Capıtulo 17

Fluidos

17.1. Introduccion

Vimos en la seccion 8.10 que para cerrar el problema clasico de la Mecanica del Continuodebemos proporcionar seis ecuaciones adicionales. Las ecuaciones faltantes son justamente lasque definen al material.

El material queda definido, desde un punto de vista mecanico, cuando especificamos comoel tensor de tensiones T, que describe el estado de tension de una partıcula (o mejor, de suposicion en el espacio), depende de las otras cantidades que describen el movimiento.

De la cantidad que define el estado (de tension en este caso) se dice que es una cantidadconstitutiva y la relacion de esta con el movimiento se llama una ecuacion constitutiva.

Otra cantidad constitutiva, que tal vez resulte mas familiar, es el flujo de calor. La ecuacionconstitutiva para el flujo de calor es la conocida ley de Fourier. Las ecuaciones de estado vistasen termodinamica, son una clase especial de ecuaciones constitutivas. Todas ellas describen deque depende el estado de una partıcula material.

En lo que sigue se derivara las ecuaciones constitutivas para los fluidos clasicos. Comenza-remos con la definicion de fluido en reposo1 para luego pasar a los fluidos puramente viscosos,los fluidos stokesianos y los fluidos newtonianos.

17.2. Ecuaciones constitutivas

Para derivar las ecuaciones constitutivas existe un metodo de derivacion propio de la Mecani-ca Racional, que fue aplicado por Stokes 1945 y Boussinesq 1868 y refinado y extendido porReiner, Rivlin y Truesdell.

En este metodo se hace una suposicion general de la dependencia que las cantidades consti-tutivas (el tensor de tensiones, el flujo de calor, el flujo de especies, el flujo de carga, etc.) tienen

1Esta definicion parece suficiente para definir el fluido idela o elastico.

221

222

con la cinematica y otras fuerzas impulsoras adecuadas al problema. Si una fuerza impulsoaraparece en una ecuacion constitutiva, debe aparecer tambien en las otras.

La funcion propuesta debe cumpir con el principio de objetividad, con las simetrıas quese imponga al material, con las leyes generales de conservacion y con la segunda ley de latermodinamica. Luego se supone una forma para la ecuacion constitutiva.

Cada una de estos principios y suposiciones imponen restricciones que como veremos daranforma definitiva a la ecuacion constitutiva.

Por simplicidad supondremos una defincion de fluido puramente viscoso que cumple conel principio de objetividad y aplicaremos, sobre una funcion polinomica las restricciones deisotropıa y simetrıa para definir el fluido stokesiano. Luego supondremos ademas la linealidadpara definir el fluido newtoniano. Daremos luego, sin demostracion las restricciones que surgende aplicar la segunda ley de la termodinamica.

17.2.1. El fluido en reposo

Los libros elementales de Fısica generalmente hacen una descripcion cualitativa de los flui-dos. Por ejemplo, Resnick y Holliday[27] describe las caracterısticas de un fluido por compara-cion con el comportamiento de un solido, Sears y Semansky[29] solo definen el fluido ideal.

En el presente capıtulo analizaremos las definiciones verbales de los fluidos, relizadas porsus primeros investigadores, para luego, a partir de ellas, formalizar la definicion en terminosmatematicos.

Como punto de partida2 tomaremos la definicion que Sir Horace Lamb hace en su celebrelibro Hydrodynamics, [19], que traducimos a continuacion:

La propiedad fundamental de un fluido es que el mismo no puede estar

en equilibrio en un estado de tension tal que la accion mutua entre dos

partes adyacentes sea oblicua a la supeficie de separacion.

La accion mutua entre dos partes adyacentes de un fluido, esta representada por las tracciones.La oblicuidad a la que hace referencia Lamb, esta originada en la componente tangencial a lasuperficie sobre las cuales las tracciones actuan. Vimos que la componente tangencial dara origena esfuerzos de corte.

