METODY NUMERYCZNEdydaktyka.polsl.pl/kwmimkm/mn-wyklad2.pdfGliwice 2010 Przy spełnionym warunku: Taki układ równań, jeżeli wartości x 0, x 1, …,x n są między sobą różne

METODY NUMERYCZNE

Gliwice 2010

wykład

www.kwmimkm.polsl.pl

Interpolacja funkcji

Gliwice 2010

Definicja interpolacji

Gliwice 2010

Dana jest funkcja

0, , .ny f x x x x

Znamy tablice wartości tej funkcji, czyli:

0 0

1 1

i i

n n

f x y

f x y

f x y

f x y

Wyznaczamy funkcję W(x)

spełniającą warunki:

0 0

1 1

i i

n n

W x y

W x y

W x y

W x y


Gliwice 2010


x0 x1 x2 xi xnx

y0

y1

y2

yi

yn

y

f (x)

W(x)

i - ty węzeł interpolacji

Gliwice 2010

Wyznaczenie funkcji W(x)

Dobór w postaci kombinacji liniowej n +1 funkcji bazowych

Funkcje bazowe: 0 1 2φ ,φ ,φ , ...,φ , ...,φi nx x x x x

Wielomian uogólniony:

0

φn

i i

i

W x a x

ai – współczynniki


Macierz bazową: 0 1 2φ ,φ ,φ , ...,φnx x x x Φ

Wielomian uogólniony można zapisać w postaci:

W x x Φ A

Wprowadzając:

Macierz współczynników: T

0 1 2, , , ..., na a a aA


Gliwice 2010

Gliwice 2010

, 0,1,2, ...,i iW x y i n

gdzie:

A – macierz kolumnowa współczynników o (n+1) wierszachY – macierz kolumnowa wartości funkcji o (n+1) wierszachX – macierz o wymiarach (n+1)(n+1)

Warunek, który musi spełnić wielomian interpolacyjny, czyli:

Można zapisać w postaci macierzowej:

X A Y


Gliwice 2010

Postać macierzy X i Y:

0 0 1 0 0

0 1 1 1 1

0 1

φ φ ... φ

φ φ ... φ

... ... ... ...

φ φ ... φ

n

n

n n n n

x x x

x x x

x x x

X

0

1

...

n

y

y

y

Y


Gliwice 2006

Jeżeli det X 0 to: 1 A X Y

Podstawiając powyższy wzór do otrzymuje się: W x x Φ A

Wielomian interpolacyjny:

1W x x Φ X Y

gdzie: (x) – macierz bazowaX-1 – macierz interpolacyjnaY – wektor wartości funkcji w węzłach


Gliwice 2010

INTERPOLACJA

Interpolacja

WIELOMIANOWA(NATURALNA)

LAGRANGE’ANEWTONA(I WZÓR)

CZEBYSZEWA

TRYGONOMETRYCZNA NEWTONA(II WZÓR)

Gliwice 2010

Interpolacja wielomianowa(wielomiany w postaci naturalnej)

Gliwice 2010

Funkcje bazowe:

Postać wielomianu interpolacyjnego:

2

0 1 2 ... n

nW x a a x a x a x

Interpolacja wielomianowa

2

0 1 2φ 1, φ , φ , ...,φ n

nx x x x x x x

Gliwice 2010

Przy spełnionym warunku:

Taki układ równań, jeżeli wartości x0, x1, …,xn są między sobąróżne posiada jedno rozwiązanie względem ai.


2

0 1 0 2 0 0 0

2

0 1 1 2 1 1 1

2

0 1 2

...

...

...

...

n

n

n

n

n

n n n n n

a a x a x a x y

a a x a x a x y

a a x a x a x y

Wynika to stąd, że:

0 0

1 1

1 ...

1 ...det 0

... ... ... ...

1 ...

n

n

n

n n

x x

x x

x x

X

Gliwice 2010

interpolacja wielomianowa nie jest zbyt efektywna,ponieważ macierz X jest macierzą pełną

- błędy podczas odwracania- czas odwracania


macierz X nie zawsze jest dobrze uwarunkowana

- macierz osobliwa

WADY:

Gliwice 2010

Interpolacja Lagrange’a

Gliwice 2010


Funkcje bazowe:

0 1 2 3

1 0 2 3

0 1 1 1

φ ......................

φ ......................

.....................................................................................

φ ... ...

n

n

i i i

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

0 1 2 1

.....................................................................................

φ ......................

n

n n

x

x x x x x x x x x

dla każdej funkcji i (x), i = 0, 1, …, n brakuje składnika (x – xi)

Gliwice 2010

Postać wielomianu interpolacyjnego:

0 0 1 1

0 1 2

1 0 2

0 1 1

φ φ ... φ

...

