T-26 4.81 8.08 4.89 216.43 2.00 7.01 118.51 2.63

CS-T-27 4.82 7.45 4.67 198.89 2.00 6.51 109.01 2.73

CS-T-28 4.83 6.93 4.43 184.57 2.00 6.01 98.51 2.87

CS-T-29 4.84 5.92 4.26 157.19 2.15 3.01 84.01 3.15

CS-T-30 4.84 6.00 4.09 159.24 2.00 3.01 79.01 3.23

Tabla 29: Tabla resumen primera campaña de contraste.

Partiendo de estos datos y haciendo las tres estimaciones de los parámetros previamente

explicadas obtenemos los siguientes valores:


CST - Contraste P (F-MV) - Tensión P (Norma) - Tensión Tensión -MV

LANDA 114.57187 114.57164 101.96817

DELTA 214.78200 214.78241 115.92970

BETA 1.09912 1.14845 2.62236

Tabla 30: Parámetros de W3P para las probetas de Contraste (Aref).

Adaptando estos parámetros del área de referencia de estos ensayos (2827.43338823081mm2) a los

100mm2 obtendremos estos parámetros:

CST - Contraste P (F-MV) - Tensión P (Norma) - Tensión Tensión -MV

LANDA 114.57187 114.57164 101.96817

DELTA 4492.59576 3942.63089 414.63275

BETA 1.09912 1.14845 2.62236

Tabla 31: Parámetros de W3P para las probetas de Contraste (100mm2).

Los cuales, al usarlos para representar las Pf frente a las tensiones nos dan las siguientes gráficas:

Figura 45: Pf-tensión CLT-Madrid según los parámetros obtenidos por diversas vías (100mm2).

Salta a la vista que, salvo el ajuste por máxima verosimilitud, el resto de parámetros no

guardan ninguna congruencia con las gráficas de referencia obtenidas. Por este motivo se

decide desechar estas probetas ya que no se ajustan a las condiciones de ensayo

supuestas para nuestro modelo.

De hecho, fijándonos en los parámetros de ensayo, se ve que las dimensiones de las

probetas se aproximan más a las de los grandes desplazamientos planteados por la norma,

y aun así se ensayan como si fueran pequeñas superficies de solicitación. Esto generaría

unas áreas en las que las tensiones se pudieran considerar constantes realmente pequeñas,

lo que podría explicar estas discrepancias al compararlas con nuestros ensayos.


6. APLICACIÓN DEL MODELO A LOS ENSAYOS DE 2007.

6.1 Estimación de la probabilidad de fallo experimental. Para estudiar la exactitud del ajuste de tensiones realizado se procede a aplicar el proceso a

las probetas de otros ensayos, en este caso los ensayos realizados en la ETSII de la UPM

en 2007. Los datos de estas probetas están recogidos en la siguiente tabla:

Probetas templadas

Nombre espesor (mm) F_Real (kN) P_Real (bar) Tensión Pres_Ensayo

T0100014 4.83 18.374 0.8 158119954.1 0.631889878

T0100043 4.84 21.08 0.9 177879319.4 0.890131855

T0100039 4.84 23.222 1.3 193267766.1 1.130688184

T0100037 4.84 23.247 1.5 193443934.6 1.133648357

T0100028 4.83 23.322 1.5 194526368.3 1.156087747

T0100004 4.8 23.851 1.5 199899315.1 1.263529813

T0100010 4.84 23.933 1.6 198247069.7 1.216249007

T0100036 4.85 24.008 1.5 198211015.6 1.211276627

T0100006 4.83 24.243 1.7 200955872.4 1.269007884

T0100026 4.8 24.384 1.5 203601456.3 1.331734983

T0100030 4.82 25.015 1.7 206820216.7 1.382970317

T0100041 4.82 25.506 1.7 210155244.8 1.447877355

T0100003 4.87 26.203 2 212026485.9 1.458798763

T0100005 4.83 26.436 1.9 215826778.5 1.557273381

T0100038 4.83 26.449 2 215913091.3 1.559063634

T0100024 4.82 27.084 2 220661288.3 1.665826388

T0100021 4.84 27.532 2 222468133.3 1.693029592

T0100025 4.8 27.566 2.2 224915323 1.773330944

T0100031 4.84 28.017 2.1 225606556.7 1.762858227

T0100027 4.83 28.788 2.5 231089568.7 1.896792226

T0100015 4.83 29.241 2.7 233947634.2 1.96579222

T0100042 4.81 29.781 2.5 238413006.9 2.09332502

T0100034 4.84 30.083 2.8 238641399 2.075155383

T0100032 4.83 30.556 2.9 242094962 2.172691677

T0100023 4.84 30.755 3 242764522.4 2.181916434

T0100009 4.82 30.949 3 245026244.5 2.259880613

T0100008 4.84 30.951 2.9 243956312.2 2.213534161

T0100016 4.83 30.962 2.9 244565551.3 2.238554888

T0100029 4.83 31.913 3 250269719 2.39649485

T0100019 4.84 32.052 3 250560459.8 2.395163205

T0100033 4.81 32.48 3 254661930.2 2.544848985

T0100022 4.83 32.58 3.3 254201146.9 2.510333061

T0100011 4.83 32.882 3.2 255962405.8 2.562706926

T0100020 4.81 33.026 3.3 257832422.6 2.641306018

T0100013 4.85 33.026 3 255747257.9 2.535460443

T0100017 4.83 33.513 3.2 259604590 2.673808728

T0100040 4.81 33.681 3.4 261584074.3 2.759290164

T0100035 4.85 34.758 3.5 265631586.3 2.841784408

T0100007 4.9 35.632 3.5 267926705.5 2.856020218

T0100018 4.85 35.99 3.9 272433769.8 3.069876313

T0100012 4.82 42.244 4.5 305098932.5 4.486183276

Tabla 32: Datos probetas campaña de ensayos de contraste.

En primer lugar, debemos asignar una probabilidad de fallo a cada probeta, según el

procedimiento ya descrito en el apartado 2.3.


Tras todo el proceso obtenemos los siguientes resultados:

Pf ajustando Fmax

Probeta Pf_media Pf_desviación P_sup Desviacion %

T0100014 0.029 0.006 0.971 19.71%

T0100043 0.031 0.006 0.969 19.48%

T0100039 0.034 0.006 0.966 18.82%

T0100037 0.063 0.010 0.937 15.21%

T0100028 0.068 0.010 0.932 14.77%

T0100004 0.073 0.010 0.927 14.38%

T0100010 0.089 0.012 0.911 13.28%

T0100036 0.099 0.013 0.901 12.69%

T0100006 0.150 0.016 0.850 10.47%

T0100026 0.194 0.018 0.806 9.13%

T0100030 0.262 0.020 0.738 7.62%

T0100041 0.285 0.021 0.715 7.20%

T0100003 0.286 0.021 0.714 7.17%

T0100005 0.352 0.022 0.648 6.20%

T0100038 0.399 0.022 0.601 5.63%

T0100024 0.402 0.023 0.598 5.59%

T0100021 0.449 0.023 0.551 5.12%

T0100025 0.527 0.023 0.473 4.46%

T0100031 0.571 0.024 0.429 4.14%

T0100027 0.620 0.024 0.380 3.82%

T0100015 0.647 0.024 0.353 3.65%

T0100042 0.686 0.023 0.314 3.42%

T0100034 0.701 0.023 0.299 3.32%

T0100032 0.716 0.023 0.284 3.24%

T0100023 0.716 0.023 0.284 3.24%

T0100009 0.717 0.023 0.283 3.23%

T0100008 0.783 0.022 0.217 2.83%

T0100016 0.792 0.022 0.208 2.77%

T0100029 0.817 0.021 0.183 2.61%

T0100019 0.822 0.021 0.178 2.57%

T0100033 0.838 0.021 0.162 2.45%

T0100022 0.845 0.020 0.155 2.40%

T0100011 0.845 0.020 0.155 2.40%

T0100020 0.868 0.019 0.132 2.21%

T0100013 0.875 0.019 0.125 2.15%

T0100017 0.914 0.016 0.086 1.77%

T0100040 0.938 0.014 0.062 1.48%

T0100035 0.946 0.013 0.054 1.36% Tabla 33: Pf asignada a cada probeta.


