Metodología general para el cálculo de unas tablas de vida (2)Breve descripción de las columnas de una tabla de vida

Una tabla de vida representa sobre un formato de filas y columnas, las formas de morir de una real o teórica generación de individuos. Se compone de una serie de columnas, cada una de las cuales muestra un aspecto específico de la mortalidad de una población dada (lx,nqx,ndx..). Cada fila representa la edad x, o el rango de edad [x,x+n], para los que se calculan los anteriores aspectos de la mortalidad. Una de la columnas de este modelo de uso más extendido, es la de la esperanza o expectativa de vida a una edad concreta, la cual representa la media de años que le restan por vivir a los miembros de la generación que aún viven a dicha edad. La esperanza de vida a cero años o al nacer es la más empleada y representa la edad media a la que mueren los individuos de la generación de la tabla.    

Como ejemplo ilustrativo podemos tomar la tabla de vida abreviada de los varones andaluces de trienio 1989-91, que se ha representado en la Tabla 1.

Tabla 1 Tabla de vida. Varones andaluces 1989-91  

x n nmx nax nqx lx ndx nLx nTx ex

0 1 0,00970 0,10 0,00962 100000 962 99134,6 7254672,9 72,55

1 4 0,00046 0,39 0,00182 99038 180 395714,6 7155538,2 72,25

5 5 0,00023 0,46 0,00115 98858 114 493984,1 6759823,6 68,38

10 5 0,00028 0,54 0,00140 98744 138 493403,9 6265839,5 63,46

15 5 0,00077 0,57 0,00386 98606 381 492211,8 5772435,5 58,54

20 5 0,00136 0,49 0,00677 98225 665 489429,9 5280223,7 53,76

25 5 0,00162 0,50 0,00808 97560 789 485829,1 4790793,8 49,11

30 5 0,00176 0,50 0,00876 96772 847 481739,4 4304964,7 44,49

35 5 0,00196 0,50 0,00974 95924 935 477284,7 3823225,3 39,86

40 5 0,00272 0,50 0,01348 94990 1281 471746,4 3345940,6 35,22

45 5 0,00427 0,50 0,02111 93709 1979 463597,8 2874194,3 30,67

50 5 0,00727 0,50 0,03570 91730 3274 450465,1 2410596,5 26,28

55 5 0,01089 0,50 0,05300 88456 4688 430559,2 1960131,3 22,16

60 5 0,01737 0,50 0,08325 83768 6974 401405,4 1529572,1 18,26

65 5 0,02770 0,50 0,12955 76794 9949 359100,1 1128166,7 14,69

70 5 0,04359 0,50 0,19654 66846 13138 301384,0 769066,7 11,51

75 5 0,07118 0,50 0,30213 53708 16227 227972,6 467682,7 8,71

80 5 0,11726 0,50 0,45338 37481 16993 144922,6 239710,1 6,40

85 5 0,18522 0,49 0,62900 20488 12887 69577,7 94787,5 4,63

90   0,30151   1,00000 7601 7601 25209,8 25209,8 3,32

El apellido "abreviado" se usa para referirnos a que la desagregación etaria no es para edades simples (en cuyo caso se denominaría tabla de vida completa), sino para grupos quinquenales. En una tabla abreviada la edad de cero años nunca está agrupada en un quinquenio.

Una tabla del "momento" o transversal representa a una generación ficticia que estaría sometida a unos riesgos de mortalidad por edad, que han sido estimados no en una sola generación (longitudinal) sino a partir de la experiencia de distintas generaciones, envejecidas en grado diverso durante el periodo de observación 1989-91. Los indicadores que produce una tabla de vida del momento no son directamente aplicables a ninguna de las generaciones sobre las que se han calculado, sino a una teórica generación construida a retazos con las experiencias de mortalidad de un conjunto distinto de cohortes observadas durante intervalos temporales cortos (de 1 a 5 años).

La nomenclatura internacional estándar usada en las tablas de vida es la que se ha representado en la 1ª columna. La convención que se utiliza generalmente en el uso de los subíndices en las tablas abreviadas es la siguiente:

Cuando existe un solo subíndice posterior Jx:: El estimador "J" está referido a una edad exacta "x", como por ejemplo supervivientes a la edad exacta x o expectativa de vida a la edad x. Si x se expresa en años enteros, x representa el momento exacto del cumpleaños.

Cuando existe un subíndice anterior y otro posterior nJx: El estimador "J" es una medida que está relacionada con un intervalo [x,x+n[. Por ejemplo la tasa promedio de mortalidad entre las edades exactas x y x+n-1, o la probabilidad morir antes de cumplir los x+n años, condicionado a haber llegado vivo a la edad x. Sin embargo esta regla no siempre se cumplirá rígidamente en el caso de que, como es habitual, trabajemos con intervalos anuales n=1, es frecuente que el subíndice posterior se omita, como en la columna qx de las tablas de vida competas,

Columnas: "x" y "n": Edad y anchura rango edadLa primera columna de la tabla debe de identificar la edad para la que se estiman cada una del resto de las columnas de la tabla. Determinadas columnas como lx son estimaciones a la edad exacta x (comienzo del rango de edad x,x+n) y son independientes de la anchura "n" del rango etario, mientras que otras columnas como nqx, son estimaciones totalmente dependientes de la anchura n de rango etario. Es frecuente que en las llamadas tablas de vida completas, en las que las filas están dadas de año en año (n=1), se suprima completamente la columna "n" de las tablas. En estas tablas en las que las columnas solo tienen el subíndice x (qx, dx) se sobrentiende implícitamente que n=1.

