Métodos de Integración

1

Algunas Integrales Trigonométricas

En lo que sigue consideraremos integrales de la forma:

(a) d����sinm u cosn u u

(b) d����tanm u secn u u

(c) d����cotm u cscn u u

2

(a) Integrales del tipo : d����sinm u cosn u u

Caso 1.- (Uno de los dos, m o n, es impar y positivo) - Si m es impar, factorizar sin(u)du y expresar la potencia par restante de seno en potencias del coseno.

- Si n es impar, factorizar cos(u)du y expresar la potencia par restante de coseno en potencias del seno.

3

Ejemplos.-

1.- d����sin3 u cos-5 u u

2.- d�

�

����

cos3 xsin x

x

4

Caso 2.- ( Ambos, m y n , son pares y positivos o nulos )

En este caso es conveniente considerar las identidades:

(a) sin2 u = ���1 ( )cos 2 u

2 (b) cos2 u =

���1 ( )cos 2 u2

5

Ejercicios.

(a) d����sin2 x cos2 x x

(b) d����sin4 x x

6

(b) Integrales del tipo : d����tanm u secn u u

Caso 1.- ( n es par y positivo)

Conviene factorizar sec2 x y expresar la potencia par restante de sec x en términos de tangente.

Caso 2.- ( m es impar y positivo)Conviene factorizar sec x tan x y expresar la potencia par restante tan x en términos de secante.

7

Ejercicios.

(a) d�

�

����

sec4 xtan x

x

(b) d�

�

����

tan3 x( )sec x 1/3 x

8

(c) Integrales del tipo : d����cotm u cscn u u

Se tratan en forma similar a las de tipo (c)

Ejemplo

d����cot2 2 x csc2 2 x u

9

Sustitución Trigonométrica(a) Si el integrando contiene una expresión de la forma

���a2 x2 a veces conviene hacer el cambio de variable���x a ( )sin

Ejemplo

Calcular d

�

�

�����

x2

( )���4 x2 3/2 x

10

(b) Si el integrando contiene una expresión de la forma

���a2 x2 a veces conviene hacer el cambio de variable���x a ( )tan

Ejemplo

Calcular d�

�

�����

1

x2 ( )���4 x2 1/2 x

11

(c) Si el integrando contiene una expresión de la forma���x2 a2 a veces conviene hacer el cambio de variable

���x a ( )sec

Ejemplo

Calcular d

�

�

�����

x2

( )���x2 43/2 x

12

Ejercicios

1. d�

�

�����

x3

���9 x2x 2. d

�

�

�����

x3

���3 x2 5x 3. d

�

�

�����

x3

���2 x2 7x

4.- d�

�

����

x2

���x2 4x 5. d

�

�

�����

x3

x � ���9 x2x 6. d

�

�

�����

x2

���4 2 x2x

13

Integrando que contiene funciones cuadráticas

(1) d�

�

����

1

���2 x x2x

(2) d�

�

����

2 x3

��� ���2 x2 4 x 3x

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Integración de Funciones Racionales

Sean P(x) , Q(x) funciones polinomiales.

A la función definida por ���( )R x( )P x( )D x

, con ���( )D x 0, se llama

Función Racional .

Una función racional ���( )R x( )P x( )D x

se dice:

*) Propia si grad( ( )P x ) < grad( ( )D x ) *) Impropia si grad( ( )P x ) � grad( ( )D x )

15

Si R es racional impropia, entonces existen polinomios Q(x) y r(x) tal que

*) ���( )R x ���( )Q X( )r x( )D x

, con grd( ( )r x ) < grd( ( )D x )

*) d���

( )R x x = d���

( )Q x x + d�

�

����

( )r x( )D x

x

Parar integrar la expresión racional propia ( )r x( )D x

, descomponer en fracciones parciales e integrar

Ejemplo.

d�

�

�����

x

��� ���x2 x 2x

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Ejercicios

Calcular cada una de las siguientes integrales:

1.- d

�

�

������

x2

���x2 1x 2.- d

�

�

�����

x

��� ���x2 x 6x

3.- d

�

�

������

x2

���x4 1x 4.- d

�

�

����

2 ( )���x 1 3

���2 x2 1x

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Indicaciones

1.-x2

���x2 1 = ��� ���1

12 ( )���x 1

12 ( )���x 1

2.-x

��� ���x2 x 2 = ���

13 ( )���x 1

23 ( )���x 2

3.-x

��� ���x2 x 6 = ���

35 ( )���x 3

25 ( )���x 2

4.-x2

���x4 1 = � ��� ���

1 x

2 ( )���x2 1

14 ( )���x 1

14 ( )���x 1

5.-2 ( )���x 1 3

���2 x2 1 = ��� ���x 3

� ���1 5 x

���2 x2 1

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Sustituciones Importantes.

I.- Si el integrando contiene una única expresión irracional de la forma ( )���ax b p/q , con ,p q Z

conviene la sustitución

���u ( )���ax b 1/q ( o bien ���x���uq ba

)

Ejercicio

d�

�

����

( )���x 1 1/3

xx

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II.- Si el integrando es función racional de sin x y cos x , conviene a veces el cambio de variable:

���u����

����tan

x2

Para tal caso,

���( )sin x2 u���1 u2 , ���( )cos x

���1 u2

���1 u2 , ���dx2���1 u2 du

y el integrando que resulta es una expresión racional en u.

Ejercicio

(1) d�

�

����1

���1 sin xx (2) d

�

�

����1���4 sin x 3 cos x

x

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21