METODO DE RUFFINIPara cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.

Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto grado edxcxbxax 234 tiene cuatro

raíces enteras, 1x , 2x , 3x y 4x se factoriza así:  

4321234 xxxxxxxxaedxcxbxax

 Pero ¿cómo se obtienen las raíces?, por la regla de Ruffini 

Ejemplo: Factorizar 12164 234 xxxx

Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de 12. O sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y –12 Probemos con uno   1 -4 -1 16 -121   1 -3 -4 12  1 -3 -4 12 0Como vemos la última suma ha dado cero. Eso quiere decir que uno es una raíz del polinomio y que nos sirve para factorizar.Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir probando los demás divisores de 12.Los coeficientes que han quedado en la última fila, en realidad son los coeficientes del cociente de dividir el polinomio entre x-1, y la última suma es el resto de dicha división.Si escribimos la relación fundamental de una división entera, o sea queDividendo = Divisor x Cociente + Resto

  12164 234 xxxx = 012431 23 xxxx = 12431 23 xxxx

 De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado hay que intentar seguir factorizando, de nuevo por la regla de Ruffini.Aplicando sucesivas veces esta regla queda:   1 -4 -1 16 -121   1 -3 -4 12  1 -3 -4 12 02   2 -2 -12    1 -1 -6 0  -2   -2 6      1 -3 0     Como las raíces son, 1, 2 y –2 y el último cociente es x-3La factorización final es: 

12164 234 xxxx = 3221 xxxx

 Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no se puede factorizar dentro de los números reales.

ECUACION DE CUARTO GRADO

Una ecuación cuartica con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la

forma canónica:

donde a, b, c, d y e (siendo ) son números que pertenecen a un cuerpo,

usualmente a los reales o los complejos .

CASO GENERAL

Sea K un cuerpo, donde se pueden extraer raíces cuadradas y cúbicas (y por lo tanto

también de cuarto orden, pues equivale a extraer raíces cuadradas dos veces seguidas).

En este cuerpo, es posible factorizar por todo a, y la identidad siguiente es válida:

.

En un cuerpo algebraicamente cerrado, se sabe que todo polinomio de grado 4 tiene

cuatro raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el Teorema Fundamental

del Álgebra.

El método siguiente permite obtener las cuatro raíces al mismo tiempo, eso sí, después

de un largo cálculo.

Los pasos de la resolución son:

← Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a. Se obtiene:

, donde , , y

Proceder al cambio de incógnita , para suprimir el término cúbico. En

efecto, al desarrollar con la identidad precedente, vemos aparecer el término

, compensado exactamente por que aparece en . Tras sustituir

x y operando con las identidades notables, se obtiene:

, con p, q y r números del cuerpo.

← Y ahora, la idea genial: Factorizar lo anterior en

, lo que es posible porque no hay z³ en el polinomio.

Desarrollando la expresión e identificando los dos polinomios, obtenemos las

condiciones:

(coeficiente de x²)

(coeficiente en x)

(término constante)

Después de calcular, hallamos:

Es una ecuación del sexto grado, α sólo aparece con potencias pares.

Pongamos A = α2. Entonces:

lo que se sabe resolver porque es una ecuación de tercer grado.

Luego se encuentra α, β y γ, y se resuelven y

, y para rematar, no hay que olvidar que .

ECUACIONES VICUADRATICAS

Éstas son un caso particular de las anteriores. Les faltan los términos a la tercera y a la

primera potencia. Su forma canónica es:

Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable

Con lo que nos queda: El resultado resulta ser una ecuación de

segundo grado que podemos resolver usando la fórmula:

Ahora bien, esto no nos da las cuatro soluciones esperadas. Aún hemos de deshacer el

cambio de variable. Así las cuatro soluciones serán:

Ejemplo: Resolver la ecuación x4 − 2x3 + 8x − 3 = 0.

ºsuponemos

Otro caso particular: Ecuaciones Quasi-simétricas [editar]

El siguiente tipo de ecuación

, donde , puede ser resuelto

usando el método de Ana Flores:

Al dividir la ecuación por x2, se obtiene

Haciendo cambio de variable:

Llegamos a

Así

Esta ecuación da 2 raíces, z1 y z2

Las raíces de la ecuación original pueden ser obtenidas resolviendo las siguientes

ecuaciones de 2o grado:

y

Si a0 no es 1 en

este método es de todas formas aplicable, luego de dividir la ecuación entre a0.

Las ecuaciones quasi simétricas poseen la siguiente propiedad, que, por otra parte, las

define: si x1, x2, y x3,x4 son las raíces de la ecuación, entonces x1x2 = m. Dado que el

producto de las 4 raíces es m2, entonces x3x4 = m necesariamente.