Mtodos Numricos Ing. Juan Renzo Illacutipa MamaniEscuela Profesional de Ingeniera Mecnica Elctrica

Escuela Profesional de Ingeniera Mecnica ElctricaCAPTULO 02 : ECUA CIONES NO LINEALESINTRODUCCIN. MTODOS GRFICOS. MTODO DE BISECCIN. MTODO DE LA FALSA POSICIN. Mtodos Numricos Ing. Juan Renzo Illacutipa Mamani

Escuela Profesional de Ingeniera Mecnica ElctricaINTRODUCCINDesde hace aos aprendimos a usar la frmula cuadrtica:A los valores calculados se les llama las races de la ecuacin, que representan los valores de x que hacen a la ecuacin f(x) igual a cero.Por lo tanto, se define la raz de una ecuacin como el valor de x que hace f(x) = 0. Aunque la frmula cuadrtica es til para resolver la ecuacin, existen muchas funciones donde las races no se pueden determinar tan fcilmente. En estos casos, los mtodos numricos que se describirn proporcionarn medios eficientes para obtener la respuesta. Mtodos Numricos Ing. Juan Renzo Illacutipa Mamani

Escuela Profesional de Ingeniera Mecnica ElctricaINTRODUCCINAunque las races de ecuaciones aparecen en el contexto de diversos problemas, son frecuentes en el rea de diseo en ingeniera.

En la tabla se muestra un conjunto de principios fundamentales que se utilizan comnmente en trabajos de diseo.

Las ecuaciones matemticas o modelos provenientes de estos principios se utilizan para predecir los valores de variables dependientes en funcin de variables independientes y los valores de parmetros.

Observe que en cada caso las variables dependientes representan el estado o desempeo del sistema; mientras que los parmetros representan sus propiedades o su composicin. Mtodos Numricos Ing. Juan Renzo Illacutipa Mamani

Escuela Profesional de Ingeniera Mecnica ElctricaINTRODUCCIN Mtodos Numricos Ing. Juan Renzo Illacutipa Mamani

Un mtodo simple para obtener una aproximacin a la raz de la ecuacin f (x) = 0 consiste en graficar la funcin y observar dnde cruza el eje x. Este punto, que representa el valor de x para el cual f(x) = 0, ofrece una aproximacin inicial de la raz.Escuela Profesional de Ingeniera Mecnica Elctrica EJEMPLO PRCTICO.Utilice el mtodo grfico para determinar el coeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista de masa m = 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s despus de una cada libre de t = 10 s. La aceleracin de la gravedad es 9.8 m/s.MTODOS GRFICOS Mtodos Numricos Ing. Juan Renzo Illacutipa Mamani

Escuela Profesional de Ingeniera Mecnica ElctricaSOLUCIN:Este problema se resuelve determinando la raz de la ecuacin usando los parmetros t = 10, g = 9.8, v = 40 y m = 68.1MTODOS GRFICOS Mtodos Numricos Ing. Juan Renzo Illacutipa Mamani

Escuela Profesional de Ingeniera Mecnica ElctricaSOLUCIN:MTODOS GRFICOS Mtodos Numricos Ing. Juan Renzo Illacutipa Mamani

Escuela Profesional de Ingeniera Mecnica ElctricaSOLUCIN:MTODOS GRFICOS Mtodos Numricos Ing. Juan Renzo Illacutipa MamaniLas tcnicas grficas tienen un valor prctico limitado, ya que no son precisas. Sin embargo, los mtodos grficos se utilizan para obtener aproximaciones de la raz. Dichas aproximaciones se pueden usar como valores iniciales en los mtodos numricos analizados en este captulo y en el siguiente.

El mtodo de biseccin, conocido tambin como de corte binario, de particin de intervalos o de Bolzano, es un tipo de bsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre a la mitad.

Si la funcin cambia de signo sobre un intervalo, se evala el valor de la funcin en el punto medio. La posicin de la raz se determina situndola en el punto medio del subintervalo, dentro del cual ocurre un cambio de signo.

El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximacin.

A continuacin se presenta un algoritmo sencillo para los clculos de la biseccin.Escuela Profesional de Ingeniera Mecnica ElctricaMTODO DE BISECCIN Mtodos Numricos Ing. Juan Renzo Illacutipa Mamani

Escuela Profesional de Ingeniera Mecnica ElctricaMTODO DE BISECCIN Mtodos Numricos Ing. Juan Renzo Illacutipa Mamani

Escuela Profesional de Ingeniera Mecnica ElctricaMTODO DE BISECCIN Mtodos Numricos Ing. Juan Renzo Illacutipa Mamani EJEMPLO PRCTICO.Utilice el mtodo de biseccin para determinar el coeficiente de arrastre c necesario para que un paracaidista de masa m = 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/s despus de una cada libre de t = 10 s. La aceleracin de la gravedad es 9.8 m/s.

Escuela Profesional de Ingeniera Mecnica ElctricaSOLUCIN:El primer paso del mtodo de biseccin consiste en asignar dos valores iniciales a la incgnita que den valores de f(c) con diferentes signos. Mtodos Numricos Ing. Juan Renzo Illacutipa MamaniEn la figura del problema anterior, se observa que la funcin cambia de signo entre los valores 12 y 16. Por lo tanto, la estimacin inicial de la raz xr se encontrar en el punto medio del intervalo.MTODO DE BISECCIN

Escuela Profesional de Ingeniera Mecnica ElctricaSOLUCIN: Mtodos Numricos Ing. Juan Renzo Illacutipa MamaniMTODO DE BISECCIN

Aun cuando la biseccin es una tcnica perfectamente vlida para determinar races, su mtodo de aproximacin por fuerza bruta es relativamente ineficiente. La falsa posicin es una alternativa basada en una visualizacin grfica.

Escuela Profesional de Ingeniera Mecnica ElctricaMTODO DE LA FALSA POSICIN Mtodos Numricos Ing. Juan Renzo Illacutipa MamaniEs un mtodo alternativo que aprovecha la visualizacin grfica que consiste en unir f(xl) y f(xu) con una lnea recta. La interseccin de esta lnea con el eje de las x representa una mejor aproximacin de la raz.

El hecho de que se reemplace la curva por una lnea recta da una falsa posicin de la raz; de aqu el nombre de mtodo de la falsa posicin, o en latn, regula falsi. Tambin se le conoce como mtodo de interpolacion lineal.

Usando tringulos semejantes (ver figura), la interseccin de la lnea recta con el eje de las x se estima mediante.

Escuela Profesional de Ingeniera Mecnica ElctricaMTODO DE LA FALSA POSICIN Mtodos Numricos Ing. Juan Renzo Illacutipa Mamani

Escuela Profesional de Ingeniera Mecnica ElctricaMTODO DE LA FALSA POSICIN Mtodos Numricos Ing. Juan Renzo Illacutipa Mamani EJEMPLO PRCTICO.Con el mtodo de la falsa posicin determine la raz de la misma ecuacin analizada en el ejemplo anterior.

Escuela Profesional de Ingeniera Mecnica ElctricaMTODO DE LA FALSA POSICIN Mtodos Numricos Ing. Juan Renzo Illacutipa MamaniComo en el ejemplo anterior se empieza el clculo con los valores iniciales xl =12 y xu = 16.SOLUCIN:

Escuela Profesional de Ingeniera Mecnica ElctricaMTODO DE LA FALSA POSICIN Mtodos Numricos Ing. Juan Renzo Illacutipa MamaniSOLUCIN: