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MECÁNICA DE FLUIDOS: PARTE I Antonio Luis Sánchez Pérez Área de Mecánica de Fluidos. Universidad Carlos III de Madrid. Carlos Martínez Bazán Área de Mecánica de Fluidos. Universidad de Jaén. Septiembre 2005

MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

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MECÁNICA DE FLUIDOS: PARTE I

Antonio Luis Sánchez PérezÁrea de Mecánica de Fluidos. Universidad Carlos III de Madrid.

Carlos Martínez BazánÁrea de Mecánica de Fluidos. Universidad de Jaén.

Septiembre 2005

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Introducción

Los apuntes que se desarrollan aquí pretenden servir como introducción al estudio de la mecánicade fluidos. Estos apuntes están basados en los apuntes de A. LIÑÁN (“Apuntes de Mecánica deFluidos”. Publicaciones de la E.T.S.I. Aeronáuticos, Madrid 1964). Además, en el desarrollo deeste curso se hace uso extensivo de los textos clásicos de G.K. BATCHELOR (“An Introductionto Fluid Dynamics”. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1967) y de P.A. LAGERSTROM(“Laminar Flow Theory”. Princeton Univ. Press, Princeton 1964). Asimismo, los apuntes deA. CRESPO (“Mecánica de Fluidos”. Publicaciones de la E.T.S.I.I., Madrid 1989) y de A.BARRERO (“Mecánica de Fluidos”. Publicaciones de la E.T.S.I.I., Sevilla, 1991) han aportadotambién ideas para la escritura de algunos capítulos. Referencias adicionales se dan al final deaquellos capítulos que hacen uso de bibliografía diferente de la aquí citada.

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Índice

1 Introducción al estudio de los fluidos 1Sólidos, líquidos y gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Hipótesis de medio continuo: partícula fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Densidad, velocidad y energía interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Equilibrio termodinámico local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Variables y relaciones termodinámicas de interés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Cinemática 9Vectores y tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Descripciones Euleriana y Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Movimiento uniforme y estacionario; puntos de remanso . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Trayectorias y sendas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Líneas, superficies y volúmenes fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Líneas, superficies y tubos de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Derivada sustancial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Circulación y vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Flujo irrotacional y potencial de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Movimiento en el entorno de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Deformación de un elemento fluido cúbico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Ecuación de Continuidad 23Flujo convectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Teorema del transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Ecuación de la continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Ecuación de Cantidad de Movimiento 29Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Tensor de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Ley de Navier-Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Fuerza y momento sobre un sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Ecuación de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Caso de líquidos perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Ecuación del momento cinético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

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5 Ecuación de la Energía 41Transporte de calor por conducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Ley de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Ecuación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Ecuaciones de la energía cinética y de la energía interna . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Ecuaciones de la entalpía y entropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6 Ecuaciones de Navier Stokes 47Ecuaciones de conservación, ecuaciones de estado y leyes constitutivas . . . . . . . . . 47Condiciones iniciales y de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7 Fluidostática 55Equilibrio de un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Fuerzas sobre una superficie. Principio de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

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Lista de figuras

1.1 Representación esquemática de la fuerza que se ejerce entre dos moléculas comofunción de la distancia entre sus centros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Concepto de partícula fluida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1 Representación esquemática de los sistemas de coordenadas utilizados en el desar-rollo del curso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Movimiento infinitesimal de una partícula fluida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Aplicación del teorema de Stokes para el cálculo de la circulación. . . . . . . . . . 172.4 Movimiento diferencial de un elemento de línea fluida. . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Deformación y giro de un elemento fluido cúbico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1 Flujo convectivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Evolución infinitesimal de un volumen fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1 Esfuerzos sobre un elemento fluido tetraédrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Esfuerzos sobre un elemento fluido cúbico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7.1 Depósito cilíndrico.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.2 Estabilidad de un cuerpo sumergido.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

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Capítulo 1

Introducción al estudio de los fluidos

Sólidos, líquidos y gases

A nivel macroscópico, la principal diferencia entre sólidos y fluidos estriba en su capacidad paradeformarse. Los sólidos se deforman poco. Ante la aplicación de una fuerza exterior pequeña, elsólido responde con una deformación pequeña. Tal comportamiento es debido a que los sólidospresentan una resistencia a la deformación que es proporcional a la magnitud de dicha deforma-ción. Los fluidos, por el contrario, se deforman con facilidad cuando se les aplica una fuerza demanera adecuada. La fuerza de resistencia que presentan ante una deformación resulta no serproporcional a la deformación, sino a la velocidad a la que se produce ésta. Esta facilidad paradeformarse queda patente en la capacidad de los fluidos para adaptarse a la forma del contenedorque los limita.

La diferencia entre líquidos y gases es menos fundamental. Por una parte, la densidad de loslíquidos es típicamente mucho mayor que la de los gases, lo que influye de manera determinanteen la magnitud de la fuerza necesaria para producir una aceleración dada. Por otra parte, ladiferencia más importante entre las propiedades mecánicas de ambos estados fluidos radica ensu compresibilidad. Por ejemplo, la variación de densidad que se produce al someter al fluido auna variación de presión dada es mucho menor en el caso de los líquidos que en el caso de losgases, lo cual puede expresarse mediante la desigualdad

(

∂ρ

∂p

)

T,l

(

∂ρ

∂p

)

T,g

, (1.1)

donde ρ, p y T representan la densidad, presión y temperatura, respectivamente. Para con-vencernos de lo anterior, basta considerar un globo que contiene aire y uno que contiene agua.La experiencia nos dice que presionando con las manos convenientemente el primero es posi-ble reducir su volumen, aumentando de esta manera la densidad en el interior, mientras que elvolumen del globo lleno de agua permanece prácticamente constante independientemente de lapresión que ejerzamos. De hecho, se necesita aumentar la presión hasta 106 atmósferas para re-ducir el volumen del agua a la mitad. De manera similar, si sometemos a un fluido a variacionesde temperatura, la variación de densidad resultante en el caso de que el fluido sea un líquido esdespreciable comparada con la que observaríamos si el fluido fuese un gas. En vista de su bajacompresibilidad, para una inmensa mayoría de aplicaciones resulta una aproximación adecuada

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Introducción al estudio de los fluidos

el suponer que la densidad del líquido es constante (hipótesis de líquido perfecto).

Todas las propiedades macroscópicas vistas anteriormente son resultado de la distinta estructuramicroscópica que presentan sólidos, líquidos y gases. Para entenderlo, hay que tener en cuentaque la fuerza que se ejerce entre dos moléculas es función de la distancia entre sus centros, d,de acuerdo a la ley esquematizada en el gráfico de la figura 1.1. Cuando dicha distancia se hace

d

d

do

F

REPULSION

ATRACCION

Figura 1.1: Representación esquemática de la fuerza que se ejerce entre dos moléculas comofunción de la distancia entre sus centros.

muy pequeña, las moléculas tienden a repelerse, mientras que para valores grandes de d apareceuna fuerza de atracción que disminuye con la distancia. Existe un valor crítico de la distanciad = do para el que el signo de la fuerza cambia de signo. Esta distancia, que corresponde a unaposición de equilibrio estable para el sistema de dos moléculas considerado, suele tener un valoren torno a 3 × 10−10 m.

Conocidos los valores medios de la densidad de una sustancia, ρ, y de su masa molecular, W , esfácil calcular la distancia media entre los centros de las moléculas de acuerdo a d = (ρNA/W )−1/3,donde NA = 6.023 × 1023 moléculas/mol es el número de Avogadro. El cálculo revela que parael caso de gases a presión y temperatura ambiente d ≃ 10do (por ejemplo, para el aire se tieneρ ≃ 1.2 kg/m3, por lo que obtenemos d ≃ 3.4 × 10−9 m), mientras las moléculas de sólidos ylíquidos están mucho más proximas, a distancias d ≃ do (por ejemplo, para el agua o el hielo setiene ρ ≃ 103 kg/m3, por lo que obtenemos d ≃ 3.1 × 10−10 m). Las moléculas de los gases, portanto, experimentan fuerzas de atracción muy débiles en su movimiento, de forma que en primeraaproximación podemos suponer que se mueven libremente, interaccionando únicamente a travésde las colisiones que sufren entre ellas. Esta estructura explica la alta compresibilidad de los gases(sus moléculas pueden acercarse más, aumentando la densidad del medio, con relativa facilidad),así como su capacidad para deformarse y su tendencia a ocupar todo el espacio disponible. En elcaso de sólidos y líquidos, por el contrario, las fuerzas entre las moléculas son muy importantes.La fuerza de repulsión evita que las moléculas puedan estar más proximas de lo que están, locual explica la baja compresibilidad de líquidos y sólidos. Su distinta capacidad de deformaciónse debe a que, a pesar de su proximidad, las moléculas de los líquidos se desplazan unas respecto

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Introducción al estudio de los fluidos

a otras con relativa facilidad, mientras que la posición relativa de las moléculas de los sólidospermanece fija. Cabe mencionar que, a veces, no resulta fácil categorizar a una sustancia comosólido o líquido. Por ejemplo, si dejamos reposar pintura durante un tiempo suficientemente largoacabará comportandose como un sólido elástico, característica que perderá cuando la agitamosviolentamente. En todo caso, la inmensa mayoría de los fluidos que aparecen en los problemasingenieriles, tales como agua o aire, responden perfectamente a la caracterización como gases olíquidos expuesta en los párrafos anteriores.

Hipótesis de medio continuo: partícula fluida

Hay dos características que complican el análisis del movimiento fluido. Por un lado, la materiaen los fluidos está distribuida de una manera discreta. Hemos visto ya como las moléculas delos gases están separadas por grandes espacios vacíos. Incluso para los líquidos, cuyas moléculasestán empaquetadas a una corta distancia, la distribución de la masa es también discreta, alencontrarse esta concentrada en los núcleos de los átomos. Por otro lado, resulta inútil intentarestudiar la dinámica de un fluido a partir del estudio de la dinámica de cada uno de sus compo-nentes a nivel microscópico. Por ejemplo, en una primera aproximación al estudio de los gasesmonoatómicos, parecería adecuado aplicar las leyes de conservación de la cantidad de movimientoa cada una de las moléculas que forman el gas. Como el movimiento de cada molécula influyeen las demás a través de los choques que se producen entre ellas, la resolución del problemaconllevaría la integración de un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas que podrían enprincipio resolverse para determinar la evolución de la posición de cada una de las moléculas conel tiempo (y su velocidad por derivación directa). Este análisis, aparentemente sencillo, resultaimposible de llevar a la práctica debido al gran número de moléculas que componen el fluido (1016

en un mm3 de aire y muchas más en un mm3 de agua). Incluso aunque tal cálculo fuera posible,no parece razonable que el ingeniero necesite conocer, por ejemplo, la posición y velocidad decada una de las moléculas de agua que circulan por el interior de una bomba para determinarla relación entre la potencia de ésta y el caudal. Claramente, estas consideraciones nos llevan atomar un punto de vista distinto en el análisis de los movimientos fluidos.

En cursos anteriores hemos estudiado sistemas que presentaban propiedades uniformes que sedescribían con pocos grados de libertad. Por ejemplo, en el estudio de la evolución de un gasque se encuentra en el interior de un contenedor, la termodinámica hacía uso de la densidaddefinida como la masa total del gas dividida por el volumen total del contenedor. En mecánicadescribíamos el movimiento del sólido rígido con dos únicos vectores: el vector velocidad y elvector velocidad angular. En los fluidos, sin embargo, la experiencia nos dice que las cosas no sontan sencillas. Así, gracias a las partículas de polvo suspendidas en el aire, todos hemos observadoel movimiento que se origina por flotabilidad debido al calentamiento desigual de nuestro dormi-torio. Claramente, un solo vector velocidad no es suficiente para describir el campo fluido quese establece: el fluido sube y baja de manera desordenada, de forma que se observan variacionesespaciales y temporales de velocidad. La longitud que hay que recorrer en un campo fluidopara ver variaciones apreciables de las distintas variables fluidas es lo que denominamos longi-tud macroscópica característica de dicho campo fluido, L. Por ejemplo, para el movimiento ennuestra habitación, es suficiente recorrer con la vista una distancia de 10 cm para ver variacionesapreciables de la velocidad (partículas de polvo subiendo y bajando). Lo que si parece claro enrelación con dicho problema fluido, sin embargo, es que para describir el campo de velocidades

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Introducción al estudio de los fluidos

con bastante fiabilidad bastaría dar la velocidad en puntos separados 1 cm (1 mm si quisieramosser muy precisos). Uno se pregunta si es posible entonces estudiar el campo fluido dividiendoloen pequeñas parcelas, llamadas partículas fluidas, con respecto a las cuales definiriamos losconceptos de velocidad, densidad, etc. Cada partícula fluida estaría centrada en una posiciónx, y su tamaño debería ser más pequeño que la longitud macroscópica característica de nuestrocampo fluido, de manera que el conocimiento de las propiedades de cada partícula fluida en uncierto instante fuera suficiente para una descripción precisa del campo fluido (velocidad, densi-dad, etc) en función de la posición, x, y del tiempo, t. El suponer que podemos describir lasvariables fluidas como función continua de x y de t es lo que se denomina hipótesis del mediocontinuo, que es utilizada también en el estudio de la elasticidad y resistencia de materiales.

Como ejemplo ilustrativo, nos concentramos inicialmente en el concepto de densidad de ungas. Siguiendo la definición que nos es familiar de cursos anteriores, parece razonable calcularla densidad de una partícula fluida de volumen δV centrada en una posición x de acuerdo aρ =

mi/δV , donde∑

mi es la masa de todas las moléculas situadas en el interior de lapartícula fluida considerada. Para que la descripción que proponemos tenga sentido, el valor deρ debe ser independiente de δV , de manera que en un instante determinado t podamos asignar ala posición x un valor unívoco de ρ(x, t). El rango de δV en que esto es posible se hace patenteal representar el valor de

mi/δV como función del tamaño de la partícula fluida (δV )1/3, taly como se ve en la figura 1.2.

x

Vδ 1

Vδ 2

Vδ( )1/3Vδ 2

Vδ 1( )1/3 L

ρ

( )1/3

Figura 1.2: Concepto de partícula fluida.

Cuando el tamaño de la partícula fluida es muy pequeño (mucho menor que la distancia mediaentre moléculas d), es muy probable que esta no contenga en su interior ninguna molécula, conlo que, de acuerdo a la definición dada más arriba, la densidad resulta ser nula. Al aumentarsu tamaño, este alcanzará un valor crítico (δV1)

1/3 para el cual encontraríamos por primera vezuna molécula en el interior de la partícula fluida, con lo que la densidad tomaría un valor finito.Para tamaños mayores, la densidad se vería de nuevo reducida hasta que el volumen consid-erado alcanzara un valor δV2 para el que existiría una segunda molécula en el interior de lapartícula fluida, dando lugar a un nuevo salto en el valor de la densidad. Estas discontinuidades,

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Introducción al estudio de los fluidos

que están intimamente relacionadas con el caracter discreto de los fluidos comentado anterior-mente, se harían progresivamente más pequeñas al ir aumentando δV , haciéndose inapreciablescuando el tamaño de la partícula fluida (δV )1/3 considerada sea mucho mayor que la distanciamedia entre moléculas d. En otras palabras, cuando la partícula fluida contiene un número demoléculas δV/d3 ≫ 1 el cociente

mi/δV se hace independiente de δV . Esta independencia semantiene siempre y cuando (δV )1/3 sea mucho menor que el tamaño macroscópico característicodel campo fluido, L. Cuando (δV )1/3 se hace comparable a L la partícula fluida comienza a“engullir” parcelas de fluido con propiedades distintas, con lo que la densidad comienza a variar.Por ejemplo, para estudiar el campo de densidad en las inmediaciones de un radiador, el utilizaruna partícula fluida con un tamaño comparable al mismo radiador llevaría consigo el tener enel interior de dicha partícula porciones de fluido con temperatura (y por tanto densidad) diferente.

La figura 1.2 revela por lo tanto que para ser capaces de definir univocamente las variablesfluidomecánicas en un punto a través del concepto de partícula fluida es necesario que el tamañomacroscópico característico del campo fluido que estudiemos sea mucho mayor que la distanciamedia entre sus moléculas, esto es

d

L≪ 1. (1.2)

Recordando que d ≃ 3.4 × 10−9 m para el aire en condiciones normales, es fácil adivinar que lacondición 1.2 se cumple para la inmensa mayoría de los movimientos fluidos de interés ingenieril,para los que la descripción del campo fluido como un medio continuo resulta adecuada. Entrelos pocos ejemplos excepcionales que no cumplen la condición anterior, podemos mencionar elcampo fluido que encontramos en los alrededores de los vehículos espaciales en las altas capas dela atmósfera, donde el gas está tan enrarecido, que la distancia media entre moléculas deja deser pequeña en comparación con el tamaño del vehículo.

Densidad, velocidad y energía interna

A partir del concepto de partícula fluida (centrada en la posición x en el instante t) definimosdensidad como

ρ(x, t) = limδV →0

mi

δV, (1.3)

donde al tomar el límite se entiende que (δV )1/3 ≫ d, de forma que evitamos el caracter discretodel fluido asociado a su estructura microscópica. De manera análoga, definimos la velocidaddel fluido como el valor medio de la velocidad de todas las moléculas que se encuentran en δV(velocidad del centro de gravedad de la partícula fluida):

v = limδV →0

mivi∑

mi. (1.4)

La energía por unidad de masa que existe en el interior de δV viene dada por∑

Ei/∑

mi,donde Ei = mi|vi|

2/2 + Evi+ Eri

+ · · · representa la energía de cada molécula (energía cinéticade traslación mi|vi|

2/2, energía de vibración, Evi, rotación, Eri

, etc). Es costumbre separar dela energía por unidad de masa la contribución debida al movimiento medio de traslación de lasmoleculas, de forma que podemos escribir (se deja como ejercicio el demostrarlo)

limδV →0

Ei∑

mi= e + |v|2/2, (1.5)

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Introducción al estudio de los fluidos

donde

e = limδV →0

mi|vi − v|2/2 + Evi+ Eri

+ · · ·∑

mi(1.6)

es la llamada energía interna, que incluye en particular la energía cinética asociada al movimientode agitación de las moléculas respecto al movimiento medio. Tal y como veremos, para líquidosy gases existe una estrecha relación entre la temperatura y la energía interna.