6.2 Comparación de resultados.

Introduciendo las probetas en nuestro modelo, con los parámetros de las tensiones ya

calculados, y con las cargas y dimensiones de las probetas de 2007, obtenemos las

probabilidades de fallo dadas por el modelo MEF. Las cuáles son las siguientes:

Pf_media Pf_desviación Min Max Simulación

2.942% 0.006 1.203% 4.681% 7.049%

3.054% 0.006 1.270% 4.838% 7.825%

3.400% 0.006 1.481% 5.319% 8.062%

6.290% 0.010 3.420% 9.161% 9.861%

6.804% 0.010 3.790% 9.819% 10.615%

7.289% 0.010 4.144% 10.434% 10.437%

8.894% 0.012 5.350% 12.438% 12.317%

9.917% 0.013 6.143% 13.691% 11.897%

14.985% 0.016 10.277% 19.693% 15.650%

19.393% 0.018 14.082% 24.705% 19.409%

26.159% 0.020 20.180% 32.139% 26.178%

28.515% 0.021 22.358% 34.672% 28.533%

28.648% 0.021 22.482% 34.814% 28.670%

35.207% 0.022 28.661% 41.753% 33.729%

39.881% 0.022 33.142% 46.620% 36.806%

40.235% 0.023 33.483% 46.987% 38.725%

44.909% 0.023 38.016% 51.802% 41.036%

52.684% 0.023 45.640% 59.728% 49.920%

57.055% 0.024 49.967% 64.142% 54.838%

62.015% 0.024 54.917% 69.113% 56.765%

64.655% 0.024 57.571% 71.739% 61.296%

68.578% 0.023 61.548% 75.608% 65.129%

70.148% 0.023 63.152% 77.144% 67.157%

71.631% 0.023 64.675% 78.586% 68.316%

71.646% 0.023 64.691% 78.601% 67.547%

71.728% 0.023 64.776% 78.681% 67.613%

78.291% 0.022 71.644% 84.938% 73.803%

79.153% 0.022 72.565% 85.741% 74.553%

81.656% 0.021 75.272% 88.039% 76.795%

82.208% 0.021 75.877% 88.538% 79.128%

83.800% 0.021 77.638% 89.961% 79.944%

84.520% 0.020 78.445% 90.596% 81.167%

84.520% 0.020 78.445% 90.596% 79.492%

86.778% 0.019 81.015% 92.540% 82.745%

87.494% 0.019 81.847% 93.141% 84.428%

91.390% 0.016 86.547% 96.233% 88.663%

93.766% 0.014 89.617% 97.915% 91.189%

94.566% 0.013 90.701% 98.431% 93.177%

Tabla 34: Resumen de Probabilidades de Fallo de la campaña de contraste.

En esta tabla están recogidos los valores medios de la probabilidad de fallo según los

ensayos, junto a los rangos máximo y mínimo del rango del 95% de probabilidad de


aparición considerando la probabilidad de fallo como una distribución normal de media y

desviación típica dadas.

Para que el modelo sea favorable, las probabilidades de fallo calculadas deberían de caer

dentro de los intervalos dados para las probabilidades de fallo, lo que pasa exceptuando las

probabilidades de fallo menores.

En la siguiente gráfica están representadas frente a la carga, la probabilidad de fallo

calculada y la dada por la norma frente al rango obtenido en los ensayos:

Figura 46: Pf calculada y Pf de la norma frente a la tensión de rotura.

Se puede observar que la Pf del modelo permanece dentro del rango en casi la totalidad de la gráfica,

mientras que la desviación de la probabilidad de fallo estimada por la norma frente a la observada en

los ensayos es claramente mayor.


7. RESULTADOS Y PREDICCIONES.

7.1 Conclusiones generales.

El objetivo principal de este trabajo es el desarrollode un método que permita ajustar los

parámetros de Weibull de la tensión de rotura del vidrio en ensayos de anillos concéntricos.

Con ello se persigue conseguir realizar un modelo de elementos finitos actualizado,

empleando dichos parámetros para las tensiones, que nos permita predecir el

comportamiento de otras placas de vidrio de propiedades similares sometidas a dichos

ensayos. Las conclusiones generales a las que se ha llegado son las siguientes:

Se han estudiado las diversas variables de ensayos que se podrían emplear para

asignar una probabilidad de rotura a cada probeta, y se ha observado que las

variables globales del ensayo, medibles directamente sin necesidad de cálculo dan

lugar a errores mucho menores. Se ha comprobado que la fuerza introducida en el

pistón en el momento de la rotura, fácilmente medible, es la variable más precisa

para ello.

Se ha desarrollado un modelo de elementos finitos aplicando los parámetros

estimados capaz de reproducir los ensayos de anillos concéntricos, como se puede

ver al realizar la comparación con la campaña de ensayos de 2007.

Se ha desarrollado un modelo simplificado con dos parámetros que permite

reproducir los ensayos de anillos concéntricos.

7.2 Trabajo realizado.

Las principales actividades desarrollladas han sido las siguientes:

Estudio de las 7 variables medidas en los ensayos con el objetivo de concretar la más

indicada para calcular la probabilidad de fallo de cada probeta.

Estimación de la distribución de la probabilidad de fallo de cada probeta ajustando los

parámetros de Weibull 3 parámetros de las cargas del pistón y en el anillo por el método de

la máxima verosimilitud.

Proceso iterativo para el cálculo de las áreas de referencia y de los parámetros de Weibull 3

parámetros de la tensión de rotura, tomando como referencia las distribuciones de Pf

asignada tanto por la Fmax como por la Fanillo.

Estimación de la distribución de la probabilidad de fallo de cada probeta ajustando los

parámetros de Weibull 2 parámetros de las cargas del pistón y en el anillo por el método de

la máxima verosimilitud.

Proceso iterativo para el cálculo de las áreas de referencia y de los parámetros de Weibull 2

parámetros de la tensión de rotura, tomando como referencia las distribuciones de Pf

asignada tanto por la Fmax como por la Fanillo.

Desarrollo de un método para estimar si ensayos externos han sido realizados de acuerdo a

la norma y, por tanto, si es aplicable nuestro modelo y nuestra distribución de tensiones.

Aplicación del modelo final obtenido a una campaña de ensayos de probetas similares.


7.3 Resultados principales.

Los principales resultados obtenidos son los siguientes:

Probabilidad de fallo asignada a cada espécimen ajustada con cada variable del ensayo. Se ha

observado que los errores son mucho menores en las fuerzas aplicadas, dato de entrada en

los ensayos, que en el resto de variables medidas o calculadas, incluida la tensión dada por la

norma.

Distribución de la probabilidad de fallo en función de la tensión de la norma, obtenida por

varios procesos que dan solidez a los resultados.

Parámetros definitivos de la tensión de rotura, que nos permiten simular con precisión

ensayos de probetas con propiedades similares.

Método iterativo robusto para cálculo de los parámetros y las áreas de referencia de cada

espécimen.

Modelo reducido de 2 parámetros para simplificar el proceso.

Se ha aplicado el modelo con los parámetros ajustados a unos ensayos anteriores con

probetas diferentes y el modelo ha simulado satisfactoriamente los resultados obtenidos en

dichos ensayos.


8. SOSTENIBILIDAD, PLANIFICACIÓN Y PRESUPUESTO.

8.1 Sostenibilidad.

La sensibilización y concienciación medioambiental existente hoy en día se extiende a todos los ámbitos, incluido al relativo a la realización de proyectos ingenieriles. Por ello, el presente trabajo también avala este compromiso medioambiental. La construcción es una de las actividades económicas con mayor impacto ambiental ya que los edificios pueden llegar a consumir hasta la mitad de los recursos naturales del entorno y contribuyen al aumento de las emisiones contaminantes. Por ello, los edificios se deben construir garantizando que la utilización de los recursos naturales sea sostenible y que los materiales utilizados sean compatibles desde un punto de vista medioambiental. Este trabajo profundiza en el estudio del vidrio, uno de los materiales empleados en construcción más sostenibles. Se trata de un material ampliamente utilizado en edificación debido a sus interesantes características, pero además tiene efectos beneficiosos para la protección del medioambiente. El vidrio es un material inerte que no libera emisiones al aire siendo además 100% reciclable. Asimismo, la transparencia del vidrio permite el paso de la luz natural lo que conlleva a un ahorro de energía que se ve aumentado gracias al alto rendimiento térmico del material. El modelo desarrollado y los ajustes realizados a lo largo de este trabajo permiten predecir el comportamiento de las placas de vidrio templadas a flexión, lo que facilita el diseño, análisis y optimización mediante simulaciones, reduciendo el número de ensayos necesarios. Con todo ello, es este trabajo se intenta reducir al máximo los daños causados al entorno y se garantiza el respeto por el medio ambiente.

8.2 Planificación temporal.

En este apartado se presenta la planificación seguida para realizar el trabajo. En primer lugar, se ha tenido en cuenta que el trabajo se planificó para realizarlo en aproximadamente cinco meses, comenzando a finales de Febrero y terminando a finales de Julio, aunque habría que descontar los días correspondientes al período de exámenes de Junio ya que se produjo un parón. Concretamente, las fechas de inicio y fin del trabajo son las siguientes:

Fecha de inicio: 8 de Febrero de 2017.

Fecha de finalización: 7 de Julio de 2017.

Para llevar a cabo la planificación, se ha realizado una división en tareas, para la cual se ha tenido en cuenta las actividades fundamentales necesarias para el desarrollo del trabajo. La redacción del documento se ha reflejado como la última tarea a realizar, aunque se fue adelantando trabajo con anterioridad.. Esta planificación se muestra a continuación mediante el diagrama de Gantt..


Figura 47: Diagrama de Gantt del proyecto.


8.3 Presupuesto.

Se ha considerado que un ingeniero senior factura 60 €/hora, mientras que el ingeniero

junior factura 30 €/hora.

CANTIDAD DESCRIPCIÓN

SALARIO POR UNIDAD TOTAL

Unidades Precio unitario Importe (€)

Cantidad Unidad Importe Unidad

1

Ingeniero Junior

510 h 30 €/h 15.300

1

Ingeniero Técnico Superior

Senior

90 h 60 €/h 5.400

1

Otros (instrumentación,

documentación, etc.)

10 mes. 25 €/mes 250

SUBTOTAL

20.950

SUBTOTAL CON IVA

25.349,5 €

Tabla 35: Presupuesto.


9. BIBLIOGRAFÍA.

Postigo Pozo, Sergio (2010). Estudio teórico experimental de impactos humanos

contra vidrios de acristalamientos de edificación. Tesis Doctoral. Directores: Mª

Consuelo Huerta Gómez de Merodio, Antonia Pacios Álvarez. ETSII UPM Madrid.

