EL MTODO DE MUTO

El mtodo de Muto se utiliza para resolver en forma aproximada a los prticos de edificios compuestos por vigas y columnas ortogonales, sujetos a carga lateral producidas por el viento o los sismos. El mtodo contempla en cierta forma la deformacin por flexin de las barras, con lo cual, los resultados que se obtienen son mucho ms precisos que los calculados mediante el mtodo del Portal o del Voladizo, e incluso pueden utilizarse para el diseo de estructuras de mediana altura, donde los efectos de la deformacin axial son despreciables.1. Rigidez LateralSupongamos la siguiente columna biempotrada, sujeta a un desplazamiento lateralPor equilibrio: Siendo: Se obtiene: Multiplicando por: a = 1Resulta:

Se define a la Rigidez Lateral Absoluta (K o Da) como aquella fuerza cortante (V) capaz de originar un desplazamiento lateral unitario, relativo entre los extremos de la columna, bajo esta definicin se obtiene:Rigidez Lateral Absoluta = Donde Do es la denominada Rigidez Lateral Estndar (con unidades de fuerza entre longitud, usualmente ton I cm) calculada como:Rigidez Lateral Estndar= La Rigidez Lateral Estndar depende de la altura de cada columna, pero, como usualmente las columnas que conforman un entrepiso tienen la misma altura, entonces esas columnas tendrn el mismo valor Do. Por otro lado, se define a la Rigidez Lateral Relativa (adimensional) al valor:Rigidez Lateral Relativa=

El coeficiente "a" contempla el grado de empotramiento que tiene la columna en sus extremos; para el caso que la columna est biempotrada (vigas muy rgidas) el valor de "a" es 1. En cambio, si la columna est biarticulada "a" es cero (no tiene rigidez lateral, o no opone resistencia al desplazamiento lateral); por otro lado, si la columna est articulada en su base (por ejemplo, zapata sobre un suelo muy blando) y empotrada en su extremo superior (vigas rgidas). Se demostrar que "a" es .

Por equilibrio:Siendo:Resulta:Con lo cual:Como:Se concluye que:a=1/4

Cabe indicar que pese a que la columna est articulada en su base, en el mtodo de Muto siempre se trabaja con un coeficiente de rigidez a la flexin kc = I / (h Ko).El valor "a" est comprendido entre 0 y 1 (). y la mxima rigidez lateral (K) se obtiene cuando la columna est biempotrada; si esa columna se articulase en su base (por ejemplo, por la formacin de una rtula plstica) K se reduce en 75%, y si luego se articulase en su extremo superior, K se degrada en 100%, convirtindose el sistema en un mecanismo inestable (Fig. 6.4).

Tal como se ha definido la rigidez lateral, se tendra que ella resulta dependiente del sistema de carga lateral actuante; sin embargo, Muto concluye que en los prticos compuestos por vigas y columnas, la distribucin y magnitud de las cargas laterales no afecta el valor de K. Por ejemplo, si se calculase mediante Cross el desplazamiento y la fuerza cortante en la columna "A" del prtico mostrado en la Fig. 6.5, para dos estados de carga, resulta K1=K2=K.

Es decir, las variables que intervienen en mayor grado en el clculo de K son las propiedades elsticas y geomtricas de la columna, as como el grado de empotramiento que tiene en sus extremos. Esto no es cierto para el caso de Placas, cuya rigidez lateral depende fuertemente de la distribucin que adoptan las cargas laterales.

CLCULO DEL COEFICIENTE "a"A travs de una serie de comparaciones contra resultados obtenidos mediante mtodos matriciales, Muto recomienda emplear las siguientes frmulas para calcular "a":Columnas que Pertenecen a Entrepisos Superiores al PrimeroObservaciones:a.- Si b.- El mtodo es vlido solo cuando , de lo contrario, la frmula resulta imprecisa. El valor k es menor que 0.2 cuando las vigas son muy flexibles en relacin con la columna (vigas chatas), o cuando la columna trata de transformarse en una placa.

Subcasos para las Columnas del Primer Pisoa.- Base SemiempotradaAparte de existir vigas de cimentacin (VC), la rigidez aportada por los pilotes o el suelo de cimentacin (K) se contempla mediante la expresin:

Cuando la base de la columna est semiempotrada, el valor que se obtenga de "a", deber ser inferior al caso en que la base est empotrada (subcaso "b").