Equilibrio termodinámico local

La termodinámica clásica trata sistemas que están en equilibrio térmico y mecánico, para los quetodas las propiedades termodinámicas de la materia son uniformes en el espacio y en el tiempo.Cuando por ejemplo estudiamos mediante la leyes de la termodinámica clásica la evolución deun cierto sistema, lo que suponemos es que dicha evolución es tan lenta que es como si el sistemaestuviera en equilibrio en cada instante. Entre otros resultados de utilidad, la termodinámicaestablece que podemos caracterizar el estado de un sistema de composición homogénea con solodar dos variables de estado independientes, estando todas las demás ligadas a estas dos a travésde las llamadas ecuaciones de estado.

La mecánica de fluidos, sin embargo, estudia sistemas que no están en equilibrio y cuyas propiedadespresentan variaciones espaciales y temporales. Estrictamente hablando, los resultados de la ter-modinámica clásica no serían por tanto aplicables al estudio de la mecánica de fluidos. Afortu-nadamente, los resultados correspondientes a estados de equilibrio son aproximadamente válidospara la inmensa mayoría de los estados de no-equilibrio que analizamos en mecánica de fluidos.Un observador moviéndose con la velocidad local puede describir el estado del fluido mediantelas variables de la termodinámica, cuyas interrelaciones están determinadas por las mismas ecua-ciones de estado que se aplican a estados de equilibrio.

Mediante la Teoría Cinética, esta hipótesis de equilibrio termodinámico local encuentra jus-tificación teórica rigurosa para el caso de los gases, mientras que para el caso de líquidos lajustificación proviene de la amplia evidencia experimental que se tiene al respecto. Las molécu-las de un gas intercambian cantidad de movimiento y energía a través de las colisiones con susvecinas, ajustando su estado de esa manera al estado de agitación térmica que existe localmente.Las colisiones entre moléculas constituyen por tanto el mecanismo a través del cual el gas alcanzael equilibrio termodinámico. Siempre y cuando la distancia entre choques λ, también llamadarecorrido libre medio, sea mucho más pequeña que la longitud característica macroscópica L,cada molécula sufrirá un número muy elevado de choques antes de alcanzar regiones donde laspropiedades macroscópicas cambian apreciablemente. En todo momento es como si el fluido seencontrara en cada punto muy cerca del equilibrio termodinámico correspondiente a los valoreslocales de densidad y energía interna.

El criterio que se debe satisfacer para que un gas se encuentre en equilibrio termodinámico locales por tanto

λ

L≪ 1 (1.7)

donde λ/L es el llamado número de Knudsen. Para que se produzca un choque, el volumenbarrido por una cierta molécula en su movimiento (≃ d2

oλ) debe ser igual al volúmen de gas que

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Introducción al estudio de los fluidos

le corresponde a cada molécula (d3), lo que nos permite escribir λ/d ≃ (d/do)2 (por ejemplo, en

condiciones normales se obtiene λ ≃ 4 × 10−7 m)1. Cabe hacer notar que el criterio dado en laEc. 1.7 es más restrictivo que el correspondiente a la hipótesis del medio continuo (Ec. 1.2).

Variables y relaciones termodinámicas de interés

La hipótesis del equilibrio termodinámico local nos va a permitir por tanto describir el estadodel fluido dando su velocidad v(x, t) y dos variables termodinámicas cualquiera. La definiciónde densidad y energía interna está dada más arriba en las Ecs. 1.4 y 1.6. Las demás variablestermodinámicas quedan automáticamente definidas a través de las ecuaciones de estado corre-spondientes. Por ejemplo, existe una ecuación de estado s = s(e, ρ) (o e = e[s, ρ]) que determinala entropía. Puesto que

de = Tds − pd(1/ρ) (1.8)

obtenemos la temperatura y la presión a partir de

T =

(

∂e

∂s

)

ρ

(1.9)

y

p = −

(

∂e

∂ρ−1

)

s

. (1.10)

De manera análoga, se define entalpía a partir de los conceptos anteriores como h = e + p/ρ. Enlugar de continuar resumiendo conceptos generales de termodinámica, pasamos ahora a describiralgunas de las ecuaciones de estado que nos serán de más utilidad en el análisis de los problemasfluidotérmicos, particularizando nuestro tratamiento a dos estados fluidos idealizados que cubrenla inmensa mayoría de las aplicaciones de interés, esto es, líquidos perfectos y gases perfectos.

Líquidos perfectos

Un líquido perfecto cumple que su densidad y su calor específico, c, son constantes, de maneraque podemos escribir

ρ = ρo (1.11)

ye = cT + eo, (1.12)

donde eo es la energía interna correspondiente al cero absoluto de temperatura. A partir de ladefinición de entalpía obtenemos

h = cT + eo + p/ρo, (1.13)

mientras que por integración de 1.8 determinamos la entropía en la forma

s = c ln(T ) + so. (1.14)

1Si el gas está evolucionando con un tiempo característico de variación de las propiedades fluidas macroscópicasT , razonamientos similares a los expuestos más arriba nos llevan a concluir que la condición que se habría decumplir para que existiera equilibrio termodinámico local en todo instante es T ≫ τ , donde τ es el tiempo medioentre colisiones de las moléculas (τ = 10−9 s para aire en condiciones normales de presión y temperatura).

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Introducción al estudio de los fluidos

Muchos líquidos se comportan como perfectos en intervalos razonablemente grandes de presióny temperatura. Por ejemplo, el agua puede suponerse un líquido perfecto de densidad ρo = 103

kg/m3 y calor específico c = 4180 J/(kg K).

Gases perfectos

Un gas perfecto tiene una ecuación de estado de la forma

p/ρ = RgT, (1.15)

donde la constante Rg = Ro/W se determina a partir de la constante universal de los gases,Ro = 8.314 J/(mol K), y del peso molecular medio del gas, W . La energía interna, entalpía yentropía se determinan a partir de

e = cvT + eo, (1.16)

h = cpT + eo, (1.17)

s = cv ln(p/ργ) + so, (1.18)

donde cv y cp = cv + Rg son, respectivamente, los calores específicos a volumen y presiónconstante, y γ = cp/cv . El comportamiento del aire se aproxima mucho al de un gas perfecto conRg = 287 J/(kg K) y cv = 717 J/(kg K). La ecuación 1.15 deja de ser válida a altas presiones,siendo reemplazada por ecuaciones de estado más complejas (ecuación de Van der Waals). Porotra parte, los calores específicos cv y cp son en realidad función de la temperatura, lo que se hacepatente cuando la temperatura aumenta lo suficiente (a las temperaturas típicamente alcanzadasen los procesos combustión, por ejemplo).

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Capítulo 2

Cinemática

Vectores y tensores

En esta sección haremos un resumen recordatorio de algunas definiciones relativas a análisistensorial que nos serán de utilidad durante el desarrollo del curso. En lo que sigue, consideramosun sistema de coordenadas curvilineas ortogonales con vectores unitarios (e1, e2, e3) en cadapunto del espacio. En función de estos, un vector a cualquiera se puede representar en funciónde tres números ai tales que a =

i aiei. Entre las operaciones más comunes entre dos vectoresa y b, podemos citar el producto escalar a · b =

i aibi y el producto vectorial

a ∧ b =

e1 e2 e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

= (a2b3 − a3b2)e1 + (a3b1 − a1b3)e2 + (a1b2 − a2b1)e3. (2.1)

Denominamos tensor de segundo orden ¯A a cualquier operador lineal que al actuar sobre un vectora en un cierto punto da como resultado otro vector b = ¯A · a de componentes bi =

j Aijaj. El

tensor transpuesto ¯AT, de componentes ( ¯AT)ij = (¯A)ji satisface a · ¯A = ¯AT · a. El tensor ¯I decomponentes Iii = 1 y Iij = 0 si i 6= j es el llamado tensor identidad, que verifica ¯I · a = a paratodo vector a. Dos operaciones de las que haremos uso más adelante son el producto diádicoentre dos vectores ab, cuyo resultado es un tensor de componentes (ab)ij = aibj , y el productointerno entre dos tensores ¯A : ¯B =

i

j AijBij. No debemos confundir el producto interno

entre dos tensores, cuyo resultado es un escalar, con el producto ordinario entre tensores ¯A¯B,cuyo resultado es un tensor de componentes ( ¯A¯B)ij = AijBji. Finalmente, definimos el productovectorial estre un vector a = (a1, a2, a3) y un tensor ¯A a partir de

a ∧ ¯A =

0 −a3 a2

a3 0 −a1

−a2 a1 0

¯A. (2.2)

Aparte de las coordenadas cartesianas rectangulares (x1 = x, x2 = y, x3 = z) consideramos enel desarrollo del curso otros dos tipos de coordenadas curvilineas ortogonales: las coordenadascilíndricas (x1 = r, x2 = θ, x3 = z) y las coordenadas esféricas (x1 = r, x2 = θ, x3 = φ). Enla figura 2.1 se presenta un esquema de dichas coordenadas y de sus vectores unitarios asociados(e1, e2, e3).

Page 15: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Cinemática

er

r

θ

φ

ez

er

y

ez

e

e

ry

z

x

Figura 2.1: Representación esquemática de los sistemas de coordenadas utilizados en el desarrollodel curso.

Los elementos diferenciales de longitud asociados a cada una de los tres sistemas de coordenadasson, respectivamente, dx = (dx,dy,dz), dx = (dr, rdθ,dz) y dx = (dr, rdθ, rsenθdφ). Loscoeficientes que multiplican a los diferenciales de las coordenadas en las expresiones anterioresson los llamados factores de escala (h1, h2, h3). Así, los factores de escala correspondientes a lascoordenadas cilíndricas resultan ser (h1 = 1, h2 = r, h3 = 1), mientras que para las coordenadasesféricas (h1 = 1, h2 = r, h3 = rsenθ). El introducir estos factores de escala nos permite enparticular el expresar los operadores diferenciales más comunes de manera compacta. Si Φrepresenta una función escalar cualquiera, entonces el gradiente de dicha función viene dado demanera general por la expresión

∇Φ =

(

1

h1

∂Φ

∂x1,

1

h2

∂Φ

∂x2,

1

h3

∂Φ

∂x3

)

, (2.3)

y el laplaciano se expresa en la forma

∇2Φ =1

h1h2h3

[

∂x1

(

h2h3

h1

∂Φ

∂x1

)

+∂

∂x2

(

h1h3

h2

∂Φ

∂x2

)

+∂

∂x3

(

h1h2

h3

∂Φ

∂x3

)]

. (2.4)

De manera similar, si a = a1e1 + a2e2 + a3e3 representa una función vectorial, la divergencia dedicha función resulta ser

∇ · a =1

h1h2h3

[

∂x1(h2h3a1) +

∂x2(h1h3a2) +

∂x3(h1h2a3)

]

, (2.5)

y su rotacional viene dado por

∇∧ a = 1h1h2h3

h1e1 h2e2 h3e3∂

∂x1

∂∂x2

∂∂x3

h1a1 h2a2 h3a3

= 1h2h3

[

∂∂x2

(h3a3) −∂

∂x3(h2a2)

]

e1+

1h1h3

[

∂∂x3

(h1a1) −∂

∂x1(h3a3)

]

e2 + 1h1h2

[

∂∂x1

(h2a2) −∂

∂x2(h1a1)

]

e3.

(2.6)

10

Page 16: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Cinemática

Además, definimos tensor gradiente de una función vectorial ∇a a partir de

(∇a)ii =1

hi

∂ai

∂xi+∑

k 6=i

ak

hihk

∂hi

∂xky (∇a)ij =

1

hi

∂aj

∂xi−

ai

hihj

∂hi

∂xjsi i 6= j. (2.7)

La divergencia de un tensor ∇ · ¯A da como resultado un vector de componentes

(∇ · ¯A)i =hi

h

j

∂xj

(

hAij

hihj

)

+∑

j

Aij + Aji

hihj

∂hi

∂xj−∑

j

Ajj

hihj

∂hj

∂xi, (2.8)

donde h = h1h2h3.

Descripciones Euleriana y Lagrangiana

Para describir el campo de velocidades en el fluido, es posible adoptar dos puntos de vista difer-entes, que corresponden a las descripciones Euleriana y Lagrangiana. En la primera, se describeel campo de velocidades, v(x, t), en función de la posición x y del tiempo t. En otras palabras, escomo si en cada instante se diera la distribución espacial de la velocidad (y de todas las demásvariables fluidomecánicas de interés) en todo el interior del campo fluido. Este punto de vista esanálogo al que se utiliza, por ejemplo, en la descripción de los campos electromagnéticos.

Una forma alternativa de especificar la velocidad, que corresponde a la descripción Lagrangiana,consiste en estudiar el movimiento de cada una de las partículas fluidas, cuya trayectoria

x = xT(xo, t) (2.9)

es función de la posición que ocupa en el instante inicial, xo, y del tiempo. La velocidad y laaceleración en esta descripción se obtienen por derivación de las trayectorias de las partículasfluidas de acuerdo a v = ∂xT/∂t y a = ∂2xT/∂t2. Esta aproximación, que resulta apropiada enmecánica para el estudio de la dinámica del punto, da lugar en mecánica de fluidos a una formu-lación compleja de las leyes de conservación. Por lo tanto, aun cuando la descripción Lagrangianapuede resultar útil en el análisis de algunos problemas particulares, en lo que sigue utilizaremosla descripción Euleriana, que resulta más acorde con el estudio de los medios contínuos.

Movimiento uniforme y estacionario; puntos de remanso

Decimos que un movimiento fluido es uniforme cuando no existen variaciones espaciales de lasvariables fluidas. Así, un campo de velocidad es uniforme si v = v(t). De manera similar, deci-mos que un movimiento fluido es estacionario cuando no existen variaciones temporales de lasvariables fluidas. Diremos, por ejemplo, que el campo de velocidad es estacionario si v = v(x).En ocasiones, la estacionariedad de un movimiento depende del sistema de referencia que seconsidere. Por ejemplo, para estudiar el flujo alrededor de un cuerpo en movimiento, que esclaramente no estacionario en ejes fijos al laboratorio, conviene adoptar un sistema de referenciaviajando con el cuerpo, en el que el problema resulta ser estacionario.

11

Page 17: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Cinemática

Un punto de remanso se define como un punto en que la velocidad es nula. Por lo tanto, dadoel campo de velocidades v = v(x, t), los puntos de remanso han de satisfacer la ecuación

v(x, t) = 0. (2.10)

Claramente, los puntos de remanso dependen del sistema de referencia elegido.

Trayectorias y sendas

En su movimiento, una partícula fluida inicialmente situada en x = xo va variando su posición,que resulta ser por tanto función del tiempo, tal y como se expresa en la Ec. 2.9. Conocido elcampo de velocidades v(x, t), esta ley de movimiento de la partícula fluida, o trayectoria, seobtiene por integración de

dx

dt= v(x, t) (2.11)

con condiciones iniciales x = xo en t = to. Si desarrollamos esta ecuación vectorial obtenemoslas tres ecuaciones

dt =h1dx1

v1(x1, x2, x3, t)=

h2dx2

v2(x1, x2, x3, t)=

h3dx3

v3(x1, x2, x3, t)(2.12)

que deben integrarse con condiciones iniciales x1 = x1o , x2 = x2o y x3 = x3o . La solución delproblema sería de la forma dada en la Ec. 2.9, que para el caso de las coordenadas cartesianasrectangulares queda

x = xT(xo, yo, zo, t)

y = yT(xo, yo, zo, t) (2.13)

z = zT(xo, yo, zo, t)

La trayectoria contiene la información referente al camino o senda que recorre cada partículafluida, así como la rapidez con la que lo recorre. Las ecuaciones que describen la senda se puedenobtener a partir de la Ec. 2.9 sin más que eliminar el tiempo. Por ejemplo, una vez eliminado eltiempo en las trayectorias dadas en la Ec. 2.13, se obtendrían las dos ecuaciones

f(xo, yo, zo, x, y, z) = g(xo, yo, zo, x, y, z) = 0 (2.14)

que describen las dos superficies cuya intersección es la senda correspondiente a una partículafluida situada inicialmente en la posición (xo, yo, zo).

Líneas, superficies y volúmenes fluidos

Siempre y cuando el campo de velocidad sea contínuo, las partículas fluidas que se encuentranen el instante inicial a lo largo de la línea

x = xl(λ) (2.15)

12

Page 18: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Cinemática

(donde λ es un parámetro)1 seguirán formando una línea en su movimiento posterior. La ecuaciónpara la evolución de esta línea fluida se obtiene particularizando la ecuación para las trayectoriasdada en Ec. 2.9 a aquellas partículas fluidas que se encuentran en t = to a lo largo de la líneadefinida en Ec. 2.15:

x = xT(xl(λ), t). (2.16)

Análogamente, las partículas fluidas que se encuentran inicialmente en la superficie de ecuación

x = xs(α, β) (2.17)

(donde α y β son parámetros)2 continuan en su movimiento formando una superficie (superficiefluida) de ecuación

x = xT(xs(α, β), t), (2.18)

que puede reducirse mediante eliminación de los parámetros α y β a una ecuación implícita dela forma

f(x, t) = 0. (2.19)

Si la superficie fluida está inicialmente cerrada, se mantendrá cerrada en su evolución poste-rior. Al fluido limitado por dicha superficie fluida cerrada se le denomina volumen fluido, unconcepto que nos será útil en la aplicación de los principios de conservación que gobiernan elmovimiento fluido.

Líneas, superficies y tubos de corriente

Para un instante dado, se denominan líneas de corriente a aquellas líneas que son tangentes encada uno de sus puntos al vector velocidad local. La condición de tangencia nos permite escribirlas ecuaciones que determinan dichas líneas de corriente

h1dx1

v1(x1, x2, x3, t)=

h2dx2

v2(x1, x2, x3, t)=

h3dx3

v3(x1, x2, x3, t)(2.20)

Al elegir las dos constantes asociadas a la integración de las dos ecuaciones diferenciales anterioresestamos identificando una línea de corriente de entre la doble infinitud que existe para un instantedeterminado. Por ejemplo, uno podría en un problema dado identificar una línea de corrientedando la posición (xo, yo) del punto donde corta al plano horizontal. Notese que de la defini-ción de línea de corriente se desprende que sus puntos de intersección son necesariamente puntosde remanso (que pasaría si dos líneas de corriente se cortaran en un punto de velocidad no nula?).

Aun cuando las definiciones de trayectoria y línea de corriente deberían bastar para diferenciarambos conceptos, la similitud entre las Ecs. 2.12 y 2.20 puede dar lugar a confusión. Para verla diferencia entre ambos problemas matemáticos, uno debe darse cuenta que el tiempo es unavariable en la integración de la Ec. 2.12, mientras que para integrar la Ec. 2.20 el tiempo juega

1Recuerde que una línea se puede dar en general en forma parámétrica x = xl(λ), λ1 < λ < λ2. Por ejemplo,el eje vertical respondería a la expresión paramétrica x = 0, y = 0, z = λ (−∞ < λ < ∞), mientras que laexpresión paramétrica para una circunferencia de radio R centrada en el origen y situada en el plano horizontalsería x = R cos λ, y = Rsenλ, z = 0 (0 < λ < 2π).

2Recuerde que una superficie se puede dar en función de dos parámetros. Por ejemplo, una esfera de radioR centrada en el origen admite la representación paramétrica x = Rsenα cos β, y = Rsenαsenβ, z = Rcos α

(0 < α < π,0 < β < 2π).

13

Page 19: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Cinemática

solo el papel de un parámetro. En otras palabras, al calcular la trayectoria determinamos laevolución temporal de la posición de una partícula fluida, mientras que las líneas de corriente sedefinen para un instante determinado, y son en principio diferentes al considerar dos instantesdistintos.

En relación con las líneas de corriente, existen otros dos conceptos que conviene definir. A lasuperficie formada por todas las líneas de corriente que se apoyan en una línea arbitraria se ledenomina superficie de corriente. Si la línea elegida es cerrada, la superficie formada será untubo de corriente.

De lo visto anteriormente, queda claro que las líneas de corriente y las sendas no coinciden engeneral. Existen, sin embargo, dos casos particulares en los que si lo hacen. Si el movimientofluido es estacionario, v = v(x), entonces para obtener las sendas podemos integrar separada-mente las dos ecuaciones finales de 2.12, que coincidirían en este caso con las ecuaciones 2.20que determinan las líneas de corriente. Para determinar completamente las trayectorias en estecaso, deberemos suplementar las sendas con la ley horaria que se obtiene al integrar la primerade las ecuaciones dadas en 2.12. Se deja al lector como ejercicio el demostrar que el otro casoen que coinciden líneas de corriente y sendas es cuando el campo de velocidad es de la formav = f(t)v′(x).

Derivada sustancial

Si estudiamos una cierta magnitud fluida escalar intensiva φ (densidad, presión, temperatura,etc), para obtener su variación siguiendo al fluido debemos considerar el movimiento infinitesimalde una partícula fluida, que se representa esquemáticamente en la figura 2.2.

dt + tt

xx + xd

xd

Figura 2.2: Movimiento infinitesimal de una partícula fluida.

En el instante t, la partícula fluida ocupa una posición x, de forma que el valor inicial de lapropiedad intensiva será φ(x, t). Pasado un tiempo dt, la partícula ocupará una nueva posiciónx + dx (dx = vdt), y el valor de φ vendrá dada por φ(x + dx, t + dt). Despreciando términospequeños en el desarrollo de φ alrededor de (x, t) nos permite escribir en primera aproximaciónla variación de φ en la partícula fluida en la forma

dφ = φ(x + dx, t + dt)− φ(x, t) = dt∂φ

∂t+ dx · ∇φ. (2.21)

14

Page 20: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Cinemática

Dividiendo la expresión anterior por dt obtenemos finalmente

Dt=

∂φ

∂t+ v · ∇φ, (2.22)

donde el operador derivada sustancial

D()

Dt=

∂()

∂t+ v · ∇() (2.23)

expresa la variación temporal de una magnitud escalar intensiva siguiendo al fluido. La primeraderivada expresa la variación temporal local de la variable fluida que estemos estudiando. El se-gundo término del operador derivada sustancial es la llamada derivada convectiva, que recoge lasvariaciones de φ que surgen debidas al movimiento de la partícula fluida. La expresión anteriorindica que las propiedades de una partícula fluida varían debido a dos causas: la no estacionar-iedad del campo fluido y el desplazamiento de la partícula fluida a zonas del campo fluido dondelas propiedades son diferentes.

En particular, la noción de derivada sustancial es útil para derivar la ecuación diferencial que debede cumplir la función f(x, t) correspondiente a una superficie fluida dada en la forma f(x, t) = 0(ver Ec. 2.19). Dicha superficie fluida divide al campo fluido en dos regiones, donde el signo dela función f(x, t) es distinto. Como las partículas fluidas que forman la citada superficie fluidamantienen el valor constante f(x, t) = 0 en su movimiento, la función f(x, t) ha de cumplir laecuación

Df

Dt=

∂f

∂t+ v · ∇f = 0. (2.24)

Aceleración

Podemos extender el concepto de derivada sustancial para determina la variación temporal deun vector cualquiera siguiendo al fluido a partir de

D()

Dt=

∂()

∂t+ v · [∇()]. (2.25)

En particular, se define la aceleración como

a =Dv

Dt=

∂v

∂t+ v · (∇v), (2.26)

donde ∇v es el tensor gradiente de velocidad. En coordenadas cartesianas rectangulares, lascomponentes de ∇v pueden escribirse como (∇v)ij = ∂vj/∂xi, con lo que cada componente delvector aceleración ai resulta ser la derivada sustancial de la correspondiente componente delvector velocidad de acuerdo a

ai =Dvi

Dt=

∂vi

∂t+ vj

∂vi

∂xj. (2.27)

Notese que este último resultado no es válido si la descripción del movimiento se lleva a cabo encoordenadas cilíndricas o esféricas.

Una manera comoda de escribir la Ec. 2.26 es

a =∂v

∂t+ ∇(|v|2/2) − v ∧ (∇ ∧ v), (2.28)

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Page 21: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Cinemática

una expresión que es válida en cualquier sistema de coordenadas.

Si para la descripción de un cierto movimiento fluido hacemos uso de un sistema de referenciano inercial que se desplaza con aceleración ao y gira con velocidad angular Ω, entonces hemos deañadir a la aceleración relativa dada en 2.26 la aceleración debida al movimiento del sistema dereferencia

as = ao +dΩ

dt∧ x + Ω ∧ (Ω ∧ x) + 2Ω ∧ v, (2.29)

que es suma de la aceleración de arrastre tangencial, aceleración centrípeta y aceleración deCoriolis.

Circulación y vorticidad

La circulación Γ a lo largo de una línea L se define como el valor de la integral

Γ =

Lv · dl, (2.30)

donde dl representa un elemento diferencial de línea. La circulación nos da idea de si el fluido semueve en la dirección de la línea. Si x = xl(λ) (λ1 < λ < λ2) es la representación paramétricade la línea elegida, entonces

dl =dxl

dλdλ, (2.31)

con lo que la Ec. 2.30 queda en la forma

Γ =

Lv(x, t) · dl =

∫ λ2

λ1

v(xl(λ), t) ·dxl

dλdλ. (2.32)

Si la línea es cerrada, entonces el teorema de Stokes nos permite escribir

Γ =

Lv · dl =

Σ(∇∧ v) · ndσ, (2.33)

donde Σ es cualquier superficie que se apoye en la línea considerada, y dσ es un diferencial desuperficie orientado en la dirección normal n (cuyo sentido se determina con la regla de la mano

derecha, veáse figure 2.3). Para que la relación anterior sea válida, el campo de velocidad v(x, t)debe ser contínuo y la superficie Σ debe estar completamente contenida en el dominio fluido. Elvector w = ∇∧ v se denomina vector vorticidad. La circulación a lo largo de una línea cerradacontenida en un plano de orientación n y que contenga un área infinitesimal dσ se reduce a

Lv · dl = (∇ ∧ v) · ndσ. (2.34)

Por lo tanto, (∇∧ v)n = (∇∧ v) · n es la circulación a lo largo de la línea que encierra la superficieunidad de orientación n. En un punto dado del espacio, la circulación será máxima cuando lalínea considerada esté contenida en un plano normal a ∇∧ v.

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Page 22: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Cinemática

σ

L

n

Σ

Figura 2.3: Aplicación del teorema de Stokes para el cálculo de la circulación.

Flujo irrotacional y potencial de velocidades

Decimos que un movimiento es irrotacional cuando su vorticidad es nula en todo punto deldominio fluido, w = ∇ ∧ v = 0. En cursos anteriores se demostró que si un campo vectoriales irrotacional, entonces podemos definir una función ϕ(x) (dϕ = v · dx), denominada funciónpotencial, tal que

v = ∇ϕ. (2.35)

La función potencial está definida a través de 2.35 a falta de una constante de integración que sepuede elegir de manera arbitraria. Claramente, la introducción de la función potencial suponeuna simplificación considerable en la descripción del campo de velocidades de movimientos ir-rotacionales, puesto que reemplazamos el cálculo de un campo vectorial de tres componentes porel de un campo escalar.

Si la circulación a lo largo de cualquier línea cerrada es nula, el campo fluido es necesariamenteirrotacional. Para demostrarlo, basta tomar una línea cerrada infinitesimalmente pequeña alrede-dor de cualquier punto. En virtud de la Ec. 2.34, la única manera de que la circulación a lo largode dicha línea sea nula independientemente de su orientación n es que ∇ ∧ v = 0. El contrariono es necesariamente cierto, esto es, aunque ∇ ∧ v = 0 la circulación a lo largo de una líneacerrada puede no ser nula. Para verlo, recuerde que la validez de la Ec. 2.33 está restringida asuperficies Σ que están contenidas en el dominio fluido. Por lo tanto, podremos garantizar quepara un campo irrotacional la circulación a lo largo de una línea cerrada es nula solo cuandopodamos encontrar una superficie que se apoye en dicha línea y esté contenida completamente enel campo fluido, esto es, cuando la línea sea reducible a un punto de manera continua (dominiosfluidos simplemente conexos). Esta característica de los flujos irrotacionales se hace patente, porejemplo, en el estudio de los perfiles aerodinámicos, que es relevante para el diseño de perfiles deavión, alabes de compresores y turbinas, velas de barcos, etc. En el campo fluido bidimensionalque aparece en estas configuraciones, la circulación alrededor de una línea que rodea al perfil(la cual no es reducible a un punto de manera continua) es no nula, y resulta ser directamenteproporcional a la sustentación que proporciona el perfil aerodinámico.

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Page 23: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Cinemática

Movimiento en el entorno de un punto

Tal y como se comentó anteriormente, la resistencia de los fluidos a deformarse es proporcionala su velocidad de deformación. Para ver como podemos determinar la velocidad a la que se de-forma el fluido en función del campo de velocidades, consideramos el movimiento de un elementodiferencial de línea fluida dx de extremos situados en x y x+ dx. En el instante considerado, lasvelocidades de los extremos del elemento fluido difieren en general en una cantidad dv, que enprimera aproximación podemos escribir como

dv = dx · ∇v, (2.36)

donde ∇v es el tensor gradiente de velocidades que introdujimos anteriormente al estudiar laaceleración. Al transcurrir un tiempo infinitesimal dt, los extremos del elemento fluido pasan aocupar nuevas posiciones dadas por x+ vdt y x+dx+(v +dv)dt, respectivamente. Claramente,a la traslación vdt, se le añade una distorsión del elemento fluido, que pasa de ser dx a serdx + dvdt, tal y como se indica en la figura 2.4.

xd

dv t

dv t dv t+ d

dv td dd

d

v tr d

dv t

Figura 2.4: Movimiento diferencial de un elemento de línea fluida.

Para estudiar el significado de dvdt = dx · ∇vdt, conviene descomponer el tensor gradiente develocidad en sus partes simétrica, ¯Td, y antisimétrica, ¯Tr, de acuerdo a

∇v =1

2(∇v + ∇vT) +

1

2(∇v −∇vT) = ¯Td + ¯Tr. (2.37)

Al tensor ¯Td se le denomina tensor de velocidades de deformación. En coordenadas cartesianas,los tensores ¯Td y ¯Tr se calculan de acuerdo a

¯Td =

∂v1

∂x1

12

(

∂v2

∂x1+ ∂v1

∂x2

)

12

(

∂v3

∂x1+ ∂v1

∂x3

)

12

(

∂v2

∂x1+ ∂v1

∂x2

)

∂v2

∂x2

12

(

∂v3

∂x2+ ∂v2

∂x3

)

12

(

∂v3

∂x1+ ∂v1

∂x3

)

12

(

∂v3

∂x2+ ∂v2

∂x3

)

∂v3

∂x3

(2.38)

18

Page 24: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Cinemática

y

¯Tr =

0 12

(

∂v2

∂x1− ∂v1

∂x2

)

12

(

∂v3

∂x1− ∂v1

∂x3

)

−12

(

∂v2

∂x1− ∂v1

∂x2

)

0 12

(

∂v3

∂x2− ∂v2

∂x3

)

−12

(

∂v3

∂x1− ∂v1

∂x3

)

−12

(

∂v3

∂x2− ∂v2

∂x3

)

0

=1

2

0 w3 −w2

−w3 0 w1

w2 −w1 0

,

(2.39)donde w1, w2 y w3 son las tres componentes del vector vorticidad w = ∇∧ v definido más arriba.

Introduciendo la Ec. 2.37 en la Ec. 2.36 obtenemos

dv = dx · ¯Td + dx · ¯Tr = dvd + dvr. (2.40)

La contribución del tensor antisimétrico ¯Tr corresponde a una rotación del elemento de líneafluida dx con velocidad angular (∇∧ v)/2. Este hecho se hace patente al escribir dvr en la forma

dvr = dx · ¯Tr =1

2(∇∧ v) ∧ dx =

1

2w ∧ dx. (2.41)

Así, si ¯Td fuera identicamente nulo, el movimiento del fluido correspondería localmente al de unsólido rígido (traslación + rotación).

Por otra parte, la simetría del tensor ¯Td nos permite escribir la velocidad de deformación dvd enla forma

dvd = ¯Td · nds, (2.42)

donde hemos escrito el elemento diferencial de línea fluida dx = nds en función de su longitudds y su vector unitario asociado n. En general, la velocidad de deformación resultante no tienela dirección de n, por lo que dx sufre un giro además de una posible dilatación lineal. Paraobtener la magnitud de la velocidad de dilatación lineal, basta proyectar dvd en la dirección npara dar n · ¯Td · nds. Por lo tanto, n · ¯Td · n representa la velocidad de dilatación lineal porunidad de longitud en la dirección n. La contribución de dvd a la deformación angular se obtienesustrayendo la velocidad de dilatación lineal para dar [ ¯Td · n − (n · ¯Td · n)n]ds.

Existen tres direcciones privilegiadas del espacio, que se denominan direcciones principales dedeformación, a lo largo de las cuales la deformación se reduce a una dilatación lineal (el vectorvelocidad de deformación dvd resulta ser paralelo a n). Las direcciones principales n1, n2 y n3,y sus velocidades de dilatación unitarias correspondientes, λ1, λ2 y λ3, se calculan al resolver elproblema de autovalores

¯Td · n = λn. (2.43)

En particular, la ecuación característica que determina λi,

| ¯Td − λ¯I| = 0 (2.44)

se obtiene de imponer la existencia de soluciones no triviales al problema anterior. La simetríadel tensor ¯Td garantiza la existencia de tres raices reales de esta ecuación que dan lugar atres direcciones principales de deformación ortogonales entre si. Logicamente, si utilizaramoslas direcciones principales ni para definir un nuevo sistema de referencia local, el tensor dedeformaciones resultante pasaría a ser diagonal (con componentes en la diagonal λ1, λ2 y λ3).

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Page 25: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Cinemática

Deformación de un elemento fluido cúbico

Consideramos ahora la evolución de un elemento fluido cúbico cuyas aristas tienen inicialmenteuna longitud dl. Para caracterizar la deformación y el giro de dicho elemento fluido convieneestudiar separadamente la evolución de cada una de sus aristas, tal y como se muestra en lafigura adjunta. Por ejemplo, de acuerdo a 2.36, al pasar un tiempo dt la arista de coordenadasdl(1,0,0) se transforma en dl(1 + ∂1v1dt, ∂1v2dt, ∂1v3dt), donde por simplicidad hemos adoptadola notación ∂ivj = ∂vj/∂xi. De manera similar, podemos obtener las nuevas posiciones de lasotras dos aristas, determinando de esta manera el paralelepipedo en el que se ha convertido elcubo al pasar un tiempo diferencial.

t

d t

d t d t

d t

d t

d t

d t

d t

d

l

1vd

1vd

2

3

d v2d v23 1

d v

d v

d 2v3 1 3

33

1v1d

d 2v2

l

l

l

l l

l

l

l

Figura 2.5: Deformación y giro de un elemento fluido cúbico.

