METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE stat W/Met... · ALGEBRA ZESPOLONA - DZIAŁANIA z x iy z x iy W przypadku gdy dzielnik nie jest liczbą rzeczywistą należy albo wykorzystać definicję

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE

W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

Wykład – 5

Elementy algebry i analizy zespolonej

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 2

ALGEBRA ZESPOLONA

),( yxiyxz

Liczby zespolone pod względem algebraicznym tworzą tzw. ciało algebraiczne. Ciało jest to zbiór elementów, w którym możliwe są następujące działania: • dodawanie • odejmowanie • mnożenie • dzielenie (z wyjątkiem elementu zerowego) Liczby zespolone mają dwie interpretacje: algebraiczną i geometryczną. W interpretacji algebraicznej liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych. Tradycyjny zapis liczb zespolonych wykorzystuje tzw. jednostkę urojoną oznaczaną literą „i”:

Pierwszy element pary – liczba x nazywana jest częścią rzeczywistą, natomiast drugi element – liczba y nazywany jest częścią urojoną. Odpowiednie oznaczenia:

Re( ) Im( ) (0,1)x z y z i


ALGEBRA ZESPOLONA – INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA

W interpretacji geometrycznej liczby zespolone traktowane są jako punkty na płaszczyźnie z prostokątnym kartezjańskim układem współrzędnych.

x=Re(z)

y=Im(z)

z=(x,y)=x+iy


ALGEBRA ZESPOLONA - DZIAŁANIA

),(),(),( 2121221121 yyxxyxyxzz

),(),(),( 12212121221121 yxyxyyxxyxyxzz

)0,1()1010,1100()1,0()1,0(

Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych polega na dodawaniu i odejmowaniu odpowiednich elementów tych liczb:

Mnożenie liczb zespolonych jest bardziej złożone i wyraża się wzorem:

Obliczmy zgodnie z tą definicją kwadrat jednostki urojonej czyli liczby i=(0,1):

Jeżeli liczby zespolone, których część urojona jest równa zero utożsamimy z liczbami rzeczywistymi (z=x+i∙0=x) to możemy napisać:

11)1,0()1,0( 2 ii



),()(

)()(

1221212112212121

21122121221121

yxyxyyxxyxyxiyyxx

yyyixyixxxiyxiyxzz

)0,0(23213

2

1 zzzzzz

z

Własność powyższa pozwala na mnożenie liczb zespolonych zapisanych w tradycyjnej formie jako dwumianów algebraicznych:

Dzielenie liczb zespolonych jest działaniem odwrotnym do mnożenia tzn:

Jeżeli dzielnik jest liczbą rzeczywistą (jego część urojona jest równa zero) to dzielenie jest proste i sprowadza się do zwykłego dzielenia obydwu części przez dzielnik:

2

1

2

1

2

11

2

1 ,)0,(

),(

x

y

x

x

x

yx

z

z



iyxziyxz

W przypadku gdy dzielnik nie jest liczbą rzeczywistą należy albo wykorzystać definicję dzielenia i rozwiązać odpowiedni układ równań liniowych albo też wykorzystać pojęcie tzw. liczby sprzężonej: Liczbą sprzężoną nazywamy liczbę zespoloną mającą taką samą część rzeczywistą oraz część urojoną przeciwnego znaku czyli:

Można zauważyć, że iloczyn danej liczby zespolonej oraz liczby do niej sprzężonej zawsze jest liczbą rzeczywistą gdyż:

2222 )())(( yxiyxiyxiyx

Dzielenie liczb zespolonych za pomocą liczb sprzężonych polega na pomnożeniu dzielnej i dzielnika przez liczbę sprzężoną do dzielnika. W taki sposób dzielnik staje się liczbą rzeczywistą a dzielenie jest dalej proste.


ALGEBRA ZESPOLONA – TRYGONOMETRYCZNY ZAPIS LICZB

ZESPOLONYCH – MODUŁ I ARGUMENT Geometryczna interpretacja liczb zespolonych umożliwia zupełnie inny sposób zapisu liczb zespolonych. Podstawowymi narzędziami tego zapisu są pojęcia modułu i argumentu. Modułem danej liczby zespolonej z nazywamy odległość punktu reprezentującego tą liczbę od początku układu współrzędnych. Argumentem danej liczby zespolonej nazywamy kąt między dodatnią osią x a prostą łączącą dany punkt z początkiem układu.

z=x+iy x

y

O

A

r φ

2 2r z x y z z

( )Arg z


TRYGONOMETRYCZNY ZAPIS LICZB ZESPOLONYCH – MODUŁ I ARGUMENT

Moduł liczby zespolonej jest zawsze liczbą nieujemną. Jedyną liczbą, której moduł wynosi 0 jest liczba (0,0). Argument liczby zespolonej jako kąt jest wyrażany w mierze łukowej (w radianach) i mieści się w zakresie: [0,2π). Ścisłe wyznaczenie argumentu wymaga uwzględnienia

w której ćwiartce leży punkt reprezentujący daną liczbę zespoloną. Podstawowe

zależności trygonometryczne prowadzą do wzoru:

0

0 0, 0 ( .)

0 ( .)

2 0, 0 ( .)

dla x y I ćw

dla x II i III ćw

dla y x IV ćw

0( ) arctany

Arg zx

gdzie:


ALGEBRA ZESPOLONA – TRYGONOMETRYCZNY ZAPIS LICZB

ZESPOLONYCH

Uwzględniając podstawowe zależności trygonometryczne między modułem, argumentem i składowymi liczby zespolonej możemy napisać:

cos sin

cos sin

cos sin (cos sin )

(cos sin )

x y

r r

x r y r

z x iy r ir r i

z r i

Zapis ten nazywamy trygonometryczną postacią liczb zespolonych. Postać ta bardzo ułatwia mnożenie i dzielenie oraz potęgowanie i pierwiastkowanie w dziedzinie liczb zespolonych.


ALGEBRA ZESPOLONA – MNOŻENIE

Trygonometryczna postać liczb zespolonych pozwala na stosunkowo prostą interpretację mnożenia i dzielenia liczb zespolonych. Niech z1 i z2 oznaczają dwie dowolne liczby zespolone:

1 1 1 1 2 2 2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1

(cos sin ) (cos sin )

(cos sin ) (cos sin )

cos cos sin sin (cos sin cos sin

z r i z r i

z z r i r i

r r i

Mnożenie liczb zespolonych jest jednoznaczne z mnożeniem modułów i dodawaniem argumentów.

1 2 1 2 1 2 1 2cos( ) sin( )z z rr i


ALGEBRA ZESPOLONA – DZIELENIE

W podobny sposób można wyprowadzić odpowiedni wzór określający dzielenie liczb zespolonych:

1 11 2 1 2

2 2

cos( ) sin( )z r

iz r

Zgodnie z tym wzorem dzielenie jest równoznaczne z dzieleniem modułów i odejmowaniem argumentów.


ALGEBRA ZESPOLONA - POTĘGOWANIE

[cos( ) sin( )]n nz r n i n

Stosując własność określającą mnożenie do tego samego elementu n razy otrzymujemy tzw. wzór de Moivre’a pozwalający potęgować liczby zespolone:

Potęgowanie liczb zespolonych jest równoznaczne z potęgowaniem modułu i mnożeniem argumentu przez potęgę n. Wzór ten obowiązuje dla całkowitych wartości n.


ALGEBRA ZESPOLONA - PIERWIASTKOWANIE

W przypadku pierwiastkowania stopnia n otrzymuje się n różnych pierwiastków dla których wzór de Moivre’a ma postać:

1,...,2,1,0

2sin

2cos

nk

n

ki

n

krz nn


ANALIZA ZESPOLONA – Ciągi i szeregi

,...,...,,}{ 21 nn zzzz

1

21 ......n

nn zzzz

Podobnie jak w zbiorze liczb rzeczywistych , w zbiorze liczb zespolonych możemy rozpatrywać pojęcia ciągu oraz szeregu. Ciągiem zespolonym nazywamy nieskończony uporządkowany układ liczb zespolonych:

Szeregiem zespolonym nazywamy nieskończoną uporządkowaną sumę liczb zespolonych:

Ciąg zespolony jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy zbieżne są odpowiednie ciągi rzeczywiste części rzeczywistych i części urojonych tzn.:

.}{}{.}{}{ zbieżsąyixzbieżjestiyxz nnnnn


ANALIZA ZESPOLONA – Ciągi i szeregi

n

i

i

n nn zz

11lim

Mówimy że dany szereg liczb zespolonych jest zbieżny jeżeli zbieżny jest ciąg jego sum częściowych:

Jeżeli dany szereg zespolony jest zbieżny to zbieżne są również odpowiednie szeregi rzeczywiste składowych i ważny jest wzór:

1 1 1n n n

nnn yixz


ANALIZA ZESPOLONA – Funkcje

YD

CYCD

zf

)(

Yzf )(Dz

Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy literą C. Niech D i Y będą podzbiorami C. Funkcją zespoloną zmiennej zespolonej nazywamy jednoznaczne przyporządkowanie elementów zbioru Y elementom zbioru D.

)(zf


ANALIZA ZESPOLONA – Funkcje

),()()(

),()()(

)()()()(

yxfiyxfzf

yxfiyxfzf

zfizfiyxfzf

yyy

xxx

yx

Zbiór D nazywamy dziedziną funkcji, natomiast zbiór Y jest to zbiór wartości funkcji. Zbiory D i Y mogą być rozłączne, mogą się pokrywać częściowo lub całkowicie, mogą też pokrywać się ze zbiorem C. Elementy zbiory Y czyli wartości funkcji są oczywiście liczbami zespolonymi tzn. można je zapisać za pomocą części rzeczywistej i urojonej:

Funkcje rzeczywiste fx i fy nazywamy częścią rzeczywistą i urojoną danej funkcji f(z). Z powyższego zapisu wynika, że każda funkcja zespolona jest równoznaczna z układem dwu funkcji rzeczywistych dwu zmiennych.

)},(),,({)( yxfyxfzf yx


ANALIZA ZESPOLONA – Sposoby definiowania funkcji zespolonych

Mamy 3 zasadnicze sposoby definiowania funkcji zespolonych: 1. Bezpośrednio za pomocą działań algebraicznych tzn. dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, potęgowania i pierwiastkowania. W przypadku użycia pierwiastków konieczne jest zapewnienie jednoznaczności przez wybór jednego z wyników pierwiastka. Przykłady:

32

3

2

)(

)(

5)(

)(

izizzf

izzz

izzf

zzf



),(),()( yxfiyxfzf yx

2. Za pomocą jawnych postaci części rzeczywistej i urojonej.

Przykłady:

0),(,),()(

),(,),()()(

),(,),()(

),(,),()()()(

2222

3232

yxfyxyxfyxzzf

yyxfxyxfyixzzf

yx

yyxf

yx

xyxf

yx

yi

yx

xzf

yxyxfyxyxfyxiyxzf

yx

yx

yx

yx



0

( ) [ ( )] n

n

n

f z a z z

3. Za pomocą szeregów potęgowych. Wiele ciekawych funkcji można zdefiniować przy użyciu zbieżnych szeregów potęgowych. Funkcja taka ma postać:

Warunkiem prawidłowej definicji jest tzw. zbieżność jednostajna powyższego szeregu. Współczynniki szeregu an(z) są w ogólnym przypadku funkcjami zespolonymi zdefiniowanymi w inny sposób. W praktyce najczęściej są to stałe liczby rzeczywiste (zależne od n).



Rozważmy prosty ale ważny przykład tzw. funkcji ekspotencjalnej. Niech:

0

32

!

1...

!

1...

!3

1

!2

11)(

!

1

n

nn

n zn

zn

zzzzfn

a

Jeżeli zmienna z ograniczymy tylko do części rzeczywistej tzn. przyjmiemy, że część urojona z jest równa zero, wtedy z=x, szereg powyższy pokrywa się z szeregiem rzeczywistym określającym zwykłą funkcję ekspotencjalną ex.


Elementy analizy zespolonej cd.

Różniczkowanie i całkowanie


ANALIZA ZESPOLONA – Funkcja ekspotencjalna

0 !

