MÉTODOS QUANTITATIVOS MATEMÁTICOS

Paulo afonso BracarenseMaria eMilia Martins ferreira

Métodos Quantitativos

MateMáticosMétodos Quantitativos

MateMáticos

Méto

dos

Quan

titat

ivos

Mat

eMát

icos

Fundação Biblioteca NacionalISBN 978-85-387-3047-7

Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br


IESDE Brasil S.A.Curitiba

2012

3.ª ediçãoEdição revisada

Paulo Afonso Bracarense

Maria Emilia Martins Ferreira

Métodos Quantitativos Matemáticos


© 2007 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.

Capa: IESDE Brasil S.A.

Imagem da capa: IESDE Brasil S.A.

IESDE Brasil S.A.Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200 Batel – Curitiba – PR 0800 708 88 88 – www.iesde.com.br

Todos os direitos reservados.

CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTESINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ ________________________________________________________________________________

B788m Bracarense, Paulo Afonso, 1957- Métodos Quantitativos Matemáticos / Paulo Afonso Bracarense, Maria Emilia Martins Ferreira. - 3.ed. rev. - Curitiba, PR : IESDE Brasil, 2012. 200p. : 28 cm Inclui bibliografia ISBN 978-85-387-3047-7 1. Análise matemática 2. Cálculo. I. Ferreira, Maria Emilia Martins. I. Título.

12-6159. CDD: 515 CDU: 517

27.08.12 05.09.12 038526 ________________________________________________________________________________


Paulo Afonso BracarenseDoutor em Engenharia de Produção com

concentração em Inteligência Artificial pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Mestre em Estatística e Experimentação Agrí-cola pela Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz (ESALQ-USP). Bacharel em Estatísti-ca pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Professor da UFPR. Diretor Superintendente da Fundação da UFPR (FUNPAR).

Maria Emilia Martins FerreiraDoutoranda em Engenharia da Produção

com concentração em Inteligência Artificial pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Mestre em Engenharia de Produção com concen-tração em Meio Ambiente pela UFSC. Bacharel em Engenharia Civil pela Universidade Estadual do Maranhão (UEMA). Consultora da Unesco na Secretaria do Conselho Nacional de Ciência e Tecnologia da Presidência da República, sediada no Ministério da Ciência e Tecnologia.


sum

ário

sum

ário

sum

ário

sum

ário Sistemas numéricos

15

15 | O problema

15 | Explorando o problema

16 | Equacionando o problema

18 | Conceitos e regras

Operações com números reais 37

37 | O problema




Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas

71

71 | O problema



Intervalos 103

103 | O problema




Estudo de funções 117

117 | O problema





Limites 145

145 | O problema




Derivada de função 167

167 | O problema




Referências 197



O aprendizado da Matemática estimu-la nossas capacidades de compreensão do mundo, de desenvolvimento lógico e de am-pliação da comunicação que, por sua vez, abrem novas opções de aprendizado. Esse círculo virtuoso exige que estejamos sempre abertos a buscar maior aprimoramento no do-mínio dessa “linguagem”.

Devemos ter a Matemática como uma aliada em quem podemos nos apoiar e não como uma tirana, com quem só convivemos devido à sua absoluta inevitabilidade.

A modelagem matemática nas empresas trabalha tipicamente com a representação dos processos decisórios estratégicos nas mais diferentes áreas, como administração de re-cursos humanos, contas a receber, contas a pagar, suprimentos, logística, estoque, transporte, produção, receita, investimentos, vendas etc. O uso da Matemática pelos profis-sionais da área é um acessório fundamental a ser incorporado à experiência, inteligência e intuição na tomada de decisão.

Por mais paradoxal que possa parecer, a abundância de informações propiciadas pela enorme capacidade dos computadores em adquirir, armazenar e processar dados exige cada vez mais o domínio da linguagem e téc-nicas matemáticas na gestão de negócios.

O matemático francês Jules Henri Poincaré (1854-1912) – que usufruiu em seu tempo de enorme popularidade, pois foi precursor do estilo Carl Sagan, cientista que soube comuni-car-se com o público e dar à ciência um sabor popular – defendia há mais de um século que a Matemática deveria crescer não só por sua beleza intrínseca, mas também pela promo-ção do conhecimento como um todo.

Introdução Métodos Q

uantitativos Matem

áticos



ApresentaçãoSempre que começamos a trabalhar em um curso de Mate-

mática ou em um curso que envolve conceitos matemáticos para alunos de cursos que não são de Ciências Exatas, há uma questão fundamental a ser equacio nada: “Como apresentar os conteúdos, de forma abrangente e consistente, que serão necessários em ma-térias mais aplicadas e futuramente no exercício da profissão, que-brando a resistência dos alunos na aquisição desses conceitos?”.

Uma primeira pista para responder a essa questão é tentar compreender a origem da resistência. Equacionado esse proble-ma, mesmo que aproximadamente, surge o trabalho de conven-cimento dos alunos que a aprendizagem da Matemática pode não ser tão desagradável e complicada como se apresentou du-rante toda a sua vida escolar, e mais, pode mesmo ser uma tarefa muito aprazível.

A origem do problema parece estar mesmo na forma como se apresentaram os conceitos da Matemática já na infância. A Mate-mática é demonstrada a partir de conceitos, regras e abstrações. A Matemática também é isso, mas a origem dos números, das regras e das abstrações vêm mais da necessidade do homem em responder às questões da sua vida cotidiana do que em respon-der às questões filosóficas, que também são importantes.

Assim, seria muito mais fácil aprender Matemática para res-ponder às necessidades das pessoas. Ocorre, no entanto, que o aprendiz pode não ter um número razoável de questões a serem respondidas que possam abranger um conteúdo mínimo de um programa básico na matéria. Daí, então, surge a proposta de um método que procura estimular o aluno a ter necessidade de res-ponder a certas questões que propiciam apresentar os conteúdos necessários à formação profissional.

O livro apresentará os conteúdos da Matemática a partir da busca de respostas a problemas concretos. Para cada conteúdo serão apresentados os seguintes tópicos:

o problema; �explorando o problema; �equacionando o problema; �conceitos e regras; �ampliando seus conhecimentos; �atividades de aplicação. �

Métodos Q

uantitativos Matem

áticos


Modelo matemáticoEm qualquer área do conhecimento, o pesquisador, o cientista

ou o profissional busca compreender o funcionamento dos fenô-menos do mundo real por meio do desenvolvimento de teorias ou de observações empíricas que possam confirmar os determinantes para um certo comportamento do fenômeno em estudo, e a partir daí estabelecer regras que expliquem as razões de particulares com-portamentos do objeto em estudo. Quando observado que estes comportamentos se repetem consistentemente, estabelecem-se regras que tanto podem explicar a natureza do fenômeno quanto abrir a possibilidade de realização de previsões do tipo: se acontece ‘p’ então o resultado será ‘q’ ou pelo menos ‘aproximadamente q’ ou ‘provavelmente q’.

Para a consecução desse tipo de inferência, diferentes métodos foram desen volvidos ao longo da história da humanidade. Uma série desses métodos utiliza conceitos matemáticos para tentar compreen-der a reali dade. Uma série de outros métodos não utiliza ferramental matemático para a realização dessa experiência. Mas de uma forma ou de outra as teorias são uma abstração do mundo real, normal-mente simplificando-o.

As teorias da Administração e da Economia se comportam dessa forma. Dada a enorme complexidade dos fenômenos concretos, torna-se impossível compreender toda inter-relação de influências de uma só vez. A prática comum é buscar equacionar os determi-nantes mais importantes, relevando-se aqueles que têm menor sig-nificância na compreensão do problema.

Essa atitude serve tanto para a formulação de teorias que uti-lizam métodos matemáticos como para as que não os utilizam. Usar métodos matemáticos não necessariamente torna uma teoria melhor ou pior que outra. Um modelo administrativo ou econômi-co é meramente uma estrutura teórica. Não existe razão inerente pela qual ele necessite ser matemático. A opção pela utilização da Matemática sempre se deu como uma tentativa de racionalização do problema de forma a simplificá-lo, tornar a análise do fenô meno mais compreensível e manipulável e não ao contrário, como querem acreditar alguns de seus críticos.

Quando se opta pela utilização de métodos que envolvem a Ma-temática para a compreensão de um fenômeno, o que se busca é a construção de modelos matemáticos para a explicação do problema.

Métodos Q

uantitativos Matem

áticos


Os modelos matemáticos são comumente constituídos de equa-ções destinadas a descrever a estrutura do modelo. Essas equações são constru ídas a partir da observação de relações entre variáveis que dão forma matemática ao conjunto de pressupostos analíticos adotados. Assim, através da aplicação de operações matemáticas re-levantes a essas equações, procura-se derivar um conjunto de con-clusões que se seguem logicamente desses pressupostos.

Variáveis, constantes e parâmetrosUma variável é algo cuja magnitude pode mudar, isto é, algo que

pode assumir diferentes valores. As variáveis, frequentemente utili-zadas em administração e economia, incluem preço, lucro, receita, custo, produção, renda nacional, consumo, investimento, dentre outras. Cada variável pode assumir diferentes valores e é represen-tada por um símbolo. O preço pode ser representado por P, o lucro por L, a receita por R, o custo por C, e assim por diante.

Um modelo matemático, quando construído adequadamente, pode ser resolvido gerando-se os valores das soluções de certo con-junto de variáveis, tais como o nível de preço que iguala oferta e de-manda de mercado, ou o nível de produção que maximiza o lucro.

As variáveis aparecem, no geral, combinadas com números fixos, ou constantes, como nas expressões 5P ou 7,5C. Uma constante é uma magnitude que não varia. Quando uma constante é associada a uma variável, ela é, comu mente, chamada de coeficiente da variá-vel em questão. Esse coeficiente pode ser numérico ou simbólico. Ele será simbólico quando seu valor ainda não for conhecido, por exemplo, podemos dizer que a venda de n produtos ao preço P re-sultará em um faturamento de nP unidades monetárias. Enquanto o valor n não for estabelecido exatamente, ele é uma constante que pode receber diferentes valores e é, portanto, uma constante variá-vel e a ele é dado o nome de constante paramétrica ou simplesmen-te parâmetro.

Equações e funçõesAs variáveis podem existir independentemente umas das outras,

porém, elas não se tornam relevantes até que sejam relacionadas entre si por meio de equações. Uma equação especifica a maneira

Métodos Q

uantitativos Matem

áticos


pela qual uma variável se comporta em resposta a mudanças em outras variáveis. Isto pode envolver comportamento humano (tal como no caso do consumo agregado em relação à renda nacional) ou comportamento não humano (tal como no caso de como o custo total de uma firma reage a mudanças no nível de produção).

Em um sentido mais geral, as equações podem ser usadas para descrever o contexto institucional geral de um modelo, incluindo aspectos tecnoló gicos (a função de produção, por exemplo) e legais (a estrutura tributária, por exemplo). Antes da determinação de uma equação, é necessário que sejam adotados pressupostos bem de-finidos com relação ao padrão de comportamento da variável em questão. Esse comportamento é definido através de funções.

Uma função é, portanto, uma equação que descreve a relação entre duas ou mais variáveis.

Considerando, por exemplo, as duas funções de custoC = 100 + 2 QC = 150 + Q2onde C é o custo e Q a quantidade do produto.Como as duas equações são de diferentes formas, as condições

de produção supostas para cada uma serão diferentes. O custo fixo para a primeira equação é 100 unidades monetárias (para quando Q for igual a zero). Para a segunda equação, o custo fixo é de 150. A variação do custo também é diferente. Para a primeira equação, cada acréscimo unitário em Q corresponde a um acréscimo cons-tante de 2 em C. Na segunda equação, à medida em que Q aumen-ta, C aumenta em acréscimos progressivamente maiores. Então, a forma analítica expressa o comportamento do custo baseado nos pressupostos estabelecidos para o fenômeno real.

Conteúdo do livroO estudo de funções como as acima apresentadas faz parte do

conteúdo deste livro. Esse jogo de variabilidade será estudado atra-vés do estudo de derivadas das funções de interesse. É importante, portanto, o conhecimento do papel do cálculo diferencial no estudo de fenômenos administrativos e econômicos. Esse assunto será dis-cutido no Capítulo 7, o último do livro.

O cálculo diferencial é baseado em dois conceitos fundamentais de importância decisiva. São eles os conceitos de função e de limite.

Métodos Q

uantitativos Matem

áticos


Na verdade, tais conceitos podem ser reconhecidos aqui e ali, na Matemática dos antigos, mas foi somente a Matemática moderna que expôs completamente o seu significado e o seu caráter essen-cial. Esses conceitos serão expostos aqui da maneira mais simples e clara possível nos dois capítulos 5 e 6 que antecedem esse último. O primeiro (Capítulo 5) será dedicado ao estudo das funções, intro-duzido pelo estudo das relações no Capítulo 3, compreendendo que aqui as funções serão casos particulares de relações que podem ser estabelecidas de forma analítica. O segundo (Capítulo 6) será de-dicado ao estudo de limites de funções, conceito necessário para a definição de derivada.

As equações e as variáveis são os elementos essenciais de um modelo matemático, mas já que os valores que uma variável admi-nistrativa ou econômica assume são numéricos, um estudo sobre o sistema de números deve ser realizado. Os primeiros capítulos buscarão fazer uma revisão sobre sistemas numéricos (Capítulo 1), e as operações com números reais (Capítulo 2). Eles serão complemen-tados por um estudo de intervalos no Capítulo 4, após o estudo da teoria dos conjuntos que abre o Capítulo 3.

Métodos Q

uantitativos Matem

áticos



Sistemas numéricos

O problemaNa apresentação, a seguinte afirmação foi feita: “Uma variável é algo

cuja magnitude pode mudar, isto é, algo que pode assumir diferentes valores”. As variáveis, frequentemente utilizadas em Administração e Economia, incluem preço, lucro, receita, custo, produção, renda nacional, consumo, investimento, dentre outras. Cada variável pode assumir diferentes valores e é representada por um símbolo. O preço pode ser representado por P, o lucro por L, a receita por R, o custo por C, e assim por diante.

O problema a responder é se todas essas variáveis podem ser represen-tadas por números de uma mesma natureza?

Explorando o problemaDesejamos estimar o valor do preço do feijão no Paraná em um determi-

nado mês do ano de 2007. Sabemos que o preço do feijão no mesmo mês de 2006 pode influenciar o preço atual; também o preço da lentilha, a quanti-dade de feijão produzida e se o feijão foi importado no Paraná ou produzido em outro estado também são determinantes do preço do feijão.

Uma possível equação de previsão do preço do feijão poderia ser:

Pi = a + bP’i + cPLi + dQi + eI

onde,

Pi é o preço do feijão em 2007 no mês i, com i = 1 a 12. Ou seja, o preço do feijão em abril de 2007 será representado por P4.

P’i é o preço do feijão em 2006 no mês i, com i = 1 a 12. P’8 é o preço do feijão em agosto de 2006. P’i é chamada de variável defasada.

PLi é o preço da lentilha em 2007 no mês i.

Qi é a quantidade de feijão produzida em 2007 no mês i.

15Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A.,

mais informações www.iesde.com.br

16

Sistemas numéricos

I é uma variável que representa se o feijão foi importado (I = 1) ou produ-zido no Paraná (I = 0). Veja que se o feijão foi produzido fora do Paraná seu preço será acrescido de “e” unidades monetárias.

Esse modelo matemático arbitrário contém variáveis de diferentes tipos. O preço é uma variável contínua que pode assumir valores fracionários. A quantidade em sacas é uma variável discreta que só pode assumir valores inteiros. E a variável I, chamada de variável dummy (fantasma) representa a existência ou não de uma certa condição. São variáveis de naturezas diferen-tes e os valores que elas assumem são de naturezas distintas.

Equacionando o problemaUma variável é uma característica constituinte de um evento, fenômeno,

pessoa ou processo que varia em graus. Não necessariamente precisa ser expressa através de números. A forma de expressá-la varia de acordo com o nível de mensuração utilizado. Por exemplo:

Variável “idade”: 0, 1, 5, 20, 50 (nível de mensuração de razão).

Variável “quoeficiente de inteligência – QI”: 50, 80, 100, 120 (nível de men-suração intervalar).

Variável “avaliação da palestra”: excelente, boa, regular, ruim, péssima (nível de mensuração ordinal).

Variável “cor da parede”: verde, amarela, azul etc. (nível de mensuração nominal).

O que difere o nível de mensuração de razão para o intervalar é que no primeiro o valor 20 de fato representa o dobro de 10, enquanto no nível de mensuração intervalar não. 20ºC não indica que a temperatura seja o dobro de 10ºC. Pense que se essas temperaturas forem convertidas para graus Farenheit, por exemplo, essa relação (o dobro) não permanecerá a mesma.

Dependendo do nível de mensuração pode-se fazer diferentes classifica-ções de variáveis.

As variáveis com níveis de mensuração de razão e intervalar são as cha-madas de variáveis quantitativas.


Sistemas numéricos

17

Variáveis quantitativas – são aquelas que são mensuráveis. Exemplo: idade, altura, peso etc.

Estas ainda se subdividem em:

Variáveis quantitativas contínuas � – são aquelas que possuem núme-ros fracionados e podem ser medidas. Exemplo: peso, altura etc.

Variáveis quantitativas discretas � – são aquelas que são expressas por números inteiros e no geral são resultado de contagem. Exemplo: ida-de, semestre na universidade etc.

Já as variáveis com níveis de mensuração ordinal e nominal são chamadas de variáveis qualitativas.

Variáveis qualitativas – são aquelas que se baseiam em qualidades e não podem ser mensuráveis numericamente. Exemplo: cor dos olhos, classe social (A, B, C, D ou E) etc.

Estas ainda se subdividem em:

� Variáveis qualitativas ordinais – são aquelas que podem ser coloca-das em ordem. Exemplo: conceito (excelente, bom, regular, ruim, pés-simo), classe social (A, B, C, D ou E) etc.

Variáveis qualitativas nominais � – são aquelas que não podem ser hierar-quizadas ou ordenadas. Exemplo: cor dos olhos, estados do Brasil etc.

A natureza da variável determinará a que tipo de sistema de representação ela estará submetida. Nosso trabalho neste capítulo será o de apresentar os diferentes tipos de números conforme sua natureza. A questão referente à uma discussão mais aprofundada da natureza real dos números interessa mais à Filosofia do que à Matemática. A natureza essencial do conceito de número, do ponto de vista da teoria do conhecimento, não fará parte, portanto, do conteúdo desse texto.

Nos interessará distinguir os diferentes tipos de números para podermos melhor operá-los nas questões práticas que surgirão em outras fases de um curso de Administração ou Economia.


18

Sistemas numéricos

Caracterizaremos do particular para o geral os conjuntos de números afeitos ao nosso curso, a saber: Números Naturais, Números Inteiros, Números Racionais e Irracionais e Números Reais. Neste capítulo, esses conjuntos serão apresentados e algumas de suas características serão estudadas.

Conceitos e regras

Números naturais (N)Consideramos que os números naturais têm início com o número zero e

escrevemos este conjunto como:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Representamos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reti-cências indicam que esse conjunto não tem fim. N é um conjunto com infi-nitos números.

Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será re-presentado por:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).

Exemplo 1

Se m é um número natural finito, diferente de zero, então:

a) O antecessor do número m é m–1.

b) O antecessor de 2 é 1.

c) O antecessor de 34 é 33.

d) O antecessor de 10 é 9.

Números inteiros (Z)Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto

dos números naturais e o conjunto dos opostos dos números naturais. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen = números em alemão).


Sistemas numéricos

19

Este conjunto pode ser escrito por:

Z = {..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

Alguns subconjuntos do conjunto Z podem ser definidos:

Conjunto dos números inteiros excluído o número zero: �

Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...}

Conjunto dos números inteiros não negativos: �

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Conjunto dos números inteiros não positivos: �

Z– = {..., –4, –3, –2, –1, 0}

Observação: Não existe padronização para essas notações.

Reta numerada

Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerando o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar escrito à direita da origem, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e dispor os números inteiros da seguinte maneira:

... –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 ...

Ao observar a reta numerada, notamos que a ordem que os números intei ros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção.

Baseando-se ainda na reta numerada, podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.

Ordem e simetria no conjunto Z

O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).


20

Sistemas numéricos

Exemplo 1

a) 3 é sucessor de 2.

b) 2 é antecessor de 3.

c) –5 é antecessor de –4.

d) –4 é sucessor de –5.

e) 0 é antecessor de 1.

f ) 1 é sucessor de 0.

g) –1 é sucessor de –2.

h) –2 é antecessor de –1.

Todo número inteiro, exceto o zero, possui um elemento denominado oposto (–z) e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como –z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.

Exemplo 2

a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é –3.

b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de –5 é +5.

Como todos os números naturais também são números inteiros, dizemos que N é um subconjunto de Z ou que N está contido em Z:

N ⊂ Z

Números primos

Define-se número primo aquele número maior que 1 que é divisível somente por 1 e por ele mesmo.

Os sete primeiros números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17.

Observe que nenhum deles é divisível por um outro número menor que ele mesmo a não ser pelo número 1.

Não são primos todos os números pares diferentes de 2 porque são divisí-veis pelo menos pelo número 2.


Sistemas numéricos

21

Também não são primos os números 9 e 15, por exemplo, que são divisí-veis, respectivamente, por 3 no caso do 9 e por 3 e 5 no caso do 15.

Números racionais (Q)Quando dividimos um número inteiro a por outro número inteiro b (≠0)

obtemos um número racional. Todo número racional é representado por uma parte inteira e uma parte fracionária. A letra Q deriva da palavra inglesa quotient, que significa quociente, já que um número racional é um quociente de dois números inteiros.

Por exemplo, se a = 6 e b = 2, obtemos o número racional 3,0. Se a = 1 e b = 2, obtemos o número racional 0,5. Ambos têm um número finito de casas após a vírgula e são chamados de racionais de decimal exata.

Podemos considerar que os números racionais englobam todos os números inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre os números inteiros.

Q = { a /b | a Є Z e b Є Z*}

Lembre-se que não existe divisão por zero!

O símbolo Q* é usado para indicar o conjunto de números racionais não nulos:

Q* = {x Є Q | x ≠ 0}

O símbolo Q+ é usado para indicar o conjunto de números racionais não negativos:

Q+ = {x Є Q | x ≥ 0}

O símbolo Q– é usado para indicar o conjunto de números racionais não positivos:

Q– = {x Є Q | x ≤ 0}

O símbolo Q*+ é usado para indicar o conjunto de números racionais positivos:

Q*+ = {x Є Q | x > 0}


22

Sistemas numéricos

O símbolo Q*– é usado para indicar o conjunto de números racionais negativos:

Q*– = {x Є Q | x < 0}

Como todo número natural é inteiro e todo número inteiro é racional, temos:

N ⊂ Z ⊂ Q

Existem casos em que o número de casas após a vírgula é infinito. Por exemplo, a = 1 e b = 3 nos dá o número racional 0,33333... É a chamada dízima periódica.

Dízima periódica

Uma dízima periódica é um número real da forma: m,npppp...

Onde m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, razão pela qual usamos os três pontos após o mesmo. A parte que se repete é denominada período.

Em alguns livros é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou o período dentro de parênteses.

Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período.

Exemplo 1

a) 0,333333... = 0,(3).

b) 3,636363... = 3,(63).

Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período. Por exemplo:

a) 0,83333333... = 0,8(3).

b) 0,72535353... = 0,72(53).

Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais.

Exemplo 2

a) 0,3333... = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...


Sistemas numéricos

23

b) 0,8333... = 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...

c) 4,7855... = 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ...

Curiosidade

Um fato importante que relaciona os números racionais com os números reais é que todo número real que pode ser escrito como uma dízima periódica é um número racional. Isso significa que podemos transformar uma dízima periódica em uma fração.

O processo para realizar esta tarefa será mostrado na sequência com alguns exemplos numéricos. As pessoas interessadas num estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que faremos na sequência devem se aprofundar no estudo de séries geométricas no âmbito do Ensino Médio, ou mesmo estudar números racionais do ponto de vista do Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na Reta no âmbito do Ensino Superior.

A geratriz de uma dízima periódica �

É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos essa fração de geratriz da dízima periódica.

Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:

Dízima simples �

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:

=

230,2323...

99

Dízima composta �

A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma n/d, onde:

n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica.


24

Sistemas numéricos

d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não perió-dica.

Exemplos:

-= =

125 1 1240,1252525...

990 990

047 04 430,047777...

900 900-

= =

Números irracionais (I) Um número é dito um número irracional se ele não pode ser escrito na

forma de uma fração ou nem mesmo pode ser escrito na forma de uma dízima periódica.

Exemplo 1

O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica:

x = 0,10100100010000100000...

Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo.

Quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas depois da vírgula, que não se repetem periodicamente, obte-mos um número chamado irracional. Existem infinitos números que não são dízimas periódicas.

Dois números irracionais muito importantes são:

e = 2,718281828459045... (a base do logaritmo neperiano)

π = 3,141592653589793238462643... (o número pi)

Esses números são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros de gravidade, previsão populacional etc.

O π (pi – representado habitualmente pela letra grega π que equivale ao p) é o número irracional mais famoso da história, com o qual se representa a


Sistemas numéricos

25

razão constante entre o perímetro de qualquer circunferência e o seu diâ-metro. Se pensarmos que ao dar a volta à Lua seguindo um dos seus círculos máximos, percorremos aproximadamente 10 920km, e se dividirmos esse valor pelo diâmetro da Lua, que é 3 476km, iremos verificar que essa razão é de 3,14154200…, esse número já nos é familiar, seu valor é aproximadamen-te 3,14.

Na realidade, como número irracional, pi é expresso por uma dízima infi-nita não periódica, que nos dias de hoje com a ajuda dos computadores já é possível determinar com centenas de milhões de casas decimais.

Aqui aparece o valor de π obtido com a calculadora do Windows XP:

3,141592653589793238462643383279...

Números reais (R)O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o con-

junto dos números reais, indicado por R.

Como todo número natural é inteiro, todo número inteiro é racional e todo número racional é real, temos:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Indicamos por R* o conjunto de números reais sem o zero, ou seja,

R* = R – {0}

O símbolo R+ é usado para indicar o conjunto de números reais não negativos:

R+ = {x Є R | x ≥ 0}

O símbolo R– é usado para indicar o conjunto de números reais não positivos:

R– = {x Є R | x ≤ 0}

O símbolo R*+ é usado para indicar o conjunto de números reais positivos:

R*+ = {x Є R | x > 0}


26

Sistemas numéricos

O símbolo R*– é usado para indicar o conjunto de números reais negativos:

R*– = {x Є R | x < 0}

Ampliando seus conhecimentos

A origem do número zero

Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que neces-sitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza. A necessi-dade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo.

A correspondência unidade a unidade era feita com pedras, nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação.

Mas a grande invenção nos primórdios da matemática foi o zero para sim-bolizar o vazio.

Embora a grande invenção prática do zero seja atribuída aos hindus, de-senvolvimentos parciais ou limitados do conceito de zero são evidentes em vários outros sistemas de numeração pelo menos tão antigos quanto o siste-ma hindu, se não mais. O uso sistemático mais antigo de um símbolo para o zero num sistema de valor relativo se encontra na matemática dos maias das Américas Central e do Sul. O símbolo maia do zero era usado para indicar a ausência de qualquer unidade.

Atividades de aplicação1. Qual o nome que se dá aos cardinais 0, 1, 2, .... 10, 11, ..., distintos dois

a dois?

2. Qual a representação do conjunto dos números naturais?


Sistemas numéricos

27

3. Quantos elementos têm o conjunto dos números naturais?

4. Quantos elementos têm o conjunto dos números naturais sem o nú-mero zero?

5. É correto pensar que só são números aqueles que possuem mais de um algarismo?

6. Existe um número maior que todos os outros?

7. Qual o menor número natural?

Identifique os antecessores dos números m dados:

8. m = 2

9. m = 10

10. Qual o número natural x que torna a sentença aberta x + 5 = 0 verda-deira?

11. É correto afirmar que –3 < –1 e 1 < 3?

12. Sabendo-se que N ⊂ Z, que outro nome poderia se dar ao conjunto dos números inteiros positivos?

13. Qual é o valor oposto de 0 (zero)?

Dizemos que um número inteiro p é primo quando p ≠ 0, 1, –1 e os divisores p, Dp = {1, –1, p, –p}.

14. Quais dos seguintes números inteiros não são primos: 12, –13, 0, 5, 31, –1, 2, –4, 1, 49?

15. É correto afirmar que todo número maior que 1 tem pelo menos qua-tro divisores?

