MF Skripta

Sveučilište u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje

Zavod energetska postrojenja, energetiku i ekologiju Katedra za mehaniku fluida

Zdravko Virag - Mario Šavar - Ivo Džijan

Mehanika f luida

Skripta – predavanja

Zagreb 2014

Mehanika fluida I

Predgovor

Gradivo izneseno u ovoj skripti predstavlja dio materijala predavanja kolegija

Mehanika fluida koji se na Fakultetu strojarstva i brodogradnje, Sveučilišta u Zagrebu

predaje studentima smjerova: Mehatronika i robotika, Proizvodno strojarstvo, Računalno

inženjerstvo, Industrijsko inženjerstvo i menadžment. Skripta je prvenstveno namijenjena

za lakše razumijevanje teoretskih izvoda koji su potrebni za razumijevanje osnovnih

jednadžbi mehanike fluida. Nadamo se da će materijali dani u ovoj skripti omogućiti

studentima da lakše prate predavanja, te da ta znanja kasnije lakše usvoje. Svrha i cilj ove

skripte nije bio da zamjeni udžbenike i knjige iz Mehanike fluida, već je u njoj dan samo

materijal koji omogućuje studentima da kvalitetnije, preglednije i lakše usvoje potrebna

znanja iz Mehanike fluida.

Koncept predavanja koji je iznesen u ovoj skripti rezultat je gotovo četrdeset godina

kontinuiranog nastavnog rada na Katedri za mehaniku fluida. Na ovome mjestu se želimo

zahvaliti našim učiteljima i prethodnicima prof. dr. Mladenu Fancevu i prof. dr. Zdravku

Dolineru, na čijem je konceptu predavanja formiran kolegij u današnjem obliku.

U Zagrebu, 06.02.2014.

Zdravko Virag, Mario Šavar, Ivo Džijan

Sadržaj

Mehanika fluida II

SADRŽAJ

1. Uvod ................................................................................................................................ 1

1.1. Fluid ili tekućina ..................................................................................................... 1

1.2. Osnovne dimenzije u mehanici fluida .................................................................... 1

1.3. Hipoteza kontinuuma ............................................................................................. 1

1.4. Sile u fluidu ............................................................................................................ 2

1.4.1. Masene sile .................................................................................................. 2

1.4.2. Površinske sile ............................................................................................. 2

1.4.3. Tenzor naprezanja (Dodatak) ..................................................................... 3

1.5. Viskoznost fluida .................................................................................................... 4

2. Hidrostatika .................................................................................................................... 5

2.1. Osnovna jednadžba statike fluida ........................................................................... 5

2.2. Promjena tlaka u mirujućem fluidu u polju sile teže .............................................. 6

2.3. Hidrostatski manometri .......................................................................................... 7

2.4. Sila tlaka na ravne površine .................................................................................... 8

2.5. Sila tlaka na zakrivljene površine ......................................................................... 12

2.6. Sila uzgona ........................................................................................................... 13

3. Kinematika fluida ........................................................................................................ 15

3.1. Opis gibanja fluida ............................................................................................... 15

3.1.1. Lagrangeov opis gibanja fluida ................................................................ 15

3.1.2. Eulerov opis gibanja fluida ....................................................................... 16

3.1.3. Materijalna derivacija .............................................................................. 17

3.2. Strujnice ................................................................................................................ 18

3.3. Trajektorije ........................................................................................................... 18

3.4. Strujna površina i strujna cijev ............................................................................. 19

3.5. Protok ................................................................................................................... 20

3.6. Protok fizikalne veličine ....................................................................................... 21

3.7. Leibnitzov teorem ................................................................................................. 22

3.7.1. Brzina promjene veličine volumena .......................................................... 22

3.7.2. Brzina promjene sadržaja fizikalne veličine unutar volumena ................. 23

3.8. Materijalni volumen ............................................................................................. 23

4. Dinamika fluida ............................................................................................................ 24

4.1. Osnovni zakoni ..................................................................................................... 24

4.2. Zakon očuvanja mase ........................................................................................... 25

4.3. Zakon očuvanja količine gibanja .......................................................................... 25

4.4. Zakon očuvanja momenta količine gibanja .......................................................... 26

4.5. Zakon očuvanja energije ...................................................................................... 27

4.6. Zakon produkcije entropije................................................................................... 27

5. Integralne metode rješavanja jednodimenzijskih problema mehanike fluida ....... 28

5.1. Koncept kontrolnog volumena ............................................................................. 28

5.2. Reynoldsov transportni teorem ............................................................................ 28

5.3. Jednadžba kontinuiteta ......................................................................................... 29

5.4. Jednadžba količine gibanja ................................................................................... 30

5.4.1. Primjena jednadžbe količine gibanja za određivanje sile fluida na plašt cijevi .......................................................................................................... 31

5.4.2. Primjena jednadžbe količine gibanja za određivanje sile mlaza fluida na lopatice ...................................................................................................... 33

Sadržaj

Mehanika fluida III

5.5. Jednadžba momenta količine gibanja ................................................................... 34

5.6. Bernoullijeva jednadžba ....................................................................................... 35

6. Primjena osnovnih jednadžbi mehanike fluida ......................................................... 40

6.1. Mjerenje brzine ..................................................................................................... 40

6.2. Prandtl-Pitotova cijev ........................................................................................... 41

6.3. Mjerenje protoka u strujanju kroz cijevi .............................................................. 42

6.3.1. Venturijeva cijev........................................................................................ 42

6.3.2. Kavitacija .................................................................................................. 43

6.3.3. Ejektor ....................................................................................................... 44

6.3.4. Istjecanje iz velikog spremnika ................................................................. 44

6.3.5. Gubitak utjecanja u veliki spremnik .......................................................... 45

6.3.6. Sifon .......................................................................................................... 46

6.3.7. Maksimalna visina usisavanja pumpe ....................................................... 46

6.3.8. Korekcije brzine i protoka pri istjecanju kroz otvore ............................... 46

6.3.9. Formula za izračunavanje vremena pražnjenja posude ........................... 47

6.4. Ilustracija sadržaja Bernoullijeve jednadžbe ........................................................ 48

7. Dimenzijska analiza ..................................................................................................... 50

7.1. Osnovna jednadžba metrologije ........................................................................... 50

7.2. Skup osnovnih i izvedenih fizikalnih jedinica ..................................................... 50

7.3. Dimenziono nezavisan skup ................................................................................. 51

7.4. Backinghamov teorem (Pi-teorem) ...................................................................... 52

7.5. Nezavisni bezdimenzijski parametri (kriteriji sličnosti) ...................................... 55

7.6. Neki zavisni bezdimenzijski parametri ................................................................ 55

8. Primjena osnovnih zakona dinamike fluida na strujanje u hidrauličkim strojevima ..................................................................................................................... 61

8.1. Osnovni zakoni u koordinatnom sustavu koji se giba pravocrtno brzinom u ...... 61

8.2. Bernoullijeva jednadžba za rotirajuću strujnu cijev ............................................. 63

8.3. Eulerova jednadžba za turbostrojeve .................................................................... 63

8.4. Primjena na rotirajuću cjevčicu ............................................................................ 65

8.5. Primjena na hidrauličke strojeve .......................................................................... 67

8.5.1. Primitivna teorija propelera ..................................................................... 67

8.5.2. Primjena na centrifugalni stroj ................................................................. 69

8.5.3. Primjena na Pelton turbinu ....................................................................... 72

8.5.4. Primjena na aksijalni tubostroj ................................................................. 73

9. Hidraulički proračun cjevovoda ................................................................................. 77

9.1. Osnovne jednadžbe ............................................................................................... 77

9.2. Modeliranje linijskih gubitaka .............................................................................. 77

9.3. Modeliranje lokalnih gubitaka .............................................................................. 80

9.3.1. Veza među faktorom brzine i koeficijentom lokalnog gubitka .................. 81

9.3.2. Ekvivalentna duljina cjevovoda ................................................................ 81

9.4. Hidraulički proračun cjevovoda nekružnog poprečnog presjeka ......................... 82

9.5. Ilustracija modificirane Bernoullijeve jednadžbe ................................................. 83

9.6. Postupci proračuna jednostavnih cjevovoda ........................................................ 84

9.7. Energetske karakteristike pumpe .......................................................................... 85

9.7.1. Realna karakteristika hidrauličkog stroja ................................................ 85

9.7.2. Radna točka pumpe ................................................................................... 86

9.7.3. Zakoni sličnosti ......................................................................................... 86

9.7.4. Spajanje pumpi .......................................................................................... 87

Popis najvažnijih oznaka

Mehanika fluida IV

POPIS NAJVAŽNIJIH OZNAKA

Fizikalna veličina Oznaka Dimenzija Jedinica u

SI sustavu

površina poprečnog presjeka A, S L2 m

2

brzina zvuka c LT-1

m/s

promjer D, d L m

tenzor brzine deformacije Dij T-1

1/s

sila F MLT-2

N

gravitacija g LT-2

m/s2

volumenski modul elastičnosti K ML-1

T-2

Pa

maseni protok m� MT-1

kg/s

moment sile M ML2T

-2 Nm

snaga P ML2T

-3 W

tlak p ML-1

T-2

Pa

volumenski protok Q L3T

-1 m

3/s

potencijal masene sile U L2T

-2 m

2/s

2

specifična unutrašnja energija u L2T

-2 J/kg

volumen fluida V L3 m

3

brzina strujanja fluida v LT-1

m/s

rad sile W ML2T

-2 J

geodetska visina z L m

gustoća fluida ρ ML-3

kg/m3

koeficijent kinematičke viskoznosti ν L2T

-1 m

2/s

koeficijent dinamičke viskoznosti µ ML-1

T-1

Pa·s

brzina vrtnje ω T-1

rad/s

koeficijent otpora trenja λ - -

naprezanje τ ML-1

T-2

N/m2

kut α - rad

1. Uvod

Mehanika fluida 1

1. UVOD

Mehanika fluida je dio fizike koji se bavi gibanjem fluida i silama koje djeluju na fluid.

Mehanika fluida se dijeli na statiku fluida koja proučava ravnotežu fluida u mirovanju,

kinematiku fluida koja se bavi zakonima gibanja fluida, i dinamiku fluida koja se bavi

silama koje djeluju na fluid i gibanjima koje nastaju djelovanjem tih sila te interakcijama

između čvrstih tijela i fluida.

1.1. Fluid ili tekućina

Definicija fluida: Fluid je tvar koja se neprekidno deformira (tj. struji) pod djelovanjem ma

kako malog smičnog naprezanja. Ova neprekidna deformacija naziva se strujanje.

Iz definicije fluida slijedi: U fluidu u mirovanju nema smičnih naprezanja.

Fluid dijelimo: Fluide dijelimo s obzirom na veličinu deformacije kao posljedicu tlačnog

naprezanja na kapljevine i plinove

1.2. Osnovne dimenzije u mehanici fluida

Veličina Oznaka dimenzije Jedinica u SI sustavu

masa M kg

duljina L m

vrijeme T s

temperatura Θ K

1.3. Hipoteza kontinuuma

Gledajući u mikroskopskom svijetu materija se sastoji od atoma i molekula, a ovi se

sastoje od još sitnijih čestica. Gledajući iz makrosvijeta diskretna strukture se ne može

matematički opisati jer i vrlo mali volumen sadrži jako veliki broj molekula (V = 10-

3mm

3→Nplin=1015

Nkaplj=1018

) . Zbog toga se uvodi hipoteza kontinuuma po kojem fluid

kontinuirano popunjava prostor, a sva fizikalna svojstva će biti definirana u svakoj točci

prostora.

Definicija: Kontinuum je matematički model materije prema kojem ona zadržava svoja

fizikalna svojstva pri smanjivanju volumena u točku. Čestica kontinuuma (materijalna

točka) ima infinitezimalni volumen dV, a svaka čestica zauzima samo jednu točku prostora,

a u jednoj točki prostora se može nalaziti samo jedna čestica kontinuuma. Hipoteza

kontinuuma omogućuje primjenu integralnog i diferencijalnog računa u mehanici fluida.

Primjer: Gustoća čestice fluida se izražava derivacijom d

d

m

Vρ= ,

[ ] [ ]3

3SI

kgML ;

mρ ρ−= = .

1. Uvod

Mehanika fluida 2

1.4. Sile u fluidu

1.4.1. Masene sile

Masene sile su raspoređene po prostoru i djeluju na svaki element mase fluida. Sile

nisu posljedica fizičkog dodira čestica fluida nego su posljedica položaja mase u polju

masene sile, Tipične masene sile su sila teža, inercijska sila, magnetska sila, centrifugalna

sila itd.

Masene sile su posljedica položaja mase u polju masene sile. ( f�

je specifična masena sila

= sila po jediničnoj masi, 2

2SI

mLT ;

sf f− = =

� �)

Masena sila dF�

na česticu fluida:

d d dF f m f V� ��

ρ= =

Sila F�

na ukupni volumen V

d

V

F f V��ρ= ∫

2

SIMLT ; NF F− = =

� �

Primjeri: sila gravitacije: f gk� �=−

inercijske sile: f a� �=−

1.4.2. Površinske sile

Površinske sile su sile dodira između čestica

fluida ili između čestica fluida i stjenke.

Definirane su specifičnom površinskom silom ili

vektorom naprezanja �σ ,

[ ] [ ]-1 2

SIML T ; Paσ σ−= =

� �.

Sila dF�

na elementarnu površinu dS

d = dF S� �σ

Sila F�

na ukupnu površinu S

= d

S

F S� �

σ∫

Za površinske sile vrijedi III Newtonow zakon

(princip akcije i reakcije), tj.

( ) ( )n n� ��

σ σ=− −

(čitaj vektor naprezanja na površini orijentiranoj jediničnim vektorom normale n�

jednak je

po veličini i suprotan po smjeru vektoru naprezanja na površini orijentiranoj normalom

n�− ).

Slika uz definiciju masenih sila

O

z

y

x

df m�⋅

V

f�

S

Slika uz definiciju površinskih sila

O

z

y

x

V

n�

dS�σ

1. Uvod

Mehanika fluida 3

Površinska specifična sila (vektor naprezanja) dijeli se na normalno naprezanje (tlak) i

tangencijalno naprezanje ( viskozno naprezanje) tpn

�� σ σ=− +

p = tlak = normalno naprezanje

t�σ = viskozno naprezanje = tangencijalno n. (neki autori označavaju s τ)

1.4.3. Tenzor naprezanja (Dodatak)

Stanje naprezanja u točki prostora jednoznačno je

definirano tenzorom naprezanja. Komponente

tenzora naprezanja definirane su komponentama

triju vektora naprezanja koji djeluju na površinama

orijentiranim normalama u smjeru osi koordinatnog

sustava, kao na slici. Svaki vektor naprezanja ima

jednu normalnu komponentu (okomitu na površinu)

i dvije tangencijalne (smične) komponente.

Tablični zapis komponenti tenzora naprezanja

xx xy xz

ji yx yy yz

zx zy zz

σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ σ

=

Prvi indeks označuje redak, tj. smjer normale na

površinu, a drugi stupac odnosno pravac djelovanja

komponente tenzora naprezanja.

Tenzor naprezanja je simetričan ij jiσ σ= (osim ako postoje maseni i površinski momenti).

Veza između vektora i tenzora naprezanja:

(vektor naprezanja je projekcija tenzora naprezanja na smjer normale)

( ) ( )

( ) ( )

ji x xx y yx z zx

x xy y yy z zy x xz y yz z zz

n n n n n i

n n n j n n n k

��

��σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

= ⊗ = + + +

+ + + + + +

Dogovor o predznacima naprezanja:

Pozitivna naprezanja na površinama orijentiranim normalama u pozitivnom smjeru

koordinatnih osi također gledaju u pozitivne smjerove tih osi i obrnuto, pozitivna

naprezanja na površinama orijentiranim normalama koje gledaju u negativnom smjeru

koordinatnih osi, također gledaju u negativne smjerove tih osi.

Površinska sila (vektor naprezanja) za slučaj stanja tlačnog naprezanja: tpn��

σ σ=− +

Slučaj Vektor naprezanja

- Realni fluid u gibanju

(postoje viskozne sile)

tji jin pn n pn

� � � �� σ σ Σ σ= ⊗ =− + ⊗ =− +

jiΣ = tenzor viskozna naprezanja

p = tlak = normalno naprezanje

t�σ = viskozno naprezanje = tangencijalno n.

- Realni fluid u mirovanju ili

relativnom mirovanju

- Idealni fluid (neviskozan) jin pn

� ��σ σ= ⊗ =−

x

y

z

xxσxyσ

xzσ yyσ

yzσ

yxσ

zzσ

zxσzyσ

Slika uz definiciju komponenti tenzora naprezanja

1. Uvod

Mehanika fluida 4

1.5. Viskoznost fluida

Viskoznost fluida je mjera otpora tečenju fluida.

Newtonov zakon viskoznosti

vAF

hµ=

Generalizirani Newtonov zakon viskoznosti

xdvF

A dyτ µ= =

U newtonskim fluidima viskozna naprezanja su linearno razmjerna brzini deformacije

fluida. Koeficijent razmjernosti se naziva (dinamička) viskoznost fluida µ ,

[ ] 1 -1ML Tµ −= ;[ ]SI

Pa sµ = ⋅ . Viskoznost je fizikalno svojstvo fluida, i zavisi od

termodinamičkog stanja fluida. Kod plinova s porastom temperature raste i viskoznost, a

kod kapljevina opada. Viskoznost pokazuje otpor fluida ka tečenju.

Kinematička viskoznost [ ] [ ]2

2 -1

SI

m L T ;

s,

µυ υ υ

ρ= = = .

Fluidi koji poštuju zakonitost v

yτ µ

∂=

∂nazivaju se Newtonovski fluidi

x ydv x yd v y

t tv y

y y

ϕϕ ω

ωτ µ µ µ ω

∆ ∆∆ = ∆ = ∆ ∆ = = ∆ ⋅

∆ ∆

∆ ∆ ⋅= = = ⋅

∆ ∆

Smično ili tangencijalno naprezanje proporcionalno je gradijentu brzine odnosno brzini

kutne deformacije ( u Hookovom zakonu smično naprezanje proporcionalna je

deformaciji).

v F

A h

µ

dvx

dy y

x

∆x v+∆v

v

dφ ∆y

2. Hidrostatika

Mehanika fluida 5

2. HIDROSTATIKA

Ako nema gibanja fluida sile u fluidu moraju

biti u ravnoteži. Suma sila jednaka je nuli.

Ako nema gibanja fluida iz definicije fluida

slijedi da nama niti tangencijalnih sila

0 d dV S

F f V Sρ σ∑ = = +∫ ∫� �

( )d dS=0t

V S

f V pnρ σ+ − +∫ ∫� � �

Uz zanemarenje viskoznih sila

d dS=0V S

f V pnρ −∫ ∫� �

Primjenom formula Gauss-Ostrograski

d dV=0V V

f V pρ − ∇∫ ∫�

2.1. Osnovna jednadžba statike fluida

Osnovna jednadžba gibanja za izražava ravnotežu masenih sila i sila tlaka za svaku

elementarnu česticu fluida u mirovanju.

ili gradf p f pρ ρ= ∇ =� �

Iz osnovne jednadžbe statike imajući na umu svojstva gradijenta zaključuje se:

1) Ako nema masenih sila ( 0f =�

) slijedi da je tlak p konstantan,

2) Tlak najbrže raste u smjeru gradp tj. u smjeru masene sile, a najbrže opada u smjeru

– gradp tj. u smjeru suprotnom od masene sile,

3) Budući da je gradp okomit na površinu p=konst. promjena tlaka u okomitom smjeru

na vektor masene sile je jednaka nuli. Drugim riječima, vektor masene sile je okomit na

površine konstantnog tlaka (izobare).

Također vrijedi:

4) Granica dvaju fluida u mirovanju poklapa se s izobarom, te je vektor masene sile u

svakoj točki okomit na razdjelnu površinu,

Vektor masene sile je usmjeren od razdjelne površine prema fluidu veće gustoće,

Na granici dvaju fluida tlak je neprekidan, ako se zanemare učinci površinske napetosti.

S

Slika uz definiciju sile tlaka

O

z

y

x

V

n�

dS�σ

dV

fdVρ�

2. Hidrostatika

Mehanika fluida 6

2.2. Promjena tlaka u mirujućem fluidu u polju sile teže

Promjena tlaka između dvije točke

(uz konst.ρ = i konst.f =�

)

Iz osnovne jednadžbe statike sljedi:

( ) ( ) ( )

( )

/

x y z

x y z

f p dr

f dr p dr

p p pf i f j f k dxi dyj dzk i j k dxi dyj dzk

x y z

p p pf dx f dy f dz dx dy dz dp

x y z

ρ

ρ

ρ

ρ

= ∇ ⋅

⋅ = ∇ ⋅

∂ ∂ ∂+ + ⋅ + + = + + ⋅ + +

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + = + + =

∂ ∂ ∂

� �

� � �

� � � ��

2 1p p f rρ= + ⋅� �

ili

( )2 1 1 cosp p f r p f rρ ρ α= + ⋅ = +� ��

Iz svojstva skalrnog produkta je jasno da se pri određivanju promjene tlaka može ili put

projicirati na silu ili silu na put.

Očito je da ako se poveća tlak p1 u točki 1, da će se on povećati i u točki 2, odnosno u svim

drugim točkama, što je bit Pascalova zakona koji kaže da se tlak narinut izvana na fluid u

mirovanju širi jednoliko u svim smjerovima.

Promjena tlaka u mirujućem fluidu u polju sile teže

( ) ( )0 0x y zf f i f j f k i j ( g )k= + + = + + −� � ��

( 29,80665 m/sg = )

0 0p p gz p ghρ ρ= − = + ili 0 konst.p p

zg gρ ρ

+ = =

gdje z označuje visinu, h dubinu, a 0p tlak u ishodištu koordinatnog sustava.

SI

visina tlaka, L, m stupca fluida,p p p

g g gρ ρ ρ

= = =

piezometrička visina.p

zgρ

+ =

U fluidu u mirovanju piezometrička visina je konstantna

Princip spojenih posuda

ρ

p0 p0p0

g

. z=konst.

O

Ako homogena kapljevina miruje u više

međusobno spojenih posuda, tada će

slobodne površine otvorene prema

istom atmosferskom tlaku 0p ležati u

istoj izobari (za mirujući fluid to je

horizontalna ravnina).

1

2

r�

r f� α

2. Hidrostatika

Mehanika fluida 7

2.3. Hidrostatski manometri

Apsolutni tlak se mjeri od apsolutne nule (100% vakuum).

