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11
Prof. Lorí Viali, [email protected]
http://www.ufrgs.br/~viali/Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Uma coleção de todos os
possíveis elementos, objetos
ou medidas de interesse.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Um levantamento efetuado
sobre toda uma população é
denominado de levantamento censitário ou simplesmente
censo.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Um subconjunto finito
de uma população de
interesse.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
O processo de escolha de
uma amostra da população é
denominado de amostragem.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Método de se inferir sobre
uma população a partir do
conhecimento de pelo menos
uma amostra dessa população.
22
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Estudo das relações teóricas
existentes entre uma população e
as amostras dela extraídas.
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POPULAÇÃO(Censo)
AMOSTRA(Amostragem)
InferênciaErro
PROBABILIDADE
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AT m i op so ts r
ad g e e
m
Probabilística
Não Probabilística
Todos os elementos da
população têm probabilidade conhecida (e diferente de zero)
de fazer parte da amostra.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Aleatória Simples
Sistemática
Estratificada
Por Conglomerados
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Uma amostra é dita “aleatória
simples” ou “ao acaso” se todos os
elementos da população tiverem a
mesma probabilidade de pertencer a
amostra
33
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A
A
S
====
n
Nk
AnNk =
ComReposição
SemReposição
Total de Amostras
Nnk =
Não Ordenadas
Ordenadas
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A unidade amostral é escolhida
em intervalos pré-fixados. Assim se
N = tamanho da população e
n = tamanho da amostra. Então o
passo ou intervalo é k = N/n.
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Se N = 1000 e n = 100
Então:
k = N/n = 1000/100= 10.
Sorteia-se um número entre 1 e 10.
Digamos 7. Então a amostra será:
7, 17, 27, ...., 997.
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A população é estratificada
(em grupos mutuamente
exclusivos) e então uma amostra
aleatória simples de cada estrato
é retirada.
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Nos métodos anteriores cada
observação é escolhida de forma
individual. Na amostragem por
agrupamento, grupos de
observações são escolhidas ao
acaso.
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Considere uma população de
20 itens dividida em 5 grupos de 4
itens cada. Para escolher uma
amostra de n = 8, escolhe-se 2 grupos, ao invés de 8 itens
individuais.
44
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Grupo Elementos
1 X1, X2, X3, X4
2 X5, X6, X7, X8
3 X9, X10, X11, X12
4 X13, X14, X15, X16
5 X17, X18, X19, X20
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Uma característica da população é denominada de parâmetro.
Um estimador é uma
característica da amostra.
Uma estimativa é um valor
particular de um estimador.
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A MÉDIAµ
A VARIÂNCIAσ2
O DESVIO PADRÃOσ
A PROPORÇÃOπProf. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
A VARIÂNCIAS2
O DESVIO PADRÃOS
A PROPORÇÃOP
A MÉDIAX
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
POPULAPOPULAÇÇÃOÃO
θθθθ
θ̂1
θ̂2
θ̂k
..... ....................... ..................
Amostra 1
Amostra 2
Amostra k
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A distribuição de
probabilidade de um
estimador (variável aleatória)
é denominada de distribuição
amostral desse estimador.
55
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População P = {1, 2, 3, 4}
%504
2
4
1010==
+++=π
2514
30502
222
2 ,n
,X =−=−= µ∑
σ
5024
10
4
4321,==
+++=µ
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
1 2 3 4
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Plano Amostral
aa = ao acaso
Método
s/r = sem reposição
Tamanho das Amostras
n = 2
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Tem-se:
N = 4; n = 2.
Então:
6242
4
2
4=
−=
=
=
)!(!
!
n
Nk
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0,50,53,5(3, 4)6
1,02,03,0(2, 4)5
0,50,52,5(2, 3) 4
0,54,52,5(1, 4)3
0,02,02,0(1, 3)2
0,50,51,5(1, 2)1
ProporçõesVariânciasMédiasAmostras
66
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
1/63,5
1,0Total
1/63,0
2/62,5
1/62,0
1/61,5
x )xX(P)x(f ==
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
15/63,5/6
3,0/6
5,0/6
2,0/6
1,5/6
1,01/6
1/6
2/6
1/6
1/6
12,25/63,5
40/6Total
9,00/63,0
12,50/62,5
4,00/62,0
2,25/61,5
x )x(f )x(f.x )x(f.x2
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502615 ,/
)x(f.x)X(EX
==
=== ∑µ
3
251
6
40502
2
222
,
)(E)X(V
,
)X(EXX
=−=
=−==σ
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Média
Erro padrão
COMReposição
SEMReposição
Características
nX
σ=σ
1−
−σ=σ
NnN
nX
µ==µ )X(EX
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Para este exemplo, tem-se:
3
25,1
3
2
2
25,1
14
24
2
25,1
1N
nN
n
22
X
=
=
=
−
−=
−
−= σ
σ
77
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Se uma amostra aleatória de
tamanho “n” for retirada de uma
população X com uma distribuição
N(µ; σ), então a distribuição de ,
média da amostra, tem uma
distribuição N(µ, )
X
n
σ
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Médias
População 14
2
nX ==
σ=σ
2=σ
µ=µX
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Uma amostra de n = 16
elementos é retirada de uma
população N(80; 8). Determine:
)77X(P )a( <
)85X76(P )b( << 0,00
0,04
0,08
0,12
0,16
0,20
48 56 64 72 80 88 96 104 112
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Tem-se: µ = 80, σ = 8
Sabe-se que:
216
8
n
e 80
X
X
==σ
=
=
σ
µ
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Então:
%68,6 0,0668
)50,1(-1,50)P(Z
)2
8077X(P
)77X(P )a(
X
X
==
=−Φ=<=
=−
<−
=
=<
σ
µ
88
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
%10,97%28,2%38,99
)00,2()50,2(
)5,2Z2(P
)2
8085X
2
8076(P
)85X76(P )b(
X
X
=−=
=Φ−Φ=
=<<−=
=−
<−
<−
=
=<<
σ
µ
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Se uma amostra aleatória de
tamanho “n > 30” for retirada de uma
população com qualquer distribuição
de média µ e desvio padrão σ, então a
distribuição de , média da amostra,
tem uma distribuição aproximadamente
N(µ, )
X
n
σ
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0 2 4 6 8
Médias
População50
16
2,
nX ==
σ=σ
2=σ
2=µ=µXProf. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Uma amostra de “n” elementos é
retirada de uma população N(80; 4).
Determine “n” de forma que:
%,)X(P 50179 =<
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Tem-se: µ = 80, σ = 4
Sabe-se que:
nn
e
X
X
4
80
=σ
=
=
σ
µ
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Então:
%,)4
n()
4
n-P(Z
)
n
X(P
)X(P
X
X
501
4
8079
79
=−Φ=<=
=−
<−
=
=<
σ
µ
99
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
76
6884172
1724
6882
≅≥
==
−=−
),(n
,.,n
,n
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
1,0Total1/61,0
3/60,5
1/60,0
f(p)p
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0 0,5 1
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
3/61/6
2/6
0/6
p.f(p)
1,01/6
4/6
1/6
f(p)
1/61,0
2/6Total
1/60,5
0/60,0
p2.f(p)p
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
%5050,06/3
)p(f.p)P(EP
===
=== ∑µ
12
1
6
2
)(E)P(V
6
3
)P(EP
2
222P
=−=
=−==
σ
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COMReposição
SEMReposição
Média
Erro padrão
π==µ )P(EP
1N
nN
n
)1(P
−
−π−π=σ
n
)1(P
π−π=σ
Características
1010
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Para este exemplo, tem-se:
12
1
3
25,0
3
2
2
25,0
14
24
2
5,0.5,0
1N
nN
n
)1(2P
==
=
=
−
−=
−
−π−π=σ
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