La observación de la figura 2.5 nos permite caracterizar el significado de los diferentes términosde los tensores ¯Td y ¯Tr. Así, los elementos en la diagonal del tensor de deformaciones (∂1v1, ∂2v2,∂3v3) representan velocidades de dilatación lineal por unidad de longitud en las tres direccionesde los ejes de referencia. Además, se puede ver que las aristas inicialmente situadas en el planohorizontal han sufrido giros en su plano de ángulos ∂1v2dt y −∂2v1dt. Por lo tanto, la velocidadmedia de rotación del elemento fluido alrededor del eje vertical resulta ser (∂1v2−∂2v1)/2 = w3/2.La velocidad de rotación alrededor de los demás ejes se podría determinar de manera parecida,aclarandose de esa manera el significado físico de cada una de las tres componentes del tensorantisimétrico ¯Tr. Por otro lado, el ángulo que forman las aristas horizontales, inicialmente recto,ha disminuido una cantidad (∂1v2 + ∂2v1)dt, con lo que (∂1v2 + ∂2v1) resulta ser la velocidad dedilatación angular o velocidad de disminución del ángulo formado por las líneas fluidas en direc-ción de los ejes 1 y 2. De manera similar, podriamos obtener las velocidades de dilatación angularcorrespondientes a las otras direcciones. Las expresiones que se obtienen se pueden compararcon los términos que aparecen en la Ec. 2.38, revelando que las componentes de ¯Td que estánsituadas fuera de la diagonal corresponden a la mitad de las velocidades de dilatación angular.Esto tiene relación directa con el hecho de que al utilizar los ejes principales de deformación comoejes de referencia el tensor de velocidades de deformación asociado resulte ser diagonal (por que?).

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Cinemática

La distorsión del elemento fluido cúbico ha dado también lugar a una posible variación de suvolumen. Si el volumen del cubo inicial es simplemente dl3, el volumen del paralelepipedo quese forma al pasar un tiempo dt resulta ser

dl3

1 + ∂1v1dt ∂1v2dt ∂1v3dt∂2v1dt 1 + ∂2v2dt ∂2v3dt∂3v1dt ∂3v2dt 1 + ∂3v3dt

= dl3 + dl3dt(∂1v1 + ∂2v2 + ∂3v3), (2.45)

donde hemos despreciado términos pequeños de orden dt2 y dt3. La ecuación anterior revelaque la divergencia de la velocidad ∇ · v = ∂1v1 + ∂2v2 + ∂3v3 representa fisicamente la velocidada la que varía el volumen de un elemento fluido por unidad de volumen. A dicha cantidad,que coincide con la traza del tensor gradiente de velocidades y del tensor de deformación, se ladenomina velocidad de dilatación cúbica unitaria. En el caso de un líquido perfecto, parael que el volumen de un elemento fluido no varía (densidad constante), se debe de cumplir porlo tanto que

∇ · v = 0. (2.46)

Nótese que, para que la velocidad de dilatación cúbica unitaria sea nula, las velocidades dedilatación lineal ∂1v1, ∂2v2 y ∂3v3 no pueden todas tener el mismo signo. En otras palabras,para que el volumen del elemento fluido incompresible se mantenga constante deben aparecerdilataciones lineales en una o dos direcciones del sistema de referencia y contracciones en las doso una direcciones restantes.

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Cinemática

22

Page 28: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Capítulo 3

Ecuación de Continuidad

Las ecuaciones de conservación de la mecánica de fluidos se derivan al aplicar los principios deconservación de la masa, cantidad de movimiento y energía a volúmenes fluidos. Para posibilitarla derivación anterior, pasamos a ver inicialmente en este tema el concepto de flujo convectivo,así como la derivación temporal de integrales extendidas a volúmenes fluidos y a volúmenesde control. Seguidamente, derivamos la ecuación de conservación de la masa o ecuación decontinuidad, ecuación que será formulada tanto en forma integral como en forma diferencial.Finalmente, introducimos la función de corriente y describimos sus propiedades principales.

Flujo convectivo

El objetivo de este apartado es el de aprender a calcular el flujo convectivo de una magnitudfluida, esto es, la cantidad de magnitud fluida que cruza una superficie en la unidad de tiempodebido al movimiento medio del fluido. En lo que sigue, φ(x, t) representa la cantidad de unacierta magnitud fluida extensiva que existe por unidad de volumen. Así, φ = 1 representa elvolumen por unidad de volumen, φ = ρ representa la masa por unidad de volumen, φ = ρv es lacantidad de movimiento por unidad de volumen y φ = ρ(e + |v|2/2) es la energía por unidad devolumen. Estas magnitudes intensivas se pueden utilizar para evaluar la cantidad de magnitudfluida total que existe en el interior de un cierto volumen. Por ejemplo, la cantidad de cantidadde movimiento contenida en un cierto instante en el interior de V viene dada por

V ρvdV .

Consideramos la superficie fija Σo de la figura adjunta. Al desplazarse, el fluido cruza la superficieanterior, transportando en su movimiento masa, cantidad de movimiento y energía. El volumende fluido que cruza en el tiempo dt a través del elemento diferencial de superficie dσ y orientaciónn, es el que está contenido en el paralelepípedo de área dσ y arista vdt de la figura. La cantidadde magnitud fluida que cruza dicho elemento de superficie puede calcularse a partir del volumendel paralelepípedo v · ndσdt para dar φv · ndσdt, por lo que el flujo convectivo total (magnitudfluida que cruza Σo en la unidad de tiempo) vendría dado por

Σo

φv · ndσ. (3.1)

A los vectores v, ρv y ρ(e+|v|2/2)v se les denomina vector flujo volumétrico, vector flujo másico yvector flujo de energía. Sus proyecciones en una dirección dada del espacio n determinan, respec-tivamente, la cantidad de volumen, masa y energía que cruza en la unidad de tiempo la unidad de

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Ecuación de Continuidad

σd

dtv

o

n

Σ

Figura 3.1: Flujo convectivo.

superficie contenida en el plano perpendicular a n. De manera análoga, ρvv es el llamado tensorflujo de cantidad de movimiento, y el vector ρvv · n es la cantidad de cantidad de movimientoque cruza en la unidad de tiempo la unidad de superficie contenida en el plano perpendicular a n.

Si la superficie Σo es cerrada (y φv es continuo), entonces podemos hacer aplicación del teoremade Gauss para reescribir el flujo convectivo en la forma

Σo

φv · ndσ =

Vo

∇ · (φv)dV, (3.2)

donde Vo es el volumen encerrado por la superficie Σo. Haciendo aplicación de la ecuación anteriora un volumen infinitesimal, podemos concluir que, por ejemplo, ∇ · (ρv) representa la cantidadde masa que abandona la unidad de volumen en la unidad de tiempo debido al movimiento delfluido a través de sus paredes. De la misma manera, ∇·v es la cantidad de volumen que abandonala unidad de volumen en la unidad de tiempo, un resultado que obtuvimos ya en el tema anterior.

Para finalizar, cabe añadir que, para extender la noción de flujo convectivo a una superficie movilΣc(t) cuyos puntos se desplazan con velocidad vc(xc, t), basta rehacer el razonamiento basadoen la figura 3.1, reemplazando, claro está, la velocidad del fluido v por la velocidad relativa a lasuperficie v − vc. La ecuación 3.1 se vería por tanto modificada para dar

Σc(t)φ(v − vc) · ndσ. (3.3)

Teorema del transporte de Reynolds

Estudiamos ahora la variación con el tiempo

d

dt

[

Vf (t)φ(x, t) dV

]

(3.4)

24

Page 30: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuación de Continuidad

v(x,t) dt

f(t +dt)

Σf(t)

n

Σ

Figura 3.2: Evolución infinitesimal de un volumen fluido.

de la cantidad de una cierta magnitud fluida contenida en un volumen fluido Vf (t) que está limi-tado por la superficie Σf (t). Recordando lo visto en el tema anterior en relación a la derivada sus-tancial, podemos adelantar que va a aparecer una contribución asociada a la no-estacionariedaddel campo fluido, φ(x, t), así como una contribución asociada al desplazamiento del volumenfluido, Vf (t). Para verlo, estudiamos la evolución entre los instantes t y t+dt del volumen fluidoque esquematiza en la figura 3.2. De este modo tenemos que,

d

dt

[

Vf (t)φ(x, t)dV

]

= limdt→0

1

dt

[

Vf (t+dt)φ(x, t + dt) dV −

Vf (t)φ(x, t) dV

]

, (3.5)

donde, desarrolando en serie de Taylor φ(x, t+dt) ≈ φ(x, t)+∂φ/∂t dt. Sustituyendo en equation3.5

d

dt

[

Vf (t)φ(x, t) dV

]

= limdt→0

1

dt

[

Vf (t+dt)

(

∂φ(x, t)

∂tdt

)

dV

]

+ (3.6)

limdt→0

1

dt

[

Vf (t+dt)φ(x, t) dV −

Vf (t)φ(x, t) dV

]

Como el límite de Vf (t + dt) cuando dt → 0 es simplemente Vf (t), tenemos,

d

dt

[

Vf (t)φ(x, t) dV

]

=

Vf (t)

∂φ(x, t)

∂tdV + lim

dt→0

1

dt

[

Vf (t+dt)φ(x, t) dV −

Vf (t)φ(x, t) dV

]

,

(3.7)donde el término

Vf (t+dt)φ(x, t) dV −

Vf (t)φ(x, t) dV

no es mas que la integral de φ(x, t) extendida a la diferencia entre las regiones ocupadas porVf (t + dt) y Vf (t) cuyo elemento diferencial volumen viene dado por dV = v(x, t) · n dσ dt. Por

25

Page 31: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuación de Continuidad

lo tanto el término entre corchetes de la ecuación 3.7 se puede expresar como,

limdt→0

1

dt

[

Vf (t+dt)φ(x, t) dV −

Vf (t)φ(x, t) dV

]

=

Σf (t)φ(x, t) v(x, t) · n dσ, (3.8)

con lo que podemos escribir finalmente

d

dt

[

Vf (t)φ(x, t) dV

]

=

Vf (t)

∂φ(x, t)

∂tdV +

Σf (t)φ(x, t) v(x, t) · ndσ. (3.9)

Los dos términos de 3.9 reflejan, tal y como anteriormente mencionamos, que la cantidad demagnitud fluida que hay contenida en un volumen fluido varia debido a la no estacionariedad delcampo fluido y también debido al movimiento del volumen fluido.

La resolución de un problema fluido determinado involucra en general el estudio del fluido con-tenido en una cierta región del espacio, que puede ser fija o variar con el tiempo dependiendodel problema. A dicha región del espacio Vc(t) la denominamos en lo que sigue volumen decontrol, que estará en general limitado por una superficie Σc(t) cuyos puntos se mueven convelocidad vc(xc, t). Puesto que los principios de conservación de la mecánica de fluidos se apli-can a volumenes fluidos, conviene relacionar la variación temporal de la cantidad de magnitudfluida que hay contenida en un volumen de control, con la variación temporal que tiene lugar enun volumen fluido que ocupa en el instante considerado el mismo lugar en el espacio. Para elvolumen de control Vc(t), el mismo razonamiento que nos ha llevado a derivar 3.9 nos permiteescribir

d

dt

[

Vc(t)φ(x, t) dV

]

=

Vc(t)

∂φ(x, t)

∂tdV +

Σc(t)φ(x, t) vc(x, t) · ndσ. (3.10)

Teniendo en cuenta que hemos elegido que el volumen de control Vc(t) y su superficie límiteΣc(t) coincidan en el instante considerado con Vf (t) y Σf (t), los dominios de integración delas integrales que aparecen en 3.9 y 3.10 coinciden, con lo que al sustraer dichas ecuacionesobtenemos

d

dt

[

Vf (t)φ(x, t) dV

]

=d

dt

[

Vc(t)φ(x, t) dV

]

+

Σc(t)φ(x, t) (v − vc) · n dσ. (3.11)

Esta ecuación, que nos será útil en la derivación de las ecuaciones de conservación, indica que lavariación temporal de una magnitud fluida (masa, cantidad de movimiento, energía, etc) ligadaa un volumen fluido es igual a la suma de la variación temporal en un volumen de control quecoincide en el instante considerado con el volumen fluido más el flujo convectivo a través de lasuperficie límite de dicho volumen de control (ver Ec. 3.3).

Ecuación de la continuidad

El primer principio de conservación de la mecánica de fluidos deriva del hecho de que la masacontenida en un volumen fluido no varía con el tiempo, lo que puede ser expresado con la ayudade 3.11 en la forma

d

dt

[

Vf (t)ρdV

]

=d

dt

[

Vc(t)ρdV

]

+

Σc(t)ρ(v − vc) · ndσ = 0. (3.12)

26

Page 32: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuación de Continuidad

La lectura de la ecuación anterior refleja lo que es obvio desde un punto de vista físico, esto es,el incremento por unidad de tiempo de la cantidad de masa que hay contenida en un volumende control es igual a la cantidad de masa que entra por unidad de tiempo a través de la paredde dicho volumen −

Σc(t)ρ(v − vc) · ndσ.

El balance másico anterior admite formas simplificadas cuando el volumen de control elegido esfijo en el espacio

d

dt

[∫

Vo

ρdV

]

+

Σo

ρv · ndσ = 0, (3.13)

y también cuando el fluido es incompresible∫

Σc(t)v · ndσ = 0. (3.14)

Mediante el uso del teorema de Gauss (ver Ec. 3.2) y teniendo en cuenta que Vo es un volumende control fijo, podemos reescribir 3.13 en la forma

Vo

[

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv)

]

dV = 0. (3.15)

Para que la ecuación anterior se cumpla independientemente del volumen de control Vo elegido,se debe de satisfacer en todos los puntos del espacio la identidad

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv) = 0, (3.16)

ecuación que constituye la forma diferencial del principio de conservación de la masa. Unamanera equivalente de escribir esta relación es

1

ρ

Dt= −∇ · v, (3.17)

expresión que refleja como la variación de la densidad de una partícula fluida está exclusivamenterelacionada con los cambios de volumen de esta (se recomienda repasar el concepto de velocidadde dilatación cúbica unitaria que vimos en el tema anterior). En particular, en el caso de unfluido incompresible la ecuación de continuidad se reduce a

∇ · v = 0. (3.18)

Por último, cabe señalar que la ecuación de continuidad correspondiente al movimiento esta-cionario de gases es

∇ · (ρv) = 0, (3.19)

esto es, la masa que abandona la unidad de volumen en la unidad de tiempo es nula.

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Page 33: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuación de Continuidad

28

Page 34: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Capítulo 4

Ecuación de Cantidad de Movimiento

Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie

Las fuerzas que actúan en un fluido (o en un sólido) se pueden clasificar en dos tipos distintos:fuerzas de largo alcance (también denominadas fuerzas de volumen o fuerzas másicas) y fuerzasde corto alcance (también denominadas fuerzas de superficie). Las primeras, que incluyen enparticular la gravedad y las fuerzas de inercia, son fuerzas que decrecen lentamente con la dis-tancia (su distancia característica de decaimiento es mucho mayor que la distancia media entremoléculas, d), y su radio de acción es comparable al tamaño característico del campo fluido L.Dichas fuerzas son capaces de penetrar en el interior del campo fluido y actuar sobre todos loselementos de su interior.

La resultante de la fuerza másica que actúa sobre una partícula fluida de volumen δV puedeexpresarse como

ρfm(x, t)δV, (4.1)

donde

fm(x, t) = g − ao −dΩ

dt∧ x − Ω ∧ (Ω ∧ x) − 2Ω ∧ v, (4.2)

es la magnitud de la fuerza por unidad de masa. En la ecuación anterior, g representa la gravedady ao y Ω son la aceleración del origen del sistema de referencia no inercial y su velocidad angularde giro. Para escribir 4.1 hemos despreciado la variación de las fuerzas de largo alcance en elinterior de la partícula fluida, lo que siempre es posible puesto que la distancia característicade decaimiento de fm(x, t) es mucho mayor que d (por ejempo, para observar un decaimientoapreciable de g hemos de separarnos de la superficie de la tierra una distancia comparable a suradio R ≃ 6400 km). Algunas de las fuerzas másicas que aparecen en 4.2 son conservativas, estoes, derivan de un potencial U tal que fm = −∇U . Así, podemos escribir

g − ao − Ω ∧ (Ω ∧ x) = −∇[−g · x + ao · x − (Ω ∧ x) · (Ω ∧ x)/2]. (4.3)

Las fuerzas de corto alcance, que tienen un origen molecular directo, decrecen muy rápida-mente con la distancia y son sólo apreciables a distancias del orden de la separación media entremoléculas d. En el caso de un gas, la fuerza que se ejerce a través de la superficie imaginaria deseparación entre dos parcelas de fluido vecinas se debe al transporte de cantidad de movimientoasociado a la velocidad de agitación térmica. En otras palabras, aunque a través de una superficie

Page 35: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuación de Cantidad de Movimiento

fluida no hay un transporte neto de masa, las moléculas que se desplazan de un lado a otro (enigual número para uno y otro lado si el gas es unicomponente) transportan en su movimientocantidad de movimiento (y energía). Este fenómeno da lugar a nivel macroscópico a la apariciónde fuerzas de superficie (y a la conducción de calor que veremos en el siguiente tema). Si elfluido es un líquido, aparecen contribuciones adicionales debidas a la fuerza que se ejerce entrelas moléculas situadas a uno y otro lado de la superficie. Tal y como veremos ahora, aún cuandose observan estas diferencias a nivel molecular, el tratamiento macroscópico de las fuerzas de su-perficie se puede hacer de manera unificada independientemente del tipo de fluido del que se trate.

Puesto que las fuerzas de corto alcance decaen en una distancia comparable a d, su resultantesobre una partícula fluida de tamaño δV (δV 1/3 ≫ d) es proporcional a la superficie (y no alvolumen) de dicha partícula fluida. La fuerza que se ejerce a través de un elemento de superficiede área dσ y orientación n que separa dos elementos fluidos puede por tanto escribirse en laforma

fn(n, x, t)dσ, (4.4)

donde la fuerza por unidad de superficie (o esfuerzo) fn es función de la orientación n, ademásde la posición x y del tiempo t. En la notación que se sigue tradicionalmente, fn es el esfuerzoque ejerce el fluido situado en el lado hacia donde está dirigido n sobre el fluido situado en ellado contrario.

Tensor de esfuerzos

Para definir una cierta orientación n en el espacio necesitamos dar en principio dos ángulos. Portanto, debido a la dependencia de fn con la orientación n, el cálculo del esfuerzo que aparece enuna posición x y en un instante t determinados requeriría en principio el conocimiento de unadoble infinitud de fuerzas. El objetivo de esta sección es el de demostrar que, en realidad, elnúmero de grados de libertad es mucho menor, de modo que la dependencia de fn con n se puedeexpresar en función de las seis componentes de un tensor simétrico ¯τ , que se denomina tensor deesfuerzos.

Para verlo, aplicamos el principio de conservación de la cantidad de movimiento de Newton alelemento fluido que en el instante inicial coincide con el tetraedro de aristas dx1, dx2 y dx3 de lafigura 4.1, cuyo volumen es dV = (1/6)dx1dx2dx3. Al establecer el balance correspondiente a laconservación de la cantidad de movimiento, el término de inercia ρdV Dv/Dt y el término de lasfuerzas másicas ρdV fm son proporcionales al volumen del elemento fluido considerado, mientrasque los esfuerzos superficiales son proporcionales a la superficie de cada una de las cuatro carasdel tetraedro. Si denominamos de manera genérica dx a la dimensión característica del elementofluido, de forma que dx1, dx2 y dx3 son todos cantidades de orden dx, la dependencia del términode inercia y del término de fuerzas másicas con el tamaño del elemento fluido resulta ser dx3,mientras que las fuerzas de superficie resultan ser proporcionales a dx2. Si consideramos valoresde dx suficientemente pequeños, las fuerzas de superficie acaban dominando necesariamente sobrelos otros términos de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento, que se ve portanto reducida en primera aproximación a la ecuación de equilibrio de las fuerzas superficiales.Si el esfuerzo superficial que actúa sobre la cara contenida en el plano perpendicular al eje xi,cuya superficie es dAi, viene dada por fi = (τi1, τi2, τi3) (i = 1, 2, 3), el esfuerzo superficial fn

30

Page 36: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuación de Cantidad de Movimiento

τ31

τ21

τ22

τ32

τ23

τ33

d x2

d x1

d x3

τ11

τ12

τ13

n

Figura 4.1: Esfuerzos sobre un elemento fluido tetraédrico.

que actúa sobre la cara oblicua (perpendicular a n = [n1, n2, n3]) puede obtenerse a partir de

dAfn − dA1f1 − dA2f2 − dA3f3 = 0. (4.5)

El uso de la identidad geométrica dAi = nidA, donde dA denota el área de la cara oblicua, nospermite reescribir la ecuación anterior en la forma

fn = n1f1 + n2f2 + n3f3 = n · ¯τ, (4.6)

donde

¯τ =

τ11 τ12 τ13

τ21 τ22 τ23

τ31 τ32 τ33

(4.7)

es el denominado tensor de esfuerzos. La Ec. 4.6 indica que el esfuerzo por unidad de superficieen la dirección n se puede expresar en función de las nueve componentes del tensor ¯τ , que sonen principio función de la posición e instante considerados.

En realidad, el resultado admite una simplificación mayor, puesto que el tensor de esfuerzosresulta ser simétrico, con lo que sólo tiene seis componentes diferentes. Para verlo, aplicamosla ecuación de conservación del momento cinético a un elemento fluido que forma inicialmenteun cubo de arista dx, tal y como se representa en la figura 4.2. De manera análoga a comoocurría anteriormente, en el límite dx → 0 la citada ecuación se reduce al equilibrio del momentode las fuerzas superficiales. Si por ejemplo consideramos la componente vertical, la ecuación deequilibrio nos da dx3(τ21 − τ12) = 0, indicando que τ12 = τ21. De manera similar, el equilibrio demomentos en las direcciones 1 y 2 revela que τ23 = τ32 y que τ13 = τ31, con lo que se demuestrala simetría del tensor de esfuerzos. El esfuerzo superficial fn(n, x, t) se puede por tanto expresar

31

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Ecuación de Cantidad de Movimiento

τ11

τ12

τ13

τ31

τ32

τ33

τ21

τ22

τ23

d x

d x

d x

Figura 4.2: Esfuerzos sobre un elemento fluido cúbico.

en la forma

fn = ¯τ · n =

τ11 τ12 τ13

τ12 τ22 τ23

τ13 τ23 τ33

· n, (4.8)

donde los esfuerzos normales τ11, τ22 y τ33 y los esfuerzos tangenciales τ12, τ13 y τ23 son funciónde la posición y del tiempo, con una dependencia con el estado termodinámico local del fluidoy con las velocidades de deformación que veremos en la siguiente sección para el caso de fluidosnewtonianos.

El esfuerzo superficial ¯τ · n se puede dividir en su componente normal (n · ¯τ · n)n y su componentetangencial ¯τ · n− (n · ¯τ · n)n. Existen tres direcciones del espacio, que se denominan direccionesprincipales de esfuerzo, en las cuales la componente tangencial del esfuerzo es nula. Para obtenerdichas direcciones resolvemos el problema de autovalores

¯τ · n = λn. (4.9)

La simetría del tensor ¯τ garantiza la existencia de tres raices reales para la ecuación característica∣

¯τ − λ¯I∣

∣= 0. (4.10)

Estas raices son los esfuerzos normales a lo largo de las direcciones principales, que resultan serortogonales entre sí.

La resultante de la fuerza superficial que actúa sobre una superficie dada se puede obtenerextendiendo 4.8 para dar

Σfndσ =

Σ

¯τ · ndσ. (4.11)

32

Page 38: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuación de Cantidad de Movimiento

Si la superficie es cerrada, el teorema de Gauss nor permite escribir la ecuación anterior en laforma

Σ

¯τ · ndσ =

V∇ · ¯τdV (4.12)

Aplicando ahora la ecuación anterior a un elemento diferencial de fluido podemos concluir que∇ · ¯τ es la resultante de las fuerzas superficiales por unidad de volumen. Así, para una partículafluida de volumen δV , la resultante de las fuerzas de superficie viene dada por (∇· ¯τ)δV . Puestoque la masa de la citada partícula fluida es ρδV , la segunda ley de Newton indica que

ρδVDv

Dt= ∇ · ¯τδV + ρfmδV, (4.13)

donde hemos incorporado también el efecto de las fuerzas másicas según se desprende de 4.1.Eliminando δV en la ecuación anterior anticipamos la ecuación de conservación de la cantidadde movimiento

ρDv

Dt= ∇ · ¯τ + ρfm, (4.14)

que derivaremos de nuevo más adelante.

Ley de Navier-Poisson

Si el fluido está en reposo en un cierto sistema de referencia, las fuerzas de superficie actúansiempre en la dirección normal, y su magnitud no depende de la dirección, pudiendo en generalexpresarse como

fn = −pn, (4.15)

donde la variable p es la presión, que está relacionada con las demás variables termodinámicas através de las ecuaciones de estado, tal y como se comentó al introducir la hipótesis de equilibriotermodinámico local. El tensor de esfuerzos superficiales asociado se reduce a

¯τ = −p¯I, (4.16)

donde ¯I representa el tensor identidad.

Tal y como vimos anteriormente, la existencia o no existencia de velocidades de deformación esindependiente del sistema de referencia elegido. Así, si se verifica ∇v = ¯Tr en algún sistemade referencia, también se verifica en cualquier otro, y el movimiento del fluido se reduce a unatraslación y a una rotación como sólido rígido. Eligiendo apropiadamente el sistema de referen-cia en dicho caso, es posible convertir dicho movimiento como sólido rígido en el reposo, luegopodemos concluir que el resultado ¯τ = −p¯I se aplica en general siempre y cuando ¯Td = 0.

Cuando ¯Td 6= 0 (lo que se verificará independientemente del sistema de referencia elegido),además de las fuerzas de presión, aparecen fuerzas de superficie adicionales que se denominanfuerzas de viscosidad, que se expresan con la ayuda de un tensor de esfuerzos viscosos ¯τ ′ tal que

¯τ = −p¯I + ¯τ ′. (4.17)

La relación entre los esfuerzos viscosos y las diferentes variables fluidas puede ser en principiocomplicada. En el caso de los fluidos llamados newtonianos, que incluyen la mayoría de los líqui-dos y gases de interés ingenieril, se observa experimentalmente que existe una proporcionalidad

33

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Ecuación de Cantidad de Movimiento

entre los esfuerzos viscosos τ ′ij y las velocidades de deformación, lo cual puede expresarse en la

formaτ ′ij = αijklγkl (4.18)

donde γkl representan las componentes del tensor de velocidades de deformación ¯Td. En prin-cipio, puesto que los tensores ¯τ ′ y ¯Td son simétricos, uno debería considerar 36 constantes deproporcionalidad αijkl. Sin embargo, para fluidos isótropos, el número de constantes se reduce asólo dos, tal y como veremos seguidamente.

Si utilizamos como ejes de referencia las direcciones principales de deformación, que coincidencon las direcciones principales de esfuerzo si el fluido es isótropo, los tensores ¯τ ′ y ¯Td resultantesson diagonales. En lo que sigue, denominamos τ ′

i y γi a los esfuerzos viscosos y velocidades dedeformación en las direcciones principales. Particularizando entonces la Ec. 4.18 para el esfuerzoviscoso τ ′

1, y teniendo en cuenta la isotropía del medio fluido, obtenemos τ ′1 = αγ1 + λγ2 + λγ3.

Los coeficientes α y λ relacionan la velocidad de deformación en una dirección con los esfuerzosviscosos que aparecen en dicha dirección y en direcciones perpendiculares, respectivamente. Laexpresión anterior, junto con las expresiones análogas que surgen al estudiar τ ′

2 y τ ′3, pueden

escribirse de manera compacta en la forma τ ′i = (α − λ)γi + λ∇ · v, o alternativamente

¯τ ′ = 2µ ¯Td + λ(∇ · v) ¯I, (4.19)

donde las constantes µ = (α − λ)/2 y λ son los llamados primer y segundo coeficiente de vis-cosidad. Esta última expresión tensorial permanece válida al reemplazar los ejes principales porotro sistema de referencia ortogonal cualquiera (recuerde que la velocidad de dilatación cúbicaunitaria ∇ · v permanece invariante en la transformación), de manera que, en general, podemosescribir el tensor de esfuerzos viscosos en la forma

¯τ ′ = 2µ ¯Td + (µv −2

3µ)(∇ · v) ¯I. (4.20)

Siguiendo la notación de uso más común, hemos introducido es esta expresión el coeficientevolumétrico de viscosidad µv = λ + 2

3µ. Tal y como puede verse, los esfuerzos viscosos son fun-ción de las velocidades de deformación, que aparecen explícitamente en 4.20, así como del estadotermodinámico local a través de los coeficientes de viscosidad µ y µv. Notese que si el fluido esincompresible, el segundo término de 4.20 resulta ser idénticamente nulo. Además de los coefi-cientes de viscosidad µ y µv, juega un papel relevante en mecánica de fluidos el llamado coeficientecinemático de viscosidad (o difusividad viscosa) definido a partir de ν = µ/ρ. Valores caracterís-ticos de ν para el aire y el agua a presión atmosférica son, respectivamente, ν = 1.48×10−5 m2/sy ν = 1.14×10−6 m2/s a T = 288 K, y ν = 2.24×10−5 m2/s y ν = 0.31×10−6 m2/s a T = 368 K.

La existencia de equilibrio termodinámico local nos permite estudiar la dependencia de µ y µv conel estado termodinámico en función de dos variables termodinámicas independientes cualquiera,por ejemplo p y T . Tanto la teoría cinética en el caso de gases, como la evidencia experimentalque existe tanto para líquidos como para gases, muestran que la dependencia con la presión delos coeficientes de viscosidad es despreciable. En cuanto a la dependencia con la temperatura,la viscosidad de los gases aumenta con T , mientras que la viscosidad de los líquidos disminuye,un comportamiento que se explica debido al distinto origen de las fuerzas superficiales en uno yotro caso. Así, las fuerzas superficiales en el caso de los gases tienen su origen en el transportede la cantidad de movimiento asociado a la agitación térmica, que es mayor cuanto mayor sea la

34

Page 40: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuación de Cantidad de Movimiento

temperatura. Por otra parte, en el caso de líquidos las fuerzas entre moléculas próximas, que sonfunción de la distancia entre ellas, contribuyen de manera importante a las fuerzas de viscosidadque aparecen. Al aumentar la temperatura aumenta (ligeramente) la distancia entre las molécu-las del líquido, con lo que la viscosidad disminuye. Tanto en gases como en líquidos, siempre quela temperatura no varíe mucho, resulta una aproximación razonable el suponer que la viscosidadpermanece constante, una simplificación que adoptaremos a menudo en el desarrollo del curso.Por último, cabe mencionar que la teoría cinética demuestra que el coeficiente volumétrico deviscosidad µv es idénticamente nulo en el caso de gases monoatómicos.

A partir de la Ec. 4.20, y utilizando las expresiones para ∇v y ∇ · v que se vieron en la Sec. 2,podemos escribir de forma explicita los esfuerzos viscosos τij en función de las derivadas delas componentes de la velocidad. Las expresiones correspondientes a coordenadas cartesianas,cilíndricas y esféricas aparecen recogidas en un apéndice al final de este tema.

Fuerza y momento sobre un sólido

La resultante F de las fuerzas de presión y viscosidad que se ejerce sobre una superficie Σ denormal n dirigida hacia el fluido se obtiene de 4.11 y 4.17 para dar

F = −

Σpndσ +

Σ

¯τ ′ · ndσ. (4.21)

De manera similar, el momento M respecto a un punto xo de las fuerzas de presión y viscosidadsobre una superficie Σ se obtiene a partir de

M = −

Σ(x − xo) ∧ pndσ +

Σ(x − xo) ∧ ¯τ ′ · ndσ. (4.22)

Estas ecuaciones se pueden utilizar, en particular, para determinar la fuerza que ejerce el fluidosobre un sólido que se encuentra inmerso en él. La superficie Σ coincide en este caso con lasuperficie del sólido, con la normal n dirigida hacia el fluido.

Ecuación de la cantidad de movimiento

De acuerdo a la segunda ley de Newton, la variación en la unidad de tiempo de la cantidadde movimiento de un volumen fluido es igual a la resultante de las fuerzas (de volumen y desuperficie) que actúan sobre el fluido

d

dt

[

Vf (t)ρvdV

]

=

Σf (t)

¯τ · ndσ +

Vf (t)ρfmdV. (4.23)

Desarrollando el tensor de esfuerzos ¯τ de acuerdo a 4.17, y utilizando el teorema de Reynoldsdado en 3.11, podemos reescribir la ecuación anterior para un volumen de control Vc(t) en laforma

d

dt

[

Vc(t)ρvdV

]

+

Σc(t)ρv(v− vc) · ndσ = −

Σc(t)pndσ+

Σc(t)

¯τ ′ · ndσ+

Vc(t)ρfmdV. (4.24)

35

Page 41: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuación de Cantidad de Movimiento

La ecuación anterior expresa matemáticamente como el incremento por unidad de tiempo dela cantidad de movimiento que hay en el volumen de control es igual a la suma de: el flujoconvectivo de cantidad de movimiento que entra en el volumen de control a través de sus paredes−∫

Σc(t)ρv(v − vc) · ndσ, la resultante de las fuerzas de presión −

Σc(t)pndσ, la resultante de

las fuerzas de viscosidad∫

Σc(t)¯τ ′ · ndσ y las resultantes de las fuerzas másicas

Vc(t)ρfmdV .

Particularizando la Ec. 4.24 a un volumen de control fijo se obtiene[∫

Vo

∂ρv

∂tdV

]

+

Σo

ρvv · ndσ = −

Σo

pndσ +

Σo

¯τ ′ · ndσ +

Vo

ρfmdV. (4.25)

Al igual que hicimos anteriormente al derivar 3.16, para derivar la ecuación de la cantidad demovimiento en forma diferencial transformamos a través del teorema de Gauss las integrales desuperficie que aparecen en 4.25 en integrales de volumen. Igualando entonces a cero el integrandode la integral de volumen resultante obtenemos

∂t(ρv) + ∇ · (ρvv) = −∇p + ∇ · ¯τ ′ + ρfm, (4.26)

ecuación que mediante 3.16 y 2.28 puede reescribirse en la forma

ρDv

Dt= ρ

[

∂v

∂t+ ∇(|v|2/2) − v ∧ (∇∧ v)

]

= −∇p + ∇ · ¯τ ′ + ρfm, (4.27)

que es fiel reflejo de la segunda ley de Newton que anticipamos en 4.14.

Caso de líquidos perfectos

Si el fluido es incompresible y tiene viscosidad constante, ∇ · ¯τ ′ = −µ∇∧ (∇∧ v), con lo que laEc. 4.27 se reduce a

Dv

Dt= −∇

(

p

ρ

)

− ν∇∧ (∇ ∧ v) + fm, (4.28)

que puede reescribirse para un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en la formasimplificada

Dv

Dt= −∇

(

p

ρ

)

+ ν∇2v + fm. (4.29)

Las Ecs. 3.18 y 4.28 bastan para determinar el campo de velocidades y de presiones, de formaque el problema térmico queda desacoplado del problema fluidodinámico en el movimiento delíquidos perfectos de viscosidad constante. Además, como la presión no entra en la ecuación decontinuidad, y sólo entra en la ecuación de la cantidad de movimiento a través de derivadas,las ecuaciones de conservación quedan invariantes si a la presión le restamos un valor constante.Esta invarianza permite simplificar notablemente la resolución de algunos problemas.