Manometarski tlak pM je razlika apsolutnog p i atmosferskog tlaka pa (mjeri se u odnosu na

atmosferski tlak) pM = p - pa.

Pozitivni manometarski tlak se naziva pretlak, a negativni podtlak.

Postupak za postavljanje jednadžbe manometra (jednadžbe promjene tlaka između dviju

točaka koje se mogu međusobno spojiti kroz fluid)

Polazi se s tlakom u jednoj točki i tom se tlaku dodaju sve promjene tlaka oblika ghρ ,

(idući od meniskusa do meniskusa) i to s pozitivnim predznakom ako se ide prema dolje, a

s negativnim ako se ide prema gore. Kada se dođe do druge točke tako dobiveni izraz se

izjednačuje s tlakom u toj točki.

h2

h1

h0

A

B

ρ1

ρ2

ρ0

Primjer diferencijalnog manometra:

- jednadžba od točke B do točke A

B 2 2 0 0 1 1 Ap gh gh gh pρ ρ ρ+ − − =

- jednadžba od točke A do točke B

A 1 1 0 0 2 2 Bp gh gh gh pρ ρ ρ+ + − =

Barometar

Barometar je hidrostatski manometar kojim se mjeri apsolutni atmosferski tlak.

pv – tlak zasičenja

pa st = 101325 Pa = 760 mmHg

Θ [0C] pv Hg [Pa]

0 0.021

40 0.8412 ha

pv

pa

ρ

0

a a v

a a v v

a a

p gh p

p gh p p

p gh

ρ

ρ

ρ

− =

= + ≈

=

2. Hidrostatika

Mehanika fluida 8

2.4. Sila tlaka na ravne površine

F p A0= 0

F p Ah= C

h

p0O

x

ξ

CH

∆y

∆x

A

hC

ρ=konst.

p p gh= +0 ρ

n

C

H

y

g

yC =

sin ϑ

hC

ϑ

�0 0 0 0( ) sin( )

c

c

S S S S

y S

F pdS p gh dS p S g hdS p S g ydS p S gh Sρ ρ ρ α ρ= = + = + = + ⋅ = +∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) 2sin

xx

h c

S S

I

F y y g h ydS g y dSρ ρ α+ ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫��

( ) ( ) ( ) ( )2sin sin

xx

c c c

I

g y S y y g I y Sξξρ α ρ α⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ∆ = ⋅ ⋅ +��

c

Iy

y Sξξ

∆ =

Sila 0F uslijed konstantnog tlaka 0p okomita je na ravnu površinu A i djeluje u njenom

težištu, a po veličini je: 0 0F p A=

Sila hF uslijed promjenjivog hidrostatskog tlaka hp ghρ= okomita je na ravnu površinu

A i djeluje u točki H, a po veličini je: C ChF p A gh Aρ= = gdje je Ch dubina na kojoj se

nalazi težište C površine A .

Položaj točke H je u odnosu na težište C površine A definiran pomacima ∆x i ∆y za koje

vrijedi: C

∆I

yy A

ξξ= i C

∆I

xy A

ξη= gdje je C C siny h ϑ= udaljenost težišta C od

slobodne površine, mjereno u ravnini u kojoj se nalazi površina (udaljenost OC prema

slici), a Iξξ i Iξη su glavni i centrifugalni moment inercije površine A u odnosu na osi ξ i η

kroz težište, prema slici. Pomak ∆x je za površine s barem jednom osi simetrije jednak

nuli (vidjeti kao primjer tablicu koja prikazuje podatke o centrifugalnom momentu inercije

Iξη ).

2. Hidrostatika

Mehanika fluida 9

Za vertikalno uronjenu površinu prema slici vrijedi yC=hC. Za horizontalno uronjenu

površinu ( 0ϑ = ) Cy → ∞ pa su prema gornjim izrazima ∆x=∆y=0, te će sila hF djelovati u

težištu površine, kao i za slučaj konstantnog tlaka p0.

A

ϑ

F gh Ah= ρ C

ρ

p0O

C

H∆h

y hC C=

g

Aρ

F gh Ah= ρ C

p0

C

hC

g

Momenti Mx i My sile hidrostatskog tlaka u odnosu na težište C površine ne zavise od

dubine na kojoj se težište nalazi

h C

C

sinx

IM F y gh A gI

y Aξξ

ξξ∆ ρ ρ ϑ= ⋅ = ⋅ =⋅

h C

C

siny

IM F x gh A gI

y Aξη

ξη∆ ρ ρ ϑ= ⋅ = ⋅ =⋅

2. Hidrostatika

Mehanika fluida 10

Geometrijska svojstva nekih površina

Geometrijski lik Površina Iξξ Iηη Iξη

b/2 b/2

a ξη

C

A ab= 3

12

ba

3

12

ab 0

ξ

η

CR

2A R= π

4

4

Rπ

4

4

Rπ 0

ξ

η

C

R R

4R3π

21

2A R= π 40 1098, R 40 3927, R 0

ξ

η

C

b+d3

a3

d

b

a

2

abA =

3

36

ba ( )

2

272

bab d−

ξ

ηR

4R3π

4R3π C

R

21

4A R= π 40 05488, R 40 05488, R 40 01647, R−

2. Hidrostatika

Mehanika fluida 11

Položaj rezultantne sile FR=Fh+F0 za slučaj istosmjernih i mimosmjernih sila F0 i Fh.

F0

Fh

+F0FhFR=

∆y

∆yR

C

H

∆ ∆y yR=+F0Fh

Fh

a) istosmjerne sile

F0

Fh -F0FhFR=

∆y

∆yR

C

H∆ ∆y yR=

-F0Fh

Fh

b) mimosmjerne sile

Fiktivna slobodna površina

Ako je tlak s obje strane površine isti (slučaj otvorenog spremnika), sile konstantnog tlaka

se poništavaju. Za slučaj zatvorenog spremnika rezultatntna sila konstantnog tlaka se

računa s manometarskim tlakom M0p u spremniku. Računanje sile konstantnog tlaka (u

slučaju da je površina potpuno uronjena u fluid) može se izbjeći uvođenjem fiktivne

slobodne površine. Fiktivna slobodna površina je udaljena od stvarne slobodne površine za

visinu manometarskog tlaka f M0h p gρ= (za slučaj pretlaka je iznad, a za slučaj podtlaka

ispod stvarne slobodne površine).

Fiktivna slobodna površina se može uvesti i za slučaj mirovanja dvaju fluida različitih

gustoća prema slici.

pa

pa

C

A

g

h hf = 1

h1

ρρ1

fiktivna slobodnapovr inaš

p p gh g h h= + + ( - )a 0 1 1ρ ρ

p p gh= +a ρ

O

p p gh= +a 0ρ

p ghM0 0=ρ

ρ ρ0<h

h

pM0

h

C

ρ

hf

2. Hidrostatika

Mehanika fluida 12

2.5. Sila tlaka na zakrivljene površine

Sila tlaka na zakrivljenu površinu se razlaže na komponente u smjerovima osi. Zakrivljena

površina S se projicira na koordinatne ravnine. Projekcija površine je pozitivna ako je kut

između vektora normale i pozitivnog smjera osi manji od 90° (fluid je ispred površine S

gledano iz pozitivnog smjera osi).

y

z

Sz

O

h z= -

x

Cy

x

z

Hy

∆h yx∆hyh

hy

slobodna povr ina

š

Vd = dV h Sz

dSz

dS

n

S z

hHx ∆hxh

∆hxy

g

Sx

Cx

Sy

hx

Izrazi za komponente 0

xF , 0

yF , 0

zF sile 0F�

uslijed konstantnog tlaka

0

x 0 xF p S= − ; 0

y 0 yF p S= − ; 0

z 0 zF p S= −

Izrazi za horizontalne komponente Fx i Fy sile uslijed promjenjivog hidrostatskog tlaka

hp ghρ= i za pomake hvatišta tih komponenti u odnosu na težišta projekcija su:

Cx x x x xF p S gh Sρ= − ⋅ = − Cy y y y yF p S gh Sρ= − ⋅ = −

xh

x x

Ih

h Sηη∆ =⋅

yh

y y

Ih

h Sξξ∆ =⋅

xy

x x

Ih

h Sηξ∆ =⋅

yx

y y

Ih

h Sξς∆ =⋅

Vertikalna komponenta Fz sile hidrostatskog tlaka na površinu S je po veličini jednaka

težini fluida koji se nalazi u volumenu V između površine S i slobodne površine. Sila Fz

prolazi težištem volumena V. Predznak komponente sile Fz ovisi o

predznaku projekcije Sz, te se može pisati da je

zF gVρ= ∓

Negativni predznak se odnosi na slučaj pozitivne projekcije površine Sz (fluid je iznad

površine S), a pozitivni predznak za slučaj negativne projekcije Sz (fluid je ispod površine

S).

2. Hidrostatika

Mehanika fluida 13

Primjer: Vertikalna i horizontalna komponenta sile na zakrivljenu površinu ABDEF

(prema slici) širine B (okomito na ravninu slike). Fluid je označen sivom bojom, a točke G,

H i I su na slobodnoj površini.

A

B B B

D DE EF F

V

H HI I GG

+=

Vertikalna komponenta jednaka je po veličini težini fluida u osjenčanom volumenu V,

djeluje prema dolje i prolazi težištem tog volumena. Na dijelu površine BDEF fluid je

iznad površine, te sila djeluje prema dolje, a po veličini je jednaka težini fluida u volumenu

BDEFIGB. Na dijelu površine AB fluid je ispod površine pa sila djeluje prema gore, a po

veličini je jednaka težini fluida u volumenu AHGBA.

Horizontalne komponente sile tlaka na dijelovima površine EF i ED se međusobno

poništavaju. Projekcija površine s kojom se računa horizontalna sila tlaka je dakle jednaka

umnošku visine AD sa širinom B površine.

2.6. Sila uzgona

Sila uzgona je rezultat djelovanja sila tlaka po površini tijela uronjenog u fluid. Sila uzgona

je jednaka težini fluida istisnutog tijelom (težini istisnine), djeluje vertikalno u vis i prolazi

težištem istisnine.

m·

ρ·g·

ρ

2. Hidrostatika

Mehanika fluida 14

Sila uzgona na granici dvaju fluida Slika prikazuje slučaj plivanja tijela mase m , gustoće 0ρ na razdjelnoj površini dvaju

fluida gustoća ρ1 i ρ2. Točke C1 i C2 su težišta volumena istisnine V1 i V2, a T je težište

tijela.

Fb1

Fb2

V1

V2C2

ρ0

ρ1

mg

g

T

Sila Fb uzgona je zbroj b b1 b2 1 1 2 2F F F gV gVρ ρ= + = +

Uvjet plivanja (ravnoteže) je da su rezultantna sila (tj. bF mg= ) i rezultantni moment na

tijelo jednaki nuli (tj. suma momenata sila b1F i b2F u odnosu na težište tijela mora biti

jednaka nuli). Jasno je da vrijedi 2 0 1ρ ρ ρ> > . Za slučaj 2 1ρ ρ>> sila b2F se zanemaruje.

3. Kinematika fluida

Mehanika fluida 15

3. KINEMATIKA FLUIDA Kinematika fluida je dio fizike koji se bavi gibanjem fluida.

Prema hipotezi kontinuuma vrijedi pravilo da svaka čestica fluida (materijalna točka)

zauzima samo jednu točku prostora, a u jednoj točki prostora se može nalaziti samo jedna

čestica kontinuuma.

3.1. Opis gibanja fluida

3.1.1. Lagrangeov opis gibanja fluida

Položaji točaka prostora i položaji čestica fluida opisuju se radijus vektorom r�

(čije su

komponente prostorne ili Eulerove koordinate x, y, z). U apsolutnom koordinatnom sustavu

položaj točke prostora je stalan u vremenu (prostorne koordinate x, y, z nisu funkcije

vremena), a položaj gibajuće čestice fluida se mijenja s vremenom, što znači da

komponente radijus vektora r�

(vektora položaja) koje opisuju položaj čestice fluida jesu

funkcija vremena. Gibanje čestice definirano je vremenskom promjenom njena vektora

položaja u obliku ( )r r t=� �

(jednadžba gibanja čestice fluida).

Brzina čestice fluida jest vremenska derivacija vektora položaja ( )v r t=� �� (točkica označuje

vremensku derivaciju), a ubrzanje čestice fluida jest vremenska derivacija brzine

( ) ( )a v t r t= =� � �� .

Materijalni volumen se sastoji od beskonačnog broja čestica fluida, a koje su to čestice

definirano je uočenom konfiguracijom ( )0M tV u početnom vremenskom trenutku 0t . Za

potrebe opisa njihova gibanja nužno ih je razlikovati. S obzirom da se u jednoj točki

prostora može nalaziti samo jedna čestica fluida, čestice će se razlikovati po položaju kojeg

zauzimaju u početnoj konfiguraciji. Za koordinate početnog položaja čestica fluida se

uvodi posebna oznaka 0 0( )r r t=� �

i te se koordinate nazivaju materijalnim ili Lagrangeovim

koordinatama. Jasno je da su materijalne koordinate vremenski nezavisne.

0t

0 0( )r r t� �=

0( , )r r t� �

O

VM(t)

A

A

t VM(t0)

x

y

z 0( , )r r r t=

� � �


Mehanika fluida 16

Gibajući materijalni volumen će u trenutku t zauzeti novi položaj, a budući da se radi o

materijalnom volumenu u tom trenutku će se u njemu nalaziti iste čestice koje su u njemu

bile i u trenutku 0t . Na primjer čestica A koja je u početnoj konfiguraciji bila na položaju

definiranom koordinatama 0r�

, će u trenutku t biti u točki s koordinatama r�

. Jasno je da će

vrijednosti koordinata x, y, z zavisiti i od vremena i od točke u početnoj konfiguraciji, tako

da vrijedi

( )0 ,r r r t=� � �

, odnosno

( )

( )

( )

1 0 0 0

2 0 0 0

3 0 0 0

, , ,

, , ,

, , ,

x x y z t

y x y z t

z x y z t

ξ

ξ

ξ

=

=

=

Gornje jednadžbe opisuju vremenski promjenljivi položaj one čestice fluida koja je u

trenutku 0t bila na poziciji opisanoj vektorom položaja 0r�

. Mijenjajući vektor 0r�

dobivaju

je jednadžbe gibanja različitih čestica materijalnog volumena.

Brzina čestice fluida jest vremenska derivacija vektora položaja

0

00

konst.

( , ) D( , )

Dr

r r t rv r t

t t�

� � ��

=

∂= =

∂

U mehanici se ona naziva materijalnom derivacijom, a zbog posebne važnosti se označuje

s D

Dt. Materijalnom derivacijom se izražava vremenska promjena fizikalnog svojstva

čestice fluida, onako kako bi to osjećao promatrač koji se giba zajedno s česticom. Gornji

izraz opisuje promjenjivu brzinu čestice fluida izraženu Lagrangeovim koordinatama.

Promjenom koordinata 0r�

dobiju se brzine različitih čestica materijalnog volumena.

Ubrzanje čestice fluida jest materijalna derivacija brzine

0

00

konst.

( , ) D( , )

Dr

v r t va r t

t t=

∂= =

∂ �

� � ��

Ponovo se promjenom Lagrangeovih koordinata dolazi do ubrzanja različitih čestica

kontinuuma, u bilo kojem trenutku.

U Lagrangeovom opisu strujanja fluida se funkcijama Lagrangeovih koordinata i vremena

mogu opisati i druga fizikalna svojstva čestica fluida. Ako se sa Φ označi neko fizikalno

svojstvo kontinuuma (gdje za Φ može stajati skalarno fizikalno svojstvo poput gustoće i

temperature, vektorsko poput položaja, brzine i ubrzanja ili tenzorsko svojstvo), općenito

se može pisati:

( )L

0 ,r t�

Φ Φ=

Riječima bi se reklo da gornja jednadžba opisuje vremensku promjenu fizikalnog svojstva

Φ čestice 0r�

. Nadindeks L u oznaci funkcije ukazuje da je fizikalno svojstvo izraženo

Lagrangeovim koordinatama.

3.1.2. Eulerov opis gibanja fluida

U mehanici fluida se uglavnom koristi Eulerov opis strujanja fluida, koji se temelji na

poljima fizikalnih veličina. Ako se svakoj točki prostora u svakom vremenskom trenutku

pridruži fizikalno svojstvo one čestice fluida koja se u promatranom trenutku nalazi u

promatranim točkama prostora dobije se polje fizikalne veličine izraženo prostornim


Mehanika fluida 17

(Eulerovim) koordinatama

( )E ,r tΦ Φ=�

Za polje koje nije funkcija vremena kaže se da je stacionarno, inače je nestacionarno.

Vezu među Lagrangeovim i Eulerovim opisom nekog fizikalnog svojstva u strujanju fluida

definiraju inverzne jednadžbe gibanja1:

( )( )( )

0 0

0 0

0 0

, , ,

, , ,

, , ,

x x x y z t

y y x y z t

z z x y z t

=

=

=

ili kraće ( )0 0 ,r r r t=� � �

Gornje jednadžbe daju početni položaj (u trenutku 0t ) one čestice fluida koja se u trenutku

t nalazi na poziciji definiranoj prostornim koordinatama r�

. Uvrštavanjem gornjeg izraza u

Lagrangeov zapis fizikalnog svojstva Φ slijedi Eulerov zapis polja Φ

( ) ( ) ( )L E E

0 0, ( , ), ,r t r r t t r tΦ Φ Φ Φ= = =� � � �

Bez obzira što su fizikalna svojstva izražena prostornim koordinatama jasno je da su

nositelji fizikalnih svojstava čestice fluida, a ne točke prostora. U točkama prostora u

kojima nema čestica fluida polje fizikalne veličine nije definirano.

3.1.3. Materijalna derivacija

Materijalna derivacija izražava brzinu promjene fizikalnog svojstva čestice fluida, tj.

promjenu koju bi osjetio promatrač koji bi se gibao zajedno s česticom. Za fizikalno

svojstvo zapisano Lagrangeovim koordinatama ona je definirana kao

( )

0

L

0

konst.

,

r

r tD

Dt t

ΦΦ

�

�

=

∂=

∂

Materijalna derivacija istog tog fizikalnog svojstva zapisanog u Eulerovim koordinatama

glasi

E

E E

konst.

konst.

D ( , )( , ) ( , )

Dt

r

r tv r t r t

t t

Φ ΦΦ =

=

∂= + ⋅∇

∂ �

��

Prvi član desne strane gornjeg izraza označuje lokalnu promjenu fizikalnog svojstva, koju

bi osjetio promatrač u fiksnoj točki prostora, dok drugi član desne strane označuje

konvektivnu ili prijenosnu brzinu promjene fizikalnog svojstva, uslijed pomicanja čestice

fluida u polju Φ. Ispuštajući oznaku E za Eulerovo polje i izbjegavajući eksplicitno

navođenje zavisnosti polja Φ od prostornih i vremenske koordinate, gornji izraz u

razvijenom obliku poprima oblik:

�

lokalnakonvektivna promjena

promjena

D

Dx y zv v v

t t x y z

Φ Φ Φ Φ Φ∂ ∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂ ∂��

Moguće je definirati i operator materijalne derivacije, koji glasi:

D

Dv

t t

• ∂ •= + ⋅∇ •

∂

�

Gdje umjesto oznake • može stajati skalarno, vektorsko ili tenzorsko polje izraženo u

funkciji prostornih koordinata i vremena.

1 Nužan i dovoljan uvjet za postojanje inverzne funkcije je da je determinanta 0/r r∂ ∂

� � različita od nule i

konačna.


Mehanika fluida 18

Dok se u Lagrangeovom opisu strujanja fluida polazi od jednadžbi gibanja (čijim se

deriviranjem dolazi do brzine i ubrzanja), u Eulerovom se opisu polazi od polja brzine (jer

se polje brzine pojavljuje u operatoru materijalne derivacije).

3.2. Strujnice

Strujnice su zamišljene krivulje kojima se u svakoj točki smjer tangente poklapa sa

smjerom vektora brzine. Na strujnicama se ucrtava smjer strujanja kao što prikazuje slika.

Za nestacionarno polje brzine, slika strujnica se mijenja od trenutka do trenutka, pa se slika

strujnica odnosi na jedan izabrani vremenski trenutak, npr. t=t1. Pošto se pravac vektora

brzine poklapa s tangentom na strujnicu, usmjereni element luka strujnice dr�

je paralelan

vektoru brzine v�

, te je njihov vektorski produkt jednak nuli, odnosno omjer pripadajućih

komponenti im je jednak, tako da vrijedi:

1 1 1

d d d

( , , , ) ( , , , ) ( , , , )x y z

x y z

v x y z t v x y z t v x y z t= =

Osnovno svojstvo strujnica je da se one ne mogu presijecati, jer bi to značilo da u točki

presjeka vektor brzine ima dva različita smjera, što je nefizikalno. Izuzetak čine točke

zastoja u kojima je brzina jednaka nuli.

3.3. Trajektorije

Trajektorija je prostorna krivulja koju svojim gibanjem opisuje čestica fluida. Jednadžbe

gibanja čestice fluida zapisane u Lagrangeovim koordinatama označuju parametarski zapis

jednadžbe trajektorije. U Eulerovom opisu strujanja, gdje se polazi od polja brzine, do

jednadžbe trajektorija se dolazi, polazeći od definicije brzine čestice kontinuuma. Ako je

dr�

usmjereni infinitezimalni element puta kojeg prevali čestica kontinuuma gibajući se po

svojoj trajektoriji za infinitezimalno vrijeme dt, tada za taj usmjereni element luka

trajektorije, iz same definicije brzine slijedi: d ( , )dr v r t t=� � �

, što se može prikazati i u obliku

sustava diferencijalnih jednadžbi:

d d d

d( , , , ) ( , , , ) ( , , , )x y z

x y zt

v x y z t v x y z t v x y z t= = =

čijim se rješavanjem uz početne uvjete za t=t0, ( )0 0r t r=� �

, dolazi do jednadžbi trajektorija.

Krivulja obilježenih čestica u danom vremenskom trenutku spaja sve čestice fluida koje su

prošle zadanom točkom prostora.

U stacionarnom strujanju trajektorije, strujnice i krivulje obilježenih čestica se poklapaju.


Mehanika fluida 19

Vektori brzine za strujanje u blizini točke

zastoja

Slika strujnica za strujanje u blizini točke

zastoja

Slika strujnica pri optjecanju cilindra Slika strujnica za slučaj naglog proširenja

3.4. Strujna površina i strujna cijev

Strujna površina je sastavljena od strujnica koje

prolaze točkama neke krivulje C.