0
10
20
30
40
50
0,0 25,0 50,0 75,0 100,0
%50
0,5.0,5
)1(P
=
==
=π−π=σ
%81,1510
)50,01(5,0n
)1(P ====
−−−−====
ππππ−−−−ππππ====σσσσ
%50P
=π=µ
População
Médias
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Se uma amostra aleatória de
tamanho “n > 100” for retirada de uma
população com proporção ππππ, então a
distribuição de P, proporção na
amostra, tem uma distribuição
aproximadamente N(π, )n
( π−π 1 0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
40,00 42,50 45,00 47,50 50,00 52,50 55,00 57,50 60,00
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Uma amostra de n = 400 eleitores
é retirada da população que prefere o
candidato Zigoto com π = 50%
Determine:
%)56P(P )b( >
%)54P%47(P )a( <<
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Tem-se: π = 50%
Sabe-se que: µP = π = 50%
%50,2025,0
400
)45,01(45,0
n
)1(P
==
=−
=
=π−π
=σ
1111
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Então:
%01,83
%51,11%52,94)20,1( - )60,1(
1,60) Z P(-1,20
)%5,2
%50%54P
%5,2
%50%47(P
)54P47(P )a(
P
P
=
=−=−ΦΦ=
=<<=
=−
<−
<−
=
=<<
σ
µ
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
%82,0)40,2(
)40,2(1)40,2Z(P
)%50,2
%50%56P(P
%)56P(P )b(
P
P
=−Φ=
=Φ−=>=
−>
−=
=>
σ
µ
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
1,0Total1/64,5
2/62,0
3/60,5
f(s2)s2
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,5 2,0 4,5
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
10/64,5/6
4,0/6
1,5/6
s2.f(s2)
1,01/6
2/6
3/6
f(s2)
20,25/64,5
29/6Total
8,00/62,0
0,75/60,5
(s2) 2.f(s2)s2
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
67,13
5
)(f)(E ssS222
S2
==
=== ∑µ
06,218
37
18
5087
6
29
][E)(V
3
5
)S(E)S(S
2
2 22 222
S2
==−
=−=
=−==
σ
1212
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Média
Erro padrão
CaracterísticasAmostragem com reposição
)(E 22
S2 S σµ ==
1n
2
1n
2 24
S2−
=−
= σσ
σ
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Se uma amostra aleatória de
tamanho “n” (grande) for retirada de
uma população com variância σσσσ2222, então
a distribuição de S2, variância da amostra, tem uma distribuição
aproximadamente χ2 com “n-1” g.l., a
menos de uma constante.
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Isto é:
χσ−
=2
1-nnS
1
22
Este resultado é conhecido como Teorema de Fisher
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Uma amostra de n = 81
elementos é retirada de uma
população com variância σσσσ2 = 10.
Determine a probabilidade de que
P(S2 > 15).
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
Tem-se:
n = 81
σ2 = 10
Sabe-se que:
χσ−
=2
1-nnS
1
22
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
%,)
)).
)).
])n.(
])n(
[P)(P
(P
(P(P
[P
S
n
n
250120
10
8015
10
8015
115
151
15
2
80
2
80
2
80
2
2
1
2
1
22
=>
=>=>=
=−
>=
=>−
=>
χ
χχ
σχ
χσ
−
−
Então:
1313
Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística Prof. Lorí Viali, Dr. – UFRGS – Instituto de Matemática - Departamento de Estatística
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
35 38 40 43 45 48 50 53 55 58 60 63 65
)5 ; 50(N
0%
10%
20%
30%
40%
50%
10 19 29 39 49 58 68 78 87 97 107 117 126 136 146
25)(E 22S == σ
35,351n
2 = 2
S2 =−
σσ
Mínimo Máximo Média Desvio (Erro) Padrão
0,0085 110,2515 22,0809 25,76778
n = 2
0%
5%
10%
15%
20%
6 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91
252
S2 == σµ
68,174
2.25
1n
2 = 2
S2 ==−
σσn = 5
Mínimo Máximo Média Desvio (Erro) Padrão
3,54 113,22 26,80 20,37
0%
5%
10%
15%
20%
12 14 17 19 22 24 27 29 32 34 37 39 41 44 46
252
S2 == σµ
07,725
2.25
1n
2 = 2
S2
==
=−
σσn = 25
Mínimo Máximo Média Desvio (Erro) Padrão
12,94 39,90 25,66 6,28