Mfi Mfk Vjezbe

MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS

UDBENICI SVEUILITA U ZAGREBU

FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

Zdravko Virag, Mario avar, Ivo Dijan

M E H A N I K A F L U I D A I

Vjebe

Zagreb, 2015

Mehanika fluida I vjebe

Predgovor

U skriptama su dani osnovni materijali za vjebe iz kolegija Mehanika fluida I koji

se na Fakultetu strojarstva i brodogradnje, Sveuilita u Zagrebu predaje studentima

smjerova: Procesno energetski, Brodostrojarstvo, Inenjersko modeliranje i raunalne

simulacije te na studiju Zrakoplovstva, i Mehanika fluida K koji se predaje studentima

Konstrukcijskog smjera. Skripta su prvenstveno namijenjena za lake razumijevanje

praktinih i primijenjenih znanja u realnim situacijama. Svrha i cilj ovih skripata nije bio

da zamijene zbirke zadataka iz Mehanike fluida I, ve da studentima olakaju praenje

vjebi i omogue bre usvajanje praktinih znanja iz Mehanike fluida I.

Izbor zadataka koji je iznesen u ovim skriptama rezultat je gotovo etrdeset godina

kontinuiranog nastavnog rada na Katedri za mehaniku fluida. Na ovome mjestu se elimo

zahvaliti naim uiteljima i prethodnicima prof. dr. Mladenu Fancevu i prof. dr. Zdravku

Dolineru, koji su znaajno doprinijeli dananjem obliku nastave iz Mehanike fluida I.

U Zagrebu, 20.02.2015.

Zdravko Virag, Mario avar, Ivo Dijan

Mehanika fluida I vjebe I

POPIS NAJVANIJIH OZNAKA

Fizikalna veliina Oznaka Dimenzija Jedinica u

SI sustavu

povrina A, S L2 m2

brzina zvuka c LT-1

m/s

promjer D, d L m

sila F MLT-2

N

gravitacija g LT-2

m/s2

volumenski modul elastinosti K ML-1T-2 Pa

maseni protok m MT-1 kg/s

moment sile M ML2T

-2 Nm

snaga P ML2T

-3 W

tlak p ML-1

T-2

Pa

volumenski protok Q L3T

-1 m

3/s

potencijal masene sile U L2T

-2 m

2/s

2

specifina unutranja energija u L2T-2 J/kg

volumen fluida V L3 m

3

brzina strujanja fluida v LT-1

m/s

rad sile, energija W, E ML2T

-2 J

geodetska visina z L m

gustoa fluida ML-3

kg/m3

koeficijent kinematike viskoznosti L2T

-1 m

2/s

koeficijent dinamike viskoznosti ML-1

T-1

Pas

kutna brzina T-1

rad/s

koeficijent otpora trenja - -

naprezanje , ML-1

T-2

N/m2

kut - rad

II Mehanika fluida I vjebe

PREPORUENA LITERATURA

Virag, Z.: Mehanika fluida odabrana poglavlja, primjeri i zadaci, Sveuilite u Zagrebu,

Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb, 2002.

Fancev, M.: Mehanika fluida, Tehnika enciklopedija, 8, Hrvatski leksikografski zavod,

Zagreb, 1982.

Munson, B. R., Young, D. F., Okiishi, T. H.: Fundamentals of Fluid Mechanics, John

Wiley&Sons, Toronto, 1990.

White, F. M.: Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 2003.

Cengel, Y. A., Cimbala, J. M.: Fluid Mechanics Fundamentals and Applications,

McGraw-Hill, 2006.

Zadaci

Mehanika fluida I vjebe 1

0. Vjebe

0.1 Na visini h=1 m, prema slici, nalazi se otvor cijevi iz koje izlazi mlaz fluida stalnom

brzinom v=8 m/s, pod kutom =49. Uz pretpostavku idealnog fluida i uz

zanemarenje trenja izmeu zraka i fluida odredite maksimalnu visinu H i duljinu L

koju e mlaz dosegnuti.

0.2 estica fluida giba se po zakrivljenoj putanji, prema slici. Odredite ubrzanje estice

fluida za sluaj da je brzina zadana u funkciji puta s, koji se mjeri du putanje.

0.3 Fluid konstantne gustoe struji stalnom brzinom v kroz svinutu cijev konstantnog

poprenog presjeka koja se nalazi u horizontalnoj ravnini. Primjenom zakona koliine

gibanja odredite smjer sile fluida na stijenku cijevi.

gpa

v

en

es

v=ves v=v s( )

s

estica fluida ili materijalna toka

Zadaci

2 Mehanika fluida I vjebe

1. Vjebe

1.1 Izraunati sljedee izraze primjenom pravila za mnoenje Kroneckerovim delta

simbolom:

a) ii , b) ij ij , c) ij ik jk , d) ij jk , e) ij ikA

1.2 Zapiite u indeksnoj notaciji komponente vektora 2f j .

1.3 Direktnim razvojem pokazati da za permutacijski simbol ijk vrijedi:

a) 6ijk kij

b) 0ijk j ka a

1.4 Odredite 2f komponentu vektorskog izraza: ji

j ji

j i

ccf b b

x x

.

1.5 Koristei indeksnu notaciju dokazati vektorske identitete:

a) a b c a c b a b c

b) 0a b a

1.6 Prikazati u indeksnoj notaciji sljedee vektorske identitete:

a) a b c d c a b d d a b c

b) a b c d a c b d b c a d

z = konst.

v

v

Zadaci


1.7 Razviti u indeksnu notaciju i prikazati simboliki sljedee izraze:

a) uv

b) ua

c) ua

d) u

1.8 Primjenom indeksne notacije izraunajte izraz a b b , uz pretpostavku da je a

okomito na b .