Vektor brzine je tangencijalan na površinu

0v n⋅ =� �

, pa kroz strujnu površinu nema protoka

d 0S

Q v n S= ⋅ =∫� �

.


Mehanika fluida 20

Ako je krivulja C zatvorena, strujna površina

prelazi u plašt strujne cijevi, kroz kojeg nema

protoka fluida, kao i kroz plašt neke fizičke

cijevi.

Ako je površina poprečnog presjeka cijevi dS

infinitezimalna, govori se o elementarnoj

strujnoj cijevi. U graničnom prijelazu d 0S →

elementarna strujna cijev prelazi u strujnicu.

3.5. Protok

Volumenski protok ili jednostavno protok Q jest volumen čestica fluida koje u jediničnom

vremenu prođu kroz promatranu površinu S orijentiranu jediničnim vektorom normale n�

.

Ako se čestice fluida gibaju brzinom v�

, a točke površine brzinom u�

, tada je relativna

brzina gibanja čestica fluida u odnosu na površinu w v u= −� � �

, a protok Q je definiran

izrazom

( )d dS S

Q w n S v u n S= ⋅ = − ⋅∫ ∫� � � � �

.

Primjer 1: Protok kroz mirujuću površinu ( 0u =�

) je

prema općoj formuli dS

Q v n S= ⋅∫� �

.

Čestica fluida T se u trenutku t nalazi na površini dS , a

u trenutku t+dt će zauzeti novi položaj u prostoru, pri

čemu će prevaliti put dv t�

, odnosno svojim gibanjem

opisati kosu prizmu, kojoj je visina jednaka projekciji

vektora puta na smjer normale d dh n v t= ⋅� �

. Volumen

čestica fluida koje u vremenu dt prođu kroz površinu

dS jednak je volumenu prizme

d d d d dV S h v n S t= ⋅ = ⋅ ⋅� �

. Elementarni protok kroz

površinu dS jednak je po definiciji omjeru volumena

dV i vremena dt , tj. d

d = dd

VQ v n S

t= ⋅� �

, a ukupni

protok kroz površinu S jednak je zbroju svih elementarnih protoka, što se opisuje

integralom dS

Q v n S= ⋅∫� �

.

Poseban slučaj (brzina okomita na ravnu

površinu)

d dA A

Q v n A v A= ⋅ =∫ ∫� �

Brzina je okomita na ravnu površinu i

konstantna

dA

Q v A vA= =∫

Mirujuća površina S

n�

dS

T(t) dv t�

T(t+dt)


Mehanika fluida 21

vdA

vA

Primjer 2: Protok kroz površinu koja se giba

brzinom u�

u mirujućem fluidu ( 0v =�

) je prema

općoj formuli dS

Q u n S= − ⋅∫� �

.

Gibanjem površine S, element dS opisuje kosu

prizmu kojoj je duljina brida du t�

, a volumen

d d dV u n S t= ⋅ ⋅� �

. Dakle gibanjem površine S

mirujuće čestice fluida prelaze s desne na lijevu

stranu površine, pa gledano relativno u odnosu na

površinu to je isto kao da je površina mirovala, a

čestice brzinom u−�

prolazile kroz površinu. Zato je

protok definiran izrazom dS

Q u n S= − ⋅∫� �

.

Primjer 3: Protok kroz materijalnu površinu ( u v=� �

)

( ) d 0S

Q v u n S= − ⋅ =∫� � �

. Jasno je da kroz materijalnu površinu nema protoka čestica fluida

jer se ona sastoji stalno od jednih te istih čestica.

3.6. Protok fizikalne veličine

Čestice fluida osim volumena imaju masu, energiju, količinu gibanja, itd. Prolaskom

čestice fluida kroz neku površinu, ona pronosi fizikalne veličine, pa se govori o protocima:

volumena (što je gore definirano jednostavno kao protok), mase, energije, količine gibanja

i sl. Ako se sa F označi fizikalna veličina, a sa Φ volumensku gustoću te fizikalne

veličine, koja je definirana izrazom

∆ 0

∆ d

∆ dVlim

V VΦ

→= =

F F,

odnosno sadržaj fizikalne veličine unutar čestice fluida (unutar infinitezimalnog volumena

dV ) jest d dVΦF = , a sadržaj te fizikalne veličine unutar određenog volumena V je

definiran integralom

dV

VΦ∫F =

Primjeri: F = 1V ⇒ Φ = ; F = m ρ⇒ Φ = ; F = mv vρ⇒ Φ =� �

,

2 21 1F =

2 2mv vρ⇒ Φ =

Dakle za slučaj gibajuće površine u gibajućem fluidu, volumenski protok kroz elementarnu

površinu dS će biti ( )d dQ v u n S= − ⋅� � �

, a protok fizikalne veličine pronesene kroz tu

površinu je ( )Fd dQ v u n S= Φ − ⋅� � �

, odnosno protok fizikalne veličine kroz ukupnu površinu

Gibajuća površina S

dS S(t+dt)

n�

S(t)

du t�


Mehanika fluida 22

je

( )F dS

Q v u n S= Φ − ⋅∫� � �

Primjeri:

Maseni protok: ( ) dm

S

Q m v u n Sρ= = − ⋅∫� � �

� ; [ ] [ ]1

SIMT , kg/sm m−= =� � . Za slučaj mirujuće

površine: dS

m v n Sρ= ⋅∫� �

� . Za konst.ρ = vrijedi m Qρ=� .

Težinski protok ( ) dG

S

Q G g v u n Sρ= = − ⋅∫� � �� ; 3

SIMLT , N/sG G− = =

� � . Za slučaj

mirujuće površine: dS

G gv n Sρ= ⋅∫� �� . Za konst.ρ = i konst.g = vrijedi G mg gQρ= =� � .

Protok količine gibanja: ( )KG dS

Q v v u n Sρ= − ⋅∫� � � � �

; [ ] [ ]2

KG KG SIMLT , NQ Q−= = . Za slučaj

mirujuće površine: ( )KG dS

Q v v n Sρ= ⋅∫� � � �

. (Protok količine gibanja je vektorska veličina!)

Protok kinetičke energije: ( )2

EK

1d

2S

Q v v u n Sρ= − ⋅∫� � �

; [ ] [ ]2 3

EK EK SIML T , WQ Q−= = .

3.7. Leibnitzov teorem

3.7.1. Brzina promjene veličine volumena

Opći slučaj volumena V čija se granica S

giba brzinom u�

Brzina promjene volumena je po definiciji

( ) ( )dd

d d

V t t V tV

t t

+ −= , a element površine

dS opisuje element volumena

( ) d dd dV u n t S� �

= ⋅ , što integrirano po

površini S daje razliku volumena

( ) ( )dV t t V t+ − , te je konačno:

d

d dd S V

Vu n S u V

t= ⋅ = ∇ ⋅∫ ∫� � �

.

Gibajuća površina S

dS S(t+dt)

n�

S(t)

du t�

V(t+dt) V(t)


Mehanika fluida 23

3.7.2. Brzina promjene sadržaja fizikalne veličine unutar volumena

0( ) ( ) ( )

0( ) ( ) ( ) ( )

0( ) ( )

1lim ( , ) ( , )

1lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1lim ( , )

tV t V t t V t

tV t V t V t t V t

tV t V t t V

ddV r t t dV r t dV

dt t

r t t dV r t dV r t t dV r t t dVt

dV r t t dVt t

Φ Φ Φ

Φ Φ Φ Φ

ΦΦ

∆ →+∆

∆ →+∆

∆ →+∆ −

= + ∆ − =

∆

+ ∆ − + + ∆ − + ∆ =

∆

∂+ + ∆ =

∂ ∆

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

� �

� � � �

�

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )t V t S t V t V t

dV u ndS dV u dVt t

Φ ΦΦ Φ

∂ ∂+ ⋅ = + ∇ ⋅

∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫ ∫� � �

a) Opći slučaj gibajućeg volumena

( )

lokalna promjena promjena uslijedgibanja volumena

dd d d d

d V V S V

V V u n S u Vt t t

Φ ΦΦ Φ Φ

∂ ∂ = + ⋅ = + ∇ ⋅

∂ ∂ ∫ ∫ ∫ ∫

� � �

��

b) Materijalni volumen ( u v� �= ,

d D

d Dt t→ )

( )M M M M

Dd d d d

D V V S V

V V v n S v Vt t t

Φ ΦΦ Φ Φ

∂ ∂ = + ⋅ = + ∇ ⋅

∂ ∂ ∫ ∫ ∫ ∫

� � �

c) Mirujući volumen ( 0u�= )

dd d

d V V

V Vt t

ΦΦ

∂=

∂∫ ∫

3.8. Materijalni volumen

Materijalni volumen M

V (fluidno tijelo) je uočeni dio prostora ispunjen fluidom koji se

tijekom gibanja sastoji stalno od jednih te istih čestica. Materijalni volumen je od okoline

odijeljen materijalnom površinom MS koja se također sastoji stalno od jednih te istih

čestica. Jasno je da je brzina gibanja materijalne površine jednaka brzini gibanja čestica

fluida, koje čine materijalnu površinu.

U općem slučaju materijalni volumen tijekom gibanja mijenja svoj položaj, oblik i

veličinu, pa je za opis njegova gibanja, potrebno opisati gibanje svake njegove čestice.

Nema protoka kroz materijalnu površinu ( v u=� �

). Brzina promjene sadržaja fizikalne

veličine za materijalni volumen jednaka je

( ) ( ) ( )M M MV t V t S t

DdV dV v ndS

Dt t

ΦΦ Φ

∂= + ⋅

∂∫ ∫ ∫� �

4. Dinamika fluida

Mehanika fluida 24

4. DINAMIKA FLUIDA

Dinamika fluida je dio mehanike fluida koji se bavi silama koje djeluju na fluide,

gibanjima koja nastaju djelovanjem tih sila i interakcijama između čvrstih tijela i fluida u

gibanju

Materijalni volumen (fluidno tijelo) je ekvivalentno sustavu materijalnih točaka u

mehanici, te zatvorenom termodinamičkom sustavu u termodinamici, pa će svi zakoni

mehanike i termodinamike biti direktno primjenjivi i na materijalni volumen.

U mehanici su definirani Newtonovi zakoni gibanja, od kojih se drugi Newtonov zakon,

može zapisati u obliku zakona količine gibanja, zakona momenta količine gibanja ili

zakona kinetičke (mehaničke) energije, a u termodinamici su definirani prvi zakon

termodinamike (zakon očuvanja energije) i drugi zakon termodinamike. Svi su ti zakoni,

kao i zakon očuvanja mase, osnovni za klasičnu fiziku pa tako i za mehaniku fluida.

U termodinamici se uvodi koncept topline, unutarnje energije i entropije, a radni medij je

uglavnom plin, kojemu se djelovanjem sile tlaka može mijenjati volumen. Za smanjivanje

volumena plina unutar termodinamičkog sustava (kada se govori o kompresiji), potrebno je

ulagati mehanički rad, a pri širenju plina (ekspanziji) plin vrši rad u odnosu na okolinu. U

procesima pri konstantnom volumenu korisni mehanički rad jednak je nuli.

Osim tlačnih sila u sustavu djeluju i sile trenja (u fluidu su to viskozne sile). Budući su sile

trenja uvijek suprotne pomaku, njihovim se djelovanjem uvijek mehanička energija

pretvara u unutarnju, a nikad obrnuto. Iz rečenog se zaključuje da se u sustavima s

konstantnim volumenom ne može povećati mehanička energija na račun unutarnje. Zato se

u mehanici krutog tijela (sustava materijalnih točaka, kojima je volumen konstantan) ne

razmatraju termodinamički zakoni, odnosno unutarnja energija, jer se iz unutarnje energije

ne može dobiti mehanička energija, odnosno ne može se djelovati na gibanje tijela. U

mehanici se rad sila trenja, kojim se mehanička energija (zbroj kinetičke i potencijalne

energije) pretvara u unutarnju označuje kao gubitak mehaničke energije (jer je jasno da je

ta pretvorba jednosmjerna).

4.1. Osnovni zakoni

Dinamika fluida bazirana je na pet osnovnih zakona koji su definirani za materijalni

volumen:

1. Zakon očuvanja mase

2. Zakon očuvanja količine gibanja

3. Zakon očuvanja momenta količine gibanja

4. Zakon očuvanja energije

5. Zakon produkcije entropije

4. Dinamika fluida

Mehanika fluida 25

4.2. Zakon očuvanja mase

Materijalni volumen se tijekom gibanja sastoji stalno od jednih te istih čestica fluida, što

znači da mu je masa konstantna, što se može izraziti riječima: «Brzina promjene mase

materijalnog volumena jednaka je nuli» tj. matematički:

M

Dd 0

D V

Vt

ρ =∫

4.3. Zakon očuvanja količine gibanja

Definicija zakona očuvanja količine gibanja za materijalni volumen:

Brzina promjene količine gibanja materijalnog volumena jednaka je zbroju vanjskih sila

(masenih i površinskih) koje djeluju na materijalni volumen.

Matematički zapis zakona očuvanja količine gibanja za materijalni volumen:

U strujanju fluida u polju masene

sile f�

uočen je materijalni

volumen MV koji je od okolnog

fluida odijeljen materijalnom

površinom MS . Na svaku česticu

fluida djeluje elementarna masena

sila df V�ρ , a na svaki djelić

površine MS elementarna

površinska sila dS�σ , pri čemu je

vektor naprezanja �σ definiran s

pomoću tenzora naprezanja

relacijom jin��

σ σ= ⊗ . Količina

gibanja čestice fluida je dv V�ρ .

M M M M M

M M M

Brzina promjene ukupna masena ukupna površinskakoličine gibanja sila na sila na

Dd d d d d

Dji

V V S V S

V V V

v V f V S f V n St

ρ ρ σ ρ σ= + = + ⊗∫ ∫ ∫ ∫ ∫� ��

��

SM

Slika uz definiciju zakona količine gibanja

O

z

y

x

VM

n�

dS�σ

f�

dS

df V�ρ

dm=ρdV

v�

4. Dinamika fluida

Mehanika fluida 26

4.4. Zakon očuvanja momenta količine gibanja

Definicija zakona očuvanja momenta količine gibanja za materijalni volumen:

Brzina promjene momenta količine gibanja materijalnog volumena jednaka je zbroju

momenata vanjskih sila (masenih i površinskih) koje djeluju na materijalni volumen2.

Matematički zapis zakona očuvanja momenta količine gibanja za materijalni volumen:


sile f�





fluida djeluje elementarna

masena sila df V�ρ . Udaljenost

čestice fluida od ishodišta je

definirana radijus vektorom r�

,

čije su komponente x, y, z, a

moment masene sile u odnosu na

ishodište koordinatnog sustava je

dr f V��ρ× . Na svaki djelić

površine MS djeluje elementarna

površinska sila

dS�σ , pri čemu je vektor naprezanja

�σ definiran s pomoću tenzora naprezanja relacijom

ijn��

σ σ= ⊗ . Moment elementarne površinske sile u odnosu na ishodište je dr Sσ×� �

.

Moment količina gibanja čestice fluida je dr v Vρ×� �

.

M M M M M

M M M

Brzina promjene momenta ukupni moment masenih ukupni moment površinskihkoličine gibanja sila na sila na

Dd d d d d

Dij

V V S V S

V V V

r v V r f V r S r f V r n St

σ

ρ ρ σ ρ σ× = × + × = × + × ⊗∫ ∫ ∫ ∫ ∫

��

��

2 Pretpostavlja se da u fluidu nema momenata raspodijeljenih po materijalnom volumenu ili materijalnoj

površini.

Slika uz definiciju zakona momenta količine gibanja

SM

O

z

y

x

VM

n�

dS�σ

f�

dS

df V�ρ

dm=ρdV

v�

r�

r�

4. Dinamika fluida

Mehanika fluida 27

4.5. Zakon očuvanja energije

Definicija zakona očuvanja energije za materijalni volumen:

Brzina promjene energije materijalnog volumena jednaka je zbroju snaga vanjskih sila

(masenih i površinskih) koje djeluju na materijalni volumen i brzini dovođenja topline.

Matematički zapis zakona očuvanja energije za materijalni volumen:


sile f�





fluida, kojoj je ukupna energija

de Vρ , djeluje elementarna

masena sila df V�ρ , a snaga te sile

je df v V� �ρ ⋅ . Na svaki djelić

površine MS elementarna

površinska sila dS�σ , a njena

snaga je dv S��

σ ⋅ , pri čemu je

vektor naprezanja �σ definiran

zbrojem tlačnih i viskoznih sila fpnσ σ= − +

� � �.

Površinske sile koje djeluju po materijalnoj površini su za materijalni volumen vanjske sile

(sile dodira između čestica materijalnog volumena i okoline. Ukupna energija de V čestice

fluida definirana je kao zbroj unutrašnje du Vρ i kinetičke energije 2

d2

vV

ρ

2

2

ve u

= +

.

Kroz svaki djelić površine MS prolazi toplinski tok definiran vektorom gustoće toplinskog

toka q�

. Matematički zapis zakona je:

M M M M M

M

M M

M

2

Brzina promjene energije snaga masenih snaga vanjskih brzina dovođenja sila na površinskih topline na

sila na

D Dd d d d d

D D 2V V V S S

VV V

V

ve V u V f v V v S q n S

t tρ ρ ρ σ

= + = ⋅ + ⋅ − ⋅

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

� � � � � �

��

4.6. Zakon produkcije entropije

Definicija zakona produkcije entropije (II zakon termodinamike) za materijalni volumen:

Produkcija entropije materijalnog volumena veća je ili jednaka nuli

D0

DM MV S

q nsdV dS

t Tσ ρ

⋅= + ≥∫ ∫

� �

gdje je σ produkcija entropije, s entropija, a T apsolutna temperatura.

SM

Slika uz definiciju zakona očuvanja energije

O

z

y

x

VM

n�

dS�σ

f�

dS

df V�ρ

dm=ρdV

v�

dS

n�

q�

5. Integralne metode rješavanja jednodimenzijskih problema mehanike fluida

Mehanika fluida 28

5. INTEGRALNE METODE RJEŠAVANJA JEDNODIMENZIJSKIH PROBLEMA MEHANIKE

FLUIDA

Formulacija za jednodimenzijsko strujanje

Pretpostavke:

Strujanje je stacionarno 0t

∂=

∂

Fluid je nestlačiv .constρ =

Masena sila je sila gravitacije

f gk= −� �

fpnσ σ= − +

� � �

5.1. Koncept kontrolnog volumena

Svi zakoni mehanike i termodinamike bit će primjenjivi na materijalni volumen (u

mehanici je to materijalno tijelo ili sustav materijalnih točaka, a u termodinamici je to

zatvoreni termodinamički sustav). U mehanici fluida nije interes pratiti što se događa sa

samim fluidom (dakle neće se pratiti gibanje materijalnog volumena, kao što se u mehanici

prati gibanje tijela), nego je potrebno odrediti posljedice strujanje fluida u blizini neke

konstrukcije. U tom smislu će se definirati kontrolni volumen čije se granice poklapaju s

površinom konstrukcije za koju se želi istražiti utjecaj strujanja fluida. Budući da će svi

zakoni mehanike fluida biti formulirani za materijalni volumen potrebno ih je

preformulirati za kontrolni volumen. Kontrolni je volumen s mirujućim granicama

( 0u�= ), a u analizi konstrukcija s pomičnim dijelovima koristi se i formulacija općeg

promjenjivog volumena s pomičnim granicama.

5.2. Reynoldsov transportni teorem

Brzina promjene sadržaja fizikalne veličine unutar materijalnog volumena izražena

promjenom u kontrolnom volumenu

U trenutku poklapanja materijalnog i kontrolnog volumena brzina lokalne promjene im je

ista, kao što su isti i površinski integrali, u gornjim izrazima, iz kojih slijedi:

a) slučaj kontrolnog volumena KV koji je ograđen mirujućom kontrolnom površinom KP

M M M

Dd d d d d

D V V S KV KP

V V v n S V v n St t t

Φ ΦΦ Φ Φ

∂ ∂= + ⋅ = + ⋅

∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫ ∫� � � �

Sw Su

Si

d d ss se=� �

S

dV=Sds

v vn= −� �

v vn=� �

z

x y


Mehanika fluida 29

uz napomenu da vrijedi:d

d ddKV KV

V Vt t

ΦΦ

∂=

∂∫ ∫

b) slučaj općeg promjenjivog volumena V čija se granica S giba brzinom u�

( )M

D dd d d

D dV V S

V V v u n St t

Φ Φ Φ= + − ⋅∫ ∫ ∫� � �

5.3. Jednadžba kontinuiteta

Zakon održanja mase:

M

Dd 0

D V

Vt

ρ =∫

Primjenom Reynoldsovog transportnog teorema uz Φ ρ= zakon se formulira za kontrolni

volumen

dd d

d KV KP

m

V v n St

ρ ρ= − ⋅∫ ∫�

� �

��

Lijeva strana označuje brzinu promjene mase fluida unutar kontrolnog volumena, a desna

ukupni maseni protok kroz kontrolnu površinu. Na dijelu kontrolne površine kroz koju

fluid ulazi u kontrolni volumen vektor vanjske normale i vektor brzine čine kut veći od

90°, te je 0v n⋅ <� �

i maseni protok je negativan, a negativni predznak ispred integrala

ukazuje da će taj protok povećavati sadržaj mase unutar kontrolnog volumena. Na izlaznoj

granici je 0v n⋅ >� �

, pa negativni predznak ispred integrala ukazuje na istjecanje fluida iz

kontrolnog volumena tj. označuje smanjenje sadržaja mase unutar kontrolnog volumena.

Kroz nepropusnu stijenku nema protoka, što znači da je brzina ili jednaka nuli ili je

tangencijalna na stijenku. Ako se sa Um� označi ukupni maseni protok kojim fluid ulazi u

kontrolni volumen, a sa Im� maseni protok kojim fluid iz njega izlazi, tada vrijedi:

U I

dd

d KV

V m mt

ρ = −∫ � � .

Slučaj stacionarnog strujanja. U stacionarnom strujanju fluida se slika strujanja ne mijenja

s vremenom, što znači da se neće mijenjati niti sadržaj mase unutar kontrolnog volumena

pa vrijedi jednakost ulaznog i izlaznog masenog protoka

U Im m� �=

Slučaj nestlačivog (stacionarnog ili nestacionarnog) strujanja homogenog fluida

( konst.ρ= ). S obzirom da je gustoća konstantna u kontrolnom volumenu će se u svakom

trenutku nalaziti jednaka masa fluida, a maseni protok je m Qρ=� , te vrijedi

U IQ Q=

Primjer: Strujanje kroz račvastu cijev


Mehanika fluida 30

Q2Q4

Q3Q1

Na slici je uočen kontrolni volumen koji

obuhvaća unutarnjost račvaste cijevi. Kroz dva

presjeka nestlačivi fluid ulazi u kontrolni

volumen protocima 1

Q i 2

Q , a kroz dva izlazi

protocima 3

Q i 4

Q . Kroz plašt račve nema

protoka fluida.

