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Métodos Quantitativos Aplicados à Administração – Profª Luciana Gama Pág. 1 MÉTODOS QUANTITATIVOS APLICADOS À ADMINISTRAÇÃO Nome:___________________________________________ nº ____ Habilitação Profissional Técnica de Nível Médio de Técnico em Administração

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MÉTODOS

QUANTITATIVOS

APLICADOS À

ADMINISTRAÇÃO

Nome:___________________________________________ nº ____ Habilitação Profissional Técnica de Nível Médio de Técnico em

Administração

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1º Ciclo Cafelândia – SP

2009

Métodos Quantitativos Aplicados à Administração

Competências Eixo Tecnológico: Gestão e Negócios Função 1: Planejamento Organizacional 1. Avaliar gráficos das funções da matemática. Interpretar gráficos. 2. Interpretar índices, taxas, porcentagens, descontos, acréscimos, juros. 3. Compreender dados relacionados à matemática financeira. 4. Analisar sistemas de amortização. 5.Identificar a relação entre as políticas financeiras e a execução financeira no processo. 6. Identificar características e metodologias de pesquisas econômicas, de mercado e tecnológicas. 7. Interpretar estudos, relatórios e pesquisas econômicas e de mercado. 8. Identificar fontes para pesquisa de tecnologia administrativa. 9. Interpretar resultados estatísticos de acordo com cada método estudado Habilidades Eixo Tecnológico: Gestão e Negócios 1. Função 1: Planejamento Organizacional 1. Fazer cálculos e construir tabelas. 2. Elaborar gráficos. 3. Efetuar cálculos matemáticos de juros simples, juros composto, capital, valor presente, valor futuro, descontos, etc. 4. Utilizar resultados estatísticos. 5. Levantar informações quantitativas e financeiras sobre o desempenho do mercado, produtos, custos e demais dados; visando apoiar o processo de estudos mercadológicos e econômicos. 6. Organizar informações e comparar dados dos estudos com dados reais, preparando base para análise pelas funções especializadas da empresa. 7. Comparar resultados de tempo, qualidade, facilidade operacional, e custos entre novas tecnologias e as já utilizadas. 8. Elaborar relatórios sobre os resultados das pesquisas de desempenho do mercado. Bases Tecnológicas Eixo Tecnológico: Gestão e Negócios Função 1: Planejamento Organizacional 1. Relações e funções 2. Gráficos e tabelas 3. Juros, capitalização, descontos simples e descontos composto 4. Série de Pagamentos 5. Sistemas de Amortização 6. Gráficos e distribuição de freqüências 7. Medidas associativas a variáveis quantitativas e qualitativas 8. Diagrama de dispersão e medidas de correlação 9. Estudo da Probabilidade 10. Inferência Estatística 11. Curva Normal (Gauss) 12. Intervalos de confiança

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Carga Horária Teórica: 50 Prática: 50 Total: 100 horas/ aula Teórica: 40 Prática: 60 Total: 100 horas/ aula

1º PARTEIntrodução à Estatística

1- Objeto da Estatística

Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como média ou desvio padrão. A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas vezes incompletos, na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo, sendo assim, é objetivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam. Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser utilizados mesmo antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planejar a experiência que nos vai permitir recolher os dados, de modo que, posteriormente, se possa extrair o máximo de informação relevante para o problema em estudo, ou seja para a população de onde os dados provêm. Quando de posse dos dados, procura-se agrupá-los e reduzi-los, sob forma de amostra, deixando de lado a aleatoriedade presente. Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de estimar uma quantidade ou testar uma hipótese, utilizando-se técnicas estatísticas convenientes, as quais realçam toda a potencialidade da Estatística, na medida em que vão permitir tirar conclusões acerca de uma população, baseando-se numa pequena amostra, dando-nos ainda uma medida do erro cometido.