De acuerdo al enunciado, en estado de equilibrio, en reposo, las tracciones deben ser coli-neales a la normal a la superficie de aplicacion (ya que las acciones mutuas, las tracciones, nopueden ser oblicuas. Mas aun, tienen el mismo valor cualquiera sea la direccion de la normal.Entonces se puede escribir

t(n) = Tn = −phn (17.1)

2Como lo hace Fredrickson[16].

apuntes/fluidos-basicos.tex-26 de abril de 2010 223

donde −ph es una constante de proporcionalidad, que como veremos en seguida, esta relacionadaa la presion mecanica. Permitamonos denominarla presion, y designarla con el subındice h paraindicar que se trata de la presion hidroestatica, es decir, la presion en estado estatico, dereposo. Consecuentemente, el tensor de tensiones para un fluido en reposo debe ser tal que

T = −phI (17.2)

A un estado de tension caracterizado por un tensor identidad se le denomina esferico o hi-droestatico.

Por otro lado, vimos que el tensor de tensiones, como cualquier otro, puede descomponerseen su parte esferica y su desviador, manera

T = −pI + T′ (17.3)

donde p es la presion mecanica. Siendo T′ un tensor sin traza, la unica contribucion esferica aT, proviene del tensor asociado a la presion mecanica. Ademas como por definicion de fluido, elestado de reposo no admite esfuerzos de corte, T′ debe ser identicamente nulo. Se tiene entoncesque la presion mecanica y la presion hidroestatica son iguales

ph = p (17.4)

Veremos luego que para fluidos newtonianos, el tensor de tensiones puede escribirse enfuncion del tensor tasa temporal de estiramiento, D de la siguiente manera

T = −πI + TD (17.5)

donde TD es el tensor de tensiones viscosas y es tal que TD = f(D) con TD = 0 para elestado de reposo (D = 0). La constante π, como surge de un analisis de segunda ley sobre laecuacion constitutiva, es la presion termodinamica3.

De lo anterior, para estado de reposo (y solo para estado de reposo) tenemos que

ph = p = π (17.6)

es decir, las tres presiones definidas, la presion hidroestatica, la presion mecanica y la presiontermodinamica son iguales, lo que proporciona un medio de obtener la presion termodinamicaa partir de mediciones mecanicas en estado de reposo.

17.2.2. Fluidos puramente viscosos

Hemos visto como, del analisis de la definicion verbal, se obtiene una descripcion precisadel fluido en estado de reposo. Evidentemente esta no es suficicente para describir los fluidosen movimiento.

3Esto solo se puede demostrar luego de haber presentado la termodinamica del continuo

224

Una clase de fluido bastante general, que abarca un gran numero de materiales fluidoscomunes, incluidos el agua, los lıquidos comunes y todos los gases, es el denominado fluidopuramente viscoso.

Una clase particular de material se define especificando en forma precisa una serie de con-diciones que debe cumplir el tensor de tension. Estas condiciones determinan como dependeel estado de tension con los parametros que describen las velocidades de deformacion. En par-ticular, para los fluidos que trataremos aquı, estas condiciones determinan como depende elestado de tension con el tensor tasa temporal de estiramiento. Estas condiciones, que son muygenerales, permiten deducir la forma de las ecuaciones constitutivas.

Como hicimos en la seccion precedente, en que tomamos la definicion verbal del fluido enreposo, consideraremos aquı el concepto de fluides como fue establecido por Stokes:

La diferencia entre la presion en un plano en una dada direccion pasando

por un punto P de un fluido en movimiento y la presion que existirıa en

todas direcciones alrededor de P si el fluido en su vecindad estuviera en

estado de equilibrio relativo, depende solo del movimiento relativo del

fluido en las inmediaciones de P y que el movimiento relativo debido a

cualquier movimiento de rotacion puede ser eliminado sin afectar las

diferencias de presion arriba mencionadas.

La verbalizacion del concepto, aunque complicada, contiene todos los elementos modernos quedefinen los fluidos clasicos.

En efecto, la deformacion relativa esta dada por el tensor ∇v y si no tenemos en cuenta losefectos de rotacion sera suficiente considerar solo el tensor de deformacion D.

