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Ilber Adonayt Ruge Ruge Ingeniero Electrónico Docente Universidad de Cundinamarca – Fusagasuga www.unicundi.edu.co - [email protected] UNIVERSIDAD DE IBAGUE – CORUNIVERSITARIA MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL TEORIA DE CONTROL Docente: Msc Ing. Alfonso Muñoz Presentado por: Ing. Ilber Adonayt Ruge R. a) Encuentre los parámetros de arranque de un PID por medio de tres métodos de sintonización Ziegler Nichols, Astrom Haglund y Kayser Rajka. b) Grafique usando Matlab/Simulink las tres respuestas en una sola grafica. c) Sintonice el PID de tal forma que se logre un sobreimpulso del 2% con un tiempo de ascenso menor a 2 segundos. Vuelva a graficar las tres respuestas en una sola grafica. ( ) 3 1 1 ) ( + = S S G Figura 1. Respuesta al impulso del sistema G(S) y medida de parámetros L=0.9s y T=(4.7-0.9)s para sintonización PID usando el método por Curva de Reacción. METODO CURVA DE REACCION Parametros de Arranque Controlador PID 22 . 4 9 . 0 9 . 0 7 . 4 1 1 1 1 = = = = L T K RL Kp 34 . 2 2 = = = L Kp Ti Kp Ki 89 . 1 ) 5 . 0 ( = = = L Kp KpTd Kd

METODOS DE SINTONIZACION

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UNIVERSIDAD DE IBAGUE – CORUNIVERSITARIA MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL

TEORIA DE CONTROL

Docente: Msc Ing. Alfonso Muñoz Presentado por: Ing. Ilber Adonayt Ruge R.

a) Encuentre los parámetros de arranque de un PID por medio de tres métodos de sintonización Ziegler Nichols, Astrom Haglund y Kayser Rajka.

b) Grafique usando Matlab/Simulink las tres respuestas en una sola grafica. c) Sintonice el PID de tal forma que se logre un sobreimpulso del 2% con un

tiempo de ascenso menor a 2 segundos. Vuelva a graficar las tres respuestas en una sola grafica.

( )311)(+

=S

SG

Figura 1. Respuesta al impulso del sistema G(S) y medida de parámetros L=0.9s y T=(4.7-0.9)s para

sintonización PID usando el método por Curva de Reacción.

METODO CURVA DE REACCION Parametros de Arranque Controlador PID

22.49.0

9.07.41

111=

===L

TKRL

Kp

34.22

===L

KpTiKpKi

89.1)5.0( === LKpKpTdKd

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METODO ZIEGLER – NICHOLS EN LAZO CERRADO Parametros de Arranque Controlador PID

Figura 3. Determinando valor de Kcr para llevar el sistema a oscilación usando método ZN.

8=Kcr

sPcr 7.3=

Figura 4. Calculando Pcr=3.63 con Kcr=8.

8.46.0 == KcrKp

17.2)*125.0( === PcrKpKpTdKd METODO ASTROM – HAGLUND EN LAZO CERRADO Parámetros de Arranque Controlador PID

Figura 5. Determinando Kcr para llevar el sistema a oscilación usando método AH con d=2.

64.25.0

===Pcr

KpTiKpKi

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Figura 6. Calculando Pcr=3.49 y 2a=0.62.

2=d

31.0=a sPcr 49.3=

21.8)31.0(

)2(44===

ππadKcr

92.46.0 == KcrKp

81.25.0

===Pcr

KpTiKpKi

14.2)125.0( == PcrKpKd METODO DE KAYSER – RAJKA Parametros de Arrranque Controlador PID

Figura 7. Determinando Pcr para llevar el sistema a oscilación usando método KR con d=2 y Transport

Delay=4.3/36.

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Figura 8. Calculando Tc=4.30s y a=0.4 con d=2.

