METODOLOŠKE OSNOVE UTVRĐIVANJA METODOLOŠKE OSNOVE UTVRĐIVANJA CENA CENA AKCIJA AKCIJA II OBVEZNICAOBVEZNICA

FinansijskaFinansijska matematikamatematika

• Fer, intristična vrednost finansijskog instrumenta :

Sadašnja vrednost očekivanog budućeg neto novčanog toka za investitora.Sadašnja vrednost očekivanog budućeg neto novčanog toka za investitora.

• Složeni interesni račun za vrednovanje instrumenata na tržištu kapitala

PRIMENA FINANSIJSKE MATEMATIKE NA TRŽIŠTU KAPITALAPRIMENA FINANSIJSKE MATEMATIKE NA TRŽIŠTU KAPITALA

• Vrednovanje akcija i dugoročnih obveznica

•• AkcijaAkcija je dugoročna hartija od vrednosti sa varijabilnim prinosom koji se naziva dividendadividenda.

• Kupovinom akcija stiče se vlasništvo nad delom kapitala akcionarskog društva. • Svom legitimnom imaocu akcija obezbeđuje materijalna i nematerijalna prava

(pravo na dividendu, pravo glasa, pravo učešća u raspodeli stečajne mase, itd.)

• Obične i prioritetne (preferencijalne) akcije

DEFINISANJE AKCIJEDEFINISANJE AKCIJE

• Akcionarsko društvo kao društvo kapitala se osniva prvom (osnivačkom)emisijom akcija, dok sve naredne emisije akcija imaju za cilj da povećajuakcionarski kapital društva, odnosno da izvrše njegovu dokapitalizaciju.

– Osnivačke (akcije prve emisije) i nove akcije (narednih emisija)

• Ostvareni prinosprinos nana akcijuakciju je:– dividenda–– kapitalnikapitalni dobitakdobitak usled rasta tržišne cene akcije.

•• Nominalni kurs Nominalni kurs akcije je iznos na koji akcija glasi.

•• Emisioni kursEmisioni kurs akcije je prva prodajna cena akcije.

• Emisioni kurs ne može biti niži od nominalne vrednosti akcije. – Emisiona premija (ažio)

• Emisioni kurs novih akcija određuje se na bazi berzanskog kursa akcija

NOMINALNI I EMISIONI KURS AKCIJENOMINALNI I EMISIONI KURS AKCIJE

• Emisioni kurs novih akcija određuje se na bazi berzanskog kursa akcijaprethodne emisije.– Ukoliko je berzanski kurs ranije emitovane akcije iznad nominalnog,

imamo ažio,ažio, a ako je berzanski kurs niži od nominalnog imamo disažiodisažio.– Na primer, nominalni kurs od 100 din. i berzanski od 110 din. ukazuju na postojanje

ažija koji se mora uzeti u obzir u postupku formiranja emisionog kursa novih akcija.

• Emisioni kurs nove akcije uključuje i maržu (spred) kao naknadu zaemisiju i plasman akcija.

Berzanski kurs akcija

•• Berzanski kurs ili tržišna cena akcija Berzanski kurs ili tržišna cena akcija je cena po kojoj se ostvaruje druga i svaka dalja kupoprodaja akcija na sekundarnom finansijskom tržištu.

• Zavisi od odnosa ponude i tražnje na sekundarnom finansijskom tržištu.

• Emisioni kurs akcija na primarnom tržištu je osnov sa kojim akcije počinju život

BERZANSKI KURS AKCIJEBERZANSKI KURS AKCIJE

• Emisioni kurs akcija na primarnom tržištu je osnov sa kojim akcije počinju životna sekundarnom tržištu.

• Kretanje berzanskog kursa akcija može se matematički izraziti na sledeći način:Ako pretpostavimo da je investicioni horizont nn godina, a isplate dividendi DD

tt

godišnje, poslednja isplata uključuje i prodajnu cenu akcije na kraju n-te godine PPnn

pa će instristična vrednost akcije VV00

pri zahtevanoj stopi prinosa kk, biti:

METODOLOŠKE OSNOVE METODOLOŠKE OSNOVE VREDNOVANJA AKCIJAVREDNOVANJA AKCIJA

(1)

• Kako idemo dalje u budućnost, sadašnja vrednost buduće prodajne cene PPnn

jesve manja i teži 0, tako da se jednačina (1) za dovoljno veliko nn može postavitikao:

(1)

(2)

MODEL NULTOG RASTA DIVIDENDE

Odakle sređivanjem dobijamo:

Primer : Akcija sa nultim rastom dividende donosi dividendu u iznosu od 500 evra. Zahtevana stopa prinosa iznosi 10%.

Proceniti vrednost akcije.

D = 500, k = 10% = 0,1

MODEL KONSTANTNOG RASTA DIVIDENDE

Ukoliko se očekuje da u budućnosti dividenda konstantno raste po stopi gg , što pre svega važi za preduzeća u zrelim industrijskim granama, tada će iznos dividende koja će se primati u ma kojoj godini t biti:

Zamenom (3) u (2) imaćemo sledeću matematičku postavku:

(3)

Pošto je D1 = D0 (1 + g) dobijamo:

Ako je

onda je q <1 uz pretpostavku da je k > g, a suma beskonačnog reda je:

u našem slučaju dobijamo:

,k1

g1q

+

+=

q

a

n

Slim n

−=

∞→ 1

1

odnosno, posle sređivanja dobijamo:

(4)

Izraz (4) predstavlja jednačinu za utvrđivanje intristične vrednosti akcija sa konstatnim rastom dividende.

Primer:

Poslednja isplaćena dividenda akcije je 500 evra.

Očekuje se rast dividende po stopi od 8%. Očekivana stopa prinosa na akcije je 13,4%. Proceniti vrednost akcije.

D1 = D0 (1 + g)

D1 = 500 (1 + 0,08) = 540

MODEL VIŠESTRUKOG RASTA DIVIDENDE

Pri čemu je

t- broj godina natprosečnog rasta

Vt- procenjena vrednost akcije na početku godine t+1

gs- stopa rasta dividendi u periodu natprosečnog rasta,

gn- stopa normalnog rasta dividendi,

k – zahtevana stopa prinosa.

Primer:

Poslednja isplaćena dividenda akcije sa natprosečnim rastom je 500 evra. Stopa natprosečnog rasta je gs= 30%.

Očekivana stopa prinosa je 15%, broj godina natprosečnog rasta je 3. Posle 3 godine dividende rastu normalno po stopi rasta gn=10%.

Odrediti vrednost akcije.

V

0 1 2 3 4 ...

D0=500

gs=30% gn=10%

D1 D2 D3 D4

V3

Privilegovane akcije

• Donose regularne fiksne dividende.

• Vrednost preferencijalne akcije - A

k

DA =

PREFERENCIJALNE AKCIJEPREFERENCIJALNE AKCIJE

k

D - dividendak - zahtevana stopa prinosa

Primer:

Kompanija ima preferencijalne akcije po kojima se isplaćuju dividende od 100 evra godišnje.

Ukoliko je zahtevana stopa prinosa po akcijama 10%, kolika je vrednost preferencijalne akcije?

000.11,0

100==A

DEFINISANJE OBVEZNICEDEFINISANJE OBVEZNICE

•• ObveznicaObveznica je dužnička hartija od vrednosti kojom se emitent (dužnik) obavezuje da investitoru (poveriocu) u toku njenog trajanja isplaćuje kamatu (kupon) u sukcesivnim intervalima vremena, i da o roku dospeća obveznice isplati celokupan iznos duga (glavnice ili nominalne vrednosti obveznice).

•• KratkoročneKratkoročne i dugoročnedugoročne obveznice.

• Različite vrste dugoročnih obveznica, kao što su kuponske, amortizacione, indeksirane, štedne itd.

NOMINALNI, EMISIONI I BERZANSKI KURS OBVEZNICENOMINALNI, EMISIONI I BERZANSKI KURS OBVEZNICE

•• NNominalnaominalna vrednostvrednost obvezniceobveznice iliili nominalninominalni kurskurs - iznos na koji obveznica glasi.– Glavnica koju će investitor naplatiti od emitenta (izdavaoca) o roku dospeća obveznice.

•• Emisioni kurs Emisioni kurs – prva prodajna cena, cena obveznice na primarnom tržištu.

Tri slučaja u pogledu odnosa nominalnog i emisionog kursa:

1. nominalni kurs = emisionom kursu(obveznice sa “al pari” kursom)

2. nominalni kurs >>>> emisionog kursa(obveznice koje se prodaju sa diskontom)

3. nominalni kurs <<<< emisionog kursa(obveznice koje se prodaju sa premijom)

•• Berzanski kurs ili tržišna cena obveznice Berzanski kurs ili tržišna cena obveznice - cena po kojoj se ostvaruje druga isvaka dalja kupoprodaja obveznica na sekundarnom finansijskom tržištu.