Saboya Morales, Sergio (2014). Estudio teórico experimental de la distribución de

rotura de vidrios recocidos, templados y termoendurecidos. Proyecto de Fin de

Carrera. Directores: Mª Consuelo Huerta Gómez de Merodio, Jesús Alonso Álvarez.

Germán Blanco, Álvaro (2011). Estudio de la tensión de rotura en placas de vidrio

empleadas en edificación utilizando modelos y datos experimentales. Proyecto de Fin

de Carrera. Directores: Mª Consuelo Huerta Gómez de Merodio

C. Huerta, A. Pacios (2010). Influence of experimental test type on the determination

of probabilistic stress distribution.

Warren C. Roark Young. Formulas for stress and Strain. ISBN-13: 978-0070725423.

Tang, Zhongzhi y K. Brow, Richard (2014). Environmental Fatigue of Silicate Glasses

in Humid Conditions.

J. Swab, Jeffrey; J. Patel, Parimal y Tran, Xuan (2014). Equibiaxial Flexure Strength

of Glass: Influence of Glass Plate Size and Equibiaxial Ring Ratio

M. Sglavo, Vincenzo; Mura, Emanuele; Milanese, Daniel y Lousteau, Joris (2014).

Mechanical Properties of Phosphate Glass Optical Fibers.

Morozumi, Hidekatsu; Nakano, Hirotaka; Yoshida, Satoshi y Matsuoka, Jun (2014).

Crack Initiation Tendency of Chemically Strengthened Glasses.

.

L. Kuzmin, Konstantin; S. Zhukovskaya, Evgeniya; I. Gutnikov, Sergey; V.Palov,

Yuriy y I.Lazoryak, Bodgan (2016). Effects of Ion Exchange on the Mechanical

Propertiesof Basaltic Glass Fibers.

Freiman, Stephen (2012). The Fracture of Glass: Past, Present, and Future.

Singiresu S. Rao (1986). Mechanical vibrations. Addison-Wesley Publishing

Company. ISBN:0-201-50156-2.

(21) Balachandran , Balcakumar; Magrab, Edward B. Vibraciones. Brooks/Cole.

ISBN970-686-465-4.


Alonso Álvarez, Jesús (2012). Modelo simplificado para el diseño de vidrio de

edificación ante impacto humano. Proyecto Fin de Carrera. Tutor: Mª Consuelo Huerta

Gómez de Merodio.ETSII UPM Madrid.


10. ÍNDICE DE FIGURAS Y TABLAS.

10.1 Índice de figuras.

Figura 1: Imagen de la campaña de ensayos. ................................................................................. 3

Figura 2: Pf media asignada a cada probeta en función de la variable empleada. ................... 5

Figura 3: Distribuciones obtenidas de la Pf. ..................................................................................... 6

Figura 4: Pf calculada y Pf de la norma frente a la tensión de rotura. ......................................... 7

Figura 5: Esquema de trabajo. ......................................................................................................... 14

Figura 6: Útil de la campaña de ensayo. ........................................................................................ 16

Figura 7: Resultados del análisis de estadística descriptiva para Fmax. .................................. 20

Figura 8: Histograma de la carga de rotura en los ensayos . ...................................................... 21

Figura 9: Input de solver: mínimos cuadrados. .............................................................................. 22

Figura 10: Probabilidad de fallo frente a carga de rotura CL-T. .................................................. 23

Figura 11: Input de solver: máxima verosimilitud. ......................................................................... 25

Figura 12: Probabilidad de fallo: máxima verosimilitud CL-T. ..................................................... 26

Figura 13: Hoja de simulación de casos Weibull 3 parámetros CL-T. ....................................... 28

Figura 14: Pf asignada en función de la variable empleada W3P CL-T. ................................... 32

Figura 15: Puntos de interpolación para la presión de homogeneización. ................................ 34

Figura 16: Distribución de tensiones en una placa de vidrio en función de la presión. ........... 35

Figura 17: Probabilidades de supervivencia de cada elemento .................................................. 36

Figura 18: Modelo inicial-construcción. ........................................................................................... 38

Figura 19:Modelo inicial-Nodos. ....................................................................................................... 39

Figura 20: Modelo inicial, Condiciones de contorno y cargas ..................................................... 40

Figura 21: Modelo Actualizado-Construcción. ............................................................................... 41

Figura 22: Modelo Actualizado-Nodos. ........................................................................................... 42

Figura 23: Modelo Actualizado-Elementos, C. Contorno y Cargas. ........................................... 43

Figura 24: Modelo Actualizado- Expandido. ................................................................................... 44

Figura 25: Ensayo Modal. ................................................................................................................. 45

Figura 26: Modelo para ensayo modal. ........................................................................................... 46

Figura 27: Modo 7. Figura 28: Modo 8. ......................................... 47

Figura 29: Modo 9. Figura 30: Modo 10-11. .................................. 47

Figura 31: Modo 12-13. Figura 32: Modo 14. ................................. 47

Figura 33: Modo 15. ........................................................................................................................... 48


............................................................................................................................................................... 61

Figura 35: Input de solver: mínimos cuadrados W2P. .................................................................. 62

Figura 36: Probabilidad de fallo frente a carga de rotura W2P CL-T. ........................................ 63

Figura 37: Input de solver: máxima verosimilitud W2P. ............................................................... 64

Figura 38: Probabilidad de fallo: máxima verosimilitud CL-T. ..................................................... 64

Figura 39: Pf asignada en función de la variable empleada W3P CL-T .................................... 70



............................................................................................................................................................... 75

Figura 41: Aref finales. ....................................................................................................................... 76

Figura 42: Distribuciones de la Pf finales. ...................................................................................... 77

Figura 43: Pf-tensión CLT-Madrid según los parámetros obtenidos por diversas vías CL-T

(Aref). .................................................................................................................................................... 79

Figura 44: Pf-tensión CLT-Madrid según los parámetros obtenidos por diversas vías CL-T

(100mm2). ............................................................................................................................................ 80

Figura 45: Pf-tensión CLT-Madrid según los parámetros obtenidos por diversas vías

(100mm2). ............................................................................................................................................ 82

Figura 46: Pf calculada y Pf de la norma frente a la tensión de rotura. ..................................... 86

Figura 47: Diagrama de Gantt del proyecto. .................................................................................. 90


10.2 Índice de tablas.

Tabla 1: Parámetros de Weibull 3 parámetros finales. ................................................................... 6

Tabla 2: Parámetros de Weibull 2 parámetros finales. ................................................................... 6

Tabla 3: Parámetros de Weibull 2 parámetros obtenidos por la Lomonosov Moscow State

University. ............................................................................................................................................ 11

Tabla 4: Comparativa de ASTM C1499 y EN 1288 de Jeffrey J. Swab. .................................. 12

Tabla 5: Variables del ensayo. ......................................................................................................... 18

Tabla 6: Resumen de parámetros de Weibull por mínimos cuadrados CL-T. .......................... 22

Tabla 7: Resumen de parámetros de Weibull por máxima verosimilitud CL-T ......................... 26

Tabla 8: Tabla de resultados: Pf asignada a cada probeta y sus desviaciones CL-T (1). ...... 30

Tabla 9: Tabla de resultados: Pf asignada a cada probeta y sus desviaciones CL-T (2). ...... 31

Tabla 10: Probabilidades de fallo asignadas CL-T. ...................................................................... 34

Tabla 11: Modos Vibración Placa. ................................................................................................... 46

Tabla 12: Mediciones CL-T-12. ........................................................................................................ 48

Tabla 13: Ajuste Modulo Elástico Vidrio Templado. ...................................................................... 49

Tabla 14: Resumen iteraciones Aref CL-T (1). .............................................................................. 58


Tabla 16: Parámetros definitivos de la distribución de tensiones W3P CL-T. .......................... 60

Tabla 17: Pf para cada tensión de rotura en función de los parámetros finales empleados

W3P CL-T. ........................................................................................................................................... 60

Tabla 18: Resumen de parámetros de Weibull por mínimos cuadrados CL-T. ........................ 63

La Tabla 19 recoge la media y la desviación típica de los estimadores de los parámetros de

Weibull obtenidos por este método. ................................................................................................ 64

Tabla 20: Resumen de parámetros de Weibull por máxima verosimilitud CL-T. ..................... 65

Tabla 21: Tabla de resultados: Pf asignada a cada probeta y sus desviaciones W2P CL-T. 67

Tabla 22: Tabla de resultados: Pf asignada a cada probeta y sus desviaciones W2P CL-T

(2). ......................................................................................................................................................... 69

Tabla 23: Probabilidades de fallo asignadas CL-T. ...................................................................... 71


Tabla 25: Parámetros definitivos de la distribución de tensiones W2P CL-T. .......................... 74

Tabla 26: Pf para cada tensión de rotura en función de los parámetros finales empleados

W2P CL-T. ........................................................................................................................................... 74

Tabla 27: Aref finales por probeta. ................................................................................................... 76

Tabla 28: Parámetros de W3P para las probetas CL-T de Madrid (Aref). ................................ 78

Tabla 29: Parámetros de W3P para las probetas de Madrid (100mm2). .................................. 79

Tabla 30: Tabla resumen primera campaña de contraste. .......................................................... 81

Tabla 31: Parámetros de W3P para las probetas de Contraste (Aref). ..................................... 82

Tabla 32: Parámetros de W3P para las probetas de Contraste (100mm2). ............................. 82

Tabla 33: Datos probetas campaña de ensayos de contraste. ................................................... 83

Tabla 34: Pf asignada a cada probeta. ........................................................................................... 84

Tabla 35: Resumen de Probabilidades de Fallo de la campaña de contraste. ........................ 85


Tabla 36: Presupuesto. ...................................................................................................................... 91


11. ABREVIATURAS, UNIDADES Y ACRÓNIMOS.

CE Comunidad europea

GDL Grado de libertad

MEF Modelo de Elementos Finitos

UE Unión Europea

UNE-EN Una Norma Española-European Norm. Normas AENOR que son

estándares europeos

UNESCO Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la

Cultura

UPM Universidad Politéctica de Madrid

W3P Distribución de Weibull de 3 parámetros

W2P Distribución de Weibull de 2 parámetros

m Metros

cm Centímetros

mm Milímetros

kg Kilogramos

Pa Pascales

MPa Megapascales

N Newton

kN Kilonewton

J Julios

Hz Herzios

s Segundos

ms Milisegundos


12. ANEXOS.


Anexo A: Programas desarrollados para el trabajo.