16. Está correta a informação que diz que fatorar um número composto é transformá-lo num produto de fatores primos?

17. Calcule x de modo que o número 3x tenha 15 divisores.

18. Qual o valor do número 2x . 32. 5 sabendo-se que ele possui 12 diviso-res?


28

Sistemas numéricos

19. Qual é o menor número de três algarismos divisível, ao mesmo tempo, por 2, 3, 5, 9 e 10.

20. Qual o menor número primo que não divide o número 210?

21. Uma fração irredutível, de denominador 25, pode ser a geratriz de uma dízima periódica?

22. Quais das seguintes frações correspondem a uma dízima periódica:

3 1 5 1 2 4; ; ; ; ;

20 14 8 4 9 22?

23. A dízima 0,99... corresponde a um número inteiro?

Enunciado para os exercícios 24 a 26:

O dobro da soma do minuendo, do subtraendo e do resto de uma subtra-ção é 10,05. O minuendo excede o resto de 0,9825. Determinar:

24. O minuendo.

25. O subtraendo.

26. O resto.

Para os exercícios 27, 28 e 29 desta seção, calcular as geratrizes das dízimas:

27. 0,2424...

28. 2,123123...

29. 0,058333...

30. Como representar, utilizando os conjuntos vistos neste capítulo, o conjunto dos números irracionais?

31. Como representar, utilizando os conjuntos vistos neste capítulo, o conjunto dos números reais?

32. Colocar sobre uma reta orientada os seguintes números:

15 1 1; ; ; ; ; 1

16 14 4π e .


Sistemas numéricos

29

33. Colocar sobre uma reta orientada os seguintes números:

3 1 3 6; 2; ; 1; ; 0; ; 1; ; .2 4 4 2

e e

34. Para que um número seja irracional na forma p , que condições deverão ter o valor p?

35. Utilizando a informação do exercício anterior, dê três exemplos de números irracionais.

Outro recurso para construção de irracionais é usar o fato de que se a é irracional e r é racional não nulo, então: a + r, a . r, a/ r e r/a são todos irracionais.

36. Utilizando a informação acima, dê dois exemplos que contemplem:

a + r e a . r.

37. Utilizando a informação acima, dê dois exemplos que contemplem:

a/r e r/a .

Responda às questões a seguir (38 a 46), classificando-as como verdadei-ras (V) ou falsas (F).

38. É verdade que 3 Є R?

39. É verdade que Î - ?1

R Q2

40. É verdade que ( 2 5 3) ?- Î -R Q

41. É verdade que Î -4 ?R Q

42. É verdade que Î -3 2

?5

R Q

43. É verdade que Î -3 4 ?R Q

44. É verdade que Î3 2

?5 2

Q

45. É verdade que R – Q ⊂ R?

46. É verdade que (R – Q) U Q ⊂ R?


30

Sistemas numéricos

Gabarito atividades de aplicação1. Números naturais.

2. N

3. Infinito.

4. Infinito.

5. Não. Contraexemplo: número 7.

6. Não, pois sempre é possível encontrar um número maior, bastando somar mais uma unidade.

7. 0

8. 1

9. 9

10. Não existe.

11. Sim.

12. Conjunto dos números naturais.

13. 0

14. 12, 0, –1, 1, 49 e –4.

15. Sim, pois os divisores dos números primos são Dp = {1, –1, p, –p}.

16. Sim.

17. 14

18. 1

19. Para responder essa questão é importante que saibamos quais são as regras de divisibilidade:

todos os números inteiros são divisíveis por � 1;

um número é divisível por � 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par;


Sistemas numéricos

31

um número é divisível por � 3 quando a soma dos seus algarismos for múltiplo de 3;

são divisíveis por � 4 todos os números cujo os dois últimos algaris-mos formam um número divisível por 4;

um número é divisível por � 5 quando termina em 0 ou 5;

são múltiplos de � 6 todos os números pares divisíveis por 3;

um número é divisível por � 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos for-ma um número divisível por 7;

são divisíveis por � 8 todos os números cujo antepenúltimo algarismo seja par e os dois últimos formem um múltiplo de 8; também são divisíveis por 8 os números com antepenúltimo algarismo ímpar e os dois últimos formando um múltiplo de 4 que não seja divisível por 8;

um número é divisível por � 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9;

um número é divisível por � 10 quando termina em zero.

Conhecendo as regras de divisibilidade é possível encontrar um nú-mero de três algarismos que seja divisível ao mesmo tempo por todos os números pedidos.

Resposta: 180

20. Para responder essa questão, o aluno deve saber quais são os números primos. Utilizando os números primos, temos as seguintes divisões:

número primo 2: � 2102

= 105


= 70


= 42


= 30


= 19,09


Após realizar as divisões, percebemos que o menor número primo que não divide o número 210 é 11, pois o resultado não é exato.

21. Não.

22. 1 2 4; ;

14 9 22.

23. Não.

24. 2,5125

25. 0,9825

26. 1,53

27. 2499

ou

833

28. 2 121999

ou

412

333

29.

5259000

ou

7120

30. I = R – Q

31. R = Q ∪ I

32. ð1 11 15; ; ; 1; ;

4 14 16e π.

33. 3 1 3 6–e; –2; – ; –1; – ; 0; ; 1; e;

2 4 4 2.

34. p precisa ser positivo.

35. 2; 3 e 5 .

36. π + 5, 5e

37. 7e 7 5

7 .

38. Sim.

39. Não.

40. Sim.


Sistemas numéricos

33

41. Não.

42. Sim.

43. Sim.

44. Sim.

45. Sim.

46. Sim.

Atividades de revisão1. É exemplo de número primo:

a) 44

b) 17

c) 0

d) 1

2. A geratriz da dízima periódica 0,44444444... é:

a) 4499

b) 49

c) 44

100

d) 0,45

Gabarito atividades de revisão1. B

Resolução:

No conjunto dos Naturais, define-se como número primo aquele com módulo maior que 1 e que possui apenas dois divisores: 1 e ele mesmo.


34

Sistemas numéricos

Dessa definição, concluímos:

a) 44 não é primo, pois é divisível por 1, 2, 4, 11, 22 e 44. �

b) 17 é primo, pois é divisível apenas por 1 e 17. �

c) 0 não é primo, pois seu módulo é menor que 1. �

d) 1 não é primo, pois seu módulo não é maior que 1. �

2. B

Resolução:

Tomemos: x = 0,4444...

Multiplicando ambos os membros por 10: 10x = 4,4444...

Subtraindo as duas equações: 10x – x = 4,4444... – 0,4444... 9x = 4

x = 49

.




Operações com números reais

O problemaUm investidor possui R$10.000,00 para serem aplicados durante cinco

meses. O Banco ofereceu uma taxa de 6% ao mês, no regime de capitalização composta. Qual será o montante a receber após esse período?

Explorando o problemaNa capitalização composta, ou juros compostos, o juro produzido no fim

de cada período financeiro é somado ao capital que o produziu, passando os dois, capital mais juro, a renderem juros no período seguinte.

O juro no primeiro mês será calculado como o produto do capital pela taxa. E o montante será, então, a soma do capital inicial mais o juro do pri-meiro mês. No segundo período, o juro será o montante do primeiro mês mais o juro do segundo mês. E o montante do segundo mês será a soma do montante do primeiro mês e o juro do segundo mês.

Na próxima seção, abordaremos esse estudo visando, principalmente, identificar as operações utilizadas.

Equacionando o problemaSuponhamos um capital C que será aplicado a juros compostos à taxa

de i. No fim do primeiro período, o juro produzido será:

(1) J1 = C . i

e o montante:

(2) M1 = C + J1

Substituindo J1 na expressão (2), temos:

M1 = C + C . i = C (1+i)



38


No fim do segundo período, o juro será:

J2 = M1 . i

E o montante, ao final do segundo período, será determinado por:

M2 = M1 + J2

Então, M2 = M1 + M1 . i = M1(1+i)

Mas M1 = C(1+i)

Então, M2 = C(1+i)(1+i) = C(1+i)2

Seguindo esse raciocínio podemos concluir que para n períodos, o mon-tante pode ser calculado por:

(3) Mn = C(1+i)n

que é a fórmula fundamental dos juros compostos para um número inteiro de períodos onde (1+i) é denominado fator de capitalização da taxa i.

Antigamente, o cálculo do montante Mn era feito exclusivamente por logaritmo, pois, sendo (1+i)n uma função exponencial e as variáveis i e n podendo ser quaisquer, não havia outra opção. Mais tarde, com o aparecimento dos computadores, foram criadas tabelas de (1+i)n, com determinados valores mais usados para i e n, exatamente para facilitar os cálculos.

Mas nada disso era definitivo, pois os valores da taxa i, em juros compostos principalmente, variavam muitíssimo. Somente depois do advento das minicalculadoras eletrônicas e dos microcomputadores, que fazem cálculo de potência, é que o cálculo pode ser feito com total facilidade para quaisquer prazos e taxas.

Para o problema colocado, o montante após cinco meses será dado por:

M 5 = 10.000 . (1,06)5 = R$13.382,26

Essa série de cálculos, para a solução de um problema relativamente sim-ples, envolveu as operações de adição, multiplicação e potenciação. Acrescen-tadas das operações de diferença, divisão e radiciação envolvem as operações básicas com números reais que serão abordadas neste capítulo.



39

Conceitos e regras

Operações algébricas com números reaisAs operações algébricas básicas, com números reais, são: a adição e a

multiplicação. De posse dessas duas operações, pode-se estender algumas características e conceituar as operações de subtração e divisão.

Adição e multiplicação de números reais

Valem as seguintes propriedades dos números reais, com respeito às ope-rações de adição e de multiplicação:

Fechamento: se a e b são números reais, então sua soma a + b e seu produto a . b são, também, números reais.

Comutativa: quando adicionamos ou multiplicamos dois números reais, a e b, a ordem na qual eles são adicionados ou multiplicados é irrelevante, isto é:

a + b = b + a

e

a . b = b . a

Associativa: na adição ou multiplicação de números reais, os números a, b e c podem ser agrupados em qualquer ordem:

(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

(a . b) . c = a . (b . c) = a . b . c

Identidade: o número zero é chamado de elemento neutro da adição, assim, somado o zero a qualquer outro número esse não se altera. O número 1 é chamado de elemento neutro da multiplicação. Multiplicado o 1 a qualquer outro número esse não se altera, simbolicamente:

a + 0 = 0 + a = a

a . 1 = 1 . a = a

Inversa: para cada número real a existe um único número real, denotado de –a e chamado de inverso aditivo de a, ou negativo de a, com a propriedade de:


40


a + (–a) = (–a) + a = 0

Se a é qualquer número real diferente de zero, existe um único número real, denotado 1/a e chamado de inverso multiplicativo de a, ou de recíproco de a, com a propriedade de:

a . 1a

= 1a

. a = 1, a ≠ 0

O inverso multiplicativo é também frequentemente representado por a–1. O zero não tem inverso multiplicativo.

Distributiva em relação à adição: se a, b e c são números reais, en-tão:

a . (b + c) = a . b + a . c

Exemplo 1

6 . (3 + 4) = 6 . 3 + 6 . 4

6 . (7) = 18 + 24

42 = 42

A propriedade distributiva vale para qualquer número de termos.

Evidência

Colocar um número em evidência significa utilizar a propriedade distribu-tiva da soma em relação à multiplicação utilizando o máximo divisor comum.

Por exemplo, seja a igualdade:

2x + 2y = 4

Podemos aplicar diretamente a propriedade distributiva colocando o número 2 em evidência, uma vez que o máximo divisor comum (m.d.c) entre dois números iguais é o próprio número. Então, podemos reescrever a identi-dade como:

2(x + y) = 4 e finalmente x + y = 2

Outro exemplo se dá colocando o máximo divisor comum entre dois nú-meros diferentes em evidência, como na igualdade:

2x + 4y = 4



41

Observe que o máximo divisor comum entre 2 e 4 é o número 2. O maior número que é divisor de 2 e 4. O máximo divisor comum entre 10 e 20 por exemplo é o número 10, porque ele é ao mesmo tempo divisor de 10 e de 20. Outros divisores de 10 e 20 são os números 1, 2 e 5. Mas o maior divisor entre 10 e 20 é o número 10.

Na igualdade acima o m.d.c. é o 2 que pode ser colocado em evidência e teremos:

2(x + 2y) = 4 e então x + 2y = 2

Divisão de números reais

Existem duas classificações para definir a operação de divisão:

(1) Divisão exata: Dividendo : Divisor = Quociente

(2) Divisão inexata: Dividendo : Divisor = Quociente + Resto

A divisão pode ser definida em termos do inverso da multiplicação ou recíproca. Se a e b são dois números reais, onde b ≠ 0, o quociente a : b é dado por:

a : b = a . 1b

= ab

, b ≠ 0

Então, as propriedades básicas da multiplicação dentro do sistema de nú-meros reais podem ser estendidas para as operações de divisão.

O zero pode ser dividido e produz o quociente zero, mas a divisão por zero não é definida. Isto é, se a é um número real diferente de zero:

0a

, mas a0

não é definido

Vale lembrar que o zero não tem um inverso multiplicativo, então multi-plicação pelo inverso multiplicativo do zero não é definida.

Sequência de operações

Determine o valor da expressão numérica:

5 + 3 . 2 – 12 : 4


42


Fica fácil identificar a necessidade de dar uma sequência de prioridades para fazer tal cálculo, senão jamais teríamos certeza do resultado a ser encontrado. Na Matemática, são definidas as seguintes prioridades no momento de resolver uma expressão numérica:

1.º) resolve-se a operação de multiplicação e/ou de divisão, o que vier antes;

2.º) resolve-se a operação de adição e/ou de subtração, o que vier antes.

Dessa forma, o valor da expressão numérica acima é:

5 + 3 . 2 – 12 : 4 =

= 5 + 6 – 3 =

= 11 – 3 =

= 8

Essas ordens de operações podem mudar com a inclusão de parênteses ( ), colchetes [ ] ou chaves { }. Operações com esses símbolos de agrupamento são resolvidas prioritariamente, nessa ordem, parênteses, colchetes, chaves e, finalmente, as operações sem estes elementos. Mais recentemente, o uso de sequência de parênteses tem sido usado em substituição a colchetes e chaves.

Exemplo 2

2 . 5 + 3 . 4 – 6 : 3=

= (2 . 5) + (3 . 4) – (6 : 3)=

= 10 + 12 – 2 =

= 22 – 2 =

= 20

ou ainda,

2 . {[(5 + 3) . 4 – 6] : 2} + 1=

= 2 . {[8 . 4 – 6] : 2} + 1=

= 2 . {[32 – 6] : 2} + 1=

= 2 . {[26 : 2} + 1=

= 2 . 13 + 1=

= 26 + 1=

= 27

Fica assim bastante clara a importância dos símbolos de agrupamento na solução de qualquer expressão matemática.



43

Trabalhando com fraçõesSe a e b são inteiros, com b ≠ 0, então a / b é chamada de fração (ou

número racional). Usamos a terminologia

NumeradorDenominador

para nos referirmos às partes da fração.

As frações, cujos denominadores são potências de 10, são denominadas frações decimais. As demais frações são conhecidas como frações ordinárias.

Exemplo 1

(i) frações decimais: 1 7 –3 4

; ; ;10 100 1000 0,001

(ii) frações ordinárias: 2 3 –2 5 6

; ; ; ;7 4 3 4 3

Toda fração de numerador menor do que o denominador, ou seja, menor do que a unidade chama-se fração própria. A fração cujo numerador é maior do que o denominador chama-se fração imprópria. Finalmente, toda fração cujo numerador é um múltiplo inteiro do denominador, diz-se que a fração é aparente.

Exemplo 2

(i) frações próprias: 1 7 –3

; ;2 100 4

(ii) frações impróprias: 12 3 –21 5

; ; ;7 2 8 4

(iii) frações aparentes: 21 12 –12 6

; ; ;7 4 3 3

Diz-se que simplificar uma fração é obter uma fração equivalente e de termos menores. Quando uma fração não pode ser simplificada, seus termos são primos entre si (ou seja, o máximo divisor comum m.d.c. é igual a 1) e a fração tem o nome de irredutível.

Assim, tornar uma fração irredutível significa reduzi-la à expressão mais simples, através de simplificações.

Em seguida, veremos as quatro operações básicas no estudo de frações.


44


Adição e subtração de frações

Para somar (ou subtrair) duas frações que têm o mesmo denominador, somamos (ou subtraímos) os numeradores, mantendo-se o denominador comum para ambos, isto é:

ab

+ cb

= a+cb

Para somar (ou subtrair) duas ou mais frações que têm denominadores diferentes, achamos o mínimo múltiplo comum (mmc) entre os valores dos denominadores. Este será o novo denominador da fração solução. Em se-guida, processamos a divisão do denominador m.m.c pelo denominador da primeira fração e, com o quociente, multiplicamos o numerador da fração em referência. Processa-se desta forma para todas as frações. Finalmente, o procedimento recai na adição ou subtração com denominadores iguais e, portanto, somam-se os numeradores.

Exemplo 1

Efetue a c e

J = + +b d f

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

D = mmc (b, d, f)

D : b . a D : d . c D : f . eJ = + +

D D DD : b . a + D : d . c + D : f . e

J =D

2 4 2 4 6(i)

5 5 5 5+

+ = =

4 . 2 7 . 32 3 8 21 29(ii)

7 4 28 28 28+ +

+ = = =

Multiplicação e divisão de frações

O produto de duas frações é encontrado pela razão entre a multiplicação dos valores dos numeradores pela multiplicação dos valores dos denomi-nadores, isto é:

ab

. cd

= acbd



45

O quociente entre duas frações é encontrado multiplicando-se a primeira fração (dividendo) pela inversa da segunda fração (divisor). Em seguida, opera a multiplicação das duas frações, isto é:

ab

: cd

= ab

. dc

= adbc

Exemplo 1

4 3 12 6(i) .

5 2 10 5= =

3 2 3 6 18 9(ii) : .

5 6 5 2 10 5= = =

Potência e raízes de números reaisSe n é um inteiro positivo, então an representa a potência:

a . a . a . ....... . a = an

n vezes

n é chamado de expoente de a e é o número de vezes que a foi multiplica-do por ele mesmo e an é chamada a n-ésima potência de a.

Exemplo 1

Calcule

a) 42 = 4 . 4 = 16

b) æ ö÷ç = =÷ç ÷çè ø

31 1 1 1 1. .

3 3 3 3 27

c) 24 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16

d) (– 4)3 = (– 4) . (– 4) . (– 4) = – 64

Se n é um inteiro positivo maior do que 1, e se an = b, então a é chamada a raiz n-ésima de b. Em particular, se a2 = b, então a é a raiz quadrada de b, e se a3 = b, então a é a raiz cúbica de b.

A n-ésima raiz de b é simbolizada por: b = an

O símbolo é chamado de radical, b é o radicando e n é o índice do radical.

Se n é igual a 2 ele pode ser omitido do radical, isto é: b2

= b . Tanto as raízes pares como as raízes ímpares são definidas com índices como


46


números inteiros. As raízes ímpares de um número negativo são definidas, mas as raízes pares de números negativos não são definidas no contexto do sistema de números reais, elas fazem parte do sistema de números complexos que não serão tratadas no âmbito desse livro.

Exemplo 2

Calcule

a) =3 –8 –2

b) –9; não é definida no contexto de números reais. Não existem dois números reais que multiplicados sejam iguais a (– 9).

Todo número real b tem duas raízes quadradas, uma raiz positiva e outra raiz negativa. Exceto o zero que tem como raiz o próprio zero. Por exemplo, +3 e (–3) são raízes quadradas de 9, uma vez que (+3)2 = 9 e também (–3)2 = 9. No entanto, todo número real tem exatamente uma raiz cúbica.

Leis dos expoentes

0 � n = 0, se n > 0

a � 0 = 1, se a ≠ 0

a � –n 1,-n

naa

= se a ≠ 0

( )= = ,mm n m nna a a � se a raiz for definida

a � m . an = am+n

( � am)n = amn

( � am) . (bm) = (ab)m

mm-n

n

a aa

= � am–n

,mm

m

a ab b

æ ö÷ç= ÷ç ÷è ø � se b ≠ 0

Cálculos envolvendo raízes são enormemente facilitados pelas seguintes propriedades dos radicais:

Regra do produto para radicais – se a e b são números reais positivos, �então:



47

abn

= ( an

) ( bn

)

Regra do quociente para radicais – � Se a e b são números reais positi-vos, então:

ab

n = b

na

n

Raiz de raiz � – Se a e b são números reais positivos, então:m

xn

= xm.n

Cuidado!

( )

( )

( ) ( ) ( )

22

4 4 , 1

, 1n

nn

nn

nn n

x x

x x n

x y x y n

x y x y

- ¹ -

¹ ¹

+ ¹ + ¹

+ ¹ +

Expressões algébricas Uma expressão algébrica é uma declaração matemática indicando que

quantidades numéricas são combinadas por operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. As quantidades podem ser constantes ou variáveis. Uma constante é uma quantidade que permanece inalterável em um dado problema. Uma variável é uma quantidade que pode assumir diferentes valores em um dado problema.

Variáveis são geralmente representadas em uma expressão algébrica por letras como x, y ou z. Constantes são geralmente escritas como números, mas elas podem também algumas vezes ser representadas por uma característica alfabética.

Cada uma das seguintes expressões é uma expressão algébrica:

4x3, 3x + 5y, 12 – x + y – z, ax2 + bx + c e 4x2y – 7xy5

Expressões algébricas são compostas por termos, onde cada termo é o produto de uma constante diferente de zero e variáveis com potência formada por números inteiros positivos como 4x2, 9xy ou – 6xy2z. Então, os termos podem ser compostos por dois ou mais fatores.


48


O fator constante como 6 no termo 6x é chamado de coeficiente da variável, mas o termo constante quando isolado, como o 7 em 7 + x – y é chamado de constante. A parte variável do termo pode ser constituída de uma variável ou do produto de duas ou mais variáveis como x2, xy ou xy2z.

Adição e subtração de expressões algébricas

Podemos somar ou subtrair termos pela combinação de termos seme-lhantes, que são termos que têm exatamente a mesma parte variável, eles diferem somente em seus coeficientes numéricos.

Os termos – 4x e 7x são termos semelhantes uma vez que ambos têm a mesma parte variável, o x, eles diferem somente no valor dos coeficientes, – 4 e 7. Os termos 4x2 e 6x não são termos semelhantes uma vez que uma parte variável é x e a outra parte variável é x2.

Termos semelhantes são combinados pela soma de seus coeficientes (usando as regras para a soma de números reais) e mantendo a parte variável do termo. É a lei distributiva que nos possibilita combinar termos dessa maneira.

Exemplo 1

a) 2x + 4x = (2 + 4)x = 6x

b) 8xy2 + 9xy2 = (8 + 9)xy2 = 17xy2

Quando expressões algébricas são adicionadas ou subtraídas, somente os termos semelhantes podem ser combinados.

Multiplicação de expressões algébricas

A multiplicação de expressões algébricas é realizada pela multiplicação dos termos. Então, o produto deve ser simplificado o máximo possível pela combinação dos termos.

Para multiplicar dois termos, multiplicamos seus coeficientes usando as leis dos números reais. Então, multiplicamos suas partes variáveis usando as regras dos expoentes.



49

Exemplo 2

a) (3x) . (5x) = (3 . 5)(x . x) = 15x2

b) (4x2y) . (5xy) = (4 . 5)(x2 . x)(y . y) = 20x3y2

Para multiplicarmos duas expressões, multiplicamos cada termo de uma expressão por cada termo da outra expressão.

Exemplo 3

(x + 5) . (x3 + 4x2 – 3x) = x . (x3 + 4x2 – 3x) + 5 . (x3 + 4x2 – 3x) =

= x4 + 4x3 – 3x2 + 5x3 + 20x2 – 15x = x4 + 9x3 + 17x2 – 15x

Fatorando expressões algébricas

Quando duas ou mais expressões são multiplicadas, as expressões são chamadas de fatores da multiplicação. Quando escrevemos x2 + 2x – 3 = (x + 3)(x – 1), nós estamos fatorando a expressão original. Esse procedimento é baseado no uso das seguintes leis distributivas:

ax + ay +az = a(x + y + z) �

ax + by +bx + ay = (a + b)(x + y) �

x � 2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

acx � 2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)

x � 2 + 2ax + a2 = (x + a)2

x � 2 – 2ax + a2 = (x – a)2

x � 2 – a2 = (x – a) (x + a)

x � 3 + a3 = (x + a) (x2 – ax + a2)

x � 3 – a3 = (x – a) (x2 + ax + a2)

Exemplo 4

Fatorar:

a) x2 – x – 56 = (x – 8) (x + 7)

b) 9y2 – 42y + 49 = (3y – 7)2


50


Expressões algébricas na forma fracionáriaUma expressão racional é uma razão entre duas expressões algébricas,

sempre lembrando que o denominador jamais poderá assumir o valor zero. Exemplos de tais expressões são:

25 + 2 1+ + 2 + 3, , ,

+1 – 2 6 – 4x x x x

x x xyz x

As regras que governam as operações matemáticas de números reais escritos como fração se estendem para essas operações com expressões algébricas que estão na forma fracionária.

Soma e subtração de expressões algébricas racionais

Para somar (ou subtrair) duas expressões, cada uma delas na forma fracionária e que têm o mesmo denominador, somamos (ou subtraímos) os termos nos numeradores mantendo-se o mesmo denominador.

Se as duas frações tiverem diferentes denominadores, usamos o princípio fundamental de frações, calcado no estudo do mínimo múltiplo comum, tornando todas as frações com mesmo denominador e finalizando a operação da forma escrita no parágrafo anterior.

Exemplo 1

a) 5 51 1 1

-- =

+ + +x x

x x x

b) 2

2 4 1J

( 1)+

= --x x

x x x

( ) ( )

( )( )( )

( )( ) ( )

2 2

2 22 2

2 2 2

mmc , –1 , = –1

2 – 4 – 3 +12 – –1 4 +1 –2 + 3 –1J = = =

–1 –1 –1

é ùê úë ûx x x x x

x x xx x x x xx x x x x x

Multiplicação de expressões algébricas racionais

Para multiplicarmos duas expressões que estão na forma racional, multi-plicamos os numeradores e então multiplicamos os denominadores.



51

Exemplo 2

( )( )( )

22 3

2

+1+1 += =

+ 2 + 3 + 2 + 3 + 5 + 6

æ öæ ö ÷ç÷ç ÷ç÷ç ÷÷ç ç ÷çè øè ø

x xx x x xx x x x x x

Eventualmente, pode ser desejável deixar tanto o numerador como o de-nominador na forma fatorada.

Divisão de expressões algébricas racionais

Para dividir duas expressões que são escritas como frações, repetimos a primeira fração (numerador) e multiplicamos a segunda fração (denomina-dor) invertida.

Exemplo 3

( )

( )( )( ) 2

+ 43 + 4+ 4 3 3 +12

= = =5 5 5 5

3

æ öæ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè øè ø

xxx xx

x – x x – x x – x – x

Para dividir um termo por outro termo, dividimos os coeficientes usando as leis dos números reais. Então, dividimos as variáveis usando as regras do expoente.

Exemplo 4

a) 6 6

42 2

18 18= = 3

6 6

æ öæ ö ÷ç÷ç ÷ç÷ç ÷÷ç ç ÷çè øè øx x

xx x

b) 3 4 43

2 22 2

8 8= = 2

4 4

æ öæ öæ ö æ ö÷ç÷ç÷ ÷ç ç÷÷çç÷ ÷÷ç ç÷ç÷ ÷ç ç ç÷÷çè ø è ø÷çè øè ø

x y z yx zx y

xy z x y z

Para dividir uma expressão algébrica por um único termo, dividimos cada termo da expressão algébrica pelo termo comum e somamos algebricamen-te os quocientes.

Exemplo 5

- += - + = - + = + -

2 2 2 26x y 15xy 5xy 6x y 15xy 5xy6x 15 5y 6x 5y 15

xy xy xy xy

Com intuito de facilitar o estudo, sugere-se que se proceda a fatoração dos membros e, em seguida, simplifique os termos comuns, como já foi visto anteriormente.


52


Exemplo 6

( )( )( )+ ++ +

= = ++ +

2 x 4 x 3x 7x 12x 3

x 4 x 4

Lembrete importante: o último estudo só tem sentido se x ≠ – 4.

Cuidado!

+ +

a b ac b c (Os valores b não podem ser

cancelados porque não são fatores).

EquaçõesUma equação é uma declaração matemática de igualdade entre duas

expressões. Equações podem envolver uma ou mais variáveis. Exemplos de equações com uma variável são 2x – 1 = 0 e x2 = 4, enquanto x + y = 6 e x + 1 = y – 6 são equações com duas variáveis.

