MÉTODO DE KANI

Este método está basado en el desarrollado inicialmente por Gaspar Kani quien nació en

octubre de 1910 en Frantztal, Serbia, que fue publicado en el idioma español por primera vez en

1968, en inglés en 1957 y en la propuesta mejorada por el Ingeniero Japonés Fukuhei TaKabeya,

publicada por primera vez en el idioma español en 1969, siendo su primera edición en Inglés en

1965. También se incluyen algunos conceptos desarrollados por Hardy Cross En todas las

publicaciones mencionadas se incluía el análisis para pórticos con nodos desplazables.

Estos procedimientos resuelven el sistema de ecuaciones de rotación para una estructura

o sistema estructural del tipo fundamentalmente llamado Pórtico Plano, por medio de

aproximaciones sucesivas que se corrigen también sucesivamente. Por tanto es importante

recordar las hipótesis bajo las cuales se deducen las ecuaciones de rotación como son:

A) El material es homogéneo, isótropo y se comporta como lineal elástico, es decir, todo el

material es de la misma naturaleza, tiene idénticas propiedades físicas en todas las direcciones y

las deformaciones, e , que sufre son directamente proporcionales a los esfuerzos, s , que resiste y

el factor de proporcionalidad se llama modulo de elasticidad, E, es decir, s = E e (Ley de Hooke)

B) El principio de las deformaciones pequeñas que señala que una vez cargada la estructura las

deformaciones o desplazamientos lineales y angulares de las juntas o nodos y de cada uno de los

puntos de sus miembros son bastantes pequeños de tal manera que la forma de ella no cambia ni

se altera apreciablemente

C) El principio de superposición de efectos que supone los desplazamientos y fuerzas internas

totales o finales de la estructura sometida a un conjunto o sistema de cargas se pueden encontrar

por la suma de los efectos de cada una de las cargas consideradas aisladamente

D) Solo se pueden tomar en cuenta los efectos de primer órden como son: Las deformaciones

internas por flexión siempre, mientras que las por fuerza axial y torsión así como la existencia de

segmentos rígidos se pueden tomar en cuenta o no.

El enfoque de kani está basado en el método de las aproximaciones sucesivas y en la

distribución de momentos para expresar el efecto de las rotaciones y desplazamientos nodales. El

método iterativo de análisis de estructuras desarrollado por G. Kani, viene a ser extremadamente

satisfactorio para el análisis de cualquier estructura convencional para edificios de varios pisos

bajo cualquier condición de cargas dadas. Kani propuso extender este método a las estructuras

con columnas continuas a través de varios pisos con solo ligeras modificaciones.

Los enfoques de Croos y Kani (1930) basados en los métodos de las aproximaciones

sucesivas y la distribución de momentos descartan las complejas relaciones matemáticas y por el

contrario se apoyan en simplicidades aritméticas.

Es erróneo suponer que un método de aproximaciones sucesivas sea un método

aproximado. Esencialmente un método aproximado, es aquel que proporciona como su nombre lo

indica, valores aproximados, mientras que los métodos de aproximaciones sucesivas arrojan

resultados con la precisión deseada por el calculista

El enfoque del análisis estructural con la aplicación de matrices tuvo las mas grandes

contribuciones de 4 protagonistas: Collar, Duncan, Argyris y Turner. Entre 1934 y 1938 los dos

primeros publicaron artículos con la representación y terminología para los sistemas materiales

que son utilizados hoy en día. En el año 1930 Collar y Duncan formularon la aeroelasticidad

discreta en forma matricial. Los primeros dos artículos y el primer libro sobre el tópico apareció en

el mundo estructural entre 1934 y 1938. El segundo avance que se realizó en el análisis estructural

matricial apareció en los años 1954 y 1955 cuando el profesor Argyris sistematizó una unificación

formal de los Métodos de las Fuerzas y de los Desplazamientos utilizando los teoremas de energía

dual. Este trabajo sistematizó el concepto de ensamblaje del sistema de ecuaciones estructurales a

partir de sus componentes elementales M. Turner propuso en el año 1959 el Método Directo de

las Rigideces para el Análisis Estructural, y logró los cambios más dramáticos: un método bastante

general y muy eficiente de la implementación computacional del entonces incipiente, Método de

los Elementos Finitos. La teoría de la elasticidad es una teoría que ha estado disponible para todos

los diferentes enfoques requeridos del análisis estructural, pero requiere de un conocimiento

relativamente avanzado en el área de las matemáticas.