Exemplo 1: Ao chegarmos a uma churrascaria, não precisamos comer todos os tipos de saladas, de sobremesas e de carnes disponíveis, para conseguirmos chegar a conclusão de que a comida é de boa qualidade. Basta que seja provado um tipo de cada opção para concluirmos que estamos sendo bem servidos e que a comida está dentro dos padrões.

2- População e amostra

Qualquer estudo científico enfrenta o dilema de estudo da população ou da amostra. Obviamente teríamos uma precisão muito superior se fosse analisado o grupo inteiro, a população, do que uma pequena parcela representativa, denominada amostra. Observa-se que é impraticável na grande maioria dos casos, estudar a população em virtude de distâncias, custo, tempo, logística, entre outros motivos. A alternativa praticada nestes casos é o trabalho com uma amostra confiável. Se a amostra é confiável e proporciona inferir sobre a população, chamamos de inferência estatística. Para que a inferência seja válida, é necessária uma boa amostragem, livre de erros, tais como falta de determinação correta da população, falta de aleatoriedade e erro no dimensionamento da amostra. Quando não é possível estudar, exaustivamente, todos os elementos da população, estudam-se só alguns elementos, a que damos o nome de Amostra.

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Exemplo 2:

Se o objetivo for estudar o desempenho escolar de um colégio, é indicado estudar as notas dos alunos ao final do ano letivo. A partir daí poderemos facilmente obter a percentagem de aprovações e reprovações. Entretanto, se o interesse for aprofundar o estudo, saber se por exemplo o sucesso no estudo pode ser atribuído para as alunas ou alunos, deveremos recolher não somente a informação relativa a nota do aluno que aprovou ou não, mas também para cada um, o sexo.

Aprovados Masculino 28% Feminino 13% Total 41%

Quando a amostra não representa corretamente a população diz-se enviesada e a sua utilização pode dar origem a interpretações erradas.

3- Recenseamento

Recenseamento é a contagem oficial e periódica dos indivíduos de um País, ou parte de um País. Ele abrange, no entanto, um leque mais vasto de situações. Assim, pode definir-se recenseamento do seguinte modo: Estudo científico de um universo de pessoas, instituições ou objetos físicos com o propósito de adquirir conhecimentos, observando todos os seus elementos, e fazer juízos quantitativos acerca de características importantes desse universo.

4- Estatística Descritiva e Estatística Indutiva

Sondagem

Por vezes não é viável nem desejável, principalmente quando o número de elementos da população é muito elevado, inquirir todos os seus elementos sempre que se quer estudar uma ou mais características particulares dessa população. Assim surge o conceito de sondagem, que se pode tentar definir como: Estudo científico de uma parte de uma população com o objetivo de estudar atitudes, hábitos e preferências da população relativamente a acontecimentos, circunstâncias e assuntos de interesse comum.

5- Amostragem

Amostragem é o processo que procura extrair da população elementos que através de cálculos probabilísticos ou não, que consigam fornecer dados inferenciais da população-alvo.

Não Probabilística

Acidental ou conveniência Intencional Quotas ou proporcional

Tipos de Amostragem

Desproporcional

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Probabilística

Aleatória Simples Aleatória Estratificada

Conglomerado

Não Probabilística

A escolha de um método não probabilístico, via de regra, sempre encontrará desvantagem frente ao método probabilístico. No entanto, em alguns casos, se faz necessário a opção por este método. Fonseca (1996), alerta que não há formas de se generalizar os resultados obtidos na amostra para o todo da população quando se opta por este método de amostragem.

5.1- Acidental ou Conveniência

Indicada para estudos exploratórios. Freqüentemente utilizados em supermercados para testar produtos.

Intencional O entrevistador dirige-se a um grupo em específico para saber sua opinião. Por exemplo, quando de um estudo sobre automóveis, o pesquisador procura apenas oficinas.

5.2- Quotas ou Proporcional

Na realidade, trata-se de uma variação da amostragem intencional. Necessita-se ter um prévio conhecimento da população e sua proporcionalidade. Por exemplo, deseja-se entrevistar apenas indivíduos da classe A, que representa 12% da população. Esta será a quota para o trabalho. Comumente também substratifica-se uma quota obedecendo a uma segunda proporcionalidade.

5.3- Desproporcional

Muito utilizada quando a escolha da amostra for desproporcional à população. Atribui-se pesos para os dados, e assim obteve-se resultados ponderados representativos para o estudo

Exemplo 3: Em um mercado de telefones celulares, considerando uma fatia de mercado meramente ilustrativa, obteve-se os resultados conforme descritos a seguir:

Elementos da Amostra Marcas Participação no mercado n %

Nokia 60% 50 25% Ericson 20% 50 25% Gradiente 15% 50 25% Philips 05% 50 25% Total 100% 200 100%

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Obtivemos os pesos a serem atribuídos a cada marca de telefone celular, para uma análise conjunta de todas as marcas no exemplo acima desta forma:

Marcas Pesos Número de elementos a serem entrevistados Nokia 2,4 120 Ericson 0,8 40 Gradiente 0,6 30 Philips 0,2 10 Total 4,0 200

Probabilística

Para que, se possa, realizar inferências sobre a população, é necessário que se trabalhe com amostragem probabilística. É o método que garante segurança quando se investiga alguma hipótese. Normalmente os indivíduos investigados possuem a mesma probabilidade de ser selecionado na amostra.

5.4- Aleatória Simples

É o mais utilizado processo de amostragem. Prático e eficaz, confere precisão ao processo de amostragem. Normalmente utiliza-se uma tabela de números aleatórios e nomeia-se os indivíduos, sorteando-se um por um até completar a amostra calculada

Uma variação deste tipo de amostragem é a sistemática. Em um grande número de exemplos, o pesquisador depara-se com a população ordenada. Neste sentido, tem-se os indivíduos dispostos em seqüência o que dificulta a aplicação exata desta técnica.

Quando se trabalha com sorteio de quadras de casas por exemplo, há uma regra crescente para os números das casas. Em casos como este, divide-se a população pela amostra e obtém-se um coeficiente (y). A primeira casa será a de número x, a segunda será a de número x + y; a terceira será a de número x + 3. y. Supondo que este coeficiente seja 6. O primeiro elemento será 3. O segundo será 3 + 6. O terceiro será 3 + 2.6. O quarto será 3 + 3.6, e assim sucessivamente.

5.5 - Aleatória Estratificada

Quando se deseja guardar uma proporcionalidade na população heterogênea. Estratifica-se cada subpopulação por intermédio de critérios como classe social, renda, idade, sexo, entre outros.

5.6- Conglomerado

Em corriqueiras situações, torna-se difícil coletar características da população. Nesta modalidade de amostragem, sorteia-se um conjunto e procura-se estudar todo o conjunto. É exemplo de amostragem por conglomerado, famílias, organizações e quarteirões.

Exercícios

1) Defina Estatística?

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2) Qual é o objetivo da Estatística?

3) O que significa população dentro do estudo estatístico?

4) O que significa amostra, dentro do estudo estatístico?

5) O que deve ser feito para se obter o maior número de informações da população?

6) Por qual razão em muitos casos não é possível estudar a população inteira?

7) O que significa inferência estatística?

8) O que significa recenseamento e normalmente no Brasil e feito de quanto em quanto

tempo?

9) Para que serve o método estatístico definido como sondagem e dentro de qual grupo

estatístico este método está classificado?

10) O que é, para que serve e como é classificado o método estatístico de amostragem?

11) Qual a diferença entre amostragem não probabilística e amostragem probabilística?

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12) Quais são as subdivisões do método de amostragem não probabilística? Explique cada

uma delas.

13) Quais são as subdivisões do método de amostragem probabilística? Explique cada uma

delas.