1.9 Zapiite u indeksnoj notaciji izraze za:

a) moment sile F u odnosu na ishodite

b) rad sile F na putu d r .

1.10 Izraunajte sferni, simetrini i antisimetrini dio tenzora

0 6 4

T 4 6 2

8 0 6

2. Vjebe

2.1 Odredite fluks vektora : dS

Q v n S po povrini S kocke brida a=2 s centrom u

ishoditu. Povrina S je orijentirana vektorom vanjske normale n , a vektor v je

1 2 1 2 3 2 2 3 3 33 6 3v x x e x x e x x x e .

Zadaci


2.2 Izraunajte vrijednost integrala dS

F pn S , gdje je S povrina kugle polumjera R =

3, sa sreditem u toki S (2,1,3) a n je vanjska normala na povrinu, ako je

2 2 2

1 2 3p x x x . Kolika bi bila vrijednost F za sluaj p = konst?

2.3 Odredite jedan jedinini vektor si u ijem smjeru nema promjene polja 2

1 2 36p x x x

u toki T (1,2,3).

2.4 U toki T fluida tenzor naprezanja ima sljedee komponente u odnosu na koordinatni

sustav 1 2 3x x xO

7 0 2

0 5 0

2 0 4

ij

Odredite :

a) vektor naprezanja na ravninu orijentiranu normalom i2 2 1

, ,3 3 3

n

, te apsolutnu

vrijednost toga vektora.

b) normalnu komponentu naprezanja u toj ravnini, i apsolutnu vrijednost tangencijalnog

naprezanja.

c) kut izmeu vektora normale i vektora naprezanja.

2.5 Zadano je stanje tlanih naprezanja u fluidu tenzorom ij ijp Pokaite da je

vektor naprezanja uvijek paralelan vektoru vanjske normale, te da je komponenta

normalnog naprezanja jednaka p nezavisna od orijentacije povrine.

3. Vjebe

3.1 Blok mase m=10 kg klie po glatkoj povrini kosine nagnute pod kutom =20.

Odredite brzinu U bloka koja e se ustaliti, ako se izmeu bloka i kosine nalazi uljni

film debljine h=0,1 mm. Koeficijent dinamike viskoznosti ulja je =0,38 Pas, a

povrina bloka u dodiru s uljem A=0,15 m2. Pretpostavite linearni profil brzine u

uljnom filmu.

Zadaci


3.2 Newtonska kapljevina gustoe =920 kg/m3, kinematikog koeficijenta viskoznosti

=510-4 m2/s struji preko nepomine stijenke. Profil brzine uz stijenku dan je izrazom

33 1

2 2

u y y

U

gdje je y udaljenost od stijenke, a udaljenost na kojoj je brzina u U . Odredite

veliinu i smjer tangencijalnog naprezanja na povrini stijenke, u zavisnosti od U i

.

3.3 U cilindrinoj posudi polumjera R0=220 mm, nalazi se cilindar polumjera R=216 mm

koji rotira stalnom brzinom vrtnje n=200 o/min za to se troi snaga P = 46 W.

Odredite koeficijent dinamike viskoznosti kapljevine koja ispunjava prostor

izmeu cilindra i posude u kojem pretpostavite linearni profil brzine, a utjecaj dna

zanemarite. Zadano je: h=20 cm.

U=?

m

A

y

u( )y

U

Zadaci


3.4 U jedan krak U-cijevi u kojoj se nalazi voda gustoe =999,1 kg/m3 nadoliveno je

ulje gustoe 0=820 kg/m3, prema slici. Ako je visina stupca ulja h0=150 mm,

odredite razliku visina h razina ulja i vode.

3.5 Odredite apsolutni i manometarski tlak u toki A spremnika, za otklone manometra i

barometra prema slici. Zadano je: =999 kg/m3, 1 =771 kg/m3, 0 =13560 kg/m3,

h=5 cm, h0=17,5 cm, h1=12,5 cm, ha=752 mm.

R

h

=?

n=konst

POSUDA

R0

g

cilindar

pa pag

h=?

h0ulje

Zadaci


3.6 Hidrostatski manometar moe se iskoristiti za mjerenje koliine fluida u spremniku

oblika paralelopipeda. Odredite zavisnost visine l ive gustoe 0 u lijevom kraku

manometra o volumenu V nafte gustoe u spremniku dimenzija dna LxB. Visina h

se mjeri od ravnotenog poloaja ive prije punjenja spremnika i prikljune cijevi

naftom.

4. Vjebe

4.1 Osjetljivost hidrostatskog manometra (definirana odnosom otklon manometra /

mjerena razlika tlakova) poveava se naginjanjem kraka manometra. Za

h

h0

h1

haA

pa

pa

l

l

h

spremnik dimen ija dnax

z L B

ravnoteni poloaj ive

nafta

priklju na cijev

iva

Zadaci


mikromanometar na slici, duljina l u nagnutom kraku mjeri se od poloaja meniskusa

kod jednakih tlakova p1 i p2. Odredite kut nagiba kraka da bi osjetljivost manometra

bila 1mm/Pa. Zadano je: =800 kg/m3.

4.2 Na slici je shematski prikazan princip rada hidraulike pree. Odredite kojom silom F

treba gurati ruicu da se ostvari sila preanja F2=4800 N. Zadano je: m=25 kg,

D=200 mm, h=1,3 m, l1= 52 cm, l2=12 cm, A1=19,6 cm2, =820 kg/m3.

4.3 Odredite rezultantnu silu tlaka (veliinu, smjer i hvatite) na kvadratni poklopac

dimenzije a=0,8 m, ije se teite nalazi na dubini H=1,8 m, za sluajeve prema

slikama (a), (b) i (c). Zadano je: h=0,8 m, H1=1,2 m, =998,2 kg/m3, 1 =820 kg/m3,

=70o.

