Métodos Numéricos

Aproximaciones y errores Los resultados experimentales tienen

dos cualidades importantes: La exactitud y la precisión.

El término precisión está relacionado con el nivel de cifras significativas de una medición y la reproducibilidad de las mismas.

El término exactitud indica la cercanía de un valor con el valor verdadero o real

Definición de error Los errores numéricos se presentan con

el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas.

Errores por truncamiento: Resultan al representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto

Ejemplo: ++…

Error por truncamiento El proceso de

eliminación de términos se conoce como truncamiento.

Cuando x=1 la tabla de la derecha muestra el valor de la expresión de los primeros 10 términos.

Número de términos

1 1.0000

2 2.0000

3 2.5000

4 2.6667

5 2.7083

6 2.7167

7 2.7181

8 2.7182

9 2.7183

10 2.7183

Error por redondeo Surgen de representar

aproximadamente números exactos. Ejemplo: calculadora o computadora Se origina por que en la aritmética

utilizada se involucran números con solo una cantidad finita de digitos.

Ejemplo: Evaluar la expresión cuando x=1 utilizando 8 decimales.

Error por truncamiento Comparacion de los

resultados obtenidos con 4 y 8 digitos

Cuando se utilizan 4 digitos no existe diferencia entre el elemento 9 y el 10, sin embargo al utilizar 8 se observa la diferencia entre ellos.

Número de términos

1 1.0000000

2 2.0000000

3 2.5000000

4 2.6666667

5 2.7083333

6 2.7166666

7 2.7180555

8 2.7182539

9 2.7182756

10 2.7182784

ClasificaciónPara los tipos de errores de redondeo

y truncamiento, la relación entre el valor exacto y el aproximado esta dada por la siguiente expresión:

Donde se observa que el error numérico es la diferencia entre el valor verdadero y el aproximado:

Error verdadero La expresión queda definida como:

representa el valor verdadero del error. representa el valor verdadero representa el valor aproximado Existen problemas al momento de

utilizar esta definición.

Error relativo y error porcentual Para evitar el problema de interpretación

de la obtención del error, es necesario normalizar el mismo, usando el valor verdadero como referente.

Si se quisiera obtener el valor porcentual del error sería necesario multiplicar a la expresión anterior por 100

Propagación del error en la suma Dados dos numeros x e y, sus valores

aproximados e , la suma de los valores reales s=x+y y la suma aproximada = + , entonces el error absoluto de la suma es:

La expresión anterior indica que el error absoluto de la suma es la suma de errores absolutos de los sumandos.

Propagación del error en la suma y resta El error relativo queda como:

La deducción del error para la resta es muy similar a la anterior

Propagación del error en la multiplicación Si se presenta el producto de dos

números como p=xy y el valor aproximado como , el error absoluto del error se puede calcular como:

=

Propagación del error en la multiplicación A partir del resultado anterior, se tiene

que el error relativo de la multiplicación es:

Propagación del error en la división Si se representa la división entre dos

números mediante: y su valor aproximado como , el error absoluto sería:

Propagación del error en la división De lo anterior se deduce que el error

relativo al cociente es:

Ejercicios Dado x=10.457898, y=2.34568, se te

pide generar los números aproximados con una mantisa de 4 dígitos y calcular el error absoluto y porcentual para las operaciones de suma, resta, multiplicación y división.

Serie de Taylor La serie de Taylor es el fundamento matemático más

importante para comprender, manejar y formular

métodos numéricos que se basan en la aproximación

de funciones por medio de polinomios.

Aunque a veces no sea muy evidente, la mayoría de

los métodos numéricos se basan en la aproximación

de funciones por medio de polinomios.

Serie de Taylor, cont… La expansión de Taylor de una función, es una

serie infinita de potencias que representa, de

manera exacta, el comportamiento de la

función en la vecindad de un punto dado.

Si se ignoran todos los términos de la serie de

Taylor, excepto unos cuantos, se obtiene un

polinomio que aproxima a la función verdadera.

Serie de Taylor, cont… El error del método numérico depende de la

precisión con la que el polinomio aproxima a

la función verdadera.

Los errores por truncamiento se evalúan a

través de la comparación del desarrollo

polinomial de la solución numérica, con la

serie de Taylor, de la solución exacta

Expansión en serie de Taylor

Sea una función f(X) que tiene derivadas continuas hasta de orden n en el punto Xi, para el cual se conoce el valor de la función a0 y el de sus derivadas: a1, a2, a3, a4, … an, …

f(x)

x

xi Xi+1

a0

f(Xi+1)

Expansión de la serie de Taylor Se trata de encontrar un polinomio de la forma:

que permita predecir el valor de la función en un punto cualquiera X, en términos de la propia función y de sus derivadas en el punto Xi.

El polinomio P(X) se hace coincidir con la función f(X), y las primeras n derivadas del polinomio se hacen coincidir con las n primeras derivadas de la función en el punto Xi.