2. Clculo de Desplazamientos y Cortantes. Columnas en ParaleloLa condicin para que un conjunto de columnas estn dispuestas en paralelo es que su desplazamiento relativo (M sea nico. Esto ocurre en los edificios compuestos por losas de piso axialmente rgidas (aligerados o losas macizas), denominadas "diafragmas rgidos", donde, al existir monolitismo entre las vigas y la losa (ya que el concreto de ambos elementos se vaca en simultneo), las vigas tambin sern rgidas axialmente.Estudiando un entrepiso cualquiera del prtico mostrado en la Fig. 6.6, y llamando Q al cortante de entrepiso (valor conocido por equilibrio de fuerzas laterales), se tratar de reducir el conjunto de columnas a un slo eje vertical, cuya rigidez de entrepiso sea la suma de las rigideces laterales de las columnas que conforman ese entrepiso.

Como , entonces , de la cual puede obtenerse:

Luego, la fuerza cortante en cada columna se calcula como:

Es decir, cada columna absorbe fuerza cortante en proporcin a su rigidez lateral. Por otro lado, puede observarse que el desplazamiento del entrepiso () pueden obtenerse si se modela al prtico como un slo eje vertical, cuya rigidez de entrepiso sea Ki.3. Prticos con Mezzanine y Vigas de Entrepiso. Columnas en SerieLa condicin para que dos o ms columnas (ubicadas una sobre la otra) estn dispuestas en serie es que la fuerza cortante en ellas sea nica, lo que implica que la fuerza actuante a la altura del nivel que separa a las columnas es nula. Este sistema puede reducirse a una sola columna equivalente de doble altura de la siguiente manera:

En el primer piso:En el segundo piso:Luego:De la cual:En general para columnas en serie se tiene:Este caso de columnas en serie puede presentarse en prticos con Mezzanine, donde a la altura del Mezzanine la masa es pequea, as como la aceleracin ssmica, con lo cual, la fuerza de inercia en ese nivel es prcticamente despreciable con relacin a las que existen en los niveles superiores. Tambin puede presentarse en prticos con viga intermedia en el entrepiso, que sirve como apoyo del descanso de alguna escalera, al ser su masa pequea, la fuerza de inercia ser prcticamente nula en ese nivel.

Determinacin de EsfuerzosConocido el cortante que absorbe una columna (V), Muto proporciona unas Tablas (ver anexo) que permiten ubicar la posicin del punto de inflexin (PI). Luego, siguiendo un proceso similar al explicado para el mtodo del Portal, se determinan los esfuerzos:a.- Graficar el DMF en las columnas.b.- Calcular los momentos en las vigas, repartiendo el momento desequilibrado en los nudos en proporcin a las rigideces de las vigas (kv), y graficar su DMF.c.- Determinar la fuerza cortante en las vigas por equilibrio.d.- Evaluar la fuerza axial en las columnas.

Ubicacin del Punto de Inflexin (PI) en las ColumnasEste punto se localiza a una altura medida a partir de la base de la columna igual a "y h ", el valor "y" se determina como y = yo + y1 + y2 + y3; donde "yo" es a la altura estndar del PI, "y1" es una correccin por variacin de rigideces de las vigas, mientras que "y2" e "y3" corresponden a correcciones por diferencias de alturas entre los pisos consecutivos. Como usualmente los pisos son tpicos, slo se calcula "yo".

Altura Estndar del PI (yo h), Tabla 1 AMuto elabor la Tabla 1 A, suponiendo que las alturas de los entrepisos eran iguales, as como que las rigideces de las vigas no variaban y que la distribucin de las fuerzas laterales era triangular.El clculo de "yo" se efecta en cada eje vertical de columnas.Para ingresar a la Tabla 1 A, es necesario saber cuntos niveles tiene el eje de la columna en anlisis, en que entrepiso est ubicada y el valor de k.

Correccin y1. Tabla 2.Esta correccin se realiza slo cuando las vigas que llegan al extremo superior (A) de la columna tienen distinta rigidez a flexin que las inferiores (B). Para calcular y1 es necesario determinar el parmetro a1 y k, para luego ingresar a la Tabla2, anotndose que:- Si a1 = 1 y1=0 (es lo usual).- Para el primer piso y1 = 0 salvo que la base est semiempotrada.- Si a1 > 1, se ingresa a la Tabla 2 con la inversa de a 1 y se cambia de signo al valor "y1"; es decir, el PI se corre hacia abajo.

Correcciones y2, y3. Tabla 3Estas correcciones se efectan cuando la columna superior o inferior a la que est en estudio, tienen distintas alturas; para esto, es necesario calcular los parmetros a2, a3 y k. Observaciones:-Si a2 = 1 y2 = 0-Si a3 = 1 y3 = 0Para columnas del primer piso y3 = 0Para columnas del ltimo piso y2 = 0

4. EJEMPLOS DE APLICACIN4.1. Resolver el prtico mostrado en la figura. Suponer:

E = 210 ton/cmVigas: 30 x 60 cmColumnas: 30 x 45 cmKo = 760cmCOEFICIENTE DE RIGIDEZ A FLEXIN (k)k = I / (L Ko)Columna con base rotulada:kc = 30x45 / (12x200x760) = 1.5Vigas:kv = 30x60 / (12x600x760) = 1.18RIGIDEZ LATERAL ABSOLUTA (K):D = a kcK = D Do (ton/cm)

Do = 12 E Ko / hPara h = 300 cm Do = 12x210x760/300 = 21.28ton/cmPara h = 600cm Do = 12x210x760/600 = 5.32 ton/cmPara h = 200cm Do = 12x210x760/200 = 47.88 ton/cm-CLCULO DE . Trabajando con los conceptos de columnas en paralelo y en serie:

1= 12.75/22.28 = 0.57 cm; 2= 12.75/17.87 = 0.71 cm; 3= 10/27.23 = 0.37 cm-CLCULO DE y, Vi = Ki i = Q Ki/ Ki"

DMF (ton-m):

De haber existido una fuerza (F1) aplicada a la altura del Mezzanine del ejemplo anterior, tendra que procederse aplicando las ecuaciones de equilibrio y de compatibilidad de desplazamientos para calcular 1 y 2, tal como se ilustra a continuacin.

CORTE A-A:F2 + F3 = V2 + V3 = K2 2 + K3 (1 + 2). (1)CORTE B-B:F1 + F2 + F3 = V1 + V3 = K1 1 + K3 (1 + 2). (2)De (1) Y (2) se despeja 1 + 2; luego, la fuerza cortante que absorbe cada columna se calcula aplicando: Vi = Ki iCabe mencionar que este problema result un tanto complicado de analizar, debido a que la intencin fue estudiar una serie de casos particulares como fueron: una estructura con Mezzanine, base articulada y columnas de diferentes alturas; sin embargo, para los casos convencionales resulta muy simple aplicar el mtodo de Muto, tal como se ver en el segundo ejemplo.4.2 Aplicando el mtodo de Muto, analizar al prtico resuelto mediante los mtodos del Portal y Voladizo.

Asumir:Vigas: 0.3 x 0.5 mCols.: 0.3 x 0.4 m

Ko = 0.0004 mE = 2'000,000 tn/m

Do = 12 E Ko / hpara h = 3 m:Do = 1067 ton/mpara h = 4m:Do = 600 ton/mEn este caso no existen correcciones y1, y2, y3; es decir: y = yo.

Nota: Cuando no existe un cambio significativo entre las alturas de los pisos consecutivos (Menos de 30%) y cuando el valor , puede observarse en la Tabla 3 del Anexo que y2 = y3 = O

5. ANEXO

TABLA 1A - ALTURA ESTANDAR DEL PUNTO DE INFLEXIN (yo).

N= nmero de niveles del eje de la columna en anlisis.

TABLA 2 CLCULO DE y1 CORRECCIN POR VARIACIN EN LAS RIGIDECES DE LAS VIGAS.

Nota*Para el primer piso: y1=0, salvo que la base est semiempotrada.*Cuando a1>1 se ingresa a la tabla 2 con la inversa de a1 y al resultado (y1) se le cambia de signo, esto significa que el punto de inflexin se desplaza hacia el lado de las vigas menos rgidas, en este caso hacia abajo.

TABLA 3 CLCULO DE y2 y y3 CORRECCIN POR VARIACIN DE LA ALTURA DEL ENTREPISO

Notas:a) Cuando a2=1 y2=0b) Cuando a3=1 y3=0c) Para el primer piso y3=0d) Para el ltimo piso y2=0