Otra simplificación importante surge cuando las fuerzas másicas derivan de un potencial fm =−∇U , tal y como ocurre en el caso de la fuerza de la gravedad y la fuerza centrífuga. La Ec. 4.28se escribe en ese caso como

Dv

Dt= −∇

(

p + ρU

ρ

)

− ν∇∧ (∇∧ v), (4.30)

36

Page 42: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuación de Cantidad de Movimiento

indicando que p + ρU juega en el caso del movimiento de líquidos perfectos el mismo papel quejugaría la presión en ausencia de fuerzas másicas. Si la presión no aparece de manera indepen-diente a través de las condiciones de contorno, el campo de velocidades es independiente de lasfuerzas másicas.

La ecuación Ec. 4.30 admite simplificación en el caso de movimientos estacionarios cuando elefecto de la viscosidad se puede considerar despreciable. En ese caso, podemos proyectar laecuación resultante a lo largo de las líneas de corriente obteniendose que la cantidad

p + ρU + ρ|v|2/2 = Cl (4.31)

permanece constante a lo largo de una línea de corriente, aún cuando el valor de la constantepuede ser diferente para diferentes líneas de corriente. La ecuación anterior, denominada ecuaciónde Bernoulli, proporciona una relación entre la presión y el módulo de la velocidad.

Para ilustrar los comentarios anteriores referentes al papel de p+ρU en el movimiento de líquidosperfectos, consideramos un submarino de tamaño característico L que se mueve horizontalmentecon velocidad V a una profundidad h y a una distancia del fondo marino mucho mayor que L (demanera que el agua puede considerarse un medio semiinfinito limitado superiormente por el aire,donde en primera aproximación la presión p = pa es uniforme). Por conveniencia, adoptamos enla descripción del campo fluido un sistema de referencia viajando con el submarino, con el eje xalineado en dirección contraria al movimiento y el eje z orientado en la dirección de la verticallocal (g = −gez y U = gz). Las ecuaciones que determinan en ese caso el campo estacionariode velocidades y presiones que existe alrededor del cuerpo son ∇ · v = 0, junto con 4.30. Elcampo de velocidades debe de cumplir v = 0 en la superficie del cuerpo. Además, si h ≫ L,lejos del submarino se recupera la solución correspondiente a un movimiento uniforme, con lodebemos imponer como condiciones de contorno adicionales v = V ex y p = pa + ρg(h − z) para|x| ≫ L. En este caso, podemos introducir una nueva variable p′ = [p − pa − ρg(h − z)]/ρ, talque p′(|x| ≫ L) = 0, lo que reduce la Ec. 4.30 a

v · ∇v = −∇p′ − ν∇∧ (∇∧ v). (4.32)

Esta formulación en función de p′ permite ver con claridad como el campo de velocidades alrede-dor del submarino es independiente de pa y de la gravedad, siendo función exclusiva de ν, V ydel tamaño y geometría del submarino.

No es posible, sin embargo, una formulación similar independiente de g cuando h ∼ L, puestoque en ese caso la superficie del agua deja de ser horizontal debido a la presencia del submarino.El campo de presión resultante debe satisfacer p = pa en la superficie del agua, cuya posiciónx = xs se determina como parte de la solución del problema. Al expresar esta condición decontorno en función de la variable alternativa p′ obtenemos p′ = −g(h− z) en x = xs, con lo quese ve que el campo de velocidades pasa a ser dependiente de g y de la profundidad h a través dela condición de contorno (aún cuando sigue siendo independiente del nivel de presión pa).

Ecuación del momento cinético

La segunda ley de Newton se puede formular de manera alternativa en función del momentocinético en los siguientes términos: la variación del momento cinético de un sistema es igual al

37

Page 43: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuación de Cantidad de Movimiento

momento de las fuerzas que actúan sobre el mismo. Puesto que para una partícula fluida demasa ρdV situada en x, el momento cinético respecto a un punto xo resulta ser (x− xo)∧ ρvdV ,la formulación matemática del principio de conservación del momento cinético para un volumenfluido proporciona la ecuación integral

d

dt

[

Vf (t)ρ(x − xo) ∧ vdV

]

=

Σf (t)(x − xo) ∧ (¯τ · n)dσ +

Vf (t)ρ(x − xo) ∧ fmdV, (4.33)

que puede reescribirse para un volumen de control arbitrario Vc(t) en la forma

d

dt

[

Vc(t)ρ(x − xo) ∧ vdV

]

+

Σc(t)ρ[(x − xo) ∧ v][(v − vc) · n]dσ =

(4.34)

Σc(t)(x − xo) ∧ (pn)dσ +

Σc(t)(x − xo) ∧ (¯τ ′ · n)dσ +

Vc(t)ρ(x − xo) ∧ fmdV.

Para obtener la forma diferencial de la ecuación anterior consideramos un volumen de controlVo fijo respecto al sistema de referencia utilizado, convertimos seguidamente las integrales desuperficie en integrales de volumen a través del teorema de Gauss e igualamos finalmente a ceroel integrando de la integral de volumen así obtenida para dar

∂t[(x − xo) ∧ (ρv)] + ∇ · [(x − xo) ∧ (ρvv)] =

(4.35)

−∇ · [(x − xo) ∧ (p¯I)] + ∇ · [(x − xo) ∧ ¯τ ′] + (x − xo) ∧ (ρfm).

Recordando que ρvv, p¯I y ¯τ ′ son todos tensores simétricos, podemos escribir está ecuación en laforma simplificada

(x − xo) ∧∂

∂t(ρv) + (x − xo) ∧ [∇ · (ρvv)] =

(4.36)

−(x − xo) ∧∇p + (x − xo) ∧ (∇ · ¯τ ′) + (x − xo) ∧ (ρfm),

en cuya derivación hemos utilizado la identidad ∇· [(x− xo)∧¯A] = (x− xo)∧ (∇· ¯A), que resulta

aplicable para cualquier tensor simétrico ¯A. Tal y como puede observarse, la ecuación resultantees equivalente a la Ec. 4.26, lo cual ilustra claramente que la ecuación de cantidad de movimientoy la ecuación del momento cinético no responden a principios distintos de la mecánica, sino queambas son consecuencia de la segunda ley de Newton.

38

Page 44: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuación de Cantidad de Movimiento

Componentes del tensor de esfuerzos viscosos para fluidosnewtonianos

Las componentes del tensor de esfuerzos viscosos se obtienen de desarrollar 4.20 para dar

τ ′ij = 2µγij + (µv −

2

3µ)∇ · vδij ,

donde γij = [(∇v)ij + (∇vT)ij ]/2 es la componente ij del tensor de deformación ¯Td y δij representa lafunción delta de Kronecker (δii = 1, δij = 0 si i 6= j). A partir de las expresiones desarrolladas en laSec. 2 se puede demostrar que

γii =1

hi

∂vi

∂xi

+∑

k 6=i

vk

hihk

∂hi

∂xk

y γij =hj

2hi

∂xi

(

vj

hj

)

+hi

2hj

∂xj

(

vi

hi

)

(si i 6= j).

Utilizando esta expresión, junto con

∇ · v =1

h1h2h3

[

∂x1

(h2h3v1) +∂

∂x2

(h1h3v2) +∂

∂x3

(h1h2v3)

]

,

podemos escribir en forma desarrollada las expresiones para τ ′ij = τ ′

ji correspondientes a diferentes sis-temas de coordenadas curvilíneas ortogonales.

Coordenadas cartesianas (∇ · v = ∂vx

∂x+

∂vy

∂y+ ∂vz

∂z)

τ ′xx = 2µ

∂vx

∂x+ (µv −

2

3µ)(∇ · v) τ ′

xy = µ

(

∂vx

∂y+

∂vy

∂x

)

τ ′yy = 2µ

∂vy

∂y+ (µv −

2

3µ)(∇ · v) τ ′

yz = µ

(

∂vy

∂z+

∂vz

∂y

)

τ ′zz = 2µ

∂vz

∂z+ (µv −

2

3µ)(∇ · v) τ ′

zx = µ

(

∂vx

∂z+

∂vz

∂x

)

Coordenadas cilíndricas (∇ · v = 1

r∂rvr

∂r+ 1

r∂vθ

∂θ+ ∂vz

∂z)

τ ′rr = 2µ

∂vr

∂r+ (µv −

2

3µ)(∇ · v) τ ′

rθ = µ

[

r∂

∂r

(vθ

r

)

+1

r

∂vr

∂θ

]

τ ′θθ = 2µ

(

1

r

∂vθ

∂θ+

vr

r

)

+ (µv −2

3µ)(∇ · v) τ ′

θz = µ

(

∂vθ

∂z+

1

r

∂vz

∂θ

)

τ ′zz = 2µ

∂vz

∂z+ (µv −

2

3µ)(∇ · v) τ ′

zr = µ

(

∂vr

∂z+

∂vz

∂r

)

Coordenadas esféricas (∇ · v = 1

r2

∂∂r

(r2vr) + 1

rsenθ∂∂θ

(vθsenθ) + 1

rsenθ

∂vφ

∂φ)

τ ′rr = 2µ

∂vr

∂r+ (µv −

2

3µ)(∇ · v) τ ′

rθ = µ

[

r∂

∂r

(vθ

r

)

+1

r

∂vr

∂θ

]

τ ′θθ = 2µ

(

1

r

∂vθ

∂θ+

vr

r

)

+ (µv −2

3µ)(∇ · v) τ ′

θφ = µ

[

senθ

r

∂θ

( vφ

senθ

)

+1

rsenθ

∂vθ

∂φ

]

τ ′φφ = 2µ

(

1

rsenθ

∂vφ

∂φ+

vr

r+

vθcotθ

r

)

+ (µv −2

3µ)(∇ · v) τ ′

φr = µ

[

1

rsenθ

∂vr

∂φ+ r

∂r

(vφ

r

)

]

39

Page 45: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuación de Cantidad de Movimiento

40

Page 46: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Capítulo 5

Ecuación de la Energía

Transporte de calor por conducción

Hemos visto en el tema anterior como las velocidades de deformación dan lugar a fuerzas desuperficie. De manera similar, la existencia de gradientes de temperatura da lugar a un flujo decalor (conducción), cuyo origen a nivel molecular hay que buscarlo en el transporte de energíaque aparece relacionado con la velocidad de agitación molecular (el transporte de energía enel caso de líquidos se ve también influenciado por las fuerzas intermoleculares). La resultantea nivel macroscópico de dicho transporte resulta ser proporcional a la superficie que se estáconsiderando. Por tanto, a través de una superficie diferencial dσ de orientación n situada en laposición x, existe un flujo de calor (energía por unidad de tiempo) en un instante t que vienedado por

qn(n, x, t)dσ. (5.1)

En la notación que se emplea, qn es positivo si el calor pasa al fluido situado en el lado haciadonde apunta n desde el fluido situado al otro lado.

Para investigar la depedencia de qn con la orientación consideramos de nuevo el elemento fluidoque forma inicialmente el tetraedro de la figura 4.1. Se puede demostrar que la ecuación de laenergía aplicada a dicho elemento fluido se reduce en primera aproximación al balance de losflujos de calor a través de las cuatro caras del tetraedro. Si denominamos qi al flujo de calora través de las tres caras de orientación perpendicular a los ejes de referencia i = 1, 2, 3, y qn

al flujo de calor a través de la cara oblicua de orientación n, el balance anteriormente citado sereduce a

qndA = q1dA1 + q2dA2 + q3dA3. (5.2)

Sustituyendo la relación geométrica dAi = nidA en esta ecuación y dividiendo la ecuaciónresultante por dA, obtenemos finalmente

qn = q · n. (5.3)

Por lo tanto, el flujo de calor que existe a través de una superficie diferencial de orientaciónarbitraria se puede expresar de manera general en función de un vector q = (q1, q2, q3), que sedenomina vector flujo de calor, cuyas tres componentes son función de la posición e instanteconsiderados.

Page 47: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuación de la Energía

El flujo de calor que existe a través de una cierta superficie Σ se calcula por extensión de 5.1para dar

Σq · ndσ. (5.4)

Si la superficie es cerrada y no existen fuentes de calor puntuales en el interior (q es contínuo),entonces se verifica en virtud del teorema de Gauss que

Σq · ndσ =

V∇ · qdV, (5.5)

donde V denota el volumen encerrado por la superficie considerada. La expresión anterior revelaque ∇· q es el calor que abandona por conducción la unidad de volumen en la unidad de tiempo.

Ley de Fourier

La ley de Fourier, cuya base se asienta en la teoría cinética y en la observación experimental,establece que el flujo de calor es proporcional al gradiente de temperatura y tiene lugar en sentidode las temperaturas decrecientes de acuerdo a

q = −k∇T, (5.6)

donde el valor de la constante de proporcionalidad k, que se denomina coeficiente de conductivi-dad térmica, depende del estado termodinámico local del fluido. En virtud de la hipótesis deequilibrio termodinámico local, podemos expresar esta dependencia en función de dos variablestermodinámicas independientes cualquiera, por ejemplo p y T .

Al igual que sucede con los coeficientes de transporte µ y µv, las variaciones de la conductividadk asociadas a variaciones de presión son despreciables. Tal y como se comentó anteriormente, elorigen del fenómeno de conducción de calor en los gases es el transporte de energía asociado a lavelocidad de agitación térmica. Al aumentar la temperatura, aumenta la velocidad de agitacióntérmica, lo cual redunda en un incremento de k. Por ejemplo, para el aire k = 0.025 W/(m K) aT = 288 K y k = 0.03 W/(m K) a T = 368 K. En el caso de líquidos, el intercambio de energíaasociado a las fuerzas intermoleculares juega un papel importante en el fenómeno de conducciónde calor. Para la mayoría de los líquidos, esto se traduce en una ligera disminución de k conla temperatura. En el caso del agua, el comportamiento resulta ser el contrario, de donde, porejemplo, k = 0.59 W/(m K) a T = 288 K y k = 0.68 W/(m K) a T = 368 K.

Al igual que introdujimos la difusividad viscosa ν = µ/ρ, podemos introducir ahora la difusividadtérmica α = k/(ρcp), que se reduce a α = k/(ρc) en el caso de líquidos. Las unidades de lasdos difusividades así definidas son iguales ([ν]=[α]=L2T−1), lo cual permite la comparación deambas a través del denominado número de Prandtl Pr = ν/α, que mide la importancia relativade los procesos de transporte molecular de cantidad de movimiento y de calor. Así, el transportede cantidad de movimiento asociado a las fuerzas de viscosidad es mucho más efectivo que eltransporte de calor por conducción en fluidos que presentan Pr ≫ 1 (lo que ocurre por ejemploen el caso de aceites ligeros para los que Pr ≃ 1000). De manera análoga, al estudiar fluidoscon Pr ≪ 1 (por ejemplo, metales líquidos como el mercurio, para los que los electrones libresproducen una conducción de calor extremadamente efectiva), es posible despreciar a veces las

42

Page 48: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuación de la Energía

fuerzas de viscosidad, pero no así la conducción de calor. Todos estos conceptos quedarán másclaros al escribir las ecuaciones de conservación en forma adimensional, cosa que haremos encapítulos posteriores. Baste decir para acabar, que el número de Prandtl de los gases es de ordenunidad (Pr = 0.72 para el aire en un amplio rango de temperaturas), mientras que para el aguaes algo mayor que la unidad (Pr = 8.14 a T = 288 K y Pr = 1.82 a T = 368 K).

Ecuación de la energía

Consideramos un volumen fluido Vf (t) limitado por la superficie fluida Σf (t). Tal y como se vióen el tema I, la energía por unidad de masa del fluido se puede dividir en dos contribuciones:la energía cinética asociada al movimiento medio del fluido, |v|2/2, y la energía interna, e. Portanto, la energía del volumen fluido Vf se puede escribir como

Vfρ(e + |v|2/2)dV . La variación

temporal de esta cantidad es debida al trabajo de las fuerzas exteriores (fuerzas másicas y fuerzasde superficie) y a la aportación de calor desde el exterior (por conducción a traves de la superficieΣf (t), y por radiación y reacción química en el interior del volumen fluido). Este balance, queconstituye la ecuación de conservación de la energía, se puede escribir en forma de la siguienteecuación integral

d

dt

[

Vf (t)ρ(e + |v|2/2)dV

]

= −

Σf (t)pv · ndσ +

Σf (t)v · ¯τ ′ · ndσ

(5.7)

+

Vf (t)ρfm · vdV −

Σf (t)q · ndσ +

Vf (t)(Qr + Qq)dV,

donde Qr y Qq representan, respectivamente, el calor añadido ( por unidad de volumen y porunidad de tiempo) por radiación y por reacción química. En general, estas dos cantidades puedenexpresarse en función de las variables termodinámicas y de la composición química del fluido,tal y como se estudiará en asignaturas más avanzadas de combustión y de transmisión de calor.

Mediante el uso del teorema del transporte de Reynolds podemos extender la Ec. 5.7 para estudiarla variación de la energía contenida en un volumen de control arbitrario Vc(t)

d

dt

[

Vc(t)ρ(e + |v|2/2)dV

]

+

Σc(t)ρ(e + |v|2/2)(v − vc) · ndσ = −

Σc(t)pv · ndσ

(5.8)

+

Σc(t)v · ¯τ ′ · ndσ +

Vc(t)ρfm · vdV −

Σc(t)q · ndσ +

Vc(t)(Qr + Qq)dV.

