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Angela Nieckele – PUC-Rio
REGIME TRANSIENTE Métodos para Problemas de Valor Inicial
I. Métodos de Dois Níveis
i. explícito ou Euler explícito ou Foward Euler
(Euler para frente)
Taylor para frente:
1
ootttf
t
)(;))(,(
t),t(f nn
n1n
ordem.a1.aprox0
4
t
43
t
3
32
t
2
2
t
n1n ....!4
)t(
4t6
)t(
t2
)t(
tt
t
Angela Nieckele – PUC-Rio
ii. totalmente Implícito ou Euler Implícito ou Backward
Euler (Euler para trás)
Taylor para trás:
2
t),t(f 1n1n
n1n
ordem.a1.aprox0
4
t
43
t
3
32
t
2
2
1n
1nn ....!4
)t(
4t6
)t(
t2
)t(
tt
t
iii. Crank-Nicolson ou Regra do Trapézio
[(i)-(ii)]/2
t),t(f),t(f2
1 n
n1n
1n
n1n
ordem.a2.aprox0
3
1n
3
33
n
3
3
1nn
n1n ....6
)t(
t6
)t(
tt
tt22
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3
Obs: Pode-se generalizar a integração de um grande
número de métodos como
tf1ftdtt
t
o
)(
t t + dt
Métodos de 2 Níveis
explícito: f = 0
totalmente implícito: f = 1
Crank-Nicolson: f =0,5
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iv. Método Leapfrog ou Método da Regra do Ponto
Médio
Neste método, a variação de como o tempo também é
baseada em um perfil em degrau, porém o nível é baseado
no valor de obtido no instante de tempo intermediário.
t),t(f 2
1n
2
1n
n1n
n+1
n
t t+t/2 t+t
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5
II. Métodos Preditor Corretor São métodos baseados em dois passos. O primeiro para
prever e o segundo para corrigir.
O método deste tipo mais popular é baseado na
integração explícita de Euler, no passo preditor. Já o passo
corretor é baseado na regra do trapézio.
- passo preditor: * valor aproximado para
t),t(f nn
n*
1n
- passo corretor:
t),t(f),t(f2
1 *
1n1nn
n
n1n
Este método é de segunda ordem, mas possui a mesma
estabilidade que o método explícito de Euler.
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6
Os métodos do tipo “preditor-corretor” pertencem
a família de dois níveis, sendo a maior precisão
possível de segunda ordem. Para aumentar a
ordem, pontos adicionais devem ser utilizados.
(i) Os pontos adicionais são pontos onde a
solução já foi calculada.São os métodos de
ponto-médio, ou métodos de Adams.
(ii) Pontos entre tn e tn+1, utilizados somente para
conveniência computacional. Ex: Runge-Kutta
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Métodos de Adams: São derivados ao ajustar um
polinômio pelas derivadas em um número de
pontos em um tempo.
Ex: Adams-Bashforth.
Ajusta-se um polinômio de Lagrange passando
pelos pontos f(tn-m, n-m), f(tn-m+1, n-m+1),.... f(tn,
n).
O resultado é utilizado para calcular a integral,
resultando em um método explícito de ordem n+1.
Para a solução de equações diferenciais
parciais, somente os métodos de ordem mais
baixa são utilizados.
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O método de primeira ordem é o Euler explícito.
O de segunda ordem é
O de terceira ordem é
Estes métodos apresentam dificuldade para
iniciar o método, pois necessitam de dois ou mais
passos de tempo.
t),t(f),t(f33
11n1n
nn
n1n
t),t(f nn
n1n
t),t(f5),t(f16),t(f2312
12n2n1n1n
nn
n1n
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Métodos de Runge-Kutta:
Estes métodos não apresentam a dificuldade
dos métodos de ponto médio, pois utilizam pontos
entre tn e tn+1.