Prema jednadžbi kontinuiteta vrijedi

1 2 3 4

Q Q Q Q+ = + .

5.4. Jednadžba količine gibanja

Primjenom Reynoldsova transportnog teorema na lijevu stranu zakona očuvanja količine

gibanja za materijalni volumen, koji glasi

M M M

Dd d d

D V V S

v V f V St

ρ ρ σ= +∫ ∫ ∫��

slijedi jednadžba količine gibanja za kontrolni volumen s mirujućim granicama

( )

protok količine gibanja ukupna površinskabrzina promjene ukupna masenakroz kontrolnu površinu sila na količine gibanja -a sila na

dd d d d

d KV KP KV KP

KVKV KV

v V v v n S f V St

ρ ρ ρ σ+ ⋅ = +∫ ∫ ∫ ∫��

��

gdje se kontrolna površina može općenito prikazati zbrojem ulaznog dijela uS kontrolne

površine (kroz koji fluid utječe u kontrolni volumen), izlaznog dijela iS (kroz koji fluid

napušta kontrolni volumen) i površine stijenke wS (koja je dio nekog uređaja, stroja ili

konstrukcije, kroz koju nema strujanja fluida 0v n⋅ =� �

)

u i wKP S S S= + +

Uz pretpostavku nestlačivog strujanja, uzimajući da je masena sila jednaka sili težine

( )f gk= −� �

i uz 0v n⋅ =� �

na wS , jednadžba količine gibanja se može napisati i u obliku

( )( )

brzina promjene =težina fluida u - =sila stijenke količine gibanja -ana fluid

dd d d d

d u i w

w

KV KV S S S

G KV FKV

v V gk V v v n S St

ρ ρ ρ σ σ+

= − − ⋅ − +∫ ∫ ∫ ∫� �

��

��

Posljednji integral u gornjoj jednadžbi daje ukupnu površinsku silu između stjenke i fluida

i to silu kojom okolina (stjenka) djeluje na fluid. Ta je sila po trećem Newtonovom zakonu

jednaka negativnoj vrijednosti sile wF�

kojom fluid djeluje na stjenku. Vektor površinske

sile se može prikazati zbrojem sile tlaka i viskoznih sila

fpnσ σ= − +� � �

pri čemu se viskozne sile na ulaznoj i izlaznoj površini obično zanemaruju (tangencijalne

viskozne sile se obično međusobno poništavaju, a normalne komponente viskoznih sila su

male u odnosu na tlačne sile), tako da zakon količine gibanja za kontrolni volumen prelazi

u oblik


Mehanika fluida 31

( )( )

brzina promjene količine gibanja -a

dd d

d u i

w

KV S S

KV

v V G v v n pn S Ft

ρ ρ+

= − ⋅ + −∫ ∫� ��

��

U uvjetima stacionarnog strujanja (kada se slika strujanja ne mijenja s vremenom) brzina

promjene količine gibanja kontrolnog volumena (lijeva strana jednadžbe) je jednaka nuli,

te će zakon količine gibanja izražen za kontrolni volumen služiti za određivanje sile kojom

fluid djeluje na stjenku

�n

du i

w

vS S

F G v v n pn Sρ+

= − ⋅ +

∫

��

Očito je da će za određivanje sile kojom fluid djeluje na stjenku biti potrebno poznavanje

profila brzine i tlaka na ulaznom i izlaznom dijelu kontrolne površine.

5.4.1. Primjena jednadžbe količine gibanja za određivanje sile fluida na

plašt cijevi

Slika prikazuje jedan

kontrolni volumen koji

obuhvaća unutrašnjost rač-vaste cijevi, a na kontrolnoj

površini se mogu uočiti dva

ulazna presjeka (presjeci 1 i

2) i dva izlazna presjeka (3 i

4). U tim su presjecima

strujnice međusobno para-

lelne, a vektori brzine su

okomiti na presjek, pri čemu

vrijedi

Za ulazni presjek Za izlazni presjek

v vn= −� �

v n v⋅ = −� �

� ( )u un

2d dvS S

v v n pn S n v p Sρ ρ

− ⋅ + = − +

∫ ∫� � � � �

v vn=� �

v n v⋅ =� �

� ( )i in

2d dvS S

v v n pn S n v p Sρ ρ

− ⋅ + = − +

∫ ∫� � � � �

Pri strujanju viskoznog fluida brzina po poprečnom presjeku cijevi nije konstantna, ali se

integral kvadrata brzine po presjeku može prikazati pomoću kvadrata srednje brzine i

faktora ispravka količine gibanja u obliku 2 2

srdS

v S v Sβ=∫ gdje je faktor ispravka količine

gibanja definiran izrazom 2

2

sr

1d

S

v Sv S

β = ∫ . Vrijednosti faktora β su:

Strujanje idealnog fluida – jednoliki profil brzine po presjeku: 1β =

Laminarno strujanje u okruglim cijevima polumjera R – postoji 1,33β =

p4, 4v�

x

z

y O

p1, 1v�

p2, 2v�

p3, 3v�

1

2

3

4

f gk= −� �

n�

v�

Su

n�

v�

Si


Mehanika fluida 32

analitičko rješenje za profil brzine 2

max 21

rv v

R

= − :

Turbulentno strujanje u okruglim cijevima – profil brzine zavisi od

Reynoldsova broja vD

Reρ

µ= , a koeficijent β se kreće u rasponu

1,01β = (pri višim vrijednostima Re>106) do 1,03β = (pri nižim

vrijednostima Re)

1,01 1,03β = −

U praksi je strujanje najčešće turbulentno pa se uzima da je 1β = (bez da se bitno naruši

točnost rezultata)

U strujanju fluida kroz cijevi strujnice su paralelne, pa će promjena tlaka po presjeku biti

ista kao u fluidu u mirovanju, tj. bit će linearna. Ako se promatra strujnica koja prolazi

težištem poprečnog presjeka cijevi, tada je integral tlaka po površini poprečnog presjeka

jednak umnošku tlaka na strujnici i površini poprečnog presjeka dS

p S pS=∫ .

Konačan izraz za izračunavanje sile kojom fluid djeluje na plašt cijevi jest

( )( )

( ) ( )2

= imulsna funkcijak

k kw

k k

I

F G n v p S G Iβρ = + − + = + ∑ ∑�

� ��

�� ili ( )kw

k

F G I��

= +∑

gdje je k broj ulaznih i izlaznih dijelova kontrolne površine.

Impulsna funkcija je vektor, koji je po veličini jednak ( )2I v p Sβρ= + , okomit je na

površinu S i gleda suprotno od vanjske normale (uvijek gleda u kontrolni volumen bez

obzira radi li se o ulaznom ili izlaznom dijelu kontrolne površine), kao na sljedećoj slici.

Ako se impulsne funkcije

shvate kao sile, tada se

problem određivanja sile

kojom fluid djeluje na plašt

cijevi svodi na problem statike

tj. određivanje suma sila.

Zakonom količine gibanja

definirana je veličina i smjer

sile fluida na plašt, a hvatište

je definirano zakonom

momenta količine gibanja.

Postupak izračuna sile:

Primjenom jednadžbe kontinuiteta i Bernoullijeve jednadžbe odrede se brzine i tlakovi na

ulaznim i izlaznim dijelovima kontrolne površine.

Iz izračunatih brzina i tlakova računaju se vrijednosti impulsnih funkcija na ulaznim i

izlaznim dijelovima kontrolne površine.

Vektorskim zbrajanjem (u analitičkom postupku sumiranjem komponenti sila u

smjerovima osi) impulsnih funkcija i sile težine se dobije sila kojom fluid djeluje na plašt

cijevi.

Treba naglasiti da gornja formula vrijedi za bilo kakav oblik kontrolnog volumena, jedino

je važno da na ulaznim i izlaznim presjecima strujnice budu međusobno paralelne i da su

vektori brzine okomiti na pripadajuće presjeke.

x

z

y O

1I�

f gk= −� �

4I�

2I�

3I�

1G�


Mehanika fluida 33

Impulsne funkcije računate s apsolutnim tlakom definiraju silu fluida na stijenku (dakle

silu na plašt samo s unutrašnje strane). Ako s vanjske strane plašta djeluje atmosferski tlak,

onda bi rezultantna sila na plašt bila jednaka zbroju unutarnje sile i vanjske sile

atmosferskog tlaka. Do rezultantne sile se dolazi tako da se u impulsnu funkciju umjesto

apsolutnog tlaka uvrštava manometarski tlak, dakle vrijedi

( )2

MF G n v p Sβρ= + − +∑��

gdje je F�

rezultantna sila na plašt cijevi.

5.4.2. Primjena jednadžbe količine gibanja za određivanje sile mlaza fluida

na lopatice

Slika prikazuje mlaz fluida površine poprečnog

presjeka 1A , koji brzinom 1v i protokom 1 1 1Q v A= ,

nailazi na ravnu lopaticu (ploču jedinične širine)

koja na sebi ima razdjelnik strujanja (nosić) kojim

se mlaz dijeli na dvije grane označene indeksima 2

i 3. Ako je površina mlaza mala u odnosu na

površinu lopatice mlaz će tangencijalno napuštati

lopaticu. Mlaz struji u atmosferi, a s druge strane

lopatice vlada atmosferski tlak. Na slici je ucrtan

odabrani kontrolni volumen (crta-točka linija) na

čijoj se kontrolnoj površini može uočiti ulazni

presjek mlaza, dva izlazna presjeka, rub mlaza i površina lopatice. Ako se pretpostave

jednoliki profili brzine po presjecima i linearnu promjenu tlaka, tada će se impulsne

funkcije računati po istim formulama kao i pri određivanju sile fluida na plašt cijevi. Ako

se traži rezultantna sila na lopaticu (uzimajući u obzir i silu atmosferskog tlaka s vanjske

strane, impulsne funkcije se računaju s manometarskim tlakom, koji je u svim presjecima

jednak nuli, te za veličinu impulsne funkcije vrijedi

2I v A Qvρ ρ= =

Na ulaznim i na izlaznim dijelovima

kontrolne površine impulsne funkcije

gledaju u kontrolni volumen, a okomite su

na površine. Po rubu mlaza također treba

izračunati impulsnu funkciju, jer ta površina

nije dio površine lopatice na kojoj se želi

odrediti silu. Međutim budući da kroz tu

površinu nema strujanja, a na njoj je pretlak

jednak nuli, zaključuje se da je i impulsna

funkcija jednaka nuli, te preostaju samo

impulsne funkcije kao prema slici. Tražena

sila jednaka je vektorskom zbroju impulsnih

funkcija i sile težine.

Ako bi strujanje bilo neviskozno (nema smičnih naprezanja), a ploča bila ravna (nema

razdjelnika strujanja) sila fluida bi bila okomita na ploču (jer postoje samo sile tlaka), a

protoci 2Q i 3Q bi bili upravo takvi da nema tangencijalne komponente sile na ploču.


Mehanika fluida 34

5.5. Jednadžba momenta količine gibanja

Primjenom Reynoldsova transportnog teorema na lijevu stranu jednadžbe momenta

količine gibanja za materijalni volumen, slijedi jednadžba momenta količine gibanja za

kontrolni volumen s mirujućim granicama

( )

Protok momenta količine ukupni momeBrzina promjene momenta ukupni moment masenihgibanja kroz količine gibanja sila na

dd d d d

d KV KP KV KP

KPKV KV

r v V r v v n S r f V r St

ρ ρ ρ σ× + × ⋅ = × + ×∫ ∫ ∫ ∫��

�� nt površinskih

sila na KP

��

Uz sljedeće pretpostavke:

strujanje je nestlačivo i stacionarno

masena sila je sila težine

kontrolna površina se sastoji od ulaznog, izlaznog dijela i površine plašta, u i wKP S S S= + +

vektor naprezanja fpnσ σ= − +� � �

jednadžba momenta količine gibanja primjenjena na kontrolni volumen, služi za

određivanje momenta sile kojom fluid djeluje na plašt

( ) ( ) �n

moment sile moment sile fluida na plašt težine

du i

w f

vS S

M F M G r v v n pn Sρ σ+

= − × ⋅ + −

∫

��

��

Primjena jednadžbe momenta količine gibanja za određivanje momenta sile fluida na plašt

cijevi

Slika prikazuje jedan

kontrolni volumen koji

obuhvaća unutrašnjost rač-vaste cijevi, a na kontrolnoj

površini se mogu uočiti dva

ulazna presjeka (presjeci 1 i

2) i dva izlazna presjeka (3 i

4). U tim su presjecima

strujnice međusobno para-

lelne, a vektori brzine su

okomiti na presjek.

Na gornjoj slici je također ucrtan radijus vektor do težišta prvog presjeka. Ako se zanemare

momenti viskoznih sila na ulaznim i izlaznim presjecima, tada bi jednadžba momenta

količine gibanja za prikazani kontrolni volumen (uzimajući u obzir da je na ulaznom

presjeku vektor brzine orijentiran suprotno od vanjske normale, a na izlaznom u smjeru

normale) glasila

p4, 4v�

x

z

y O

p1, 1v�

p2, 2v�

p3, 3v�

1

2

3

4

f gk= −� �

1r�


Mehanika fluida 35

( ) ( ) ( )( )

2

moment sile moment sile fluida na plašt težine

dk

w

kA

M F M G r n v p Sρ= − × +∑ ∫��

��

Ako su površine poprečnih presjeka male u odnosu na veličinu radijus vektora, tada se

mogu zanemariti promjene radijus vektora po površini poprečnog presjeka i zamijeniti ga u

gornjem integralu s konstantnim radijus vektorom do težišta presjeka. U tom se slučaju

umnožak r n×� �

može izlučiti ispred integrala, pa integral označuje impulsnu funkciju

definiranu u zakonu količine gibanja, te vrijedi

( ) ( ) ( )kk

k

w ( )M F M G r I��

= + ×∑

Dakle za slučaj strujanja kroz cijevi, na svakom ulazno/izlaznom presjeku se postavlja

impulsna funkcija, koja se za potrebe proračuna sile fluida na plašt cijevi i momenta te sile

u odnosu na odabranu točku (obično je to ishodište koordinatnog sustava), tretira kao

vanjska sila. Prema jednadžbi količine gibanja sila fluida na plašt jednaka je sumi vanjskih

sila koje djeluju na kontrolni volumen (impulsne funkcije i sila težine), a moment sile

kojom fluid djeluje na plašt cijevi je jednak sumi momenata vanjskih sila na kontrolni

volumen (sumi momenata impulsnih funkcija i momentu sile težine). Problem se dakle

svodi na primjenu uvjeta ravnoteže sila i momenata, kao u klasičnoj mehanici, odnosno

statici fluida.

5.6. Bernoullijeva jednadžba

Matematički zapis zakona očuvanju energije (unutrašnje i kinetičke):

M M M M

M

M M

M

2


sila na

Dd d d d

D 2V V S S

VV V

V

vu V f v V v S q n S

tρ ρ σ

+ = ⋅ + ⋅ − ⋅

∫ ∫ ∫ ∫� � � � � �

��

Primjenom Reynoldsovog transportnog teorema, zakon očuvanja energije se može

prikazati za kontrolni volumen: 2 2d

d d d d dd 2 2KV KP KV KP KP

v vu V u v n S f v V v S q n S

tρ ρ ρ σ

+ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅

∫ ∫ ∫ ∫ ∫��

U stacionarnom strujanju fluida prvi član na lijevoj strani gornje jednadžbe je jednak nuli.

Kada ovu jednadžbu primijenimo na strujnu cijev uz f gk= −� �

, sv e v=� �

, d dV S s= ,

d dsk e s z⋅ =� �

i konst.Q vS= = prvi volumenski integral na desnoj strani jednadžbe koji

predstavlja snagu masenih sila postaje:

( )d d di i

u u

s z

s i u

KV s z

f v V gk e vS s gQ z gQ z zρ ρ ρ ρ⋅ = − ⋅ = − = − −∫ ∫ ∫� ��


Mehanika fluida 36

Kontrolna površina strujne cijevi se sastoji od izlazne, ulazne i površine stijenke cijevi u i wKP S S S= + + pri čemu je v n v⋅ =

� � na iS , v n v⋅ = −

� � na uS i 0v n⋅ =

� � na wS , te je

drugi integral na lijevoj strani jednadžbe jednak:

( )2 2 2

d d d2 2 2i uKP S S

v v vu v n S u v S u v Sρ ρ ρ

+ ⋅ = + + + −

∫ ∫ ∫� �

Za nestlačivo strujanje i ako u predstavlja konstantnu srednju vrijednost specifične

unutrašnje energije po ulaznom, odnosno izlaznom presjeku dobijemo 2

3 3d d d d d2 2 2i i u u

i u

KP S S S S

vu v n S u v S v S u v S v S

ρ ρρ ρ ρ

+ ⋅ = + − −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫� �

Za strujnu cijev vrijedi d dQ v S= , odnosno d d konstu i

u u i i

S S

Q v S v S v S v S .= = = = =∫ ∫

Pri strujanju viskoznog fluida brzina po poprečnom presjeku cijevi nije konstantna, ali se

integral treće potencije brzine po presjeku može prikazati pomoću treće potencije srednje

brzine i faktora ispravka kinetičke energije u obliku 3 3

srdS

v S v Sα=∫ pri čemu je faktor α

definiran izrazom 3

3

sr

1d

S

v Sv S

α = ∫ . Vrijednosti faktora ispravka kinetičke energije α su:

Strujanje idealnog fluida – jednoliki profil brzine po presjeku: 1α= Laminarno strujanje u okruglim cijevima polumjera R – postoji

analitičko rješenje za profil brzine 2

max 21

rv v

R

= − : 2α=

Turbulentno strujanje u okruglim cijevima – profil brzine zavisi od

Reynoldsova broja vD

Reρ

µ=

1,01 1,1α= −

U praksi je strujanje najčešće turbulentno pa se uzima da je 1α= (bez da se bitno naruši

točnost rezultata).

Nakon uvođenja konstantnog protoka kroz strujnu cijev i faktora ispravka kinetičke

energije α drugi integral na lijevoj strani jednadžbe ima oblik: 2

2 2d2 2 2

i i i u u u

KP

vu v n S u Q v Q u Q v Q

ρ ρρ ρ α ρ α

+ ⋅ = + − −

∫� �

Drugi integral na desnoj strani jednadžbe se modificira uz fpnσ σ= − +� � �

, gdje je p srednja

vrijednost tlaka po ulaznom, odnosno izlaznom presjeku. Ponovo se koristi v n v⋅ =� �

na iS ,

v n v⋅ = −� �

na uS , 0v n⋅ =� �

te 0v =�

na wS . Snaga viskoznih sila na ulaznom i izlaznom

presjeku se zanemaruje, tako da je taj integral:

d d d d di u

fi u

KP KP KP S S

v S pn v S v S pv S pv S p Q p Qσ σ⋅ = − ⋅ + ⋅ = − + = − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫� � � � � �

Posljednji član na desnoj strani jednadžbe predstavlja toplinski tok Φ koji je pozitivan kad

se dovodi fluidu u kontrolnom volumenu

dKP

q n SΦ = − ⋅∫� �

Nakon uvrštavanja gornjih rezultat dobije se Bernoullijeva jednadžba:

( )2 2

2 2i i i u u u i u i uu Q v Q u Q v Q gQ z z p Q p Q

ρ ρρ α ρ α ρ Φ+ − − = − − − + +


Mehanika fluida 37

Za slučaj adijabatske cijevi ( 0Φ = ) ukupno povećanje unutrašnje energije nastaje zbog

snage unutrašnjih sila koje uvijek povećavaju unutrašnju energiju na račun smanjenja

mehaničke energije (ovaj proces je jednosmjeran). Ako snagu unutrašnjih sila definiramo

kao pozitivnu i označimo s FP onda je:

( )F i uP Q u uρ= −

Bernoullijeva jednadžba sada ima oblik: 2 2

2 2

i ui i i u u u F

v vQ p gz Q p gz Pα ρ ρ α ρ ρ

+ + = + + −

Ako u cjevovodu između ulaznog i izlaznog presjeka postoji stroj (pumpa koja predaje

snagu PP fluidu ili turbina koja oduzima snagu TP od fluida), onda se modificirana

jednadžba može poopćiti u sljedeći oblik 2 2

F P T

snaga na izlazu iz cijevi snaga na ulazu u cijev

2 2i u

v vp gz Q p gz Q P P Pαρ ρ αρ ρ

+ + = + + − + −

��

Pumpa je pogonjena motorom, pri čemu motor predaje pumpi snagu MP , pa je faktor

korisnosti pumpe PP

M

P

Pη = . Turbina obično pogoni generator, pri čemu generatoru predaje

snagu GP , pa je faktor korisnosti turbine definiran odnosom G

T

T

P

Pη = .

U gore prikazanom obliku modificirane Bernoullijeve jednadžbe, svaki član ima dimenziju

snage, a koriste se i sljedeći oblici te jednadžbe

Oblik Dimenzija 2 2

F P T

2 2i u

v v P P Pp gz p gz

Q Q Qαρ ρ αρ ρ

+ + = + + − + −

snaga

volumenki protok

2 2

F P T

2 2i u

v v P P Pp pgz gz

Q Q Qα α

ρ ρ ρ ρ ρ

+ + = + + − + −

snaga

maseni protok

2 2

F P T

2 2i u

v v P P Pp pz z

g g g g gQ gQ gQα α

ρ ρ ρ ρ ρ

+ + = + + − + −

snaga

težinski protok

U zadnjem obliku modificirane Bernoullijeve jednadžbe obično se uvode oznake

PP

Ph

gQρ= =visina dobave pumpe,

TT

Ph

gQρ= =pad visine energije u turbini

FF

Ph

gQρ= =visina gubitaka mehaničke energije (energije pretvorene u unutarnju energiju)

Za slučaj račvanja cjevovoda oblici modificirane Bernoullijeve jednadžbe iz gornje tablice

postavljaju se duž strujnice.


Mehanika fluida 38

Primjer:

Slika prikazuje račvastu cijev s dva ulazna

presjeka (1 i 2) te dva izlazna presjeka (3 i 4).

Između točaka 5 i 6 se nalazi pumpa koja predaje

fluidu snagu PP. Prema jednadžbi kontinuiteta

ukupni protok kroz pumpu je 1 2 3 4Q Q Q Q Q= + = + .

