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Método del Punto Fijo
Carlos Uriel Herrera Felipe de Jesús Aguilar
May 21, 2018Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
Facultad de Ciencias Físico Matemáticas
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Contenido
1 IntroducciónEspacios MétricosEspacios completos
2 El teorema del punto fijoEspacios de Banach
3 Conclusión
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Introducción
Métricas
Sea X un conjunto no vacío. Una función:
d : X × X → R+ ∪ {0} (1)
Es llamada métrica en X si satisface las siguientes condiciones:
1 ∀x , y ∈ X ; d (x , y) = d (y , x) (simetría).
2 d (x , y) = 0 ⇐⇒ x = y
3 ∀x , y , z ∈ X : d (x , z) ≤ d (x , y) + d (y , z) (desigualdad triangular)
A la pareja (X , d) se le denomina espacio métrico
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Introducción
Sucesiones y convergencia
Definición
Sea (X , d) un espacio métrico. Una función f : N → X es llamadasucesión en X . Comúnmente f (n) = xn; y por tanto, las denotamos por{xn}n∈N o {xn}
Una observación importante es que hablar de sucesiones es muy diferente ahablar del rango de la función f . Al rango de la sucesión lo denotamoscomo Im (f ).
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Introducción
Sucesiones y convergencia
Definición
Sean (X , d) un espacio métrico, {xn}n∈N, {yn}n∈N sucesiones en X . Sedice que {yn} es sub-sucesión de {xn} si existe una función inyectivag : N→ N tal que: (f ◦ g) (n) = yn
La sub-sucesiones tienen su importancia porque ayudan a estudiar elcomportamiento de la sucesión completa; pudiendo ser éstas más sencillas.
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Introducción
Sucesiones y convergencia
Definición
Sean (X , d) un espacio métrico, {xn} una sucesión en X y x0 ∈ X . Sedice que xn converge a x0 si
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tq. si n ≥ n0 ⇒ d (xn, x0) < ε. (2)
Notar que si {xn} converge a algún punto de X , entonces éste es único.¡Prúebelo!
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Introducción
Condición de Cauchy
Definición
Sean (X , d) un espacio métrico y {xn} una sucesión en X . {xn} se dicede Cauchy si:
∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tq. si n,m ≥ n0 ⇒ d (xn, xm) < ε. (3)
Cauchy buscaba resolver problemas de proximidad en un intento decaracterizar sucesiones convergentes.Ejercicio: Convergente ⇒ Cauchy. Además, dé un ejemplo de Cauchy 6⇒Convergente.
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Introducción
Espacios Completos
Definición
Sea (X , d) un espacio métrico. X es completo si toda sucesión de Cauchyen X es convergente (en X ).
Puede demostrarse que todo espacio métrico admite una completación.
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El teorema del punto fijo
Espacios de Banach
Definición
Sea V un espacio vectorial. Una norma en V es una función || || : V →R+ ∪ {0} que satisface:
||x || = 0 ⇐⇒ x = 0
||x + y || ≤ ||x ||+ ||y ||
||c (x) || = |c | (||x ||)
Si V está dotado de una norma, entonces se dice que V es un espacionormado.
Ejercicio: Pruebe que todo espacio normado es un espacio métrico.
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El teorema del punto fijo
Espacios de Banach
Definición
Sea V un espacio normado. Si consideramos a la métrica en V comod (x , y) = ||x−y ||. V es un Espacio de Banach si d hace a V un espaciométrico completo.
Artículo pionero: Sur les operátions dans les ensembles abstraits ellear application aux équations intégrales de S. Banach.
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El teorema del punto fijo
Al fin...
Teorema
Sean (X , d) un espacio métrico completo y f : X → X una función talque:
(de Lipschitz) ∀ x , y ∈ X : d (f (x), f (y)) ≤ kd (x , y), para algunak ∈ (0, 1)
Entonces f admite un único punto fijo; esto es: existe un único x0 ∈ Xtal que f (x0) = x0.
Observación: La prueba no depende de las propiedades de espacio vectorial.LA DEMOSTRACIÓN ES NUESTRO MÉTODO.
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El teorema del punto fijo
Demostración
La prueba se divide en varios pasos:
Escogemos un punto cualquiera; x0 ∈ X .
Definamos la siguiente regla de recurrencia (sucesión): xn+1 = f (xn).Observe que f es continua. (Ejercicio)
La condición que 0 < k < 1 implica que {xn} es de Cauchy, y por tanto,convergente; digamos, a x .
x = limn→∞
xn+1 = limn→∞
f (xn) = f(lim
n→∞xn)= f (x) (4)
En conclusión, x es el punto deseado: f (x) = xEjercicio: Valide todas las igualdades en (4), y además compruebe launicidad de x .
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El teorema del punto fijo
La prueba como método númerico
Estamos interesados en resolver ecuaciones de la forma:
f (x) = 0 (5)
En lugar de la ecuación (5) podemos intentar resolver:
ϕ(x) = x (6)
Las ecuaciones (5) y (6) son equivalentes por el siguiente:
Lema
Si f y g son funciones continuas tales que g 6= 0, entonces (5) y (6) con
ϕ(x) := x − f (x)g(x) (7)
tienen las mismas soluciones.
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El teorema del punto fijo
La prueba como método numérico
En consecuencia, hallar raíces es equivalente a hallar puntos fijos. Por lotanto el método puede verse en dos partes:
Hacer uso del lema anterior para convertir el problema de hallar la raíz a unproblema de punto fijo.
Seguir los pasos de la prueba del teorema para hallar la solución aproxinada.
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El teorema del punto fijo
Tratamiento local
La condición de Lipschitz sobre f en R, con la condición de que seadiferenciable implican:
|f ′ (x) | ≤ k < 1
¿Qué significa geométricamente?Observación: La hipótesis de que f (X ) ⊆ X es sutil, ya que siconsideramos a la función:
f :
[14,34
]→ R, f (x) = x2 − x + 3 (8)
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El teorema del punto fijo
Tratamiento local
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El teorema del punto fijo
Tratamiento local
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El teorema del punto fijo
Tratamiento local
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El teorema del punto fijo
¡Cuidado!
Observación
La condición de la existencia de k es impresciendible. Considere a lafunción:
f (x) = x + (1+ ex)−1 (9)
Demuestre que 0 < f ′(x) < 1 para todo x ∈ R, y que f no tiene puntosfijos.
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El teorema del punto fijo
Sin k, we are lost!
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El teorema del punto fijo
Casos patológicos
Sea f definida como:
f (x) =x3 + 1
3(10)
Observe que tiene tres puntos fijos; digamos α, β, γ, donde:
−2 < α < −1, 0 < β < 1, 1 < γ < 2
Sea x0 un punto cualquiera. Defina a {xn} como arriba.
Ejercicio: Exihiba que, sin importar quién sea x0, xn → β¡Ni γ ni α pueden ser hallados por este método!
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El teorema del punto fijo
Caso patológico
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Conclusión
Resumen
Algoritmo:
Convertir la ecuación f (x) = 0 a la forma ϕ(x) = x .
Determinar un intervalo adecuado I donde se encuentre la solución, y una"solución" inicial x0
El teorema da condiciones suficientes para la convergencia. Definir lasucesion xn+1 = ϕ(xn)
El método tiene una convergencia lineal: el número de dígitos exactos crecearitméticamente con el número de iteraciones.
¿Cuándo terminar el proceso?: Criterio débil de Cauchy y control sobre elnúmero de iteraciones.
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Conclusión
Código
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Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill: InternationalSeries in Pure and Applied Mathematics, 1976.
Luis Vázquez. Métodos Númericos para la Física e Ingeniería. McGraw-HillInteramericana de España, 2009.
Ignacio L. Iribarren. Topología de Espacios Métricos. México Limusa, 2008.
S. Banach. Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application auxéquations intégrales. Publié dans Fund. Math. 3, 1922; pp. 133-181.
Eugene Isaacson. Analysis of Numerical Methods. Dover Publications, INC. NewYork, 1994.
Michael Spivak. Calculus. Editorial Reverté, 3ra Edición (4ta en inglés), 2012.
Gisela Engeln. Numerical Algorithms with C. Springer - Verlag, Primera Edición.1996.
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