Mas precisamente podemos postular que el fluido puramente viscoso esta definido porlos siguientes enunciados:

1. El tensor de tensiones viscosas es una funcion continua del tensor tasa de deformacion Dy es independiente de otras cantidades cinematicas. Es tambien una funcion implıcita delestado termodinamico.

Este requisito implica queTD = f(D) (17.7)

2. Las tensiones no dependen explıcitamente de la posicion4.

Este requisito implica que si bien es posible la relacion

TD = f(D(x)) (17.8)

no es posible la siguienteTD = f(x,D(x)) (17.9)

4REVISAR LO QUE SIGUE, es decir son espacialmente homogeneos.

apuntes/fluidos-basicos.tex-26 de abril de 2010 225

3. Cuando D = 0, las tensiones se reducen a un estado esferico. Este requisito establece quepara D = 0

T = −πI (17.10)

Resulta conveniente entonces, para satisfacer los tres requisitos, definir el tensor de tensio-nes viscosas como unica funcion de la tasa de deformacion D, tal que satisfaga los requisitos1 y 2

TD = f(D) (17.11)

conTD = f(0) = 0 (17.12)

Podemos escribir entonces el tensor de tensiones de la siguiente manera

T = −πI + TD (17.13)

que satisface los postulados enunciados.La ecuacion 17.13 define una clase constitutiva de fluidos, denominados fluidos puramente

viscosos. Para cada fluido de esta clase debera especificarse la forma de la funcion que defineel tensor de esfuersos viscosos.

La clase recien definida es demasiado general para nuestros propositos, y podran incluiren ella fluidos isotropos y no-isotropos5 con comportamiento lineal o nolineal, por lo que seagregaran condiciones suplementarias para reducir su alcance.

17.2.3. Fluidos Stokesianos

Un fluido viscoso mas simple es el denominado fluido stokesiano. El fluido Stokesiano es elfluido puramente viscoso isotropo. Para definirlo cuantitativamente introducimos un cuartopostulado

4 No existe direccionalidad en el espacio.

Considerando solo el tensor de tension viscosa

TD = f(D) (17.14)

el requisito de isotropıa se expresa

QTDQ−1 = f(QDQ−1) (17.15)

para cualquier matriz de transformacion ortogonal Q.

5Los cristales lıquidos y los fluidos particulados, los fluidos polimericos, la sangre en capilares, se comportancomo fluidos no isotropos. No estoy seguro si ellos entran en la definicion de fluido puramente viscoso. Paraestos se aplica la teorıa de mezclas. Tampoco estoy seguro si vale para ellos la simetrıa del tensor de tensiones.

226

Los postulados 1 a 4 llevan a que el tensor de tensiones pueda escribirse de la siguientemanera

T = a0I + a1D + a2D2 (17.16)

donde los ai son funciones escalares de los tres invariantes principales de D y del estado ter-modinamico

ai = ai(ID, IID, IIID) (17.17)

Este resultado se obtiene escribiendo la funcion f(D) como un polinomio en D y aplicando almismo las restricciones originadas en la isotropıa. El calculo correspondiente se detalla en laseccion siguiente.

Expresion polinomica para el Fluido Stokesiano. REVISAR

Se propone una forma polinomica para el tensor de tensiones.

TDij = AijklDkl + BijklDkrDlr + CijklDkrDsrDls + ... (17.18)

TD = A : D + B · D · D + C · D ·D ·D + ... (17.19)

los coeficientes A, B, y C son tensores de cuarto orden y representan propiedades del fluidoque dependen del estado termodinamico. La ecuacion 17.18 es una funcion del tiempo.