El enfoque neuronal del método de kani es tolerante a fallas, por ser correctivo, esto

permite calificar como un método con eliminación automática de errores a medida que la red

aprende. La comprobación de los resultados que se obtienen después de realizar los productos y

sumas de unos pocos valores puede hacerse con finalidad extrema en cualquier elemento de

procesamiento o nodo y en cualquier capa de neuronas, sin que para ello se requiera de servicios

de expertos en ingeniería estructural.

El método de Kani es un método iterativo para dar solución a un sistema hecho por trabes

y columnas (en dos dimensiones). Los parámetros de entrada son las propiedades geométricas de

los elementos (área, momento de inercia, longitud) propiedad mecánicas y las convexiones con los

elementos y apoyos.

Los resultados del método son los elementos internos (momentos, fuerzas cortantes y

axiales) con ellos podemos diseñar las estructuras a base de marcos rígidos.

La determinación del desplazamiento lateral de un piso por el método de Kani requiere

efectuar iteraciones para cada columna. Este método también se puede aplicar al análisis con

estructuración irregular, acoplado a muros, ya sean vigas o columnas.

CASO ESTRUCTURA SIN DESPLAZAMIENTO

La deducción de las normas básicas para el tratamiento de las estructuras sin

desplazamiento relativo de sus extremos es completamente análoga a la vista anteriormente en

los métodos de ángulos de giro y de flexion y cross; solamente existen ligeros cambios en

nomenclatura.

De nuevo se considera que el estado final del elemento se alcanza mediante la

superposición de 3 efectos: el de las cargas considerando empotramiento en los nudos, el efecto

del giro en el nudo (i) y el efecto del giro en el punto (j).

VENTAJAS

El método de kani maneja aproximaciones sucesivas y, en consecuencia las respuestas

se pueden lograr con la exactitud que se desee mientras las hipótesis fundamentales y

los datos básicos lo permitan.

La inclusión de los efectos de desplazamiento se hace en forma muy simple.

La formulación del procedimiento conduce a una eliminación prácticamente automática

de los errores ocasionales.

Es muy fácil verificar en cualquier nudo la verdad de los resultados.

Los cambios eventuales de cargas o dimensiones en cualquier elemento se pueden tener

en cuenta con muy poco esfuerzo adicional.

No es difícil de aplicar a estructuras con miembros acartelados.

Es fundamentalmente un método de distribución de momentos.

Tiene facilidad de programación y baja exigencia de memoria de computador.

DESVENTAJAS

Su aplicación está limitada a pórticos octogonales y que no incluye los efectos de los

acortamientos axiales, que se hacen cada vez mas importantes al incrementar el número

de pisos a los niveles corrientes en las torres de nuestros días.

Este tipo de método es algo extenso para edificios de muchos pisos por ser método

manual.

PROCEDIMIENTO

ESTRUCTURA CON DESPLAZAMIENTO:

Se calcula la rigidez

Se calcula el coeficiente de giro

Se calcula el coeficiente de desplazamiento

Momento de empotramiento

Momentos de pisos y momentos finales

ESTRUCTURA SIN DESPLAZAMIENTO:

Calcular la rigidez

Calcular coeficiente de giro

Momento de empotramiento

Estos procedimientos resuelven el sistema de ecuaciones de rotación para una estructura

o sistema estructural del tipo fundamentalmente llamado Pórtico Plano, por medio

de aproximaciones sucesivas que se corrigen también sucesivamente. Por tanto es importante

recordar las hipótesis bajo las cuales se deducen las ecuaciones de rotación

En esta metodología se señala un procedimiento para tomar en cuenta si se desea alguna de

las tres o todas las consideraciones siguientes: las deformaciones debidas al corte, los segmentos

rígidos en los extremos de los miembros, así como también que los miembros puedan ser de

sección variable a lo largo de su eje recto. Esto se logra introduciendo sus efectos en la

determinación de las constantes elásticas Ci, Cj y C. Otros efectos como el de torsión puede

incluirse en estas constantes dejando al lector tal estudio. La convención de signos propuesta por

Kani y bajo la cual se deducen todas las expresiones a objeto de mantener su propuesta original es

la siguiente:

Esto no quiere decir que no podemos usar la convención de sentido contrario como es el

de la convención tradicional de positivos para momentos,

giros de juntas y rotaciones de miembros el sentido antihorario. Esto no altera las expresiones

deducidas ya que esto equivaldría hacer el mismo procedimiento con sentidos contrarios a los

indicados en las deducciones, es decir:

Por lo tanto podemos utilizar cualquiera de los dos sentidos para la convención de signos y

será conveniente indicar la que se utilice cada vez que apliquemos este procedimiento de cálculo.