Existem dois tipos de equações: identidades e equações condicionais. Uma identidade é uma equação que é verdadeira para todos valores permitidos das variáveis envolvidas, como:

( )6 23 1 e 3 3 3

2+

+ = + = +x

x x y x y

Qualquer valor que x assuma valerá para os dois lados da equação.

Uma equação condicional é verdadeira somente para um número limitado de valores da variável. A equação

x + 2 = 5

se torna uma declaração verdadeira somente para o valor de x = 3.

Se uma equação contém somente uma variável, qualquer valor dessa va-riável que torne a equação verdadeira é chamado de solução ou raiz da equa-ção. A solução da equação x + 2 = 8 é x = 6.

Uma solução para uma equação com duas variáveis, tais como x e y, é qualquer par ordenado de valores (x, y) que produza uma declaração correta quando substituído por x e y, respectivamente, na equação.



53

( )

( )( )( ) 2

+ 43 + 4+ 4 3 3 +12

= = =5 5 5 5

3

æ öæ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè øè ø

xxx xx

x – x x – x x – x – x

Por exemplo, (x = 2, y = 5) ou mais compactamente, (2,5), é uma solução para a equação 3x + y = 11 uma vez que a substituição de 2 para x e 5 para y produzirá, 3 . 2 + 5 = 11, uma declaração correta.

Note que (1,8) também representa uma solução para a mesma equação; uma vez que 3 . 1 + 8 = 11. Existem, de fato, infinitos pares ordenados de valores para as variáveis que representam soluções. Todos esses pares ordenados são chamados de membros do conjunto solução para a equação dada.

Encontrando a solução de uma equação

O procedimento seguido para se encontrar a solução, ou as soluções de uma equação, depende da natureza da equação. De fundamental importância para resolver uma equação é transformá-la através de operações matemáticas em equações equivalentes mais simples.

Duas equações são equivalentes se e somente se elas tiverem o mesmo conjunto de soluções. Por exemplo:

3x + 1 = 10 e 3x = 9

são equivalentes, uma vez que ambas têm a mesma solução, x = 3. Da mesma forma,

2x + y = 5 e 4x + 2y = 10

são equações equivalentes, porque qualquer par (x, y) de soluções para uma equação também serviriam para a outra.

As seguintes operações de equivalência podem ser aplicadas em uma equação para se obter uma equação equivalente:

uma mesma constante pode ser adicionada ou subtraída dos dois �membros de uma equação;

ambos os membros de uma equação podem ser multiplicados, ou di- �vididos por uma mesma constante, diferente de zero;

um termo que aparece em ambos os lados de uma equação pode ser �adicionado ou subtraído de ambos os lados da equação.

Para ilustrar essas operações, vejamos que da equação 3x + 1 = 10 podemos subtrair o valor 1 de ambos os lados e teremos 3x = 9. Multiplicando


54


cada membro da equação 2x + y = 5 pela constante 2, obtemos a equação equivalente 4x + 2y = 10.

Devemos construir equações equivalentes até isolar a variável desejada para obtermos uma solução para a equação.

Exemplo 1

Encontre o valor do número real x para o qual 3x – 2 = 13 seja verdadeira.

1 13 2 13 3 2 2 13 2 3 15 3 . 15 . 5

3 3- = Þ - + = + Þ = Þ = Þ =x x x x x

Então o valor de x que satisfaz a equação 3x – 2 = 13 é x = 5.

Procedimentos adicionais de solução

Existem algumas operações adicionais além das três apresentadas acima que podem ajudar a resolver equações:

Ambos os membros de uma equação podem ser multiplicados, ou di- �vididos, por uma expressão não nula envolvendo uma variável.

Ambos os membros de uma equação podem ser colocados em uma �mesma potência.

Exemplo 2

Para resolver a equação fracionária 4 3– 3 2x x

=+

, primeiro a transforma-

remos em uma igualdade sem a presença de frações. Acha-se o mmc D entre os denominadores (x – 3) e (x + 2) e, em seguida, aplicamos o procedimento visto anteriormente, sem utilizar o denominador comum. Assim:

D = (x – 3)(x + 2)

4(x + 2) = 3(x – 3)

4x – 3x = – 8 – 9

x = – 17

Como multiplicamos ambos os membros da equação por uma expressão envolvendo uma variável, devemos verificar se a solução da equação real-mente satisfaz a equação original. Então:



55

4 3–17 – 3 –17 2

4 3–20 –15

1 1–5 –5

=+

=

=

Como ambos os lados da equação são iguais, podemos ter a garantia que (x = – 17) é a solução para a equação original.

Encontrando solução através da fatoração

Quando o produto de duas ou mais quantidades é zero, pelo menos uma dessas quantidades deve ser nula. Em razão desse princípio, a fatoração pode ser muito eficientemente usada para encontrar solução para muitas equações.

Exemplo 3

Para encontrar as soluções da equação x2 + 3x + 2 = 0, podemos fatorar o membro esquerdo, encontrando o produto (x + 1)(x + 2) = 0 e, finalmente, achar as raízes x = – 1 e x = – 2. E assim obtemos as soluções para a equação original, x = – 1 e x = – 2 .


Bhaskara viveu de 1114 a 1185, aproximadamente, na Índia.

Nascido numa tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a tradição profissional da família, porém com uma orientação científica, dedicando-se mais à parte matemática e astronômica (tais como o cálculo do dia e hora da ocorrência de eclipses ou das posições e conjunções dos planetas) que dá sustentação à Astrologia.

Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o posto de diretor do Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da Índia, na época.

Seu livro mais famoso é o Lilavati, um livro bem elementar e dedicado a problemas simples de Aritmética, Geometria Plana (medidas e trigonometria elementar ) e Combinatória. A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher


56


(a tradução é Graciosa), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque, provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a elegância de uma mulher da nobreza com a elegância dos métodos da Aritmética.

A fórmula de Baskara serve para resolver as equações quadráticas da forma

ax2 + bx + c = 0.

(Disponível em: <www.somatematica.com.br/biografias.php>.)

Atividades de aplicação1. Calcule o valor da expressão: .

2. Qual o valor da expressão: 1 – 4,8 : 24?

3. Calcule a soma dos quadrados, mais o quadrado da soma dos núme-ros 2 e 3.

4. Efetue 8 4 2: .

5 5 5.

5. Efetue 5 + {4 . [32 – (28 : 7 . 4)] : 8} – 3.

6. Calcule o valor numérico da expressão: (a + b + c) . (a + b – c) . (a – b – c) para a = b = 10 e c = – 1.

7. Calcule o valor da expressão: 1 3 17 :

14 3+ .

8. Eu sou 26 anos mais velho do que minha filha. Qual a minha idade se é o triplo da de minha filha?

9. Quanto deve-se somar a a2 + b2 para se obter o quadrado de a + b?

10. Se 34

do meu ordenado é R$660,00, qual é o meu ordenado?

Efetue:

11. a) + +1 2 59 9 9

b) + 13

5

12. a) + 12 3

4 b) + +3 2

2 55 5



57

13. a) – 325

b) –

14. a) –1 3 25 4 5

b) – –3 12 25 3

15. a) 3 1 24 2 3

. . b) 3 2 2.5 5+

16. a) 3 725 5

. – b) 3 32. :4 2

17. a) 1 1:

100 25 b) 3 3

2 :4 2

18. a) 3 32 :4 2

. b)

19. Comprei um apartamento por R$420.000,00. Paguei 23

de entrada e o resto em 10 meses. Quanto dei de entrada?

20. O lucro de uma sociedade em 2007 foi igual a R$1.400.000,00. Esse lucro foi dividido entre os três sócios de modo que o primeiro recebeu 23

da parte do segundo e este 45

da parte do terceiro. Qual a parte de

cada um?

21. Calcule .

22. Escreva em forma de potência:

3 23a) 20 b) 10 c) 2

23. Calcule o valor da expressão ( )( )

2 3

02 27

3 5 2– – –

– + –.

24. Escreva na forma de radical:

2 1 33 2 4a) 10 b) 5 c) 2

25. Calcule o valor:

3 6a) 64 b) 1 c) 64−

26. Calcule o valor:

1 113 52a) 8 b) 25 c) ( 32)–


58


27. Calcule o valor da expressão:

– – – –

28. Calcule o valor da expressão:

( )2

4 34. 0,5 0,25 8−

+ +

29. Simplifique a expressão:

4 43 66 39 92 . 2

30. Calcule a soma: + −3 5 45 2 20

Calcule os valores numéricos:

31. x2 – 3x + 1 quando x = – 4

32. 2 2a ba b

+−

quando a = – 3, b = 3

33. 2xy – x 1 1

quando x =– , y =10 100y

34. 2 2x + y 3

quando x = 2, y =1 2+ yx

35. Sabendo-se que a = 5, b = 4, c = 3 e a + b + c

p =2

, calcule o valor numérico de p(p – a)(p – b)(p – c).

Reduza à expressão mais simples:

36. 2x + 3(3 – 2x) – 2(1 – x)

37. 3(a2 + a + 1) + 2(a2 + 2a – 2) – (a2 + 3a – 3)

38. x(x2 – xy + y2) + y(x2 – xy + y2)

39. a(a + b – c) + b(b + c – a) + c(a – b + c)

40. Se 12 2 2 3

1 1x e y-- - - -

- -

æ ö+ + ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç+ è øa b a ba b a

. Calcule o valor de x . y quando

a = 2 e b = – 1.



59

Fatorar:

41. a) 8x + 6y + 2z b) x2 + x – 6

42. a) 8x2 + 14x + 3 b) x2 – 9

43. a) x3 + 8 b) x3 – 1

44. a) (x + 5)(x + 2) b) (a + 3)(3 – a)

45. a) (–x – 2)(–x + 2) b) (xm + 2y3)3

46. a) (x3 + 3)2 b) (0,5x2y–1 – 2xy2)3

47. Quanto se deve subtrair de (a + 3)3 para obter (a – 2)3 ?

48. Elevando x ao quadrado obtemos a2 + 2ab + b2. Podemos afirmar que x é igual a quanto?

49. Qual é o produto de +2 ?3

2 2b b2a + por a

3

50. A igualdade a2 + b2 + c2 = (a + c)2 é verificada para qual valor de b2 ?

51. Se = − = +(2 3 3) (2 3 3)x e y , calcule x . y.

52. Se = + −4 2 8 32A , calcule o valor de A–1.

53. Simplifique a expressão: 2( 3 2)( 3 2) ( 3 2)+ − + −

Efetue as operações indicadas:

54. + −+− +

1 11 1

x xx x

55. 3 3 3 3x – y x + y

+x – y x + y

56. 2

2 2

2 2 4 2a b a b bx ax a x a x a+ − −− −+ − −

57. − −+ −+ +

(1 ) : (1 )a b a ba b a b


60


58. 2

2 2

11

1 1x x

y y

+

Reduza a expressões mais simples:

59. 2 2 2

2 2 2( )( )

x y x yx y x y

–+

––––

60. 2 2

2 2 2++ –

––

Resolva, no conjunto dos números reais, as seguintes equações:

61. (x + 1)2 = 0

62. x2 – x = 0

63. 4x2 – 1 = 0

64. Resolva a equação: + = + +–

1111 11

x x xx x

x–

Dê o conjunto solução das equações a seguir:

65. + =22

2x

66. – 2 3 13 2

x x –

67. x x ++ =–

68. + + =x xx x

–––

69. Quando o número x na equação (k – 3)x + (2k – 5) . 4 + 4k = 0 vale 3, qual será o valor de k?



61

Gabarito atividades de aplicação

1. 49

29

1 14

13

49

92

4 14

13

361834

13

234

13

2 43

13

83

+ ⇒ + ⇒ + ⇒ +

+ ⇒

:

-

.

-

. ++ ⇒ =13

93

3

49

29

1 14

13

49

92

4 14

13

361834

13

234

13

2 43

13

83

+ ⇒ + ⇒ + ⇒ +

+ ⇒

:

-

.

-

. ++ ⇒ =13

93

3

49

29

1 14

13

49

92

4 14

13

361834

13

234

13

2 43

13

83

+ ⇒ + ⇒ + ⇒ +

+ ⇒

:

-

.

-

. ++ ⇒ =13

93

3

.

– –

2. 4

ou 0,85

3. 38

4. 45

5. 10

6. 399

7. 1

8. 39

9. 2ab

10. 880

11.

8 16

a) b)9 5

8 16

a) b)9 5

12.

21

a) b) 84

21

a) b) 84

13.

7 113

a) b)5 9

7 113

a) b)5 9


62


14.

11 4

a) b)20 15

11 4

a) b)20 15

15.

1 7

a) b)4 5

1 7

a) b)4 5

16.

-1

a) b) 15

-1

a) b) 15

17.

1 11

a) b)4 6

1 11

a) b)4 6

18.

7

a) 1 b)5

b) 2725

19. R$280.000,00

20. R$320.000,00; R$480.000,00 e R$600.000,00.

21. 4 2 3 22

8 62

22

1. .− ⇒ − ⇒ =– –

22. 1 213 32a) 20 b) 10 c) 2

23. − −−

⇒ −−

⇒ −−

=4 32 2

71 2

71

70( )

24. = =3 42 33 4a) 10 100 b) 5 c) 2 8

25. a) 8 b) –1 c) 2

26. a) 2 b) 5 c) –2



63

27. − − + −−

+ ⇒ + −

( )2 1

16

1

12

1

8

2 1

16

114

14

2 43

4

+ ⇒ + −

+ ⇒ + − + ⇒ + − + = −1

82 1

21 4

11

40962 1

24 1

1632 8 64 1

162

43 3. 33

16

− − + −−

+ ⇒ + −

( )2 1

16

1

12

1

8

2 1

16

114

14

2 43

4

+ ⇒ + −

+ ⇒ + − + ⇒ + − + = −1

82 1

21 4

11

40962 1

24 1

1632 8 64 1

162

43 3. 33

16

28. 1

29. 2 2 2 2 2 2 2 2918 9189

189

1842

412

12

. . . . ⇒ ⇒ ⇒ 22 2 22 2 16⇒ ⇒ ⇒. 4 . 444 4 4 4 4

2 2 2 2 2 2918

4918

4 918

4 918

4 412

12( ) ( ) ⇒

⇒

. . .

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

4 42

42 2 22 2 2 2 16. . 4 . 4

30. 4 5

31. (–4)2 –3(–4) + 1 16 + 12 + 1 29

32. –3

33. −

− −

⇒

−

−

110

1100

110

1100

11000

1100

2

. ⇒

− −

⇒ − ⇒ − = −1

10

1 101000

110

111000

101

1101000

11100

.

−

− −

⇒

−

−

110

1100

110

1100

11000

1100

2

. ⇒

− −

⇒ − ⇒ − = −1

10

1 101000

110

111000

101

1101000

11100

.

34. 2 32

12

32

4 94

42

16 9442

25442

254

24

5016

25 216

5 24

22

+ ( )+

⇒+

⇒

+

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =. .

2 32

12

32

4 94

42

16 9442

25442

254

24

5016

25 216

5 24

22

+ ( )+

⇒+

⇒

+

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =. .


64


35. a b c a b c a a b c b a b b c+ + + + −

+ + −

+ + −

2 2 2 2

5 4 32

5 4 32

5 5 4 32

4 5 4 32

3+ + + + −

+ + −

+ + −

122

122

5 122

4 122

3 6 12 102

12 82

12 62

−

−

−

⇒ −

−

−

6 2

242

62

2888

36

⇒ =

36. –2x + 7

37. 3 . (a2 + a + 1) + 2 . (a2 + 2a – 2) – (a2 + 3a – 3)

3a2 + 3a + 3 + 2a2 + 4a – 4 – a2 – 3a + 3 5a2 – a2 + 7a – 3a + 6 – 4

4a2 + 4a + 2

38. x . (x2 – xy + y2) + y . (x2 – xy + y2)

x3 – x2y + y3 + x2y – xy2 + y3

x3 + y3

39. a . (a + b – c) + b . (b + c – a) + c . (a – b + c)

a2 + ab – ac + b2 + bc – ab + ac – bc + c2

a2 + b2 + c2

40. 2 1

2 1

2 1

2

12

1

12 2

1 1

2 3 1 2− −

− −

− − −+ −( )+ −( )

+ −( )

⇒

+−( ))

−

−

−

22

1

12

1

12

1

2

14

1

1 22

114

1

2

1 441

2

+

−

−

⇒

+

−

11

1 442

541

2

1

−

⇒−

−−

342



65

54

2 134

12

104

138

. .

−( )

−

⇒

−

⇒

−

⇒104

83

8012

.

Dividindo-se 80 e 12 por 4, temos 203

.

41.

a) 2(4x + 3y + z) b) (x + 3)(x – 2)

42.

a) (2x + 3)(4x + 1) b) (x + 3)(x – 3)

43.

a) (x + 2)(x2 – 2x + 4) b) (x – 1)(x2 + x + 1)

44.

a) (x2 + 7x + 10) b) 9 – a2

45.

a) x2 – 4 b) x3m + 6x2my3+12xmy6 + 8y9

46.

a) x6 + 6x3 + 9 b) 6 3 5 4 3 3 61 3x y – x 6x y – 8x y

8 2− +

47. –15a2 – 15a – 35

48. x = a + b

49. æ ö÷ç + = + +÷ç ÷çè ø

2 22 4 24

2 43 3 9b b

a a a b

50. 2ac

51. 2 3 3 2 3 3 4 9 6 3 6 3 9 4 3 9 12 9 3−( ) +( )⇒ ( )+ ( ) − ( ) − ( )⇒ ( ) − ⇒ − =. .

2 3 3 2 3 3 4 9 6 3 6 3 9 4 3 9 12 9 3−( ) +( )⇒ ( )+ ( ) − ( ) − ( )⇒ ( ) − ⇒ − =. .


66


52. 18

53. 9 6 6 4 3 2 3 2

9 6 6 4 9 6 6 4

( ) − ( )+ ( ) − ( )+ −( ) −( )( ) − ( )+ ( ) − ( )+ ( ) − ( ) − ( )+ ( )

.

33 3 2 6

6 2 6

+ −

−

54. ( )+

-

2

2

2 x 1

x 1

55. 2 . (x2 + y2)

56. zero

57. ab

58. +2 2

2

y x yx

59. x y x y x y

x y x y x y

x xy xy y x y

x xy

−( ) −( ) − −

+( ) +( ) − −⇒

− − + − −

+ +

.

.

2 2

2 2

2 2 2 2

2 xxy y x y

xy xy

xy xy

xy

xy

+ − −− −

+⇒

−= −

2 2 2

2

21

60. a ab b ab ba ab b a b

aab

a aab

ab

2 2 2

2 2 2 2

22 22 2 2 2

+ + − −+ + − −

⇒ ⇒ = .

61. –1

62. {0, 1}

63. 5 31,95

64. R – {0, 1}

65. {2}

66. {– 1}

67. {6}



67

68. 1 1, -

2 2ì üï ïï ïí ýï ïï ïî þ

69. (k – 3)3 + (2k – 5) . 4 + 4k = 0 3k – 9 + 8k – 20 + 4k = 0

15k – 29 = 0

15k = 29

O valor de k quando x = 3 é: k = 2915

.

Atividades de revisão1. A expressão 1

2 + 2

3 + 3

5 + 5

8 é igual a:

a) 287120

b) 28712

c) 280120

d) 287100

2. O resultado da equação 4

3x + 10 =

34x – 1

é:

a) 14

b) – 103

c) 1

d) 347

3. Determine o valor da expressão x2 + y 2

y+ 2x

para x = 2 e y = 12

.

a) 0

b) 0,25

c) 0,5

d) 0,75


68


Gabarito atividades de revisão1. A

Resolução:

O mínimo múltiplo comum dos denominadores é dado por:

mmc (2,3,5,8) = 120

Assim: 12

+ 23

+ 35

+ 58

= 12

. 120120

+ 23

. 120120

+ 35

. 120120

+ 58

. 120120

= 60120

+ 2 . 40120

+ 3 . 24120

+ 5 . 15120

= 60 + 80 + 72 + 75120

= 287120

2. D

Resolução:

Temos: 43x + 10

= 34x – 1

3x + 104

= 4x – 13

(x ≠ – 103

e x ≠ 14

).

Assim: 3 . (3x +10) = 4 . (4x –1) 9x + 30 = 16 x – 4 16x – 9x = 30 + 4 7x = 34.

Daí: x = 347

.

3. D

Resolução:

Substituindo: (2)2 + 1

2

+ 2 . 22 12

= 4 + 1

2

4 + 4 =

4 . 2 + 128

=

8 + 116

= 9

16 = 34

= 0,75





O problemaUm grupo de exatamente 1 000 consumidores entraram em uma loja

durante um dia. Foi reportado que 420 consumidores eram mulheres, 525 abriram crediário na loja, 325 fizeram alguma compra, 40 mulheres abriram crediário, mas não fizeram compras, 150 consumidores compra ram e abri-ram crediário, 30 mulheres fizeram compras, mas não abriram crediário e 50 mulheres abriram crediário e compraram algum produto.

Pode-se concluir que as mulheres visitam mais as lojas sem intenção de comprar? Ou de outra forma, as mulheres vão às lojas e compram menos ou não abrem tanto crediário quanto os homens?

Explorando o problemaA resposta a este tipo de problema está diretamente relacionada à cons-

trução de conjuntos e operações de conjuntos no contexto da Teoria dos Conjuntos. Uma forma de resolver o problema é por meio da construção de Diagramas de Venn.

A teoria dos conjuntos serve como um dos pilares da Matemática moder-na. Não somente fornece o veículo para o desenvolvimento de definições precisas para importantes conceitos de relações e funções como também serve como uma aritmética poderosa para manipular conjunto de objetos.

Assim, a teoria dos conjuntos ajuda na análise de um número significati-vo de problemas nas áreas ambientadas em negócios que não são adaptá-veis a técnicas algébricas convencionais. Além disso, um conhecimento dos concei tos fundamentais da teoria de conjuntos pode pavimentar o caminho para a compreensão de probabilidade e de métodos de inferência estatística.

Os conjuntos podem ser apresentados de forma analítica, como o con-junto N dos números naturais que pode ser apresentado como já vimos, da seguinte forma:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}71


72


Ou, alternativamente, através do chamado Diagrama de Venn:

1 23 6 ...

4 5

Essa representação através do Diagrama de Venn será muito utilizada na discussão acerca das relações e das funções. Aquelas discutidas ainda neste capítulo e estas em capítulo subsequente.

A solução do problema acima pode facilmente se dar com noções básicas da Teoria dos Conjuntos e com a utilização de Diagramas de Venn.

Nas discussões sobre relações e funções, além desses instrumentos já ci-tados, serão fundamentais a construção de gráficos a partir do plano cartesia-no, que também será objeto de estudo neste capítulo.

Equacionando o problemaUm conjunto é uma coleção bem definida de distintos objetos. No pro-

blema colocado, temos um primeiro importante conjunto, chamado de conjunto dos consumidores. Dele fazem parte todas as pessoas, mulheres e homens, que frequentaram uma determinada loja em certo dia. No proble-ma, esse conjunto foi relatado como tendo 1 000 elementos.

Um conjunto é, portanto, formado por elementos que tenham uma carac-terística de interesse em comum. No caso, são pessoas que entraram na loja naquele dia.

Se esses elementos podem ser divididos por características comuns entre eles, em distintos novos conjuntos, esses novos conjuntos são parte do con-junto original e são chamados de subconjuntos.

Os consumidores podem ser divididos em vários novos subconjuntos, como o subconjunto dos homens e o subconjunto das mulheres; o subcon-junto dos que compraram alguma mercadoria e o dos que não compraram nada; e ainda o subconjunto dos que abriram um crediário e o dos que não o abriram.

Cada um dos três grupos de subconjuntos apresentados acima divide o conjunto original, também chamado de conjunto universo (U), em duas partes excludentes; homens e mulheres; compradores e não compradores;



73

e aqueles que abriram crediário e os que não o abriram. Cada um desses subconjuntos, dois a dois, não têm elementos em comum. O subconjunto das mulheres só tem mulheres e o subconjunto dos homens só tem homens. Esses subconjuntos são também chamados de conjuntos disjuntos. Sua re-presentação gráfica através do Diagrama de Venn pode ser apresentada como a seguir:

UMulheres

Homens

No entanto, como as características desses três grupos de subconjuntos são diferentes, pode haver interseção entre eles. Mulheres podem comprar ou não, também elas podem abrir crediário ou não. Assim uma representação completa do problema pode ser feita através do seguinte Diagrama de Venn:

A C

M

H

U = 1 000

40

Cada um dos espaços dentro do diagrama tem um significado. Por exem-plo, as mulheres que não compraram, mas abriram crediário (40) estão repre-sentadas no diagrama pela cor azul.

Conceitos e regrasTeoria dos conjuntos

O conceito de um conjunto, subconjunto e seus elementos

Um conjunto é uma coleção bem definida de objetos distintos. Nós esta-mos todos familiarizados com tais noções de um “conjunto” de pratos ou um “conjunto” de clubes de futebol. Mas os objetos contidos em um conjunto


74


não precisam ser tão concretos como os dos exemplos mencionados. Con-ceitos abstratos – como todos os inteiros positivos, todos os pontos em um intervalo [a, b] de uma reta, e todos os números racionais não negativos – também podem ser encontrados em um conjunto.

Os itens que pertencem a um conjunto, então, podem ser de qualquer tipo: pessoas, coisas, localizações geográficas, figuras geométricas, resulta-dos de pesquisas. Cada objeto de um conjunto é chamado de elemento ou membro do conjunto.

Para se formar um conjunto, a coleção de objetos deve encontrar dois requerimentos.

Primeiro, o agregador deve estar bem definido. Os itens individuais devem ter uma característica ou características que os façam pertencer a um con-junto particular. Uma regra ou método deve existir para que seja possível determinar se um objeto, seja ele qual for, é ou não membro do conjunto em questão.

Segundo, os elementos de um conjunto são distintos. Nenhum conjun-to pode ter o mesmo elemento duas vezes. Quando um objeto já estiver listado como elemento de um conjunto, este não poderá mais ser repe-tido. O conjunto de letras da palavra CURITIBA, então, não é um conjun-to que contém oito letras, mas sim um conjunto com sete letras distintas: C, U, R, I, T, B, A. A sequência que os elementos são listados quando são enumerados é insignificante.

Notação dos conjuntos

Normalmente as letras maiúsculas tais como A, B, X e Y são usadas para denotar os conjuntos, enquanto as letras minúsculas tais como a, b, x e y são usadas para representar os elementos individuais de um conjunto.

Os conjuntos podem ser descritos de duas formas:

Listagem dos elementos � – todos os elementos do conjunto são lista-dos, separados por vírgulas e fechados por chaves.

Regra � – a regra que pode ser usada para determinar se um objeto per-tence ou não a um conjunto é iniciada e encerrada por chaves.



75

Assim, o conjunto A, que contém os inteiros entre 5 e 10, pode ser escrito como

A = {6, 7, 8, 9}

Essa notação é lida, “O conjunto A cujos elementos são 6, 7, 8 e 9”.

O mesmo conjunto pode ser denotado pela regra como

A = {x|x é um inteiro e está entre 5 e 10}

Essa notação pode ser lida, “A é um conjunto de todos os a’s tal que a seja um inteiro entre 5 e 10”.

Elementos de um conjunto

Na notação de conjunto, o símbolo ∈ significa “é um elemento de”, ou “per-tence a”, ou “é um membro de” um conjunto. Já o símbolo ∉ significa “não é um elemento de” ou “não pertence a” um conjunto.

Exemplo 1

O conjunto X = {x|x é um inteiro positivo menor que 10 e x é exatamente divisível por 4}. Então, 8 ∈ X, mas 7 ∉ X.

Exemplo 2

A letra “a” representa o Sr. Costa e a letra B representa o conjunto de di-retores do Banco do Brasil. Então a ∈ B indica que o Sr. Costa é um membro da diretoria do Banco; a ∉ B indica que o Sr. Costa não é um membro da diretoria do banco.

Conjuntos finitos e infinitos

Se um conjunto tem um número definido de elementos, este é chamado de conjunto finito. É perfeitamente possível que um conjunto tenha um número exageradamente grande de elementos e ainda seja um conjunto finito.

Se o número de elementos de um conjunto não tem limite, o conjunto é dito como um conjunto infinito. Um exemplo simples de um conjunto infinito é o conjunto de números inteiros positivos.

Conjuntos finitos e infinitos enumeráveis são chamados de conjuntos dis-cretos. Um conjunto contínuo é um conjunto infinito não enumerável.


76


Conjuntos iguais

Dois conjuntos A e B, são ditos iguais se e somente se cada um deles con-tiver exatamente os mesmos elementos. A igualdade entre conjuntos é sim-bolizada da seguinte forma A = B ou B = A. Se um dos conjuntos tiver pelo menos um elemento que não pertença ao outro conjunto então os dois con-juntos não são iguais. Essa desigualdade é simbolizada da seguinte forma A ≠ B ou B ≠ A.

Conjunto universo

Em qualquer análise, quando a teoria dos conjuntos é empregada, um con-junto básico que contém todos os elementos a serem considerados naquela investigação está tacitamente assumido de existir. Este conjunto é chamado de conjunto universo e é denotado pelo símbolo U. Todos os outros conjuntos considerados na investigação são definidos neste conjunto básico.

Observe que um conjunto universo diferente é definido para cada pro-blema ou investigação diferente.

O conjunto vazio

O conjunto que não contém elementos é chamado de conjunto vazio e é denotado pelo símbolo ∅ ou por { }.

Exemplo 3

O conjunto de todos os corredores que regularmente fazem 100 metros em menos de 5 segundos é um exemplo de conjunto vazio.

Subconjuntos

Se todos os elementos do conjunto A são também elementos do conjun-to B, A é chamado de subconjunto de B. A relação é simbolizada por A ⊂ B, e se lê “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B”. Também A ⊂ B indica que todo elemento pertencente ao conjunto A é também um elemento de B. Todos os elementos de B podem ou não estar incluídos em A para que a sentença “A é um subconjunto de B” seja verdadeira.

Exemplo 4

Dado A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} e C = {2, 3, 4}. O conjunto A é um subconjunto do conjunto B, mas A não é subconjunto de C. Isto é, A ⊂ B mas A ⊄ C.



77

Representação Gráfica de Conjunto

Quando consideramos o conjunto universo e seus subconjuntos, é útil fazer uma representação geométrica desses conjuntos e as relações entre eles. Diagramas de Venn são usados para ilustrar de forma descritiva os conjuntos.

Um grande retângulo é comumente empregado para simbolizar o con-junto universo U, enquanto os círculos ou as elipses ou outras formas simples são desenhadas dentro do retângulo para descrever subconjuntos de U.

A única condição é que os símbolos usados para representar os subcon-juntos devem estar dentro da caixa que representa o conjunto universo. O tamanho e a forma das configurações não têm nenhuma influência direta com o número de elementos do conjunto e dos subconjuntos.

A figura 1 mostra os subconjuntos A, B e C definidos em um conjunto universo U e ilustra que B ⊂ A, A ⊄ B e B ⊄ C.

A

BC

Figura 1 – Diagrama de Venn.

Número de subconjuntos de um conjunto

Uma vez que o conjunto universo U tenha sido definido em uma análise particular, todos os conjuntos que podem ser formados de elementos de U são conhecidos como subconjuntos de U. O número total de possíveis sub-conjuntos depende do número de elementos de U.

Um conjunto com n elementos tem 2n possíveis subconjuntos.

Assim, um conjunto com 3 elementos tem 23 = 8 possíveis subconjuntos; um conjunto com 10 elementos tem 210 = 1 024 subconjuntos.


78


Produto cartesiano de conjuntosUm par ordenado é um par de objetos no qual a sequência em que os

objetos aparecem deve ser considerada. A notação (a, b) é usada para repre-sentar um par ordenado em que a é o primeiro componente e b é o segundo componente.

O par ordenado (a, b) é muito diferente do conjunto {a, b} que contém dois elementos a e b. No conjunto {a, b} não existe o “primeiro componente” porque a ordem na qual os elementos do conjunto são listados é irrelevante. Assim, apesar do conjunto {a, b} ser igual ao conjunto {b, a}, o par ordenado (a, b) não é igual ao par ordenado (b, a). Dois pares ordenados são iguais se e somente se seus primeiros e segundos componentes forem os mesmos.

Sempre que tivermos dois conjuntos, podemos formar pares ordenados pegando o primeiro componente dos elementos de um conjunto e o segun-do componente dos elementos do segundo conjunto.

Se A e B são dois conjuntos, o conjunto de todos os pares ordenados em que o primeiro componente é pego do conjunto A e o segundo componente é pego do conjunto B é chamado de produto cartesiano de A por B (referência ao matemático René Descartes) e é denotado A x B, normalmente lido como “A por B”. Em notação simbólica: A x B = {(a, b)| a ∈ A e b ∈ B}.

Se A e B são conjuntos finitos tal que A contenha m elementos a1, a2, ... , am e B contém n elementos b1, b2, ... , bn, A x B é um conjunto que contém os seguintes m x n elementos:

(a1, b1) (a1, b2) ... (a1, bn)

(a2, b1) (a2, b2) ... (a2, bn)

(am, b1) (am, b2) ... (am, bn)

Se o primeiro elemento do par ordenado é pego do conjunto B e o se-gundo elemento do conjunto A, o conjunto produto cartesiano será B por A, denotado B x A.

Exemplo 1

Seja o conjunto A que representa os resultados dos lançamentos de uma moeda, A = {C, K}, onde C é cara e K é coroa. Seja o conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5, 6},



79

os possíveis resultados do lançamento de um dado. Os conjuntos que seguem são alguns dos conjuntos de produtos cartesianos que podem ser formados:

A x B = {(C, 1), (C, 2), (C, 3), (C, 4), (C, 5), (C, 6), (K, 1), (K, 2), (K, 3), (K, 4), (K, 5), (K, 6)}

B x A = {(1, C), (2, C), (3, C), (4, C), (5, C), (6, C), (1, K), (2, K), (3, K), (4, K), (5, K), (6, K)}

A x A = {(C, C), (C, K), (K, C), (K, K)}

Este conceito pode ser estendido para o produto cartesiano de n con-juntos. Se A, B e C forem conjuntos, várias construções podem ser feitas. O produto cartesiano A x B pode ser usado para formar um novo conjunto, o qual pode ser combinado com C para formar (A x B) x C. Ou B e C podem ser combinados para formar B x C e uma segunda combinação (B x C) x A pode ser feita e assim por diante.

Relações

A relação entre o conjunto A e o conjunto B, denotado por R, é qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B. O número de relações em qual-quer produto cartesiano depende do número de pares ordenados naquele conjunto em particular. Se o número de pares ordenados for p, o número de relações será 2p.

Exemplo 2

Se A = {a1, a2} e B = {b1, b2}, o conjunto produto cartesiano A x B = Y contém 2 . 2 = 4 pares ordenados, como segue:

Y = A x B = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a2, b2)}

Todo subconjunto de pares ordenados deste produto cartesiano é uma relação. Aqui temos 24 = 16 relações, como segue:

R1 = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a2, b2)}

R2 = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1)}

R3 = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b2)}

R4 = {(a1, b1), (a2, b1), (a2, b2),}

R5 = {(a1, b2), (a2, b1), (a2, b2)}


80


R6 = {(a1, b1), (a1, b2)}

R7 = {(a1, b1), (a2, b1)}

R8 = {(a1, b1), (a2, b2)}

R9 = {(a1, b2), (a2, b1)}

R10 = {(a1, b2), (a2, b2)}

R11 = {(a2, b1), (a2, b2)}

R12 = {(a1, b1)}

R13 = {(a1, b2)}

R14 = {(a2, b1)}

R15 = {(a2, b2)}

R16 = ∅

Exemplo 2

Um dado branco e um dado preto são lançados. B representa os possí-veis resultados do dado branco e P os possíveis resultados do dado preto. Então B = P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. No conjunto produto cartesiano B x P existirão 6 . 6 = 36 elementos que são pares ordenados. O produto pode ser denotado simbolicamente como:

X = B x P = {(b, p)| b ∈ B e p ∈ P}

Existem 236 possíveis relações. Exemplos específicos para essas relações que podem ser de especial interesse são:

R1 = {(b, p)| b = p e (b, p) ∈ B x P}

Os pares ordenados desta relação são:

R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

Ou nós podemos estar especialmente interessados na relação

R2 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1) (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)}

O conjunto acima representa os pares ordenados em que os valores do dado branco são sempre maiores que os valores do dado preto.



81

Domínio e contradomínio de uma relação

O domínio da relação R é o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados em R. O contradomínio da relação R é o conjunto de todos os segundos elementos dos pares ordenados em R.

Funções

Uma função é um caso especial de uma relação. Qualquer subconjunto de A x B é uma relação. A relação é uma função de A para B onde para cada elemento do conjunto A existe um único elemento do conjunto B.

Em outras palavras, se cada elemento do domínio estiver associado com um elemento no contradomínio, a associação é chamada de função. Observe, então, que o número de pares ordenados em uma função é igual ao número de elementos no conjunto A, o conjunto que fornece o primeiro componente dos pares ordenados.

Exemplo 3

Nós vimos no Exemplo 2 que se A = {a1, a2} e B = {b1, b2}, temos 16 relações (ou subconjuntos) possíveis no conjunto de produto cartesiano A x B. Dessas relações, somente quatro estão em conformidade com a definição de uma função. Essas quatro funções são:

R7 = {(a1, b1), (a2, b1)}

R8 = {(a1, b1), (a2, b2)}

R9 = {(a1, b2), (a2, b1)}

R10 = {(a1, b2), (a2, b2)}

Cada uma dessas funções consiste em dois pares ordenados, ou n (A) pares ordenados. a1 aparece como o primeiro elemento uma vez e a2 apare-ce como primeiro elemento uma vez, em cada função. Não há distintos pares ordenados de uma função que têm a mesma primeira coordenada.

Operações com conjuntosComo os números podem ser combinados pelas operações básicas da

Matemática – adição, subtração, multiplicação e divisão – para formar um novo número, os conjuntos também podem ser combinados para formar um novo conjunto.


82


Todos os conjuntos envolvidos na combinação são subconjuntos do mesmo conjunto universo. O novo conjunto formado será também subcon-junto do mesmo conjunto universo.

As operações básicas usadas com conjuntos são: complemento, inter-seção e união entre conjuntos.

Complemento de conjuntos

O complemento do conjunto A em relação ao conjunto universo U é o con-junto que contém todos os elementos de U que não estão em A.

Exemplo 1

Suponha que o conjunto universo U tenha como seus elementos todas as 23 letras do alfabeto. Se A é o subconjunto de U, que contém todas as vogais, então todas as consoantes formam outro subconjunto, também um subcon-junto de U que é conhecido como o complemento de A com relação a U. O símbolo Ac, que se lê “não A” ou “o complemento de A”, é usado para representar o complemento de A (ver figura 2). A relação pode ser simbolizada

Ac = {x|x ∈ U e x ∉ A}

A

Ac

U

Figura 2.

Exemplo 2

O complemento do conjunto de todos os números racionais com relação ao conjunto universo de todos os números reais é o conjunto de todos os números irracionais.

Exemplo 3

O complemento do conjunto de empregados da Companhia XYZ que têm 45 anos de idade ou mais com relação ao conjunto universo de todos



83

os empregados da Companhia XYZ é o conjunto cujos elementos são aqueles empregados da Companhia XYZ que têm menos de 45 anos de idade.

Exemplo 4

O complemento do conjunto universo com relação a ele mesmo é o con-junto vazio ∅ e o complemento do conjunto vazio ∅ com relação ao conjun-to universo é o próprio conjunto universo U.

Interseção

A interseção de dois conjuntos A e B, denotada por A ∩ B, lê-se “A interse-ção com B” ou “A inter B”, é o conjunto dos elementos que pertencem a ambos os conjuntos A e B. Simbolicamente,

A ∩ B = {x|x ∈ A e x ∈ B}

A interseção de dois conjuntos é mostrada na figura 3. A ∩ B (a interseção de A e B é mostrada pela área pintada).

U

B

A

A ∩ B

BA

A ∩ B

U

Figura 3.

Exemplo 5

Se A = {2, 4, 6, 8} e B = {3, 4, 7} , então A ∩ B = {4}.


84


Exemplo 6

Se o conjunto A é um conjunto cujos elementos são todos os carros ama-relos estacionados em um estacionamento particular e os elementos do conjunto B são todos os da marca M estacionados no mesmo estacionamen-to, a interseção de A e B, A ∩ B é o conjunto de todos os carros da marca M e amarelos estacionados no estacionamento particular.

Exemplo 7

Se o conjunto A contém todos os carros amarelos estacionados em um determinado estacionamento e o conjunto B contém todos os carros da marca M estacionados no mesmo estacionamento, então Bc contém todos os carros que não são da marca M e A ∩ Bc contém todos os carros amarelos exceto os da marca M e amarelos (ver figura 4).

B

A

U

Figura 4.

A notação da interseção pode facilmente ser generalizada a situações que envolvem mais de dois conjuntos. Assim, a interseção dos conjuntos A1, A2, ..., An, escrito A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An é o conjunto dos elementos comuns a todos os conjuntos A1, A2, ..., An.

Exemplo 8

Definimos um conjunto universo U cujos elementos são todos mem-bros da força de trabalho. No conjunto A estão os elementos que são empre-gados da Companhia XYZ, no conjunto B estão todos os membros femininos da força de trabalho e no conjunto C estão todos os membros da força de trabalho que possuem menos de 25 anos. A interseção desses conjuntos A ∩ B ∩ C será o conjunto de mulheres empregadas na companhia XYZ que têm menos de 25 anos.



85

Conjuntos disjuntos

Se dois conjuntos A e B não tiverem elementos em comum, A ∩ B = ∅, os conjuntos são ditos conjuntos disjuntos. Em um Diagrama de Venn, como é mostrado na figura 5, os conjuntos disjuntos são mostrados como não tendo nenhuma área sobreposta.

U

A

B

Figura 5.

Exemplo 9

Se o conjunto universo U contém 52 cartas de um baralho e se dois sub-conjuntos forem definidos como

R = {cartas vermelhas} e B ={cartas pretas},

Então R ∩ B = ∅. Os conjuntos R e B são conjuntos disjuntos.

União

A união de A e B (denotada por A ∪ B), quando A e B são dois conjuntos definidos em um conjunto universo U, contém aqueles elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos.

A ∪ B = {x|x ∈ A ou x ∈ B}

A ∪ B (a união de A e B é mostrada na área pintada):


86


U

BB

A

A

U

Figura 6.

Exemplo 10

Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8}, então A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

Exemplo 11

Se o conjunto A contém todos os carros amarelos de um estacionamento e o conjunto B contém todos os carros da marca M deste estacionamento, a união de A e B, A ∪ B contém todos os carros amarelos mais os carros da marca M de outras cores do estacionamento.

A notação de união pode ser estendida para os casos que envolvem mais do que dois conjuntos. A união dos conjuntos A1, A2, ..., An, denotada como A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An, é o conjunto de elementos que estão pelo menos em um dos conjuntos A1, A2, ..., An.

Exemplo 12

Considere os seguintes conjuntos definidos em um conjunto universo U, cujos elementos são todos os moradores de Curitiba.

A = {x|x é um professor universitário}

B = {x|x é uma pessoa casada}

C = {x|x tem menos de 35 anos}

Então o conjunto A ∪ B ∪ C representa todos os moradores de Curitiba que são ou professores ou casados ou abaixo de 35 anos (ver figura 7A).

O conjunto de moradores que são casados, professores e abaixo de 35 anos é denotado da seguinte forma: A ∩ B ∩ C (ver figura 7B).



87

O conjunto de moradores que são ou professores ou casados, mas são abaixo de 35 anos pode ser descrito pela seguinte notação: (A ∪ B) ∩ C (ver figura 7C).

Ou o conjunto de moradores que são professores, não são casados, mas estão acima dos 35 anos de idade pode ser simbolizado por: A ∩ (Bc ∩ Cc) (ver figura 7D).

A ∪ B ∪ C A ∩ B ∩ C

Figura 7A. Figura 7B.

U

B

C

U

A B

C

A

(A ∪ B) ∩ C A ∩ (Bc ∩ Cc)U U

Figura 7C. Figura 7D.

B

C

A B

C

A

Partição

Uma coleção de subconjuntos é dita exaustiva se sua união contiver cada um dos elementos no conjunto universo em que eles estão definidos. Um grupo de conjuntos que são mutuamente excludentes e exaustivos é chama-do de uma partição. Tal partição está mostrada na figura 8.


88


U

B

C

A

D

Figura 8.

Exemplo 13

Dado um conjunto universo U = [1, 2, 3, 4, 5], a coleção de subconjuntos A = [1, 2], B = [3] e C = [4, 5] forma uma partição de U.

Um conjunto universo U pode ser particionado de diferentes modos, é claro. Por exemplo: a coleção de subconjuntos D = [1], E = [3, 5] e F = [2, 4] também forma uma partição do conjunto universo dado acima.

Dados dois conjuntos A e B, que não são disjuntos, o conjunto A pode ser particionado em dois subconjuntos disjuntos (A ∩ B) e (A ∩ Bc). Além disso, a união dos dois conjuntos, A ∪ B, pode ser particionada em três subconjuntos disjuntos (A ∩ Bc), (A ∩ B), (Ac ∩ B), conforme ilustrado na figura 9.

A = (A ∩ B) U (A ∩ Bc) e (A U B) = (A ∩ Bc) U (A ∩ B) U (Ac ∩ B)

U

BA

A ∩ B Ac ∩ BA ∩ Bc

Figura 9.



89

Número de elementos em grupos de conjuntos finitos

O número de elementos em qualquer conjunto A pode ser denotado por n(A). Por exemplo, se A = {1, 2 , 3 , 4} então n(A) = 4.

Nós estamos frequentemente interessados em saber o número de ele-mentos em várias combinações dos conjuntos finitos. As observações que seguem serão úteis em tais situações.

1. O conjunto nulo não contém elementos, isto é:

n(∅) = 0

2. Um conjunto não vazio não pode ter um número negativo de ele-mentos, isto é:

n(A) > 0, se A não for vazio.

3. Se A e B forem dois conjuntos disjuntos, eles não têm elementos em comum, e o conjunto A ∩ B é um conjunto vazio, isto é:

n(A ∩ B) = 0 se A e B forem conjuntos disjuntos.

4. Se A e B forem dois conjuntos disjuntos, o número de elementos em A ∪ B é igual ao número de elementos em A mais o número de elemen-tos em B, isto é:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) se A ∩ B = ∅

5. Para qualquer um dos dois conjuntos A e B, o número de elementos em A ∪ B é igual ao número de elementos em A mais o número de elementos em B menos o número de elementos que são comuns aos dois conjuntos, isto é:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

6. Para qualquer dois conjuntos A e B que não sejam disjuntos, o conjun-to A pode ser particionado em dois conjuntos disjuntos A ∩ B e A ∩ Bc (ver figura 10). Assim:

n(A) = n(A ∩ B) + n(A ∩ Bc)


90


A = A ∩ B ∪ A ∩ Bc; assim, n(A) = n(A ∩ B) + n(A ∩ Bc)

U

BA

A ∩ BA ∩ Bc

Figura 10.

7. Para qualquer conjunto universo U em que os conjuntos A e B são de-finidos, o conjunto universo pode ser particionado em dois conjuntos disjuntos A ∪ B e (A ∪ B)c (ver figura 11). Assim:

n(U) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)c

U = (A ∪ B) ∪ (A ∪ B)c; assim, n(U) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)c

U

BA

(A ∪ B)c

A∪B

Figura 11.

8. O conjunto (A ∪ B)c e o conjunto (Ac ∩ Bc) são iguais porque eles con-têm precisamente os mesmos elementos (ver figura 12). Assim:

n(Ac ∩ Bc) = n(A ∪ B)c

E, como n(U) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)c,

n(Ac ∩ Bc) = n(U) – n(A ∪ B)



91

A

B

U(Ac ∩ Bc) = (A ∪ B)c

A

B

UBc

A

B

UAc

Figura 12.

Exemplo 1

Dado A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {6, 7, 8}, então n(A) = 5 e n(B) = 3. Podemos perceber que A e B não possuem elementos em comum. Assim, A ∩ B = ∅ e n(A ∩ B) = 0. Também, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e n(A ∪ B) = n(A) + n(B) = 5 + 3 = 8.


92


Exemplo 2

Dado A = {2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6}, então n(A) = 4 e n(B) = 3.

Neste caso, A ∩ B = {2, 4} e n(A ∩ B) = 2.

O conjunto A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6} e n(A ∪ B) = 5. Quando A e B não forem disjuntos, o número de elementos de A ∪ B não será a soma de n(A) e n(B) mas sim n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B). Daí 5 = 4 + 3 – 2.

Os Diagramas de Venn são muito úteis para se determinar o número de elementos nas combinações de conjuntos finitos, como mostrará o exemplo seguinte.

Exemplo 3

Em um dia, 325 pessoas pararam em bancas de jornal. Dessas, 185 compra-ram o Jornal A, 150 compraram o Jornal B e 95 compraram ambos. Quantas pessoas não compraram nenhum jornal? Quantas pessoas compraram o Jornal A, mas não compraram o Jornal B? Quantas pessoas compraram o Jornal B mas não o A? Quantas pessoas compraram pelo menos um dos jornais?

O Diagrama de Venn, na figura 13, nos ajudará a responder a essas ques-tões. Primeiro vamos definir o conjunto A que contém todos os compradores do Jornal A e o conjunto B que contém todos os compradores do Jornal B.

Então, cuidadosamente, rotulamos as regiões no Diagrama de Venn. Usando a informação que 95 pessoas compraram ambos jornais – isto é, n(A ∩ B) = 95 –, colocaremos este número na região que corresponde a A ∩ B.

Depois, como n(A) = n(A ∩ B) + n(A ∩ Bc), daí n(A ∩ Bc) = 185 – 95 = 90; então colocaremos esse na região apropriada.

Também, n(B) = n(A ∩ B) + n(Ac ∩ B), daí temos que n(Ac ∩ B) = 150 – 95 = 55. Novamente, colocaremos esse número na região apropriada.

Para se determinar o número de pessoas que não comprou jornal, nós particionaremos o conjunto universo U em dois conjuntos disjuntos, isto é:

U = (A ∪ B) ∪ (A ∪ B)c

Assim, temos:

n(U) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)c



93

Além disso, temos que:

(A ∪ B) = (A ∩ Bc) ∪ (A ∩ B) ∪ (Ac ∩ B)

Então, nesse caso:

n(A ∪ B) = 90 + 95 + 55 = 240

A partir desse resultado, obtemos:

n(A ∪ B)c = 325 – 240 = 85

Em resumo, nós determinamos que 85 pessoas não compraram nenhum dos dois jornais, 90 compraram somente o Jornal A, 55 compraram somente o Jornal B. Além disso, 90 + 55 = 145 compraram exatamente um dos dois jornais; 325 – 85 = 240 compraram pelo menos um dos dois jornais.

U

A ∩ B95

Ac ∩ B55

A ∩ Bc

90

A B

(A ∪ B)c

85

Figura 13.


Augustos de Morgan nasceu em 1806, na Índia, e morreu em 1871.

Foi matemático e professor na Inglaterra, um dos fundadores da BAAS (Bri-tish Association for the Advancement Science). Estudou no Trinity College, e não entrou para Cambridge e Oxford por se recusar a participar do exame religioso.

Era cego de um olho e teve muitos problemas durante sua vida profissional em virtude de posições radicais em defesa da liberdade religiosa, intelectual e acadêmica.

Escreveu trabalhos sobre fundamentos de álgebra, cálculo diferencial, lógica e teoria das probabilidades. Também foi um dos responsáveis pela cria-ção da lógica simbólica moderna.



94


Atividades de aplicação1. Escreva em símbolos:

a) O Brasil (b) está na América do Sul (A).

b) Angola (a) não está na América do Sul (A).

c) A Venezuela (v) não pertence às regiões brasileiras (R).

d) O Nordeste (n) pertence às regiões brasileiras (R).

2. Classifique como falso ou verdadeiro:

a) Equador ∈ América do Sul.

b) Sudeste ∉ regiões brasileiras.

c) França ∈ regiões brasileiras.

d) Centro-Oeste ∈ América do Sul.

3. Escreva que o conjunto x é um número ímpar descrevendo os seus elementos e pela regra.

4. Escreva a regra que descreve o conjunto M = {3, 4, 5, 6, 7, ...}.

5. Diga se o conjunto A = {d, c, a, e, b} é igual ou diferente do conjunto B = {a, b, c, d, e}.

6. Sejam os conjuntos A= {5, 6}, B = {5, 6, 7, 8} e C= {5, 7, 8}, a afirmação A ⊂ B, mas A ⊄ C é falsa ou verdadeira?

7. Conjunto unitário é o conjunto que só tem um elemento. Classifique os seguintes conjuntos como conjunto vazio ou conjunto unitário.

a) A = {polígonos que possuem três lados}.

b) B = {x | x é um número natural maior que 5 e menor que 6}.

c) C = {x | x é um número par maior ou igual a 3 e menor que 5}.

8. Diga se a afirmação é falsa ou verdadeira: “O conjunto B pertence ao conjunto A.”

A

B



95

9. Seja o conjunto A = {letras da palavra CONJUNTO}. Quantos possíveis subconjuntos possuem o conjunto A.

10. A afirmação “O conjunto vazio não é subconjunto do conjunto univer-so porque não tem nenhum elemento” é falsa ou verdadeira?

11. Se A e B são dois conjuntos, então o produto cartesiano A x B nunca será igual ao produto cartesiano B x A. Falso ou verdadeiro?

12. Se B é o conjunto que representa o lançamento de um dado branco e P o conjunto que representa um dado preto, quantos elementos terá o produto cartesiano B x P?

13. Com base no problema anterior, diga se o conjunto P x B é igual ao conjunto B x P.

14. Ainda com base no problema do exercício número 12, quantas rela-ções podem ser construídas do produto cartesiano B x P?

15. Cada relação tem como elemento um par ordenado. Quais são as rela-ções unitárias do produto cartesiano B x P?

16. Descreva como caracterizar quais das relações do produto cartesiano B x P podem ser definidas como função?

17. As funções definidas acima são casos especiais de relações. Verdadeiro ou falso?

18. Na relação B x P definida no problema acima quem é o domínio da relação?

19. O conjunto vazio é subconjunto de todo conjunto. O conjunto vazio é subconjunto dele mesmo?

20. Qual é o menor produto cartesiano possível?

21. Seja I o conjunto das pessoas idosas, ou seja pessoas com 60 anos de idade ou mais, defina o seu complemento Ic.

22. Represente o conjunto I e o conjunto Ic em um Diagrama de Venn.

23. Sejam A = {5, 7, 9} e B o conjunto dos números menores do que 9 e maiores ou iguais a 5, detemine a interseção de A com B.

24. Represente o resultado acima em um Diagrama de Venn.


96


25. Se O são as cartas de ouros de um baralho de 52 cartas e V as cartas vermelhas, determine O ∩ V.

26. Represente o conjunto O ∩ V em um Diagrama de Venn.

27. Dois conjuntos disjuntos têm como complemento de sua união o con-junto vazio. Falso ou verdadeiro?

28. Determine a união dos conjuntos do exercício 23.

29. Determine a união dos conjuntos do exercício 25.

30. Dado o conjunto universo U = {1, 2, 3}, quantas partições desse con-junto podem ser construídas?

Dado A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {2, 4, 6, 8}:

31. Determine n(A) e n(B).

32. Determine n(A ∩ B).

33. Determine n(A ∪ B).

Dado A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 5, 7}:

34. Determine n(A ∩ B).

35. Determine n(A ∪ B).

36. Determine o número de elementos de cada um dos conjuntos do pro-blema exposto no início do capítulo referente ao número de homens e mulheres que visitaram a loja durante um dia. Represente o resultado através de um Diagrama de Venn.

Gabarito atividades de aplicação1. Definimos os conjuntos A como o conjunto dos países da América do

Sul e R como o conjunto das regiões brasileiras. Definimos os seguintes elementos de A, b representa o Brasil e v representa a Venezuela, então concluímos que:

a) b ∈ A

b) a ∉ A

c) v ∉ R



97

d) n ∈ R

2. Sendo A o conjunto dos países da América do Sul e R o conjuntos das regiões brasileiras, então:

a) Equador ∈ A (Verdadeiro)

b) Sudeste ∉ R (Falso)

c) França ∈ R (Falso)

d) Centro-Oeste ∈ R (Verdadeiro)

3. I = {x|x é um número ímpar}

I = {3, 5, 7, ...}

4. M = {x|x é um número inteiro maior ou igual a 3}

5. A = B

6. Verdadeira, pois A está contido em B, mas não está contido em C (os valores 5 e 6 do conjunto A estão presentes no conjunto B, mas não estão presentes no conjunto C).

7. Unitário, vazio, unitário.

8. Falsa. O conjunto B “está contido” no conjunto A.

9. A = {C, O, N, J, U, T} 26 64 subconjuntos.

10. Falsa.

11. Falso, pois a ordem dos fatores não altera o produto. A x B = B x A.

12. 36 pares ordenados.

13. Numericamente, sim.

14. 236

15. {(b1, p1 )}, {(b1, p2 )}, {(b1, p3 )}, {(b1, p4 )}, {(b1, p5 )}, {(b1, p6 )},

{(b1, p1 )}, {(b2, p1 )}, {(b3, p1 )}, {(b4, p1 )}, {(b5, p1 )}, {(b6, p1 )}

16. Todas as funções consistirão de dois pares ordenados. Não haverá dis-tintos pares ordenados de uma função que têm a mesma primeira or-denada. Cada ai aparecerá como primeiro elemento uma vez, e cada ai+1 aparecerá como primeiro elemento uma vez em cada função.


17. Correto. As funções são casos especiais de relações.

18. O domínio da relação é o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados da relação.

19. Sim.

20. O produto cartesiano formado por dois conjuntos unitários.

21. Ic = {x|x ∈ [0,60) }

22. U

IIc

23. (A ∩ B) = {5, 7}

24.

A B

9 57

68

U

25. (O ∩ V) = O

26. U

V

O

27. Verdadeiro.

28. A ∪ B = {5, 6, 7, 8, 9}

29. O ∪ V = V

30. 5 partições.

{1,2,3}, ø



99

{1}, {2,3}

{1,2}, {3}

{1,3}, {2}

{1}, {2}, {3}

31. n(A) = 5 e n(B) = 4

32. n(A ∩ B) = 0

33. n(A ∪ B) = 9

34. n(A ∩ B) = 2

35. n(A ∪ B) = 6

36. U = 1 000

A C

40 50

100

30

145335

300

M = 420

H = 580

Atividade de revisão1. Sejam A, B conjuntos tais que n (A) = 15, n (B) = 25 e n (A B) = 5. Qual

o número de elementos da união entre os conjuntos A e B?

a) 45

b) 15

c) 40

d) 35

2. Seja o conjunto A o conjunto formado pelas letras da palavra “MATE-MÁTICA”, quantos subconjuntos podem ser formados?

a) 10


100


b) 6

c) 1024

d) 64

Gabarito atividades de revisão1. D

Resolução:

Temos: n (A B) = n (A) + n (B) – n (A B)

Assim: n (A B) = 15 + 25 – 5 = 35

2. D

Resolução:

O conjunto A é dado por: A = {M , A , T , E , I , C}.

Sabemos que para um conjunto B de p elementos, o número de subcon-juntos n(SB ) é dado por: n (SB ) = 2p .

Como A possui 6 elementos: n (SA ) = 26 = 64.




Intervalos

O problemaUm produtor rural deseja aumentar a sua produção de milho através da

aplicação de mais adubo na terra. Quanto de adubo ele deve colocar para que a produção atinja o máximo possível?

Explorando o problemaEsse problema no geral é tratado por meio de experimentação em campo

seguido de um tipo de análise de previsão muito comum em estatística, cha-mada de análise de regressão.

A ideia é em um campo experimental aplicar quantidades diferentes de adubo desde nenhum adubo até uma certa quantidade que teoricamente possa potencializar a produção.

Realizado esses experimentos, o analista constrói uma curva que represen-te o crescimento da produção em razão da quantidade de adubo colocada no solo. Essa curva pode ser representada por uma função matemática. No geral, procura-se inicialmente traçar a partir dos dados experimentais uma reta e ve-rificar por meio de técnicas específicas o quanto aquela reta representa bem o fenômeno estudado. Há parâmetros estatísticos para essa determinação.

O que se pode observar, no entanto, é que haverá um limite de colo-cação de adubo que a partir do qual não se verificará mais aumentos na produção.

Assim um intervalo de colocação de adubo deverá ser estabelecido. Esse intervalo para o problema colocado irá de zero quilo de adubo até um certo valor máximo. E é nesse intervalo que as inferências deverão ser realizadas.

Equacionando o problemaO problema então consiste basicamente em se construir uma equação de

uma curva dentro de um certo intervalo de interesse. Situações mais comple-



104

Intervalos

xas podem surgir em que se tenha a necessidade de operar com diferentes intervalos.

Tais situações ocorrem quando mais de uma variável estão sendo estu-dadas para a construção desses intervalos. Suponhamos, por exemplo, que a quantidade de cálcio no terreno também possa ser determinante na pro-dução. Nesse contexto, a técnica estatística utilizada, chamada de análise de regressão múltipla, poderá exigir que se opere com intervalos.

Outras técnicas matemáticas podem ser empregadas em estudos pare-cidos com este, em que se deseja maximizar uma certa função, técnicas de pesquisa operacional, como programação linear, também exigem que se faça estudos sobre intervalos.

No contexto deste curso, o domínio do conteúdo de intervalos e de ope-rações com intervalos ajudará imensamente no estudo de funções, limites e derivadas.

Conceitos e regras

Intervalos Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os seguintes subconjun-

tos de R chamados intervalos.

Intervalos finitos

(a, b) = {x em R: a < x < b}, [a, b) = {x em R: a ≤ x < b}

(a, b] = {x em R: a < x ≤ b}, [a, b] = {x em R: a ≤ x ≤ b}

Intervalo fechado nos extremos a e b:

[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

Exemplo 1:

[ 7, 9 ] = {x ∈ R | 7 ≤ x ≤ 9}

7 9R


Intervalos

105

Intervalo fechado em a e aberto em b:

[a, b [ = {x ∈ R | a ≤ x < b}

Exemplo 2:

[ 7, 9 [ = {x ∈ R | 7 ≤ x < 9}

7 9R

Intervalo aberto em a e fechado em b:

] a, b ] = {x ∈ R | a < x ≤ b}

Exemplo 3: ] 7, 9 ] = {x ∈ R | 7 < x ≤ 9}

7 9R

Intervalo aberto em a e b:

]a , b [ = {x ∈ R | a < x < b}

Exemplo 4: ] 7, 9 [ = {x ∈ R | 7 < x < 9}

7 9R

Geometricamente, podemos visualizar os quatro tipos de intervalos com extremidades finitas, pondo-se um círculo vazio onde não vale a igualdade e um círculo preenchido onde vale a igualdade.

a b

a b

a b

a b

Intervalos infinitos

Definiremos o intervalo (a, ∞) ou ]a, ∞[ como o conjunto de todos os nú-meros reais maiores do que a, isto é:

(a, +∞) = {x em R: x > a}

] n, +∞ [ = {x ∈ R | x > n}

Exemplo 5:

] 9, +∞ [ = {x ∈ R | x > 9}

9R


106

Intervalos

Definiremos o intervalo [a, ∞) como o conjunto de todos os números reais maiores ou iguais a a, isto é:

[a, +∞) = {x em R: x ≥ a}

[ n, +∞ [ = {x ∈ R | x ≥ n}

Exemplo 6:

[ 9, + ∞ [ = {x ∈ R | x ≥ 9}

9R

Definiremos o intervalo (–∞, a) como o conjunto de todos os números reais menores do que a, isto é:

(–∞, a) = {x em R : x < a}

] – ∞, n [ = {x ∈ R | x < n}

Exemplo 7:

] – ∞, 9 [ = {x ∈ R | x < 9}

9R

Definiremos o intervalo (–∞, a] como o conjunto de todos os números reais menores ou iguais a a, isto é:

(– ∞, a ] = {x em R : x ≤ a}

] – ∞, n ] = {x ∈ R | x ≤ n}

Exemplo 8:

] – ∞, 9 ] = {x ∈ R | x ≤ 9}

9R

Geometricamente, podemos visualizar os quatro tipos de intervalos com extremidades infinitas.

a

a

a

a

Uma notação comum é R = (–∞,+∞). Temos também:

[ a, + ∞ [ = {x ∈ R | x ≥ a}

] – ∞, b ] = {x ∈ R | x ≤ b}


Intervalos

107

Observação:

– ∞ � e + ∞ não são números reais; apenas fazem parte das notações de intervalos ilimitados.

Qualquer intervalo de extremos � a e b, com a ≠ b, contém números ra-cionais e irracionais.

Operações com intervalosComo intervalos são subconjutos de R, é possível fazer operações com

eles. As operações de interseção, união, diferença e complementar são as operações básicas que podem ser realizadas.

Interseção

Sejam dois conjuntos A e B definidos como intervalos, a interseção entre os conjuntos será o intervalo em que A está definido e B também, devendo--se levar em consideração nas operações com intervalos onde eles são aber-tos e onde eles são fechados.

Exemplo 1

Sejam os conjuntos A e B definidos nos seguintes intervalos:

A = { x Є R | –1 < x < 1} e B = [0,5), determine A ∩ B.

A

B

A ∩ B

50

0 +1

+1–1

União

Sejam dois conjuntos A e B definidos como intervalos, a união entre os conjuntos será o intervalo em que A está definido mais o intervalo em que B está definido.

Exemplo 2


A = { x Є R | –1 < x < 1} e B = [0,5), determine A ∪ B.


108

Intervalos

A

B

A ∪ B

50

0 +1

+1–1

Diferença

Sejam dois conjuntos A e B definidos como intervalos, a diferença entre os conjuntos será o intervalo em que A está definido e B não.

Exemplo 3


A = { x Є R| –1 < x < 1} e B = [0,5), determine A – B.

A

B

A – B

50

0 +1

+1–1

Complementar

Seja o conjunto A definido como intervalo, o complemento de A será o intervalo em que A não está definido.

Exemplo 4

Seja o conjunto A definido no seguinte intervalo:

A = { x Є R | – 1 < x < 1}, determine A complementar.

A

Ac

+1–1

Desigualdade e seus conjuntos de soluçãoUma desigualdade ou inequação é uma expressão matemática rela-

cionando duas quantidades. Essas quantidades se relacionam através de desigualdades (> ou <) ou semidesigualdades (≥ ou ≤).


Intervalos

109

A primeira desigualdade é chamada de desigualdade estrita e envolve a condição “maior que” ou “menor que”. A outra desigualdade envolve as con-dições “igual a ou maior que” ou “igual a ou menor que”. Exemplos de desi-gualdades são:

3x + y ≥ 15 x ≤ y + 5 x2 + 3 > 12 x + y < x – 5

Propriedades das desigualdades ou inequações

Para quaisquer números reais a, b e c valem as seguintes propriedades para as desigualdades:

se � a > b, então a + c > b + c (a direção da desigualdade permanece se a mesma constante é adicionada em ambos os lados da desigualdade);

se � a > b e c é positivo, então ac > bc (a direção da desigualdade per-manece se ambos os lados da desigualdade forem multiplicadas pela mesma constante positiva);

se � a > b e c é negativo, então ac < bc (a direção da desigualdade é re-vertida se ambos os lados forem multiplicados pela mesma constante negativa).

Resolvendo desigualdades ou inequações

Resolver uma desigualdade significa encontrar todos os valores para as variáveis que tornarão a declaração verdadeira. Esses valores constituem o conjunto solução para a desigualdade. Desigualdades, como equações, são resolvidas pela obtenção de uma série de desigualdades equivalentes até obtermos uma desigualdade com um conjunto solução óbvio.

Exemplo 1

Encontre o conjunto solução para a desigualdade: 4 + 3x ≤ 6 + x.

Procedemos da seguinte forma:

4 + 3x ≤ 6 + x

4 + 3x – x ≤ 6 + x – x (adicionando – x de ambos os lados)

4 + 2x ≤ 6 (realizando as somas dos termos semelhantes)

4 + 2x – 4 ≤ 6 – 4 (adicionando –4 de ambos os lados)


110

Intervalos

2x ≤ 2 (realizando as somas)

2x (1/2) ≤ 2(1/2) (multiplicando cada lado por ½)

x ≤ 1 (realizando o produto)

1

O conjunto solução para a desigualdade consiste em todos os valores de x na reta real, tal que x ≤ 1.

Exemplo 2

Encontre o conjunto solução para

32

4x

x>

+

Para resolver a desigualdade, devemos multiplicar ambos os lados por x + 4. Agora, a quantidade (x + 4) pode ser positiva, ou pode ser negativa. Os dois casos devem ser considerados separadamente.

a) Se (x + 4) > 0 (ou x > –4)

( ) ( )3

4 2 44

x x xx

+ > ++

3x > 2x + 8

3x – 2x > 8

x > 8

O resultado x > 8 é compatível com x > –4. Essa solução é, portanto, x > 8.

b) Se (x + 4) < 0 (ou se x < –4)

( ) ( )3

4 2 44

x x xx

+ < ++

3x < 2x + 8

3x – 2x < 8

x < 8

O resultado x < 8 é compatível com a condição x < –4 somente se o inter-valo –4 ≤ x < 8 é excluído. Essa solução é, portanto, x < –4.

O gráfico do conjunto solução se encontra a seguir. Ele consiste de dois segmentos de reta que não se interceptam, consistindo de todos os pontos na reta real exteriores ao intervalo fechado –4 ≤ x ≤ 8.


Intervalos

111

a.

b.

+4–4 +8


Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em latim é Cartesius, daí vem o nome cartesiano.

René Descartes nasceu na França, de família nobre, recebeu suas primei-ras instruções no colégio jesuíta de La Flèche, graduando-se em Direito, em Poitier. Foi participante ativo de várias campanhas militares, como a de Mau-rice, o Príncipe de Nassau, a do Duque Maximiliano da Baviera e a do exérci-to francês no cerco de La Rochelle. Foi amigo dos maiores sábios da época, como Faulhaber, Desargues e Mersenne e é considerado o “Pai da Filosofia Moderna”.

Em 1637, escreveu seu mais célebre tratado, o “Discurso do Método”, onde expõe sua teoria de que o universo era todo feito de matéria em movimen-to e qualquer fenômeno poderia ser explicado através das forças exercidas pela matéria contígua. Esta teoria só foi superada pelo raciocínio matemático de Newton. Suas ideias filosóficas e científicas eram muito avançadas para a época, mas sua matemática guardava características da antiguidade, tendo criado a Geometria Analítica numa tentativa de volta ao passado.


Atividades de aplicaçãoEm relação aos intervalos de números reais A = ]–5, 5[ e B = [3, +6[, julgue como verdadeiro ou falso os exercícios de 1 a 5.

1. A ∩ B = [3, 5[.

2. {3, 6} ∈ A.


112

Intervalos

3. –5 ∈ A.

4. 3 ∉ B.

5. A ∪ B = ]–5, 3].

Dados os conjuntos A = [2,5] e B = (3,6], calcule:

6. Complemento de A.

7. Complemento de B.

8. A ∪ B.

9. A ∩ B.

10. Complemento de A ∪ B.

11. Complemento de A ∩ B.

Resolva as seguintes inequações:

12. 4 – 2x ≥ x – 10.

13. 4x – 2(–2x + 1) < 3 – (6 – x).

14. + >3x

3 x5

.

15. ( )--- £

3 x 22x 30

2 6.

Gabarito atividades de aplicação1. Verdadeiro.

2. Falso.

3. Falso.

4. Falso.

5. Falso.

6. Ac = (–∞,2) ∪ (5,∞)

7. Bc = (–∞,3] ∪ (6,∞)


8. A ∪ B = [2,6]

9. A ∩ B = (3,5]

10. A ∪ B = (–∞,2) ∪ [6,∞)

11. (A ∩ B)c = (–∞,3] ∪ (5,∞)

12. x ≤ 14/3

13. x < –1/7

14. x < 15/2

15. x ≤ 1

Atividades de revisão1. Para que valores é verdadeira a desigualdade 2x – 1 > 3 ?

a) x > 2.

b) x = 2.

c) x < 2.

d) x ≥ 2.

2. Do estudo de sinal da função ƒ(x) = x2 – 4– x + 1

, pode-se concluir que:

a) ƒ(x) < 0 para todo x.

b) ƒ(x) > 0 para –2 ≤ x ≤ 1 e x ≥ 2.

c) ƒ(x) < 0 para –2 ≤ x < 1 e x ≥ 2.

d) ƒ(x) < 0 para x ≥ – 2.

Gabarito atividades de revisão1. A

Resolução:

Temos que: 2x – 1 > 3 2x > 4 x > 2


114

Intervalos

2. C

Resolução:

Temos que: x2 – 4– x + 1

= (x – 2)(x + 2)– x + 1

,

Estudando os sinais de cada uma das partes:

(x + 2) – 2

Ou seja: (x + 2) < 0 para x < –2 (x + 2) > 0 para x > –2 (x + 2) = 0 para x = –2

(x – 2) 2

Ou seja: (x – 2) < 0 para x < 2 (x – 2) > 0 para x > 2 (x – 2) = 0 para x = 2

(– x + 1) 1

Ou seja: (– x + 1) < 0 para x > 1 (– x + 1) > 0 para x < 1

Note que ƒ(x) não está definida em 1, sendo aberta nesse ponto.

Efetuando o produto intervalo a intervalo, resulta:

ƒ(x) – 2 1 2

Assim: ƒ (x) < 0 para – 2 ≤ x < 1 e x ≥ 2 ƒ (x) > 0 para x ≤ – 2 e 1 < x ≤ 2



116

Intervalos


Estudo de funções

O problemaUm comerciante gastou R$300,00 na compra de um lote de maçãs. Como

cada maçã será vendida por R$2,00, ele deseja saber quantas maçãs devem ser vendidas para que haja lucro no final da venda.

Explorando o problemaO lucro que o comerciante pode obter como resultado final será a dife-

rença de quanto receberá pela venda das maçãs (receita) e o que gastou na compra das frutas (despesa). Aqui está se considerando somente o resultado da compra e venda das maçãs, sem levar em conta o rateio de seu custo fixo, que envolve toda a manutenção de seu estabelecimento, eventuais empre-gados, conservação das frutas etc.

Essa situação mais simples pode então ser expressa por:

Lucro = Receita – Despesa

Da forma como o problema foi colocado, a despesa realizada na compra do lote de maçãs é fixa e igual a um valor estipulado “a = 300”. Assim, de uma forma mais geral, pode-se estabelecer a relação:

Lucro = Receita – aCada maçã será vendida por R$2,00, digamos que esse valor pode ser ex-

presso de uma maneira geral pela letra “b”, caso ele mude o valor de venda de cada maçã. Então, se ele vender três maçãs, sua receita será igual 3 x R$2,00 = R$6,00. De forma genérica, o valor da receita para a venda de três maçãs será 3.b. Se vender x maçãs, sua receita será b.x reais.

A receita pode ser expressa de forma genérica para esse problema como:

Receita = b . xDessa forma, como o lucro é igual à receita menos despesa, ele será:

Lucro = b . x – aO que varia na equação do lucro é a quantidade “x” de maçãs vendidas.



118

Estudo de funções

Equacionando o problemaO problema que está sendo discutido relaciona por meio de uma equa-

ção o lucro como uma função que depende do número de maçãs vendidas. O lucro é função da variável “x” e dos parâmetros fixos “a” e “b”. Podemos definir o lucro com a letra L e como função de x, expressa comumente como f(x), e sua expressão será:

L = f(x) = bx – a

Essa expressão que relaciona o lucro com a quantidade de maçãs vendi-das é a equação de uma reta que será estudada em detalhes neste capítulo.

O estudo do comportamento dessa reta fornecerá a chave para a compre-ensão do fenômeno analisado, além de responder a questão da quantidade de maçãs a serem vendidas para que se obtenha o lucro esperado que será tanto maior quanto maior for a diferença entre a receita obtida com a venda das frutas e a despesa realizada para comprá-las.

Como nesse problema, muitos outros problemas envolvem duas ou mais variáveis. Uma variável que tem seu comportamento determinado por uma outra variável ou por mais de uma variável é denominada de variável depen-dente, ou de resposta, e no geral é colocada no eixo y de coordenadas. A outra variável, chamada de independente, é colocada no eixo x.

A demanda depende do preço, o salário pode depender das horas traba-lhadas, a produção de um vegetal pode depender da quantidade de adubo colocado no solo, as vendas podem depender da quantidade investida em propaganda, e assim por diante. Para todas essas relações de dependência é possível a construção de um modelo matemático que as explique. Natu-ralmente, os modelos matemáticos propostos serão sempre uma aproxi-mação da realidade, mas essa aproximação pode ser tão boa que possibilite ao pesquisador entender o fenômeno em estudo e inclusive fazer algumas previsões.

A relação entre essas quantidades é normalmente expressa por esse modelo matemático que terá como expressão analítica uma função.

Conceitos e regrasO estudo das funções é fundamental para a compreensão de fenômenos

que são expressos através de relações matemáticas. Essas relações podem


Estudo de funções

119

ser expressas de muitas formas, no geral o estudo é realizado de forma analí-tica (expressões matemáticas acompanhadas de seu estudo no plano carte-siano). Muitas vezes, no entanto, esse estudo é realizado via conjuntos.

A ideia de função através de conjuntosSejam dois conjuntos A e B relacionados de alguma forma, uma função é

definida se:

todos os elementos de A têm correspondente em B � ;

a cada elemento de A corresponde um único elemento em B � .

Observe, no entanto, que se dois elementos de A levarem a um único ele-mento de B, as duas regras acima não foram violadas e, portanto, podemos ainda assim ter uma função.

Exemplo 1

a) São funções:

a

b

c

d

1

2

3

A B

1

2

3

4

A B

D

B

C

A


120

Estudo de funções

1

2

3

A B

a

b

c

d

e

b) Não são funções:

a

b

c

d

1

2

3

A B

a

b

c

d

1

2

3

A B

Domínio, contradomínio e imagem

Dados dois conjuntos não vazios X e Y, uma função de X em Y, denotada f:X→Y é uma regra que diz como associar cada elemento x Є X a um único elemento y Є Y.


Estudo de funções

121

–3

–2

–1

0

D

CD

1

4

2

5

7

0

9

3

6

8

Imagem

O conjunto X é chamado domínio da função, D(f ) e o conjunto Y é cha-mado de contradomínio da função CD(f ). Para x Є X, o elemento y Є Y é chamado de imagem Im(f ) de x pela função f ou valor assumido pela função f no ponto x Є X e o representamos por f(x). Dessa forma, y = f(x). A função f transforma x de X em y de Y.

Exemplo 2

Dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, vamos estudar a função f:A→B que transforma x Є A em 3x Є B.

0

1

2

AB

0

1

2

3

4

5

6

Então f:A→B é definida por f(x) = 3x ou por y = 3x. Observe que para carac-terizar uma função é necessário conhecer seus três componentes: o domínio (A), o contradomínio (B) e uma regra que associa todo elemento de A a um único elemento de B.

Nesse exemplo, o domínio é A = {0, 1, 2} o contradomínio é B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e a regra é y = 3x.


122

Estudo de funções

O subconjunto de B formado por todas as imagens f(x) é chamado de con-junto imagem de A pela função f e é indicado por Im(f ). No exemplo dado, Im(f ) = {0, 3, 6}.

Exemplo 3

Seja a função f: R → R definida por y = x2. Nesse caso, a função f transforma todo número real x em um outro número real y, que é o quadrado de x. Como o quadrado de um número real é sempre um número real não negativo, isto é, é positivo ou nulo, então o conjunto imagem é Im(f ) = R+ = {y Є R | y ≥ 0}, o domínio é R, o contradomínio também é R e a regra que associa todo x Є R a um único y Є R é dada por y = x2.

X Y

0

1

4

–2

–1

0

1

2

No exemplo acima, se a função fosse definida com domínio em X = (–2, –1, 0, 1, 2) e com contradomínio em R tendo a mesma regra y = x2, tería-mos como Im(f ) o conjunto {0, 1, 4}, mantido o mesmo contradomínio.

Função injetoras, sobrejetoras e bijetoras função injetora

Uma função f:X→Y é injetora se quaisquer dois elementos distintos de X sempre possuem imagens distintas em Y, isto é:

x1 ≠ x2 implica que f(x1) ≠ f(x2)

ou de forma equivalente:

f(x1) = f(x2) implica que x1 = x2

Y

a

b

c

d

e

X

1

2

3


Estudo de funções

123

Exemplo 4

a) A função f:R→R definida por f(x) = 3x + 2 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois valores diferen-tes para f(x).

b) A função f:R→R definida por f(x) = x² + 3 não é injetora, pois para x = 1 temos f(1) = 4 e para x = –1 temos f(–1) = 4.

Função sobrejetora

Uma função f:X→Y é sobrejetora se todo elemento de Y é a imagem de pelo menos um elemento de X.

Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual a Y, que é o contradomínio da função, ou seja, para todo y Є Y existe x Є X, tal que y = f(x).

X

D

B

C

Y1

2

3

4

Exemplo 5

a) A função f:R→R definida por f(x) = 3x + 2 é sobrejetora, pois todo ele-mento de R é imagem de um elemento de R pela função.

b) A função f:R→ (0, ∞) definida por f(x) = x² é sobrejetora, pois todo ele-mento pertencente a (0, ∞) é imagem de pelo menos um elemento de R pela função.

c) A função f:R→R definida por f(x) = 2x não é sobrejetora, pois o número –1 é elemento do contradomínio R e não é imagem de qualquer ele-mento do domínio.

Função bijetora

Uma função f:X→Y é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

X Y

1

2

3

4

D

B

C

A


124

Estudo de funções

Exemplo 6

A função f:R→R dada por f(x) = 2x é bijetora, pois é injetora e sobrejetora.

Funções no plano cartesianoUma função f de X em Y é uma relação em X x Y, que associa a cada variá-

vel x em X, um único y em Y. Mantida a notação f:X→Y.

A função f:X→Y que transforma x Є X em y Є Y. Essa função pode ser com-preendida no plano cartesiano, conforme figura a seguir:

10

5

–5

–10

–10 –5 5 10

0

y

x

Aqui também vale:

Todo elemento de X deve ter correspondente em Y. �

Cada elemento de X só poderá ter no máximo um correspondente no con- �tradomínio Y.

Essas características nos informam que uma função pode ser vista geo-metricamente como uma linha no plano, contida em X x Y, que só pode ser “cortada” uma única vez por uma reta vertical, qualquer que seja esta reta.

Exemplo 1

a) São funções:

1

–5

–10

5

10

0

y

x0,5–0,5–1–1,5

0,4

0,8

0

y

x–1–2–3

0,6

0,2

0,6

0,2

0,4

0,8

321


Estudo de funções

125

b) Não são funções:

y

x

0–a a

x

y1

y2

a

–a

Domínio e imagem de uma função

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores da variável independente para o qual o valor da função pode ser calculado. Quando o domínio não for explicitado por restrição, entenderemos que ele será consti-tuído por todos os números reais para os quais a função for definida. Portan-to, domínio é verificado no eixo das ordenadas.

Exemplo 2

Determinar o domínio da função 5 –y x= .

A função acima só é definida para valores de x ≤ 5. Então, o domínio da função é definido no intervalo que vem de – ∞ até o valor 5, inclusive. Assim D(f ) = (–∞, 5]. O gráfico da função é apresentado abaixo.

0

y

x–5–10 105

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores da variável dependente. Portanto, a imagem é verificada no eixo y das abscissas.


126

Estudo de funções

Exemplo 3

Determinar a imagem da função 5 –y x= .

Pode-se observar que a imagem da função é constituída de todos os nú-meros reais não negativos. Esses são os valores que y pode assumir, assim Im(f) = [0,∞). Ver gráfico na página anterior.

Função de 1.º grauChama-se função de 1.º grau, ou função afim, qualquer função f de R em R

dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a ≠ 0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

Exemplo 4

a) f(x) = 7x –4, onde a = 7 e b = –4

b) f(x) = –2x – 5, onde a = –2 e b = –5

c) f(x) = 3x, onde a = 3 e b = 0

O gráfico de uma função polinomial de 1.º grau, y = ax + b, com a ≠ 0, é uma reta oblíqua aos eixos X e Y.

Exemplo 5

Seja a função y = 3x –1, como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los.

Para x = 0, temos y = 3 . 0 – 1 = –1; portanto, um ponto é (0, –1).

Para y = 0, temos 0 = 3x – 1; portanto, x =1/3 e outro ponto é (1/3, 0).

Marcamos os pontos (0, –1) e (1/3, 0) no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

X Y0 –11 3 0

–1

y

x1 3


Estudo de funções

127

O gráfico da função afim y = ax + b é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo X.

O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a . 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Y.

Equação da reta que passa por dois pontos

Na apresentação da função de 1.º grau, a forma analítica da função foi dada e a partir dessa expressão desenhamos a reta no plano cartesiano. Um problema muito comum em aplicações de cálculo consiste em determinar a forma analítica da reta a partir do conhecimento de dois de seus pontos.

Uma reta, y = ax + b, fica completamente definida pelos seus dois parâ-metros. O parâmetro “a ”, chamado de coeficiente angular da reta, é igual à tangente do ângulo θ que a reta forma com o eixo X, das coordenadas. O parâmetro “b”, chamado de coeficiente linear da reta ou intercepto, é o ponto em que a reta corta o eixo Y, das abcissas. Esse ponto é o valor de y quando x = 0. Veja que para x = 0, y = 0x + b, ou y = b.