Como el fluido stokesiano es isotropico, los tensores de propiedad tambien deben serlo.Ahora, los tensores isotropicos de cuarto son de la forma6

Aijkl = a1δijδkl + a2δikδjl + a3δilδjk (17.20)

ademas, T y D son tensores simetricos por lo que los tensores propiedad A, B y C deben serlotambien. Podemos probar que los tensores de cuarto orden isotropos simetricos son de la forma

Aijkl = a1δijδkl + a2(δikδjl + δilδjk) (17.21)

De manera que

AijklDkl = (a1δijδkl)Dkl + a2(δikδjl + δilδjk)Dkl

= a1Dkkδij + 2a2Dij(17.22)

A : D = a1trDI + 2a2trD (17.23)

yBijklDkrDlr = (b1δijδkl + b2(δikδjl + δilδjk)DkrDlr

= b1δijDlrDlr + 2b2DirDjr(17.24)

B ·D · =b1D : D + 2b2D · D (17.25)

6Santalo pp., ver preliminares

apuntes/fluidos-basicos.tex-26 de abril de 2010 227

de manera que reordenando

T = a1(trD)I + b1D2I + 2c1(...)I + ... + 2a2D + 2b2D

2 (17.26)

agrupando los terminos esfericos podemos escribir

F (ID, IID, IIID) = F (D) = a1(trD)I + b1D2I + 2c1... (17.27)

F (·) es una funcion escalar de D y los coeficientes a2, b2, c2 tambien escalares, de manera queel tensor de tensiones viscosas queda

TD = F (D)I + 2a2D + 2b2D ·D + 2c2D ·D ·D + ... (17.28)

es una funcion escalar de D y los coeficientes a2, b2, c2 son escalares.Por el teorema de Cayley-Hamilton todos las potencias de D de orden superior a dos pueden

escribirse en terminos del cuadrado de D y de sus tres invariantes principales D, ID, IID,IIID. En efecto, por el teorema mencionado toda matriz cuadrada satisface su propia ecuacioncaracterıstica, de manera que para D podemos escribir

D3− IDD2 + IIDD − IIIDI = 0 (17.29)

entoncesD3 = IDD2 − IIDD + IIIDID4 = DD3 = D(IDD2 − IIDD + IIIDI)

= IDD3 − IIDD2 + IIIDD= ID(IDD2 − IIDD + IIIDI) − IIDD2 + IIIDD= (I2

D − IID)D2 + (IIID − IDIID)D + (IDIIID)I

(17.30)

Cualquier otra potencia de D de orden mayor podra escribirse en terminos de las precedentesy resultara una funcion de D, D2, ID, IID, IIID. Tendremos entonces que

TD = (F (D) − 2c2IIID + 2c3IDIIID + ...)I+(2a2 − c2IID − c3(IIID − IDIID) + ...)D+(2b2 − c2ID +3 (I2

D − IID) + ...)D2(17.31)

Cualquier termino de orden superior podra reducirse a polinomios de segundo orden en Dcuyos coeficientes seran funciones de D2, ID, IID, IIID y operando sumaran a los factores entreparentesis.

Como en ultima instancia los valores actuales de los coeficientes seran obtenidos en formaexperimental, no nos importa mucho la forma funcional que tomen, de manera que simplementeescribimos

TD = a0I + a1D + a2D2 (17.32)

donde los ai son funciones escalares de D, ai(D) y de los invariantes de D. El coeficiente a0

debe ser tal que a0(0) = 0.Stokes obtuvo este teorema para el caso de dependencia lineal. La prueba general se debe

a Reiner 1945, Rivlin 1947. La prueba mas rigurosa se debe a Rivlin y Ericksen. Aris, [? ]presenta un desarrolo mas simple y elegante en terminos de los tensores escritos para la basecoordenada propia. En esta base, los tensores son diagonales y los calculos son mas sencillos.