14) Dê cinco exemplos de situações em que a estatística é útil?

6- Dimensionamento da amostra

Quando deseja-se dimensionar o tamanho da amostra, o procedimento desenvolve-se em três etapas distintas:

• Avaliar a variável mais importante do grupo e a mais significativa;

• Analisar se é ordinal, intervalar ou nominal;

• Verificar se a população é finita ou infinita;

7- Tipos de dados

Basicamente os dados, dividem-se em contínuos e discretos.

O primeiro é definido como qualquer valor entre dois limites quaisquer, tal como um diâmetro. Portanto trata-se de um valor a ser "quebrado". São dados contínuos, questões que envolvem idade, renda, gastos, vendas, faturamento, entre muitas outras.

Quando se fala em valores discretos, aborda-se um valor exato, tal como quantidade de peças defeituosas. Comumente utiliza-se estes tipos de variáveis para tratar de número de filhos, satisfação e escalas nominais no geral.

A tipologia dos dados determina a variável, ela será portanto contínua ou discreta. Isto quer dizer que ao definir-se uma variável com contínua ou discreta, futuramente já definiu-se que tipo de tratamento se dará a ela.

De acordo com o que dissemos anteriormente, numa análise estatística distinguem-se essencialmente duas fases:

Uma primeira fase em que se procura descrever e estudar a amostra: Estatística Descritiva e uma segunda fase em que se procura tirar conclusões para a população:

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1ª Fase Estatística Descritiva Procura-se descrever a amostra, pondo em evidência as características principais e as propriedades.

2ª Fase Estatística Indutiva Conhecidas certas propriedades (obtidas a partir de uma análise descritiva da amostra), expressas por meio de proposições, imaginam-se proposições mais gerais, que exprimam a existência de leis (na população).

No entanto, ao contrário das proposições deduzidas, não podemos dizer que são falsas ou verdadeiras, já que foram verificadas sobre um conjunto restrito de indivíduos, e portanto não são falsas, mas não foram verificadas para todos os indivíduos da População, pelo que também não podemos afirmar que são verdadeiras!

Existe, assim, um certo grau de incerteza (percentagem de erro) que é medido em termos de Probabilidade.

Considerando o que foi dito anteriormente sobre a Estatística Indutiva, precisamos aqui da noção de Probabilidade, para medir o grau de incerteza que existe, quando tiramos uma conclusão para a população, a partir da observação da amostra.

Exemplo 4: Uma empresa fabricante de um automóvel, pretende avaliar a potencialidade do mercado, estimando através de um mercado teste. Através de1000 entrevistados, pretende-se verificar como se comportará a fatia de intenção de votos para determinado candidato.

Problema: pretende-se, a partir da percentagem de respostas afirmativas, de entre os inquiridos sobre a compra do novo produto, obter uma estimativa do número de compradores na População.

A mesma coisa acontece em pesquisas eleitorais, onde determinado número de pessoas são entrevistas, concluindo-se que aquela fatia pode representar a vontade ou opinião do todo.

8- Dados, tabelas e gráficos

Distribuição de freqüência

Quando da análise de dados, é comum procurar conferir certa ordem aos números tornando-os visualmente mais amigáveis. O procedimento mais comum é o de divisão por classes ou categorias, verificando-se o número de indivíduos pertencentes a cada classe.

1. Determina-se o menor e o maior valor para o conjunto.

2. Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou ligeiramente inferior ao menor valor das observações.

3. Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou ligeiramente superior ao maior valor das observações.

4. Definir o número de classes (K), que será calculado usando . Obrigatoriamente deve estar compreendido entre os números das freqüências.

5. Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe.

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6. Com o conhecimento da amplitude de cada classe, define-se os limites para cada classe (inferior e superior)

Exemplo 5: 5,1 5,3 5,3 5,6 5,8 5,9 6 6,1 6,2 6,2 6,3 6,3 6,3 6,4 6,4 6,4 6,5 6,5 6,6 6,7 6,7 6,8 6,8 6,9 6,9 7 7,1 7,1 7,2 7,2 7,3 7,4 7,5 7,5 7,6 7,6 7,6 7,7 7,7 7,8 7,8 7,9 7,9 8 8 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 8,5 8,6 8,7 8,8 8,9 8,9 9 9,1 9,2 9,4 9,4 9,5 9,5 9,6 9,8 9 9 10 10,2 10,2 10,4 10,6 10,8 10,9 11,2 11,5 11,8 12,3 12,7 14,9

Regras para elaboração de uma distribuição de freqüências

1. Determina-se o menor e o maior valor para o conjunto: Valor mínimo: 5,1 Valor máximo: 14,9

2. Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou ligeiramente inferior ao menor valor das observações: LI: 5,1

3. Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou ligeiramente superior ao maior valor das observações: LS:15.

4. Definir o número de classes (K), que será calculado usando . Neste caso, K é igual a 8,94, aproximadamente, 8.

5. Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe:

No exemplo, a será igual a =1,23.

6. Com o conhecimento da amplitude de cada classe, define-se os limites para cada classe (inferior e superior), onde limite Inferior será 5,1 e o limite superior será 15 + 1,23.

Intervalo de Classe Freqüência Absoluta Freqüência Acumulada Freqüência Relativa (%)

05,10 a 06,33 13 13 16,25% 06,34 a 07,57 21 34 26,25% 07,58 a 08,81 22 56 27,50% 08,82 a 10,05 15 71 18,75% 10,06 a 11,29 4 75 5,00% 11,30 a 12,53 3 78 3,75% 12,54 a 13,77 1 79 1,25% 13,78 a 15,01 1 80 1,25%

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80 100%

Freqüência: é o número de vezes que um evento acontece

Freqüência Acumulada: somatório das freqüências.

Freqüência Relativa %: é a representatividade da classe no todo, calcula-se da seguinte

maneira: (freqüência absoluta / pelo total da freqüência absoluta) * 100 = %

Freqüência Relativa Acumulada: é a soma das freqüências relativas.

Exercício

1) Determinar: A) Intervalo de classe; B) Freqüência absoluta ; C) Freqüência acumulada,

D) Freqüência relativa; E) Freqüência relativa acumulada, com base nos dados abaixo:

8 4 4 5 7 9 12

7 12 8 8 15 8 14

5 13 7 9 7 10 10

12 7 9 8 12 27 9

32 25 17 26 16 22 12

5 21 7 11 13 11 16

19 16 1 13 18 16 14

12 12 21 8 18 27 17

20 15 8 16 16 18 18

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Distribuições simétricas A distribuição das freqüências faz-se de forma aproximadamente simétrica, relativamente a uma classe média

Caso especial de uma distribuição simétrica Quando dizemos que os dados obedecem a uma distribuição normal, estamos tratando de dados que distribuem-se em forma de sino.

Distribuições Assimétricas A distribuição das freqüências apresenta valores menores num dos lados:

Distribuições com "caudas" longas Observamos que nas extremidades há uma grande concentração de dados em relação aos concentrados na região central da distribuição.

9- Medidas de tendência Central

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As medidas de tendência central são usadas para indicar um valor que tende a tipificar, ou a representar melhor, um conjunto de números. As três medidas mais usadas são a média, a mediana e a moda.

A Média

A média aritmética é a idéia que ocorre à maioria das pessoas quando se fala em “média”. E como ela possuí certas propriedades matemáticas convenientes, é a mais importante das três medidas que estudaremos. Calcula-se a média aritmética determinando-se a soma dos valores do conjunto e dividindo-se esta soma pelo número de valores do conjunto.

Exemplo 6: A média dos valores 70,80 e 120 é: (70+80+120) / 3 = 90

Exemplo 7: Se um estudante fez quatro provas e obteve as notas 83,94,95 e 86, sua nota média é: (83+94+95+86) / 4 = 89,5.