Columna lx: número de supervivientes a de la cohorte iniciada a la edad x:

Representa el número de individuos de la población de la tabla de vida, que aún sobreviven a la edad exacta x. "l0" representa el efectivo inicial (recién nacidos) de la generación ficticia de una tabla de vida. Por convenio l0 es una

potencia entera de 10 (lo más frecuente 105). Las diferentes filas de lx se generan de manera seriada restando las defunciones ocurridas durante el intervalo x,x+n (ndx) a los sobrevivientes en x (lx) para obtener los supervivientes x+n (lx+n).

Columna nqx: Cocientes, riesgos de mortalidad o probabilidad condicionada de morir

Esta columna denominada por los autores franceses cociente de mortalidad y por los anglosajones probabilidades condicionadas de morir o riesgo de mortalidad, representa la probabilidad de que un individuo que haya llegado vivo a la edad x, muera antes de llegar a cumplir la edad x+n, es decir que estando vivo a la edad x muera en el intervalo [x,x+n[. Su complemento a uno es otra columna habitual de las tablas de vida: la probabilidad condicionada de supervivencia npx=1- nqx.

Columna ndx: defunciones en el intervalo x,x+nEsta celdilla recoge las defunciones que durante el intervalo x,x+n se producen entre los supervivientes a x (lx). Su cálculo es inmediato conociendo la columna de lx, ya que en la generación de la tabla de vida no se producen más salidas que por defunción ndx=lx-lx+n. Igualmente es derivable a sí a partir de riesgo y de los supervivientes ndx=lx· nqx.

Columna: Persona-Tiempo o número de años vividos en x,x+nEs una columna auxiliar pero que juega un papel fundamental para el cálculo posterior de la esperanza de vida. Se define como el número total de años vividos por los sobrevivientes a x (lx) durante el intervalo x,x+n. De manera estricta corresponde exactamente al área bajo la curva del efectivo poblacional (lx) durante el intervalo x,x+n:

Si bien esta expresión representa formalmente este parámetro, su cálculo practico se realiza mediante la columna auxiliar nax.

Columna nax: Fracción media de los últimas n-años vividosEstrictamente hablando representa la media de años vividos, por los fallecidos ndx en el intervalo [x,x+n[ partido por la anchura del intervalo. Formalmente esto es:

Siendo f(x) la función continua de densidad de defunción (la función continua de la columna ndx ). nax representa la fracción de intervalo [x,x+n[ que han vivido el conjunto de individuos ndx que ha fallecido durante dicho intervalo. Si conocemos este parámetro es fácil estimar la columna nLx como la suma de los n-años que vivieron en el intervalo cada uno de los supervivientes al final del intervalo x+n, más los años que vivieron en el intervalo [x,x+n[ los ndx que murieron en dicho intervalo:

El valor de nax suele ser obtenido a priori, bien estimado a partir de la fechas exactas de defunción de los fallecidos, bien a través de una tabla completa o bien obtenido mediante algunas tablas empíricas como las suministradas por Chiang.

Columna tasa promedio o central de la tabla de vida: nmx

La tasa promedio para el intervalo se define como el número de defunciones entre las edades [x,x+n[, partido por los años vividos por la generación en dicho periodo.

Si bien las tasas promedio del intervalo no es una columna fundamental en el diseño de una tabla de vida, sin embargo desempeña un importante papel en algunos métodos de construcción de tablas de vida del momento a partir de las fuentes estadísticas de población más fácilmente disponibles.    

Es frecuente la utilización de la notación de nMx para referirnos a las tasas interanuales estimadas a partir de los datos publicados, para distinguirlos de las nmx estimados de las defunciones y personas-año de la tabla de vida. Dado que es una asunción robusta que las tasas promedio de periodo u observada en la población general es una adecuada aproximación de la tasa promedio de las tablas de vida, es posible deducir a partir de estas columnas el resto de las columnas de la tabla. El punto de partida es la relación entre tasas promedio y probabilidad condicionada:

Las tasas promedio también son llamadas centrales, ya que se supone que es una buena estimación de la fuerza instantánea de mortalidad o cocientes instantáneos m (x).

Esperanza o expectativa de vida a la edad xFormalmente es la media de los años que restan por vivir a los individuos sobrevivientes a la edad x.

Es una de la columnas más características de una tabla de vida. Representa la media (o esperanza matemática) de los años que restan por vivir a los individuos que han llegado vivos a la edad x. La esperanza de vida es en esencia, una forma de combinar las tasas de mortalidad específicas por edad en un modelo estadístico único que nos sintetice la información que estas tasas contienen. Una de las principales ventajas del uso de la esperanza de vida para comparar la mortalidad de determinadas poblaciones, es que este indicador no está afectado por las posibles diferencias en la estructura por edad de estas poblaciones. Así mismo, este indicador no precisa la siempre arbitraría elección de una estructura de población estándar, a partir de la cual se realizaría la estimación de los indicadores estandarizados. La esperanza de vida a cero años o al nacer es la más empleada y representa la edad media a la que mueren los individuos de la generación de la tabla.

Columna Tx: total de años que restan por vivir a los supervivientes en xPara facilitar el cálculo de la ex suele existir una columna auxiliar Tx que definimos como el total de años que restan por vivir a los supervivientes en x y que no es nada más que el acumulado desde x hasta w (siendo w la última de la tabla de vida a partir de la cual no hay supervivientes). De manera que la estimación de ex se realiza directamente por la división de esta columna por lx.    

http://www.socialsecurity.gov/espanol/plan/expectativa.htm