228

17.3. El Fluido Newtoniano

El fluido newtoniano no es otra cosa que el fluido stokesiano lineal. Partiendo de la definicionde fluido Stokesiano

TD = a0I + a1D + a2D2 (17.33)

donde los ai son funciones escalares de D y de los invariantes de D, requeriremos ademas lalinealidad con D. Entonces, no puede permanecer el termino cuadratico por, lo que

a2 = 0 (17.34)

a1 debe ser constante para mantener la linealidad, entonces hacemos

a1 = 2µ (17.35)

donde se ha nombrado la constante de proporcionalidad como 2µ. Por ultimo, el coeficientea0, que dijimos es una funcion de los tres invariantes, no puede ser funcion de los invariantesno lineales. Solo puede ser funcion lineal del invariante lineal ID = trD = ∇ · v, por lo quepodemos escribir

a0 = η∇ · v (17.36)

donde η es una constante escalar. El tensor de tensiones viscosas para fluidos stokesianos linealesqueda

TD = η(∇ · v)I + 2µD (17.37)

que introduciendo en la ecuacion para el fluido stokesiano, ecuacion 17.13 queda

T = −πI + η(∇ · v)I + 2µD (17.38)

Esta ecuacion se denomina Ley de Navier-Poisson y es la ecuacion constitutiva para losfluidos que denominamos newtonianos. Las constantes constitutivas µ y η se denominanprimer y segundo coeficiente de viscosidad, o tambien, viscosidad y segunda viscosidadrespectivamente. Es frecuente definir ademas la viscosidad volumetrica κ como

κ = η +2

3µ (17.39)

con lo que el tensor de tensiones viscosas queda

TD = (κ −2

3µ)∇ · vI + 2µD (17.40)

El tensor de tensiones viscosas tiene entonces una descomposicion aditiva en una parteesferica (que debe anularse para el reposo) relacionada a la segunda viscosidad, y una parterelacionada a la viscosidad, de la que solo se puede decir que es simetrica.

apuntes/fluidos-basicos.tex-26 de abril de 2010 229

El tensor viscoso esferico solo produce tensiones normales. La presencia de ∇ · v indica queestos esfuerzos son proporcionales a la rapidez con que cambia el elemento de volumen de fluido.

La parte puramente viscosa del tensor de tensiones viscosas, es decir 2µD, da cuenta delos efectos causados por los gradientes de velocidad. Produce esfuerzos normales y esfuerzos decorte7.

17.3.1. Presion mecanica y presion termodinamica

Hemos visto en la seccion 8.9, que resulta conveniente descomponer el tensor de tensionesT en su parte esferica y el desviador.

T = −pI + T′ (17.41)

y que para el fluido newtoniano, cuya ecuacion constitutiva esta dada por la ecuacion de NavierPoisson tambien vale

T = (−π + η∇ · v)I + 2µD (17.42)

Escribiendo

D = (D −1

3tr(D)I) +

1

3tr(D)I =

1

3∇ · vI + D′ (17.43)

y siendo D′ = (D−1/3tr(D)I) el deviador del tensor tasa temporal de deformacion. En terminosdel desviador de D, el tensor de tensiones queda

T = (−π + (η +2

3µ)∇ · v)I + 2µD′ (17.44)

Por definicion la traza de T′ y de D′ son nulas por lo que, igualando 17.41 y 17.54 y tomado latraza resulta

p = π − (η +2

3µ)∇ · v (17.45)

yT′ = 2µD′ (17.46)

La primera relacion muestra que la presion termodinamica y la presion mecanica para el fluidonewtoniano no son iguales, sino que difieren en κ∇·v donde κ es la viscosidad global definidapor

κ = η +2

3µ (17.47)

Para el caso particular de flujos compresibles, definidos por ∇ · v = 0, esta diferenciadesaparece. Bajo esta suposicion, la ecuacion de Navier Poisson se reduce a

T = −πI + 2µD (17.48)

7Esto se enfatiza en ingles al denominar µ como shear viscosity.

230

17.3.2. Flujo incompresible

El flujo incompresible esta definido por

∇ · v = 0 (17.49)

o en su descripcion material, porJ = 1 (17.50)

es decir, el flujo compresible es entonces isocorico.Es interesante inspeccionar los casos en que es factible considerar flujo incompresible. Para

ello hacemos un analisis de la ecuacion de continuidad

∇ · v =1

ρ

Dρ

Dt= 0 (17.51)

esto implica que el campo de velocidades es tal que la densidad de las partıculas que sesigue en su movimiento permanece contante. Desarrollando la derivada total, podemos escribir

Dρ

Dt=

∂ρ

∂t+ ∇ρ · v = 0 (17.52)

La derivada total puede anularse ademas en las siguientes circunstancias triviales:

Caso estacionario y velocidad sea normal al gradiente de densidad. Este serıa el caso deuna corriente estratificada en densidad que fluye normalmente a la estratificacion.

Caso estacionario y el gradiente de densidad es nulo. Esto ocurre si el campo de densidades uniforme.

Un tercer caso es el que −∇ρ · v = ∂ρ/∂t.

17.3.3. Hipotesis de Stokes.

Stokes postulo el caso de un fluido en el que la viscosidad volumetrica se anula. A estasuposicion se le denomina hipotesis de Stokes

3η + 2µ = 0 (17.53)

Para este caso la ecuacion constitutiva queda

T = −πI + 2µD′ (17.54)

Notando que como para para flujo incompresible, ∇ · v = 0, se tiene que D = D′, el tensor detensiones es el mismo bajo la hipotesis de Stkes o para el flujo incompresible. Existe no obstanteuna diferencia conceptual. Para el primero, la presion es la presion mecanica, para el segundoes la presion termodinamica. Veremos que las equaciones de campo tambien son diferentes.

Stokes uso dos argumentos para justificar esta suposicion:

apuntes/fluidos-basicos.tex-26 de abril de 2010 231

En una expansion esferica se tendrıa dispacion (D : D) nula y tambien una diferencianula entre p y π8.

Para gases monoatomicos la teorıa cinetica de Maxwell predice la relacion.

En cuanto a su aplicacion, es una suposicion razonablemente correcta para los gases mono-atomicos. No lo es para gases en general ni para lıquidos.

Por ultimo, si bien no lo probaremos aquı, conviene decir que los coeficientes constitutivosson todos positivos η > 0, µ > 0 y en η > µ. Esto es una consecuencia de la aplicacion de lasegunda ley de la termodinamica a la ecuacion constitutiva.

Por supuesto, el coeficiente η no tiene importancia para flujos incompresibles ya que esta mul-tiplicado por cero (∇ · v = 0).

17.4. Fluido incompresible

Hemos visto que p es la presion mecanica. Mediante argumentos termodinamicos se puededemostrar que π es la presion termodinamica. La presion termodiniamica se define como laderivada parcial de la energıa libre de Helmholtz, A, con respecto al volumen especıfico τ .Entonces, si es A = A(τ, T ), la presion termodinamica es

π =∂A

∂τ(17.55)

Cuando se habla de fluido incompresible esto supone que la variables termodinamicas nodependen de densidad o del volumen especıfico ya que estos se suponen constantes, entoncesA = A(T ) y la presion termodinamica no queda definida.

La ecuacion constitutiva para un fluido incopresible no se obtiene entonces como caso par-ticular del fluido compresible, sino que es una categorıa de fluido en si misma, para la cual sedefine el tensor de tensiones como

T = −pI + 2µD (17.56)

¿Que significa la presion p en este caso? La presion sigue siendo la presion mecanica. La presiontermodinamica π no tiene sentido fısico bajo las suposiciones realizadas, lo mismo que la alturano tiene sentido fısico en un espacio bidimensional.

8¿Por que estos argumentos justifican la suposicion?

232

Capıtulo 18

La ecuacion de Navier-Stokes

Definido el modelo constitutivo para el fluido newtoniano podemos introducirlo en la ecua-cion de equilibrio dinamico para obtener las ecuaciones de campo que gobiernan estos fluidos,denominadas, en honor a Navier [? ] y Stokes [? ] con sus nombres.