D= d10

d

h1 h2

l

l1

h

A1 l2

D

m

F2

F=?

otpresak

g

Zadaci


4.4 Potrebno je odrediti na koju visinu h treba spustiti razinu vode, da bi se poklopac

jedinine irine, okretljiv u toki O, prema slici, otvorio uslijed vlastite teine.

Gustoa poklopca je jednolika, a masa mu je m=250 kg. Zadano je: L=160 cm ,

15 , =998 kg/m3.

H

H1

H

H

h

C

C

C

g

g

g

.

. .

.

. .

..

.

.

.

..

...

..

..

.

a

aa

(a)(b)

(c)

Zadaci


5. Vjebe

5.1 Treba odrediti silu F koja dri u ravnotei poklopac AB jedinine irine, zglobno

vezan u toki A, u poloaju prema slici. Zadano je : a=0,84 m; H=0,65 m; h=35,5 cm;

=999 kg/m3.

5.2 Treba odrediti rezultantnu silu na zatvara, oblika polucilindra, jedinine irine B,

prema slici. Zadano je: H=3 m, R=1 m, =60o, =998,2 kg/m3.

O

L

pa

pa

h=?

g

poklopac

pa

pa

p0=?.. ....

.

..

.

. ..

H

B

A

a

h

F

poklopac

g

Zadaci


5.3 Kvadratina greda zglobno je uvrena u bridu A. Odredite silu F kojom treba

djelovati na gredu jedinine duljine da bi bila u ravnotei u poloaju prema slici.

Zadano je: a=1 m; =999 kg/m3.

5.4 Homogena elina kugla gustoe c=7800 kg/m3 radijusa R=8 cm zatvara otvor na

ravnoj stijenci promjera d=12 cm. Treba odrediti kut nagiba kose stijenke da kuglica

oslobodi otvor kada u spremniku nastupi pretlak od pM=5000 Pa.

6. Vjebe

g

H

C

Rpa

pa

pa

pa

g

A

a

a

F=?

d=?

Rg

plin

pM=konst.

pa

Zadaci


6.1 Treba odrediti silu F u vijcima, kojima je privren poklopac, oblika stoca, mase m

= 474 kg, prema slici. Zadano je: H=1,4 m, h=0,9 m, R=0,8 m, pM0=2800 Pa, =998

kg/m3.

6.2 Drvena homogena greda gustoe =940 kg/m3, duljine L=8 m i promjera D=0,5 m,

privrena je pod vodom gustoe v=999kg/m3 u toki O, oko koje se moe okretati.

Kolika e u ravnotenom poloaju biti duljina l uronjenog dijela grede?

6.3 Tankostijena bava mase m=94 kg, volumena V=600 l, potpuno je potopljena pod

vodu gustoe =998,2 kg/m3. Do polovine volumena ispunjena je zrakom

zanemarive teine i privezana uetom za dno. Odredite silu F u uetu.

g

H

..

.

.

. .

.

.

..

..

...

..

..

.

.. .

.

R

h

poklopacpM0

v

g

O

pa

L

l=?

D

Zadaci


6.4 Kocka gustoe 0=495 kg/m3, brida a=0,44 m, zglobno je vezana u bridu O i zatvara

kvadratini otvor na dnu spremnika, prema slici. Treba odrediti silu F potrebnu za

podizanje kocke. Zadano je: H=1,2 m, =35, =999 kg/m3.

6.5 Na slici je prikazan presjek spremnika jedinine irine, ispunjenog vodom gustoe =

998 kg/m3. Odredite vlane i smine sile u vijcima u spojevima A B i C. Zanemarite

teinu svih dijelova spremnika. Zadano je: H = 2.5 m, h = 0.9 m, R = 0.6 m.

7. Vjebe

g

pa

zrak

.

...

..

..

.

..

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

..

.

. ..

.

..

.

.

..

.

.

.

voda

ue

pa

pa

g

O

a

H

F=?

H

R

pa

g

B C

A

h

pa

Zadaci


7.1 Ravninsko strujanje fluida (slika strujanja je ista u svim ravninama paralelnim s

ravninom x3 = 0) zadano je jednadbama gibanja :

1 1

tx y e

2 2

tx y e

gdje su: =1 s-1 vremenska konstanta, yi Lagrangeove koordinate, a xi prostorne ili

Eulerove koordinate. Odredite :

a) brzinu i ubrzanje estice fluida u Lagrangeovim koordinatama,

b) polje brzine i ubrzanja u Eulerovim koordinatama,

c) trajektoriju estice fluida yi = (1,1),

d) strujnice, te nacrtajte strujnicu koje prolazi tokom xi = (1,1).

7.2 Stap injekcije je promjera D = 9 mm, a igla je promjera d = 0,2 mm. Odredite brzinu

v1 strujanja nestlaivog fluida kroz iglu, ako je brzina pomicanja stapa v = 3 mm/s.

7.3 U mjealite kroz prvu cijev promjera D1 = 100 mm ulazi nestlaivi fluid gustoe

1=850 kg/m3 masenim protokom 1 6,9 /m kg s , a kroz drugu cijev promjera D2 =

150 mm ulazi nestlaivi fluid gustoe 2=980 kg/m3, brzinom v2 = 2,1 m/s. Odredite

kojom e brzinom iz mjealita istjecati homogena mjeavina ovih fluida kroz cijev

promjera D3 = 200 mm. Koja je gustoa mjeavine ?

