Metodos Numéricos

1CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I

WALTER EINWOEGERER 05/05/2006

QUADRATURA GAUSSIANA

INTEGRAO NUMRICA COM PONTOS DESIGUALMENTE ESPAADOS

QUADRATURA DE GAUSSLEGENDRE

QUADRATURA DE GAUSS-LAGUERRE

QUADRATURA DE GAUSS-CHEBYSHEV

QUADRATURA DE GAUSS-HERMITE

OUTRAS FRMULAS DE QUADRATURA GAUSSIANA




As formulas de integrao desenvolvidas anteriormente foram dadas na forma

onde (n+1) valores wi so os pesos a serem dados para os (n+1) valores f(xi) eforam especificadas como igualmente espaadas. Nesta forma no existe opode escolha dos pontos.A Quadratura Gaussiana apresenta forma idntica atribuindo somas ponderadaswi de (n+1) valores a f(xi).Embora os pontos no sejam igualmente espaados, estes so escolhidos deforma que os n+1 valores apropriadamente ponderados resultem como integralexata quando f(x) um polinmio de grau 2n+1 ou menor.

),()(0

i

n

ii

b

a

xfwdxxf =

=


ORTOGONALIDADE POLINOMIAL


Duas funes gn(x) e gm(x) selecionadas de uma famlia de funes gk(x) so

ortogonais com respeito a funo peso w(x) no intervalo [a,b] se:

Normalmente, c depende de n. Se estas relaes so vlidas para todos os n ento a

famlia {gk(x)} constitui um conjunto de funes ortogonais.

,0)()()( = dxxgxgxwba

mn

=ba

n ncdxxgxw .0)()]()[(2

,mn



A ortogonalidade pode ser vista como a generalizao da propriedade de perpendicularidade entre dois vetores em n dimenses, onde n se torna muito grande e os elementos (coordenadas) dos vetores podem ser representados como funes contnuas de alguma varivel independente

Famlias de funes ortogonais so conjuntos de {sen kx} e cos {kx},

Funes no ortogonais : 1, x, x2, x3, ..... Xn

Diversas famlias de polinomiais bem conhecidos possuem a propriedade de ortogonalidade, sendo que o conjunto de interesse neste caso so os polinmios de Legendre, Laguerre, Chebyshev e Hermite.


POLINOMIOS DE LEGENDRE

POLINMIOS DE LEGENDRE: Pn(x)

Os polinmios de Legendre so ortogonais no intervalo [-1,1] em relao funo peso w(x) = 1, ou seja

,0)()(1

1

=+

dxxPxP mn ,mn

+

=1

1

2.0)()]([ ncdxxPn


POLINOMIOS DE LEGENDRE

Os primeiros polinmios de Legendre so:

Onde a relao recursiva geral da forma:

).33035(81)(

),35(21)(

),13(21)(

,)(,1)(

244

33

22

1

0

+=

=

===

xxxP

xxxP

xxP

xxPxP

)(1)(12)( 21 xPnnxxPn

nxP nnn =


POLINOMIOS DE LAGUERRE

POLINMIOS DE LAGUERRE: L n(x)

Os polinmios de Laguerre so ortogonais no intervalo [0, ] em relao funo peso w(x) = e-x, ou seja

,0(x)(x)0

= dxe mnx LL ,mn

=0

2.0)(](x)[ ncdxe n

xL


POLINOMIOS DE LAGUERRE

Os primeiros polinmios de Laguerre so:


6189)(

24)(

1)(1)(

233

22

1

0

++=+=

+==

xxxx

xxx

xxx

L

L

LL

)()1()()12()( 22

1 xnxxnx nnn = LLL


POLINOMIOS DE CHEBYSHEV

POLINMIOS DE CHEBYSHEV: T n(x)

Os polinmios de Chebyshev so ortogonais no intervalo [-1,1 ] em relao

funo peso , ou seja

,0)()(1

11

12

=

+

dxxTxT

xmn ,mn

.0)()]([1

11

1

2

2=

+

ncdxxT

xn

21

1)(x

xw

=

10

CMC-203-0 Seminrio de Dinmica Orbital I

POLINOMIOS DE CHEBYSHEV

Os primeiros polinmios de Chebyshev so:


xxxTxxT

xxTxT

34)(

12)(

)(1)(

33

22

1

0

==

==

)()(2)( 21 xTxxTxT nnn =

11


POLINOMIOS DE HERMITE

POLINMIOS DE HERMITE: H n(x)

Os polinmios de Hermite so ortogonais no intervalo [- , ] em relao

funo peso , ou seja

,0)()H(2 =+

dxxxHemn

x ,mn

.0)()]([ 22 =+

ncdxxHen

x

2

xe

12


POLINOMIOS DE HERMITE

Os primeiros polinmios de Hermite so:


xxxH

xxH

xxHxH

128)(

24)(

2)(1)(

3

3

2

2

1

0

==

==

)()1(2)(2)( 21 xHnxxHxH nnn =

13



COMENTRIOS SOBRE POLINMIOS ORTOGONAIS

Os polinmios de Legendre, Laguerre, Chebyshev e Hermite que satisfazem as formulaes vistas so nicos.