Para desarrollar este trabajo se han elaborado una serie de hojas Excel que se proceden a

mostrar y explicar a continuación:

HOJA DE AJUSTES

Estas hojas, con nombre "CL_T_Prob_Fallo_estadistica_[ajuste que se esté realizando]"

Consta de multitud de pestañas que se explicarán a continuación:

Contenido: Pestaña resumen en la que se explica la manera de realizar los distintos

estudios estadísticos que se realizan en la hoja.

Visualización: En esta hoja se pueden visualizar los datos de todos los ajustes que

se han hecho. Para ello tan solo hay que modificar los valores que aparecen en las

celdas "D4:G4" (marcadas en verde) mediante los desplegables, y la pestaña sola se

irá actualizando y mostrando la información de los ajustes pedidos. También cuenta

con botones para iniciar dos macros. La primera, llamada "Nuevo ajuste", genera

unas nuevas hojas de ajustes y prepara la hoja para poder visualizarla en esta

pestaña. Para usarla solo hay que rellenar en las celdas inferiores los datos que

piden, y dar la información que piden las ventanas emergentes: variable a ajustar y

código de variable. Tras haberla usado, habrá que realizar los ajustes en las nuevas

pestañas que se habrán generado, y podrán visualizarse en esta hoja.

La segunda macro es "Ajustar". El objetivo era automatizar completamente el ajuste

de las variables. Sin embargo, debido a la complejidad de estos ajustes, aun está

incompleta.

Códigovariable_tipodeprobeta_PN: En esta pestaña está recogida toda la

información de los análisis estadísticos de las variables, así como los ajustes por

mínimos cuadrados. Como realizar estos ajustes y estudios está explicado en la

pestaña "Contenido".

Códigovariable_tipodeprobeta_MV: En esta pestaña se realizan los ajustes por

máxima verosimilitud de las variables. Cómo realizar estos ajustes está explicado en

la ventana "Contenido"


Pestaña "Contenido"


Pestaña "Visualización"


Pestaña " Códigovariable_tipodeprobeta_PN"


Pestaña " Códigovariable_tipodeprobeta_MV"


Cödigo Macro "Nuevo ajuste" Sub nuevo_ajuste()

Application.DisplayAlerts = False

Application.ScreenUpdating = False

Dim variable As String

Dim codigo As String

Dim tratamiento As String

Dim film As String

Dim i As Integer

Dim j As Integer

Dim k As Integer

If ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(31, 4) = "" And ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(32, 4) =

"" Then

MsgBox ("Introduzca tipo de tratamiento y especifique si tiene o no film.")

GoTo 123456789

ElseIf ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(31, 4) = "" Then

MsgBox ("Introduzca tipo de tratamiento.")

GoTo 123456789

ElseIf ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(32, 4) = "" Then

MsgBox ("Especifique si tiene o no film.")

GoTo 123456789

Else

If ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(31, 4) = "Templada" Then

tratamiento = "T"

ElseIf ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(31, 4) = "Recocida" Then

tratamiento = "C"

ElseIf ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(31, 4) = "Termoendurecida" Then

tratamiento = "H"

Else

MsgBox ("Error de tratamiento")

GoTo 123456789

End If

If ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(32, 4) = "Si" Then

film = "F_"

ElseIf ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(32, 4) = "No" Then

film = "_"

Else

MsgBox ("Error de film")

GoTo 123456789

End If

variable = InputBox("Introduzca variable que quiere usar para ajustar.")

If variable = "" Then

MsgBox ("Error de variable")

GoTo 123456789

Else

For j = 3 To 100

If ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(j, 16379) = "" Then

GoTo 75628

ElseIf ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(j, 16379) = variable Then

MsgBox ("Ajuste ya realizado o preparado")

GoTo 123456789

End If

Next j

75628

End If

k = 0

67548756

codigo = InputBox("Introduzca código de dicha variable." + vbCr + "Ej: Fuerza del pistón -

> F_pi") & "_"

If codigo = "_" Then

MsgBox ("Error de variable")

GoTo 123456789

Else

For j = 3 To 100

If ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(j, 16380) = "" Then

GoTo 75629


ElseIf ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(j, 16380) = codigo Then

If k = 3 Then

MsgBox ("Límite de intentos superado. Macro finalizada")

GoTo 123456789

Else

MsgBox ("Codigo ya usado, introduzca otro")

k = k + 1

GoTo 67548756

End If

End If

Next j

75629

End If

For i = 3 To 100

If ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(i, 16379) = "" Then

ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(i, 16379) = variable

ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(i, 16380) = codigo

GoTo 9876

End If

Next i

9876

Sheets("F_pi_CL-T_PN").Select

Sheets("F_pi_CL-T_PN").Copy Before:=Sheets(6)

Sheets("F_pi_CL-T_PN (2)").Select

Sheets("F_pi_CL-T_PN (2)").Name = codigo & "CL-" & tratamiento & film & "PN"

Sheets("F_pi_CL-T_MV").Select

Sheets("F_pi_CL-T_MV").Copy Before:=Sheets(8)

Sheets("F_pi_CL-T_MV (2)").Select

Sheets("F_pi_CL-T_MV (2)").Name = codigo & "CL-" & tratamiento & film & "MV"

Sheets(codigo & "CL-" & tratamiento & film & "PN").Select

Cells(1, 1) = variable

Range("A2:A36").Select

Selection.FormatConditions.Add Type:=xlExpression, Formula1:="=$A$2="""""

Selection.FormatConditions(Selection.FormatConditions.Count).SetFirstPriority

With Selection.FormatConditions(1).Interior

.PatternColorIndex = xlAutomatic

.Color = 65535

.TintAndShade = 0

End With

Selection.FormatConditions(1).StopIfTrue = False

Sheets(codigo & "CL-" & tratamiento & film & "PN").Move After:=Sheets(9)

Sheets(codigo & "CL-" & tratamiento & film & "MV").Select

Cells(1, 2) = variable

Range("B2").Select

Range(Selection, Selection.End(xlToRight)).Select

Range("B2:D36").Select

Selection.FormatConditions.Add Type:=xlExpression, Formula1:="=B$2="""""

Selection.FormatConditions(Selection.FormatConditions.Count).SetFirstPriority

With Selection.FormatConditions(1).Interior

.PatternColorIndex = xlAutomatic

.Color = 65535

.TintAndShade = 0

End With

Selection.FormatConditions(1).StopIfTrue = False

Sheets(codigo & "CL-" & tratamiento & film & "MV").Move After:=Sheets(9)

Sheets(codigo & "CL-" & tratamiento & film & "PN").Select

Range("A2").Select

Range(Selection, Selection.End(xlDown)).Select

Selection.ClearContents

Range("P2:P4").Select


Range("M24:N45").Select


Range("Q25:R36").Select


ActiveSheet.ChartObjects("Gráfico 5").Activate

ActiveChart.Parent.Delete

Sheets(codigo & "CL-" & tratamiento & film & "MV").Select




Range("K6:K8").Select



Range("K11:K13").Select


Sheets("Visualización").Select

MsgBox ("Recuerde rellenar los datos de las pestañas " & codigo & "CL-" & tratamiento &

film & "PN" & " y " & codigo & "CL-" & tratamiento & film & "MV" & " antes de calcularlas.")

End If

123456789

End Sub

HOJA DE SIMULACIONES

Esta hoja permite realizar simulaciones de 10000 casos tomando valores aleatorios para los

parámetros de Weibull con la media y desviación típica dadas. De esta manera podemos

obtener distribuciones probabilísticas de la Pf para cada probeta. Para emplearla tan solo

hay que seleccionar el tipo de probeta, la variable del ajuste, y el número o código de la

probeta a estudiar en las celdas B25:B27, marcadas en amarillo. Los valores de los

parámetros y de las variables se actualizan solos si están introducidos en el sistema. Si no,

habría que introducirlos en el extremo derecho de la hoja, junto a todos los demás.

Una vez introducidos los datos y seleccionada la probeta a simular, en las celdas B28:B32

aparecen todos los resultados. Esta hoja cuenta con dos macros. La Macro "Guardar"

guarda los resultados visualizados en la pestaña "Pf y P_sup". La macro "Guardar todo"

realiza un barrido de todas las probetas y todas las variables del sistema y guarda todos los

resultados en la pestaña "Pf y P_sup".