Zadaci


7.4 U cilindrini spremnik ulazi voda, kroz jednu cijev protokom Q1 = 18 l/s, a kroz

drugu protokom Q2 = 25 l/s. Kroz treu cijev promjera D3 = 100 mm voda istjee

brzinom v3 = 3,8 m/s. Odredite vrijeme potrebno da u spremnik utee 3 m3 vode.

8. Vjebe

8.1 Odredite minimalni protok Q u nestlaivom strujanju fluida kod kojeg e ejektor

poeti usisavati fluid kroz vertikalnu cjevicu. Zadano je A2=14 cm2, A1=3,5 cm

2,

h=0,9 m.

.

h

Q=?A1

pa

pa

A2

g

Zadaci


8.2 Odredite visinu zB kraja B sifona, pri kojoj se u neviskoznom strujanju fluida

ostvaruje maksimalni protok Q nestlaivog fluida gustoe =995,6 kg/m3, tlaka

isparavanja pv=4241 Pa, ako je: pa =1010 mbar, z1=34 m, z0=30,5 m, d=150 mm.

8.3 Voda neviskozno struji izmeu dva velika spremnika u kojima je razlika visina razina

H, kroz cijev promjera d. Odredite postotno poveanje protoka Q ako se na cijev

ugradi difuzor izlaznog promjera D=2d.

8.4 Odredite visinu h koju e dosegnuti mlaz vode (=1000 kg/m3) na izlazu iz ravaste

cijevi, prema slici, ako su manometarski tlakovi pM1= pM2=2,68 bar. Zadano je:

D1=200 mm, D2=150 mm, d=100 mm, H=8 m.

d

g

pa

pa

zB=?

z0

z1

0

1

H

d

D

0

1

g

pa

pa

Zadaci


8.5 Odredite promjer d mlaznice u sustavu prema slici uz uvjet da fluid u prikljunoj

cijevi spremnika 2 miruje. Pretpostavite neviskozno strujanje. Zadano je H=3,4 m,

h=2,6 m, D=100 mm.

8.6 Odredite brzinu v1 i tlak p1 zraka (z =1,23 kg/m3) u simetrali cijevi promjera D=50

mm, pomou mjernog sustava s Prandtl-Pitotovom cijevi prema slici. Pretpostavite

neviskozno strujanje i uzmite u obzir debljinu Prandtl-Pitotove cijevi. Zadano je: d=5

mm, L=100 mm, =11, a=800 kg/m3, h=40 mm, pa=101325 Pa.

h=?

3

4

pM1 pM2

z=021

D1 D2

d

H

pag

D

H

h

1

2 3 d=?

1

2

pa

pa

pa g

Zadaci


9. Vjebe

9.1 Odredite protok vode mjeren Venturijevom cijevi, prema slici. Uzmite u obzir i

koeficijent korekcije brzine. Pri kojem bi protoku, za isti smjer strujanja i apsolutni

tlak p1=1,96 bar nastupila kavitacija u presjeku 2. Zadano je: =998,2 kg/m3, pv

=2337 Pa, 0=13546kg/m3, h0=360 mm, L=0,75 m, D1=300 mm, D2=150 mm,

kinematika viskoznost vode =1,00410-6 m2/s.

9.2 Osnosimetrina posuda prema slici otvorena je prema atmosferi, a u poetnom je

trenutku ispunjena nestlaivim fluidom do visine H. Treba odrediti vrijeme pranjenja

dD1 2

3

p1, =?v1

hL

aa

z

z

h0D1

L

D2

0

,pv

Q

g

Zadaci


posude ako otvor na dnu ima koeficijent protoka Cd=0,96. Zadano je: D=42 cm, d=12

mm, H=59,5 cm, h=29 cm.

9.3 Odredite horizontalnu silu vode na redukcijsku spojnicu prema slici, uz pretpostavku

neviskoznog strujanja fluida. Zadano je: D=200 mm, d=100 mm, =1000 kg/m3,

pM1=1,6 bar, pM2=0,9 bar.

9.4 Odredite rezultantu silu vode na ravu prema slici uz pretpostavku neviskoznog

strujanja. Volumen vode u ravi je V=0,11 m3. Zadano je: H=3,8 m, h=2,1 m, h1=1 m,

D1=300 mm, D2=200 mm, D3=100 mm, =1000 kg/m3.

pa

pa

d Cd

h

H

D

pM1

pM2

D d

pa1

2

Q

Zadaci


9.5 Fluid nastrujava u horizontalnom ravninskom neviskoznom strujanju na plou

jedinine irine nagnutu pod kutom =36. Treba odrediti pretlak u presjeku A-A ako

je ploa uravnoteena silom F=680 N, prema slici. Zadano je: h=25 mm, H=40 mm,

=42, =1000 kg/m3.

10. Vjebe

10.1 Treba odrediti rezultantnu silu fluida (veliinu i smjer) na difuzor s koljenom, prema

slici, uz protok Q=389 l/s. Pretpostaviti strujanje idealnoga fluida. Volumen difuzora

je Vd =3,27 m3, a volumen koljena do prikljuka je Vk=0,16 m

3. Napomena: uzeti u

obzir i silu hidrostatskog tlaka koja djeluje izvana na difuzor. Zadano je: D=1,2 m,

d=0,3 m, H=6,6 m, h=1,2 m, =1011 kg/m3.

D3

D1

D2

H

h

h1

pa

pag

p =M ?

H

F

Q

h

z = konst.

pa

A

A

Zadaci


10.2 Mlaz fluida nastrujava u neviskoznom strujanju u horizontalnoj ravnini protokom

Q=0,03 m3/s, brzinom v=3 m/s, na okomito postavljenu plou prema slici. Treba

odrediti silu fluida na plou ako je Q1=0,01 m3/s. Zadano je: =1000 kg/m3.