U točkama 5 i 6 visina energije je jednoznačno

definirana, bez obzira s koje strane se u te točke

dolazi.

Integralni oblik zakona kinetičke energije za stacionarno strujanje fluida kaže da je snaga

na izlazu iz KV (presjeci 3 i 4) jednaka snazi na ulazu (presjeci 1 i 2) uvećanoj za snagu

pumpe i umanjenoj za snagu viskoznih sila, tj. 2 2 2 23 4 1 2

3 3 3 3 4 4 4 4 1 1 1 1 2 2 2 2 P F2 2 2 2

v v v vp gz Q p gz Q p gz Q p gz Q P Pα ρ ρ α ρ ρ α ρ ρ α ρ ρ

+ + + + + = + + + + + + −

Modificirana Bernoullijeva jednadžba postavljena između točaka 1 do5 je: 2 25 5 1 1

5 5 1 1 F152 2

v p v pz z h

g g g gα α

ρ ρ

+ + = + + − , gdje je F15

F151

Ph

gQρ=

Modificirana Bernoullijeva jednadžba između točaka 5 i 6 glasi 2 26 6 5 5

6 6 5 5 P F562 2

v p v pz z h h

g g g gα α

ρ ρ

+ + = + + + − , gdje su F56

F56

Ph

gQρ= i P

P

Ph

gQρ= ,

a između točaka 6 i 3 2 23 3 61

3 3 6 6 F632 2

v p pvz z h

g g g gα α

ρ ρ

+ + = + + − , gdje je F63

F633

Ph

gQρ=

Iz kombinacije prethodnih jednadžbi dobije se modificirana Bernoullijeva jednadžba

između presjeka 1 i 3 2 23 3 1 1

3 3 1 1 P F15 F56 F632 2

v p v pz z h h h h

g g g gα α

ρ ρ

+ + = + + + − − −

Dakle modificirana Bernoullijeva jednadžba vrijedi duž strujnice. Analogno se dobije izraz

za modificiranu Bernoullijevu jednadžbu između presjeka 1 i 4 ili između presjeka 2 i 3 ili

između presjeka 2 i 4. Važno je zapamtiti da se snaga viskoznih sila dobije množenjem

visine gubitaka Fh s pripadajućim težinskim protokom, kao i snaga pumpe (u ovom

primjeru ( )P 1 2 PP g Q Q hρ= + ).


Mehanika fluida 39

Promjena tlaka okomito na strujnice (integral jednadžbe gibanja fluida po putu okomitom na strujnice)

Izraz za promjenu tlaka okomito

na strujnice je:

( )2 2

2 1 2 1

1

dv

p p g z z nR

ρ ρ= − − +∫

udaljenost n se mjeri od središta

zakrivljenosti strujnice.

U strujanju fluida s ravnim strujnicama ( R=∞ ) promjena tlaka okomito na strujnice ista

je kao u fluidu u mirovanju.

U strujanju fluida u horizontalnoj ravnini sa zakrivljenim strujnicama tlak raste od središta

zakrivljenosti strujnica.

Slika uz definiciju promjene tlaka okomito na strujnice

R=radijus

zakrivljenoO

x3

x2

x1

g

iv

1

2

n

6. Primjena osnovnih jednadžbi mehanike fluida

Mehanika fluida 40

6. PRIMJENA OSNOVNIH JEDNADŽBI MEHANIKE FLUIDA

Pojave i principi rada nekih uređaja koji se mogu objasniti Bernoullijevom jednadžbom

6.1. Mjerenje brzine

pa pa

pa

v1

21

z

A B

h

g

ρ

∆h

Slučaj otvorenog strujanja s ravnim strujnicama

Cjevčica A (piezometrička cijev) mjeri visinu tlaka u

točki 1. Promjena tlaka okomito na ravne strujnice ista je

kao u fluidu u mirovanju, pa će razina fluida u cjevčici

biti u slobodnoj površini.

Cjevčica B (Pitotova cijev) mjeri visinu tlaka u točki 2, u

kojoj je brzina jednaka nuli (zaustavna točka). Prema

Bernoullijevoj jednadžbi visina zaustavnog tlaka 2p / gρ

je veća od visine tlaka 1p / gρ u točki 1 za visinu brzine 2

1∆ 2h v / g= .

Članovi Bernoullijeve jednadžbe se mogu tumačiti i na sljedeći način

� �2

dinamički tlak hidrostatski tlakstatički tlak

zaustavni tlak

totalni tlak

1konst.

2p v gzρ ρ+ + =

��

��

��

Bernoullijeva jednadžba kaže da totalni tlak ostaje konstantan duž strujnice.

∆h

v1

21

Mjerenje brzine strujanja fluida u cijevima

Lijeva cjevčica mjeri statički tlak u točki 1, a

Pitotova cijev zaustavni tlak u točki 2. Razlika ta dva

tlaka je visina brzine, pa vrijedi 1 2 ∆v g h= . Očito

je da se brzina računa iz mjerene razlike tlakova,

koja se obično mjeri diferencijalnim manometrom.

ρ

∆h1

v1

2

R

x

1

ρρ0<

ρ

∆h

v1

ρρ0>

1 2

R

x


Mehanika fluida 41

Slučaj kada je diferencijalni

manometar ispunjen fluidom manje

gustoće od fluida koji struji u cijevi

01 2 ∆ 1v g h

ρ

ρ

= −

Slučaj kada je diferencijalni manometar ispunjen

fluidom veće gustoće od fluida koji struji u cijevi

01 2 ∆ 1v g h

ρ

ρ

= −

6.2. Prandtl-Pitotova cijev

Sastoji se od dvije koaksijalne cijevi, pri čemu je unutarnja cjevčica svojim otvorom

suprotstavljena strujanju i mjeri zaustavni tlak (točka 2 na slici). Vanjska cijev ima po

obodu rupice s otvorima preko kojih čestice fluida prolaze tangencijalno kojima se mjeri

statički tlak (točka 3 na slici). Donja slika kvalitativno prikazuje promjenu tlaka duž

strujnice 1-2-3. U točki zastoja je brzina jednaka nuli, a tlak je maksimalan. Od točke

zastoja fluid se ponovo ubrzava, a tlak opada. U području između točaka 2 i 3 brzina na

nekim mjestima premašuje brzinu 1v , te tlak opada ispod tlaka 1p , ali se na određenoj

udaljenosti od točke 2 tlak ponovo vraća na vrijednost tlaka 1p . Ako se zanemari učinak

viskoznih sila u neograničenom strujanju fluida tlak 3p će biti jednak tlaku 1p , pa će se iz

mjerene visine ∆h moći izračunati brzina 1v , pri čemu vrijedi izraz 01 2 ∆ 1v g h

ρ

ρ

= −

.

ρ

∆h

v1

ρρ0>

p p3 1=

3

21

tlak

p1


Mehanika fluida 42

6.3. Mjerenje protoka u strujanju kroz cijevi

2

21

1

Slika shematski prikazuje tri različita

mjerna uređaja za mjerenje protoka u

strujanju kroz cijevi, redom mjerna blenda,

mjerna sapnica i Venturijeva cijev. U svim

uređajima je princip mjerenja isti: u

suženom presjeku tlak je zbog povećanja

brzine niži. Razlika tlaka u presjecima 1 i 2

raste s porastom protoka, te se iz mjerene

razlike tlaka može zaključiti o protoku kroz

cijev. Primjenom Bernoullijeve jednadžbe

se dolazi do protoka idealnog fluida, a

uvođenjem faktora korekcije brzine i faktora

kontrakcije mlaza se dolazi do protoka

realnog fluida.

6.3.1. Venturijeva cijev

h0

h

xz=0

Q

D1

D2

1

2

ρ0

ρ, µ

Slika shematski prikazuje Venturijevu cijev

postavljenu u kosom cjevovodu, u kojoj se

diferencijalnim manometrom mjeri razlika

tlaka u dva presjeka. Iz jednadžbe

kontinuiteta, Bernoulijeve jednadžbe i

jednadžbe manometra slijedi izraz za protok

idealnog fluida

002

2id 4

2

1

2 1

41

ghD

QD

D

ρ

ρπ

− =

−

Protok realnog fluida viskoznosti µ je

c idvQ C C Q= .

Venturijeva cijev se izvodi tako da je faktor kontrakcije mlaza c 1C = , a faktor korekcije

brzine vC je funkcija Reynoldsova broja 1 1v DRe

ρ

µ= . Primjer zavisnosti faktora vC o

Reynoldsovu broju Re je dan na sljedećoj slici.


Mehanika fluida 43

6.3.2. Kavitacija

p2

ρgp1

ρg

2g2g

1 2

v1 v2 G.L.

E.L.

p1

p2

A1

A2

Q

Q Q1>

Povećanjem protoka uz istu ukupnu

energiju strujanja dolazi do

smanjenja tlaka u najužem presjeku

(na slici je prikazan pomak HGL

kada se protok poveća od Q na Q1)

Kada se tlak u najužem presjeku

snizi na vrijednost tlaka isparavanja

pojavljuju se mjehurići pare

(kavitacija), čime se smanjuje

poprečni presjek te dolazi do

zagušivanja strujanja. Protok pri

kojem se pojavljuje kavitacija je

maksimalno mogući protok za

zadanu visinu energije.

Mjehurići pare bivaju nošeni u područje višeg tlaka, gdje implodiraju (ponovo se

pretvaraju u kapljevitu fazu). Pojava kavitacije je popraćena vibracijama i bukom, a pri

imploziji mjehurića pare u blizini stijenke dolazi i do njena oštećenja. U nestacionarnom

strujanju se kavitacija može pojaviti uslijed naglog ubrzavanja fluida.


Mehanika fluida 44

6.3.3. Ejektor

Strujanje primarnog fluida protokom Q1 u

suženom presjeku izaziva smanjenje tlaka, koje

ima za posljedicu usisavanje sekundarnog fluida,

protokom Q2, tako da je na izlazu iz ejektora

protok Q1+Q2.

Ovaj se princip koristi npr. u uređajima za

bojanje, u kojima se u struju zraka uvlači boja.

6.3.4. Istjecanje iz velikog spremnika

Slika prikazuje zamišljenu strujnicu unutar

spremnika. Ako se pretpostavi veliki spremnik,

brzina fluida na slobodnoj površini unutar

spremnika će biti vrlo mala. Brzina se povećava

približavanjem ulazu u cijev. Za potrebe crtanja

hidrauličke gradijentne linije će se pretpostaviti da

je u svakoj točki spremnika brzina jednaka nuli, pa

će visina ukupne energija u spremniku biti jednaka

piezometričkoj visini (koja je za slučaj mirovanja

jednaka u svim točkama spremnika).

Prema tome Bernoullijevu jednadžbu može se postavljati od bilo koje točke u spremniku, a

obično se bira točka na slobodnoj površini. Bernoullijeva jednadžba postavljena od točke 0

na slobodnoj površini do točke 1 na izlazu iz cijevi glasi

2

a a

2

p v pH

g g gρ ρ+ = + ili 2v gH=

iz koje je jasno da se potencijalna energija fluida u spremniku pretvorila u kinetičku

energiju mlaza na izlazu iz cjevovoda, što prikazuje i slika. (Iz mehanike je poznato da bi

kuglica u slobodnom padu puštena iz stanja mirovanja na putu H postigla brzinu

2v gH= ).


Mehanika fluida 45

6.3.5. Gubitak utjecanja u veliki spremnik

pa

pa

g

h2

3

Q

H=h -h1 2

h1

4

1

2

v

U prethodnom primjeru je mlaz

fluida istjecao u atmosferu, pa je

u njemu vladao atmosferski tlak,

a ovdje mlaz istječe u mirujući fluid u velikom spremniku, a

eksperimenti pokazuju da će u

mlazu vladati tlak definiran

jednadžbom hidrostatike

4 a 2p p ghρ= +

Bernoullijeva jednadžba postavljena duž strujnice između točaka 1 i 4 (gdje je z4=0) glasi

4

2

a a1 2

/

2

p g

p v ph h

g g gρ

ρ ρ+ = + +

��

ili uz 1 2h h H− = : 2

2

vH

g=

Ponovo je jasno da će brzina biti funkcija razlike visina u spremnicima. Ako se za desni

spremnik usvoji model mirujućeg fluida onda će energija desnog spremnika biti jednaka

piezometričkoj visini i bit će manja od energije lijevog spremnika. Dakle u cijevi će prema

Bernoullijevoj jednadžbi visina ukupne energije biti jednaka energiji lijevog spremnika, a

ulaskom u desni spremnik energetska linija skokovito opada za visinu H, odnosno za

visinu brzine, te se govori o gubitku utjecanja u veliki spremnik(ili istjecanja iz cijevi).

Bernoullijeva jednadžba se formalno postavlja od slobodne površine lijevog spremnika do

slobodne površine desnog spremnika, s tim da se pri ulasku u spremnik obračuna gubitak

visine ukupne energije koji je jednak visini brzine. Tako bi Bernoullijeva jednadžba

između točaka 1 i 2, prema prethodno slici, (uz z2=0), glasila:

� �

2

a a

energija gubitakenergija u točki 1u točki 2

2

p p vH

g g g��ρ ρ+ = +

3 4

2gv2

=H E.L.

H.G.L.

pa

ρg

pa

ρg

Lijeva slika prikazuje energetsku

liniju (EL) za strujanje između dva

velika spremnika. Oduzimanjem

visine brzine od EL dobije se HGL.

Prema prije rečenom pretpostavlja

se da su brzine u spremnicima

jednake nuli, te se HGL skokovito

mijenja pri ulazu u cijev, u kojoj je

brzina za slučaj konstantnog

promjera cijevi konstantna.


Mehanika fluida 46

6.3.6. Sifon

0

1

pa

pa

r

H

hd=konst

2

Strujanje kroz sifon će se ostvariti ako je cijev u

početnom trenutku bila ispunjena fluidom ili je

potrebno stvoriti podtlak na izlaznom kraju

cijevi (točka 2) tako da se fluid podigne preko

točke 1. Iz Bernoullijeve jednadžbe od 0 do 2 je 2

2

vH

g= ili 2v gH=

Spuštanjem izlaznog kraja povećava se brzina

istjecanja. Iz Bernoullijeve jednadžbe od 1 i 2

( )1 ap p g H hρ= − +

Spuštanjem izlaznog kraja ili podizanjem točke

1 smanjuje se tlak p1, koji mora biti veći od

tlaka para pv da ne bi nastupila kavitacija, čijom

bi se pojavom strujanje prekinulo.

6.3.7. Maksimalna visina usisavanja pumpe

pah

1

0

pumpa

Da bi se uključivanjem pumpe uspostavilo strujanje, usisna

cijev mora biti ispunjena fluidom.

Da bi se izbjegla pojava kavitacije tlak u točki 1 mora biti

viši od tlaka para. Iz Bernoullijeve jednadžbe od 0 do 1 je 2

1 1

2

ap p vh

g g gρ ρ= + +

Uz pretpostavku da su visine 2

1 1

2

p v

g gρ+ zanemarive,

teorijski maksimalna visina usisavanja je jednaka visini

atmosferskog tlaka, a stvarno je to i manje.

6.3.8. Korekcije brzine i protoka pri istjecanju kroz otvore

pa

1A0

A

Strujnica ne može biti slomljena crta, jer bi u točki loma radijus

zakrivljenosti strujnice bio jednak nuli, te bi derivacija tlaka

okomito na strujnicu bila beskonačna, što ne bi bilo fizikalno.

Zbog toga pri istjecanju fluida kroz otvor površine A0 s oštrim

rubom dolazi do suženja mlaza. Slika prikazuje presjek 1 u

kojemu su strujnice paralelne, a tlak konstantan. U tom presjeku

se mjeri površina A poprečnog presjeka mlaza.

Faktor kontrakcije mlaza je c 0/C A A= .

Realni fluidi su viskozni te će se dio mehaničke energije na putu od točke 0 do točke 1

uslijed djelovanja viskoznih sila pretvoriti u unutarnju energiju, što znači da će mehanička

energija (odnosno brzina) za slučaj realnog fluida biti manja. To se uzima u obzir

iskustvenim faktorom korekcije brzine Cv (koji se određuje eksperimentalno) prema

formuli id 2v vv C v C gH= = . Jasno je da je faktor korekcije brzine uvijek manji od jedan.


Mehanika fluida 47

Protok Q fluida kroz otvor će biti jednak umnošku stvarne brzine i stvarne površine mlaza:

��d id

c id 0 d idv

C Q

Q vA C C v A C Q= = = , gdje je d cvC C C= faktor korekcije protoka (često se

označuje i s QC )

Primjeri faktora korekcije brzine i faktora kontrakcije mlaza za neke tipične slučajeve:

Tanka stijenka-oštri rub: Cc=0.62 Cv=0.98

Lijepo zaobljeni rub: Cc=1 Cv=0.98

Ispust: Cc=1 Cv=0.82

Ispust: Cc=1 Cv=0.74

6.3.9. Formula za izračunavanje vremena pražnjenja posude

pa

pa

g

Cd

H0

A0

1

v

0A z( )

v0=-dzdt

zH1

t t= 0

t=t1

Pretpostavke:

Posuda je otvorena prema atmosferi.

Visina z se mjeri od presjeka mlaza u

kojem su strujnice paralelne (vena

contracta).

Površina poprečnog presjeka posude

A(z), je puno veća od površine A0 otvora

na dnu (kvazistacionarno strujanje

id 2v gz= ).

Vrijeme ∆t potrebno da se razina fluida spusti s visine 0z H= na 1z H=

( )1

0

1 0

d 0

1∆ d

2

H

H

A zt t t z

C A g z− = =− ∫


Mehanika fluida 48

6.4. Ilustracija sadržaja Bernoullijeve jednadžbe

� ��

2

geometrijskavisina =geodetska

visina brzine visina tlaka linija

piezometrička visina =hidraulička gradijentna linija

visina ukupne energije = energetska linija

konst.2

v pz

g gρ+ + =

��

��

Visina ukupne energije ostaje konstantna duž strujnice.

Za strujanje u cijevima sadržaj Bernoulijeve jednadžbe se prikazuje za strujnicu koja

prolazi simetralom cijevi, tako da simetrala označuje geodetsku liniju (GL). Hidrauličku

gradijentnu liniju (HGL) se dobije oduzimanjem visine brzine od energetske linije (EL).

Primjeri ilustracije sadržaja Bernoullijeve jednadžbe:

z1

z2

p2

ρg

p1

ρg

2gv

2

2gv

2

z=0

G.L.

H.G.L.

E.L.

2

1

p2

ρg

p3

ρgp1

ρg

H.G.L.

z z z

2g 2g 2gv3

2

z=0

1 2 3

Promjer cijevi je konstantan, pa je prema

jednadžbi kontinuiteta konstantna i brzina.

Dolazi do preraspodjele visine tlaka i

geodetske visine, a promjena tlaka je ista

kao u fluidu u mirovanju.

Smjer strujanja neodređen (slika je ista za

oba smjera struajnja).

Položaj z=0 se odabire proizvoljno.

Energetska linija se može definirati ili s

apsolutnim tlakom ili s pretlakom (ako je

definirana s apsolutnim tlakom, tada visina

tlaka ne može biti negativna, tj. HGL ne

može biti ispod GL, kao ni EL).

Visina z je konstantna, pa dolazi do

preraspodjele između visine brzine i visine

tlaka.

Iz jednadžbe kontinuiteta Q=vA=konst.,

slijedi da će u presjeku manje površine A

biti veća brzina, a iz Bernouulijeve

jednadžbe je jasno da će pri većoj brzini biti

niži tlak.

Minimalna vrijednost tlaka je dakle u

najužem presjeku, a ne može biti manja od

tlaka para (tlaka kod kojeg fluid pri zadanoj

temperaturi počinje isparavati).

Minimalnim tlakom je definirana i

maksimalna brzina strujanja, odnosno

maksimalni protok Q.

pa

pa

A

pa pa

A

B


Mehanika fluida 49

Geodetska visina izlaznog kraja cijevi je

previsoka, pa nema strujanja fluida.

Bernoulijeva jednadžba se svodi na osnovnu

jednadžbu hidrostatike (princip spojenih

posuda).

Skraćivanjem priključne cijevi, dolazi do

strujanja fluida, a visina mlaza jednaka je

visini fluida u velikom spremniku. (za slučaj

viskoznog strujanja, ta bi visina bila nešto

manja zbog pretvorbe mehaničke energije u

unutarnju).

7. Dimenzijska analiza

Mehanika fluida 50

7. DIMENZIJSKA ANALIZA

Dimenzijska analiza i teorija sličnosti predstavljaju znanstveni temelj eksperimentalnom

istraživanju složenih fizikalnih pojava kako u mehanici fluida, tako i u ostalim područjima

fizike. Primjenom dimenzijske analize minimizira se potrebni broj mjerenja za istraživanje

neke pojave, a olakšavaju se prikaz i tumačenje rezultata mjerenja. Teorija sličnosti daje

podlogu za primjenu modelskih istraživanja i primjenu analogija u fizici.

7.1. Osnovna jednadžba metrologije

Sadržaj fizikalne veličine Q izražava se produktom mjernog broja Q� i mjerne jedinice[ ]Q .

[ ]Q Q Q= �

Npr. ubrzanje 24 /a m s=

7.2. Skup osnovnih i izvedenih fizikalnih jedinica

Dimenzija [ ]Q odnosno jedinica [ ]SI

Q svake fizikalne veličine Q u mehanici fluida se

može prikazati produktom potencija osnovnih dimenzija odnosno jedinica u obliku

[ ] M L Ta b c dQ Θ= SI

Q kg m s Ka b c d = �

gdje su osnovne fizikalne veličine (čije su dimenzije osnovne) u mehanici fluida

Veličina Oznaka Dimenzija Jedinica u SI sustavu

duljina

vrijeme

masa

temperatura

L

t

m

T

L

T

M

Θ

m

s

kg

K

a eksponenti a, b, c i d tipični za fizikalnu kategoriju Q. Nisu uvijek potrebne sve četiri

osnovne dimenzije. Tako se dimenzije svih fizikalnih veličina u kinematici fluida mogu

opisati s dvije dimenzije: duljine i vremena. U dinamici nestlačivog strujanja fluida gdje

temperatura fluida ne igra ulogu dovoljne su tri dimenzije: duljine, vremena i mase, a tek u

dinamici stlačivog strujanja taj skup se proširuje dimenzijom temperature.