)(n

ndefz

n

zezf

W związku z tym funkcję zespoloną określoną za pomocą tego szeregu również nazywamy funkcją ekspotencjalną i oznaczamy ją jako ez.

Ponieważ szereg jest zbieżny jednostajnie dla dowolnej liczby zespolonej, zatem dziedziną funkcji ekspotencjalnej jest cały zbiór liczb zespolonych.

Metodami analizy matematycznej można wykazać, że szereg powyżej zdefiniowany jest jednostajnie zbieżny dla dowolnej liczby zespolonej z.



Rozważmy teraz funkcję ez dla osi urojonej tzn. przyjmijmy z=iy. W celu zbadania funkcji obliczmy kolejne potęgi z=iy:

0 0 1 1 2 2 2

3 3 3 4 4 4 5 5 5

6 6 6

( ) 1 ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

z iy z iy iy z iy y

z iy iy z iy y z iy iy

z iy y



...!5!3

...!6!4!2

1

...!6!5!4!3!2

1

53642

65432

yyyi

yyy

yiyyiyyiyeiy

Podstawiając otrzymane wyrażenia do szeregu otrzymujemy:

Po rozłożeniu szeregu na część rzeczywistą i urojoną stwierdzamy, że części te są równoznaczne z szeregowym zapisem prostych funkcji trygonometrycznych kosinus i sinus:

yyy

y

yyyy

sin...!5!3

cos...!6!4!2

1

53

642



yiyeiy sincos

2121 zzzzeee

Podstawiając otrzymane zapisy do wyrażenia na funkcję ekspotencjalną osi

urojonej otrzymujemy słynny wzór Eulera wiążący funkcję ekspotencjalną

z funkcjami trygonometrycznymi:

Można wykazać, że funkcja ekspotencjalna zmiennej zespolonej spełnia większość własności funkcji ex a w szczególności że:

W związku z tym:

)sin(cos yiyee

eeee

xz

iyxiyxz



[(cos ) (sin )] cos sin

( )

z z

z z x

e e

z x z

e e i e y i y

e e Arg e y

Jeżeli otrzymany wzór porównamy z tzw. trygonometryczną postacią liczb zespolonych to otrzymamy pewne własności zespolonej funkcji ekspotencjalnej:

Oraz:

yeyxfe

yeyxfe

x

y

z

x

x

z

sin),()Im(

cos),()Re(



0 0

0 0

0 0 0 0 0

(2 )

0 0

0 0

(2 ) (2 ) ( 2 ) 0, 1, 2,...

[cos 2 sin 2 ]

[cos sin ]

z i k xz

x z

z z i k x iy i k x i y k k

e e e y k i y k

e y i y e

Niech:

00 )2( zikzee

Funkcja ez jest funkcją okresową (!!!) o okresie 2πi.


ANALIZA ZESPOLONA – Funkcje trygonometryczne

Za pomocą szeregów potęgowych można oprócz funkcji ekspotencjalnej definiować również funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej. Odpowiednie definicje są uogólnieniem wzorów określających rozwinięcia szeregowe funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej:

z

zz

z

zz

n

zzzzz

n

zzzzzz

n

nn

n

nn

sin

coscot

cos

sintan

)!2()1(...

!6!4!21cos

)!12()1(...

!7!5!3sin

0

2642

0

12753

Funkcje sin(z) i cos(z) są określone dla dowolnych liczb zespolonych. Z zapisu szeregowego wynika, że funkcja sin(z) jest nieparzysta natomiast cos(z) jest parzysta.



zizeiz sincos

Można wykazać, że funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej są ściśle związane z funkcją ekspotencjalną za pomocą ogólnego wzoru Eulera:

Napiszmy powyższy wzór dla z oraz –z.

zizzize

zize

iz

iz

sincos)sin()cos(

sincos



2cos

cos2

iz iz

iz iz

e e z

e ez

Dodając i odejmując stronami otrzymane równania dostajemy wzory wiążące funkcje trygonometryczne zmiennej zespolonej z funkcją ekspotencjalną:

2 sin

sin2

iz iz

iz iz

e e i z

e ez

i


r

z0

ANALIZA ZESPOLONA – Otoczenie punktu zespolonego

Otoczeniem punktu z0=x0+iy0 o promieniu r nazywamy zbiór wszystkich liczb zespolonych spełniających nierówność:

00 rrzz

x

y


ANALIZA ZESPOLONA – Pochodna funkcji zespolonej

Jeżeli dla danego punktu z0 i danej funkcji zespolonej f(z) istnieje otoczenie tego punktu o promieniu r>0 takie, ze dla dowolnego ciągu zn−>z0 zawartego w tym otoczeniu istnieje granica:

)(')()(

0

0

0

lim0

zfzz

zfzf

n

n

zzn

to mówimy że funkcja jest różniczkowalna w z0 a liczbę f’(z) nazywamy pochodną funkcji z. Ponieważ z jest zmienną więc otrzymana w wyniku różniczkowania pochodna również jest nową funkcją zespoloną. Funkcje zespolone, które są różniczkowalne nazywamy funkcjami analitycznymi. Różniczkowanie za pomocą powyższej definicji jest bardzo uciążliwe i w praktyce nie stosowane.


ANALIZA ZESPOLONA – Różniczkowanie funkcji zespolonych W praktyce technika różniczkowania zespolonego zależy od sposobu zdefiniowania funkcji. Dla funkcji zdefiniowanych za pomocą wzorów zawierających operatory algebraiczne i proste funkcje elementarne stosuje się wszystkie metody analogiczne do różniczkowania funkcji rzeczywistych. Prawie wszystkie stosowane tam twierdzenia (o różniczkowaniu sumy, iloczynu, ilorazu itd.) można przenieść bezpośrednio na różniczkowanie zespolone. W szczególności wielomiany zespolone oraz zespolone funkcje wymierne różniczkuje się tak samo jak funkcje rzeczywiste. Proste funkcje zespolone zdefiniowane za pomocą szeregów takie jak funkcja ekspotencjalna i funkcje trygonometryczne różniczkuje się identycznie jak odpowiednie funkcje rzeczywiste. Mamy więc:

zzzzee zz sin)'(coscos)'(sin)'(


ANALIZA ZESPOLONA – Różniczkowanie funkcji zespolonych

oyx iyxzyxfiyxfzfNiech 00),(),()(

Istotna różnica między różniczkowaniem zespolonym a rzeczywistym zachodzi dla funkcji zdefiniowanych za pomocą części rzeczywistej i urojonej. Dla tego przypadku obowiązuje tzw. twierdzenie Cauchy – Riemanna:

1. Jeżeli funkcja f(z) jest różniczkowalna w z0 to istnieją pochodne cząstkowe funkcji fx i fy oraz spełniają one tzw. równania Cauchy – Riemanna:

x

f

y

f

y

f

x

f yxyx


ANALIZA ZESPOLONA – Różniczkowanie funkcji zespolonych 2. Jeżeli funkcje fx(x,y) oraz fy(x,y) określające daną funkcję zespoloną spełniają powyższe równania Cauchy – Riemanna a wszystkie pochodne cząstkowe występujące w tych równaniach są ciągłe w punkcie (x0,y0) to funkcja zespolona f(z)=fx(x,y)+ify(x,y) jest różniczkowalna a jej pochodna wyraża się wzorem:

y

fi

y

f

x

fi

x

fzf xyyx

)('

Technika różniczkowania za pomocą twierdzenia Cauchy – Riemanna polega na znajdowaniu odpowiednich pochodnych cząstkowych funkcji składowych.


ANALIZA ZESPOLONA – Różniczkowanie funkcji zespolonych Przykład:

( ) ( ) cos( ) sin( )x xf z f x iy e y i e y

Mamy zatem: ( , ) cos( ) ( , ) sin( )x x

x yf x y e y f x y e y

W celu zróżniczkowania tej funkcji należy najpierw sprawdzić jej różniczkowalność za pomocą równań Cauchy – Riemanna. Musimy zatem wyznaczyć 4 pochodne cząstkowe:

( , )( , )cos( ) cos( )

( , )( , )sin( ) sin( )

yx xx

yx xx

f x yf x ye y e y

x y

f x yf x ye y e y

y x

Widzimy że równania Cauchy – Riemanna są spełnione.