10.3 Potrebno je odrediti silu F kojom treba pridravati lopaticu mase m=4,8 kg okretljivu

oko toke O, prema slici, da bi bila u horizontalnom poloaju. Pretpostaviti

neviskozno strujanje fluida. Za proraun obujma vode u lopatici pretpostaviti

popreni presjek mlaza konstantnim i jednakim presjeku na ulazu u lopaticu. Zadano

je: L=1,4 m, L1=0,9 m, R=0,28 m, h=1,9 m, d=40 mm, vm=10,6 m/s, =999 kg/m3.

h

H

d

Q

D

g

pa

z=konst.

pa

Q1

Q2

Q

v

ploa

Zadaci


10.4 Voda se prepumpava iz nieg u vii spremnik, protokom Q=14 l/s. Odredite visinu

dobave hp pumpe i potrebnu snagu PM motora za pokretanje pumpe ako su

iskoristivost pumpe P=0,75, visina gubitaka do ulaza u pumpu hF1-2=1,5 m, visina

gubitaka od izlaza iz pumpe do ulaza u vii spremnik hF3-4=1,5m. Zadano je:

=998,2 kg/m3, D=71,4 mm, z1=6,2 m, z5=12,5 m.

10.5 Pumpa dobavlja vodu mlaznici protokom Q=0,056 m3/s. Motor predaje pumpi snagu

PM=40,2 kW, a ukupna iskoristivost pumpe je 85%. Na ulazu u pumpu je izmjeren

manometarski tlak pM2=-0,351 bar. Odredite visinu gubitaka energije hF1-2 od razine

vode u spremniku do ulaza u pumpu, te hF3-5 od izlaza iz pumpe do izlaza iz

mlaznice. Skicirajte energetsku i hidrauliku-gradijentnu liniju. Zadano je: h=1,5 m,

=998,2 kg/m3, D2=150 mm, D3=100 mm, D5=50 mm.

pa

pa

g

R

F=?

O

mg

T

L1

L

h

dvm

1

pumpa

2

4

3

5

pa

Q

g

D

D

z1

z5

p

Zadaci


11. Vjebe

11.1 Centrifugalna pumpa radi na N=1750 o/min, a apsolutna brzina na ulazu u lopatini

prostor je radijalna (1=90o). Kut lopatica na ulaznom bridu u odnosu na negativni

smjer obodne brzine je 1=30o, a na izlaznom 2=45

o. Uz pretpostavku neviskoznog

strujanja i beskonanog broja beskonano tankih lopatica (tangencijalne relativne

brzine na lopatice) odredite protok Q vode gustoe =1000 kg/m3 kroz pumpu, te

visinu dobave hp pumpe, snagu Pp koju pumpa predaje vodi i prirast tlaka p2-p1 kroz

pumpu. Promjer lopatinog vijenca na ulazu je D1=100 mm, a na izlazu D2=250 mm,

visina lopatica na ulazu je b1=15 mm, a na izlazu b2=8 mm.

11.2 Treba odrediti kutnu brzinu vrtnje 0 i protok Q0 kroz slobodno rotirajuu svinutu

cijev prema slici. Kolika je dobivena snaga PT i protok QT za sluaj da cijev rotira

kutnom brzinom T=0/2. Koliku snagu PP (i pri kojem protoku QP) treba uloiti da

bi se cijev okretala kutnom brzinom P=20. Pretpostavite neviskozno strujanje

fluida, a gubitke trenja u leaju zanemarite. Zadano je: H=0,6 m, R=0,6 m, d=60 mm,

pM0=0,31 bar, =35o, =1000 kg/m3.

pumpapa

pa

Q

h

g

D3 D5

D2

p

Zadaci


11.3 Primitivna turbina preko remenice predaje korisnu snagu PM=730 W, pri konstantnoj

brzini vrtnje N=30 o/min i pri ukupnom protoku kroz turbinu Q=28,5 l/s. Treba

odrediti snagu PS koju predaje spremnik, snagu PT turbine i snagu PI fluida na izlazu

iz turbine, mehaniki stupanj korisnosti MmT

P

P i ukupni stupanj korisnosti Mu

S

P

P

. Pretpostavite jednodimenzijsko strujanje idealnog fluida. Zadano je H=1,3 m, R=1,2

m, D=40 mm, =15o, =1000 kg/m3.

H

pM0

R

d

d

g

.

.

..

.

. ... .

.

..

.. .

.

.

.

..

... .. .

.. . ....

. ...

. .

.

...

. ..

..

.

.

.

..

.

. .

..

.

...

.... ..

.. .

tlocrt

pa

1

0

D

RN

H=konst.

pM0

remenica

A A

N=konst.

g

Presjek A-A

Zadaci


11.4 Primjenom primitivne teorije propelera, odredite izraz za maksimalnu snagu

vjetroturbine. Primjenom izvedenog izraza odredite potrebni promjer D rotora

vjetroturbine koja e kod brzine vjetra od 6v m/s davati elektrinu snagu na

izlazu iz akumulatora 1P kW, pri emu je stupanj korisnosti turbine t 0,70,

stupanj korisnosti mehanikog prijenosa energije s vjetroturbine na generator m

0,92, samog generatora G 0,80, i akumulatora za pohranu elektrine energije a

0,85. Gustoa zraka je 31,2 kg/m .

