Métodos Numéricos para a Engenharia I

Cynthia de O. Lage Ferreira ICMC-USP

http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/cynthia/ cynthia@icmc.usp.br

Informações sobre o Curso �  Site do curso

http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/cynthia/cursos/2017/sme0301/mecanica.html

�  Horário das aulas

2a-feira 9h20 às 11h50, sala C2

�  Atendimento

Agendamento via e-mail (cynthia@icmc.usp.br), sala 3-135

�  Estagiária PAE

Franciane Fracalossi Rocha - horário a definir

Objetivos da Disciplina �  Apresentar diversos métodos matemáticos para a resolução

de problemas matemáticos, destacando

ü  a diferença em relação às soluções analíticas

ü  as situações em que eles devem ser aplicados

ü  suas vantagens e limitações

�  Melhorar a “intimidade” do aluno com a matemática, mostrando seu lado prático

�  Apresentar ao aluno maneiras práticas de desenvolver e utilizar métodos numéricos na calculadora e no computador

�  Desenvolver a capacidade do aluno de aprender outros métodos numéricos por conta própria

Ementa �  Introdução aos Algoritmos

– noções básicas de ponto flutuante

– programação em MATLAB /OCTAVE

�  Solução de Sistemas Lineares: Métodos Diretos

– decomposição LU, eliminação de Gauss e Cholesky

�  Solução de Sistemas Lineares: Métodos Iterativos

– métodos de Jacobi, Gauss-Seidel e gradiente

�  Autovalores e Autovetores

– decomposição QR, método das potências, Jacobi, Francis

�  Solução de Equações e Sistemas Não Lineares

– métodos da bissecção, secante, iterativo linear e Newton

Avaliação e Média Final �  2 provas

P1: 08/05

P2: 19/06

�  Prova SUB: 26/06 (solicitação via recuperação do aprendizado)

�  REC: 11/07

�  Média Final

MF = (P1+P2)/2

Considerações Importantes �  Atrasos de no máximo 10 minutos

�  Fiquem atentos ao número de faltas

�  Proibido o uso de celular durante as aulas e nas provas

�  Trazer calculadora para as provas, exceto calculadoras do tipo HP-48G ou semalhantes

Organização do Estudo �  Cronograma das aulas

Aula Data Tópicos

1 06/03 Apresentação do curso/Introdução ao MATLAB

2 13/03 Revisão álgebra linear/Noções básicas de ponto flutuante

3 20/03 Decomposição LU

4 27/03 Decomposição de Cholesky

5 03/04 Eliminação de Gauss/ Cálculo da matriz inversa

6 17/04 Método de Jacobi/Método de Gauss-Seidel

7 24/04 Método do gradiente

8 08/05 P1

9 15/05 Decomposição QR/ Método de Francis

10 22/05 Método das potências

11 29/05 Método da bissecção/Método do ponto fixo

12 05/06 Método de Newton

13 12/06 Método iterativo linear/Método Newton para sistemas

14 19/06 P2

15 26/06 SUB

Organização do Estudo �  Estudo em casa

ü  Listas de exercícios

ü  Implementação dos métodos no computador. IMPORTANTE !

ü  Leitura de bibliografia complementar

Motivação �  Google Pagerank (Brin & Page 1998)

ü  É um algoritmo utilizado pela ferramenta de busca do Google para posicionar os sites entre os resultados das buscas

ü  Ele mede a importância de um site contabilizando a quantidade e qualidade dos links apontando pra ele

Exemplo

•  Tornando a matriz A estocástica

•  Resolvendo o problema dos "becos sem saída"

•  Evitando ciclos no grafo

Método das Potências Dada uma distribuição inicial p(0),

A(k) p(0) à v

O vetor v é chamado vetor estacionário de A

Outras Aplicações �  Nas ciências aplicadas, precisamos

frequentemente resolver sistemas da forma

Ax=b

Como resolver este sistema linear ?

Exemplo �  Considere uma placa sujeita a diferentes temperaturas

Qual a temperatura no interior da placa depois de atingida a distribuição de equilíbrio ?

25

20

20

30

x1

2x

3x

4x

Contexto Histórico �  A análise numérica se tornou uma disciplina

matemática independente apenas no século 20.

�  Até o século 19 não havia distinção entre matemática e ciências naturais, incluindo filosofia, física, química, astronomia etc.

�  Em 1687, Isaac Newton (1642-1727), propôs o problema abaixo na sua obra Mathematical Principles of Natural Philosophy

“Dado quaisquer número de pontos, encontrar uma linha curva (polinômio) que passe por tais pontos”.

�  Este problema, depois de solucionado, foi utilizado por Newton para estudar a localização dos cometas.

Contexto Histórico (continuação)

�  Na segunda metade do século 19, métodos numéricos foram desenvolvidos para resolver problemas de astronimia, físca e engenharia.

�  A análise numérica moderna começa em torno de 1940 devido à participação de matemáticos, principalmete americanos, alemães e russos na segunda guerra mundial e devido ao desenvolvimento dos primeiros computadores.

Métodos Diretos X Métodos Iterativos

�  Considere a equação

3x3 + 4 = 28

Direto

3x3 + 4 = 283x3 = 24x3 = 8x = 2

Iterativo

f (x) = 3x3 − 24a = 0,b = 3,c =1.5f (a) = −24, f (b) = 57, f (c) = −13.85

a =1.5,b = 3,c = 2.25f (c) =10.17...

a =1.5,b = 2.25,c =1.875f (c) = −4.22...

a =1.875,b = 2.25,c = 2.0625f (c) = 2.32...

Referências •  BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D., Análise Numérica, Cengage Learning, 2008. •  QUARTERONI, A.; SALERI, F., Scientific Computing with MATLAB and OCTAVE, Springer,

2006. •  CHAPMAN, S. J., Programação em MATLAB para Engenheiros, Cengage Learning, 2011. Sites Interessantes •  A história da Análise Numérica e do Cálculo Científico (http://history.siam.org/) •  MATLAB (https://www.mathworks.com/) •  OCTAVE (http://www.gnu.org/software/octave/) •  Numerical Computing with MATLAB by Cleve Moler (https://www.mathworks.com/moler/chapters.html)