Criterios de diseño:

TcTd360

=Φ , donde Tc= Transport Delay (Relay)

Partiendo de unΦ nominal:

10=Φ TdTc 36010 =

TdTc 36= El valor de Td se varía hasta que el sistema oscile. El valor de Td correspondiente es:

363.4

=Td

Por tanto:

3.4=Tc

92.5)43.0(

)2(44===

ππadKcr

55.36.0 == KcrKp

65.15.0

===Pcr

KpTiKpKi

90.1)125.0( === PcrKpKpTdKd

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0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Tiempo(Seg)

Am

plitu

d

SINTONIZACION PID

Curva de ReaccionZH LAZO CERRADOASTROM-HAGLUNDKAYSER-RAJKA

Figura 9. Resultados de la sintonización para parámetros de arranque PID. Se determina que el

controlador PID obtenido por el método de Kayser-Rajka ofrece la mejor señal de respuesta. ZNP=8.8; Kp Ziegler Nichols ZNI=0.94; Ki Ziegler Nichols ZND=6.17; Kd Ziegler Nichols AHP=9.32; Kp Astrom Haglund AHI=0.91; Ki Astrom Haglund AHD=6.54; Kd Astrom Haglund

KRP=6.45; Kp Kayser Rajka KRI=0.94; Ki Kayser Rajka KRD=4.65; Kd Kayser Rajka CRP=7.52; Kp Curva Reaccion CRI=1.02; Ki Curva Reaccion CRD=5.5; Kd Curva Reaccion

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tiempo(Seg)

Am

plitu

d

Curva de ReaccionZH LAZO CERRADOASTROM-HAGLUNDKAYSER-RAJKA

Figura 10. Sintonización de controladores para Mp=2% y Tr<2seg.

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CONTROL PID PARA SISTEMA )4)(2)(1(

)5(2)(++−

−=

sssssG

Dado que el sistema G(S) posee el polo (s-1) ubicado en el semiplano derecho del plano imaginario; lo cual establece que el sistema es inestable, no es posible utilizar los parámetros de sintonización de controladores PID de ZN, KR o AH, dado que no es posible hacer oscilar el sistema por los procedimientos correspondientes. Por tal razón, se propone diseñar inicialmente un compensador en adelanto para así estabilizar el sistema y posteriormente diseñar el controlador PID correspondiente para que el sistema cumpla los requerimientos dinámicos establecidos, los cuales son Tr menor a 2s y overshoot del 2%. USO DE LA HERRAMIENTA SISOTOOL DE MATLAB PARA EL DISENO DE LA RED DE COMPENSACION ADELANTO A TRASO Se desea cancelar el efecto del polo s=1 ubicado en el semiplano derecho, por tanto, la red de compensación debe contener un cero en dicha ubicación. Por otro lado, para mejorar el tiempo de estabilización del sistema y cumplir con los requerimientos del diseño, se desea ubicar un polo al lado izquierdo del semiplano complejo. Para tal fin, y para evitar operaciones matemáticas engorrosas, se hace uso de la herramienta grafica de Matlab SISOTOOL, ya que este permite ubicar de manera practica la ubicación de dicho polo informando de la Margen de Ganancia y la Margen de Fase correspondientes. Se requiere que el margen de Ganancia sea de aprox. 10dB y el Margen de Fase mayor a los -180°, es decir, Margen de fase positivo (condiciones de estabilidad estandar).

Figura 11. Diseño de la red adelanto atraso para estabilización del sistema.

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0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tiempo (Seg)

Am

plitu

d

Respuesta del sistema compensado en lazo abierto

Figura 12. Respuesta del sistema compensado en lazo abierto ante una entrada escalón unitario.

Comprobación de estabilidad. SINTONIZACION DE CONTROLADOR PID MEDIANTE ZIEGLER NICHOLS

2(s-5)

(s-1)(s+2)(s+4)

Zero-Pole(with initial states)1

-1(s-1)

(s+0.5)Zero-Pole

Tiempo

To Workspace1

Salida

To Workspace

Step Scope

-K-

Kcr=2.95

Clock

Figura 13. Modelo Simulink para determinar el valor de Kcr y sintonización de controlador PID.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0

0.5

1

1.5

2

X: 2.933Y: 0.0274 X: 5.933

Y: -0.04316

Tiempo(Seg)

Am

plitu

d

Calculo de Kcr para Ziegler Nichols

Pcr=2.8s

Figura 14. Determinando los valores de Pcr para sintonización de PID por ZN.