Oznake, dimenzije i jedinice nekih izvedenih fizikalnih veličina u mehanici fluida

Fizikalna veličina Oznaka Dimenzija Jedinica u

SI sustavu

brzina, brzina zvuka v, c LT-1

m/s

sila F MLT-2

N

gravitacija g LT-2

m/s2

težinski protok G� MLT-3

N/s

volumenski modul elastičnosti K ML-1

T-2

Pa

maseni protok �m MT-1

kg/s

moment sile M ML2T

-2 Nm

snaga P ML2T

-3 W

tlak p ML-1

T-2

Pa

volumenski protok Q L3T

-1 m

3/s

plinska konstanta R L2T

-2Θ-1 J/kgK


Mehanika fluida 51

potencijal masene sile U L2T

-2 m

2/s

2

specifična unutrašnja energija u L2T

-2 J/kg

rad sile, energija W, E ML2T

-2 J

gustoća fluida ρ ML-3

kg/m3

kinematička viskoznost ν L2T

-1 m

2/s

dinamička viskoznost µ ML-1

T-1

Pas

Kutna brzina ω T-1

rad/s

naprezanje τ, iσ , ijσ ML-1

T-2

N/m2

kut α - rad

površinska napetost σ MT-2

N/m

7.3. Dimenziono nezavisan skup

Treba naglasiti da je izbor skupa osnovnih fizikalnih veličina u principu proizvoljan, te se

može koristiti bilo koji skup od četiri dimenziono nezavisne fizikalne veličine. Dimenziona

nezavisnost osnovnog skupa fizikalnih veličina podrazumijeva da se dimenzija niti jedne

od fizikalnih veličina izabranog skupa ne može prikazati dimenzijama preostalih fizikalnih

veličina u tom skupu, što je sadržano u teoremu o dimenziono nezavisnom skupu koji

glasi:

Ako samo trivijalno rješenje a1=a2= ...=an=0, čini produkt potencija Q Q Q1

a

2

a

n

a1 2 n⋅ ⋅

bezdimenzijskim, onda je skup n fizikalnih veličina Q ,Q , .. . ,Q1 2 n dimenziono

nezavisan. Ako je n>k, gdje je k broj osnovnih dimenzija (mjernih jedinica) u skupu, tada

skup n fizikalnih veličina ne može biti dimenziono nezavisan.

Primjeri:

1. Sila, masa i ubrzanje su dimenziono zavisne veličine, jer su vezane drugim Newtonovim

zakonom.

2. Skup od n=3 veličine: brzina, ubrzanje i kutna brzina čije su dimenzije opisane s dvije

osnovne dimenzije duljine i vremena (k=2), zbog n>k ne mogu biti dimenziono nezavisne.

3. Ispitati dimenzionu nezavisnost skupa veličina ρ, v, L

Prema teoremu o dimenziono nezavisnom skupu traži se rješenje za eksponente a, b, c, koji

čine produkt potencija veličina bezdimenzim, tj.

[ ] [ ] [ ] 0 0 0M L T

a b cv Lρ =

Ako se dimenzije ρ, v, L izraze pomoću M, L, T, gornja jednadžba prelazi u oblik:

[ ]-3 -1 0 0 0ML LT L M L Ta b c =

Izjednačavanjem eksponenata nad istim bazama lijeve i desne strane gornje jednadžbe,

slijedi sustav linearnih algebarskih jednadžbi

M: =0

L: -3 + + =0

T: - 0

a

a b c

b =

kojeg je rješenje trivijalno (a=b=c=0), što znači da je skup veličina ρ, v, L dimenzionalno

nezavisan.


Mehanika fluida 52

7.4. Backinghamov teorem (Pi-teorem)

Ključno značenje u dimenzijskoj analizi ima Pi-teorem koji glasi: Svaki fizikalni zakon između n fizikalnih veličina Q ,Q , .. . ,Q1 2 n , izražen funkcijom

G(Q Q Q n1 2, , ..., )=0, neovisnom o promjeni mjerila (veličinska jednadžba), može se

izraziti kao funkcija n-k bezdimenzijskih varijabli u obliku (((( ))))ΓΓΓΓ Π Π Π1 2, , . . . n- k ==== 0 , gdje je

k broj osnovnih veličina čijim se dimenzijama mogu opisati dimenzije čitavog skupa n

fizikalnih veličina.

Ilustracija: Promjena puta pri pravocrtnom gibanju konstantnim ubrzanjem 20

1

2s v t at= + je

fizikalni zakon između n=4 fizikalne veličine u čijim se dimenzijama pojavljuje samo put i

vrijeme (k=2), pa se zakon može prikazati pomoću dvije bezdimenzijske varijable.

Dijeljenjem gornje jednadžbe s 0v t dobije se 0 0

11

2

s at

v t v= + ili 1 2

1Π 1 Π

2= + , gdje su 1

0

Πs

v t=

i 20

Πat

v= .

Primjenom Pi-teorema se smanjuje broj varijabli u pojavi, čime se smanjuje potrebni broj

mjerenja i olakšava analiza rezultata. Pi-teorem se općenito realizira kroz sljedeće korake:

1) Pretpostavlja se skup n fizikalnih veličina za koji se smatra da upravlja fizikalnom

pojavom, te se sastavi tablica s njihovim simbolima i dimenzijama ili mjernim jedinicama,

iz koje se odredi broj k, dimenziono nezavisnih veličina.

2) Iz skupa od n fizikalnih veličina izabere se k dimenziono nezavisnih veličina i

dokaže dimenzionu nezavisnost izabranog skupa prema danom teoremu.

3) Od svake fizikalne veličine izvan skupa dimenziono nezavisnih veličina formira se

bezdimenzijski Π parametar na način da se njena dimenzija prikaže dimenzijama fizikalnih

veličina iz dimenziono nezavisnog skupa, u obliku

+ 1 2Π k1 2 aa ak i k i kQ Q Q ... Q+ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , i=1, n-k

Na taj način skup od n fizikalnih veličina zamijenjen je skupom od n-k bezdimenzijskih Π

parametara. Pri tome vrijede sljedeća pravila:

a) ako je n-k ≤ 0, što znači da se ne može formirati niti jedan Π parametar, ukazuje da

je skup od n utjecajnih veličina nepotpun;

b) ako je n-k=1, moguće je sačiniti samo jedan Π parametar, a problem se svodi na

Γ(Π)=0 ili Π=konst, što znači da je problem principijelno moguće riješiti samo jednim

mjerenjem.

c) Funkcija među bezdimenzijskim Π parametrima, identičnog je oblika za

beskonačnu obitelj geometrijski, kinematički i dinamički sličnih pojava. Sličnost dvaju

pojava podrazumijeva da se iz rezultata dobivenih na jednoj pojavi mogu odrediti rezultati

na drugoj pojavi jednostavnim množenjem rezultata prve pojave s konstantnim

koeficijentom (koeficijentom sličnosti). Posebno, ona je jedna i ista funkcija za modelsku i

prototipnu pojavu.

d) Bezdimenzijska veličina (npr. kut) već je sama po sebi Π parametar i ne može biti

uključena u skup dimenziono nezavisnih fizikalnih veličina.


Mehanika fluida 53

e) Postoji više mogućnosti izbora skupa dimenziono nezavisnih veličina, a u taj skup

se ne stavljaju fizikalne veličine čiji se utjecaj želi promatrati izolirano (cilj je da se

pojavljuje u samo jednom Π parametru).

f) Svaki Π parametar se smije potencirati i množiti proizvoljnom konstantom.

g) Ukoliko je neka od utjecajnih fizikalnih veličina ispuštena iz polaznog skupa,

rezultati mjerenja neće ležati na krivulji nego će biti rasuti po čitavom dijagramu.

Primjer: Treba istražiti zavisnost sile otpora R hidraulički glatke kugle promjera D

potopljene u fluid (gustoće ρ, koeficijenta dinamičke viskoznosti µ) kroz koji se ta kugla

giba stalnom brzinom v u horizontalnoj ravnini.

Pretpostavlja se dakle da je sila otpora definirana nekom funkcijom ( ), , , , 0R D vρ µ =G među

n=5 fizikalnih veličina.

Prvi korak je formiranje tablice s dimenzijama svih fizikalnih veličina u pojavi.

Veličina D v ρ R µ

Dimenzija L LT-1

ML-3

MLT-2

ML-1

T-1

Iz tablice je vidljivo da se od osnovnih dimenzija pojavljuju M, L, T, dakle k=3, što

omogućuje izbor skupa od tri dimenzionalno nezavisne fizikalne veličine, odnosno mogu

se formirati dva Π parametra.

Drugi korak je izbor skupa dimenziono nezavisnih veličina, za što postoji više mogućnosti.

Ako se traži zavisnost sile otpora R, ona se neće uključiti u taj skup, a obzirom da je ona

posljedica viskoznosti čiji se utjecaj želi posebno analizirati, koeficijent dinamičke

viskoznosti također neće ući u taj skup, te ostaje skup ρ, v, D čija je dimenziona

nezavisnost već dokazana u prethodnom primjeru (gdje je uzeto L umjesto D)

U trećem koraku formiraju se bezdimenzijski Π parametri, jedan od sile F, a drugi od

koeficijenta dinamičke viskoznosti µ u obliku

Π a b cR v Dρ=1

ili pomoću dimenzija

[ ]0 0 0 -2 -3 -1M L T MLT ML LT La b c =

Nakon izjednačavanja eksponenata nad istim bazama na lijevoj i desnoj strani gornje

jednadžbe slijedi sustav tri linearne algebarske jednadžbe

M: 0 1

L: 0 1 -3

T: 0 -2 -

a

a b c

b

= += + +=

kojeg je rješenje a=-1, b=-2, c=-2, što uvršteno u definicijsku jednadžbu za parametar

Π a b cR v Dρ=1 daje

2 2

ΠR

v Dρ=1

Pozivajući se na pravo množenja Π parametara proizvoljnom konstantom parametar Π1 se

može preurediti u oblik koeficijenta sile (koeficijenta otpora)

2

21

2 4

DR

CD

vπ

ρ

=

gdje je ( ) 21 2 vρ dinamički tlak, a 2 4D π površina presjeka kugle suprostavljenog strujanju

fluida.


Mehanika fluida 54

Analogno se definira drugi Π parametar u obliku

Π a b cv Dµρ=2

iz kojeg slijedi sustav tri linearne algebarske jednadžbe:

M: 0 1

L: 0 1 -3

T: 0 -1 -

a

a b c

b

= += + +=

Rješenje kojega je a=-1, b=-1, c=-1, što uvršteno u definicijsku jednadžbu Π a b cv Dµρ=2

daje

ΠvD

µ

ρ=2

koji označuje recipročnu vrijednost Reynoldsova broja

1

Π

vDρ

µ=Re

2

=

Prema tome, funkcija G među pet fizikalnih veličina, prevodi se u funkciju među dva Π

parametra oblika

( )2

2D

1ili

2 4

D vDC R v

π ρρ

µ

= = ReΦ Φ

Jednom određena bezdimenzijska funkcija Φ(Re) može poslužiti za određivanje sile otpora

R pri gibanju kugle bilo kojeg promjera, bilo kojom brzinom u bilo kojem fluidu. Ako bi se

raspolagalo samo jednim mjerenjem CD1=Φ(Re1), ono bi još uvijek moglo poslužiti za

određivanje sile R u velikom broju situacija kojima je zajednička vrijednost Reynoldsova

broja Re1 iz koje slijedi jedna te ista vrijednost koeficijenta sile CD1, dakle padaju u istu

točku prostora bezdimenzijskih varijabli. Općenito za pojave koje su opisane istim

fizikalnim jednadžbama i koje su karakterizirane istom točkom u prostoru bezdimenzijskih

varijabli kaže se da su fizikalno slične. Tako bi se npr. iz sljedećih podataka mjerenih u

vodi: 999,8ρ= kg/m3, 31,03 10µ −= ⋅ Pas, 300D= mm, 0.142v= m/s, 0,3R= N, mogao

izračunati koeficijent otpora 2

21

2 4

DR

CD

vπ

ρ

= =0.421, pri Reynoldsovom broju

44.135 10vDρ

µ= = ⋅Re . Iz tih se podataka može izračunati sila na kuglu promjera 1 50D =

mm, koja se giba u ulju gustoće 1 820ρ = kg/m3, viskoznosti 1 0.08µ = Pas, brzinom

11

1 1

80.7 m/svD

µ

ρ= =

Re pri kojoj će sila otpora biti

22 1

1 1 1

12207 N

2 4D

DR v C

πρ= = .

Bezdimenzijski Π parametri u mehanici fluida se mogu svrstati u nezavisne parametre ili

kriterije sličnosti koji potječu od nezavisnih veličina u pojavi, te zavisne parametre koji

potječu od rezultata. Tako na primjer sila otpora u prethodnom primjeru zavisi od veličina

s kojima se formira Reynoldsov broj kao nezavisni parametar, a sila otpora se prikazuje

pomoću bezdimenzijskog koeficijenta sile, koji je zavisni parametar. Sljedeće tablice daju

pregled najčešćih nezavisnih i zavisnih bezdimenzijskih parametara u nestlačivom

strujanju fluida.


Mehanika fluida 55

7.5. Nezavisni bezdimenzijski parametri (kriteriji sličnosti)

Naziv Oznaka Definicija

Reynoldsov broj ,Re Rn vLρ

µ,

vDρ

µ,

4 Q

D

ρ

π µ

Froudeov broj ,Fr Fn v

gL,

2v

gL

Strouhalov broj Sh L

vt,

D

v

ω

Eulerov broj Eu 0

21

2

p

vρ

7.6. Neki zavisni bezdimenzijski parametri

Naziv Oznaka Definicija

Koeficijent tlaka, trenja pC , ,fC Cτ 21

2

p p

vρ

∞−,

21

2v

τ

ρ

, 21

2

w

v

τ

ρ

Koeficijent sile (otpora, uzgona) , ,F D LC C C 21

2

F

v Aρ

, D

21

2

F

v Aρ

, L

21

2

F

v Aρ

Koeficijent momenta MC 21

2

M

v ALρ

Faktor trenja za strujanje u

cijevima λ 21

2

∆ fp

Lv

Dρ

, 2

∆

2

fh

v L

g D

Doprinos dimenzijske analize je u smanjenju broja varijabli kojima je opisana neka pojava,

a ona ne može dati odgovor o funkciji koja povezuje bezdimenzijske parametre. U

pojedinim slučajevima se razmišljanjem može doći do nekih zaključaka o nepoznatoj

funkciji, koja povezuje bezdimenzijske parametre. Tako bi se u prethodnom primjeru

moglo pretpostaviti, da su pri gibanju kugle malom brzinom v (točnije pri niskim

vrijednostima Reynoldsova broja 1Re≤ ), inercijske sile zanemarive u odnosu na viskozne

sile, pa u tom slučaju sila otpora neće zavisiti od gustoće ρ fluida (koja je predstavnik

mase, odnosno inercijskih sila). Uzimajući u obzir da je sila otpora pri mirovanju kugle

jednaka nuli, zaključuje se da zavisnost koeficijenta otpora o Reynoldsovu broju mora biti

oblika D

konstC =

Re, odnosno sila otpora je konstR vDµ= ⋅ . Ovo je potvrđeno

eksperimentima i vrijedi ne samo za kuglu nego za optjecanje bilo kojeg tijela (vrijednost

konstante ovisi o obliku tijela), a donja tablica daje neke primjere.


Mehanika fluida 56

Gornja slika prikazuje u logaritamskom mjerilu zavisnost koeficijenta otpora kugle u širem

rasponu Reynoldsova broja. Uočava se područje Reynoldsova broja u kojem je koeficijent

otpora približno konstantan, i područje u kojem dolazi do pada koeficijenta otpora zbog

promjene slike strujanja (pomicanja točke odvajanja prema stražnjem dijelu kugle, što će

se objasniti u MF II).


Mehanika fluida 57

Tijela drugačijeg oblika imaju slične funkcionalne zavisnosti koeficijenta otpora o

Reynoldsovu broju. Slijedeća slika prikazuje dijagram koeficijenta otpora za različite

profile (od ravne ploče do kružnog cilindra) i to pri višim vrijednostima Reynoldsova

broja, koje se u praksi češće pojavljuju. U svim slučajevima se može uočiti područje

konstantne vrijednosti koeficijenta otpora, a što je profil tanji to je područje pomaknuto

prema višim vrijednostima Reynoldsova broja.

Sljedeće tablice daju vrijednosti koeficijenata otpora za različite oblike profila i tijela i to u

području Reynoldsova broja gdje su one približno konstantne. Pri višim vrijednostima

Reynoldsova broja strujanje prelazi iz režima laminarnog strujanja u režim turbulentnog

strujanja. U režimu laminarnog strujanja čestice se gibaju pravilno u slojevima, a putanje

čestica su glatke krivulje. Turbulentno strujanje je izrazito nestacionarno strujanje u kojem

se čestice fluida gibaju po vrlo nepravilnim putanjama i intenzivno se miješaju, a brzina,

tlak i ostale veličine pokazuju slučajne pulzacije. U turbulentnom strujanju sila otpora je

funkcija i hrapavosti površine pri čemu s povećanjem hrapavosti u pravilu sila otpora raste.

Povećanjem hrapavosti se smanjuje i vrijednost Reynoldsova broja pri kojoj laminarno

strujanje prelazi u turbulentno.


Mehanika fluida 58


Mehanika fluida 59


Mehanika fluida 60

Pri opstrujavanju nesimetričnih tijela, ili pri opstrujavanju simetričnih tijela kod kojih se

pravac vektora brzine ne poklapa s osi simetrije pojavljuje se i sila u okomitom smjeru na

smjer brzine, koja se naziva silom uzgona (za razliku od sile otpora čiji se pravac

djelovanja poklapa s pravcem brzine). Avioni lete upravo zahvaljujući sili uzgona. Sila

uzgona povećava se povećanjem kuta između vektora brzine i skeletne linije krila (napadni

kut α ), a sljedeće slike prikazuju zavisnost sile uzgona i sile otpora o napadnom kutu. Pri

određenoj vrijednosti kuta α koeficijent uzgona doživljava maksimum, nakon čega s

povećanjem napadnog kuta sila uzgona naglo opada jer se na gornjoj strani profila

pojavljuje odvajanje strujanja.

Oba se dijagrama mogu prikazati na jednoj slici s kutom α kao parametrom, kao što

prikazuje sljedeća slika za područje kuta α do 8°. Optimalna točka je ona u kojoj je odnos

sile uzgona spram sile otpora maksimalan (crtkani pravac s najvećim nagibom koji tangira

krivulju).

8. Primjena osnovnih zakona dinamike fluida na strujanje u hidrauličkim

strojevima

Mehanika fluida 61

8. PRIMJENA OSNOVNIH ZAKONA DINAMIKE FLUIDA NA STRUJANJE U HIDRAULIČKIM STROJEVIMA

8.1. Osnovni zakoni u koordinatnom sustavu koji se giba pravocrtno brzinom u

Koordinatni sustav koji se giba konstantnom brzinom u�

(konstantnom po veličini i smjeru)

je inercijski koordinatni sustav. Promatrač iz apsolutno mirujućeg koordinatnog sustava

mjeri apsolutnu brzinu v�

, a promatrač koji se giba zajedno s koordinatnim sustavom mjeri

relativnu brzinu w�

, pri čemu vrijedi v u w= +� � �

. Svi zakoni mehanike fluida u

koordinatnom sustavu koji se giba konstantnom brzinom su istog oblika kao i za apsolutno

mirujući koordinatni sustav uz uvjet da se umjesto apsolutne brzine uzme relativna brzina.

Primjer: sila mlaza na pomičnu lopaticu

y

x

β

pa

v

A

ρ

nepomi namlaznica

č

pomi na lopaticač

uO

z=konst.

Lopatica se giba konstantnom

brzinom u, a fluid u mlazu površine A

poprečnog presjeka struji brzinom v.

Za promatrača iz koordinatnog

sustava Oxy koji se giba zajedno s

lopaticom, fluid nailazi na lopaticu

relativnom brzinom w v u= − (sve su

brzine horizontalne pa vrijedi

algebarski zbroj).

βpa

y

x

AV Sw

w1

wSa

A1

Slika lijevo prikazuje kontrolni

volumen koji obuhvaća fluid koji je u

dodiru s lopaticom, s ucrtanim

relativnim brzinama. Kontrolna

površina se sastoji od ulaznog dijela

A, izlaznog A1, ruba mlaza Sa, te

površine Sw na kojoj se ostvaruje sila

dodira mlaza i lopatice.

Bernoullijeva jednadžba od ulaznog do izlaznog presjeka uz pretpostavku da je lopatica u

horizontalnoj ravnini glasi 22

a a 1

2 2

p p wwz z

g g g gρ ρ+ + = + + iz koje je jasno da vrijedi 1w w=

Jednadžba kontinuiteta glasi = =rel 1 1Q wA w A iz koje je jasno da je 1A A= . Treba

naglasiti da je relQ relativni protok kojim fluid struji preko lopatice i da je taj manji od

apsolutnog protoka Q vA= kojim fluid izlazi iz mlaznice, jer se razmak između mlaznice i

lopatice stalno povećava, te se dio apsolutnog protoka troši na popunjavanje mlaza u

prostoru između mlaznice i lopatice.


strojevima

Mehanika fluida 62

βpa

Sw

Sa

x

A

V

I

I

A

Sila fluida na lopaticu definirana

je jednadžbom količine gibanja.

Veličine impulsnih funkcija na

ulaznom i izlaznom presjeku su

jednake, tj vrijedi 2

relI w A Q wρ ρ= = , dok je na

površini Sa impulsna funkcija

jednaka nuli. Sila fluida na

lopaticu je jednaka vektorskom

zbroju impulsnih funkcija.

Komponenta sile u smjeru osi x definirana je izrazom:

( ) ( )2rel1 1xF I I cos w A cos wQ cosβ ρ β ρ β= − = − = −

Kad bi to bila jedina sila na lopaticu u smjeru osi x, lopatica bi se po II. Newtonovom

zakonu ubrzavala, što je protivno pretpostavci da se lopatica giba konstantnom brzinom u.

Dakle zaključuje se da za održavanje konstantne brzine na lopaticu mora izvana djelovati

sila xF− koja će ju kočiti (uravnotežiti silu fluida na lopaticu). Tim kočenjem se dobiva rad

(lopatica djeluje poput turbine), a snaga tog kočenja je definirana izrazom

( )ρ β= ⋅ = −T rel 1 cosxP F u uwQ

Jasno je da će snaga biti maksimalna za 180β = i jednaka nuli za 0β =

180β =

(fluid je neviskozan pa nema sile u x smjeru,

tj.

snaga je jednaka nuli)

0β =

Pad visine energije definiran je izrazom

( )TT

rel

1 cosP uw

hgQ g

βρ

= = −

Do istog se rezultata moglo doći promatranjem problema iz apsolutnog koordinatnog

sustava. Slika prikazuje kontrolni volumen koji miruje, te trokut brzina na izlazu kojim se

definira apsolutna brzina 1v�

.