Cada polinmio de grau n em x com coeficientes reais e n razes distintas internamente ao intervalo de integrao.

Um polinmio arbitrrio de grau n pode ser representado por uma funo linear por qualquer uma das famlias de polinmios ortogonais.

)(....)()()(1100

xZxZxZxpnnn

+++=

== ni iin xxp 0)(

=

=n

iii

xZ0

),(

14


QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE

Quadratura de GAUSS-LEGENDRE

O valor da integral pode ser estimada aproximandoa funo por um polinmio interpolador pn(x) de grau ne ser integrado como segue:

Onde Rn(x) o erro para o n-simo termo do polinmio interpolador.

+= ba nba ba n dxxRdxxpdxxf )()()(

ba dxxf )()(xf

15



Como os pontos xi ainda no so especificados, a forma Lagrangiana de umpolinmio interpolador, que permite pontos arbitrariamente espaados, serusada com seu termo de erro

onde

)()()( xRxpxf nn +=

( ) ( ) ,1)()()()(

)1(

0 0 !+

+=+

= = nfxxxfxLxf

nn

i

n

iiii

ba

16



Para simplificar o desenvolvimento sem alterar o resultado, o intervalode integrao ser mudado de [a,b] para [-1,1] atravs de mudanaapropriada de varivel.Assumindo que todos os pontos xi esto compreendidos no intervalo:

Definimos uma nova varivel z, comocom

Definindo uma nova funo

bxxxa n ,...., 10,)(2

abbaxz

+=11 z

( )

++==2

)()()( bazabfxfzF

17



( ) ( )!+ +=+

= = 1 )()()()(

)1(

0 0 nFzzzFzLzF

nn

i

n

iiii

1 1

18



Se f(x) assumindo como sendo um polinmio de grau (2n+1):

precisa ser de grau (n)

ser de grau (n+1)

de grau (n) na maioria dos casos

( ) )(1)()1( zq

nF

n

n

=!++

( )

=

n

iizz

0

=

n

iii

zFzL0

)()(

19



Fazendo:

temos

Integrando entre [-1,1]

( ) )(1)()1( zq

nF

n

n

=!++

)()()()()(00

zqzzzFzLzF nn

ii

n

iii

+=

==

=

+=1

10)()( errodzzLzF

i

n

ii

dzzqzzdzzFzLdzzF nn

i

n

iiii )()()()()(

1

1

1

1 0

1

1 0 = =

+=

errozFwn

iii+=

=0)(

20



onde

A menos da parcela de erro, a integral acima recai nos casos anteriormenteestudados onde os (n+1) pesos so atribudos aos valores de F(zi), quandoos pontos tomados esto igualmente espaados.

dzzzzz

dzzLwn

ji

ji

ijj

i

=

==

1

1

1

1 0

)(

=

=n

iii zFwdzzF

0

1

1

)()(

21



A parcela de erro o termo de erro da integrao ou da equao de quadratura.

O objetivo selecionar zi de forma a eliminar o erro da equao acima. Apropriedade da ortogonalidade dos polinmios de Legendre ser ento usadapara estabelecer tais valores para ziExpandindo os dois polinmios na forma de Legendre

( ) dzzqzzn

n

ii

)(1

1 0 =

=

=+++=n

iiinnn zPczPczPczPczq

01100 )()(...)()()(

( ) +=

++=

=++++=1

0111100

0

)()()(...)()(n

iiinnnn

n

ii zPbzPbzPbzPbzPbzz

22



Ento o produto pode ser escrito como:

A integral assume ento a forma

( )=

n

iin zzzq

0

)(

)()()()( 10

10 0

zPzPcbzPzPcb nin

iinj

n

i

n

jiji +

=+

= = +

dzzPzPcbzPzPcb nin

iinj

n

i

n

jiji

+

=+

= =

+1

11

01

0 0)()()()(

23



Devido propriedade de ortogonalidade de Lagrange, todos os termos daIntegral na forma