Berzanski kursODREĐIVANJE ODREĐIVANJE EMISIONOG KURSA OBVEZNICEEMISIONOG KURSA OBVEZNICE

Do prve prodajne cene obveznice dolazimo na sledeći način:

ir +=1

gde su:

C – godišnja kamata (kupon),

NV - nominalni kurs obveznice,

i - tržišna kamatna stopa (diskontna stopa, zahtevana stopa prinosa),

n - vek trajanja obveznice izražen u godinama.

• Primer: Firma “AB” je 1.1.2017. godine emitovala 10.000 obveznica pojedinačne nominalne vrednosti 1.000 dinara, i obavezala se da narednih 15 godina investitorima plaćafiksnu godišnju kamatu u iznosu od 150 dinara uz godišnje kapitalisanje, a o roku dospeća iglavnicu. Odrediti prvu prodajnu cenu obveznica ove firme. Tržišna kamatna stopa je 15%.

1.000150 150 150 150 150 ……. 150 150

0 1 2 3 4 5 14 15

15150150000.1 ==== , n,, i, CNV

( )000.1

15,1

000.1

115,115,1

115,1150

1515

15

0 =+−

−⋅=P

Prva prodajna cena obveznice je 1.000, pri čemu su troškovi emisije zanemareni.

U ovom slučaju, nominalni i emisioni kurs obveznice su jednaki, jer su kuponska stopa i tržišna kamatna stopa međusobno jednake. Možemo zaključiti da će berzanski kurs ostati na nivou od 1.000 dinara sve dok odgovarajuća tržišna kamatna stopa i ostali uslovi ostanu nepromenjeni.

Šta će se desiti sa tržišnom cenom obveznice ako se tržišna kamatna stopa promeni na kraju prve godine od emisije obveznice?

Pretpostavimo da je aktuelna tržišna kamatna smanjena na 10% godinu danaposle emisije. Ravnotežni berzanski kurs obveznice bi bio :

Ravnotežna cena obveznice na sekundarnom tržištu bi bila iznad nominalne vrednosti i emisionog kursa. Naime, sa padom aktuelne kamatne stope na tržištu na 10%, emitovaće se nove obveznice koje će pri nominalnoj vrednosti od 1.000 dinara davati

( )33,368.1

10,1

000.1

110,110,1

110,1150

1414

14

1 =+−

−=P

emitovaće se nove obveznice koje će pri nominalnoj vrednosti od 1.000 dinara davati 100 dinara kamate. Kako bi nam bile unosnije obveznice sa 150 dinara kamate, bićemo spremni da za takvu obveznicu damo više od 1.000 dinara. Iz tog razloga obveznice firme “AB” bi se nudile po povećanoj ceni od 1.368,33 dinara i u tom slučaju bi one obezbedile istu stopu prinosa kao nove obveznice (10%).

Ako bi kamatna stopa na tržištu novca i ostali uslovi ostali nepromenjeni, tada bi npr. dve godine posle emitovanja obveznica njen berzanski kurs bio:

( )17,355.1

10,1

1000

110,110,1

110,1150

1313

13

2 =+−

−=P

Kada bi kupili obveznicu po ceni 1.368,33 dinara i onda je prodali godinu dana kasnije po ceni 1355,17, imali bi kapitalni gubitak.Kupljeno za 1.368,33 dinaraProdato za 1.355,17 dinaraKapitalni gubitak 13,16 dinara

Ukupan prinos investitora za tih godinu dana bi bio 150 - 13,6 din. = 136,84 dinara.

Ukupna stopa prinosa R u ovom slučaju bi bila :t

tt

P

PPCR

−+= +1

gde je:

Pt - berzanski kurs obveznice u godini t,

Pt+1 - berzanski kurs obveznice u godini t+1.

U našem slučaju bi imali:150 1355,17 1368,33

10%1368,33

R+ −

= =

tP

Daljim određivanjem kursa može se dokazati da bi se tokom godina ravnotežni berzanski kurs obveznice pri nepromenjenoj tržišnoj kamatnoj stopi (10%) smanjivao za kapitalni gubitak, i da bi o roku dospeća obveznice iznosio 1.000 dinara.

Pretpostavimo sada da je aktuelna tržišna kamatna porasla na 20% godinu danaposle emisije. Ravnotežni berzanski kurs obveznice bi bio:

U ovom slučaju ravnotežna cena obveznice na sekundarnom tržištu bi bila ispod nominalne vrednosti i emisionog kursa. Sa porastom aktuelne tržišne kamatne stope, da bi obveznice zadržale svoju konkurentnost, one se prodaju po nižoj ceni, jer bi u protivnom postojao veći interes za alternativna ulaganja sredstava.

Ako bi kamatna stopa na tržištu novca i ostali uslovi ostali nepromenjeni, tada bi dve godine posle emitovanja obveznica njen berzanski kurs bio:

( )49,769

20,1

000.1

120,120,1

120,1150`

1414

14

1 =+−

−=P

godine posle emitovanja obveznica njen berzanski kurs bio:

Dakle, u ovom primeru, investitor koji bi kupio obveznicu nakon godinu dana od emitovanja i prodao je nakon dve godine od emitovanja, na bazi razlike berzanskogkursa obveznice ostvario bi kapitalni dobitak:

Daljim određivanjem kursa može se dokazati da bi se tokom godina ravnotežni berzanski kurs obveznice pri nepromenjenoj tržišnoj kamatnoj stopi (20%) povećavaoza kapitalni dobitak i da bi o roku dospeća obveznice iznosio 1.000 dinara.

( )37,773

20,1

1000

120,120,1

120,1150`

1313

13

2 =+−

−=P

88,349,76937,77312 =−=′−′ PP

i=10%

i = 20%

i =15%

1368

1000

769

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15

Vremenska putanja ravnotežnog kursa obveznice

nominalne vrednosti od 1.000 dinara, sa kuponskom .

stopom 15%, za tržišne kamatne stope 10%, 15% i 20%:

n

P

• Kada je aktuelna tržišna tržišna kamatnakamatna stopastopa jednakajednaka stopistopi prinosaprinosa obvezniceobveznice, obveznicaće se prodavati i na primarnom i na sekundarnom tržištu po ceni koja je jednakanjenoj nominalnoj vrednosti.

• Ukoliko je aktuelna tržišna tržišna kamatnakamatna stopastopa iznadiznad stopestope prinosaprinosa obvezniceobveznice, ona će se prodavati ispod svoje nominalne vrednosti (obveznica sa diskontom).

• Kada je aktuelna tržišna tržišna kamatnakamatna stopastopa ispodispod stopestope prinosaprinosa obvezniceobveznice, ona će se prodavati iznad svoje nominalne vrednosti (obveznica sa premijom).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 n

• Kuponsku kamatu i glavnicu možemo označiti i kao novčani tok obveznice, NTNT:

• Ukoliko želimo da ispitamo kako se menja cena obveznice usled promene tržišne kamatne stope, odredićemo prvi izvod gornje jednakosti:

DURACIJA (TRAJANJE) OBVEZNICEDURACIJA (TRAJANJE) OBVEZNICE

( ) ( ) ( )n

n

i

NT

i

NT

i

NT

i

NTP

+++

++

++

+=

1...

111 3

3

2

21

321 32 ⋅−−

⋅−

⋅−−=

∂ nNTnNTNTNTP

• Izraz nam pokazuje za koliko se novčanih jedinicanovčanih jedinica menja cena obveznice ukoliko se tržišna kamatna stopa promeni za 1%.

( ) ( ) ( ) ( ) 14

3

3

2

2

1

1...

1

3

1

2

1+

+

⋅−−

+

⋅−

+

⋅−

+−=

∂

∂n

n

i

NTn

i

NT

i

NT

i

NT

i

P

( ) ( ) ( )⇒

+

⋅++

+

⋅+

+

⋅+

++−=

∂

∂

i

NTn

i

NT

i

NT

i

NT

ii

Pn

n

1...

1

3

1

2

11

13

3

2

21

( )∑= +

⋅⋅

+−=

∂

∂ n

tt

t

i

NTt

ii

P

1 11

1

• Ukoliko želimo znati relativnu promenu cene obveznice usled promene kamatne stope, potrebno je da apsolutnu promenu podelimo sa cenom obveznice:

• Izraz nam pokazuje za koliko će se procenataprocenata promeniti cena obveznice ako se

DURACIJA OBVEZNICEDURACIJA OBVEZNICE

( )

( )∑

∑

=

=

+

+

⋅⋅

+−

=∂

∂

n

tt

t

n

ttt

i

NT

i

NTt

i

P

i

P

1

1

1

11

1

• Izraz nam pokazuje za koliko će se procenataprocenata promeniti cena obveznice ako se kamatna stopa promeni za 1%.

•• MODIFIKOVANA DURACIJA MODIFIKOVANA DURACIJA --

• Deo gornje jednakosti koji glasi:

( )

( )

mn

tt

t

n

ttt

D

i

NT

i

NTt

=

+

+

⋅

∑

∑

=

=

1

1

1

1

naziva se Mekolijeva duracija (trajanje) Mekolijeva duracija (trajanje) i predstavlja prosečno ponderisano trajanje obveznice.

i

P

PM

∂

∂⋅−=

1

i

DM m

+=⇒

1

• Ukoliko želimo da izračunamo preciznije promenu cene obveznice usled promene kamatne stope, potrebno je da odredimo drugi izvod funkcije cene obveznice:

• Vidimo da je drugi izvod pozitivan, što znači da je P konveksna funkcija od i.

KONVEKSNOST OBVEZNICEKONVEKSNOST OBVEZNICE

( ) ( )( )

+⋅⋅

+⋅

+=

∂

∂∑=

n

tt

t tti

NT

ii

P

122

2

111

1

• Vidimo da je drugi izvod pozitivan, što znači da je P konveksna funkcija od i.

• Pod pojmom KONVEKSNOST OBVEZNICE KONVEKSNOST OBVEZNICE podrazumeva se drugi izvod funkcije P, podeljen cenom obveznice:

( ) ( )( )

+⋅⋅

+⋅

+⋅=∂

∂

= ∑=

n

tt

t tti

NT

iPP

i

P

C1

2

2

2

111

1

• Pomoću Tejlorove aproksimativne formule možemo steći bolji uvid u procentualnu promenu cene obveznice usled promene stope i:

• Odavde dobijamo približnu formulu:

KONVEKSNOST OBVEZNICEKONVEKSNOST OBVEZNICE

( )

+∆⋅

∂

∂+∆⋅

∂

∂⋅=

∆...

2

11 2

2

2

ii

Pi

i

P

PP

P

• Odavde dobijamo približnu formulu:

• Stvarna promena cene obveznice je jednaka zbiru promene usled duracije i promene usled konveksnosti obveznice.

( )2

2

1iCiM

P

P∆⋅+∆⋅−≈

∆

• Primer: Obveznica nominalne vrednosti 100 novčanih jedinica je emitovana sa rokom dospeća 5 godina. Obveznica donosi godišnje kupone po kuponskoj kamatnoj stopi 6%. Tržišna kamatna stopa je 6%. Izračunati Mekolijevu duraciju, Modifikovanu duraciju i konveksnost obveznice.

1 6 5,6604 0,0566 0,0566 0,11322 6 5,3400 0,0534 0,1068 0,3204

t tNT

06,0,610006,006,0,5,100 ==⋅=⇒=== i C c n NV

( )t

t

i

NT

+1 ( )tt

i

NT

P +⋅

1

1

( )t

i

NT

P t

t ⋅+

⋅1

1

( )( )1

1

1+⋅⋅

+⋅ tt

i

NT

P t

t

2 6 5,3400 0,0534 0,1068 0,32043 6 5,0377 0,0504 0,1511 0,60454 6 4,7526 0,0475 0,1901 0,95055 106 79,2094 0,7921 3,9605 23,7628

Ukupno: 100 1,0000 4,4651 25,7515=P

( )4651,4

11=

+

⋅

=

∑=

P

i

NTt

D

n

ttt

m

2124,406,1

4651,4

1==

+=

i

DM m

( ) ( )( ) 9187,22

06,1

7515,251

1

1

1

12

12

==+⋅⋅+

⋅⋅+

= ∑=

tti

NT

PiC

n

tt

t

• Primer - nastavak:

Proceniti procentualnu promenu cene obveznice pomoću duracije i konveksnosti u slučaju da se tržišna kamatna stopa poveća na 8%.

KONVEKSNOST OBVEZNICEKONVEKSNOST OBVEZNICE

( )2

2

1iCiM

P

P∆⋅+∆⋅−≈

∆

( )21⋅+⋅−≈

∆P( )2

02,09187,222

102,02124,4 ⋅+⋅−≈

∆

P

P

%966,707966,0004584,0084248,0 −=−=+−≈∆

P

P

HVALA NA PAŽNJI!