O método de Runge Kutta de 2ª. ordem consiste
de dois passos. O primeiro pode ser considerado
como um meio passo preditor baseado no método
de Euler Explícito, seguido da regra corretora do
ponto médio:
),t(f2
tn
n
n*
2
1n
),t(ft *
2
1n
2
1n
n1n
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10
O método de Runge-Kutta de ordem mais elevado mais
popular é o método de Runge-Kutta de 4ª. ordem. Os
primeiros dois passos utilizam o método de Euler
explícito para prever e o método implícito de Euler para
corrigir em tn+1/2. Isto seguido de um preditor baseado
na regra do ponto médio para um passo completo e a
regra de Simpson para a correção final.
),t(f2
tn
n
n*
2
1n
),t(f2
t *
2
1n
2
1n
n**
2
1n
),t(ft **
2
1n
2
1n
n*
1n
),t(f),t(f2),t(f2),t(f6
t *
1n1n
**
2
1n
2
1n
*
2
1n
2
1n
n
n
n1n
;
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Regime Transiente – Explícito
14
substituindo as expressões para os fluxos e fonte e dividindo por t
rearrumando
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Regime Transiente – Implícito
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substituindo as expressões para os fluxos e fonte e dividindo por t
rearrumando
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Regime Transiente – Crank-Nicolson
18
substituindo as expressões para os fluxos e fonte e dividindo por t
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Difusão Multi-dimensional
Regime Transiente
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S z
J
y
J
x
J
t
zyx
z- J
y- J
x- J zyx
Equação Diferencial em coordenadas cartesianas:
onde
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23
dtdzdydxS
dtdydxdz z
J dtdzdxdy
y
J
dtdzdydx x
Jdzdydx dt
t
t z y x
t y x z
z
t z x y
y
t z y x
x
z y x t
Método de Volumes Finitos: Integrar sobre o volume de controle, e
implicitamente no tempo. Alternando-se a ordem de integração de cada
termo, dependendo da conveniência, tem-se.
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dtdzdyJxJxdtdzdydx x
J
t z ywe
t z y x
x
dtzyJxJx
twe
)(
tzyJxJx we )(
Assumindo os fluxos constantes ao longo das faces dos volumes de controle.
Integrando implicitamente no tempo
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25
zy Sy x (J - (J
zx (J - (Jzy (J -
zy
bztz
syyxx
x
J
xt
nwe
oPp
))
))))(
)(
PPC S S S
e usado o perfil linear para avaliar os fluxos através de cada face, obtém-se
Procedendo da mesma forma para os outros termos e dividindo por t
têm-se
Linearizando a fonte como
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0 zy x S S
y - z)(
- - ( z)(
z - ( y)(
- ( y)(
zy - ( x)(
- ( x)(
zy
PPC
BPb
bPT
t
t
SPs
sPN
n
n
WPw
wPE
e
e
)(
)()
))
))
)(
x
x
xt
oPp
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Equação de Discretização:
baaaa a a a BBTTSSNNWWEEPP
oP
oPC
PopBTSNWEP
poP
b
bB
t
tT
s
sS
n
nN
w
wW
e
eE
azy x S b
zy x S -a a a a aa a a
zy x t
a
yx z)(
a y x z)(
a
zx y)
a zx y)(
a
zy x)(
a zy x)(
a
Note que, quando t →∞, recupera-se
a formulação para
regime
permanente.
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S z
J
r
J
rr
Jr
t
zr
z- J
r- J
r- J zr
Equação Diferencial em coordenadas cilíndricas:
onde
Método de Volumes Finitos: Integrando sobre o volume de controler d dr dz,
e implicitamente no tempo. Dividindo por t têm-se
zrrp
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S r (J - (J
J(r - J(r (J - J
t
rpbztz
zsrnrzrwe
oPp
))
))))(
)(
PPC S S S Linearizando a fonte como
e usado o perfil linear para avaliar os fluxos através de cada face, obtém-se
baaaa a a a BBTTSSNNWWEEPP