Particularizando esta expresión para el caso de un volumen de control Vo fijo, y a través delteorema de Gauss, podemos derivar la siguiente ecuación diferencial

∂t[ρ(e+ |v|2/2)]+∇ · [ρ(e+ |v|2/2)v] = −∇ · (pv)+∇ · (v · ¯τ ′)+ ρfm · v−∇ · q + Qr + Qq, (5.9)

que podemos reescribir en virtud de 3.16 en la forma simplificada

ρD

Dt(e + |v|2/2) = −∇ · (pv) + ∇ · (v · ¯τ ′) + ρfm · v −∇ · q + Qr + Qq. (5.10)

43

Page 49: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuación de la Energía

Las Ecs. 3.16 y 4.27, junto con la Ec. 5.10 (o una de las formas alternativas que derivaremosahora), constituyen las ecuaciones de Navier-Stokes que gobiernan el movimiento de los fluidos.Nótese, además, que si la fuerza másica es conservativa y estacionaria (fm = −∇U con ∂U/∂t =0) entonces la ecuación anterior puede escribirse en la forma compacta

ρD

Dt(e + |v|2/2 + U) = −∇ · (pv) + ∇ · (v · ¯τ ′) −∇ · q + Qr + Qq. (5.11)

Ecuaciones de la energía cinética y de la energía interna

La Ec. 5.10 refleja como el trabajo de las fuerzas exteriores y la aportación de calor hacen variarde manera conjunta la energía de la partícula fluida e + |v|2/2, sin hacer distinción entre lascontribuciones a la energía interna y las contribuciones a la energía cinética. Es adecuado pre-guntarse entonces qué términos de los que aparecen a la derecha de 5.10 contribuyen directamentea variar e y cuáles producen una variación de |v|2/2.

Para contestar esta pregunta, debemos derivar inicialmente una ecuación para la energía cinética.Para ello, basta multiplicar escalarmente por v la ecuación de cantidad de movimiento 4.27.Teniendo en cuenta que v · [v ∧ (∇ ∧ v)] = 0, la citada operación proporciona

ρD

Dt(|v|2/2) = −v · ∇p + v · (∇ · ¯τ ′) + ρv · fm. (5.12)

Está ecuación, que deriva de la segunda ley de Newton al igual que 4.36, indica que la variaciónde |v|2/2 es consecuencia directa del trabajo de las fuerzas másicas ρv · fm y de una parte deltrabajo de las fuerzas de superficie, v · (∇ · ¯τ). Esta segunda contribución resulta del productoescalar de la resultante de las fuerzas de superficie por unidad de volumen, ∇· ¯τ , por la velocidaddel centro de masas de la partícula fluida, v, y correspondería, por tanto, al trabajo total delas fuerzas de superficie (por unidad de volumen y por unidad de tiempo) si la partícula fluidano sufriera deformación. Veremos ahora como el trabajo adicional de las fuerzas de superficieasociado a la deformación del fluido se invierte en aumentar la energía interna de éste.

Restando ahora 5.12 de 5.10 obtenemos la ecuación,

ρDe

Dt= −p∇ · v + ¯τ ′ : ∇v −∇ · q + Qr + Qq, (5.13)

que indica que la energía interna aumenta debido al trabajo de deformación de las fuerzas desuperficie y a la aportación de calor. El término −p∇ · v corresponde al trabajo de la compre-sión, que resulta ser reversible. Así, disminuciones locales de volumen (∇ · v < 0) resultan enun aumento de la energía interna, dándose el comportamiento inverso cuando ∇ · v > 0. Eltérmino φv = ¯τ ′ : ∇v, que se denomina función de disipación de Rayleigh, representa el trabajode deformación de las fuerzas de viscosidad por unidad de volumen y por unidad de tiempo. Estafunción es definida no negativa (φv ≥ 0)1, de manera que su efecto es irreversible; la disipación

1A partir de la definición del producto interno de dos tensores ¯A : ¯B =P

i

P

jAijBij es fácil demostrar que

φv = 2µ ¯Td : ¯Td + (µv −2

3µ)(∇ · v)2 =

3[(γ11 − γ22)

2 + (γ11 − γ33)2 + (γ22 − γ33)

2 + 6(γ212 + γ

213 + γ

223)] + µv(∇ · v)2,

lo que demuestra que φv ≥ 0 siempre que µ > 0 y µv > 0.

44

Page 50: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuación de la Energía

viscosa siempre tiende a aumentar la energía interna del fluido. Nótese que tanto −p∇ · v como¯τ ′ : ∇v son independientes no sólo de la orientación y posición sino también del movimiento delsistema de referencia.

Integrando 5.12 en un volumen fluido Vf (t), y teniendo en cuenta la igualdad

ρD

Dt(|v|2/2) =

∂t(ρ|v|2/2) + ∇ · (ρv|v|2/2) (5.14)

y la Ec. 3.9, es posible derivar la ecuación integral para la energía cinética

d

dt

[

Vf (t)ρ|v|2/2dV

]

= −

Σf (t)pv · ndσ +

Σf (t)v · ¯τ ′ · ndσ

(5.15)

+

Vf (t)ρfm · vdV −

[

Vf (t)−p∇ · vdV +

Vf (t)φvdV

]

,

que el lector puede formular alternativamente para estudiar la variación de la energía cinética enun volumen de control arbitrario Vc. De manera análoga podemos integrar 5.13 en el volumenfluido para dar

d

dt

[

Vf (t)ρedV

]

= −

Σf (t)q · ndσ +

Vf (t)(Qr + Qq)dV +

[

Vf (t)p∇ · vdV +

Vf (t)φvdV

]

.

(5.16)Las Ecs. 5.15 y 5.16 reflejan los balances de trabajo y energía que se presentan en el campo fluido.Así, podemos ver como el trabajo de las fuerzas másicas y el trabajo de las fuerzas de presión yde viscosidad sobre la superficie fluida se emplean en aumentar la energía cinética del volumenfluido, mientras que las aportaciones de calor por conducción a través de la superficie fluida ypor radiación y reacción química en el interior del volumen fluido aumentan la energía interna.La disipación viscosa y el trabajo de compresión aparecen como el mecanismo que transformaenergía cinética en energía interna, transformación que resulta ser irreversible en el primer caso.

Ecuaciones de la entalpía y entropía

Las Ecs. 5.10 y 5.13 son formas alternativas de escribir la ecuación de la energía, que tambiénadmite expresiones en función de la entalpía, h = e + p/ρ, y de la entropía, s. Para obtenerdichas expresiones, es conveniente utilizar primeramente la ecuación de la continuidad 3.16 paradar

∇ · (pv) = ρD

Dt(p/ρ) −

∂p

∂t. (5.17)

Combinando este resultado con 5.10 obtenemos

ρD

Dt(h + |v|2/2) =

∂p

∂t+ ∇ · (v · ¯τ ′) + ρfm · v −∇ · q + Qr + Qq, (5.18)

que puede expresarse en la forma

ρD

Dt(h + |v|2/2 + U) =

∂p

∂t+ ∇ · (v · ¯τ ′) −∇ · q + Qr + Qq (5.19)

45

Page 51: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuación de la Energía

cuando las fuerzas másicas son conservativas y estacionarias. Este último resultado indica queen un proceso donde las variación temporal de la presión y el trabajo de las fuerzas de viscosi-dad sean despreciables y donde no haya aportaciones de calor de ningún tipo, la combinaciónh + |v|2/2 + U se mantiene constante para cada partícula fluida.

Combinando ahora 5.18 con 5.12 proporciona

ρDh

Dt=

Dp

Dt+ φv −∇ · q + Qr + Qq. (5.20)

Recordando finalmente que Tds = dh − dp/ρ nos permite escribir la ecuación para la entropía

ρTDs

Dt= φv −∇ · q + Qr + Qq. (5.21)

Tal y como puede verse, la entropía de una partícula fluida aumenta por disipación viscosa y poradición de calor, mientras que el trabajo de compresión −p∇ · v es reversible y no revierte en unaumento de s.

Esta última ecuación puede entenderse como una extensión del segundo principio de la termod-inámica para fluidos newtonianos fuera del equilibrio, para los que somos capaces de cuantificarlos cambios de entropía. Por ejemplo, los cambios de entropía en un volumen fluido Vf (t) seobtienen a partir de

d

dt

[

Vf (t)ρsdV

]

=

Vf (t)(φv/T )dV −

Vf (t)[(q · ∇T )/T 2]dV

(5.22)

Σf (t)(q/T ) · ndσ +

Vf (t)(Qr/T + Qq/T )dV,(5.23)

ecuación que obtenemos al dividir 5.21 por T e integrar el resultado en Vf (t). Los términosQr/T y Qq/T representan fuentes de entropía (entropía por unidad de volumen y por unidadde tiempo) asociadas a la aportación de calor por radiación o reacción química. Por otra parte,−q/T es el flujo de entropía a través de una superficie debido a la conducción de calor, de donde−∫

Σf (t)(q/T )·ndσ resulta ser la cantidad de entropía que abandona el volumen fluido en la unidad

de tiempo. Tal y como se adelantó, la contribución de la disipación viscosa∫

Vf (t)(φv/T )dV esirreversible; si aparece, da siempre lugar a un aumento de entropía (φv ≥ 0). Finalmente, eltérmino −

Vf (t)[(q · ∇T )/T 2]dV constituye una fuente de entropía asociada a la conducción decalor, que es también irreversible, tal y como puede demostrar el lector a partir de la ley deFourier dada en 5.6.

46

Page 52: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Capítulo 6

Ecuaciones de Navier Stokes

Ecuaciones de conservación, ecuaciones de estado y leyes constitu-tivas

Cabe recordar ahora las hipótesis en las que se basa el estudio de los fluidos tal y como se planteaen el presente curso. Primeramente, la hipótesis de medio continuo nos permite definir los con-ceptos de densidad, ρ, velocidad, v, y energía interna, e, sin referencia a la estructura moleculardel fluido. Seguidamente, mediante la hipótesis de equilibrio termodinámico local, las diferentesvariables termodinámicas (temperatura, presión, etc) quedan automáticamente definidas en fun-ción de ρ y e para los estados de no equilibrio que estudia la mecánica de fluidos a partir delas leyes de estado correspondientes a estados de equilibrio. Esta hipótesis posibilita en par-ticular el reemplazar ρ y e por p y T como variables fundamentales para describir el estadotermodinámico del fluido. Finalmente, suponemos que el tensor de esfuerzos ¯τ y el vector flujode calor q son funciones lineales isotrópicas de las velocidades de deformación y del gradiente detemperatura, respectivamente. En las ecuaciones constitutivas que se derivan de esta hipótesis(leyes de Navier-Poisson y de Fourier) hacen aparición tres coeficientes de transporte: µ, µv y k,que suponemos son función del estado termodinámico local. Aún cuando las hipótesis anterioresfallan en algunos movimientos fluidos bajo condiciones extremas, su rango de validez es muy am-plio. En otras palabras, la formulación matemática de los principios de conservación de la masa,cantidad de movimiento y energía que mostramos a continuación es adecuada para estudiar lainmensa mayoría de los problemas fluidodinámicos de interés ingenieril.

Resumiendo lo anterior, vemos que para resolver un problema termofluidodinámico hemos decomplementar las ecuaciones de continuidad

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv) = 0, (6.1)

cantidad de movimiento

ρDv

Dt= −∇p + ∇ · ¯τ ′ + ρfm, (6.2)

y energía

ρDe

Dt= −p∇ · v + ¯τ ′ : ∇v −∇ · q + Qr + Qq, (6.3)

con las ecuaciones de estado

ρ = ρ(p, T ) y e = e(p, T ), (6.4)

Page 53: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuaciones de Navier-Stokes

junto con las leyes constitutivas

¯τ ′ = µ(∇v + ∇vT) + (µv −2

3µ)(∇ · v)I y q = −k∇T (6.5)

y sus funciones de estado asociadas

µ = µ(p, T ), µv = µv(p, T ) y k = k(p, T ). (6.6)

En particular, las ecuaciones de estado 6.4 se reducen a

ρ = ρo y e = eo + cT (6.7)

para un líquido perfecto y a

ρ =p

RgTy e = eo + cvT (6.8)

para un gas perfecto. Además, la dependencia con la presión de las funciones de estado 6.6 essiempre despreciable, lo que supone una simplificación adicional del problema.

Con las expresiones vectoriales dadas en la Sec. 2, es posible escribir las ecuaciones 6.1, 6.2 y 6.3en coordenadas curvilíneas ortogonales cualquiera (cartesianas, cilíndricas, esféricas). En el casode un líquido perfecto de viscosidad y conductividad constante, las ecuaciones 6.1, 6.2 y 6.3admiten la forma simplificada

∇ · v = 0 (6.9)

ρDv

Dt= −∇p − µ∇∧ (∇∧ v) + ρfm (6.10)

ρcDT

Dt= 2µ ¯Td : ¯Td + k∇2T + Qr + Qq. (6.11)

El lector puede encontrar en el apéndice de esta lección la forma desarrollada de las ecua-ciones 6.9, 6.10 y 6.11 en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

Condiciones iniciales y de contorno

Las ecuaciones 6.1, 6.2 y 6.3 describen todos los movimientos fluidos (dentro de los límites deaplicabilidad impuestos por las hipótesis utilizadas en su derivación). Lo que distingue a unmovimiento de otro son las condiciones iniciales y de contorno que introducimos para integrar elsistema anterior.

Si el movimiento es no estacionario, en el instante inicial hemos de conocer el campo de veloci-dades v = vo(x) junto con el estado termodinámico del fluido, dado por p = po(x) y T = To(x)(o cualquier otra pareja de variables termodinámicas independientes). Nótese que, si el fluido encuestión es incompresible, entonces en campo inicial de velocidades debe necesariamente cumplir∇ · vo = 0. No existe una limitación análoga en el caso del movimiento de un gas debido a la

48

Page 54: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuaciones de Navier-Stokes

presencia del término ∂ρ/∂t en la Ec. 6.1. Claramente, para el estudio de movimientos esta-cionarios o periódicos no se requiere introducir condiciones iniciales.

Las ecuaciones de Navier-Stokes gobiernan lo que sucede en el interior del fluido, y deben portanto ser complementadas con condiciones de contorno apropiadas en los límites del campo flu-ido. Aún cuando los tipos de límites del campo fluido pueden ser variados, nos centraremos porel momento en el estudio de fluidos limitados por paredes sólidas y en casos en los que el fluido seextiende hasta el infinito, dejando para más adelante el estudio de las superficies de separaciónentre fluidos inmiscibles.

Si el fluido está limitado por una pared sólida, en la superficie de dicha pared, x = xp, impon-dremos que la velocidad del fluido coincide con velocidad de la pared, v = vp. Esta condición, quese denomina condición de adherencia, es consecuencia de suponer que la interacción del fluidocon la pared es similar a la interacción entre partículas fluidas próximas. Puesto que el campode velocidad en el fluido es continuo (no presenta discontinuidades finitas), es razonable pensarque no existe discontinuidad entre la velocidad del sólido y la del fluido que se encuentra encontacto con él. Existe amplia evidencia experimental que confirma la valided de la condiciónde adherencia, al menos siempre que el recorrido libre medio λ sea mucho menor que la longitudcaracterística del movimiento (nótese que para movimientos de gases enrarecidos con λ ∼ L, nosolo falla la condición de adherencia, sino también la hipótesis de equilibrio termodinámico local).

En cuanto a la temperatura, supondremos que existe equilibrio termodinámico local en la pared,con lo que la temperatura del fluido en contacto con la pared coincide con la temperatura dela pared (T = Tp en x = xp). Además, el lector puede comprobar, mediante un razonamientoanálogo al que utilizamos en la derivación de 5.3, que el calor que llega por conducción a lapared procedente del fluido es igual al que penetra en el interior del sólido por conducción (si lasuperficie no emite ni absorbe calor por radiación o reacción química). Si la pared está aisladatérmicamente, el flujo de calor en dirección normal a la pared es nulo, con lo que la condición decontorno en x = xp se reduce a q · n = ∂T/∂n = 0.

Es importante hacer notar que se puede utilizar alternativamente la distribución de temperaturasTp o el flujo de calor ∂T/∂n como condición de contorno en x = xp. Desafortunadamente, enmuchas ocasiones no se tiene conocimiento por anticipado de ninguna de estas dos cantidades,con lo que para la resolución de un problema en el que interaccionan un sólido y un fluido resultanecesario integrar las ecuaciones de Navier-Stokes en el interior del fluido y las ecuaciones de con-ducción de calor en el interior del sólido, acoplando ambas soluciones a través de las condicionesde equilibrio termodinámico y de igualdad de flujos de calor en la superficie de separación x = xp.La solución del problema acoplado proporcionaría en particular el valor de la temperatura y delflujo de calor ∂T/∂n en la pared.

Cuando el fluido se extiende hasta el infinito (se extiende hasta distancias mucho mayores que eltamaño del campo fluido que estamos estudiando), supodremos conocido el campo de velocidadesy el estado termodinámico allí. Dichas condiciones de contorno se expresan en la forma v =v∞(x, t), p = p∞(x, t), y T = T∞(x, t), para |x| → ∞. Por ejemplo, para estudiar el movimientode una corriente uniforme de velocidad U∞ alrededor de un cuerpo de tamaño característico L,impondremos v = U∞ex, p = p∞, y T = T∞ en |x|/L ≫ 1.

49

Page 55: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuaciones de Navier-Stokes

BIBLIOGRAFÍA

• PANTON, R. L., “Incompressible Flow”. Wiley & Sons. Nueva York 1984.

• TRITTON, D. J., “Physical Fluid Dynamics” (segunda edición). Clarendon Press, Oxford1988.