Se anulam. Desta forma o termo de erro dado por

,)()(1

1

dzzPzPcb jiii

,ji

( ) [ ] dzzPcbdzzqzz iini

in

n

ii

21

1 0

1

1 0

)()( = =

=

[ ] dzzPcb iini

i

21

10)(

==

24



Da equao anterior so obtidas (n+1) razes zi, i = 0,1,2,.....n

faltando determinar o coeficiente bn+1. Contudo desde que bn+1Pn+1(z) o mesmo polinomial, zi necessariamente ser a raiz de bn+1Pn+1(z) , ou equivalentemente de P n+1.

Desta forma, os (n+1) pontos base a serem usados na integrao de

)()(1

1 0i

n

ii zFwdzzF

==

So as (n+1) razes do apropriado polinmio de Legendre de grau (n+1).

Os pesos associados a cada a cada valor de F(zi) so calculados por:

dzzzzz

wn

ji

j

ijj

i

=

=

1

1 0

25



Valores para razes apropriadas e seus fatores de ponderao (peso) para n = 1,2,3,4 e 5, correspondendo a 2,3,4,5,6 point-formula respectivamente so tabelados.

A frmula de integrao com os valores dos pontos-base que so dados pelas razes zi e fatores-peso wi so denominados de FRMULA DE QUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE.

26



0.46791 39345 726910.36076 15730 481390.1713244923 79170

Six-Point Formulasn = 5

0.23861 91860 831970.66120 93864 662650.93246 95142 03152

0.56888 88888 888890.47862 86704 993660.23692 68850 56189

Five-Point Formulasn = 4

0.00000 00000 000000.53846 93101 056830.90617 98459 38664

0.65214 51548 625460.34785 48451 37454

Four-Point Formulasn = 3

0.33998 10435 848560.86113 63115 94053

0.88888 88888 888890.55555 55555 55555

Three-Point Formulasn = 2

0.00000 00000 000000.77459 66692 41483

1.00000 00000 00000Two-Point Formulasn = 1

0.57735 02691 89626

Fatores de ponderao (wi)

Razes (zi)

RAZES DO POLINMIO DE LEGENDRE Pn+1(z) e FATORES DE PONDERAO PARA A QUADRATURA GAUSS-LEGENDRE

)()(1

1 0i

n

ii zFwdzzF

==

27



Exemplo 1: Use quadratura Gauss-Legendre com 2 pontos para

=+++=1

1

1

1

23

322)1()( dzzzzdzzF

R1 0.5773502692R2 -0.5773502692P1 1.0000000000P2 1.0000000000

z3 z2 z 1 F(z) = z3 +z2 +z+1R1 0.192450 0.333333 0.577350 1 2.103134R2 -0.192450 0.333333 -0.577350 1 0.563533Soma 2.666667

...)57735.0(x1...)57735.0(x1)()(1

1

1

0 =

+==i

ii FFzFwdzzF

28



Exemplo 2: Utilizando da Quadratura de Gauss-Legendre com 5 pontos

estime ln2

Transformando a varivel de 1 x 2 para -1 z 1, temos69314718.02ln

2

1

== xdx

,3212

122)(2 ==

+= xxab

abxz2dzdx =

xxf 1)( =

32)( += zzF

dzz

dzzx

dx

+=+=

1

1

1

1

2

1 31

232

29



Exemplo 2 - continuao

R1 0.00000000R2 0.53846931R3 -0.53846931R4 0.90617985R5 -0.90617985P1 0.56888889P2 0.47862867P3 0.47862867P4 0.23692689P5 0.23692689

=

=

+

4

0

1

1

)(3

1i

izFdzz

ln2 (Excel) (2) 0.69314718Diferena (2-1) 0.00000002

z z+3 F(Zi ) = 1/(zi+3) Pi*(1/(z+3)R1 (i = 0) 0.00000000 3.00000000 0.33333333 0.18962963R2 (i = 1) 0.53846931 3.53846931 0.28260807 0.13526433R3 (i = 2) -0.53846931 2.46153069 0.40625128 0.19444351R4 (i = 3) 0.90617985 3.90617985 0.25600460 0.06065437R5 (i = 4 ) -0.90617985 2.09382015 0.47759594 0.11315532

Somatoria (1) 0.69314716

30



Normalmente os limites de integrao no esto entre os intervalos 1 e 1como requerido pelas frmulas de quadratura de Gauss-Legendre.