β

v

wv =u+w1

u

PT Budući da se kroz kontrolnu površinu izmjenjuje snaga s okolinom (odvodi se snaga

TP ),

snaga na izlazu će biti manja od snage na ulazu za odvedenu snagu, tj. prema

Bernoullijevoj jednadžbi (uzimajući u obzir da su tlak i visina konstantni) vrijedi 2 21

T2 2

v vh

g g= − ,

a budući da vrijedi 2 2 21 1 1 2 2 cosv v v w w w u u u w wu uβ= ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = + +� � � � � � � �

i v u w= + , što uvršteno

u Bernoullijevu jednadžbu daje ( )T 1 cosuw

hg

β= − .


strojevima

Mehanika fluida 63

8.2. Bernoullijeva jednadžba za rotirajuću strujnu cijev

Pretpostavke:

1. Fluid je nestlačiv .constρ =

2. Fluid je neviskozan 0µ = , pnσ = −� �

3. .u const=

4. 0q =�

5. Strujanje je stacionarno 0t

∂=

∂

M M M M M

M

M M

M

2


sila na

D Dd d d d d

D D 2V V V S S

VV V

V

we V u V f w V w S q n S

t tρ ρ ρ σ

= + = ⋅ + ⋅ − ⋅

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

� � � � � �

��

� �M M M M M

M

22

0 snaga vanjskih 0površinskihsila na

D Dd d 2 d d d

D D 2r

KoriolisV V V S Sgravitacija centrifugaln a

V

wu V V gk re w w V w S q n S

t tρ ρ ρ ω ω σ

= =

+ = − + + × ⋅ + ⋅ − ⋅

∫ ∫ ∫ ∫ ∫� ��

��

��

Integracijom jednadžbe očuvanja energije, po kontrolnom volumenu prema slici, dobije se

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )22 2 2 2 2 2 2 12 12 1 2 2 1 1

1

2 2 2

1 1d 0 2 2

d 1 1d d d d d

d 2 2

w r r

r

KV KP KV KV KP

Q p pQg z zw Q w QQ ss

w V w w n S gk w V re w V pn w St

ω ωρ

ρ ρρ

ρ ρ ρ ρω

− −− −∂ − −=∂

+ ⋅ = ⋅ + ⋅ + − ⋅

∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫��

��

gdje su 1v i 2v prosječne brzine na presjecima 1A i 2A , a Q protok kroz cijev. Primjenom

zakona očuvanja energije za jednodimenzijsko strujanje u rotirajućoj cjevčici izbodi se

Bernoullijeva jednadžba za rotirajuću strujnu cijev 2 2 2 2 2 2

2 1

snaga na izlazu iz cijevi snaga na ulazu u cijev

2 2

w r w rp gz Q p gz Q

ω ωρ ρ ρ ρ

− −+ + = + +

��

Obodna brzina u definirana je izrazom u rω= . 2 2 2 2

2 2 2 1 1 12 1

2 2

w u p w u pz z

g g g gρ ρ

− −+ + = + +

8.3. Eulerova jednadžba za turbostrojeve

Promatrač iz koordinatnog sustava koji rotira zajedno s rotorom mjeri relativnu brzinu w�

koja je tangencijalna na lopatice. Obodna brzina u rω= ×� ��

je na ulazu u rotor po veličini

jednaka 1 1u Rω= , a na izlazu 2 2u Rω= i okomita je na radijus. Apsolutna brzina v�

je

zbroj obodne i relativne brzine v u w= +� � �

, što se prikazuje trokutom brzina. Kut β je kut

lopatice, a označuje kut između vektora relativne brzine w�

(tangenta na lopaticu) i

Sw A1

A2

A dV=Ads

w wn= −� �

w wn=� �

2

rreρω�

ω

r

sds se=� �


strojevima

Mehanika fluida 64

negativne obodne brzine u−�

. Sljedeće slika prikazuje primjer trokuta brzina, na kojem je

označen i kut α definiran kao kut između obodne i apsolutne brzine.

Jasno je da vrijede relacije: 2 2 2 2 cosv u w uw β= + −

cosv u wθ β= −

n sinv w β=

Apsolutna brzina se može rastaviti u radijalni i obodni smjer, gdje je radijalna komponenta

okomita na ulazni i izlazni presjek, pa se označuje s nv , a obodna s vθ . Ako se jedinični

vektori u radijalnom i obodnom smjeru označe s re�

i eθ�

(neka uvijek gleda u smjeru

obodne brzine) tada vrijedi n rv v e v eθ θ= +� � �

.

Bernoullijeva jednadžba duž strujnice od ulaza do izlaza iz pumpe kaže da će se energija

na izlazu povećati za visinu dobave pumpe, tj. vrijedi

2 2

2 2 1 12 1 P

2 2

v p v pz z h

g g g gρ ρ+ + = + + +

Ako se u Bernoullijevoj jednadžbi apsolutne brzine prikažu preko obodne i relativne brzine

( 2 2 2 2 cosv u w uw β= + − ), te od nje oduzme Bernoullijeva jednadžba za rotirajuću strujnu

cijev 2 2 2 2

2 2 2 1 1 12 1

2 2

w u p w u pz z

g g g gρ ρ

− −+ + = + +

Izvodi se Eulerova jednadžba za turbostrojeve

( ) ( ) ( )P 2 2 2 2 1 1 1 1 2 12 1

1 1cos cosh u u w u u w u v u v

g g θ θβ β = − − − = −

u�

w�

v�

nv

vθ

β α


strojevima

Mehanika fluida 65

8.4. Primjena na rotirajuću cjevčicu

Osnovna Eulerova jednadžba za turbostrojeve i Bernoullijeva jednadžba za rotirajuću

strujnicu se mogu primijeniti i na strujanje u rotirajućoj cjevčici. Naravno i dalje vrijede

pretpostavke o neviskoznom nestlačivom strujanju, uz dodatnu pretpostavku da je promjer

cjevčice mali u odnosu na njenu duljinu. Svinuta cjevčica može raditi poput primitivne

pumpe, koja podiže fluid na visinu H (slika lijevo) ili poput turbine, koja pretvara

raspoloživu visinu H u mehanički rad (slika desno). Ako se cjevčici snaga niti dovodi niti

odvodi govori se o slobodnorotirajućoj cijevi (ako se zanemare učinci trenja to bi bio slučaj

poljevača trave). Jasno je da za slučaj pumpe cjevčica prije početka rotacije mora biti

ispunjena fluidom, inače se strujanje ne bi uspostavilo.


strojevima

Mehanika fluida 66

H

ρ

pa

pa

R

ω=konst.

ω

g

w

vu

β=90o

D

1

2

ρ

ω=konst.

ω

β

H

Dg

pa

pa

1

vqR

w

v

u

2

Primitivna pumpa

Bernoullijeva jednadžba za rotirajuću

strujnicu:

( )

2

22

02

u

w RH

g

ω−= +

Iz trokuta brzina je: v u Rθ ω= =

(brzina vθ je uvijek pozitivna tj. gleda u

smjeru brzine u�

pa će moment i snaga biti

pozitivni, odnosno radi se o pumpi).

Primitivna turbina

Bernoullijeva jednadžba za rotirajuću

strujnicu:

( )

2

22

2

u

w RH

g

ω−=

Iz trokuta brzina je: cosv u wθ β= −

(ako je brzina vθ pozitivna radi se o pumpi,

ako je negativna radi se o turbini, a ako je

jednaka nuli o slobodnorotirajućoj cijevi)

Jednadžba kontinuiteta: 2

konst.4

DQ w

π= =

Visina dobave pumpe: P

uvh

gθ= (kod turbine će se dobiti negativna visina dobave)

Snaga koja se predaje fluidu: P PP gQhρ= (za turbinu negativno)

Moment sile kojom cjevčica djeluje na fluid: P

PM

ω=


strojevima

Mehanika fluida 67

8.5. Primjena na hidrauličke strojeve

8.5.1. Primitivna teorija propelera

Ova se teorija temelji na idealiziranoj slici strujanja uz pretpostavku neviskoznog strujanja

fluida i definira samo okvirne odnose među integralnim veličinama karakterističnim za

propeler, pa se ovom teorijom propeleri ne mogu projektirati. Analizirat će se slučaj

avionskog propelera koji se giba konstantnom brzinom v∞ u mirujućem zraku. Iz

koordinatnog sustava vezanog na propeler izgledat će kao da fluid nailazi na propeler

brzinom v∞ . Sljedeća slika shematski prikazuje propeler i odabrani kontrolni volumen.


strojevima

Mehanika fluida 68

Površina 1A kroz koju fluid ulazi u kontrolni volumen je dovoljno daleko ispred propelera,

tako da je profil brzine jednolik, a u tom presjeku vlada neporemećeni tlak p∞ .

Neposredno ispred i neposredno iza propelera (presjeci 2A i 3A ) površine su jednake

2 3 PA A A= = , a prema jednadžbi kontinuiteta i brzine su jednake 2 3 Pv v v= = , a zbog

snage koju propeler predaje fluidu tlak 3p iza propelera će biti veći od tlaka 2p ispred

propelera. Dovoljno daleko iza propelera tlak će se smanjiti na vrijednost neporemećenog

tlaka p∞ , a brzina će narasti na vrijednost 4 ∆v v v∞= + . U izlaznom presjeku 4A

pretpostavlja se jednoliki profil brzine. Preostali dio kontrolne površine čini strujna

površina kroz koju nema protoka i na kojoj se pretpostavlja neporemećeni tlak p∞ .

Prema jednadžbi kontinuiteta protok Q kroz propeler je

( )1 P P 4 4 4∆Q v A v A v A v v A∞ ∞= = = = +

Komponenta sile fluida na propeler u pravcu gibanja propelera je ( )3 2 PF p p A= − i

djeluje suprotno od vektora brzine v∞�

. Prema jednadžbi količine gibanja, ta je sila jednaka

zbroju impulsnih funkcija na ulaznoj i izlaznoj površini, gdje se impulsne funkcije

računaju s pretlakom u odnosu na tlak p∞ , te vrijedi: 2

4 4 4 4I v A Qvρ ρ= = i 2

1 1I v A Qvρ ρ∞ ∞= = , dok je impulsna funkcija po plaštu kontrolnog volumena jednaka nuli

(vidjeti sliku gore desno). Sila F je dakle po veličini jednaka

( ) ( )3 2 P 4F p p A Q v vρ ∞= − = −

Bernoullijeve jednadžbe između presjeka 1 i 2, odnosno presjeka 3 i 4 glase

2 2

2 P

1 1

2 2p v p vρ ρ∞ ∞+ = + i 2 2

3 P 4

1 1

2 2p v p vρ ρ∞+ = +

čijom kombinacijom se dobije

( )2 2

3 2 4

1

2p p v vρ ∞− = − , što uvršteno u izraz za silu F daje relaciju

4 ∆

2 2P

v v vv v∞

∞

+= = +

Snaga P koju propeler predaje fluidu je definirana Bernoullijevom jednadžbom između

presjeka 1 i 4 između kojih je propeler, te vrijedi

2 2

4

2 2

v v P

g g gQρ∞= +

odakle je ( )2 2

4 P

1∆

2P Q v v Qv vρ ρ∞= − = .

Korisna snaga propelera je ona snaga koja se troši na potisak aviona, a definirana je

izrazom

( )k 4 ∆P Fv Q v v v Qv vρ ρ∞ ∞ ∞ ∞= = − = ,

a faktor korisnosti propelera

( )

( )4k

2 2 P4

2 1

1 ∆2 ∆1

2 2

Q v v vP v vvP v v vQ v v

v

ρη

ρ

∞ ∞ ∞ ∞

∞∞

∞

−= = = = =

+− +


strojevima

Mehanika fluida 69

Primjer: Avion leti brzinom 320v∞ = km/h kroz mirujući zrak gustoće 1,22ρ= kg/m3, pri

čemu kroz njegova dva propelera promjera 800D= mm protječe 100Q= m3/s zraka.

Odredite teorijski faktor korisnosti propelera, potisnu silu, skok tlaka kroz propeler i snagu

potrebnu za pogon propelera.

Rješenje: Brzina aviona je 88.9v∞ = m/s, a brzina zraka kroz propeler kroz koji je protok

/ 2Q

P 2

42 99,5

Q

vD π

= = m/s

Teorijski faktor korisnosti propelera je P

0.894v

vη ∞= = ,

a brzina 4v iza propelera je 4 P2 110.1v v v∞= − = m/s.

Potisna sila od oba propelera je ( )4 2,58F Q v vρ ∞= − = kN,

A skok tlaka kroz propeler 3 2 22 2.57

4

Fp p

D π− = = kPa.

Snaga koju propeler predaje fluidu je ( )2 24

1256.8

2P Q v vρ ∞= − = kW.

8.5.2. Primjena na centrifugalni stroj


strojevima

Mehanika fluida 70

z

b1

b2

Q

g

rotor

kućište

lopatica

R2

R 1

lopaticaω=konst.

w2

w1

v2

v1

u2

u1

n2

n1

β2

β1

Pretpostavke:

1. Rotor se okreće konstantnom kutnom

brzinom ω .

2. Strujanje između lopatica je u

radijalnom smjeru (visina lopatice na

ulazu je 1b , a na izlazu iz rotora 2b ).

3. Kontrolni volumen obuhvaća prostor

između lopatica. Kontrolna površina se

sastoji od ulaznog dijela veličine

1 1 12S R bπ= , izlaznog dijela veličine

2 2 22S R bπ= te plašta, kroz kojeg nema

protoka.

4. Na rotoru se pretpostavlja beskonačno

puno beskonačno tankih lopatica, što znači da će se oblik strujnica gledano iz

koordinatnog sustava koji rotira zajedno s

rotorom poklapati s oblikom lopatica, a da

će strujanje fluida biti punim presjekom.

5. Strujanje je neviskozno i nestlačivo

6. Utjecaj sile težine se zanemaruje

Promatrač iz koordinatnog sustava koji rotira zajedno s rotorom mjeri relativnu brzinu w�

koja je tangencijalna na lopatice. Obodna brzina u rω= ×� ��

je na ulazu u rotor po veličini

jednaka 1 1u Rω= , a na izlazu 2 2u Rω= i okomita je na radijus. Apsolutna brzina v�

je

zbroj obodne i relativne brzine v u w= +� � �

, što se prikazuje trokutom brzina. Kut β je kut

lopatice, a označuje kut između vektora relativne brzine w�

(tangenta na lopaticu) i

negativne obodne brzine u−�

. Sljedeće slika prikazuje primjer trokuta brzina, na kojem je

označen i kut α definiran kao kut između obodne i apsolutne brzine.

Jasno je da vrijede relacije: 2 2 2 2 cosv u w uw β= + −

cosv u wθ β= −

n sinv w β=

Apsolutna brzina se može rastaviti u radijalni i obodni smjer, gdje je radijalna komponenta

okomita na ulazni i izlazni presjek, pa se označuje s nv , a obodna s vθ . Ako se jedinični

vektori u radijalnom i obodnom smjeru označe s re�

i eθ�

(neka uvijek gleda u smjeru

obodne brzine) tada vrijedi n rv v e v eθ θ= +� � �

.

Jednadžba kontinuiteta za kontrolni volumen kaže da je protok kroz ulaznu i izlaznu

površinu jednak

1 1 n1 2 2 n22 2Q R b v R b vπ π= =

u�

w�

v�

nv

vθ

β α


strojevima

Mehanika fluida 71

Primjenom zakona momenta količine gibanja za komponentu momenta sile fluida u

odnosu na os rotacije (kojoj ne doprinose sile tlaka, a viskozne sile su zanemarene) slijedi

izraz za moment kojim fluid djeluje na rotor, što je po definiciji moment turbine TM

( )T 2 2 1 1M Q R v R vθ θρ=− −

Moment pumpe je dakako suprotnog predznaka, pa vrijedi

( )P 2 2 1 1M Q R v R vθ θρ= −

Uobičajeno je uvijek raditi s izrazima za pumpu, a ako se dobije negativan rezultat, to

ukazuje da se radi o turbini. Snaga pumpe je definirana izrazom

( )P P 2 2 1 1P M Q u v u vθ θω ρ= = −

Visina dobave pumpe je

( ) ( ) ( )PP 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1

1 1cos cos

Ph u v u v u u w u u w

gQ g gθ θ β βρ

= = − = − − −

što se naziva osnovnom Eulerovom jednadžbom za turbostrojeve. Iz te je jednadžbe jasno

da će visina dobave pumpe biti maksimalna pri 1 0vθ = (što znači da je apsolutna brzina na

ulazu u lopatice okomita na obodnu brzinu), a pad visine energije u turbini pri 2 0vθ = .

Bernoullijeva jednadžba duž strujnice od ulaza do izlaza iz pumpe kaže da će se energija

na izlazu povećati za visinu dobave pumpe, tj. vrijedi

2 2

2 2 1 12 1 P

2 2

v p v pz z h

g g g gρ ρ+ + = + + +

Ako se u Bernoullijevoj jednadžbi apsolutne brzine prikažu preko obodne i relativne brzine

( 2 2 2 2 cosv u w uw β= + − ), te uvrsti izraz za visinu dobave pumpe, slijedi Bernoullijeva

jednadžba za rotirajuću strujnicu

2 2 2 2

2 2 2 1 1 12 1

2 2

w u p w u pz z

g g g gρ ρ

− −+ + = + +


strojevima

Mehanika fluida 72

8.5.3. Primjena na Pelton turbinu

u= Rω

R

vA

w

w

w

w=v-u

β

u

Kada se usporedi slučaj lopatice Pelton turbine, koja se giba obodnom brzinom u Rω= s

pomičnom lopaticom u prethodnom primjeru, jasno je da će trokut brzina na izlazu mlaza s

lopatice biti isti, pa će i izraz za pad visine energije biti isti. Međutim bitna je razlika u

tome što je razmak između mirujuće mlaznice i pokretnih lopatica stalno jedan te isti, pa se

apsolutni protok ne gubi na popunjavanje prostora između mlaza i lopatica, nego sav

protok fluida prijeđe preko lopatica (pri čemu mlaz može biti u zahvatu s više lopatica),

tako da je snaga turbine jednaka ( )T T 1 cosP gQh Quwρ ρ β= = − . Uzimajući u obzir da na

Pelton turbinu može djelovati više mlazova (npr. n mlazova), te da je w v u v Rω= − = − ,

teorijski izraz za snagu Pelton turbine je

� � ( )T 1 cosQ w

P n u vA v uρ β = − −

Maksimalna snaga T maxP turbine je pri 180β = i pri obodnoj brzini 2

vu= , pri čemu je

3

T max

1

2P v Aρ= , što odgovara raspoloživoj snazi mlaza, tako da je teorijski faktor

korisnosti jednak jedinici. U tom bi slučaju apsolutna brzina mlaza na izlasku s lopatice

bila jednaka nuli, dakle sva snaga mlaza bi bila pretvorena u snagu turbine.


strojevima

Mehanika fluida 73

8.5.4. Primjena na aksijalni tubostroj

Nestlačivi fluid struji pri stalnom tlaku protokom Q kroz lopatice radnog kola turbine

prema slici, koja rotira stalnom kutnom brzinom ω. Uz pretpostavku neviskoznog strujanja

i beskonačno mnogo beskonačno tankih lopatica, treba odrediti snagu P turbine. Također

pretpostaviti da je visina lopatice puno manja od polumjera radnog kola, tako da se vijenac

lopatica smije razmotati u ravninu i strujanje kroz lopatice smatrati ravninskim.

R

r

ω=konst

Q

β2β1

u

1 2β β=

razmotani vijenac lopatica


strojevima

Mehanika fluida 74

Rješenje:

Kao što je u zadatku pretpostavljeno visina lopatice R-r je puno manja od srednjeg

polumjera ( ) 2+R r , te se s dovoljnom točnošću strujanje može smatrati ravninskim.

Razmotani vijenac lopatica se tada giba prosječnom translatornom brzinom u koja je

definirana izrazom

2

ω+

=R r

u (a)

Zbog stalne brzine vrtnje i brzina u je stalna brzina, a koordinatni sustav vezan čvrsto za

vijenac lopatica je inercijski. Pretpostavka beskonačnog broja beskonačno tankih lopatica

osigurava da sve strujnice u strujanju kroz prostor između lopatica imaju oblik lopatice, tj.

relativna brzina strujanja fluida kroz lopaticu je tangencijalna na lopaticu. Apsolutna brzina

v�

je zbroj obodne brzine u�

i relativne brzine w�

, = +v u w� � �

. Zbroj = +v u w� � �

geometrijski se predočuje trokutom brzina.

β2β1

v2

v1

u

u

u

w2

w1 .

Slika (a)

Slika (a) prikazuje trokut brzina na ulazu u vijenac lopatica

(gdje relativna brzina 1w�

gleda u kontrolni volumen) i na

izlazu iz vijenca (gdje relativna brzina 2w�

gleda od

kontrolnog volumena koji obuhvaća unutarnjost vijenca

lopatica). Relativna brzina 1w�

čini s obodnim smjerom kut

β1, a na izlazu brzina 2w�

čini kut β2. Obodna brzina u�

je

jednaka na ulaznom i izlaznom presjeku kontrolnog

volumena. Osnovni zakoni u pomičnom koordinatnom

sustavu čvrsto vezanom za vijenac lopatica koji se giba

stalnom brzinom u imaju isti oblik kao i u nepomičnom

koordinatnom sustavu s jedinom razlikom da se umjesto

apsolutne brzine koristi relativna brzina.

Zanemarujući promjenu geodetske visine od ulaza do izlaza iz vijenca lopatica, te uz

pretpostavku strujanja pri stalnom tlaku, iz Bernoullijeve jednadžbe 2 2

1 1 2 21 2

2 2

p w p wz z

g g g gρ ρ+ + = + + slijedi jednakost veličina relativnih brzina 1 2= =w w w .

Prema jednadžbi kontinuiteta je protok Q kroz izlaznu površinu jednak protoku Q kroz

ulaznu površinu, tj. 1 1 1 2 2 2sin sinβ β= =Q A w A w . Očito da za 1 2=w w i uz zadane 1 2β β=

slijedi 1 2=A A , odnosno jednakost ulazne i izlazne površine.