A média tem certas propriedades interessantes e úteis, que explicam por que é ela a medida de tendência central mais usada:

1. A média de um conjunto de números pode sempre ser calculada.

2. Para um dado conjunto de números , a média é única.

3. A média é sensível a (ou afetada por) todos os valores do conjunto. Assim, se um valor se modifica, a média também se modifica.

4. Somando-se uma constante a cada valor do conjunto, a média ficará aumentada do valor dessa constante. Assim, somando-se 4,5 a cada valor de um conjunto, a média ficará aumentada de 4,5. Analogamente, subtraindo-se de cada valor do conjunto uma constante, ou multiplicando-se ou dividindo-se por ela cada valor do conjunto, a média fica reduzida dessa constante, ou multiplicada ou dividida por ela.

5. A soma dos desvios dos números de um conjunto a contar da média é zero. Por exemplo: a média dos números 2,4 e 6 é 4. Subtraindo 4 de cada um dos números, obtemos: 2 – 4 = - 2 ; 4 – 4 = 0; 6 – 4 = + 2

Exercícios:

Calcule a média dos seguintes valores:

1) João gostaria de saber a média salarial da sua família, sabendo-se que seu pai recebe o salário de R$ 799,00 e sua mãe o salário de R$ 465,00.

2) Itamar tirou nas últimas provas as seguintes notas: (10) (9,5) (7,5) (2,3) (8) (1,5) (10) (4,5) (8,9) (7). Pergunta-se, qual foi a média de Itamar?

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3) Com base no exercício anterior, sabendo-se que a média para aprovação no curso de administração é de 7,5 – podemos dizer que Itamar foi? Explique?

( ) aprovado ( ) reprovado

4) Determine a média para os conjuntos abaixo:

a. 7,9,2,1,5,4,4.5,7.5,6.2

b. 30,2,79,50,38,17,9

c. 90,87,92,81,78,85,95,90

d. 0.011,0.032,0.027,0.0035,0.042

e. 42,30,27,40,25,32,33

5) Qual seria o efeito sobre a média do conjunto (a) do exercício anterior se adicionássemos 10:

a. A um dos números?

b. A cada um dos números?

A Média Ponderada

A fórmula anterior para calcular a média aritmética supõe que cada observação tenha a mesma importância. Mesmo este tipo de análise seja a mais comum, existem casos onde não podemos calcular da mesma forma.

Exemplo 8: Um professor informa a sala que haverá dois exames, valendo cada um 30% do total de pontos do curso, e um exame final valendo 40%. O cálculo da média deve levar em conta os

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pesos desiguais dos exames. Assim o estudante obteve as seguintes notas: no primeiro exame 80 , no segundo 90 e no terceiro 96, ele atingiu a média final de ???

Exame Nota Peso

1 80 0,30

2 90 0,30

3 96 0,40

Total 1,00

Para isso devemos calcular da seguinte forma:

Média Ponderada (MP) = 0,30*(80) + 0,30*(90) + 0,40*(96) = 89,4

0,30 + 0,30 + 0,40

Exercício

1) Um aluno do curso de Administração, realizou um exame de meio de período e um exame final, este último com o dobro de peso do primeiro. O estudante obteve 95 no primeiro exame e 89 no exame final. Qual foi a média final deste aluno?

A Mediana

Uma segunda medida do meio de um conjunto de números é a mediana. Sua característica principal é dividir um conjunto ordenado de dados em dois grupos iguais; a metade terá valores inferiores à mediana, a outra metade terá valores superiores à mediana.

Para calcular a mediana, é necessário primeiro ordenar os valores (comumente) do mais baixo ao mais alto. Em seguida, conta-se até a metade dos valores para achar à mediana.