O gráfico a seguir representa essa situação:

y

xb

θ

y = ax + b

O problema consiste em determinar a equação da reta que passa por dois pontos, (x1, y1) e (x2, y2), conforme gráfico a seguir:

x2

y1

y2

y

xx1

(x1, y1)

(x2, y2)


128

Estudo de funções

Se tomarmos um terceiro ponto genérico (x, y), podemos verificar que formamos dois triângulos retângulos com o mesmo ângulo q. Um triângulo com cateto oposto (y2 – y1) e cateto adjacente (x2 – x1) e um triângulo semelhan-te a esse com cateto oposto (y – y1) e cateto adjacente (x – x1).

x2

y1

y

y

xx1

(x1, y1)

(x2, y2)y2

x

(x, y)

q

q

Como sabemos, a tangente do ângulo θ para cada um dos triângulos é dada pela razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, ou seja:

tg θ = ( )( )

2 1

2 1

tg-

q=-

y y

x x da mesma forma que tg θ = ( )

( )1

1

tg-

q=-

y y

x x

Temos assim, por semelhança de triângulos, que:

( )( )

( )( )

1 2 1

1 2 1

- -=

- -

y y y y

x x x x

Operando essa igualdade obtemos:

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( )( )

2 11 1

2 1

2 11 1

2 1

2 1 2 11 1

2 1 2 1

x

-- = -

-

-= - -

-

é ù- -ê ú= - -ê ú- -ê úë û

y yy y x x

x x

y yy x x y

x x

y y y yy x y

x x x x

E, dessa forma, obtivemos a equação da reta, y = ax + b, que desejávamos, onde o coeficiente angular é dado por:

a = ( )( )

2 1

2 1

–a=

y y

x x–

e o coeficiente linear por:


Estudo de funções

129

( )( )

2 11 1

2 1

–– –

–

y yx y

x xb

é ùê ú= ê úê úë û

Exemplo 6

Encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (1, 5) e (4, 14). Essa reta tem, portanto, as seguintes coordenadas: x1 = 1, y1 = 5, x2 = 4 e y2 = 14.

Determinaremos inicialmente o coeficiente angular a.

2 1

2 1

( – ) (14 – 5) 93

( – ) (4 –1) 3

y yx x

a= = = =

E agora o coeficiente linear b, o ponto em que a reta corta o eixo y, ou o valor de y para x = 0.

( )( )

( )( )

( ) ( )2 11 1

2 1

– 14 – 5– – – 1– 5 – 3 – 5 – –2 2

– 4 –1

y yx y

x xb

é ù é ùê ú ê ú= = = = =ê ú ê úê úê ú ë ûë û

Logo, a equação da reta obtida é y = 3x + 2.

Vamos verificar se o resultado obtido está correto substituindo x por 1 e por 4, e verificando se os resultados serão 5 e 14.

Se x = 1, então y = 3(1) + 2 = 5. (Confere)

Se x = 4, então y = 3(4) + 2 = 14. (Também confere)

Assim, a equação da reta obtida está correta. É interessante verificarmos ainda que se x = 0, o valor de y obtido será y = 3(0) + 2 = 2, que é exatamente o valor do coeficiente angular, ou seja, o valor de y quando x = 0 é o ponto onde a reta corta o eixo Y.

0 2 4 6

20,0

15,0

10,0

5,0

0,0x

y

y = 3x + 2


130

Estudo de funções

Função quadrática

Chama-se função quadrática, ou função de 2.º grau, qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.

Exemplo 7

a) f(x) = 2x2 – 5x + 1, onde a = 2, b = –5 e c = 1

b) f(x) = x2 –2, onde a = 1, b = 0 e c = –2

c) f(x) = – x2 + 4x, onde a = –1, b = 4 e c = 0

d) f(x) = –3x2, onde a = –3, b = 0 e c = 0

O gráfico de uma função polinomial de 2.º grau, y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva chamada parábola.

Exemplo 8

Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x.

Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor corres-pondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

1 1,

2 4- -æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø

X Y–3 6–2 2–1 0

– 1 2

– 1 4

0 01 22 6

(–3, 6)

y

x

(2, 6)

8

6

4

2

0

(–2, 2)(1, 2)

(1, 0) (0, 0)

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notare-mos sempre que:

se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;

se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.


Estudo de funções

131

Equação de 2.º grau

Chama-se zeros ou raízes de uma função de 2.º grau f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Então, as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação de 2.º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

2– – . ..

=4

2b b a c

xa

±

Temos:

( ) ±= ∴ + + = ∴ =

22 – – 4 . .

f 0 02 .

b b a cx ax bx c x

aA quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor

obtido para o radicando Δ = b2 – 4 . a . c, chamado discriminante, a saber:

quando � Δ é positivo, há duas raízes reais e distintas;

quando � Δ é zero, há só uma raiz real;

quando � Δ é negativo, não há raiz real.

Funções cúbicasChama-se função cúbica, ou função de 3.º grau, qualquer função f de R

em R dada por uma lei da forma f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, onde a , b, c e d são números reais e a ≠ 0.

Exemplo 9

a) f(x) = x3, onde a = 3, b = c = d = 0

b) f(x) = –5x3, onde a = –5, b = c = d = 0

c) f(x) = 2x3 + x2 –5x + 4, onde a = 2, b = 1, c = –5 e d = 4

4

0

y

x–1–2

6

2

–6

–2

–4

21


132

Estudo de funções

O gráfico da função cúbica do exemplo (a) se assemelha a uma parábola tanto no primeiro como no terceiro quadrante, mas no primeiro os valores de f(x) são positivos e no terceiro os valores de f(x) são negativos.

Função modularA função modular é definida por f:R→R tal que f (x) = |x|, com domínio,

D(f) = R, contradomínio, CD(f) = R e imagem, Im(f) = [0, ∞) e seu gráfico é dado por:

y

x2 40–2–4–6

1

2

3

4

5

Função par e função ímparFunção par: Uma função real f é par se, para todo x do domínio de f, tem-se

que f(x) = f(–x). Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao eixo vertical Y.

Exemplo 10

A função f(x) = x² é par, pois f(–x) = x² = f(x). Observe o gráfico de f. Outra função par é g(x) = cos(x), pois g(–x) = cos(–x) = cos(x) = g(x).

y

x1 20–1–2

2

4

Função ímpar: Uma função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(–x) = –f(x). Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à origem do sistema cartesiano.

Exemplo 11

As funções reais f(x) = 5x e g(x) = sen(x) são ímpares, pois: f(–x) = 5(–x) = –5x = –f(x) e g(–x) = sen(–x) = –sen(x) = –g(x). Observe os gráficos a seguir para observar a simetria em relação à origem:


Estudo de funções

133

0,4

0,8

0

y

x–1–2–3

0,6

0,2

0,6

0,2

0,4

0,8

3211

–5

–10

5

10

0

y

x0,5–0,5–1

Função crescente e função decrescente

Função crescente: Uma função f é crescente se quaisquer que sejam x e y no Domínio de f, com x < y, tivermos f(x) < f(y). Isto é, conforme o valor de x aumenta, o valor da imagem de x pela função também aumenta.

Exemplo 12

Seja a função f:R→R definida por f(x) = 8x + 2. Para os valores: a = 1 e b = 2, obtemos f(a) = 10 e f(b) = 18. Como o gráfico de f é uma reta, a < b e f(a) < f(b) então a função é crescente.

–5

5

10

y

x

y aumenta

–1–2 2

y diminui

1

x aumenta

Função decrescente: Uma função f é decrescente, se para quaisquer x e y do Domínio de f, com x < y, tivermos f(x) > f(y). Isto é, conforme o valores de x aumentam, os valores da imagem de x pela função f diminuem.

Exemplo 13

Seja a função f:R→R definida por f(x) = –8x + 2. Para a = 1 e b = 2, obtemos f(a) = –6 e f(b) = –14. Como o gráfico de f é uma reta, a < b e f(a) > f(b), a função é decrescente.


134

Estudo de funções

Função composta

Dadas as funções f:A→B e g:B→C, a função composta de f com g, deno-tada por gof, é a função definida por (gof )(x) = g(f(x)). Gof pode ser lida como “g bola f”. Para que a composição ocorra o CD(f ) = D(g).

A B C

x f(x) g(f(x))f g

gof

Exemplo 14

Sejam as funções reais definidas por f(u) = 4u + 2 e g(x) = 7x – 4. As compo-sições fog e gof são possíveis e, neste caso, serão definidas por:

(fog)(x) = f(g(x)) = f(7x – 4) = 4(7x – 4) + 2 = 28x – 14

(gof )(u) = g(f(u)) = g(4u + 2) = 7(4u + 2) – 4 = 28u + 10

Como a variável u não é importante no contexto, ela pode ser substituída por x e teremos:

(gof )(x) = g(f(x)) = g(4x + 2) = 7(4x + 2) – 4 = 28x + 10

Em geral, fog é diferente de gof.

Exemplo 15

Consideremos as funções reais definidas por f(x) = x² + 1 e g(x) = 2x – 4. Então:

(fog)(x) = f(g(x)) = f(2x – 4) = (2x – 4)² + 1 = 4x² – 16x + 17

(gof )(x) = g(f(x)) = g(x²+1) = 2(x² + 1) – 4 = 2x² – 2

Função inversa

Dada uma função bijetora f:A→B, denomina-se função inversa de f à função g:B→A, tal que se f(a) = b, então g(b) = a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Denotamos a função inversa de f por f–1.


Estudo de funções

135

Observação importante: Se g é a inversa de f e f é a inversa de g, valem as relações:

gof = IA e fog = IB

onde IA e IB são, respectivamente, as funções identidades nos conjuntos A e B. Essa característica algébrica permite afirmar que os gráficos de f e de sua inversa de g são simétricos em relação à função identidade (y = x).

Exemplo 16

Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8, 10} e a função f:A→B definida por f(x) = 2x e g:B→A definida por g(x) = x/2, observemos nos gráficos as situa-ções das setas indicativas das ações das funções.

1

2

3

4

5

g(x) = x/22

4

6

8

10

A B

1

2

3

4

5

f(x) = 2x2

4

6

8

10

A B

Obtenção da inversa: Seja f:R→R, f(x) = x + 3. Tomando y no lugar de f(x), teremos y = x + 3. Trocando x por y e y por x, teremos x = y + 3 e isolando y obteremos y = x –3. Assim, g(x) = x –3 é a função inversa de f(x) = x + 3. Assim fog = gof = Identidade. Com o gráfico, observamos a simetria em relação à reta identidade:

0

y

x

Id

f

f–1


136

Estudo de funções

Operações com funções

Dadas as funções f e g, podemos realizar algumas operações, entre as quais:

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

(f–g)(x) = f(x) – g(x)

(f.g)(x) = f(x) . g(x)

(f/g)(x) = f(x)/g(x), se g(x) ≠ 0.


Leonhard Euler nasceu em 15 de abril de 1707 e morreu em 18 de setembro de 1783. Foi o matemático mais prolífico na história. Os 866 livros e artigos dele representam, aproximadamente, um terço do corpo inteiro de pesquisa em matemática, teorias físicas, e engenharia mecânica publicadas entre 1726 e 1800. Em matemática pura, ele integrou o cálculo diferencial de Leibniz e o método de Newton em análise matemática; refinou a noção de uma função; criou muitas notações matemáticas comuns, incluindo o e, i, o símbolo do pi e o símbolo do sigma; e pôs a fundação para a teoria de funções especiais, introduzindo as funções transcedentais beta e gama.

Euler nasceu em Basel, Suíça. Seu pai, um pastor, queria que o filho se-guisse os passos dele e o enviou para a Universidade de Basel para prepará--lo para o ministério, mas geometria se tornou logo o assunto favorito dele. Pela intercessão de Bernoulli, Euler obteve o consentimento de seu pai para mudar para a matemática. Depois de não conseguir uma posição de físico em Basel em 1726, ele se uniu a St. Academia de Ciência de Petersburg em 1727. Quando foram retidos capitais da academia, ele serviu como médico-tenente na marinha russa de 1727 a 1730. Ele se tornou o professor de Física na acade-mia em 1730 e professor de Matemática em 1733, quando ele casou e deixou a casa de Bernoulli. A reputação dele cresceu depois da publicação de muitos artigos e o seu livro Mechanica (1736-1737), que apresentou extensivamente pela primeira vez dinâmica Newtoniana na forma de análise matemática.

Em 1741, Euler se juntou à Academia de Ciência de Berlim, onde perma-neceu durante 25 anos. Em 1744, ele se tornou o diretor da seção de Mate-


Estudo de funções

137

mática da Academia. Durante sua permanência em Berlim, escreveu mais de 200 artigos, três livros em análise matemática, e uma popularização científica, Cartas para Princesa de Alemanha (3 vols., 1768-1772). Em 1755, ele foi eleito membro estrangeiro da Academia de Ciência de Paris; durante sua carreira ele recebeu 12 desses prêmios bienais prestigiosos.

Em 1766, Euler voltou à Rússia, depois de Catherine, a Grande fazer-lhe uma oferta generosa. Na ocasião, Euler estava tendo diferenças com Frederick, o Grande, em cima da liberdade acadêmica e outros assuntos. Frederick ficou enfurecido na partida dele e Lagrange foi convidado a substituí-lo. Na Rússia, Euler se tornou quase completamente cego depois de uma operação de catara-ta, mas pôde continuar com sua pesquisa e escrevendo. Ele teve uma memória prodigiosa e pôde ditar tratados em ópticas, álgebra e movimento lunar. Em sua morte, em 1783, ele deixou uma reserva vasta de artigos. A Academia de St. Petersburg continuou a publicá-los durante os próximos 50 anos.


Atividades de aplicação Diga se os seguintes diagramas 1 a 4 representam funções ou não:

1.

X

1

2

3

Y

a

b

c

d

e

2.

X

1

2

3

Y

a

b

c

d

e


138

Estudo de funções

3.

X

1

2

3

Y

a

b

c

d

e

4.X

1

2

3

4

Y

D

B

C

5. Na função y = x2, definida no diagrama a seguir, determine o domínio, o contradomínio e a imagem da função.

–3

–2

–1

0

D

CD1

4

2

5

7

0

9

3

6

8

6. Verifique se as seguintes funções são injetoras:

a) y = x + 2

b) y = x4

7. Verifique se as seguintes funções são sobrejetoras:

a) y = 2x –1

b) y = x2 + 3


Estudo de funções

139

8. Verifique se as funções dos exercícios 6 e 7 são bijetoras.

9. Verifique quais dos gráficos abaixo representam uma função de x em y:

a) b)

c) d)

10. Determine o domínio e a imagem da função = -y 9 3x .

11. Faça o gráfico da função y = 3x –10.

12. Determine a equação da reta que passa pelos pontos (2, 4) e (3, 7).

13. Faça o gráfico da função y = 3 – 2x2. Essa é uma função quadrática?

14. A função y = x2 é uma função decrescente. Verdadeiro ou falso?

15. A função y = x2 é uma função par. Verdadeiro ou falso?

Gabarito atividades de aplicação1. Não.

2. Não.

3. Sim.

4. Sim.

5. Domínio = {–3, –2, –1, 0}. Contradomínio = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Imagem = {0, 1, 4, 9}.


140

Estudo de funções

6.

a) Sim.

b) Não.

7.

a) Sim.

b) Sim.

8.

a) Sim.

b) Não.

a) Sim.

b) Não.

9. Somente b e d representam uma função de x em y. Ver explicação completa na página 104.

10. D(f ) = (–∞, 3]. Porque qualquer número maior do que 3 faria com que a equação resultasse na raiz de um número negativo. Im (f ) = (–∞, 0].

11. y = 3x – 10

–10 –5 5 10

10

5

0

–5

–10

–15

–20

–25

–30

y

x0

12. 1.º: Usamos a fórmula do coeficiente angular e calculamos o valor de a:

a

y y

x xa a a=

−( )+( )

⇒ =−( )−( )

⇒ = ⇒ =2 1

2 1

7 4

3 231

3

2.º: Com o valor de a, calculamos o valor de b, escolhendo valores de y e x (que foram dados):

y = ax + b 4 = 3 . 2 + b 4 = 6 + b b = 4 – 6 b = – 2

3.º: Substituindo a e b na equação da reta, teremos: y = 3x – 2.


Estudo de funções

141

13. Sim. A função y = 3 – 2x2 é uma função quadrática. y

x

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–3 –2 –1 1 2 30

14. Falso.

15. Verdadeiro.

Atividades de revisão1. Determine a equação da reta que passa pelos pontos (0, 2) e (2, –2).

a) y = – 2x – 2.

b) y = 2x + 2.

c) y = – 2x + 2.

d) y = – 2x.

2. Calcule os zeros da função ƒ(x) = 2x2 + 5x – 3.

a) – 12

e 3

b) 0 e 12

c) 12

e – 3

d) 12

e 3


142

Estudo de funções

3. Descreva o domínio da função ƒ(x) = x+1x + 3

.

a) { x | x = –1 e x ≠ – 3 }.

b) { x | x < –1 e x ≠ – 3 }.

c) { x | x ≥ –1 e x ≠ – 3 }.

d) { x | x ≥ –1 e x = – 3 }.

Gabarito atividades de revisão1. C

Resolução:

A equação de toda reta é dada por: y = ax + b.

Substituindo: 2 = a . 0 + b – 2 = a . 2 + b

0a + b = 2 2a + b = – 2

Da primeira linha do sistema, conclui-se: b = 2.

Substituindo esse resultado na segunda linha: 2a + 2 = – 2 2a = – 4 a = –2.

Assim, a equação da reta pedida é: y = – 2x + 2.

2. C

Resolução:

Fórmula de Bhaskara: x = – b ± ∆2a

, onde: ∆ = b2 – 4ac.

Cálculo de Δ: Δ = 52 – 4 . 2 (–3) = 25 + 24 = 49

Assim: x = – 5 ± 492 . 2

= – 5 ± 74

= 12

– 3

3. C

Resolução:

Tomemos ƒ(x) = g(x)

h(x), onde g(x) = x + 1

h(x) = x + 3.


Estudo de funções

143

O domínio de ƒ(x) é o intervalo em que as funções g(x) e h(x) estão defini-das simultaneamente (i.e., a interseção dos domínios de g(x) e h(x) ou ainda D(ƒ) = D(g) D(h)).

O domínio de g(x) é tal que x + 1 ≥ 0 x ≥ – 1.

O domínio de h(x) é tal que x + 3 ≠ 0 x ≠ – 3.

O domínio de ƒ(x) será então: D(ƒ) = { x | x ≥ –1 e x ≠ – 3 }.



Limites

O problemaUma empresa deseja fazer aplicações em propaganda para aumentar a

venda de um de seus novos produtos. Por experiências anteriores, seus di-retores sabem que o retorno de vendagem aumenta pouco nos primeiros dias, logo em seguida tem um crescimento muito rápido e depois tende a estabilizar em um certo patamar. Eles desejam fazer uma previsão de que valor é esse para poderem estudar quanto tempo devem investir em propaganda.

Explorando o problemaO problema do tempo de investimento em propaganda do novo produ-

to pode ser descrito conforme uma função com o comportamento de uma curva como a do gráfico:

1,1

0,9

0,7

0,5

0,3

0,1

–0,140 60 80 100 120 140 160

y = exp (–10 + 0,1*x)/(1 + exp (–10 + 0,1*x))y

x

No eixo X das abscissas está o tempo de apresentação do produto através de propaganda e no eixo Y das ordenadas está a quantidade de produtos vendidos. O que se observa no gráfico é que, por mais tempo em que se invista em propaganda, há um limite de retorno.



146

Limites

Essa função é conhecida como função logística e é muito útil em estudos nas áreas de administração e economia. Através dela pode-se estimar, por exemplo, o crescimento de uma nova cidade, como as que foram criadas em torno da represa de Itaipu. Estudos de demanda de novos produtos também costumam acompanhar esse tipo de crescimento.

Equacionando o problemaA forma mais comum da expressão matemática da função logística que

expressa o crescimento cumulativo é dado pela função abaixo:

+bt( )1+ -d=

ex t Mx(t)

Nessa equação, x(t) representa o crescimento cumulativo da grandeza x em função do tempo, b é uma constante para ajustar o processo no tempo, M é o limite máximo de x(t) e δ é a taxa que traduz a capacidade de crescimento do sistema. Devido à universalidade de aplicações dessa equação, as quanti-dades x e M, assim como a taxa de crescimento δ, podem ser vistas de várias formas. M também é referido normalmente como a capacidade do nicho, ou seja, a capacidade limite do sistema, o valor de x(t) no fim do crescimento, equação expressa então o fato de que a taxa de crescimento da população, dx/dt, em um instante t arbitrário, é proporcional ao tamanho da população e ao tamanho do nicho que falta preencher naquele instante.

A função logística expressa pela equação costuma também ser designa-da como lei universal do crescimento. Sua aplicabilidade como ferramenta matemática para a descrição do crescimento de populações em geral foi de-monstrada nos anos 20 pelo estatístico e zoólogo americano Raymond Pearl (1925), razão pela qual a equação logística é também às vezes referida como equação de Pearl.

O problema colocado sugere que se calcule o valor de M. Esse valor será dado aplicando o limite na função logística quando o valor de t tender para o infinito.

bttlim

1 -d+®¥ +eM

Conceitos e regrasUm limite é um conceito matemático rigorosamente definido. É um con-

ceito fundamental para modelos quantitativos usados em vários campos de estudo.


Limites

147

Basicamente, estaremos preocupados com o que acontece com o valor da variável dependente f(x) quando os valores da variável independente x se aproxima de uma certa constante a.

Vamos considerar, por exemplo, a função f(x) = x + 2 e verificar o que acon-tece com os valores de f(x) quando os valores de x se aproximam de 2. A tabela a seguir descreverá essa situação:

x 1,9 → 1,99 → 1,9999 → 1,9999 2,0001 ← 2,001 ← 2,01 ← 2,1

f (x) = x + 2 3,9 → 3,99 → 3,9999 → 3,9999 4,0001 ← 4,001 ← 4,01 ← 4,1

Claramente, quando x se aproxima cada vez mais de 2, f(x) se aproxima cada vez mais de 4. Nós chamamos o número real L aproximado por f(x) quando x se aproxima de uma constante específica a de o limite de f(x) quando x tende para a, e simbolizamos como:

( )x

xa

f L=

Alguns pontos importantes a respeito do limite de uma função precisam ser enfatizados:

o conceito de limite de uma função quando � x tende para a não pode ser confundido com o conceito do valor da função quando x = a;

o limite quando � x tende para a pode existir, e a função pode ser defini-da em a ou não;

a função pode ser definida para � a e o limite pode ou não existir;

o limite quando � x tende para a pode existir e a função pode ser defini-da para a, e seus valores podem ser os mesmos ou não;

geralmente, � x pode tender para a pelos dois sentidos, através de valo-res menores que a ou através de valores que são maiores que a;

o limite L deve ser um número finito. �

Limite pela direita e limite pela esquerdaQuando a variável x tende para x = a, mas sempre permanece menor que

a, dizemos que x tende para a pela esquerda. Se o valor de f(x) se aproxima cada vez mais de um número real L– quando x tende para a pela esquerda, dizemos que L– é o limite pela esquerda e empregamos o símbolo:

( )x

xa

f L=–


148

Limites

Exemplo 1

Seja f(x) = x – 1, calcule o limite pela esquerda de f(x) quando x tende para 3. Somente aqueles valores de x à esquerda de a são usados para determinar o limite.

f(2,9) = 1,9

f(2,99) = 1,99

[...]

f(2,999...) = 1,999...

Os valores de f(x) se aproximam cada vez mais para o número 2, e pode-mos escrever:

( )x 3lim 1 2

-®= - =L x-

Da mesma forma, o limite à direita de uma função f(x) quando x tende para a é o valor L+, para o qual f(x) converge quando x tende para o ponto x = a pela direita, mas sempre permanece maior que a. Simbolizamos esse limite como:

f( )+

=x alim x L®

+

No exemplo anterior podemos verificar que também ( )+

+ = – =x 3lim x 1 2L®

.

y

x0

1

2

3

1 2 3 4

x 3lim ( 1) 2

+– =x

Limite inexistente

Surge, então, a questão: os valores de f(x) sempre tenderão ao número real L quando x tende para a, seja pela esquerda ou pela direita? A resposta é não. Veja o exemplo a seguir:

Exemplo 2

Seja a função ( )fxxx

= , determine o limite de f(x) quando x tende para 0.


Limites

149

Módulo de x:

, se 0, se 0

ì ³ïï=íï- £ïî

x xx

x x

x –0,1 → –0,01 → –0,001 0,001 ← 0,01 ← 0,1

( )f =x

xx

–1 → –1 → –1 1 ← 1 ← 1

Na medida em que x se aproxima de zero pela esquerda e pela direi-ta, os valores de f(x) não convergem para um único número real, porque (L– = –1) ≠ (L+ = 1), e escrevemos:

x 0lim®

xx

não existe

y

x

1

–1

f(a) não definida

A existência de um limite quando x tende para a não requer que a real-mente esteja no domínio da função. O conceito de limite requer somente que a função seja definida quando x se aproxima de a. É possível que f possa não ser definida no próprio ponto x = a.

Exemplo 3

Considere a função definida por

( )4 para 4

4 para 4

ì - <ïï=íï - >ïîf

x xx

x x

x 3,9 → 3,99 → 3,999 x 4,1 → 4,01 → 4,001

f(x) = 4 – x 0,10 → 0,01 → 0,001 f(x) = x – 4 0,10 → 0,01 → 0,001

O ponto x = 4 não está no domínio da função. Ainda assim os limites à direita e à esquerda existem:

( ) ( )x 4 x 4

L lim 0 e L lim 0- +

- +

® ®= = = =f fx x


150

Limites

E assim,

( )x 4lim 0®

=f x

Propriedades úteis para a avaliação de limitesVimos nos exemplos anteriores que muitos dos limites puderam ser de-

terminados simplesmente pela avaliação de f(a). No entanto, muitas vezes f(a) não é definida ou existe um “salto” na função no ponto x = a. Nesses casos, teremos que usar métodos um pouco mais elaborados para determinar o limite.

As seguintes propriedades serão úteis na avaliação de limites.

Para um número real a, assumindo que ( ) ( )x xlim e lim® ®a a

f gx x existem, então:

Para qualquer constante real k, �xlim®a

k = k .

Para qualquer número real n, � xlim®

n n

a=x a

.

( ) ( )n nx xlim lim® ®

=a a

f fx x � se a raiz for definida.

( ) ( )x xlim k k lim® ®

=a a

f fx x � .

( ) ( ) ( ) ( )x x xlim lim lim® ® ®

é ù+ = +ë ûa a af g f gx x x x � .

( ) ( ) ( ) ( )x x xlim lim .lim® ® ®

=a a a

f .g f gx x x x � .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x xlim lim / lim se lim 0® ® ® ®

é ù = ¹ë ûa a a af /g f g gx x x x x � .

Exemplo 1

a) ( ) ( )22 2

x 2 x 2 x 2 x 2lim 3 8 lim3 lim lim8 3 2 2 8 12 2 8 18® ® ® ®

- + = - + = - + = - + =x x x x

b) ( )( ) ( ) ( )

( )( )2 2

x 2 x 2 x 2

2

x 2 x 2 x 2 x 2

2

lim 3 1 4 3 lim 3 1 lim 4 3

lim3 lim1 lim4 lim3

(3(2) 1)(4(2) 3) (12 1)(8 3)13 . 5 65

? ? ?

? ? ? ?

+ – = + – =

+ – =

+ – = + – ==

x x x x

x x


Limites

151

c) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( )x 2x 2 x 2 x 2

x 2 x 2 x 2 x 2

3lim lim 4lim 3 4 lim 3 4 3 2 4 2lim 1 lim 1 lim lim 1 2 1 3

®® ® ®

® ® ® ®

-- - -= = = =

+ + + +

xx x

x x x x

d) ( ) ( ) ( )x 3 x 3 x 3 x 3lim 2 3 lim 2 3 2lim lim3 2 3 3 9 3® ® ® ®

+ = + = + = + = =x x x

Quando o limite do denominador é igual a zeroDevemos observar que quando calculamos o limite, nós o calculamos

para quando x tende para a e não para x = a. Assim, muito embora a função possa não existir no ponto a, seu limite pode existir.

Essas situações nos levam a encontrar o limite do denominador igual a zero, ou uma indeterminação (numerador e denominador igual a zero (0/0)). Não podemos ser apressados nas conclusões. Devemos inicialmente tentar contornar o problema através de simples operações algébricas. Uma delas é tentar fatorar o numerador de tal forma que possamos dividir por uma nova expressão do tipo (x – a).