Particularizando entocesla ecuacion de equilibrio dinamico

ρDv

Dt= ∇ · T + ρb (18.1)

con el modelo constitutivo para el fluido de Navier-Poisson, cuya ecuacion constitutiva es ecua-cion 17.38

T = −πI + η(∇ · v)I + 2µD (18.2)

obtendremos la ecuacion de campo denominada de Navier-Stokes.Para ello solo resta calcular la divergencia de T para lo cual consideraremos que las visco-

sidades son constantes. Entonces

∇ ·T = −∇π + η∇(∇ · v) + 2µ∇ · D (18.3)

y teniendo en cuenta que D = 12(∇v + ∇vT ) y que su divergencia es

Dij,j =1

2(vij,j + vji,j) =

1

2(vij,j + vjj,i) (18.4)

donde se ha cambiado el orden de derivacion en el segundo termino, se obtiene

∇ ·D =1

2

(∇

2v + ∇(∇ · v))

(18.5)

finalmente la divergencia del tensor de tensiones queda

∇ ·T = −∇π + (η + µ)∇(∇ · v) + µ∇2v (18.6)

233

234

Reemplazando en la ecuacion de equilibrio dinamico resulta

ρ(∂v

∂t+ (∇v) · v = −∇π + (η + µ)∇(∇ · v) + µ∇2v + ρb (18.7)

o en terminos de la viscocidad cinematica ν = µ/ρ, y designando η′ = η/ρ

∂v

∂t+ (∇v) · v = −

1

ρ∇π + (η′ + ν)∇(∇ · v) + ν∇2v + b (18.8)

∂v

∂t+ (∇v) · v

︸ ︷︷ ︸

terminos de inercia

= −1

ρ∇π

︸ ︷︷ ︸

termino de presion

+ (η′ + ν)∇(∇ · v) + ν∇2v︸ ︷︷ ︸

terminos viscosos

+ b︸︷︷︸

f. volumetricas

(18.9)

∂v

∂t︸︷︷︸

variacion local

+ (∇v) · v︸ ︷︷ ︸

termino convectivo

= −1

ρ∇π

︸ ︷︷ ︸

termino de presion

+ (η′ + ν)∇(∇ · v) + ν∇2v︸ ︷︷ ︸

terminos viscosos

+b

(18.10)Para el caso de flujo incompresible, ∇ · v = 0, el termino viscoso relacionado a la expancionvolumetrica, se anula, de manera que la ecuacion se reduce a

∂v

∂t+ (∇v) · v = −

1

ρ∇p + ν∇2v + b (18.11)

18.1. Fluidos ideales

Para fluidos ideales tambien llamados elasticos o invıscidos el tensor de tension esta da-do por T = −pI, y la ecuacion se reduce a

∂v

∂t+ (∇v) · v = −

1

ρ∇p + b (18.12)

18.2. Nota

Como usamos aqui la derivada material, debe notarse que su apariencia depende de comose haya definido el tensor gradiente de un vector. Aquı nos adherimos a la notacion de Slattery(salvo que, a diferencia de nuestra notacion abitual, para un tensor aplicado a un vector, Tv,escribiremos T · v) notacion que resulta algo mas explıcita y es mas comun en los textos deMecanica de Fluidos) , de manera que

∇a =∂ai

∂xj

ei ⊗ ej (18.13)

casa/apuntes/navierstokes.tex-26 de abril de 2010 235

y∇a · v = ∂ai

∂xjei ⊗ ej vpep

= ∂ai

∂xjvp (ei ⊗ ej)ep

= ∂ai

∂xjvpeiδjp

= ∂ai

∂xpvp ei

(18.14)

Esto se interpreta como el gradiente del vector a en la direccion de v.Varios autores, entre ellos Bird, Stewardt y Lighfoot, Whitaker utilizan la definicion alter-

nativa (el subındice B es mıo)

∇Ba =∂ai

∂xj

ej ⊗ ei (18.15)

la relacion entre uno y otro es∇a = (∇Ba)T (18.16)

aplicado a un vector cualquiera se tiene

(∇a)v = (∇Ba)T v = v · ∇Ba (18.17)

o lo que es lo mismo(∇a) · v = (∇Ba)T v = v∇Ba = v · ∇Ba (18.18)

es decir ∇a · v en nuestra notacion es equivalente a v · ∇Ba en la de Whitaker.Ver Aris, creo que usa la de Santalo.