Ventana de simulación:


Código de las macros:

Sub Guardar()

Dim Pf, P_sup, Pf_desviacion, P_sup_desviacion As Double

Dim tipo_probeta, variable As String

Dim probeta, i, j, k As Integer

tipo_probeta = ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(25, 2)

variable = ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(26, 2)

probeta = ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(27, 2)

Pf = ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(29, 2)

P_sup = ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(31, 2)

Pf_desviacion = ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(30, 2)

P_sup_desviacion = ActiveWorkbook.ActiveSheet.Cells(32, 2)

For i = 1 To 10000

If ActiveWorkbook.Sheets("Pf y P_sup").Cells(1, i) = tipo_probeta Then

GoTo 123456

End If

Next i

123456

For j = i To 100

If ActiveWorkbook.Sheets("Pf y P_sup").Cells(2, j) = variable Then

GoTo 7890

End If

Next j

7890

If ActiveWorkbook.Sheets("Pf y P_sup").Cells(probeta + 3, j) <> "" Then

MsgBox ("valor ya guardado")

GoTo 1234567890

Else

ActiveWorkbook.Sheets("Pf y P_sup").Cells(probeta + 3, i - 1) = probeta

ActiveWorkbook.Sheets("Pf y P_sup").Cells(probeta + 3, j) = Pf

ActiveWorkbook.Sheets("Pf y P_sup").Cells(probeta + 3, j + 1) = Pf_desviacion

ActiveWorkbook.Sheets("Pf y P_sup").Cells(probeta + 3, j + 2) = P_sup

ActiveWorkbook.Sheets("Pf y P_sup").Cells(probeta + 3, j + 3) = Pf_desviacion / Pf

End If

1234567890

End Sub

Sub guardar_todo()

Dim i, j As Integer

i = 2

j = 2

Do While Cells(i, 16371) <> ""

a = Cells(i, 16371)

Cells(26, 2) = a

Do While Cells(j, 16374) <> ""

b = Cells(j, 16374)

Cells(27, 2) = b

Call Guardar

j = j + 1

Loop

j = 2

i = i + 1

Loop

MsgBox ("FIN")

End Sub


HOJA DE LECTURA DE DATOS Puesto que los output ".lis" de ANSYS son muy incómodos para trabajar con ellos, se ha realizado un programa que lee dichos archivos y los muestra de una forma mucho más intuitiva. La hoja, de nombre "Resultados_ANSYS", solo cuenta con una pestaña, llamada "Inicio" con un botón para iniciar la macro "Leer". Para usarla tan solo hay que pulsar el botón y seleccionar el archivo a leer. La macro creará una pestaña con el nombre del archivo en la que aparecerá la información leída. En el capítulo 3.3 se puede ver el output de ANSYS. El programa te proporciona la misma información de la siguiente manera:

A continuación se muestra el código del programa: Sub Leer_Datos()

Application.DisplayAlerts = False

'Application.ScreenUpdating = False

'Declaración de variables

Dim ruta_documento As String

Dim temp() As String

Dim nombre, wrk As String

Dim i, a, b As Integer

'Obtención del documento a leer, ruta y nombre

wrk = ActiveWorkbook.Name

ruta_documento = Application.GetOpenFilename(, , "Seleccione documento a

leer", , False)

temp = Split(ruta_documento, "\")

nombre = temp(UBound(temp))

'Se abre el documento en el libro y se coloca la información en el libro de

trabajo, en una pestaña nueva

Workbooks.Open(ruta_documento).Activate

ActiveWorkbook.ActiveSheet.Range("A:A").Select

Selection.Cut

Workbooks(wrk).Activate

Sheets.Add After:=Sheets(Sheets.Count)

ActiveSheet.Name = nombre

Sheets(nombre).Activate

ActiveWorkbook.ActiveSheet.Range("A:A").Select


ActiveSheet.Paste

Workbooks(nombre).Close Savechanges:=False

Workbooks(wrk).Activate

'Se procesa la información para su estudio

Range("A1:A3").Select


Range("A:A").Select

Selection.TextToColumns Destination:=Range("A1"),

DataType:=xlDelimited, _

TextQualifier:=xlDoubleQuote, ConsecutiveDelimiter:=True, Tab:=True, _

Semicolon:=False, Comma:=False, Space:=True, Other:=True, FieldInfo:= _

Array(Array(1, 1), Array(2, 1), Array(3, 1), Array(4, 1), Array(5, 1)),

_

TrailingMinusNumbers:=True

Range("A:A").Select


a = Int(WorksheetFunction.Count(Range("B:B")) / 21) + 1

b = Int(WorksheetFunction.Count(Range("B:B")) / 15)

For i = 1 To a

Range(Cells(4 + 23 * (i - 1), 2), Cells(4 + 23 * (i - 1), 3)).Select


Next i

Rows("1:4").Select

Selection.Delete Shift:=xlUp

For i = 1 To a - 1

Rows((22 + 21 * (i - 1))).Select



Next i

Columns("D:D").Select

Range("D394").Activate


Columns("E:E").Select

Selection.Cut

Columns("D:D").Select

ActiveSheet.Paste



Selection.Copy

Selection.End(xlUp).Select

Range("E1").Select

Selection.PasteSpecial Paste:=xlPasteAll, Operation:=xlNone,

SkipBlanks:= _

False, Transpose:=True

Columns("B:D").Select

Application.CutCopyMode = False


Selection.Delete Shift:=xlToLeft

Range("B1:B3").Select

Range(Selection, Selection.End(xlToRight)).Select

Selection.Cut

Range("B2").Select

ActiveSheet.Paste

Range("B2").Select

ActiveCell.FormulaR1C1 = "Presión"

Range("C2").Select

ActiveCell.FormulaR1C1 = "Fpiston"

Range("D2").Select

ActiveCell.FormulaR1C1 = "smax"

Range("E2").Select

ActiveCell.FormulaR1C1 = "Pf calculada"

Range("F2").Select

ActiveCell.FormulaR1C1 = "Psup calculada"

Range("G2").Select

ActiveCell.FormulaR1C1 = "Area de referencia"

Range("H2").Select

ActiveCell.FormulaR1C1 = "lambda"

Range("I2").Select

ActiveCell.FormulaR1C1 = "delta"

Range("J2").Select

ActiveCell.FormulaR1C1 = "beta"

Range("K2").Select

ActiveCell.FormulaR1C1 = "tension"

Range("J2").Select

ActiveWindow.SmallScroll ToRight:=0

Range("K2").Select

ActiveCell.FormulaR1C1 = "sminima"

Range("L2").Select

ActiveCell.FormulaR1C1 = "Pai"

Range("M2").Select

ActiveCell.FormulaR1C1 = "Error"

Range("N2").Select


Range("O2").Select

ActiveCell.FormulaR1C1 = "Pf inicial"

Range("C1").Select

Columns("B:B").EntireColumn.AutoFit

Columns("C:C").EntireColumn.AutoFit

Columns("D:D").ColumnWidth = 13.14

Columns("B:B").ColumnWidth = 7.71

Columns("E:E").ColumnWidth = 13.14

Columns("F:F").ColumnWidth = 13.29

Columns("G:G").ColumnWidth = 14.29


Columns("G:G").ColumnWidth = 18.14

Columns("H:H").ColumnWidth = 10.29


Columns("K:K").ColumnWidth = 14.57

Columns("L:L").ColumnWidth = 12


Rows("3:3").Select

Range("Q3").Activate


Range("Q2:WXY2").ClearContents

Range("A2") = "Probeta"


For i = 1 To b

Cells(2 + i, 1) = i

Range(Cells(2 + i, 17), Cells(2 + i, 10000)).Cut

Cells(3 + i, 2).Select

ActiveSheet.Paste

Next i

Columns("N:N").Select

Selection.Delete Shift:=xlLeft

Columns("O:O").Select

Selection.Delete Shift:=xlLeft

Range("M3").Select


Selection.NumberFormat = "0.000%"

Selection.End(xlToLeft).Select

Selection.End(xlUp).Select

End Sub


Anexo B: Fichas de ajustes de las variables de los ensayos.

W3P-σnorma


W3P- Fmax


W3P- Fanillo


W3P- U-anillo


W3P- U_esquina


W3P- Instron Position


W3P- Uz MEF


W2P-σnorma


W2P-Fmax


W2P-Fanillo


W2P-U-anillo


W2P-U_esquina


W2P-Instron position


W2P-Uz MEF


Anexo C: Resultados de ajustes de las tensiones.

W3P-Fmax-It1

Probeta Presión Fpiston smax Pf calculada Psup calculada Area de

referencia lambda delta beta sminima Pai Error Pf inicial

1 65400 20418.7502 176777907 9.23E-03 0.990771251 2.79E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 6166325.08 1.01E-02 41.294% 6.53E-03

2 79300 22165.1002 189154532 3.63E-02 0.963744699 2.60E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 4954388.72 3.70E-02 0.171% 3.62E-02

3 121800 25908.5128 214303009 0.206946126 0.793053874 2.34E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.192098386 0.100% 0.20673959

4 133200 26307.6788 216641032 0.233184961 0.766815039 2.38E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.220043428 0.043% 0.23308402

5 136100 26908.7138 220683008 0.274570985 0.725429015 2.36E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.257610044 0.167% 0.27502999

6 137500 26954.3462 220943070 0.278339036 0.721660964 2.36E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.261189221 0.009% 0.27831518

7 145300 27773.0033 226249470 0.341950719 0.658049281 2.33E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.318407644 0.108% 0.34158242

8 144500 27803.563 226489382 0.338865276 0.661134724 2.37E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.319997906 0.112% 0.33924482

9 155800 28274.0746 229244726 0.380217233 0.619782767 2.36E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.358497648 0.012% 0.38026134

10 156200 28302.8756 229424272 0.377461432 0.622538568 2.40E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.360717301 0.145% 0.37800856

11 152000 28358.3047 229966112 0.385210397 0.614789603 2.35E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.36205491 0.158% 0.38460323

12 158000 28660.6971 231774710 0.408109845 0.591890155 2.37E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.386621258 0.075% 0.40841648

13 160900 28813.1914 232688787 0.420967932 0.579032068 2.37E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.399049309 0.114% 0.42048962

14 160300 28945.652 233605469 0.431605944 0.568394056 2.36E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.408009467 0.140% 0.43100119

15 172900 29514.7233 236922326 0.476719371 0.523280629 2.39E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.45598537 0.096% 0.47625982

16 188700 30422.2725 242329496 0.54738986 0.45261014 2.42E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.529835846 0.070% 0.54777452

17 193200 31020.6223 246100844 0.593441068 0.406558932 2.41E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.573961267 0.036% 0.59365254

18 199600 31590.3414 249582816 0.635697083 0.364302917 2.41E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.616057144 0.022% 0.63583801

19 205000 31706.2253 250120083 0.644859115 0.355140885 2.42E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.626765793 0.102% 0.64420297

20 214900 32325.1216 253750006 0.688122533 0.311877467 2.43E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.671716766 0.097% 0.68745233

21 225700 33214.5775 259063147 0.744245953 0.255754047 2.44E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.729909311 0.078% 0.74482734

22 231100 33259.0624 259125385 0.747857307 0.252142693 2.45E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.73503585 0.043% 0.74753457

23 244800 34048.3663 263621962 0.79221352 0.20778648 2.47E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.782867915 0.077% 0.79282154

24 243900 34344.4893 265551831 0.808594212 0.191405788 2.45E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.79685568 0.020% 0.80843303

25 273300 35876.2169 274019033 0.878128253 0.121871747 2.47E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.870729999 0.033% 0.87784272

26 271800 35899.9721 274232123 0.877433088 0.122566912 2.48E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.871100187 0.056% 0.87693976

27 455100 44979.8734 321380754 0.997791459 2.21E-03 2.60E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.998045717 0.002% 0.99777315


W3P-Fmax-It2



1 65400 20418.7502 176777907 8.85E-03 0.991146084 2.79E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 6166325.08 9.70E-03 35.555% 6.53E-03

2 79300 22165.1002 189154532 3.62E-02 0.963790394 2.71E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 4954388.72 3.85E-02 0.045% 3.62E-02

3 121800 25908.5128 214303009 0.206508453 0.793491547 2.52E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.205038738 0.112% 0.20673959

4 133200 26307.6788 216641032 0.232882585 0.767117415 2.57E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.234507858 0.086% 0.23308402

5 136100 26908.7138 220683008 0.274681972 0.725318028 2.53E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.273749644 0.127% 0.27502999

6 137500 26954.3462 220943070 0.278424479 0.721575521 2.53E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.277482011 0.039% 0.27831518

7 145300 27773.0033 226249470 0.341059063 0.658940937 2.50E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.336646622 0.153% 0.34158242

8 144500 27803.563 226489382 0.339367083 0.660632917 2.53E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.338270694 0.036% 0.33924482

9 155800 28274.0746 229244726 0.380129041 0.619870959 2.52E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.377752902 0.035% 0.38026134

10 156200 28302.8756 229424272 0.37766092 0.62233908 2.57E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.380017701 0.092% 0.37800856

11 152000 28358.3047 229966112 0.38493291 0.61506709 2.51E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.381335181 0.086% 0.38460323

12 158000 28660.6971 231774710 0.408838919 0.591161081 2.52E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.406347655 0.103% 0.40841648

13 160900 28813.1914 232688787 0.420221536 0.579778464 2.53E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.418955986 0.064% 0.42048962

14 160300 28945.652 233605469 0.430569967 0.569430033 2.52E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.427998924 0.100% 0.43100119

15 172900 29514.7233 236922326 0.47633494 0.52366506 2.54E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.47633494 0.016% 0.47625982

16 188700 30422.2725 242329496 0.548452237 0.451547763 2.55E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.549886012 0.124% 0.54777452

17 193200 31020.6223 246100844 0.593329423 0.406670577 2.54E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.593329423 0.054% 0.59365254

18 199600 31590.3414 249582816 0.635962678 0.364037322 2.53E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.634488263 0.020% 0.63583801

19 205000 31706.2253 250120083 0.64347785 0.35652215 2.55E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.64494563 0.113% 0.64420297

20 214900 32325.1216 253750006 0.687067551 0.312932449 2.55E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.688518397 0.056% 0.68745233

21 225700 33214.5775 259063147 0.744428269 0.255571731 2.54E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.744428269 0.054% 0.74482734

22 231100 33259.0624 259125385 0.747973806 0.252026194 2.55E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.749359376 0.059% 0.74753457

23 244800 34048.3663 263621962 0.792318151 0.207681849 2.57E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.79491319 0.063% 0.79282154

24 243900 34344.4893 265551831 0.808142415 0.191857585 2.54E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.808142415 0.036% 0.80843303

25 273300 35876.2169 274019033 0.877754807 0.122245193 2.54E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.877754807 0.010% 0.87784272

26 271800 35899.9721 274232123 0.877069276 0.122930724 2.55E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.878095684 0.015% 0.87693976

27 455100 44979.8734 321380754 0.997770329 2.23E-03 2.55E-02 148330374 83488152.3 2.96312123 0 0.997824126 0.000% 0.99777315


W3P-Fmax-It3



1 65400 20418.7502 176777907 8.63E-03 0.991370386 2.79E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 6166325.08 9.45E-03 32.121% 6.53E-03

2 79300 22165.1002 189154532 3.62E-02 0.963824256 2.52E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 4954388.72 3.59E-02 0.048% 3.62E-02

3 121800 25908.5128 214303009 0.206810088 0.793189912 2.33E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.191221684 0.034% 0.20673959

4 133200 26307.6788 216641032 0.233243996 0.766756004 2.37E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.219270667 0.069% 0.23308402

5 136100 26908.7138 220683008 0.27490481 0.72509519 2.35E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.256972304 0.046% 0.27502999

6 137500 26954.3462 220943070 0.278697773 0.721302227 2.35E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.260564392 0.137% 0.27831518

7 145300 27773.0033 226249470 0.34148763 0.65851237 2.33E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.31796829 0.028% 0.34158242

8 144500 27803.563 226489382 0.339587978 0.660412022 2.36E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.319562418 0.101% 0.33924482

9 155800 28274.0746 229244726 0.379881034 0.620118966 2.36E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.358174728 0.100% 0.38026134

10 156200 28302.8756 229424272 0.378387845 0.621612155 2.39E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.360400187 0.100% 0.37800856

11 152000 28358.3047 229966112 0.384878436 0.615121564 2.35E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.361736631 0.072% 0.38460323

12 158000 28660.6971 231774710 0.407844152 0.592155848 2.37E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.386364646 0.140% 0.40841648

13 160900 28813.1914 232688787 0.420732165 0.579267835 2.37E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.39882126 0.058% 0.42048962

14 160300 28945.652 233605469 0.43138682 0.56861318 2.36E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.407797681 0.089% 0.43100119

15 172900 29514.7233 236922326 0.476594969 0.523405031 2.39E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.4558638 0.070% 0.47625982

16 188700 30422.2725 242329496 0.547347518 0.452652482 2.42E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.529793974 0.078% 0.54777452

17 193200 31020.6223 246100844 0.593407304 0.406592696 2.41E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.573927725 0.041% 0.59365254

18 199600 31590.3414 249582816 0.635652128 0.364347872 2.41E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.61601223 0.029% 0.63583801

19 205000 31706.2253 250120083 0.644813257 0.355186743 2.42E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.626719912 0.095% 0.64420297

20 214900 32325.1216 253750006 0.688040733 0.311959267 2.43E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.671634453 0.086% 0.68745233

21 225700 33214.5775 259063147 0.74553975 0.25446025 2.43E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.729745663 0.096% 0.74482734

22 231100 33259.0624 259125385 0.747692479 0.252307521 2.45E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.734868878 0.021% 0.74753457

23 244800 34048.3663 263621962 0.793310562 0.206689438 2.46E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.782615738 0.062% 0.79282154

24 243900 34344.4893 265551831 0.808315955 0.191684045 2.45E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.796570997 0.014% 0.80843303

25 273300 35876.2169 274019033 0.877716319 0.122283681 2.47E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.870305313 0.014% 0.87784272

26 271800 35899.9721 274232123 0.877017529 0.122982471 2.48E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.870673663 0.009% 0.87693976

27 455100 44979.8734 321380754 0.997798625 2.20E-03 2.58E-02 146060940 87159942.5 3.12956522 0 0.997954468 0.003% 0.99777315


W3P-Fanillo-It1



1 65400 20418.7502 176777907 9.23E-03 0.990771251 2.79E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 6166325.08 1.01E-02 38.023% 6.69E-03

2 79300 22165.1002 189154532 3.45E-02 0.965472626 2.73E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 4954388.72 3.70E-02 0.171% 3.46E-02

3 121800 25908.5128 214303009 0.200741112 0.799258888 2.42E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.192098386 0.005% 0.20075109

4 133200 26307.6788 216641032 0.211114886 0.788885114 2.67E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.220043428 0.077% 0.21127861

5 136100 26908.7138 220683008 0.265822754 0.734177246 2.45E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.257610044 0.060% 0.26598146

6 137500 26954.3462 220943070 0.266668343 0.733331657 2.48E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.261189221 0.153% 0.26707756

7 145300 27773.0033 226249470 0.338380152 0.661619848 2.36E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.318407644 0.087% 0.33867612

8 144500 27803.563 226489382 0.34483761 0.65516239 2.32E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.319997906 0.001% 0.34484191

9 155800 28274.0746 229244726 0.367843451 0.632156549 2.46E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.358497648 0.148% 0.36729957

10 156200 28302.8756 229424272 0.370102945 0.629897055 2.46E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.360717301 0.133% 0.36961022

11 152000 28358.3047 229966112 0.390458003 0.609541997 2.31E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.36205491 0.137% 0.38992445

12 158000 28660.6971 231774710 0.409446297 0.590553703 2.36E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.386621258 0.131% 0.40891228

13 160900 28813.1914 232688787 0.419614294 0.580385706 2.38E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.399049309 0.152% 0.4189763

14 160300 28945.652 233605469 0.438635 0.561365 2.31E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.408009467 0.146% 0.43799701

15 172900 29514.7233 236922326 0.46961119 0.53038881 2.44E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.45598537 0.140% 0.47026885

16 188700 30422.2725 242329496 0.537021601 0.462978399 2.49E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.529835846 0.134% 0.53630502

17 193200 31020.6223 246100844 0.598105308 0.401894692 2.38E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.573961267 0.101% 0.59870884

18 199600 31590.3414 249582816 0.649932362 0.350067638 2.32E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.616057144 0.065% 0.64950732

19 205000 31706.2253 250120083 0.646407025 0.353592975 2.41E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.626765793 0.072% 0.64687215

20 214900 32325.1216 253750006 0.691174025 0.308825975 2.41E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.671716766 0.054% 0.69080375

21 225700 33214.5775 259063147 0.758967466 0.241032534 2.34E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.729909311 0.028% 0.75875235

22 231100 33259.0624 259125385 0.749300628 0.250699372 2.44E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.73503585 0.041% 0.74899399

23 244800 34048.3663 263621962 0.793558255 0.206441745 2.46E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.782867915 0.011% 0.79347086

24 243900 34344.4893 265551831 0.823146448 0.176853552 2.34E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.79685568 0.056% 0.8226876

25 273300 35876.2169 274019033 0.883399794 0.116600206 2.42E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.870729999 0.025% 0.8831789

26 271800 35899.9721 274232123 0.886900709 0.113099291 2.39E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.871100187 0.042% 0.88727127

27 455100 44979.8734 321380754 0.997218188 2.78E-03 2.70E-02 144819233 88410322.1 3.17723776 0 0.998045717 0.001% 0.99722831


W3P-Fanillo-It2



1 65400 20418.7502 176777907 8.47E-03 0.991530495 2.79E-02 149067481 82715031 2.93461191 6166325.08 9.28E-03 26.668% 6.69E-03

2 79300 22165.1002 189154532 3.45E-02 0.965456434 2.79E-02 149067481 82715031 2.93461191 4954388.72 3.78E-02 0.124% 3.46E-02

3 121800 25908.5128 214303009 0.200428349 0.799571651 2.61E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.204709189 0.161% 0.20075109

4 133200 26307.6788 216641032 0.216163733 0.783836267 2.79E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.234278242 2.312% 0.21127861

5 136100 26908.7138 220683008 0.266406873 0.733593127 2.63E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.273643509 0.160% 0.26598146

6 137500 26954.3462 220943070 0.267425186 0.732574814 2.66E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.277387499 0.130% 0.26707756

7 145300 27773.0033 226249470 0.338906563 0.661093437 2.52E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.336714134 0.068% 0.33867612

8 144500 27803.563 226489382 0.345027201 0.654972799 2.48E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.338341485 0.054% 0.34484191

9 155800 28274.0746 229244726 0.367571615 0.632428385 2.64E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.377917818 0.074% 0.36729957

10 156200 28302.8756 229424272 0.369798889 0.630201111 2.64E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.380187381 0.051% 0.36961022

11 152000 28358.3047 229966112 0.390005287 0.609994713 2.47E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.381503935 0.021% 0.38992445

12 158000 28660.6971 231774710 0.409058546 0.590941454 2.52E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.406566443 0.036% 0.40891228

13 160900 28813.1914 232688787 0.419197544 0.580802456 2.54E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.419197544 0.053% 0.4189763

14 160300 28945.652 233605469 0.437387343 0.562612657 2.47E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.428253345 0.139% 0.43799701

15 172900 29514.7233 236922326 0.469971388 0.530028612 2.60E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.476658349 0.063% 0.47026885

16 188700 30422.2725 242329496 0.536226485 0.463773515 2.65E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.550263453 0.015% 0.53630502

17 193200 31020.6223 246100844 0.598126895 0.401873105 2.51E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.593706499 0.097% 0.59870884

18 199600 31590.3414 249582816 0.649858961 0.350141039 2.44E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.634848326 0.054% 0.64950732

19 205000 31706.2253 250120083 0.64677547 0.35322453 2.53E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.645302071 0.015% 0.64687215

20 214900 32325.1216 253750006 0.690290802 0.309709198 2.53E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.688835325 0.074% 0.69080375

21 225700 33214.5775 259063147 0.758783698 0.241216302 2.44E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.744664977 0.004% 0.75875235

22 231100 33259.0624 259125385 0.749591028 0.250408972 2.54E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.749591028 0.080% 0.74899399

23 244800 34048.3663 263621962 0.793761693 0.206238307 2.55E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.795059962 0.037% 0.79347086

24 243900 34344.4893 265551831 0.82229353 0.17770647 2.43E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.808258422 0.048% 0.8226876

25 273300 35876.2169 274019033 0.882849514 0.117150486 2.49E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.877716119 0.037% 0.8831789

26 271800 35899.9721 274232123 0.887271036 0.112728964 2.45E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.878055495 0.000% 0.88727127

27 455100 44979.8734 321380754 0.997243887 2.76E-03 2.64E-02 149067481 82715031 2.93461191 0 0.997770807 0.002% 0.99722831


W3P-Fanillo-It3



1 65400 20418.7502 176777907 8.30E-03 0.991703444 2.79E-02 146738938 86412952 3.105827 6166325.08 9.09E-03 24.081% 6.69E-03

2 79300 22165.1002 189154532 3.46E-02 0.965386262 2.60E-02 146738938 86412952 3.105827 4954388.72 3.53E-02 0.079% 3.46E-02

3 121800 25908.5128 214303009 0.201040853 0.798959147 2.40E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.190935404 0.144% 0.20075109

4 133200 26307.6788 216641032 0.211625491 0.788374509 2.65E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.219088396 0.164% 0.21127861

5 136100 26908.7138 220683008 0.266068815 0.733931185 2.44E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.256931026 0.033% 0.26598146

6 137500 26954.3462 220943070 0.266937918 0.733062082 2.47E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.260536376 0.052% 0.26707756

7 145300 27773.0033 226249470 0.338103633 0.661896367 2.36E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.318143291 0.169% 0.33867612

8 144500 27803.563 226489382 0.344567816 0.655432184 2.32E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.319742529 0.079% 0.34484191

9 155800 28274.0746 229244726 0.367827523 0.632172477 2.46E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.358482001 0.144% 0.36729957

10 156200 28302.8756 229424272 0.370099999 0.629900001 2.46E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.360714406 0.133% 0.36961022

11 152000 28358.3047 229966112 0.390456314 0.609543686 2.31E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.362053305 0.136% 0.38992445

12 158000 28660.6971 231774710 0.408249209 0.591750791 2.37E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.386755862 0.162% 0.40891228

13 160900 28813.1914 232688787 0.418474025 0.581525975 2.39E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.399248351 0.120% 0.4189763

14 160300 28945.652 233605469 0.437460825 0.562539175 2.32E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.408248553 0.122% 0.43799701

15 172900 29514.7233 236922326 0.470070486 0.529929514 2.44E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.45643763 0.042% 0.47026885

16 188700 30422.2725 242329496 0.536248479 0.463751521 2.50E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.530511692 0.011% 0.53630502

17 193200 31020.6223 246100844 0.598850139 0.401149861 2.38E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.574700354 0.024% 0.59870884

18 199600 31590.3414 249582816 0.649084273 0.350915727 2.33E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.616817387 0.065% 0.64950732

19 205000 31706.2253 250120083 0.647172995 0.352827005 2.41E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.627532311 0.047% 0.64687215

20 214900 32325.1216 253750006 0.690376842 0.309623158 2.42E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.672453147 0.062% 0.69080375

21 225700 33214.5775 259063147 0.75808244 0.24191756 2.35E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.730531086 0.088% 0.75875235

22 231100 33259.0624 259125385 0.74846509 0.25153491 2.45E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.735651573 0.071% 0.74899399

23 244800 34048.3663 263621962 0.794015398 0.205984602 2.46E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.783333362 0.069% 0.79347086

24 243900 34344.4893 265551831 0.822199437 0.177800563 2.35E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.797260573 0.059% 0.8226876