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Para un controlador PID;

35.08.2*125.0*125.04.18.2*5.0*5.068.18.2*6.0*6.0

=========

PcrTdPcrTiPcrKp

-1(s-1)

(s+0.5)Zero-Pole1

2(s-5)

(s-1)(s+2)(s+4)

Zero-Pole(with initial states)1

2(s-5)

(s-1)(s+2)(s+4)

Zero-Pole(with initial states)

-1(s-1)

(s+0.5)Zero-Pole

Salida

To Workspace2

Compensador

To Workspace1

Tiempo

To Workspace

Step

Scope1

Scope

PID

PID Controller

Clock

Figura 15. Modelo simulink (ejercicio_15_inestable.mdl) del controlador PID del sistema y comprobación en lazo abierto de la red adelanto atraso. CODIGO EN MATLAB PARA CONTROLADOR PID close all; clc; %Constantes calculadas por Ziegler Nichols %% PARAMETROS DE ARRANQUE Kp=1.68; Ki=1.68/1.4; Kd=1.68*0.35; sim('ejercicio_15_inestable'); figure(1) plot(Tiempo, Compensador,'linewidth', 2), grid; xlabel('Tiempo(Seg)'),ylabel('Amplitud'); title('Respuesta del sistema compensado en lazo abierto'); figure(2)

plot(Tiempo,Salida,'linewidth',2); hold on %% SINTONIZACION DE PARAMETROS Kp, Ki y Kd Kp=1.435; Ki=0.36; Kd=0.625; sim('ejercicio_15_inestable'); plot(Tiempo,Salida,'r','linewidth',2),grid; xlabel('Tiempo (Seg)'), ylabel('Amplitud'); title('Respuesta del sistema compensado y controlado'); legend('Respuesta con Parametros de arranque','Respuesta con Parametros Sintonizados');

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Tiempo (Seg)

Am

plitu

d

Respuesta del sistema compensado y controlado

Respuesta con Parametros de arranqueRespuesta con Parametros Sintonizados

Overshoot=51%

Overshoot=2%

Rise Time=1.9s

Rise Time=1.38s

Figura 14. Respuesta del sistema controlado y compensado, con un tiempo de subida de 1.9s y sobrepico

del 2%. SISTEMA ANTIRESET WINDUP Y TECNICA DE SATURACION

Kp=4.8Ki=2.64Kd=217

Tt=0.5Ti=0.9250

antireset windup

1

s +3s +3s+13 2

Transfer Fcn2

1

s +3s +3s+13 2

Transfer Fcn1

1

s +3s +3s+13 2

Transfer Fcn

Windup

To Workspace2

Tiempo

To Workspace1

Salida

To Workspace

1/Tt

Tiempo de seguimiento

Step

Saturation2

Saturation1Salida

PID

PID Controller1

PID

PID Controller

1s

Integrator1

Kd

Gain4

Kp

Gain3

Ki

Gain2

du/dt

DerivativeClock

Antireset Windup

Antireset Windup

Saturacion

Saturacion

sin Saturacion

sin Saturacion

Figura 15. Modelo simulink para evaluación del sistema antireset windup y técnica de saturación.

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0 5 10 15-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

Tiempo(Seg)

Am

plitu

d se

nal d

e sa

lida

Señales de control utilizando las tecnicas de antireset windup y Saturacion

Antireset windupCon SaturacionSin Saturacion

Figura 16. Señales de control correspondientes al sistema utilizando técnica de antireset windup y

saturación.

Es claro apreciar las ventajas de utilizar el sistema antireset windup, ya que permite “suavizar” la señal de control, es decir, amortigua el sobrepico debido al cambio de la senal de referencia (senal escalon). Lo anterior es una característica practica deseable, puesto que aumenta la vida útil del actuador en la planta.

0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Tiempo(Seg)

Am

plitu

d se

nal d

e sa

lida

Señales de salida utilizando las tecnicas de antireset windup y Saturacion

Antireset windupCon SaturacionSin Saturacion

Figura 17. Señales de salida para los sistemas utilizando los sistemas de antireset windup y saturación.

De los resultados mostrados en la figura 13, es claro apreciar que el sistema antireset windup, además de mejorar las condiciones de la señal de control, también mejora el sobreamortiguamiento de la señal de salida, pasando de un sobreamortiguamiento del 50% con respecto al sistema sin saturación a un 18%.

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Otro factor importante a resaltar, es que el tiempo de establecimiento (Setting Time) se mantiene constante para los tres casos analizados (antireset windup, con saturación y sin saturación). La desventaja es que el tiempo de subida (Rise Time) aumenta con respecto a la respuesta del sistema sin limitación. Pero este fenómeno es claro cuando se diseña controladores, puesto que si se desea mejorar el factor de amortiguamiento, indiscutiblemente se tendrá que sacrificar un poco el tiempo de subida y viceversa. Considero que el factor de amortiguamiento para este caso es más importante con respecto al tiempo de subida. Además, el parámetro Tiempo de Establecimiento se mantiene constante para los tres casos, lo que permite decidir que el comportamiento del sistema antireset windup es adecuado para ser utilizado en la implementación de sistemas de control en áreas de aplicación industrial. 2. Para el diagrama de bloques del sistema en cascada (Maestro-Esclavo):

a) Ajustar el controlador esclavo de tal forma que se tenga un factor de amortiguamiento ξ=0.707.

b) Ajustar el controlador Maestro mediante el método de ZN.

Figura 1. Diagrama de bloques Maestro – Esclavo.

SOLUCION: SINTONIZACION CONTROLADOR ESCLAVO

1Out1

In1Out1

VALVULA

Kc

Gain1

0.5

Gain

1In1

Figura 1. Diagrama de bloques para controlador esclavo.

1Out1

20

2s+1Transfer Fcn1

1

s+1Transfer Fcn

1In1

Figura 2. Subsistema VALVULA del controlador esclavo.

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5.12 =nζω

21102 +

=Kc

Funcion de transferencia )()(

sUSY Controlador Esclavo;

21105.1

20)()(

2 +++

=KcSS

KcSUSY

Por tanto;

(1)

(2)

Si 707.0=ζ , reemplazando en (1) se tiene que:

0608.1=nω Reemplazando en (2);

1251.0=Kc

1

s+1Transfer Fcn2

20

2s+1Transfer Fcn1

Esclavo

To Workspace1Tiempo

To Workspace

Step Scope

0.5

Gain1

-K-

Gain

Clock

Figura 3. Diagrama de bloques para controlador esclavo.

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tiempo(Seg)

Mag

nitu

d

Respuesta del Controlador Esclavo para Kc=0.1251

Figura 4. Respuesta a una entrada escalon del controlador esclavo.

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SINTONIZACION CONTROLADOR MAESTRO Utilizando el método de ZN para sintonización, se obtiene que: Kcr= 3.31 Pcr= 12s

Figura 5. Diseño controlador P utilizando método de ZN.

CODIGO MATLAB PARA GENERACION DE GRAFICAS CORRESPONDIENTES A LAS RESPUESTAS ANTE ENTRADA ESCALON DE LOS CONTROLADORES ESCLAVO Y MAESTRO close all; Kc=0.1251; sim('controlador_esclavo'); plot(Tiempo, Esclavo, 'linewidth', 2), grid; xlabel('Tiempo(Seg)'), ylabel('Magnitud'); title('Respuesta del Controlador Esclavo para Kc=0.1251'); Kcr=3.31; Pcr= 12; sim('MAESTRO_ESCLAVO'); plot(Tiempo, Maestro, 'linewidth', 2), grid; xlabel('Tiempo(Seg)'), ylabel('Magnitud'); title('Respuesta del Controlador P Maestro');

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0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

2

4

6

8

10

12

Tiempo(Seg)

Mag

nitu

d

Respuesta del Controlador P Maestro

Figura 6. Respuesta ante entrada escalon del controlador Proporcional Maestro, con Kp=0.5Kcr=1.65

(Parámetro de arranque).

Dado que el error en estado estacionario es elevado, se procedio a sintonizar el controlador, logrando obtener un valor de Kp=0.098 para una respuesta aceptable.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tiempo(Seg)

Mag

nitu

d

Respuesta del Controlador P Maestro, con Kp=0.098

Figura 7. Respuesta el controlador Proporcional Maestro, con Kp=0.098.