Exemplo 2

a) ( )( )

( )( )

2

x 2 x 2 x 2

2 24lim lim lim 2 2 2 4

2 2® ® ®

+ --= = + = + =

- -

x xxx

x x

Lembrar das regras de fatoração para ax2 + bx + c, como por exemplo x 2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2).

b)

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

x 0 x 0 x 0

x 0 x 0

3 31 13 3 3 3 13 3lim lim lim

3 3

1 1lim lim

3 9 93 3

® ® ®

® ®

- +- + - + æ ö+ ÷ç= = =÷ç ÷çè ø+

- -= =-

é ù ++ë û

xx xx

x x x x

xxx x

Limites envolvendo infinitoAté aqui trabalhamos com limites de funções que tinham a variável in-

dependente x tendendo para uma certa constante a. O que acontece se é permitido que a variável x cresça (ou decresça) sem limite? A expressão “x tende para o infinito” é usada para indicar que x não está se aproximando de nenhum número real, mas crescendo indefinidamente. Os seguintes símbo-los são usados:


152

Limites

x → ∞ indica que x cresce ilimitadamente através de valores positivos.

x → – ∞ indica que x decresce ilimitadamente através de valores negativos.

É importante lembrarmos que infinito não é um número real. Infinito re-presenta um conceito, não um ponto na reta real.

Por outro lado, há funções que quando x tende para um certo valor, parti-cularmente para zero, f(x) tende para infinito. As funções do tipo apresenta-do a seguir têm essas duas características acima:

Funções f(x) = ( ) 1= nf x

xExemplo 1

f(x) = ( ) 1= nf x

x,para n = 1

Quando x tende para zero, f(x) = ( )x 0

1lim®

=f xx

, a função definida por f(x)=( ) 1=f x

x.

Iremos analisar o comportamento numérico dessa função através das tabe-las a seguir.

Comportamento de f à esquerda de x = 0–

x –1 –0,1 –0,01 –0,001 –0,0001

f(x) –1 –10 –100 –1 000 –10 000

Quando x → 0, por valores menores que zero (x → 0–), os valores da função decrescem sem limite.

Comportamento de f à direita de x = 0+

x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001

f(x) 1 10 100 1 000 10 000

Quando x → 0, por valores maiores que zero (x → 0+), os valores da função crescem sem limite.

Baseado nesse exemplo, podemos afirmar que quando x tende a 0 essa função não tem valores que se aproximam de um limite bem definido.

+ −→ →= +∞ = −∞

x 0 x 0

1 1lim e lim

x x


Limites

153

1

0

y

x0,5–0,5–1

40

60

20

–60

–20

–40

0

Quando x tende para mais ou menos infinito, ( )x

1f limx

x→±∞= .

Analisaremos, agora, o comportamento de ( ) 1

1f x

x= , quando x cresce

arbi trariamente (x → ∞) ou quando x decresce arbitrariamente (x → – ∞).

Comportamento de f para x muito pequenos

x –1 –10 –100 –1 000 –10 000 –100 000

f (x) –1 –0,1 –0,01 –0,001 –0,0001 –0,00001

Comportamento de f para x muito grandes

x 1 10 100 1 000 10 000 100 000

f (x) 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

Pelas tabelas observamos que:

x x

1 1lim 0 e lim 0®+¥ ®-¥

= =x xn n

e quando construímos o gráfico de f, observamos que quando x tende para infinito, a curva se aproxima do eixo x sem nunca tocá-lo. Nesse caso, dize-mos que a curva é assíntota ao eixo x, ou assíntota horizontal.

Exemplo 2

f(x) = ( ) 1f =x

xn

Para n = 2

Quando x tende para zero, ( )x 0

1f lim

®=x

x 2 .


154

Limites

Ao analisar o comportamento numérico de ( ) 1f =x

x 2 , nas proximidades de x = 0, observamos que:

Comportamento de f à esquerda de x = 0

x 1 –0,1 –0,01 –0,001 –0,0001

f(x) 1 100 10 000 1 000 000 100 000 000

Comportamento de f à direita de x = 0

x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001

f(x) 1 100 10 000 1 000 000 100 000 000

E resulta no seguinte gráfico:

0

y

x

20

40

60

80

Observamos que se x → 0, por valores maiores ou menores do que 0, os valores da função crescem sem limite. Assim, podemos afirmar que quando x → 0 essa função tem os valores se aproximando de um limiar (infinito = ∞). Nesse caso, dizemos que não existe o limite de f(x)=1/x ² no ponto x = 0, mas denotamos tal fato por:

x 0

1lim®

=¥x 2

Costuma-se dizer que algumas funções têm limites infinitos e por causa deste limite, dizemos também que o gráfico dessa função tem uma assín-tota vertical.

Quando x tende para mais ou menos infinito, f(x) = ( ) ( )x x

1 1lim e lim®+¥ ®-¥

= =f fx x2 2x x e f(x) = ( ) ( )

x x

1 1lim e lim®+¥ ®-¥

= =f fx x2 2x x .

Observa-se nesses dois casos que:

x x

1 1lim lim®+¥ ®-¥

=x x2 2 =0 = 0


Limites

155

Exemplo 3

De modo similar, f(x) = –1/x ² apresenta um gráfico com todos os valores da imagem no intervalo (–∞, 0). O comportamento de f próximo de x = 0 é similar ao de f(x) = 1/x², porém os valores são negativos. Nesse caso, dizemos que não existe limite no ponto x = 0, no entanto representamos tal resultado por:

2x 0

1lim®

- =-¥x

O gráfico abaixo representa essa função:

0

y

x

–80

–60

–40

–200,5 1–1 –0,5

Alguns limites úteis em cálculo

xlim®+¥

=¥xn

xlim®¥

=¥xe x

lim 0®¥

=x–e

x

1lim 1®¥

æ ö÷ç + =÷ç ÷çè ø

x

xe

x

1lim®¥

-=

x

nax

a

x

1lim 1®¥

-=

x

xe

( )x

senlim 1®¥

=x

x

Observação importante

Quando no cálculo do limite de uma função aparecer uma das sete formas, que são denominadas expressões indeterminadas,

0 00, , , 0 . , 0 , , 1

0∞∞ ∞ − ∞ ∞ ∞

∞

nada se poderá concluir de imediato sem um estudo mais aprofundado de cada caso.


156

Limites

ContinuidadeDizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se

as seguintes condições são satisfeitas:

f( � a) é definida (isto é, o domínio de f inclui x = a).

( )limx a

x®

f � existe.

( ) ( )limx a

x a®

=f f � (quando x tende para a pela esquerda e pela direita).

Propriedade das funções contínuas

Se f(x) e g(x) são contínuas em x = a, então:

f( � x) ± g(x) é contínua em a;

f( � x) . g(x) é contínua em a;

f( � x)/g(x) é contínua em a se g(a) ≠ 0.

Exemplo

a) A função f(x) = (x2 –4)/(x –2) não é definida no ponto x = 2, portanto a função não é contínua.

b) ( )2 se 5

f3 5 se 5

ì £ïï=íï + >ïî

x xx

x x

é descontínua porque o limite, quando x tende para a, não existe.

c) ( )se 3

f1 se 3

ì ¹ïï=íï =ïî

x xx

x

é descontínua porque o limite de f, quando x tende para a, não é o valor de f em x = a.

d) f(x) = 1/x é descontínua porque o limite, quando x tende para 0, não existe e também porque a função não é definida quando x = 0.


Jean Le Rond d’Alembert nasceu em 17 de novembro de 1717 e morreu em 29 de outubro de 1783.


Limites

157

Foi o matemático e físico francês que desenvolveu as primeiras fases do cálculo, formalizou a nova ciência da mecânica, e foi o editor de ciência da Enciclopédia de Diderot. Com Diderot e Voltaire, foi uma das figuras principais do esclarecimento na França.

D ‘Alembert cresceu em Paris. Em 1741, ele foi admitido para a Academia de Ciência de Paris, onde trabalhou pelo resto de sua vida.

D’Alembert aparece com Daniel Bernoulli, Alexis Clairaut e Leonhard Euler como um dos principais cientistas de seu tempo. Ele foi um dos primeiros a entender a importância de funções e o conceito de limites para o cálculo, e também abriu caminho ao uso de equações diferenciais na Física.

Ajudou também a solucionar a controvérsia, em Física, sobre a conserva-ção de energia cinética, melhorando a definição de Newton de força no seu Traite de Dynamique (1742), que articula o princípio de d’Alembert de mecâ-nica. Ele também estudou hidrodinâmica, a mecânica de corpos rígidos, e o problema de três-corpos em astronomia.


Atividades de aplicação Encontre o limite das funções a seguir:

1. ( )x 3lim 3x 1®

+

2. x 0lim x®

3. ( )2

x 2lim x 1®

-

4. ( )3

x 2lim 2x®

-

5. x 2

2lim

x®

Encontre os limites pela esquerda e pela direita das seguintes funções e esboce o gráfico da função:

6. ( )3x 2 para x 2

f x10 x para x 2

ì + £ïïíï - >ïî


158

Limites

( )

-®x 2lim xf

( )

+®x 2lim xf

7. ( )ì - <ïïíï + ³ïî

x 1 para x 5x

x 1 para x 5f

( )

-®x 5lim xf

( )

+®x 5lim xf

8. O custo C(x) de produção de x unidades de um produto é dado por

( )

3x 2 500 para 0 x 5 000C x

19 000 3,5x para x 5 000

ì + £ £ïïíï + >ïî

Encontre ( )x 5 000

lim x®

C

Usando as regras de limites, encontre os limites a seguir:

9. x 3lim 1®

10. x 0

2lim

3®

11. 2

x 4lim x®-

12. ®-

2

x 1

xlim

2

13. ( )®

-4

x 2lim x 1

14. 2

x 2lim (2x 3)(2x 5)®

- +

15. ( )® -

2

3x 2

xlim

x 1

16. ( )( )®-

+ -

-

2

x 1

x 3x 4lim

2x 3

17. ( )( )®

+

-

2

x 2

x 5lim

x 1


Limites

159

18. ( )® +x 1

xlim

x 3

Encontre os limites a seguir:

19. ®¥xlim 17

20. ®¥xlim 5x

21. ®¥

x

xlim e

22. ( )®¥

-xlim 1 x

23. ®¥ -x

xlim

x 1

24. ( )

( )®¥

- +

-

2

x

x 5x 6lim

x 3

25. x

1lim 1

x®¥

æ ö÷ç + ÷ç ÷çè ø

26. 2

x

x 1lim

x 1®¥

--

Determine se as seguintes funções são contínuas ou não.

27. f(x) = x + 3 –10 ≤ x ≤ 10

28. =−

( )( 4)

xf x

x para todo x

29. 2

1( )

( 3)=

+f x

x para todo x

30. –1

(x 2)8

f(x)= para x 2

para x = 2

Gabarito atividades de aplicação1. lim

xx

→+( )

33 1

(3 . 3 + 1) (9 + 1) 10


160

Limites

2. 0

3. limx

x→

−( )2

2 1

(22 – 1) (4 – 1) 3

4. limx

x→

−( )2

32

(– 2 . 23) (– 2 . 8) –16

5. 1

6.

x f(x)0 21 52 83 74 6

9

8

7

6

5

4

3

2

1

–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5

x

y

0

x 2lim 8

–=

x 2lim 8

+→=

7. -®=

x 5lim 4

+®=

x 5lim 6 não existe

x y x y3 2 5 64 3 6 75 4 7 8


Limites

161

9

8

7

6

5

4

3

2

1

y

1 2 3 4 5 6 7 8

x0

8. x 5 000 x 5 000

lim 17 500 lim 36 500 não existe- +® ®= =

9. limx→3

1

(1) 1

10. limx→0

23

23

23

⇒

11. limx

x→−4

2

(–42) 16

12. limx

x→−1

2

2

−( )⇒

1

212

2

13. 15

14. limx

x x→

−( ) +( )2

22 3 2 5

(2 . 22 – 3) (2 . 2 + 5) (2 . 4 – 3) (2 . 2 + 5) (8 – 3) (4 + 5)

(5) (9) 45

15. limx

x

x→ −( )2

2

3 1


162

Limites

2

2 1

48 1

47

2

3 −( )⇒

−( )⇒

16. limx

x x

x→−

+ −( )−( )1

2 3 4

2 3

− + − −( )− −( )

⇒− −( )− −( )

⇒−( )−( )

⇒1 3 1 4

2 1 3

1 3 4

2 3

6

565

2 x

x

17. limx

x

x→

+( )−( )

+( )−( )

⇒+( )−( )

⇒( )( )

⇒

2

2

2

5

1

2 5

2 1

4 5

2 1

9

13

18. limx

xx→ +( )

+( )⇒ ⇒

1 3

11 3

14

12

19. 17

20. ∞

21. ∞

22. –∞

23.

indeterminado

limx

xx→∞ −

∞∞

⇒

1

24. lim

lim

x

x

x x

x

x x

xx

→∞

→∞

− +( )−( )

−( ) −( )−( )

⇒ −( )⇒ ∞

2 5 6

3

3 2

32

25. limx x→

+

+∅

⇒ ∞

01 1

1 1


Limites

163

26. lim

lim

x

x

x

x

x x

xx

→∞

→∞

−( )−( )

−( ) +( )−( )

⇒ +( )⇒ ∞

2 1

1

1 1

11

27. Para que uma função seja contínua, as seguintes condições devem ser satisfeitas:

f � (a) é definida, isto é, o domínio de f inclui x = a;

lim ( )x→∞

f x existe � lim ( )x→−

= − + = −10

10 3 7f x lim ( )x→−

= + =10

10 3 13f x ;

� limx a→

( ) = ( )f x f a (quando x tende a a pela esquerda e pela direita).

Resposta: Contínua.

28. Não contínua, para x = 4 → ( )®

= ® =x 4

4x 4 lim x

0f .

29. Contínua.

30. Não contínua.

Atividades de revisão1. Calcule lim

x 3x2 – 9x – 3

.

a) 3

b) 0

c) 6

d) 2

2. Calcule limx ∞

x3x – 8

.

a) 13

b) 0

c) ∞


164

Limites

d) – ∞

3. Calcule limx 0

sen(2x)sen(4x)

.

a) 0

b) 1

c) 2

d) 12


Resolução:

Como: x2 – 9 = (x – 3)(x + 3)

Temos: limx 3

x2 – 9x – 3

= limx 3

(x – 3)(x + 3)x – 3

= limx 3

(x + 3)

Assim: limx 3

x2 – 9x – 3

= limx 3

x + limx 3

3 = 3 + 3 = 6

2. A

Resolução:

Como: x3x – 8

= 13 – 8/x

e limx ∞

8x

= 0

Temos: limx ∞

x3x – 8

= limx ∞

13 – 8/x

= lim 1x ∞

lim 3 x ∞

limx ∞

8 x –

Assim: limx ∞

x3x – 8

= 13 – 0

= 13

3. D

Resolução:

Como: limx 0senx

x = 1

Temos:


Limites

165

limx 0sen(2x)sen(4x)

= limx 0sen(2x)sen(4x)

. 4x2x

. 2x4x

= sen(2x)2x

. 4xsen(4x)

. 24

=

limx 0

. 24

sen(2x)2x

sen(4x)4x

Assim: limx 0sen(2x)sen(4x)

=

limx 0

limx 0

. limx 0

24

sen(2x)2x

sen(4x)4x

= 11

. 24

= 12


166

Limites


Derivada de função

O problemaO produtor de uma mercadoria tem como padrão de produção x elemen-

tos dessa mercadoria em um mês. Ele pretende aumentar a sua produção porque a aceitação de seu produto no mercado tem sido muito boa. Mas para efeito de planejamento ele deseja saber qual será a variação no custo total devida à produção de uma unidade adicional.

Complementarmente, ele deseja verificar qual será a variação da receita total devida à venda de uma unidade a mais desse produto.

Explorando o problemaEm Economia, a variação de uma quantidade em relação a outra pode ser

descrita por qualquer de dois conceitos: o de média ou o de marginal.

O conceito de média expressa a variação de uma quantidade (custo, por exemplo) sobre um conjunto específico de valores de uma segunda quanti-dade (número de itens produzidos, por exemplo).

O conceito de marginal é a mudança instantânea na primeira quantida-de que resulta de uma mudança em unidades muito pequena na segunda quantidade.

Assim, se pensarmos em custo, no contexto acima poderemos raciocinar em termos de custo médio e custo marginal.

Se pensarmos em receita, podemos pensar em receita média e receita marginal.

O que é custo médio? Suponha que possamos construir uma função que expresse o custo total da fabricação de x pares de sapato e que essa função seja denominada por C(x). Uma função que represente o custo médio será, portanto, a razão entre o custo de x pares de sapato e o número de sapatos produzidos (x). Ou seja, C(x) / x, geralmente denotada por Q(x), e chamada de função de custo médio.



168


= ( )( )

xx

xC

Q

Ela informa quanto custou em média cada um dos x primeiros pares de sapato fabricados.

Já a função de custo marginal nos dirá quanto custará cada unidade adi-cional de par de sapato fabricado. Ela equivale, aproximadamente, a calcular C(x + 1) – C(x).

Ocorre, no entanto, que quando calcularmos o quanto custará a fabrica-ção do segundo par de sapato adicional, o valor C(x + 2) – C(x + 1) no geral não será o mesmo da diferença anterior.

O que nos interessa é saber quanto será o aumento pela produção de cada unidade adicional de novos pares de sapato. Esse custo adicional será fornecido pelo cálculo da função custo marginal, chamada de C’(x), que é exatamente o valor da derivada da função custo total no ponto x, conforme estudaremos em detalhes no desenvolvimento do capítulo.

Exatamente o mesmo raciocínio vale para as funções de receitas.

Equacionando o problemaSuponha que C(x) seja o custo total de produção de x unidades de certo

produto. A função C é chamada de função custo total. Como x representa o número de unidades de um produto, x tem que ser um inteiro não negativo. Podemos fazer, sem qualquer prejuízo, a suposição que x seja um número real não negativo. Essa suposição nos garantirá as condições de continui-dade de C, necessária para que possamos mais tarde aplicar conceitos de derivação.

O custo médio de produção de cada unidade do produto pode ser obtido pela razão entre o custo total e o número de unidades produzidas, como foi visto anteriormente, onde Q é chamado de função custo médio.

( )( )=

xx

xC

Q

Supondo agora que o número de unidades de uma determinada pro-dução seja x1, e que ela tenha sido alterada por Δx. Então a variação no custo total é dada por C(x1 + Δx) – C(x1), e a variação média no custo total em



169

relação à variação no número de unidades produzidas é dada por:

1 1DD

( + ) – ( )x xx

C C

O limite desse quociente quando Δx tende a zero é chamado de custo marginal. Esse limite é definido como a derivada da função de custo total C(x), denotada por C'(x).

1 1

D ®

DD

( + ) – ( )x x xxxx 0

C CC'( )=lim

Assim, C'(x) pode ser interpretada como a taxa de variação instantânea do custo total quando x1 unidades são produzidas.

Supondo que C(x) seja o custo total da fabricação de x pares de sapato e que seja dada pela expressão:

C(x) = 2 500 + 2x + 0,04x2

Então, a tabela 1 que se segue mostra quanto custaria fabricar x pares de sapato:

Tabela 1 – Taxa de variação instantânea do custo total quando x1 uni-dades são produzidas e custo médio de produção de cada unidade do produto

x (unidades)Produção

50 51 52 53 54 55

C(x) (em R$) 2 2 2 2 2 2

Custo total 700,00 706,04 712,16 718,36 724,64 731,00

Q(x) (em R$)Custo médio

54,00 53,06 52,16 51,29 50,46 49,65

Conceitos e regras

Diferenciação ou derivaçãoA operação para encontrar a derivada de uma função tem o nome diferen-

ciação. Dizemos que derivamos y = f(x) em relação à variável x.


170


O estudo da derivada foi motivado fundamentalmente para a construção da reta tangente a uma curva dada em um ponto A conhecido. A interpretação geométrica do conceito de derivadas vem a seguir:

y

x

f(x0 + Δx)

f(x0)x0 x0 + Δx

B

A

S

Figura 1 – Reta secante interceptando os pontos A e B.

Definiremos a derivada no ponto A com a utilização do processo-limite descrito a seguir. Considerando A um ponto fixo sobre a curva dada e um ponto B (Figura 1), o processo se inicia traçando-se uma reta secante (S) que intercepta os pontos A e B.

Considerando-se, ainda, que o ponto B não é fixo e move-se ao encontro do ponto A, sobre a mesma curva, a secante tenderá para uma posição limite, determinando a tangente (Figura 2).

Importante frisar que a aproximação vale para toda vizinhança, ou seja, vindo no sentido direito-esquerdo ou no sentido esquerdo-direito, implican-do necessariamente na existência da tangente.

y

x

Tangente

B1

B2

B3

A

Figura 2 – Interpretação geométrica da derivada.



171

Tendo em mente o conceito geométrico da derivada, é necessário, nesse momento, representar de forma analítica o processo limite proposto.

Suponhamos que em um intervalo aberto (a, b) existe uma função contí-nua y = f(x). Seu gráfico leva o nome de curva contínua π. Tomemos na curva π um ponto A = (x0, f (x0)) com o objetivo de determinar a tangente à curva π no ponto definido. Com este fim, vamos tomar outro ponto B = (x0 + Δx, f (x0 + Δx)), onde Δx ≠ 0 (na Figura 1 está expresso o caso de Δx > 0). Denominamos de secante S a reta que passa pelos pontos A e B e está orientada na direção de crescimento de x. O ângulo que S forma com a direção positiva do eixo x se designará como β. Consideramos que –π/2 < β < π/2. β será positivo quando o sentido dado for anti-horário.

Na figura mencionada, β > 0. Se Δx for igual ao segmento de reta AC (Δx = AC) e Δy = CB, temos que Δy/ Δx = tg β.

Se Δx 0, então Δy 0 e o ponto B tenderá ao ponto A. Se neste caso o ângulo β tender a um valor α, distinto de –π/2 e de π/2, então existe um limite,

0 0

0 0

f( ) f( )lim lim lim tg tgD ® D ® b®a

D +D -= = b= a

D Dx x

y x x xx x

igual a derivada (finita) f no ponto x:

f’(x) = tgα.

Portanto,

∆ →

+ ∆ −=

∆0 0

0

( ) ( )'( ) lim

x x xx

xx

f ff

Quando β tende a α, a secante S ocupa a posição da reta T que passa pelo ponto A e forma o ângulo α com a direção positiva do eixo x. A reta orientada T recebe o nome de tangente à curva π no ponto A.

Denomina-se tangente à curva π (y = f(x)) no ponto A = (x, f(x)) uma reta orientada T, a qual tende à secante S (uma reta orientada na direção de cres-cimento do eixo x) que passa por A e pelo ponto B = (x + Δx, f (x + Δx)) Є π, quando Δx 0.

Exemplo 1

Calcular a derivada da função f(x) = x3, no ponto x = 1.


172


Pela definição, temos:

∆ → ∆ →

∆ →

∆ → ∆ →

+ ∆ − + ∆ −= =∆ ∆

+ ∆ + ∆ + ∆ −=∆

∆ + ∆ + ∆= = + ∆ + ∆ =∆

3 30 0

0 0

3 2 2 3 3

0

2 22 2 2

0 0

f( ) f( ) ( )f '( ) lim lim

3 3lim

x(3 3 )f '( ) lim lim (3 3 ) 3

x x

x

x x

x x x x x xxx x

x x x x x x xx

x x x xx x x x x xx

Portanto, a derivada da função f (x) = x3, no ponto x = 1, é f ’(1) = 3, pois f’(x) = 3x2.

Dizemos que a função f é diferenciável (ou derivável) em seu domínio se a função for diferenciável em cada ponto do domínio.

Se a função f é diferenciável em x1, então f é contínua em x1.

Se a função f é diferenciável, significa dizer que as derivadas laterais exis-tem e são iguais, assim:

'0 0 0 00 0

0 0

f( ) f( ) f( ) f( )f ' ( ) lim lim f ( )

x x

x x x x x xx xx x+ −+ −

∆ → ∆ →

+ ∆ − + ∆ −= = =

∆ ∆

onde f’+ (x0) é a derivada à direita de f, e f’–(x0) é a derivada à esquerda de f, em x0.

Se a função f é diferenciável no ponto x0, então a função f é contínua em x0.

Exemplo 2

Seja a função f definida por f(x) = | x |

a) Esboce o gráfico da função f.

b) Mostre que a função f é contínua em x0 = 0.

c) f é diferenciável em x0 = 0?

Lembre-se de que, por definição, , se 0

f( ), se 0

ì ³ïï= =íï- <ïî

x xx x

x x.

y

x2 40–2–4–6

1

2

3

4

5

6

Figura 3 – Gráfico da função Valor Absoluto.



173

a) Sabe-se que uma função é contínua quando se verifica que

xlimf( ) f( ),x a®

=a

se o limite existir. Façamos, primeiramente, a verificação de que existe o limite da função, ou seja, mostremos que os limites laterais existem e são iguais:

0 00 0

lim f( ) 0 lim f( ),+ -® ®

= =x x

x x

por outro lado, a função aplicada no ponto x0 = 0 nos dá f(0) = 0.

Finalmente, como se tem que 00limf( ) f(0),®

=x

x conclui-se que a função f é contínua no ponto x0 = 0.

b) Para que a função seja diferenciável no ponto x0 = 0 é necessário que as derivadas laterais aplicadas no ponto existam e sejam iguais.

0 0 0 00

0 0 0

0 0 0 00 0 0 0

f ' ( ) lim lim lim 1

( )f ' ( ) lim lim lim 1

+ + +

+

+D ® D ® D ®

- D ® D ® D ®

+D - +D - D= = = =

D D D+D - - +D - -D

= = = =-D D D

x x x

x x x

x x x x x x xxx x x

x x x x x x xxx x x

Logo, 0 00 0

f '( ) limD ®

+D -=

Dx

x x xxx

não existe, ou seja, f não é diferenci-

ável em zero. Como f ’(0) não existe, o gráfico de f(x) = | x | não admite reta tangente em (0, f (0)).

Derivadas de funções elementaresSe y = f(x), várias são as formas de denotar simbolicamente uma função

derivada, podendo citar:

∆ → →

+ ∆ − −= = = = = =∆ −0

0 0 0

00

d d f( ) f( ) f( ) f( )y ' f '( ) f( ) lim lim

d dx x x x

y x x x x xx y xx x x x x

Trabalhar com a definição de derivada, muitas vezes, torna-se muito traba-lhoso, e, para isso, existem fórmulas que são tabeladas, facilitando sua aplica-ção. Apresentaremos em seguida as derivadas das funções mais usuais.


174


Tabela 2 – Derivadas das funções mais usuaisf(x) = c, c é uma constante. f’(x) = 0f(x) = x f’(x) = 1f(x) = ax + b, a ≠ 0 f’(x) = af(x) = x n f’(x) = nxn–1

f(x) = ex f’(x) = ex

f(x) = ax f’(x) = ax ln a

f(x) = ln x f’(x) = 1 x

f(x) = sen x f’(x) = cos xf(x) = cos x f’(x) = –sen xf(x) = tg x f’(x) = sec2 xf(x) = cotg x f’(x) = –cosec2 xf(x) = sec x f’(x) = sec x tg xf(x) = cosec x f’(x) = –cosec x cotg x

Outro estudo relevante diz respeito à identificação de algumas regras gerais para cálculo das derivadas de funções:

a) Multiplicação por escalar (kf)’ (x) = k f’(x)

b) Soma de funções (f + g)’ (x) = f ’(x) + g’(x)

c) Diferença de funções (f – g)’ (x) = f ’(x) – g’(x)

d) Produto de funções (f . g)’ (x) = f ’(x) . g(x) + f(x) . g’(x)

e) Divisão de funções2

'( ). ( ) ( ). '( )( / )'( )

( )

f g f gf g

g−= x x x x

xx

Exemplo 1

Dados f(x) = 12x2 e g(x) = x –10. Calcule as derivadas:

a) (f + g)(x) b) (f – g)(x) c) (f . g)(x) d) (f / g)(x)

Sabendo-se que f ’(x) = 24x e g’(x) = 1, então:

a) (f + g)’ (x) = f ’(x) + g’(x) = 24x + 1

b) (f – g)’ (x) = f ’(x) – g’(x) = 24x – 1

c) (f . g)’ (x) = f ’(x) . g(x) + f(x) . g’(x) = 24x . (x – 10) + 12x2 . 1 = 36x2 – 240x

d) x x x x x x x xx

x x x

2 2

2 2 2

f'( ) . g( ) – f( ) . g'( ) 24x . ( –10) –12 .1 12 – 240(f/g)'( ) = = =

g ( ) ( –10) ( –10)

Derivada de função composta Outro passo importante para o estudo de derivação diz respeito a derivar

uma função formada pela composição de funções com derivadas conheci-das. Assim, seja y uma função de u, onde u é uma função de x, teremos:

y = f(u), onde u = g(x)



175

A corresponde função composta é y = f (g(x)).