25 273300 35876.2169 274019033 0.883474678 0.116525322 2.42E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.870809036 0.033% 0.8831789

26 271800 35899.9721 274232123 0.886971147 0.113028853 2.39E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.87117565 0.034% 0.88727127

27 455100 44979.8734 321380754 0.997214142 2.79E-03 2.68E-02 146738938 86412952 3.105827 0 0.99794838 0.001% 0.99722831


W2P-Fmax-It1



1 65400 20418.7502 176777907 5.63E-02 0.94367234 2.29E-02 0 236187000 8.32 6166325.08 5.08E-02 7.130% 6.07E-02

2 79300 22165.1002 189154532 9.47E-02 0.90531006 2.29E-02 0 236187000 8.32 4954388.72 8.56E-02 3.380% 9.80E-02

3 121800 25908.5128 214303009 0.234296894 0.765703106 2.38E-02 0 236187000 8.32 1599483.78 0.221102082 0.015% 0.23426186

4 133200 26307.6788 216641032 0.254204061 0.745795939 2.42E-02 0 236187000 8.32 1093011.68 0.243630072 0.094% 0.25396439

5 136100 26908.7138 220683008 0.285546892 0.714453108 2.42E-02 0 236187000 8.32 636918.819 0.27392248 0.002% 0.28553993

6 137500 26954.3462 220943070 0.288529511 0.711470489 2.42E-02 0 236187000 8.32 587561.166 0.276808422 0.174% 0.28802932

7 145300 27773.0033 226249470 0.33658192 0.66341808 2.42E-02 0 236187000 8.32 12878.1772 0.323385169 0.015% 0.33663228

8 144500 27803.563 226489382 0.334536224 0.665463776 2.45E-02 0 236187000 8.32 6283.6194 0.324707477 0.082% 0.33481073

9 155800 28274.0746 229244726 0.366933127 0.633066873 2.45E-02 0 236187000 8.32 2705544.21 0.356427611 0.049% 0.36711308

10 156200 28302.8756 229424272 0.365236916 0.634763084 2.48E-02 0 236187000 8.32 2685452.71 0.358274966 0.023% 0.3653192

11 152000 28358.3047 229966112 0.370056007 0.629943993 2.45E-02 0 236187000 8.32 2708580.41 0.359488297 0.141% 0.37057738

12 158000 28660.6971 231774710 0.389758964 0.610241036 2.46E-02 0 236187000 8.32 2479914.61 0.380037582 0.004% 0.38974375

13 160900 28813.1914 232688787 0.399151954 0.600848046 2.47E-02 0 236187000 8.32 2370417.65 0.390520303 0.105% 0.3995733

14 160300 28945.652 233605469 0.408209682 0.591790318 2.46E-02 0 236187000 8.32 2312906.16 0.398191269 0.003% 0.4081961

15 172900 29514.7233 236922326 0.445986957 0.554013043 2.49E-02 0 236187000 8.32 1914616.51 0.439404523 0.015% 0.44605584

16 188700 30422.2725 242329496 0.507958001 0.492041999 2.52E-02 0 236187000 8.32 307133.32 0.505158452 0.125% 0.50859303

17 193200 31020.6223 246100844 0.550476155 0.449523845 2.51E-02 0 236187000 8.32 1118886.76 0.546142308 0.041% 0.55070352

18 199600 31590.3414 249582816 0.590749993 0.409250007 2.51E-02 0 236187000 8.32 262896.636 0.586338758 0.037% 0.59097056

19 205000 31706.2253 250120083 0.599524136 0.400475864 2.52E-02 0 236187000 8.32 315208.406 0.596581569 0.064% 0.59914356

20 214900 32325.1216 253750006 0.64256918 0.35743082 2.53E-02 0 236187000 8.32 556618.276 0.641095231 0.017% 0.64246256

21 225700 33214.5775 259063147 0.702636019 0.297363981 2.53E-02 0 236187000 8.32 241742.162 0.701189944 0.036% 0.70288691

22 231100 33259.0624 259125385 0.706402495 0.293597505 2.54E-02 0 236187000 8.32 198207.43 0.706402495 0.082% 0.705827

23 244800 34048.3663 263621962 0.756588861 0.243411139 2.55E-02 0 236187000 8.32 152392.904 0.757960743 0.042% 0.75627103

24 243900 34344.4893 265551831 0.773658866 0.226341134 2.54E-02 0 236187000 8.32 91750.3688 0.773658866 0.074% 0.77422851

25 273300 35876.2169 274019033 0.857966 0.142034 2.54E-02 0 236187000 8.32 203171.978 0.857966 0.035% 0.85766256

26 271800 35899.9721 274232123 0.856249936 0.143750064 2.57E-02 0 236187000 8.32 212090.873 0.858463351 0.034% 0.85654095

27 455100 44979.8734 321380754 0.999526526 4.73E-04 2.55E-02 0 236187000 8.32 54876.1509 0.999540805 0.000% 0.9995304


W2P-Fmax-It1



1 65400 20418.7502 176777907 6.00E-02 0.939953442 2.29E-02 0 235730147 8.1829 6166325.08 5.42E-02 0.999% 6.07E-02

2 79300 22165.1002 189154532 9.79E-02 0.902118735 2.34E-02 0 235730147 8.1829 4954388.72 9.04E-02 0.124% 9.80E-02

3 121800 25908.5128 214303009 0.233877957 0.766122043 2.48E-02 0 235730147 8.1829 1599483.78 0.228963731 0.164% 0.23426186

4 133200 26307.6788 216641032 0.254399197 0.745600803 2.51E-02 0 235730147 8.1829 1093011.68 0.251767978 0.171% 0.25396439

5 136100 26908.7138 220683008 0.285205889 0.714794111 2.51E-02 0 235730147 8.1829 636918.819 0.282320082 0.117% 0.28553993

6 137500 26954.3462 220943070 0.288137777 0.711862223 2.51E-02 0 235730147 8.1829 587561.166 0.285228553 0.038% 0.28802932

7 145300 27773.0033 226249470 0.336394016 0.663605984 2.50E-02 0 235730147 8.1829 12878.1772 0.332025738 0.071% 0.33663228

8 144500 27803.563 226489382 0.334433412 0.665566588 2.53E-02 0 235730147 8.1829 6283.6194 0.333348677 0.113% 0.33481073

9 155800 28274.0746 229244726 0.367445395 0.632554605 2.52E-02 0 235730147 8.1829 2705544.21 0.36512352 0.091% 0.36711308

10 156200 28302.8756 229424272 0.365816636 0.634183364 2.55E-02 0 235730147 8.1829 2685452.71 0.366970857 0.136% 0.3653192

11 152000 28358.3047 229966112 0.370506791 0.629493209 2.52E-02 0 235730147 8.1829 2708580.41 0.368171632 0.019% 0.37057738

12 158000 28660.6971 231774710 0.389912207 0.610087793 2.53E-02 0 235730147 8.1829 2479914.61 0.388705109 0.043% 0.38974375

13 160900 28813.1914 232688787 0.39916699 0.60083301 2.54E-02 0 235730147 8.1829 2370417.65 0.39916699 0.102% 0.3995733

14 160300 28945.652 233605469 0.408052444 0.591947556 2.53E-02 0 235730147 8.1829 2312906.16 0.406809621 0.035% 0.4081961

15 172900 29514.7233 236922326 0.44653748 0.55346252 2.55E-02 0 235730147 8.1829 1914616.51 0.44784556 0.108% 0.44605584

16 188700 30422.2725 242329496 0.508899433 0.491100567 2.58E-02 0 235730147 8.1829 307133.32 0.5130723 0.060% 0.50859303

17 193200 31020.6223 246100844 0.550714065 0.449285935 2.57E-02 0 235730147 8.1829 1118886.76 0.553580656 0.002% 0.55070352

18 199600 31590.3414 249582816 0.590313076 0.409686924 2.57E-02 0 235730147 8.1829 262896.636 0.593227374 0.111% 0.59097056

19 205000 31706.2253 250120083 0.598955135 0.401044865 2.58E-02 0 235730147 8.1829 315208.406 0.603328247 0.031% 0.59914356

20 214900 32325.1216 253750006 0.642740224 0.357259776 2.58E-02 0 235730147 8.1829 556618.276 0.64712578 0.043% 0.64246256

21 225700 33214.5775 259063147 0.703240481 0.296759519 2.57E-02 0 235730147 8.1829 241742.162 0.706110618 0.050% 0.70288691

22 231100 33259.0624 259125385 0.705528193 0.294471807 2.59E-02 0 235730147 8.1829 198207.43 0.711232428 0.042% 0.705827

23 244800 34048.3663 263621962 0.756294148 0.243705852 2.59E-02 0 235730147 8.1829 152392.904 0.761737435 0.003% 0.75627103

24 243900 34344.4893 265551831 0.774416642 0.225583358 2.57E-02 0 235730147 8.1829 91750.3688 0.777087967 0.024% 0.77422851

25 273300 35876.2169 274019033 0.857344003 0.142655997 2.57E-02 0 235730147 8.1829 203171.978 0.859549156 0.037% 0.85766256

26 271800 35899.9721 274232123 0.856730645 0.143269355 2.58E-02 0 235730147 8.1829 212090.873 0.86003252 0.022% 0.85654095

27 455100 44979.8734 321380754 0.999523388 4.77E-04 2.51E-02 0 235730147 8.1829 54876.1509 0.999477572 0.001% 0.9995304

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