... ...

...

n n

n

n

n n

W x a x a x a x

a x x x x x x

a x x x x x x

a x x x x x x


Gliwice 2010

Macierz X:

0 0

1 1

2 2

φ 0 0 ... 0

0 φ 0 ... 0

0 0 φ ... 0

... ... ... ... ...

0 0 0 ... φn n

x

x

x

x

X


w punkcie x = xi wszystkie funkcje oprócz i (x) zerują się,

ponieważ występuje w nich składnik (x – xi)

Gliwice 2010

Współczynniki wielomianu Lagrange’a wyznacza się ze wzoru:


X A Y

Ponieważ macierz X ma tylko główną przekątną niezerową to:

0 00

0 1 0 2 0 0 0

1 11

1 0 1 2 1 1 1

1 2 1

... φ

... φ

...

... φ

n

n

n nn

n n n n n n

y ya

x x x x x x x

y ya

x x x x x x x

y ya

x x x x x x x

Gliwice 2010

Czyli wielomian interpolacyjny możemy zapisać w postaci


0 1 1 1

0 0 1 1 1

... ...

... ...

ni i n

i

i i i i i i i i n

x x x x x x x x x xW x y

x x x x x x x x x x

Gliwice 2010

Różnice skończone

Gliwice 2010


Dla funkcji stabelaryzowanej przy stałym kroku h = xi+1 xi

wprowadza się pojęcie różnicy skończonej rzędu k

1i i iy y y

2

1 2 12i i i i i i iy y y y y y y

......

1 1 1

1 1

0

1k

jk k k k

i i i i i k

j

ky y y y y

j

Gliwice 2010


Na podstawie zbioru wartości funkcji yi = f (xi),

xi+1 xi = h = const buduje się tablicę różnic skończonych

nr x y y 2y 3y

0 x0 y0 y0 2y0 3y0

1 x1 y1 y1 2y1 .

2 x2 y2 y2 . .

3 x3 y3 . . .

. . . . . 2yn-3

. . . . 2yn-2

. . . yn-1

n xn yn

Gliwice 2010

Wzory interpolacyjne dlaargumentów równoodległych

Gliwice 2010

Wzory interpolacyjne dla argumentów równoodległych

Dla zbioru węzłów:

0 1 0 2 0 0, , 2 , ..., nx x x h x x h x x nh

dane są wartości funkcji:

0 1 2, , , ..., nf x f x f x f x

Gliwice 2010


Funkcje bazowe:

0

1

2

3

φ 1

φ

φ 1

φ 1 2

...

φ 1 2 3 ... 1n

x

x q

x q q

x q q q

x q q q q q n

0x xq

h

gdzie:

Gliwice 2010



0 1 2 31 1 2 ...

1 2 ... 1n

W x a a q a q q a q q q

a q q q q n

0

1

2

: 0

: 1

: 2

... ...

:n

x x q

x x q

x x q

x x q n

Dla:

Gliwice 2010


Postać układu równań z którego wyznacza się współczynniki ai:

0 0

1 1

2 2

3 3

1 0 0 0 ... 0

1 1 0 0 ... 0

1 2 2 0 ... 0

1 3 6 6 ... 0

... ... ... ... ... ... ... ...

1 1 1 2 ... !n n

a y

a y

a y

a y

n n n n n n n a y

Gliwice 2010


0 0a y

0 1 1a a y 1 0a y

0 1 2 22 2a a a y 2

02

2!

ya

0 1 2 3 33 6 6a a a a y 3

03

3!

ya

0 1 21 ... ! n na na n n a n a y 0

!

n

n

ya

n

... ...

Gliwice 2010


I wzór interpolacyjny Newtona

2

0 0 0 0

1 1 ... 1...

2! !

nq q q q q n

W x y q y y yn

0x xq

h

gdzie:

Gliwice 2010


I wzór interpolacyjny Newtona - interpolacja w przód

II wzór interpolacyjny Newtona - interpolacja wstecz

Gliwice 2010



0 1 2 31 1 2 ...

1 2 ... 1n

W x a a q a q q a q q q

a q q q q n

nx xq

h

Współczynniki wielomianu a0, …, an wyznaczane są identycznie

gdzie:

Gliwice 2010


2

1 2 0

1 1 ... 1...

2! !

n

n n n

q q q q q nW x y q y y y

n

II wzór interpolacyjny Newtona

gdzie:

nx xq

h

Gliwice 2010

Documents

METODY NUMERYCZNEdydaktyka.polsl.pl/kwmimkm/mn-wyklad2.pdfGliwice 2010 Przy spełnionym warunku: Taki układ równań, jeżeli wartości x 0, x 1, …,x n są między sobą różne