β2β1

u

Slika (b) prikazuje kontrolni volumen s ucrtanim impulsnim

funkcijama 1 1ρ=I Qw� �

i 2 2ρ=I Qw� �

. U impulsnim funkcijama se ne

pojavljuje tlak p jer je pretpostavljeno strujanje pri konstantnom

tlaku, te se sile tlaka međusobno poništavaju. Množenjem ρw�

u

impulsnoj funkciji s ukupnim protokom Q impulsna funkcija je

obračunata po čitavoj površini. Aksijalna sila koja djeluje od ulazne

prema izlaznoj površini je


strojevima

Mehanika fluida 75

Slika (b) ( )a 1 1 2 2 1 2sin sin sin sinβ β ρ β β= − = −F I I Qw (b)

Očito će zbog β1=β2 aksijalna sila biti jednaka nuli. Sila F u obodnom smjeru u kojem se

giba vijenac lopatica je

( )1 1 2 2 1 2cos cos cos cosβ β ρ β β= + = +F I I Qw (c)

Snaga P turbine je jednaka

( )1 2cos cosρ β β= ⋅ = +P F u Qwu (d)

Visina pada energije u turbini je

( )T 1 2cos cosβ βρ

⋅= = +

P w uh

gQ g (e)

Do istog se rezultata za snagu P turbine može doći i primjenom Bernoullijeve jednadžbe iz

nepomičnog koordinatnog sustava. Ako se zanemari promjena geodetske visine i uzme u

obzir da je strujanje pri konstantnom tlaku iz Bernoullijeve jednadžbe slijedi da je pad

visine energije hT kroz vijenac lopatica jednak razlici kinetičkih energija na ulazu i izlazu

iz vijenca, tj.

2 2

1 2T

2 2= −

v vh

g g (f)

Gledajući sliku (a) kvadrati apsolutnih brzina se mogu izraziti s pomoću obodne brzine u i

relativne brzine w u obliku

( ) ( )

( ) ( )

2 22

1 1 1

2 22

2 2 2

sin cos

sin cos

β β

β β

= + +

= + −

v w w u

v w w u (g)

Uvrštavanjem jednadžbe (g) u (f) slijedi

( )T 1 2cos cosβ β⋅

= +w u

hg

(h)

što odgovara izrazu (e). Iz jednadžbe (f) je očito da će pad visine energije u turbini biti

maksimalan ako je apsolutna brzina v2 na izlazu minimalna. Iz slike (a) je vidljivo da će za

zadani kut β2 i relativnu brzinu w2, brzina v2 biti minimalna, ako je okomita na brzinu u.

Konačno, zadatak se mogao riješiti i primjenom jednadžbe momenta količine gibanja, po

kojoj je moment M fluida na vijenac lopatica jednak zbroju momenata količine gibanja na

ulaznoj i izlaznoj površini. Uz pretpostavku da je polumjer r kola velik u odnosu na visinu

lopatica R-r, moment količine gibanja na ulaznoj i izlaznoj površini se može izračunati kao

moment impulsne funkcije. Komponenta impulsne funkcije u obodnom smjeru je cosβI ,

prema slici (b), a srednji krak do osi vrtnje je ( ) 2+R r . Moment sile težine se


strojevima

Mehanika fluida 76

zanemaruje, a s obzirom da je tlak na ulaznoj i izlaznoj površini jednak, jednadžba za

moment M sile fluida na lopaticu glasi

( )1 1 2 2 1 2cos cos cos cos2 2 2

β β ρ β β+ + +

= + = +R r R r R r

M I I Qw (i)

Snaga P je

( ) ( )1 2 1 2cos cos cos cos2

ω ω ρ β β ρ β β+

= ⋅ = + = +R r

P M Qw Qwu (j)

što je jednako izrazu (d).

9. Hidraulički proračun cjevovoda

Mehanika fluida 77

9. HIDRAULIČKI PRORAČUN CJEVOVODA

9.1. Osnovne jednadžbe

Hidraulički proračun cjevovoda se temelji na jednadžbi kontinuiteta

konst.Q vA= =

i modificiranoj Bernoullijevoj jednadžbi, koja za strujanje od presjeka 1 prema presjeku 2

cijevi glasi

2 2

1 1 2 21 1 P T 2 2 F

2 2

p v p vz h h z h

g g g gα α

ρ ρ+ + + − = + + +

gdje je hP visina dobave pumpe, hT pad visine energije u turbini, a hF ukupna visina

gubitaka između promatranih presjeka. Visina hF gubitaka mehaničke energije (pretvorbe

mehaničke energije u unutarnju) se dijeli na linijske gubitke hf i lokalne gubitke hfm, tj.

vrijedi F f fmh h h= + .

9.2. Modeliranje linijskih gubitaka

Linijski gubici hf se modeliraju s pomoću izraza Darcy-Weissbacha koji glasi

2 2

ff 2 5

8

2

p L v LQh

g D g D g

∆λ λ

ρ π= = =


Mehanika fluida 78

gdje je λ faktor trenja koji je određen eksperimentalno, a u općem je slučaju funkcija

Reynoldsova broja

4vD Q

ReD

ρ ρ

µ π µ= = ili

4vD QRe

Dυ π υ= =

i relativne visine k/D hrapavosti stijenke cijevi. U gornjim izrazima: L je duljina

cjevovoda; D je promjer cjevovoda; v je srednja brzina strujanja fluida; Q je protok; µ je

dinamička viskoznost fluida, a /=υ µ ρ kinematička viskoznost.

Za strujanje u okruglim cijevima se uzima da je ono laminarno do Re=2300, a pri višim

Reynodsovim brojevima se uzima da je turbulentno, iako je u području Reynoldsova broja

od 2300 do približno 4000 faktor trenja vrlo nepredvidiv, te je pouzdanost proračuna slaba.

Za laminarno strujanje postoji analitičko rješenje za faktor trenja

64

Reλ = , za Re<2300

iz kojeg je jasno da faktor trenja u laminarnom strujanju ne zavisi od hrapavosti stijenke

cijevi. U području turbulentnog strujanja najtočnijom se smatra formula Colebrooka koja

glasi

1 2 5119

0 86859 ln 0 2698k ,

, ,D Reλ λ

= − ⋅ +

Iz koje bi se faktor trenja odredio iterativnim postupkom, što je nepraktično, te se

preporuča koristiti eksplicitnu formulu Swamee-Jain, koja je dovoljno točna, a primjenjiva

praktički za čitavo područje Moodyjeva dijagrama uz Re>5000, a koja glasi

2

0 9

1 325

5 74ln

3 7 ,

,

k ,

, D Re

λ =

+

Ovaj izraz vrijedi i za hidraulički glatke cijevi (k/D=0) i za područje potpuno izražene

turbulencije ( Re → ∞ ).

Zavisnost faktora trenja λ od Reynoldsova broja Re i relativne visine k/D hrapavosti

stijenke cijevi je prikazana grafički Moodyevim dijagramom, prema sljedećoj slici. Uz

dijagram su dane neke tipične visine hrapavosti stijenke.


Mehanika fluida 79

Moodyjev dijagram


Mehanika fluida 80

Treba imati na umu da prikazani model linijskih gubitaka vrijedi za strujanje ustaljenim

(izobraženim) profilom brzine, gdje je pad tlaka uslijed trenja linearno razmjeran duljini

cjevovoda. U određenim dionicama cjevovoda, npr. ulazni dio cjevovoda priključen na

veliki spremnik, strujanje iza koljena, ventila, naglog proširenja i slično, strujanje neće biti

ustaljenim profilom. U realnim cjevovodima je duljina dionica u kojima je strujanje

ustaljenim profilom brzine obično puno veća od duljine dionica s neustaljenim profilom te

se prikazani model s dovoljnom točnošću može primijeniti na čitavu duljinu cjevovoda.

9.3. Modeliranje lokalnih gubitaka

Lokalni gubici strujanja nastaju pri strujanju kroz koljena, ventile, zasune, filtre, nagla

proširenja i slično. Gledajući lokalno u svim nabrojanim situacijama, strujanje je

trodimenzijsko, ali se pretpostavlja da su dimenzije prostora u kojem se to strujanje događa

zanemarivo male u odnosu na ukupnu duljinu cjevovoda pa se takav prostor može smatrati

točkom cjevovodnog sustava, a nastali gubitak lokalnim ili mjesnim. Jasno je da je gubitak

mehaničke energije vezan uz strujanje pa će i visina lokalnih gubitaka biti razmjerna visini

kinetičke energije u obliku

2 2

fm 2 4

8

2

v Qh K K

g D gπ= =

gdje je K koeficijent lokalnog gubitka. Usporedbom Darcy-Weissbachove formule s

gornjim izrazom može se reći da se i linijski gubici mogu izraziti koeficijentom gubitka

K L Dλ= . U općem je slučaju koeficijent K funkcija Reynoldsova broja i relativne visine

hrapavosti stijenke. Kao što i faktor trenja λ pri visokim vrijednostima Reynoldsova broja

postaje konstantnim tako se i koeficijent lokalnog gubitka može smatrati konstantnim pri

visokim vrijednostima Reynoldsova broja. Za slučaj da ulazna i izlazna brzina nisu jednake

uz koeficijent lokalnog gubitka mora točno stajati na koju visinu kinetičke energije se on

odnosi, iako se najčešće koristi najveća visina kinetičke energije. Tako je na sljedećoj slici

definiran koeficijent lokalnog gubitka naglog proširenja (koji se može dobiti teorijskim

razmatranjima), a s obzirom da ulazna i izlazna brzina nisu jednake definiran je i izraz za

visinu lokalnih gubitaka da se zna uz koju visinu kinetičke energije se gubici računaju.

D2D1v1 v2

22

1

2

2

1D

KD

= −

2

1fm

2

vh K

g= ⋅

Posebni slučaj naglog proširenja je utjecanje u veliki spremnik gdje se može uzeti da je

2 1D D>> te vrijedi da je K=1, kao što je i prije prikazano. Sljedeća tablica daje pregled

nekih tipičnih lokalnih gubitaka.

Lokalni gubitak Koeficijent lokalnog gubitka K

Ulaz iz spremnika u cijev: oštri rubovi

lijepo zaobljeni rubovi

0,50

0,04

Koljeno 90° - veliki radijus luka

- mali radijus luka

0,20

0,70

Kuglasti ventil: potpuno otvoren

1/3 zatvoren

0,05

5,50

Ventil s pladnjem – potpuno otvoren 10,00


Mehanika fluida 81

9.3.1. Veza među faktorom brzine i koeficijentom lokalnog gubitka

Pri analizi istjecanja kroz otvore uveden je pojam faktora brzine Cv kojim se uzima u obzir

gubitak mehaničke energije uslijed trenja. Isti se ti gubici mogu obuhvatiti koeficijentom

lokalnog gubitka K.

0

pa

pa

h

1

Gledajući sliku može se pisati izraz za brzinu istjecanja

2vv C gh= , a modificirana Bernoullijeva jednadžba od

točke 0 to točke 1 uz postojanje lokalnih gubitaka glasi

2 2

2 2

v vh K

g g= + ⋅

Usporedbom tih izraza slijedi veza između koeficijenta brzine

Cv i koeficijenta lokalnog gubitka K, oblika 2

11

v

KC

= −

Očito je da za Cv=1 (strujanje bez gubitaka), slijedi K=0.

9.3.2. Ekvivalentna duljina cjevovoda

Kod strujanja kroz cijev konstantnog promjera lokalni gubici se mogu zamijeniti

ekvivalentnom duljinom cjevovoda. Sljedeća slika prikazuje energetsku liniju za strujanje

kroz cijev konstantnog promjera s ugrađenim ventilom, koja ima skokoviti pad visine

energije na mjestu lokalnog gubitka.

LL Le

Lue

E.L.E.L.

Na desnoj slici je lokalni gubitak ventila zamijenjen ekvivalentnom duljinom Le cjevovoda,

tj. cijev je fiktivno produljena da bi pad tlaka u oba slučaja bio isti. Jasno ja da vrijedi

2 2

2 2

ev L vK

g D gλ= iz čega je e

KL D

λ=


Mehanika fluida 82

9.4. Hidraulički proračun cjevovoda nekružnog poprečnog presjeka

Opisani postupak za hidraulički proračun cjevovoda kružnog poprečnog presjeka se može

primijeniti i za proračun cjevovoda nekružnog poprečnog presjeka. Proračun se temelji na

ekvivalentnom promjeru De, a vrijedi za slučaj turbulentnog strujanja fluida. Ekvivalentni

promjer je definiran kao

Te H4 4

SD R

O= =

gdje je ST ploština poprečnog presjeka toka, a O oplakani opseg (duljina linije dodira fluida

i stijenke cijevi). Odnos T HS O R= se naziva hidrauličkim radijusom. Na sljedećoj slici su

definirani ekvivalentni promjeri za neke tipične situacije strujanja fluida.

Slučaj strujanja Ekvivalentni promjer

Strujanje punim pravokutnim presjekom

a

b

e

2abD

a b=

+

Strujanje u otvorenom pravokutnom kanalu

a

c

e

4

2

acD

a c=

+

Strujanje između dvije koaksijalne cijevi

D 1

D2

e 2 1D D D= −

Faktor trenja λ za ustaljeno strujanje kroz cijevi nekružnog presjeka se također očitava iz

Moodyjeva dijagrama ili računa iz formule Swamee-Jaina s tim što su Reynoldsov broj

ev DRe

υ

⋅= i relativna visina hrapavosti

e

kD definirani na temelju ekvivalentnog

promjera.

Srednja brzina v u svim izrazima se definira omjerom protoka i stvarne ploštine poprečnog

presjeka toka T

Qv

S= . Izraz za visinu linijskih gubitaka glasi

2

f

e 2

L vh

D gλ= u kojem v

ponovo označuje stvarnu srednju brzinu strujanja fluida.


Mehanika fluida 83

9.5. Ilustracija modificirane Bernoullijeve jednadžbe

Modificirana Bernoullijeva jednadžba 2 2 2 2

1 21 1 P 2 24 4 4 2 4 22 2

1 2

8 8 8 8

f fm

T

h h

p Q p Q L Q Qz h h z K

g g D D g D gD g D gα α λ

ρ ρ π ππ π+ + + − = + + + +∑ ∑

��

koja se za slučaj postojanja pumpe u cjevovodu prema slici može svesti na oblik 2 2 2 2

P 1 24 2 4 2 4 2 4 2

8 8 8 8a ap p L Q Q Q Qh H K K

g g D D g D g D g D gλ

ρ ρ π π π π+ = + + + + +

može se grafički ilustrirati crtanjem energetske linije, hidrauličke gradijentne linije i

geodetske linije

pa

ρ,

ν

g

K

K1

D

L H

K2

D

pa/ρ g

ρ, ν

g

K1 L

H

pa/ρ g

2

2

2

vK

g

2

1

2

v

g

L

Dλ

2

2

2

vK

g

2

2

2

v

g

L

Dλ

ph

2

1

2

v

g

L

Dλ

2

2

v

g

E.

H.G

H.G

2

2

v

g


Mehanika fluida 84

9.6. Postupci proračuna jednostavnih cjevovoda

Kategoriji hidraulički jednostavnih cjevovoda pripadaju svi cjevovodi jednostavne

topološke strukture (cjevovod može biti po volji razgranat, ali cjevovod ne smije biti

zatvoren u prsten) kod kojih se problem proračuna svodi na postavljanje jedne

modificirane Bernoullijeve jednadžbe, a koja se za slučaj postojanja pumpe u cjevovodu

može svesti na oblik 2 2 2 2

1 21 1 P 2 24 4 4 2 4 22 2

1 2

8 8 8 8

f fmh h

p Q p Q L Q Qz h z K

g g D D g D gD g D gα α λ

ρ ρ π ππ π+ + + = + + + +∑ ∑

��

(a)

Ovom se izrazu pridodaje izraz za faktor trenja

2

0 9

1 325

5 74ln

3 7 ,

,

k ,

, D Re

λ =

+

(b)

i izraz za Reynoldsov broj

4 Q

ReD

ρ

π µ= (c)

što čini osnovni sustav jednadžbi za hidraulički proračun jednostavnih cjevovoda. Iz ovog

sustava triju jednadžbi mogu se izračunati tri nepoznanice. S obzirom da se radi o sustavu

nelinearnih jednadžbi one će se u većini slučajeva rješavati iterativnim postupkom.

Ako je npr. poznata geometrija cjevovoda (kao na slici uz ilustraciju Bernoullijeve

jednadžbe) i raspoloživa visina energije za svladavanje gubitaka hp, a potrebno je odrediti

protok Q, sustav jednadžbi (a) do (c) se rješava iterativnim postupkom. 2 2 2 2

P 1 24 2 4 2 4 2 4 2

8 8 8 8a ap p L Q Q Q Qh H K K

g g D D g D g D g D gλ

ρ ρ π π π π+ = + + + + + (a)

2

0 9

1 325

5 74ln

3 7 ,

,

k ,

, D Re

λ =

+

(b)

4 QRe

D

ρ

π µ= (c)

Iterativni postupak započinje pretpostavkom o faktoru trenja. Obično se pretpostavlja

turbulentno strujanje u režimu potpuno izražene hrapavosti (vrijednost faktora trenja se

očita iz Moodyjeva dijagrama ili izračuna iz formule Swamee-Jaina uz pretpostavku

Re=∞). S tom vrijednošću λ se ulazi u izraz (a) te se izračunava protok.

( )( )

2 5

P

1 28

g D h HQ

K D L K D D

π

λ

−=

+ + + (a)

S tako izračunatim protokom Q se računa Reynoldsov broj iz izraza (c), te se ponovo

računa nova vrijednost faktora trenja λ iz izraza (b). Nakon toga se postupak ponavlja.

Iterativni postupak se smatra završenim kada se vrijednost protoka Q prestane mijenjati u

prve tri signifikantne znamenke, a najčešće su potrebne svega dvije ili tri iteracije.

Iterativni postupak se prikazuje kroz sljedeću tablicu, koja se popunjava redak po redak


Mehanika fluida 85

Broj iteracije λ Q Re 0

1

…

9.7. Energetske karakteristike pumpe

9.7.1. Realna karakteristika hidrauličkog stroja

Eulerova jednadžba i trokut brzina za hidrauličke strojeve

( ) ( ) ( )P 2 2 2 2 1 1 1 1 2 12 1

1 1cos cosh u u w u u w u v u v

g g θ θβ β = − − − = −

Iz jednadžbe jasno da će visina dobave pumpe biti maksimalna pri 1 0vθ = (što znači da je

apsolutna brzina na ulazu u lopatice okomita na obodnu brzinu)

( )2 2 2 22 2 22P 2 2 2

coscos

u u wu v r Qh r

g g g Aθ

β ωω β − = = = −

Iz Eulerove jednadžbe za hidrauličke strojeve slijedi da je visina dobave pumpe linearno

zavisna od protoka. Ovaj izraz je izveden pri pretpostavci strujanja neviskoznog fluida i

beskonačnog broja beskonačno tankih lopatica. Idealna karakteristika pumpe prikazana je

na dijagramu ispod. Realna karakteristika pumpe (prikazana na dijagramu ispod lijevo)

ima visinu dobave pumpe umanjenu za gubitke nastalih konačnim brojem konačno tankih

lopatica, gubicima trenja i sudarnim gubicima.

u�

w�

v�

nv

vθ

β α

Idealna karakteristika β = 900

Idealna karakteristika β <900

hp

Utjecaj konačnog

broja lopatica

Utjecaj viskoznog

trenja

Utjecaj

sudarnih

Realna karakteristika

Radna točka

hp

karakteristika

cjevovoda

faktor

korisnosti

karakteristika pumpe


Mehanika fluida 86

9.7.2. Radna točka pumpe

U otvorenim cjevovodnim sustavima visinom dobave pumpe se svladava razliku energija

21∆h i gubitke trenja, dok u zatvorenim (cirkulacijskim) sustavima pumpa svladava samo

gubitke trenja. Uz pretpostavku da su gubici razmjerni kvadratu protoka, potreba za

visinom dobave pumpe može se općenito prikazati funkcijom 2

21∆h h rQ= + što označuje

parabolu koja se naziva karakteristikom cjevovoda. Dijagram (slika gore desno) prikazuje

primjer na kojem je prikazana karakteristika pumpe (plava krivulja) s ucrtanom

karakteristikom cjevovoda (crna krivulja). Crtkana plava krivulja označuje faktor

korisnosti pumpe. Visina dobave pumpe je maksimalna kod nultog protoka, a maksimalni

je protok pri nultoj visini dobave pumpe. Radna točka pumpe definirana je presjekom

karakteristike pumpe i karakteristike cjevovoda. Pumpu treba izabrati tako da radna točka

padne u područje maksimalnog faktora iskoristivosti pumpe.

9.7.3. Zakoni sličnosti

Karakteristika pumpe dana je izrazom

P 2 2 2 2 2cosp

Qe g h r r

Aω ω β = ⋅ = −

ili ( , , , ) 0pe D QωΦ =

primjenom dimenzione analize izvodi se bezdimenziona zavisnost

2 2 2 2 3( )

p pe g h Qf f

D D Dψ ϕ

ω ω ω

⋅ = = = =

Dakle svi hidrodinamički slični strojevi opisani su jednom bezdimenziskom krivuljom

( )fψ ϕ=

Primjer: Ista pumpa radi na dva različita broja okretaja

Ukoliko obije pumpe rade u istim režimima rada oba bezdimenzijska parametra moraju biti

jednaka (promjer rotora D identičan je za oba režima rada)

1 2 1 2ψ ψ ϕ ϕ= = odnosno 2 2 2 2 3 3

1 21 2

p pg h g h Q Q

D D D Dψ ϕ

ω ω ω ω

⋅ ⋅ = = = =

uz D =

const. Izrazi prelaze u oblik2 2

1 11 1 1 1

2 2

2 2 2 22 2

p p

p p

h hQ Q

h Q h Q

ω ω

ωω= = = ili grafički na dijagramu ispod

lijevo


Mehanika fluida 87

9.7.4. Spajanje pumpi

Često se u praksi radi s paralelno ili serijski spojenim pumpama. U paralelnom radu

jednakih pumpi visina dobave je zajednička za sve pumpe, a ukupni protok je jednak

zbroju protoka kroz sve pumpe. U serijskom radu pumpi protok je kroz svaku pumpu

jednak, a ukupna visina dobave jednaka je zbroju visina dobava svih pumpi. Slika gore

desno prikazuje karakteristiku jedne pumpe (plava krivulja), te karakteristike serijskog

rada (zelena krivulja) i paralelnog rada (crvena krivulja) dviju takvih pumpi.

hp Krivulje sličnosti

21 1

2

2 2

p

p

h Q

h Q=

karakteristika pumpe ω2

karakteristika pumpe ω1 hp

karakteristika pumpe

paralelni rad pumpi

serijski rad pumpi

Documents

MF Skripta