50

Page 56: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuaciones de Navier-Stokes

Ecuaciones de Navier-Stokes para un líquido perfecto (µ y kconstantes)

COORDENADAS CARTESIANAS (x,y,z)

Ecuación de la continuidad

∂vx

∂x+

∂vy

∂y+

∂vz

∂z= 0

Ecuación de la cantidad de movimiento

ρ

(

∂vx

∂t+ vx

∂vx

∂x+ vy

∂vx

∂y+ vz

∂vx

∂z

)

= −∂p

∂x+ µ

[

∂2vx

∂x2+

∂2vx

∂y2+

∂2vx

∂z2

]

+ ρfmx

ρ

(

∂vy

∂t+ vx

∂vy

∂x+ vy

∂vy

∂y+ vz

∂vy

∂z

)

= −∂p

∂y+ µ

[

∂2vy

∂x2+

∂2vy

∂y2+

∂2vy

∂z2

]

+ ρfmy

ρ

(

∂vz

∂t+ vx

∂vz

∂x+ vy

∂vz

∂y+ vz

∂vz

∂z

)

= −∂p

∂z+ µ

[

∂2vz

∂x2+

∂2vz

∂y2+

∂2vz

∂z2

]

+ ρfmz

Ecuación de la energía

ρc

(

∂T

∂t+ vx

∂T

∂x+ vy

∂T

∂y+ vz

∂T

∂z

)

= φv + k

[

∂2T

∂x2+

∂2T

∂y2+

∂2T

∂z2

]

+ Qr + Qq

donde

φv = µ

[

2

(

∂vx

∂x

)2

+ 2

(

∂vy

∂y

)2

+ 2

(

∂vz

∂z

)2

+

(

∂vx

∂y+

∂vy

∂x

)2

+

(

∂vx

∂z+

∂vz

∂x

)2

+

(

∂vy

∂z+

∂vz

∂y

)2]

51

Page 57: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuaciones de Navier-Stokes

Ecuaciones de Navier-Stokes para un líquido perfecto (µ y kconstantes)

COORDENADAS CILÍNDRICAS (r,θ,z)

Ecuación de la continuidad

1

r

∂rvr

∂r+

1

r

∂vθ

∂θ+

∂vz

∂z= 0

Ecuación de la cantidad de movimiento

ρ

(

∂vr

∂t+ vr

∂vr

∂r+

r

∂vr

∂θ−

v2θ

r+ vz

∂vr

∂z

)

=

−∂p

∂r+ µ

[

∂r

(

1

r

∂r(rvr)

)

+1

r2

∂2vr

∂θ2+

∂2vr

∂z2−

2

r2

∂vθ

∂θ

]

+ ρfmr

ρ

(

∂vθ

∂t+ vr

∂vθ

∂r+

r

∂vθ

∂θ+

vrvθ

r+ vz

∂vθ

∂z

)

=

−1

r

∂p

∂θ+ µ

[

∂r

(

1

r

∂r(rvθ)

)

+1

r2

∂2vθ

∂θ2+

∂2vθ

∂z2+

2

r2

∂vr

∂θ

]

+ ρfmθ

ρ

(

∂vz

∂t+ vr

∂vz

∂r+

r

∂vz

∂θ+ vz

∂vz

∂z

)

= −∂p

∂z+ µ

[

1

r

∂r

(

r∂vz

∂r

)

+1

r2

∂2vz

∂θ2+

∂2vz

∂z2

]

+ ρfmz

Ecuación de la energía

ρc

(

∂T

∂t+ vr

∂T

∂r+

r

∂T

∂θ+ vz

∂T

∂z

)

= φv + k

[

1

r

∂r

(

r∂T

∂r

)

+1

r2

∂2T

∂θ2+

∂2T

∂z2

]

+ Qr + Qq

donde

φv = µ

2

[

(

∂vr

∂r

)2

+

(

1

r

∂vθ

∂θ+

vr

r

)2

+

(

∂vz

∂z

)2]

+

(

1

r

∂vz

∂θ+

∂vθ

∂z

)2

+

[

r∂

∂r

(vθ

r

)

+1

r

∂vr

∂θ

]2

+

(

∂vr

∂z+

∂vz

∂r

)2

52

Page 58: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuaciones de Navier-Stokes

Ecuaciones de Navier-Stokes para un líquido perfecto (µ y kconstantes)

COORDENADAS ESFÉRICAS (r,θ,φ)

Ecuación de la continuidad

1

r2

∂r(r2vr) +

1

rsenθ

∂θ(vθsenθ) +

1

rsenθ

∂vφ

∂φ= 0

Ecuación de la cantidad de movimiento

ρ

(

∂vr

∂t+ vr

∂vr

∂r+

r

∂vr

∂θ+

rsenθ

∂vr

∂φ−

v2θ + v2

φ

r

)

= −∂p

∂r+ µ

[

∂r

(

1

r2

∂r(r2vr)

)

+

1

r2senθ

∂θ

(

senθ∂vr

∂θ

)

+1

r2sen2θ

∂2vr

∂φ2−

2

r2senθ

∂θ(vθsenθ)−

2

r2senθ

∂vφ

∂φ

]

+ ρfmr

ρ

(

∂vθ

∂t+ vr

∂vθ

∂r+

r

∂vθ

∂θ+

rsenθ

∂vθ

∂φ+

vrvθ

r−

v2φcotθ

r

)

= −1

r

∂p

∂θ+ µ

[

1

r2

∂r

(

r2∂vθ

∂r

)

+

1

r2

∂θ

(

1

senθ

∂θ(vθsenθ)

)

+1

r2sen2θ

∂2vθ

∂φ2+

2

r2

∂vr

∂θ−

2

r2

cotθ

senθ

∂vφ

∂φ

]

+ ρfmθ

ρ

(

∂vφ

∂t+ vr

∂vφ

∂r+

r

∂vφ

∂θ+

rsenθ

∂vφ

∂φ+

vrvφ

r+

vθvφ

rcotθ

)

= −1

rsenθ

∂p

∂φ+ µ

[

1

r2

∂r

(

r2 ∂vφ

∂r

)

+

1

r2

∂θ

(

1

senθ

∂θ(vφsenθ)

)

+1

r2sen2θ

∂2vφ

∂φ2+

2

r2senθ

∂vr

∂φ+

2

r2

cotθ

senθ

∂vθ

∂φ

]

+ ρfmφ

Ecuación de la energía

ρc

(

∂T

∂t+ vr

∂T

∂r+

r

∂T

∂θ+

rsenθ

∂T

∂φ

)

=

φv + k

[

1

r2

∂r

(

r2 ∂T

∂r

)

+1

r2senθ

∂θ

(

senθ∂T

∂θ

)

+1

r2sen2θ

∂2T

∂φ2

]

+ Qr + Qq

donde

φv = µ

2

[

(

∂vr

∂r

)2

+

(

1

r

∂vθ

∂θ+

vr

r

)2

+

(

1

rsenθ

∂vφ

∂φ+

vr

r+

vθcotθ

r

)2]

+

[

senθ

r

∂θ

( vφ

senθ

)

+1

rsenθ

∂vθ

∂φ

]2

+

[

r∂

∂r

(vθ

r

)

+1

r

∂vr

∂θ

]2

+

[

1

rsenθ

∂vr

∂φ+ r

∂r

(vφ

r

)

]2

53

Page 59: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Ecuaciones de Navier-Stokes

54

Page 60: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Capítulo 7

Fluidostática

En este tema abordamos el estudio de fluidos que están en equilibrio mecánico, dejando a un ladoen esta breve introducción el efecto de la tensión superficial. Después de presentar las ecuacionesgenerales, nos centramos en el caso del equilibrio de líquidos. Como resultado relevante se derivael principio de Arquímedes, que permite calcular fácilmente las fuerzas y momentos que ejerceun líquido sobre un cuerpo sumergido.

Equilibrio de un fluido

Si el fluido está en reposo respecto a algún sistema de referencia (v = 0), las ecuaciones decontinuidad, cantidad de movimiento y energía se reducen a

∂ρ

∂t= 0 (7.1)

−∇p + ρfm = 0 (7.2)

ρ∂e

∂t= ∇ · (k∇T ) + Qr + Qq (7.3)

La primera ecuación indica que, para un fluido en reposo, la densidad no puede variar con eltiempo, aún cuando si pueden existir variaciones espaciales. Por otra parte, al ser nula tanto laaceleración del fluido como la velocidad de deformación, la ecuación de la cantidad de movimientose reduce al equilibrio entre las fuerzas de presión y las fuerzas másicas

fm(x, t) = g − ao −dΩ

dt∧ x − Ω ∧ (Ω ∧ x). (7.4)

Tal y como puede verse, la fuerza de Coriolis queda excluida de las fuerzas de inercia (debidasal movimiento no inercial de las sistema de referencia) por ser v = 0. Finalmente, la ecuaciónde la energía indica que el aumento local de energía interna se produce a través de la adición decalor por conducción, reacción química o radiación.

En general, las ecuaciones anteriores han de complementarse con ecuaciones de estado ρ = ρ(p, T )y e = e(p, T ), junto a la función de estado k = k(p, T ). Además, para la integración de 7.1–7.3 necesitamos imponer condiciones iniciales y de contorno apropiadas. La única condicióninicial para v que es compatible con el reposo es v = vo(x) = 0. Si conocemos inicialmenteel estado termodinámico del fluido, conocemos en particular ρo(x), con lo que por integración

Page 61: MF Sánchez Pérez y Martínez Bazán

Fluidostática

de 7.1 obtenemos la solución para ρ(x, t) = ρo(x). Por otro lado, en virtud de la condición deadherencia, para que un fluido limitado por una superficie sólida x = xs esté en reposo, se debecumplir que dicha superficie esté en reposo, con lo que la condición de contorno resultante es v = 0en x = xs. Además, la temperatura del fluido en contacto con la superficie sólida coincide con latemperatura de dicha superficie, con lo que impondremos T = Ts en x = xs. Cabe añadir que enla superficie de separación de dos fluidos inmiscibles, la condición de equilibrio mecánico requierela igualdad de las presiones existentes en ambos lados de la superficie (siempre y cuando el efectode la tensión superficial sea despreciable), mientras que la existencia de equilibrio termodinámicolocal en la superficie de separación implica la igualdad de las temperaturas de los dos fluidos encontacto.

Hidrostática

En el caso de líquidos en reposo, la Ec. 7.1 se cumple idénticamente, mientras que 7.2 toma laforma alternativa

−∇(p/ρ) + fm = 0, (7.5)

indicando que las únicas fuerzas de inercia compatibles con el reposo son aquellas que derivande un potencial. Puesto que 7.4 se puede escribir en función del potencial

U = −g · x + ao · x − (Ω ∧ x) · (Ω ∧ x)/2 (7.6)

como

fm = −∇U −dΩ

dt∧ x, (7.7)

la condición anterior indica que dΩ/dt = 0 es un requisito imprescindible para que exista equi-librio mecánico. Integración de 7.5 en ese caso proporciona

p + ρU = C(t), (7.8)

donde C(t) es el valor de p+ρU en cualquier punto del espacio. Para completar la solución, habríaque integrar además la Ec. 7.3, la cual se reduce en ausencia de reacción química y radiación a

∂T

∂t= α∇2T, (7.9)

en cuya derivación hemos supuesto además un valor constante para la conductividad térmica k(recuerde que α = k/(ρc) es la denominada difusividad térmica).

Para aclarar los conceptos expuestos más arriba, consideramos el depósito cilindrico cerrado dela figura 7.1, cuya mitad inferior está ocupada por un líquido de densidad ρ1, estando su mitadsuperior ocupada por otro líquido, inmiscible con el primero, de densidad ρ2 < ρ1. Se trata deestudiar la solución que aparece en presencia de la gravedad cuando el depósito se encuentragirando alrededor de su eje de simetría con velocidad angular constante Ω.Para la descripción del problema conviene utilizar un sistema de referencia no inercial girandocon el depósito, respecto al cual los fluidos se encuentran en reposo. Elegimos el origen delsistema de referencia en el fondo del depósito, con el eje z orientado en la dirección de la vertical

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Fluidostática

ρ2

ρ1

R

2R

ΩR

Figura 7.1: Depósito cilíndrico..

local, de manera que Ω = Ωez. El potencial de fuerzas másicas correspondiente al movimientoen el sistema de referencia indicado se obtiene a partir de 7.6 para dar

U = gz − Ω2(x2 + y2)/2, (7.10)

con lo que el campo de presión en el interior de cada uno de los fluidos resulta ser, respectivamente,

p1 + ρ1(gz − Ω2r2/2) = C1 y p2 + ρ2(gz − Ω2r2/2) = C2, (7.11)

donde r = (x2 + y2)1/2 es la distancia al eje del cilindro. A lo largo de la superficie de separaciónentre los dos fluidos zs = zs(r), la presión ha de ser igual, con lo que se debe verificar

(ρ1 − ρ2)(gzs − Ω2r2/2) = C1 − C2. (7.12)

Por otra parte, si la superficie de separación entre los dos fluidos es de la forma que se muestraen la figura adjunta, se debe verificar que

πR3 =

∫ R

02πrzsdr, (7.13)

ecuación que expresa la conservación del volumen de cada líquido, cuyo valor debe permanecerigual al valor inicial πR3 independientemente de la velocidad de giro considerada. Imponiendoesta condición se obtiene

C1 − C2 = (ρ1 − ρ2)(gR − Ω2R2/4), (7.14)

ecuación que permite finalmente escribir

zs

R= 1 +

Ω2R

4g

[

2( r

R

)2− 1

]

. (7.15)

Tal y como puede verse, la forma de la superficie de separación resulta ser independiente delos valores de ρ1 y ρ2. Notese que la solución dada en 7.11 queda determinada a falta de unnivel de presión arbitrario, que solo podría obtenerse conociendo el valor de la presión en algúnpunto. Por otra parte, la Ec. 7.15 es solo válida si (Ω2R)/(4g) ≤ 1. Se deja al lector modificarla condición integral 7.13 para obtener la solución en el caso (Ω2R)/(4g) > 1.

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Fluidostática

Fuerzas sobre una superficie. Principio de Arquímedes

Consideramos ahora el caso de un líquido sometido a la acción de la gravedad. Si el líquido estálimitado por un gas a presión pa, el campo de presiones que aparece en el interior resulta ser

p + ρgz = pa, (7.16)

donde z es la altura desde la superficie libre. La fuerza y el momento (respecto a un punto xo)de las fuerzas de presión sobre una superficie Σ cuya normal n está orientada hacia el interiordel fluido son, respectivamente,

F = −

Σpndσ y M = −

Σ(x − xo) ∧ pndσ. (7.17)

Haciendo uso de 7.16, podemos reescribir estas expresiones en la forma

F = −

Σpandσ + ρg

Σzndσ (7.18)

M = −

Σ(x − xo) ∧ pandσ + ρg

Σ(x − xo) ∧ zndσ. (7.19)

El primer término de 7.18 es la fuerza debida a la presión del gas, siendo el segundo términoel efecto del peso de la columna de líquido de altura −z que existe sobre el elemento de su-perficie. Para obtener la proyección de la fuerza F en una cierta dirección debemos multiplicarescalarmente por el vector unitario m alineado con la dirección considerada para dar

Fm = −

Σ(pa − ρgz)n · mdσ = −

Σ(pa − ρgz)dσm, (7.20)

donde dσm es la proyección de dσ sobre un plano normal a m.

Si la superficie Σ es cerrada, lo cual ocurre en el cálculo de la fuerza sobre un cuerpo sumergidoen un líquido, podemos imaginar que el fluido se prolonga al interior del cuerpo, y aplicar elteorema de Gauss a 7.18 para dar

F = −

V∇padV + ρg

V∇zdV = ρgV ez. (7.21)

De manera similar, el momento que ejercen respecto a un punto xo las fuerzas de presión sepuede escribir a partir de 7.19 en la forma alternativa

M =

Σn ∧ [(pa − ρgz)(x − xo)]dσ =

V∇∧ [(pa − ρgz)(x − xo)]dV =

−ρgez ∧

V(x − xo)dV = (xg − xo) ∧ ρgV ez, (7.22)

donde xg = V −1∫

V xdV es el centro de gravedad del líquido desalojado. Las Ecs. 7.21 y 7.22constituyen el enunciado matemático del Principio de Arquímedes: la fuerza de flotabilidadque ejerce un líquido sobre un cuerpo sumergido en él es igual y contraria al peso del volumende líquido desalojado, y su punto de aplicación es el centro de gravedad del líquido desalojado,

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Fluidostática

A

B

ρ gV ρ gV

A

B

W W

Figura 7.2: Estabilidad de un cuerpo sumergido..

también denominado centroide (que no coincide en general con el centro de gravedad del cuerpo).

La posición relativa del centroide y del centro de gravedad del cuerpo es fundamental en relacióna la estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes. Así, diremos que un cuerpo está en equilibrioestable si al introducir una pequeña perturbación el cuerpo reacciona para volver a su posiciónprimitiva. Como ejemplo ilustrativo, consideramos la estabilidad el cuerpo sumergido en equilib-rio de la figura 7.2. Si está en equilibrio, la resultante de las fuerzas que actuan sobre el cuerpodebe ser nula, esto es, la fuerza de flotabilidad ρgV ez (aplicada en el centroide) debe compen-sar exactamente el peso −Wez (cuyo punto de aplicación es el centro de gravedad del cuerpo,que en equilibrio se encuentra necesariamente en la vertical del centroide). La configuración enequilibrio se muestra en la parte izquierda de la figura, donde A y B representan, respectiva-mente, el centroide y el centro de gravedad del cuerpo. Para que dicho equilibrio sea estable, elcentroide debe encontrarse por encima del centro de gravedad, de forma que cualquier giro delcuerpo respecto de la posición de equilibrio da lugar a un par que tiende a restablecer la posiciónprimitiva. Cuanto más baja es la posición del centro de gravedad, mayor es la estabilidad quese consigue, lo cual es también aplicable al equilibrio de cuerpos flotantes. Por ejemplo, el usode lastre y la distribución de la carga en la bodega se usan para garantizar el equilibrio de losbarcos.

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