ANALIZA ZESPOLONA – Różniczkowanie funkcji zespolonych

Zatem zgodne ze wzorem Cauchy – Riemanna możemy wyznaczyć pochodną:

'( ) cos( ) sin( ) ( ) !!!y x xx

fff z i e y i e y f z

x x

( , )( , )cos( ) cos( )

( , )( , )sin( ) sin( )

yx xx

yx xx

f x yf x ye y e y

x y

f x yf x ye y e y

y x

Czyli pochodna tej funkcji jest tożsama z tą funkcją. Ale można sprawdzić, że funkcja ta jest równoznaczna z funkcją ekspotencjalną więc własność ta jest oczywista.


ANALIZA ZESPOLONA – Różniczkowanie funkcji zespolonych W przypadku funkcji zdefiniowanych za pomocą szeregu, możemy skorzystać z jednostajnej zbieżności tego szeregu i różniczkować szereg wyraz po wyrazie. Przykładowo zróżniczkujmy funkcję ekspotencjalną zdefiniowaną za pomocą szeregu:

2 3

0

1 1 1 1( ) 1 ... ...

! 2! 3! !

n n

n

f z z z z z zn n

1 2 1

0

2 1

1 2 3'( ) 0 1 ... ...

! 2! 3! !

1 11 .... ....

2! ( 1)!

n n

n

n z

n nf z z z z z

n n

z z z en

Otrzymaliśmy oczywistą postać pochodnej funkcji ekspotencjalnej.


zn-1

z2

z1

ANALIZA ZESPOLONA – Całkowanie funkcji zespolonych

W przypadku funkcji zespolonych podstawową operacją odwrotną do różniczkowania jest tzw. całkowanie krzywoliniowe. Teraz zdefiniujemy pojęcie całki funkcji zespolonej po pewnej linii leżącej w płaszczyźnie zespolonej. Niech f(z) będzie daną funkcją zespoloną a K pewną linią regularną (gładką) leżącą w dziedzinie funkcji zaczynającą się w punkcie zp i kończącą się w zk.

x

y

zp=z0

zk=zn

K

Podzielmy linię K na skończoną liczbę n części za pomocą punktów:

kniip zzzzzzzz ,...,,,...,,, 1210

zi-1 zi



],[ 1 iii zz

1 iii zzz

Z każdej części wybierzmy dowolny punkt

Dla każdej części możemy obliczyć różnicę

Utwórzmy teraz sumę

ni

i

iin zfS1

)(

Jeżeli teraz będziemy zwiększać liczbę n i dla każdego nowego podziału linii będziemy powtarzać powyższą operację to otrzymamy ciąg liczb zespolonych Sn. Jeżeli ciąg ten ma granicę to funkcja jest całkowalna a granicę nazywamy całką krzywoliniową funkcji f(z) po krzywej K i oznaczamy wzorem:

zn-1

z2

z1

x

y

zp=z0

zk=zn

K zi-1

zi



0

( ) ( )limi

nn K

z

S f z dz

Z pojęciem całki krzywoliniowej związane jest pojęcie funkcji pierwotnej. Mówimy, że funkcja F(z) jest funkcją pierwotną do funkcji f(z) w obszarze D jeżeli w każdym punkcie tego obszaru zachodzi równość F’(z)=f(z). Funkcję pierwotną oraz całkę krzywoliniową łączy następujące twierdzenie: Jeżeli funkcja f(z) jest ciągła w obszarze D i ma w tym obszarze funkcję pierwotną F(z) to całka krzywoliniowa po dowolnej linii regularnej zawartej w D o początku zp i końcu zk wyraża się prostym wzorem:

)()()( pk

K

zFzFdzzf


Na tym kończymy dzisiejszy wykład. Dziękuję bardzo Państwu za uwagę.

Documents

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE stat W/Met... · ALGEBRA ZESPOLONA - DZIAŁANIA z x iy z x iy W przypadku gdy dzielnik nie jest liczbą rzeczywistą należy albo wykorzystać definicję