12. Vjebe

12.1 Nestlaivi fluid struji pri atmosferskom tlaku kroz lopatice radnog kola turbine prema

slici protokom 44 l/sQ , brzinom 1 25 m/sv pod kutom 1 u odnosu na smjer

obodne brzine. Odredite kut 1 i stalnu kutnu brzinu vrtnje radnog kola da bi uz

tangencijalno nailaenje mlaza na lopatice apsolutna brzina na izlazu bila okomita na

obodnu brzinu. Za tako odreene kut 1 i kutnu brzinu izraunajte aksijalnu silu

aF na radno kolo i snagu P turbine. Pretpostavite neviskozno strujanje pri stalnom

tlaku i beskonano mnogo beskonano tankih lopatica. S obzirom da je visina

lopatice puno manja od polumjera radnog kola, vijenac lopatica se smije razmotati u

ravninu i strujanje kroz lopatice smatrati ravninskim. Zadano: 1000 kg/m3,

60 cmr , 65 cmR , 1 38 i 2 45 .

12.2 Za pokretanje zubarske builice koristi se turbina pogonjena zrakom. Turbina se vrti

brzinom N 30000 okretaja u minuti, a poznato je da je unutarnji radius radnog kola

R

r

=konst

Q

21

u

Zadaci


(do korijena lopatica) 33 mmr , a vanjski radijus (do vrha lopatica) 42 mmR .

Poznato je da je tangencijalna brzina mlaza zraka na ulazu u turbinu jednaka

dvostrukoj vrijednosti obodne brzine, a apsolutna brzina na izlazu iz turbine je

okomita na obodnu brzinu. Odredite specifinu snagu turbine T T /e P m .

Pretpostavite neviskozno strujanje zraka pri konstantnom tlaku, a problem analizirajte

kao ravninski za razmotani vijenac lopatica.

12.3 Ispitajte dimenzionalnu nezavisnost sljedeih skupova fizikalnih veliina:

a) p, i v

b) Q, L i

c) g, L i Q

d) F, M i t

e) , p i V

gdje su: p - tlak, - smino naprezanje, v - brzina, Q - protok, L - karakteristina duljina,

- dinamika viskoznost, g - ubrzanje sile tee, F - sila, M - moment sile, t - vrijeme i

V - volumen.

12.4 Formirajte bezdimenzijske parametre od veliina: vrijeme t, gravitacija g, sila F,

moment M, tlak p i dinamika viskoznost s pomou dimenzionalno nezavisnog

skupa: gustoa , brzina v i duljina L.

R

r

=konst

Q

Zadaci


13. Vjebe

13.1 Moment M fluida na rotor aksijalne turbine zavisi od gustoe fluida , promjera D

rotora, kutne brzine rotacije rotora i volumenskog protoka Q fluida kroz turbinu.

Primjenom dimenzionalne analize treba odrediti opi oblik zavisnosti momenta M od

preostalih veliina. Ako se zna da moment M linearno zavisi od protoka Q (pri emu

je za Q=0, M=0), treba odrediti postotnu promjenu momenta M za geometrijski slinu

turbinu 10% manjeg promjera koja rotira 15% veom kutnom brzinom i koristi isti

fluid pri istom protoku Q.

13.2 Otvorena cilindrina posuda promjera D, koja na dnu ima otvor promjera d,

koeficijenta protoka Cd je ispunjena fluidom do visine H. Posuda se potpuno isprazni

u vremenu t1=36,5 s. Primjenom Pi-teorema treba odrediti za koje bi se vrijeme t2

ispraznila geometrijski slina posuda tri puta veih dimenzija (to znai da je i otvor

na dnu tri puta vei) istog koeficijenta protoka Cd otvora na dnu posude u istom polju

gravitacije. Uputa: pretpostaviti da je t=f(D, d, Cd, H, g).

13.3 Pumpa koja transportira vodu gustoe 998 kg/m3 protokom Q 5 l/s u

optimalnom reimu rada postie razliku tlaka p 4 bar. Kupac je zainteresiran za

kupnju pumpe koja transportira ulje gustoe 1 800 kg/m3 protokom 1Q 4,5 l/s te

u optimalnom reimu rada postie pretlak 1p 3,5 bar. Potrebno je nainiti

geometrijski slinu pumpu koja zadovoljava uvjet kupca. Odredite za koliko je

potrebno promijeniti (poveati ili smanjiti) sve linearne dimenzije te kutnu brzinu

vrtnje postojee pumpe.

13.4 Sila L uzgona na krilo povrine A zavisi od brzine v leta, gustoe zraka i

napadnog kuta (kuta izmeu pravca vektora brzine i spojnice vrha i repa profila

krila). Ako su u zranom tunelu na krilu povrine 0,4 m2, pri brzini strujanja od 30

m/s i gustoi zraka 1,29 kg/m3 izmjerene sljedee vrijednosti sile uzgona, ovisno o

napadnom kutu

nacrtajte ovisnost bezdimenzijske sile uzgona o napadnom kutu. Izraunajte silu uzgona na

geometrijski slinom krilu povrine 30 m2, koje e letjeti u zraku gustoe 0,9 kg/m3

brzinom 400 km/h, pod napadnim kutom 5.

Zadaci


14. Vjebe

14.1 Odredite promjer D2 cjevovoda da bi razina fluida u spremniku 2 prema slici ostala

konstantna. Zadano je: =997 kg/m3, =0,8610-6 m2/s, H=18,2 m, h=11,4 m, L1=898

m, D1=200 mm, k1=k2=0,02 mm i L2=2610 m.

14.2 Treba odrediti snagu koju pumpa predaje fluidu u sustavu za hlaenje kada je izveden

kao otvoreni, prema slici (a), te kao zatvoreni prema slici (b). U oba je sluaja protok

u sustavu Q=0,005 m3/s, a promjena gustoe i viskoznosti s temperaturom se moe

zanemariti. Zadano je: =998,2 kg/m3, =1,2.10-6 m2/s, La=10,4 m, D=80 mm, k=0,05

mm, H=2,4 m, h=0,5 m, svi lokalni gubici u otvorenom sustavu Ka=4,2, a u

zatvorenom Kb=4,8, Lb=La+H.

pa

pa

pa

H

h

g

L ,D1 1, k1

L , D2 2 =?k2,

1

2

Q=?

pa

H

1

pumpa pumpa

P =a ? P =b ?