Por exemplo, a mediana do conjunto 5,6 e 8 é 6 (pois está no meio). Em geral, a mediana ocupa a posição (n+1)/2. Logo, para três números, a posição é (3+1) / 2 = 2, ou seja, a segunda posição.

Consideraremos outro exemplo: Determinar a mediana dos valores 7,8,9 e 10. De acordo com nossa fórmula, a posição mediana é (4+1) / 2 = 2,5 – que está a meio caminho dos dois valores médios, ou seja, neste caso. Este valor deixa dois valores acima e dois valores abaixo.

O processo para determinar a mediana é o seguinte:

1) Ordenar os valores.

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2) Verificar se há um número ímpar ou par de valores.

3) Para um número ímpar de valores, a mediana é o valor do meio.

4) Para um número par de valores, a mediana é a média dos dois valores do meio.

Exemplo: PAR

a) 2,3,3,4 = mediana 3

b) 1,18,19,20 = mediana 18,5

Exemplo: ÍMPAR

a) 1,2,3,3,3,4,7 = mediana 3

b) 9,4080,81,100 = mediana 80

Comparação entre Média e Mediana

A escolha da média ou da mediana, como medida de tendência central de um conjunto, depende de diversos fatores. A média é sensível a (ou influenciada por) cada valor do conjunto, inclusive os extremos. Por outro lado, a mediana é relativamente insensível aos valores extremos.

De modo geral, a média possui certas propriedades matemáticas que a torna mais atraente. Além disso, a ordenação dos dados para determinar a mediana pode ser cansativa e chata, e o cálculo da mediana não pode ser feito com máquina de calcular, ao contrário do que ocorre com a média.

A Moda

A moda é o valor que ocorre com mais freqüência num conjunto. Por exemplo, dados os números 10,10,8,6,10 há três 10’s e um de cada um dos outros números. O valor mais freqüente – a moda – é 10. A moda funciona como medida descritiva quando se trata de contar dados.

Comparada com a média e com a mediana, a moda é menos útil das medidas para problemas estatísticos, porque não se presta para análise matemática ou administrativa, ao contrário do que ocorre com as outras medidas. Todavia, do ponto de vista puramente descritivo, a moda indica o valor “típico” em termos da ocorrência.

Exercícios

1) Determine a média e a mediana de cada conjunto:

a. 4, 8, 7, 3, 5, 6

b. 2, 1, 7, 6

c. 309, 81, 452, 530, 70, 55, 198, 266

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2) Foram inspecionados 15 rádios antes de serem enviados aos clientes. Os números de defeitos por unidade são: 1, 0, 3, 4, 2, 1, 0, 3, 1, 2, 0, 1, 1, 0, 1 . Determine a média , a mediana e a moda do número de defeitos.

3) Quatro amigos trabalham num supermercado por tempo parcial com os seguintes salários: Bill R$ 220,00 , Tom R$ 350,00, Ed R$ 250,00 e Dodi R$ 295,00.

a. Determine o salário médio dentre os quatro.

b. Se cada um trabalhasse o período integral, qual seria a média salarial dos quatro?

10- Medidas de Dispersão

São necessários dois tipos de medidas para descrever adequadamente um conjunto de dados. Além das informações do “meio” de um conjunto de números, é conveniente dispormos também de um método que nos permita exprimir a dispersão.

Consideraremos quatro medidas de dispersão: o intervalo, o desvio médio, a variância e o desvio padrão. Todas elas, exceto o intervalo, têm na média o ponto de referência. Em cada caso o valor zero, indica a ausência de dispersão; a dispersão aumenta a medida que aumentar o valor da medida (intervalo, variância, etc).

O Intervalo

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O intervalo de um grupo de números é, de modo geral, a medida mais simples de calcular e de entender. Focaliza o maior e o menor valor no conjunto (ou seja, os valores extremos). O intervalo pode ser expresso de duas maneiras:

1. A diferença entre o maior e o menor valor.

2. O maior e o menor valor no grupo.

Consideraremos estes três valores: 1,10 e 25. A diferença entre o valor maior e o menor é de 25 – 1 = 24. Alternativamente, pode-se dizer que o intervalo de valores vai de 1 a 25.