A derivação de funções compostas é baseada na Regra da Cadeia: se g é diferenciável em x, f diferenciável em g(x) e fog está definida, então vale a regra:

(fog)’ (x) = f ‘ (g(x)) . (g’(x))

Ou ainda,

=d d d.d d d

y y ux u x

Exemplo 1

Derivar y = (4x3 – 2x)15.

Façamos u = 4x3 – 2x. Assim, y = u15; ao calcular as derivadas das funções y(u) e u(x), encontramos:

= = −14 2d d15 e 12 2

d d

y uu x

u x .

Aplicando a fórmula, encontraremos a derivada solicitada:

= − −3 14 2d15(4 2 ) . (12 2)

dy

x x xx .

Ampliaremos nosso estudo de fórmulas tabeladas envolvendo o conheci-mento de Regra da Cadeia:

Tabela 3 – Derivadas das funções utilizando a Regra da Cadeia

y = cu, c > 0, onde c é constante y’ = cu lnc . u’y = un y’ = nun–1 . u’y = eu y’ = eu . u’

y = ln u = ''

uy

u

y = loga u = '' ln

uy a

uy = sen u y’ = cos u . u’y = cos u y’ = –sen u . u’y = tg u y’ = sec2 u . u’y = cotg u y’ = –cosec2 u . u’y = sec u y’= sec u . tg u . u’y = cosec u y’= –cosec u . cotg u . u’

y = arctg uu

yu2

'' =

1+


176


y = arc cotg uu

yu2

- '' =

1+

y = arc sen uu

yu2

'' =

1-

y = arc cos u−=−

''

1

uy

u2

= uy

v−= . ' . '

'v u u v

yv2

=y um−

=1

''

.

uy

m um m

Diferencial de uma função

No cálculo diferencial, o símbolo yx

d

d pode ser interpretado em dois con-

textos distintos. Até aqui, representamos com a função derivada de uma função f(x). Nessa seção, interpretaremos como uma razão de duas quanti-dades, dy e dx.

Em uma função f(x), um acréscimo em x, denotado por Δx, produzirá um acréscimo correspondente Δy. Sendo assim, podemos utilizar o quocien-te diferencial Δy/Δx para representar a taxa de variação de y em relação à x. Como é verdade:

∆ ∆ = ∆ ∆

.y

y xx

A grandeza de Δy pode ser encontrada uma vez que conheçamos o quo-ciente diferencial Δy/Δx e a variação em x.

Quando Δx é infinitesimal, Δy também será e o quociente diferencial tor-na-se a derivada Δy/Δx. Então, se denotarmos as variações infinitesimais em x e y por dx e dy, respectivamente, a identidade acima ficará:

= =

. '( ) .y

y x y x xx

dd d ou d f d

dOs símbolos dx e dy são denominados as diferenciais de x e y, respectiva-

mente. A interpretação geométrica da diferencial é apresentada com o auxí-lio da figura 4.



177

y

x

dyf(x0 + dx) – f(x0)

x0 x0 + dx

dx

(x0 . f(x0))

Figura 4 – Interpretação geométrica do diferencial.

Exemplo 1

Dada a função f(x) = 5x3 + 4x2 – 2x – 7, encontre a diferencial.

De posse da fórmula anterior e sabendo que f ‘(x) = 15x2 + 8x – 2, temos:

dy = (15x2 + 8x – 2)dx.

Observação importante: sempre que trabalharmos com diferencial, em ambos os termos há necessidade da exposição de um diferencial.

Derivada de ordem superiorSuponhamos que no intervalo aberto (a, b) esteja definida uma função f.

Sua derivada, se existe no mesmo intervalo, é a função f ’(x) e se chama função de primeira derivada. Pode acontecer que a primeira derivada tenha, por sua vez, a derivada no intervalo (a, b). Esta última se denomina segunda derivada de f, ou ainda, derivada de f de segunda ordem, que tem por notação:

f ‘‘(x) = f (2) (x) = (f’ (x))’ ou y’’ = (y’)’

Em geral, tem-se a derivada da função f de n-ésima ordem:

f (n)(x) = (f (n–1) (x))’ ou y(n) = (y(n–1))’

Caso trate-se de um valor fixo da variável x, o símbolo f (n) (x) designa-se a derivada de ordem n aplicada ao ponto x. E para que esta derivada exista, é necessário que a derivada exista no ponto e em sua vizinhança.


178


Exemplo 1

Seja a função f (x) = xm, calcule as derivadas de ordem superior até a n-ésima ordem:

f’ (x) = mxm–1

f’’ (x) = m(m – 1)xm–2

f’’’ (x) = m(m – 1) (m – 2) xm–3

[...]

f (n) (x) = m(m – 1) (m – 2) ... (m – n + 1)xm–n

Aplicações de derivadaSeja uma função f definida em um intervalo aberto (a, b) e derivável em

um ponto c de (a, b). Se f’(c) ≠ 0, então f(c) não é um ponto extremo local de f. Ou equivalentemente se f é derivável em (a, b) e c é um ponto de máximo ou mínimo local de f, então f’(c) = 0.

Um ponto c é dito um ponto crítico de f se f”(c) = 0 ou se f’(c) não existe. Ou seja, pontos onde a derivada da função é igual a zero são chamados de pontos críticos. A derivada ser nula é condição apenas necessária para a existência de extremos, mas não é condição suficiente. Existem três tipos de pontos onde pode acontecer a situação descrita. São os pontos de máximo, pontos de mínimo e pontos de inflexão.

O valor da derivada de uma função em um ponto é a declividade da reta tangente à curva nesse ponto. Se a derivada é igual a zero, é porque a decli-vidade nesse ponto também é zero, pois o ângulo nesse caso é igual a zero, isto é, a reta tangente é paralela ao eixo x. Esses pontos acontecem onde a função atinge um valor máximo, um valor mínimo ou também podem ocor-rer em pontos de inflexão da função. Pontos de inflexão são aqueles pontos na curva em que ela muda de concavidade.

Os passos para identificar um ponto crítico consistem em se calcular a primeira e a segunda derivadas da função.

Calculamos a primeira derivada e verificamos para que valores de x ela é igual a zero. Estes pontos, se existirem, serão pontos críticos. Em seguida, calculamos a segunda derivada da função. Se o valor da segunda derivada for positivo no ponto onde a derivada primeira é nula, esse ponto será um ponto de mínimo local. Se o valor da derivada segunda for negativo, o ponto em questão é um máximo local. E se a derivada segunda também for nula, o ponto é um ponto de inflexão.



179

Pode ocorrer extremos onde a função não é derivável e nessas situações o teste da segunda derivada não se aplica. Então, não existindo a primeira deri-vada, a segunda também não existirá. Nesse caso é necessário, então, verificar os pontos críticos através da avaliação da mudança de sinal da primeira deriva-da, quando a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.

Exemplo 1

Determine os valores máximos e mínimos de f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 3

Primeiro, definimos a função f e calculamos a sua derivada:

f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 3

f’(x) = 3x2 – 6x – 9

Pontos críticos

Observe que a função f é contínua e derivável em todos os pontos da reta. Assim, os candidatos a extremos desta função são os extremos do intervalo e os pontos onde a derivada se anula. Para determinar esses últimos pontos, basta resolver a equação:

f’(x) = 0

As raízes serão:

x1 = –1 e x2 = 3

2

2

1 2

3 6 9 0

( 6) ( 6) 4.3.( 9)2.3

6 36 1086

6 126

6 12 6 121 3

6 6

x x

x

x

x

x x

− − =

− − ± − − −=

± +=

±=

− += = − = =

Então, os pontos –1 e 3 são pontos críticos.

Nesses pontos críticos, os valores de f são, respectivamente:

f(–1) = (–1)3 – 3(–1)2 – 9(–1) + 3


180


f(–1) = –1 – 3 + 9 + 3

f(–1) = –4 + 12

f(–1) = 8

f(3) = (3)3 – 3(3)2 – 9(3) + 3

f(3) = 27 – 27 – 27 + 3

f(3) = –24

f(–1) = 8 e f(3) = –24

Máximo e mínimo

Para avaliar se são pontos de máximo ou de mínimo é necessário calcular a segunda derivada da função, que será igual a:

f’’(x) = 6x – 6

No ponto x = –1, o valor da segunda derivada será igual a f’’(x) = 6 . (–1) – 6 = –12, um valor negativo; logo o ponto na função para x = –1 é um ponto de máximo.

No ponto x = 3, o valor da segunda derivada será igual a f’’(x) = 6 . (3) – 6 = 12, um valor positivo; logo o ponto na função para x = –1 é um ponto de máximo:

se f’’(x) < 0, f tem um valor de máximo relativo em x;

se f’’(x) > 0, f tem um valor de mínimo relativo em x.

Ponto de inflexão

Igualando a segunda derivada a zero, obtemos o ponto de inflexão. Então, f’’(x) = 6x – 6 = 0, assim, no ponto x = 1, temos o ponto de inflexão da função. Nesse ponto, a função f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 3 assume o valor –8.

f(x) = 13 – 3(1)2 – 9(1) + 3 = 1 – 3 – 9 + 3 = –8



181

Observe o gráfico de f traçado abaixo:

–4 –2 2 4 6

20

40

0

–20

–40

–60

x

y

60

–6


O matemático e filósofo alemão Gottfried Wilhelm von Leibniz nasceu em 1.º de julho de 1646 e morreu em 14 de novembro de 1716. Foi um gênio universal e um fundador da ciência moderna. Ele antecipou o desenvolvimen-to da lógica simbólica e, independentemente de Isaac Newton, inventou o cálculo com uma notação superior, incluindo os símbolos para integração e diferenciação. Leibniz também defendeu o ecumenismo cristão na religião, as leis romanas codificadas e a lei natural em jurisprudência, propôs a lei me-tafísica de otimismo (satirizada por Voltaire em Candide) que nosso universo é o “melhor de todos os possíveis mundos”, e transmitiu o pensamento chinês para a Europa. Para o seu trabalho, ele é considerado um progenitor do idea-lismo alemão e um pioneiro do Esclarecimento.



182


Peano nasceu no dia 27 de agosto de 1858, em Cuneo, Piemont e, Itália, e morreu em 20 de abril de 1932, em Turim, Itália. Foi o fundador da lógica sim-bólica e o centro de seus interesses foram os fundamentos da Matemática e o desenvolvimento de uma linguagem lógica formal.

Peano estudou Matemática na Universidade de Turim e se uniu ao pessoal de lá em 1880, sendo designado a uma cadeira em 1890. Em 1889, Peano pu-blicou os seus axiomas famosos, chamados Axiomas de Peano, que definiram os números naturais em termos de conjuntos. Em 1891, ele fundou a Rivista di Matematica, um diário dedicado principalmente à lógica e aos fundamentos da Matemática.


Atividades de aplicaçãoSabendo-se que y = f(x), encontre as derivadas da função através da definição:

1. f(x) = x2

2. f(x) = (x + 1)3

3. f(x) = c, sendo c uma constante real.

4. ( )=-1

xx 1

f

5. ( )= 3 2x xf . Lembre-se que a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Encontre f’(x0) para o valor x0 conhecido, pela definição:

6. f(x) = x2 –1; x0 = 3

7. ( )= 3

2x

xf ; x0 = 5

8. f(x) = 12x2 + x – 10; x0 = –2

Verifique se a função f é diferenciável no valor x0 dado.

9. f(x) = (x – 3)2; x0 = 3

10. ( )( )

ìï - <ïï= =íï - ³ïïî02

1 x , se x 1x ; x 1

1 x se x 1f



183

11. Encontre as derivadas das seguintes funções potência:

a) y = 7 b) y = x–2 c) = 5y x d) =1

yx

12. Sendo dadas as constantes a, b e c, calcule as derivadas das funções:

a) ( ) cb

f x ax +x

= + b) ( ) 2 cf x ax + b x

x= +

13. Calcule f’(p), sendo dados:

a) f(x) = x3 + x; p = 3 b) ( )= =; 23f x x p

14. Calcule f’(x)

a) f(x) = 2x b) ( )= 103f x

x

15. Qual é a derivada de f(x) = πx?

16. Seja f(x) = sen x, calcule '4

f π .

17. Seja 2x 2; se x 0

f(x) , pergunta-se:2; se x 0

ìï + <ï=íï ³ïîa) f é diferenciável em zero?

b) se possível, calcule f’(0).

18. Seja ( )2 ; se 1

1; se x 1x x

f xìï £ï=íï >ïî

, pergunta-se:

a) f é contínua em 1?

b) f é diferenciável em 1?

19. Seja f(x) = 5x3 + x2, calcule f’(x) e f’(1).

20. Se f(x) = –cos x e g(x) = sen x. Prove que (f’(x) + g’(x))2 = 1 – 2f(x) g(x).

Diferencie as funções dos exercícios 21 e 22 usando a regra da adição.

21. f(x) = x3 – 2x2 + 5 e g(x) = x2 – 10

22. f(x) = tg x e g(x) = sec x

23. Sejam dados f(x) = 5x2 + 4x – 3 e g(x) = 3x2 – 10x, diferencie f(x) – g(x).


184


Diferencie as funções dos exercícios 24 a 27 usando a regra do produto.

24. f(x) = x ln x

25. f(x) = 7x3 + 3 e g(x) = 2x – 1

26. (5 – 7x)(1 – x)(1 + x)

27. x–3(x2 + 4)

Diferencie as funções dos exercícios 28 e 29 usando a regra da divisão.

28. 3(x 3)

x+

29. (x 5)(x 7)+-

30. Se f(x) = a x + b, ache a derivada de f(x)/x.

Determine a derivada da função:

31. f(x) = cos 2x + 2sen x

32. ( ) x x2 2

f x tg cotg= −

33. ( )= + 31 xf x

34. ( )=2

2

sen xf x

sen x

35. f(x) = cosec x3

36. f(x) = sec2x + cosec2x

37. f(x) = ln e3x2

38. f(x) = log2x3

39. f(x) = arctg 2x

40. ( )=- 2

x

16 xf x



185

Nos exercícios 41 e 42, encontre a diferencial.

41. f(x) = –x2 + 5x – 4

42. ( )=3

1x

f x

Nos últimos exercícios desta seção, dada a função f(x) = 4x2 – 5x – 4, encontre Δy, dy e Δy – dy. Faça uma análise crítica quanto à diferença entre a variação e a diferencial em relação à variável y, para:

43. x = 2, Δx = 0,1

44. x = 2, Δx = 0,01

45. x = 2, Δx = 0,001

46. Qualquer valor de x e de Δx.

Calcule as derivadas solicitadas:

47. Seja f(x) = sen x, calcule f(4)(x).

48. Seja f(x) = ex, calcule f(n)(x).

49. Seja f(x) = ln x, calcule f(3)(x).

50. Seja f(x) = (3x + 1)2, calcule f(2)(x).

51. Seja f(x) = ar cos x2, calcule f(2)(x).

52. Seja f(x) = 5x3 + 4x2 – 2x – 7, calcule f(5)(x).

53. Seja f(x) = 3x, calcule f(3)(x).

54. Seja f(x) = x7, demonstre que a f(7)(x) = 7!

55. Seja f(x) = sen x . cos x, calcule f(2)(x).

56. Seja f(x) = sen 2x, calcule f(4)(x).

57. Ache os extremos relativos da função custo médio: CMe = f(Q) = Q2 – 5Q + 8.

Encontre os pontos críticos das funções (máximo, mínimo e inflexão):

58. f(x) = x3 – 6x + 2

59. f(x) = 2x3 – 12x2 + 18x – 2


186


Gabarito atividades de aplicação1. f‘(x) = 2x

2. f‘(x) = 3(x + 1)2

3. f‘(x) = 0

4. ( )( )2

1x , x 1

x 1= − ≠

−f'

5. ( )3

2x , x 0

3 xf' = ¹

6. f(x) = x2 – 1; x0 = 3 f‘(x) = 2x f´(3) = 2 . 3 f´(3) = 6

7. f f f·xx

x x x x x( ) = = ⇒ ( ) = ⇒ ( ) = −− −2 5 2 3 23 0

3 4; .

f´(x) = –6x–4 f´(x) = −64x

f´(5) = −654

f´(5) = − 6625

8. f´(x) = 2 . 12x + 1 f´(x) = 24x + 1

f´(–2) = 24 . (–2) + 1 f´(–2) = –48 + 1 f´(–2) = – 47

9. f(x) = (x – 3) . (x – 3) f(x) = x2 – 6x + 9 f´(x) = 2x – 6

f´(3) = 2 . 3 – 6 f´(3) = 6 – 6 f´(3) = 0

10. f não é diferenciável no ponto x0 = 1.

11.

a) f‘(x) = 0

b) f‘(x) = ( ) 33

2x 2x , x 0

x−= − = − ≠f'

c) f‘(x) = ( )451

x x , x 05

f'-

= ¹

d) f‘(x) = ( )3

1x , x 0

2 xf' =- ¹

12.

a) f´(x) = a bx

x− ≠2

0,



187

b) f´(x) = 2 12

12

012

32ax bx cx x+ − ≠

− −,

13.

a) f‘(3) = 28

b) f´(2) =3

13 4

14.

a) f‘(x) = 2x ln2

b) f‘(x) = 4

30x

-

15. f‘(x) = πx lnπ

16. f‘(x) =2

cos4 2

æ ö÷ç =÷ç ÷çè øπ

17.

a) Para que a função seja diferenciável no ponto x = 0, é necessário que as derivadas laterais existam e sejam iguais:

f+(x) = 2 f´+(x) = 0 f´+(0) = 0

f–(x) = x2 + 2 f´–(x) = 2x f´–(0) = 2 . 0 = 0

f´+(0) = 0 = f´+ (0) = 0

Portanto, f é diferenciável em 1.

b) f´(x) = 0 f´(0) = 0

18.

a) Sim, pois uma função é contínua quando: limx a→

f(x) = f(a)

limx

x→

= =1

2 21 1

f(x) = x2, pois x = 1 f(1) = 12 = 1

limx

x→

= =1

2 21 11 = f(1)


188


b) Para que a função seja diferenciável no ponto x = 1, é necessário que as derivadas laterais existam e sejam iguais:

f+(x) = 1 f´+(x) = 0 f´+(1) = 0

f–(x) = x2 f–´(x) = 2x f´+(1) = 2 . 1 = 2

f´+(1) = 0 f ´+(1) = 2

Portanto, f não é diferenciável em 1.

19. f´(x) = 3 . 5x2 + 2x f´(x) = 15x2 + 2x

f´(1) = 15 . (1)2 + 2 . (1) f´(1) = 15 + 2 = 17

20. f(x) = – cos(x) f´(x) = + sen(x)

g(x) = sen(x) g’(x) = cos(x)

(f´(x) + g’(x))2 = 1 – 2f(x) . g(x)

(sen(x) + cos(x))2 = sen2(x) + cos2(x) + 2sen(x)cos(x)

lembrando que: sen2(x) + cos2(x) = 1

(sen(x) + cos(x))2 = 1 + 2sen(x)cos(x)

*g(x) = sen(x) e – f(x) = cos(x)

1 – f(x)g(x)

21. f´(x) = 3x2 – (2) . 2x 3x2 – 4x

g´(x) = 2x

(f + g)‘(x) = 3x2 – 4x + 2x (f + g)´(x) = 3x2 – 2x

22. f´(x) = sec2 x

g´(x) = sec x . tg x

(f + g)‘(x) = sec2 x + sec x . tg x (f+ g)´ (x) = sec x . (sec x + tg x)

23. f´(x) = (2) . 5x + 4 f´(x) = 10x + 4

g´(x) = (2) . 3x – 10 g´(x) = 6x – 10

(f – g)‘(x) = (10x +4) – (6x – 10) (f – g)´(x) = 10x + 4 – 6x + 10

(f – g)´(x) = 4x + 14



189

24. f(x) = x f´(x) = 1

g(x) = ln x g´(x) = 1x

Regra do produto:

(f . g)´(x) = f´(x) . g(x) + f(x) . g´(x)

(f . g)´ (x) = 1 . ln x + x . 1x

(f . g)´ (x) = 1 . ln x + x . x1

(f . g)´(x) = (ln x) + 1

25. f´(x) = (3) . 7x2 f´(x) = 21x2

g´(x) = 2

Regra do produto:

(f . g)‘(x) = f´(x) . g(x) + f(x) . g´(x)

(f . g)´(x) = 21x2 . (2x – 1) + (7x3 + 3) . 2 (f . g)´(x) = 42x3 – 21x2 + 14x3 + 6

(f . )´(x) = 56x3 – 21x2 + 6

26. f(x) = 5 – 7x f´(x) = –7

g(x) = (1 – x) . (1 + x) g(x) = 1 + x – x – x2 g(x) = 1 + x – x – x2

g(x) = 1 – x2 g´(x) = –2x

Regra do produto:

(f . g)´(x) = f´(x) . g(x) + f(x) . g´(x)

(f . g)´(x) = –7 (1 – x2) + (5 – 7x) . (–2x) (f . g)´(x) = –7 + 7x2 – 10x + 14x2

(f . g)´(x) = 21x2 – 10x – 7

27. f(x) = x–3 f´(x) = –3x–4

g(x) = x2 + 4 g´(x) = 2x

Regra do produto:

(f . g)´(x) = f´(x) . g(x) + f(x) . g´(x)

(f . g)´(x) = (–3x–4) . (x2 + 4) + (x–3) . (2x)

(f . g)´(x) = –3x–2 –12x–4 + 2x–2 (f . g)´(x) = –x–2 – 12x–4


190


28. f(x) = x3 + 3 f´(x) = 3x2

g(x) = x g´(x) = 1

Regra da divisão:

fg

f g g

g2

′( ) =

′( ) ( ) − ( ) ′( )( )

xx x f x x

x

. .

fg

fg

′( ) =

− +( )⇒

′( ) = − =x

x x xx x x

x

3 3 1 3 32 3

3 3

2

. .

x2

fg

′( ) = +x x2 33

x2

29. f(x) = x + 5 f´(x) = 1

g(x) = x – 7 g´(x) = 1

Regra da divisão:

fg

f g f g

′( ) =

′( ) ( ) − ( ) ′( )( )

xx x x x

g x

. .2

fg

′( ) =

−( ) − +( )−( )

xx x

x

1 7 5 1

7 2

. .

fg

′( ) =

− − −

−( )x

x x

x

7 5

7 2

x – 7 – x – 5(x – 7)2

fg

′( ) =

− − −

−( )x

x x

x

7 5

7 2

x – 7 – x – 5(x – 7)2

fg

′( ) = −

−( )x

x

12

7 2

30. fg

′( ) = −

−( )x

x

12

7 2( ) 2

bx , x 0

xfg

¢æ ö÷ç ÷ =- ¹ç ÷ç ÷çè ø

31. f´(x) = 2(–sen 2x + cos x)



191

32. f´(x) =( ) 2 21 x xx sec cosec

2 2 2f

æ ö÷ç¢ = + ÷ç ÷çè ø

33. f´(x) =( )( )

= ¹+

2

3

3xx , x 0

2 1 xf '

34. f‘(x) =( )2 2 2

2 2

2(senx . senx . cos x x .sen x .cos x )x

sen x−=′f , sen x ≠ 0

35. f‘(x) = –3x2 cos e x3 cotg x3

36. f‘(x) = 2(sec2 x tg x – cosec2 x cotg x)

37. f‘(x) = 6x

38. f‘(x) =( ) 3x log2, x 0

x¢ = ¹f

39. f‘(x) =( ) 2

2x

1 4x¢ =

+f

40. f‘(x) =( )( )2 2

16x , x 4

16 x 16 x¢ = <

- -f

41. dy = (–2x + 5)dx

42. æ ö÷ç ÷= -ç ÷ç ÷÷çè ø3

13x x

dy dx

43. Δy = 1,14

dy = 1,10

Δy – dy = 0,04

44. Δy = 0,1104

dy = 0,11

Δy – dy = 0,0004

45. Δy = 0,011004

dy = 0,011

Δy – dy = 0,000004


192


46. Δy = (8x –5) Δx + 4Δx2

dy = (8x – 5)dx ou dy = (8x – 5) Δx

Δy – dy = 4Δx2

47. f (4)(x) = senx

48. f (n)(x) = ex

49. f (3)(x) =( )( )33

2x

x=-f

50. f (2)(x) = 18

Atividades de revisão1. Determine a derivada de ƒ(x) = 2x + 1, para x = 0.

a) 0

b) 1

c) 2

d) 4

2. Determine a derivada da função ƒ(x) = x + 1x – 1

.

a) 1

b) x + 1x – 1

c) – 2(x – 1)2

d) 2x(x – 1)2

3. Determine os máximos e mínimos relativos da função ƒ(x) = x3 – 3x2 + 100.

a) 0 e 2

b) 100 e 96

c) –100 e 96

d) ∞ e – ∞



193


Resolução:

Pela regra da cadeia: dydx

= dydu

. dudx

Tomando u = x +1, temos: dydu

= ddu

( u ) = ddu

(u12) = 1

2 u

12

1– = 1

2 u

32

E como: dudx

= ddx

(2x + 1) = 2

Substituindo: dydx

= dydu

. dudx

= 12

u32. 2 = 2 u

32

Assim: ƒ’(x) = dydx

= 2 . 32(x +1)

Para x = 0: ƒ’(0) = dydx

(0) = 2 . 32(0 +1) = 2

2. C

Resolução:

Temos que se ƒ(x) = g(x)h(x)

, então ƒ’(x) = g’(x) . h(x) – g(x) . h’(x)[h(x)]2

.

Substituindo: ƒ’(x) = (x+1)’ . (x – 1) – (x + 1) . (x – 1)’(x – 1)2

. = 1 . (x – 1) – (x+1) . 1(x – 1)2

= x – 1 – x –1(x – 1)2

= – 2(x – 1)2

3. B

Resolução:

Sabe-se que os pontos máximos de uma função ocorrem nos pontos tais que ƒ’(x) = 0.

Como: ƒ’(x) = 3x2 – 6x

Temos: ƒ’(x) = 0 3x2 – 6x = 0 x (3x – 6) = 0

Assim: x = 0 ou 3x – 6 = 0


194


Daí x = 0x = 2

são os pontos de máximo e de mínimo.

Substituindo na função:

ƒ (0) = 03 – 3 . 02 + 100 = 100ƒ (2) = 23 – 3 . 22 + 100 = 100 = 8 – 3 . 4 + 100 = 96




Referências

ASIMOV, I. No Mundo dos Números. Rio de Janeiro: Livraria Francisco Alves, 1983.

BARKER, S. F. Filosofia da Matemática – curso moderno de Filosofia. Rio de Janei-ro: Zahar Editor, 1969.

BERGAMINI, D. As Matemáticas. Rio de Janeiro: José Olympio, 1969. (Biblioteca Científica de LIFE).

BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.

DANTZIG, T. Número: a linguagem da ciência. Rio de Janeiro: Zahar Editor, 1970. (Biblioteca de Cultura Científica).

DAVIS, P. J.; HERSH, R. A Experiência Matemática. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1985.

FIGUEIREDO, D. G. Números Irracionais e Transcedentes. Rio de Janeiro: Socie-dade Brasileira de Matemática, 1985.

FREUDENTHAL, H. Perspectivas da Matemática. Rio de Janeiro: Zahar Editor, 1975.

HOGBEN, L. Maravilhas da Matemática: influência e função da Matemática nos conhecimentos humanos. Rio de Janeiro: Globo,1956.

IEZZI, G. et al. Fundamentos de Matemática Elementar. São Paulo: Atual, 1977. v. 10.

IFRAH, G. Os Números: a história de uma grande invenção. 3. ed. São Paulo: Globo, 1989.

KARLSON. P. A Magia dos Números. Rio de Janeiro: Globo, 1961. (Coleção Tapete Mágico).

RUSSEL, B. Introdução à Filosofia de Matemática. Rio de Janeiro: Zahar Editor, 1966.

SILVA, C. P. A Matemática no Brasil: história de seu desenvolvimento. São Paulo: Edgard Blücher, 2003.


Referências

198

STRUIK, D. História Concisa das Matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1987.

TAHAN, M. O Homem que Calculava: aventuras de um singular calculista persa. 25. ed. Rio de Janeiro: Conquista, 1975.

_____. As Maravilhas da Matemática. 4. ed. Rio de Janeiro: Bloch, 1976.


Anotações




Paulo afonso BracarenseMaria eMilia Martins ferreira

Métodos Quantitativos

MateMáticosMétodos Quantitativos

MateMáticos

Méto

dos

Quan

titat

ivos

Mat

eMát

icos

Fundação Biblioteca NacionalISBN 978-85-387-3047-7


Documents

MÉTODOS QUANTITATIVOS MATEMÁTICOS