236

18.3. La ecuacion de Navier Stokes en terminos de la

vorticidad

Teniendo en cuenta que

∇2v = ∇(∇ · v) −∇× (∇× v) (18.19)

y como definimos en ??, w = ∇×v es la vorticidad del flujo, la ecuacion de equilibrio dinamicopuede escribirse

∂v

∂t+ (v · ∇)v = −

1

ρ∇π + (η + ν)∇(∇ · v) + ν∇ · w (18.20)

para flujo incompresible∂v

∂t+ (v · ∇)v = −

1

ρ∇π + +ν∇ · w (18.21)

para flujo irrotacional w = 0, la ecuacion resulta la misma para el caso de los fluidos perfectos.

18.4. El problema termomecanico

El problema termomecanico, al igual que en la pagina 8.10, queda definido ahora por

La ecuacion de continuidadρ = −ρ∇ · v (18.22)

con la ecuacion de estado para la presion

PresionP(π, ρ, T ) = 0 (18.23)

para el caso de flujos isotermos, que es el que nos ocupa hasta ahora, es suficiente Presion

P(π, ρ) = 0 (18.24)

para el caso de flujos isotermos, que es el que nos ocupa hasta ahora, es suficienteLa ecuacion de equilibrio dinamico o ecuacion de momento

ρv = ∇ · T + ρb (18.25)

que con la ecuacion para el tensor de tensiones: Ley de Navier Poison

T = −πI + ηtrDI + 2µD (18.26)

donde

D =1

2(∇v + ∇vT ) (18.27)

casa/apuntes/navierstokes.tex-26 de abril de 2010 237

Si el problema no fuera isotermo, las ecuaciones anteriores se acoplan con la ecuacion dela energıa

ρu = −∇ · q + ρh + T : D (18.28)

que debe resolverse con la correspondiente ecuacion constitutiva para el flujo de calor, la leyde Fourier (material isotropo)

q = −k∇T (18.29)

y con la ecuacion de estado para la energıa interna

u = u(T, ρ) (18.30)

Estas ecuaciones se resuelven sujetas a las condiciones iniciales y de borde necesarias demanera que el problema quede bien planteado.

18.5. Coordenadas cilındricas

En coordenadas cilındricas la ecuacion de continuidad y las ecuaciones de momento seescriben:

Ecuacion de continuidad

∂ur

∂r+

ur

r+

1

r

∂uθ

∂θ

∂uz

∂z= 0 (18.31)

Ecuacion de momento en la direccion r

ρ

(∂ur

∂t+ ur

∂ur

∂r+

uθ

r

∂ur

∂θ−

u2θ

r2+ uz

∂ur

∂z

)

= −∂p

∂r+ µ

(∂2ur

∂r2+

1

r

∂ur

∂r−

ur

r2+

1

r2

∂2ur

∂θ2−

2

r2

∂2ur

θ2−

2

r2

∂uθ

∂θ+

∂2uθ

∂z2

)

+ br (18.32)

Ecuacion de momento en la direccion θ

ρ

(∂uθ

∂t+ ur

∂uθ

∂r+

vθ

r

∂uθ

∂θ

uruθ

r+ vz

∂uθ

∂z

)

= −1

r

∂p

∂θ+ µ

(∂2uθ

∂r2+

1

r

∂uθ

∂r−

uθ

r2+

1

r2

∂2uθ

∂θ2+

2

r2

∂ur

∂θ+

∂uθ

∂

∂2uθ

∂z2

)

+ bθ (18.33)

Ecuacion de momento en la direccion z

238

ρ

(∂uz

∂tur

∂uz

∂r+

uθ

r

∂uz

∂θ+ uz

∂uz

∂z

)

= −∂p

∂z+ µ

[∂2uz

∂r2+

1

r

∂uz

∂r+

1

r2

∂2uz

∂θ2+

∂2uz

∂z2

)

+ bz (18.34)

casa/apuntes/navierstokes.tex-26 de abril de 2010 417

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