La L =L +Hb aD D

k k

h

hladnjak

(a) (b)

QQg

g

hla eniobjekt

hla eniobjekt

Zadaci


14.3 Treba odrediti promjer D cjevovoda da bi se na izlazu iz mlaznice dobilo 92%

raspoloive potencijalne energije u obliku kinetike energije izlaznog mlaza uz protok

od Q=0,552 m3/s. Koliki je promjer D3 mlaznice. Zadano je: =998,2 kg/m

3,

=1,139.10-6 m2/s, L=390 m, k=0,2 mm, H=274 m, Ku=0,1, Km=0,06.

14.4 Treba odrediti visinu h, protok Q i snagu PF koja se troi na svladavanje trenja, u

situaciji prema slici. Koliku bi visinu hid dosegao mlaz i koliki bi bio protok Qid da je

fluid idealan. Zadano je: =999 kg/m3, =1,13.10-6 m2/s, D=65 mm, d=30 mm,

Luk=9,9 m, k=0,045 mm, H=2,4 m, Kk=0,9, Ku=0,5, Km=0,05 (uz izlaznu brzinu),

pM0=0,86 bar.

15. Vjebe

15.1 Odredite gubitke tlaka pri strujanju zraka (=1,225 kg/m3=konst., =1,460710-5

m2/s) protokom Q=5 m

3/s kroz cjevovod duljine L=60 m pravokutnog presjeka

axb=600x300 mm. Cijev je od galvaniziranog eljeza.

H

pa

pa

L,k

Km D3

Ku D=? g

D

Kk Kk

H

pM0

Ku

h=?

d

pa

g

, k

Luk

Km

Zadaci


15.2 Za cjevovod prema slici, kojim se pretae fluid iz lijevog u desni spremnik, odredite:

a) protok i visinu dobave pumpe, ako je u sustavu jedna pumpa ija visina dobave Ph

ovisi o protoku Q prema zadanoj funkciji 32

P m m /sh a b Q

b) protok kroz cjevovod i visinu dobave svake pumpe za sluaj da su u sustavu dvije

paralelno ugraene pumpe iste karakteristike kao pod a)

c) protok kroz cjevovod i zajedniku visinu dobave obje pumpe za sluaj da su u sustavu

dvije serijski ugraene pumpe iste karakteristike kao pod a)

Sve lokalne gubitke zanemarite. Radi lakeg prorauna pretpostavite konstantni koeficijent

trenja 0,025 . Zadano je: 9H m, 23L m, 0,05D m, 998 kg/m3,

31,52 10 Pas, 12a m , 510b s2/m5.

15.3 U cjevovodnom sustavu prema slici fluid struji od spremnika 1 prema spremniku 2

protokom Q=170 m3/h. Treba odrediti protok Q1 koji bi se ustalio u sustavu kada bi

na polovini duljine (od toke B) postojao paralelni cjevovod do spremnika 2, istih

geometrijskih karakteristika. Zadano je: =999 kg/m3, =1,05.10-6 m2/s, D=200 mm,

k=0,2 mm, L1B=LB2=844 m.

a

b

pa

pa

g

D pumpa ,

H

L

Zadaci


pa

pa

1

D, k

D k, B

H = ?

2

Q

L L1B B2=

15.4 Odredite maksimalnu snagu P koju je mogue ostvariti na Peltonovoj turbini prema

slici. Zadano je: D = 5 cm, L = 250 m (ukupna duljina cjevovoda), k = 0.16 mm

(hrapavost cijevi) = 999 kg/m3, = 1.13910-6m2/s, Kkolj = 0.75, Kul = 0.5, Ks 0,

H1 = 51 m, H2 = 1.2 m, Ds = 10 mm, = 1600

(izlazni kut lopatice Peltonove turbine).

u

R

g

H2 Kul

Ds

L, k D

pa

pa

,

Kkolj

Kkolj Ks

H1

0. Vjebe


0. VJEBE

0.1 Na visini h=1 m, prema slici, nalazi se otvor cijevi iz koje izlazi mlaz fluida stalnom

brzinom v=8 m/s, pod kutom =49. Uz pretpostavku idealnog fluida i uz

zanemarenje trenja izmeu zraka i fluida odredite maksimalnu visinu H i duljinu L

koju e mlaz dosegnuti.

Rjeenje:

Mlaz fluida je sa svih strana okruen zrakom pod konstantnim atmosferskim tlakom, tako

da je rezultirajua sila tlaka na svaku esticu fluida u mlazu jednaka nuli, te od vanjskih

sila ostaje samo sila teine. Prema tome, svaka estica fluida u mlazu gibat e se poput

materijalne toke u polju gravitacije (kosi hitac). Budui da svaka estica u izlaznom

mlazu ima brzinu v, dovoljno je promatrati gibanje jedne estice fluida, a gibanje svih

ostalih estica e biti potpuno identino. Stoga e oblik mlaza biti jednak obliku putanje

to bi ga opisala jedna materijalna toka izbaena brzinom v pod kutom s visine h u

odnosu na koordinatni sustav prikazan na slici.

gpa

v

0. Vjebe


Gibanje se rastavlja u smjeru osi x i osi z. U svakom trenutku na esticu djeluje samo sila

teine d dF m g , te prema drugom Newtonovom zakonu d dm a F , vrijedi a g , ili

2

x 2

d= 0

d

xa x

t

2

z 2

d= -

d

za z g

t (1)

Jednadbe (1) se integriraju u vremenu nakon ega slijedi:

x 1

d= =

d

xx v C

t

z 2

d= = - +

d

zz v g t C

t (2)

Konstante C1 i C2 se odreuju iz poetnih uvjeta. Vremenski trenutak t=0 odgovara

trenutku nailaska estice fluida u toku A u kojoj se komponente brzine

x = cosv v

z = sinv v ; za t=0 (3)

Uvrtavanjem (3) u (2) slijedi da je

1 = cosC v i 2 = sinC v (4)

odnosno vrijedi

x

d= = cos

d

xv v

t

z

d= = sin

d

zv v g t

t (5)

z

x

v =vA

g

vC

vB

t =A 0

tB

tC

dm g.

dm g.

dm g.

