2°“A”

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TORREON.

ESTADISTICA

Lic. Mata Ortiz.

METODOS DE CONTEO.

RAFAEL GOMEZ CAMPOS.

METODOS DE CONTEO.

  En diferentes casos se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para formar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir por el orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos. Si los elementos que forman una agrupación son diferentes entre si, serán llamados agrupaciones sin repetición y si alguno de ellos son iguales se dirá que son agrupaciones con repetición.

PERMUTACION.

 Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden en su ubicación; cuando en el arreglo solo entran parte de los elementos del conjunto se llama variación. Es importante resaltar que el orden  es una característica importante en la permutación, cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos.           El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez, se designa por:

  

 

Permutación lineal con elementos diferentes

         El número de permutaciones de “n” objetos diferentes,  tomados en grupos de k elementos (siendo k n) y

denotado por  , estará dado por: 

                   

          Donde: n, k  N y  0  k  nEJEMPLO:          En una carrera de 400 metros participan 12 atletas. ¿De cuantas formas  distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro, plata y bronce?

 

Solución:

         Método 1: Empleando el principio de multiplicación

 

                    Oro      Plata         Bronce    

 

                                       10    x       9       x  8               # Maneras  = 720

PERMUTACIÓN LINEAL CON ELEMENTOS REPETIDOS.        Frecuentemente queremos encontrar el número de permutaciones de objetos donde algunos son similares. La fórmula general para esto, es la siguiente:          [1]TEOREMA: el número de permutaciones de n objetos de los cuales n1 son similares de alguna manera, n2 son similares de otra manera, …. , nr son similares aún de otra manera, es

 de otra forma; el número de permutaciones (P) distintas de “n” elementos tomados de “n” en “n” en donde hay un primer  grupo de n1objetos iguales entre si; n2 objetos  iguales entre si de un segundo tipo y así sucesivamente hasta nk objetos iguales entre si de un último tipo, entonces:

            

  

  

         PARTICIONES EJEMPLO:          ¿De cuántas maneras distintas se podrán ordenar las siguientes figuras?

    

SOLUCIÓN: 

Donde: n1 + n2 + n3......+ nk = n

         Como entran todos los elementos del conjunto y estos se repiten, se trata de una permutación con repetición, donde n1 = 3 (tres círculos), n2 = 2 (dos cuadrados), n3 = 1 (un triángulo), n4 = 1 (un rombo), luego: 

                               = 

 

COMBINACIONES:

 

Combinación simple:

             Es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o con todos  los elementos de un conjunto dado sin que ninguno se repita y sin importar el orden de ellos. Estas agrupaciones se diferencian entre sí, sólo por los elementos que las conforman.          El número de combinaciones de n objetos tomando r a la vez se denota C(n,r).          La formula general para hallar el número de combinaciones es:

 

 EJEMPLO:          Si disponemos  de 5 puntos no colineales ,¿cuál es el máximo número de triángulos que se podrán formar? SOLUCIÓN:          Para dibujar un  triángulo solo es necesario 3 puntos en el plano, luego se escogerán 3 puntos (k = 3) de un total de 8 puntos (n = 5). Además no importa el orden, ya que el triangulo ABC es igual al CBA; por lo tanto se trata de una combinación.

OBSERVACIÓN1)      En las permutaciones interesa el orden, se

buscan ordenaciones2)      En las combinaciones no interesa el orden, se

busca agrupaciones

 

            

     

ORDENACIONES.      

ORDENACIÓN SIMPLE:

          Son ordenaciones simples todas las agrupaciones de  k  elementos, dispuestos linealmente, que se pueden formar a partir de  n elementos distintos ( k  n ), sin que ninguno se repita. Estas agrupaciones se diferencian entre sí, por los elementos que las componen o por su orden.          El número de variaciones de  k  elementos que pueden formarse a partir de  n elementos distintos  ( Vk

n ) ,  es:                                                                                          

Ordenación con repetición

           Son ordenaciones con repetición, todas las agrupaciones de  k elementos, dispuestos linealmente, que se pueden formar a partir de  n  elementos distintos, donde cada uno de los

elementos puede formar parte de la agrupación, tantas veces como sea posible.                  El número de variaciones con repetición de  k  elementos, que pueden formarse a partir de  n  elementos distintos  ( Vkk

n ) , es:     

DIAGRAMA DE ARBOL.

Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles

resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el

número de elementos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la

construcción del diagrama de árbol.

El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el

cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras

de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las

posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de esta ramas se conoce como rama de

primera generación.

En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten

nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del

siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener el mismo número de

ramas de segunda generación que salen de cada rama de primera generación y que la suma de

probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean mucho más útiles

para los cálculos rápidos de probabilidad: multiplicamos las probabilidades si se trata de ramas

adyacentes (contiguas), el ejemplo de alumna de la primera facultad, o bien las sumamos si se

trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto, el ejemplo de encontrar un alumno.

Ejemplos

Una universidad está formada por tres facultades:

La 1ª con el 50% de estudiantes.

La 2ª con el 25% de estudiantes.

La 3ª con el 25% de estudiantes.

Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.

¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?

¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?

 Pero

también podría ser lo contrario.

Por ejemplo podemos identificar el 0,6 que encotramos en la rama que va de 1ª facultad a

mujer como la siguiente probabilidad condicionada:

También esta herramienta se relaciona con algunos teoremas de la probabilidad

condicionada

El segundo cálculo que hemos realizado, se corresponde con la aplicación

del teorema de la Probabilidad Total

Dado que las tres facultades forman una partición del espacio maestral podemos indicar

este cálculo como:

Otro ejemplo sencillo de las posibles combinaciones en el siguiente diagrama de árbol de primaria: