Métodos Numéricos - UFPR

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  • Universidade Federal do Paran

    Departamento de Informtica

    CI-202

    MTODOS

    NUMRICOS

    Prof. Ionildo Jos SanchesProf. Ionildo Jos SanchesProf. Ionildo Jos SanchesProf. Ionildo Jos Sanches Prof. Digenes Cogo FurlanProf. Digenes Cogo FurlanProf. Digenes Cogo FurlanProf. Digenes Cogo Furlan

    E-Mail: ionildo@ionildo.cjb.net URL: http://www.ionildo.cjb.net/metodos/

    CURITIBA 2007

  • ii

    SUMRIO

    1 INTRODUO........................................................................................................................................... 1

    2 CONCEITO DE ERRO.............................................................................................................................. 2

    2.1 INTRODUO........................................................................................................................................... 2 2.2 ERROS NA FASE DE MODELAGEM............................................................................................................ 2 2.3 ERROS NA FASE DE RESOLUO ............................................................................................................. 2 2.4 ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS ........................................................................................................... 2 2.5 ERRO DE ARREDONDAMENTO ................................................................................................................. 3 2.6 ERRO DE TRUNCAMENTO ........................................................................................................................ 4

    3 REPRESENTAO DOS NMEROS REAIS....................................................................................... 6

    3.1 INTRODUO........................................................................................................................................... 6 3.2 SISTEMA DE NUMERAO ....................................................................................................................... 7

    3.2.1 Sistema de Numerao Decimal ....................................................................................................................7 3.2.2 Sistema de Numerao Binrio......................................................................................................................7

    3.3 ARITMTICA DE PONTO FLUTUANTE ..................................................................................................... 10 3.4 PROPAGAO DE ERROS ....................................................................................................................... 12

    4 ZEROS DE EQUAES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS ................................................. 14

    4.1 INTRODUO......................................................................................................................................... 14 4.1.1 Derivada de uma funo num ponto ............................................................................................................14 4.1.2 Tipos de Mtodos .........................................................................................................................................14 4.1.3 Isolamento de Razes....................................................................................................................................16 4.1.4 Classificao dos mtodos ...........................................................................................................................16

    4.2 MTODO DA BISSEO ......................................................................................................................... 17 4.2.1 Estimativa do Nmero de Iteraes .............................................................................................................17 4.2.2 Consideraes Finais...................................................................................................................................18 4.2.3 Exemplos ......................................................................................................................................................18

    4.3 MTODO DA FALSA POSIO ................................................................................................................ 19 4.3.1 Casos especiais ............................................................................................................................................20 4.3.2 Consideraes finais ....................................................................................................................................21 4.3.3 Exemplos ......................................................................................................................................................21

    4.4 MTODO DA ITERAO LINEAR ............................................................................................................ 22 4.4.1 Casos de convergncia.................................................................................................................................23 4.4.2 Consideraes finais ....................................................................................................................................24 4.4.3 Exemplos ......................................................................................................................................................24

    4.5 MTODO DE NEWTON-RAPHSON OU MTODO DAS TANGENTES ........................................................... 25 4.5.1 Consideraes finais ....................................................................................................................................26 4.5.2 Exemplos ......................................................................................................................................................26 4.5.3 Condies de Newton-Raphson-Fourier......................................................................................................27

    4.6 MTODO DA SECANTE........................................................................................................................... 29 4.6.1 Exemplos ......................................................................................................................................................30

    4.7 MTODO MISTO .................................................................................................................................... 31 4.7.1 Exemplos ......................................................................................................................................................31

    4.8 MTODO PARA EQUAES POLINMIAIS .............................................................................................. 32 4.8.1 Introduo....................................................................................................................................................32 4.8.2 Localizao de Razes..................................................................................................................................32 4.8.3 Determinao das Razes Reais ...................................................................................................................34 4.8.4 Mtodo de Newton para Zeros de Polinmios.............................................................................................35

    5 SISTEMAS LINEARES........................................................................................................................... 38

    5.1 INTRODUO......................................................................................................................................... 38 5.1.1 Classificao Quanto ao Nmero de Solues ............................................................................................38

    iii

    5.2 MTODOS DIRETOS (ALGORITMOS DIRETOS) ....................................................................................... 39 5.2.1 Regra de Cramer..........................................................................................................................................39 5.2.2 Mtodo da Eliminao de Gauss .................................................................................................................40 5.2.3 Mtodo de Jordan ........................................................................................................................................42 5.2.4 Exemplos ......................................................................................................................................................42

    5.3 FATORAO LU.................................................................................................................................... 43 5.3.1 Clculo dos Fatores L e U ...........................................................................................................................44

    5.4 MTODOS ITERATIVOS (ALGORITMOS ITERATIVOS).............................................................................. 46 5.4.1 Mtodo de Gauss-Jacobi ( Algbrico ) ........................................................................................................46 5.4.2 Mtodo de Gauss-Jacobi ( Matricial ) .........................................................................................................48 5.4.3 Mtodo de Gauss-Seidel ( Algbrico ) .........................................................................................................50 5.4.4 Mtodo de Gauss-Seidel ( Matricial )..........................................................................................................52

    6 INTERPOLAO.................................................................................................................................... 54

    6.1 INTRODUO.........................................................