Uma forma de obter a equao onde a e b so arbitrrios,

porm finitos, fazer a transformao ento

E pela Quadratura de Gauss-Legendre a integral pode ser aproximada por

ba

dxxf )(

2)( ababzx ++=

dzababzfabdxxfb

a

++=1

1 2)(

2)()(

=

++=n

i

ii

b

a

ababzfwabdxxf0 2

)(2

)()(

31



Exemplo 3 Use a frmula da quadratura de Gauss-Legendre de dois pontospara estimar:

= f(1.4226497309) + f(2.5773502691)

= 7.32592866 + 27.34073801 = 34.66666667

O resultado obtido exato pois um polinmio de grau 2n+1.

( ) =+++31

23

32341dxxxx

+++

++= 2 13)13(5773503.00.12 13)13(5773503.00.12 )13()(3

1

ffdxxf

)(xf

32



Os exemplos anteriores mostram porque a Quadratura de Gauss-Legendre foi bem pouco usada no passado.

A determinao dos fatores-peso e pontos base inconveniente quando determinados manualmente, porm, de fcil resoluo em processamento digital.

Grande nfase foi dada quando F(z) polinmio de ordem 2n+1 ou menor. Em situaes reais, F(z) normalmente no polinomial.

Nestes casos necessrio determinar o erro cometido. Para estes casos, o termo de erro para a Formula da Quadratura de Gauss-Legendre dada por:

em( )[ ]

( )[ ] ),()!22(32!12 )22(

3

432

++

+++= n

n

n FnnnE )1,1(

33


QUADRATURA DE GAUSS-LAGUERRE

=

=n

iii

zzFwdzzFe

00

)()(

QUADRATURA GAUSS-LAGUERRE

Os polinmios de Laguerre podem ser usados para gerar uma frmula de

Quadratura Gaussiana para avaliar as integrais na forma:

( ) ( ) ,1 )()()()()1(

0 0 !+

+=+

= = nfzzzFxLzF

nn

i

n

iiii

que conhecida como Quadratura Gauss-Laguerre e muito similar

Quadratura de Gauss-Legendre, onde:

34



Com =

=

n

ji

ji

ijj

zzzz

zL0

)(

Assumindo que F(z) um polinmio de grau 2n+1, ento

precisa ser um polinmio de grau n.

)!1/()()1( ++ nF n

( ) )()()()(0 0

zqzzzFxLzF nn

i

n

iiii

= =

+=

( ) )(1)()1( zq

nF

n

n

=!++

35



Para obter, dzzFez

)(0 Multiplica-se cada termo por e integra-se

ambos os lados obtendo:

ze

dzzqzzedzzLezFdzzFe nn

ii

zn

ii

z

i

z)()()()()(

000 0 0

+= =

=

Pela ortogonalidade dos polinmios de Laguerre, se um mltiplo constante deste, L n+1(z) o termo direita desaparece, poisexpandindo qn(z) em termos dos Polinmios de Laguerre de ordem n ou menortemos que:

= (-1)n+1 L n+1(z) Os pontos zi a serem usados para n+1 pontos so os m-pontos da quadraturaGauss-Laguerre que so as razes do polinmio (n+1) de Laguerre L n+1(z)

= ni izz0 )(

= ni izz0 )(

36



Os fatores peso correspondentes so dados por:

dzzzzz

edzzLewn

ji

jz

i

z

i

ijj

=

==

000

)(

Sendo o erro para a Quadratura Gauss-Laguerre dado por:

[ ] ),()!22( )!1()22(2 ++

+= nn FnnE em (0, )

37



Razes (Z i) Fatores peso (W i )

0.58578 64376 27 Two-Point Formula 0.85355 33905 933.41421 35623 73 n = 1 0.14644 66094 07

0.41577 45567 83 Tree-Point Formula 0.71109 30099 292.29428 03602 79 n=2 0.27851 77335 696.28994 50829 37 0.010389 25650 16

=

=n

iii

zzFwdzzFe

00

)()(

Razes dos polinmios de Laguerre L n+1(z) e fatores peso para Quadratura Gauss-Laguerre

38



A Quadratura de Gauss-Laguerre pode ser usada para avaliar integrais na forma:

,)( a

xdxxfe onde a arbitrrio e finito atravs da transformao linear x=z+a

+ +=+=a

zaazxdzazfeedzazfedxxfe

0 0

)()()()(

E a formulao geral da Quadratura Gauss-Laguerre para limites inferiores de

integrao com a arbitrrio dada por:

=

+=n

iii

a

a

xazfwedxxfe

0)()( Onde wi e zi esto tabulados

39



Exemplo: Use a formulao anterior para avaliar a integral:

Cuja soluo analtica : 5/e 1

2dxxe

x

=

+=n

iii zwe

0

21)1(

=

+=n

iii

a

a

xazfwedxxfe

0)()(

++= = ==

n

i

n

iiiii

n

ii wzwzwe

0 1

2

0

12

,220

==

i

n

ii zw ,1

0=

=i

n

ii zw 1

1=

=

n

iiw

Dos valores de razes e respectivos pesos tabulados, temos:

40


QUADRATURA GAUSS-CHEBYSHEV


Outra frmula de quadratura gaussiana pode ser obtida usando-se da propriedade de ortogonalidade dos polinmios de Chebyshev. O desenvolvimento anlogo ao das quadraturas Gauss-Legendre e Gauss-Laguerre

A frmula de quadratura de Gauss-Chebyshev dada por:

)()(1

10

1

12

+

=

n

iii zFwdzzF

zNovamente, a integrao exata se F(z) um polinmio de grau (2n+1) ou menor. Os (n+1) valores de zi so as razes do (n+1)grau do polinmio de Chebyshev Tn+1(z) de forma que:

)22()12(cos +

+= nizi

i=0,1,2,....n

41



Neste caso os valores de wi so iguais e tem o valor de

resultando

1+n

)(1)(1

10

1

12

+

+=

n

iizFndzzF

z

),()!22(2

2 )22(22

++ +

= nnn Fn

E

O termo do erro dado por:

Podemos ainda mudar os limites de integrao entre dois valores a e b finitos, atravs de uma transformao de variveis apropriada.

em (-1,1)

42


QUADRATURA GAUSS-HERMITE


Baseando-se na propriedade de ortogonalidade dos polinmios de Hermite, podemos escrever a Quadratura Gauss-Hermite como:

=

=n

iii

xxfwdxxfe

0),()(

2

Onde xi so as razes do polinmio de Hermite de grau (n+1)

com o correspondente termo do erro dado por:

),()!22(2

)!1( )22(12

++ ++= nnn F

n

nE

43



RAZES DOS POLINMIOS DE HERMITE H n+1 E FATORES PESO PARA A QUADRATURA GAUSS-HERMITE

Razes (Z i) Fatores peso (W i )

Two-Point Formula 0.7071067811 n = 1 0.8862269255

Tree-Point Formula 1.2247448714 n=2 0.2954089752

0.00000000000 1.1816359006

Four-Point Formula 1.6506801239 n=3 0.0813128354 0.5246476233 0.8049140900

=

=n

iii

xxfwdxxfe

0

),()(2

44


OUTRAS FORMULAS DE QUADRATURA GAUSSIANA


Atravs da transformao apropriada das variveis de integrao ou da funo a ser integrada, as quatro quadraturas Gaussianas anteriores permitem a avaliao numrica de diversas integrais sobre intervalos de integrao finita, semi-finita ou infinita.

Podemos ainda escrever: =ba

b

a

dxxwxfxwdxxf )()()()(

= ba

dxxgxw )()(

E ento usar a quadratura apropriada para integrais na forma acima. til no caso do integrando possuir singularidades, relegando o termo singular para a funo peso.

45



Uma grande variedade de formulas do tipo Gaussiana pode ser gerada para particulares funes peso, limites de integrao e conjuntos de polinmios ortogonais.

Quando a Quadratura Gaussiana possui os dois limites de integrao como pontos base (razes) x0 = a e xn =b, os pontos remanescentes x1,...x n-1 so as razes de Pn(x).Esta Frmula denominada de QUADRATURA LOBATTO e a integral de f(x) exata se f(x) um polinmio de grau 2n-1.

Quando apenas um dos limites de integrao especificado como ponto base a frmula chamada de QUADRATURA RADAU e a integral exata quando f(x) um polinmio de grau 2n ou menor.

Existem ainda extensas tabelas de pontos base e fatores peso para uma variedade de QUADRATURAS.

As mais completas so as das QUADRATURAS vistas anteriormente.

46


REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

BIBLIOGRAFIA:

1) Applied Numerical Methods,

Carnahan, Brice; Luther, H.A.; Wilkes, J.O.

John Wiley & Sons, New York, 1969

Paginas 100 a 127

2) Quadratura de Gauss

Azevedo, lvaro F. M.

Captulo 5

3) http://www.profwillian.com/calcnum/index_calcnum.html

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