Llama profundamente la atención la poca difusión de este método, que a pesar

del tiempo transcurrido desde su publicación, no haya sido divulgado ampliamente por autores

modernos especialistas en la temática del Análisis Estructural. El autor no ha conseguido hasta la

fecha un método de Análisis Estructural que supere las ventajas que ofrece, inclusive en

comparación con uno de los mas conocidos el de Hardy Cross, quien nació en 1885 Virginia, U.S.A.,

publicado por primera vez en inglés en 1932, desde el punto de vista de lo expedito del

procedimiento, rápida convergencia, buena precisión, práctico, autocorrectivo,

ejecución manual o automática. Además hemos incluido los denominados factores de

transporte definidos en el método de Cross para relacionarlos con este método.

Probablemente la deficiente demostración que presentó Kani en su folleto, no dio

garantías a estudiosos de la materia de lo poderoso y de la rigurosidad matemática con que se

puede demostrar la validez de este método, vacío que creo hemos llenado en estas páginas. Este

método puede emplearse para análisis dinámico de estructuras. El autor también ha desarrollado

una versión para obtener la frecuencia y período natural de vibración de una estructura, que

incluiremos en próximas revisiones.

DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS O ECUACIONES DE ROTACIÓN PARA UN MIEMBRO DE UNA

ESTRUCTURA.

Estas se definen al aplicar el método llamado de los desplazamientos o de las rotaciones

para un miembro cualquiera en una estructura plana, tomando en cuenta las

cinco hipótesis señaladas en la introducción. Este método es un método de flexibilidad por que

determina factores de flexibilidad que son desplazamientos producidos por fuerzas unitarias como

veremos más adelante. Para esto se selecciona un miembro cualquiera, que antes de aplicar a la

estructura un sistema de cargas estará en una posición inicial y después de aplicar este sistema

decargas pasa a una posición deformada como se indica a continuación en la figura 2.1, donde se

señalan las deformaciones finales denominadas por θi, rotación en el extremo i, θj, rotación en el

extremo j y i j, rotación del miembro como si fuera cuerpo rígido. Por principio de superposición

esta deformada puede ser igual a la suma de los dos casos siguientes:

Cálculos Iniciales.

1. Momentos de empotramiento en cada extremo de los miembros,

2. Factores de Nudo que se anotarán en los nudos del marco.

3. Factores de Piso que se registrarán a cada lado de cada piso.

4. Rotaciones Iniciales de Nudo

5. Rotaciones Iniciales de Piso

Cálculos de Procedimiento.

1. Como primera aproximación para la rotación de un piso , tómese la rotación inicial del

piso .

2. Como primera aproximación para la rotación de un nudo , tómese la rotación inicial del

nudo .

Los métodos que utilizan Las ecuaciones de rotación como son el método de las

rotaciones, Cross, Kani y Tacabeya se consideran métodos de rigidez ya que en ellos las incógnitas

son las rotaciones de las juntas y giros en las columnas o desplazamientos horizontales de los

niveles, aunque indirectamente se utiliza el método de las fuerzas para obtener sus expresiones y

las ecuaciones de momentos de empotramiento. El método de flexibilidad aplicado a una

estructura cualquiera no es práctico ya que cualquier estructura común indeterminada tiene

muchos sistemas primarios isostáticos, mientras que la rigidez de cualquier miembro y toda una

estructura es única.

EXPRESIONES PARA DETERMINAR EN LOS EXTREMOS DE UN MIEMBRO LOS MOMENTOS DE

EMPOTRAMIENTO.

S.E. (Solicitaciones externas cualesquiera)

Aplicando el método de las fuerzas, seleccionando un sistema primario isostático eliminando las

fuerzas redundantes seleccionadas como son los momentos de empotramientos MEi j y MEj i se

puede establecer que este caso será igual utilizando el principio de superposición a la suma de los

tres casos indicados en la siguiente figura:

Casos equivalentes por el método de las fuerzas.

Adicionalmente deben cumplirse las siguientes ecuaciones de compatibilidad de

deformaciones o deformaciones consistentes, es decir, las deformaciones en el sistema original en

los extremos del miembro deben ser iguales por el principio de superposición a las sumas

correspondientes a los tres sistemas, como es:

0 = fi, 0 + MEi j (fi,i) + MEj I (fi,j ) ....

0 = fj,0 + MEi j (fj,i) + MEj I ( fj,j ).. donde los valores f i j son los que hemos llamado anteriormente

factores de flexibilidad y estos son siempre deformaciones o desplazamientos, de tal manera que

uno de ellos es la deformación en la dirección de i producido por una fuerza unitaria en la

dirección j. En el caso de fi,0 y fj,0 son las deformaciones en las direcciones i,j respectivamente

producidas en el sistema (0) con las cargas del sistema original. Estas ecuaciones de compatibilidad

se resuelven obteniéndose:

Los factores de flexibilidad f por medio del principio de las fuerzas virtuales, de tal manera

que el sistema virtual con fuerza unitaria será el que indica el primer subíndice y el otro sistema es

el que corresponde al segundo subíndice.

 

INFLUENCIA O PARTICIPACION EN LOS MOMENTOS, M´´i j DEBIDO A LA ROTACION O GIRO DE

LOS ELEMENTOS i j

En el caso de pórticos solo los elementos verticales o columnas son los que sufrirán giro de

miembro , ya que los extremos de los elementos horizontales se trasladan horizontalmente sin

que ellos sufran desplazamientos verticales, por lo tanto no rotan. Por lo antes dicho solo las

columnas son los únicos elementos de los sistemas estructurales aporticados que tendrán

influencias M´´i j en los momentos extremos. Esto partiendo de la hipótesis de las ecuaciones de

rotación que no toman en cuenta o desprecian las deformaciones debidas a las fuerzas axiales.

Este efecto de traslación por desplazamientos horizontales que sufren las juntas de un pórtico se

denomina usualmente desplazabilidad lateral o simplemente DESPLAZABILIDAD. Recordemos

que este método resuelve el sistema de ecuaciones rotación para toda la estructura, por lo tanto

se cumplen las bases del método de los desplazamientos, que descompone los efectos del sistema

real en la suma de los efectos de otros dos como indicamos a continuación: Este sistema real, con

sus solicitaciones externas cualesquiera (S.E.), Hipergeométrico, es decir, un sistema con

grados de libertad, que son desplazamientos independientes, G.D.L. mayores que cero. En éste

existen juntas que sufren giros o rotaciones (Desplazamientos angulares) y/o

desplazamientos lineales, que provocan en algunos miembros, como

indicamos al principio de este punto, en las columnas, giros como cuerpos rígidos, i j

Los momentos en los extremos de cada miembro se llaman usualmente momentos finales

o reales, Mi j. Los efectos o resultados de este sistema lo podemos obtener por el Principio de

Superposición como la suma de los efectos de los dos sistemas.

Cuando las rigideces se obtienen en función de una inercia de referencia para toda la

estructura llamada Ir, o una rigidez de referencia llamada Kr, entonces los valores que se iteran

son M´/Ir y M´´/Ir o M´/Kr y M´´/Kr respectivamente. De tal manera que los factores de giro y de

corrimiento estarán en función de 1/Ir o 1/Kr

.

Los primeros valores o los valores iniciales como no se conocen de M´se toman iguales a

cero. El orden de los cálculos es arbitrario porque el método es autocorrectivo y si cometemos

algún error aumentará el número de ciclos. Cuando se hacen cálculos manuales e incluso

automáticos mediante el uso de programas de computación, es importante hacer notar que

cuando se trata del análisis de un pórtico por cargas verticales los efectos más importantes se

deben a las influencias M´ y se pueden despreciar los efectos por M´´, lo contrario para cargas

horizontales los efectos M´´ son los más importantes y los M´ podemos despreciarlos. En el caso

de Pórticos espaciales, podemos suponer que no hay torsión en planta y todas las columnas de un

piso tienen la misma desplazabilidad, es decir habrá un solo M´´ por piso y todas las columnas del

piso colaboran en el único factor de corrimiento para el mismo y habrá un solo Momento de piso.

Un procedimiento más exacto sería considerar un momento de piso producido por la fuerza

horizontal equivalente y un factor de corrimiento para cada pórtico, es decir, cada pórtico tendrá

una desplazabilidad distinta.

COLUMNAS QUE PERTENECEN A MÁS DE UN PISO

a) Si existe una placa rígida por ejemplo a nivel 2 : Esta rigidez produce que todos los

desplazamientos horizontales del piso sean iguales y por lo tanto podemos suponer una viga

ficticia de dimensiones nulas:

b) Si no existe placa o elemento suficientemente rígido o un vacío :La columna colabora

en las influencias M´´p de los pisos a que pertenece. Se reparte su influencia proporcionalmente a

las M´´ de cada piso, y en M´ colaboran todas las M´´p de los pisos a que pertenece la columna.