Este último método tende a ser mais informativo.

Por exemplo, o mero conhecimento de que o intervalo de um conjunto de números é 44 não nos diz nada a respeito dos números, mas dizer que o intervalo vai de 300 a 344 já nos dá uma informação adicional sobre a grandeza dos números.

Exemplo:

INTERVALO

NÚMEROS DIFERENÇA DO MENOR AO MAIOR

1, 5, 7 , 13 13 – 1 = 12 De 1 a 13

14, 3 ,17 , 4 , 8, 73 36, 48 73 – 3 = 70 De 3 a 73

3.2, 4.7, 5.6, 2.1, 1.9, 10.3 10.3 – 1.9 = 8.4 De 1.9 a 10.3

A vantagem de utilizar o intervalo como medida de dispersão reside no fato de o intervalo ser relativamente fácil de calcular, mesmo para um grande conjunto de números. A maior limitação do intervalo é o fato de ele só levar em conta os dois valores extremos de um conjunto, nada informando quanto aos outros valores.

Medidas de dispersão que têm a média como ponto de referência

Quase sempre se calcula a média de um conjunto de dados. Por isso, existem várias medidas de dispersão que têm a média como ponto de referência. Todas requerem o cálculo do desvio, ou diferença, entre cada valor e a média.

Desvio Médio Absoluto (DMA)

O desvio médio absoluto (DMA) mede o desvio médio dos valores em relação à média do grupo ignorando o sinal do desvio. Calcula-se subtraindo a média de cada valor do grupo e desprezando o sinal (+ ou -) do desvio, e tomando a média em seguida. Ao calcular o desvio

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médio, é necessário levar em conta o fato de que a soma dos desvios positivos e negativos a contar da média será sempre (por definição) igual a zero. A conversão das diferenças a valores absolutos (todos os valores são considerados como desvios positivos) antes de se proceder à soma resolve o problema. Calcula-se então o desvio médio absoluto da seguinte forma:

Exemplo: Determine o desvio médio para o seguinte conjunto de números: 2, 4, 6, 8, 10

1) Determine a média: 2+4+6+8+10 = 6

5

Em seguida, determinaremos as diferenças entre a média de cada valor:

2 – 6 = - 4

4 – 6 = - 2

6 – 6 = 0 0 (verifique)

8 – 6 = + 2

10 – 6 = + 4

Tomemos os valores absolutos dessas diferenças e somemos: 4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12

Desvio médio 12 = 2,4

5

A Variância

É a média dos quadrados dos desvios dos valores a contar da média, calculada usando-se (n-1) em lugar de n.

Em resumo, os estágios do cálculo da variância são:

1) Calcular a média

2) Subtrair a média a cada valor do conjunto

3) Elevar ao quadrado cada desvio

4) Somar os quadrados dos desvios

5) Dividir a soma por (n-1) se trata de dados amostrais, ou simplesmente por n para somar o conjunto ou se os dados representam todos os valores de uma população.

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Desvio Padrão

O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada positiva da variância. Assim, se a variância é 81, o desvio padrão será 9.

Proporção

É a fração, ou percentagem de item de determinado grupo ou classe. A proporção se calcula mediante a fórmula: Proporção = x / n , onde x é o número de itens que apresentam determinada característica, e n o número total de observações.

Exemplo: Num grupo de 40 pessoas 10 têm casa própria - dizemos que a proporção dos que têm casa própria é de 10/40 = 0,25 ou 25%.

11 - Textos Complementares

Com relação aos textos abaixo – você deverá ler e relacionar com o conteúdo aprendido nesta primeira fase. A dissertação deverá ter no mínimo 15 linhas.

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Texto 1

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Texto 2

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Texto 3

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Texto 4