0. Vjebe


Integriranjem jednadbi (5) dobije se promjena puta estice fluida u vremenu:

3= cosx v t C

2

4

1= sin

2z v t gt C (6)

Konstante integracije C3 i C4 se ponovo dobiju iz poetnih uvjeta, tj. U trenutku t=0 estica

fluida se nalazi u toki A s koordinatama x=xA=0 i z=zA=h, to uvrteno u (6) daje: 3 = 0C

i 4 =C h , odnosno:

= cosx v t

21= + sin2

z h v t gt (7)

Poloaje toaka B i C mogue je odrediti iz jednadbi (5) i (7).

Do toke B mlaz fluida ide prema gore, odnosno brzina vz je pozitivna, a nakon toke B

brzina vz je negativna, to znai da je u toki B brzina vz jednaka nuli, te se iz jednadbe (5)

moe izraunati vrijeme tB potrebno da estica fluida doe od toke A do toke B.

zB B B

sin= 0 = sin

vv v g t t

g

(8)

Iz jednadbe (7) za t= tB slijede koordinate toke B

2

B

sin sin cos= cos 3,23 m

v vx v

g g

2

B

sin= = + 2,86 m

2

vz H h

g

(9)

U toki C je t=tC i zC=0 te iz jednadbe (7) slijedi

2

C C

10 = + sin

2h v t g t (10)

Rjeenje kvadratne jednadbe (10) je:

2 2

C

sin sin 2=

v v ght

g

(11)

gdje je oito samo jedno rjeenje fizikalno (tC mora biti pozitivno)

2 2

C

sin sin 2= 1,379 s

v v ght

g

Uvrtenjem tC u jednadbu (7) za x-koordinatu toke C slijedi:

C C= = cos 7,24 mx L v t .

0. Vjebe


0.2 estica fluida giba se po zakrivljenoj putanji, prema slici. Odredite ubrzanje estice

fluida za sluaj da je brzina zadana u funkciji puta s, koji se mjeri du putanje.

Rjeenje:

Definirat emo lokalne jedinine vektore se u smjeru putanje i ne u smjeru normale na

putanju. Vektor brzine je tada

s s

d( ) ( )

d

sv v s e s e

t

Ako je putanja zakrivljena, tada je vektor se promjenljiv.

Ubrzanje estice fluida je po definiciji

d

d

va

t

Budui da je ( )v v s , po pravilima sloenog deriviranja vrijedi:

2 ss sdd d d d

d d d d d

v

ev s va v ve v e v

s t s s s

U svrhu odreivanja derivacije sd

d

e

s

putanja se lokalno zamijeni krunicom

polumjera R.

Tada se moe pisati

d ds R

s ss0

dlim

d s

e s s e se

s s

en

es

v=ves v=v s( )

s

estica fluida ili materijalna toka

en es( )s

es( )s+ s

R

0. Vjebe


Iz slike je:

s s ne s s e s e

iz slinosti trokuta ABC i ABC slijedi:

1

s

R

pa vrijedi: s n nd

d

e e e

s R R

to uvrteno u izraz za ubrzanje daje:

2

s n t s n n

normalnatangencijalnakomponentakomponentaubrzanjaubrzanja

d

d

v va v e e a e a e

s R

Zakljuak: Tangencijalna komponenta ubrzanja moe gledati u smjeru se ili obrnuto, a

normalna komponenta ubrzanja uvijek gleda prema sreditu zakrivljenosti putanje.

Specijalni sluaj: Gibanje estice fluida po krunoj putanji polumjera R, uz konstantnu

kutnu brzinu d

konst.d t

konst.v R

t = 0a

22

n

va R

R

- ( )es s

e s()s

es( )s+ s

s

en-

R

C

A

B

A

C

en es

at

an

v

R

= konst

0. Vjebe


0.3 Fluid konstantne gustoe struji stalnom brzinom v kroz svinutu cijev konstantnog

poprenog presjeka koja se nalazi u horizontalnoj ravnini. Primjenom zakona koliine

gibanja odredite smjer sile fluida na stijenku cijevi.

Rjeenje:

Koliina gibanja mv jedininog volumena fluida mv

vV

, je konstantna po veliini, a

promjenjiva po smjeru. Za promjenu smjera koliine gibanja od ulaza do izlaza iz cijevi je

prema zakonu koliine gibanja potrebna sila. Da bi fluid promijenio smjer strujanja

potrebna je sila koja gleda prema sreditu zakrivljenosti putanje estice fluida. Sila kojom

fluid djeluje na stijenku cijevi je suprotnog predznaka tj. djeluje kao na slici

Ako bi cijev bila fleksibilna imala bi tendenciju izravnavanja.

Primjer: to se dogaa sa fleksibilnim crijevom namotanim u kolut?

z = konst.

v

v

Ffluida na stijenku

1. Vjebe


1. VJEBE

1.1 Izraunati sljedee izraze primjenom pravila za mnoenje Kroneckerovim delta

simbolom:

a) ii , b) ij ij , c) ij ik jk , d) ij jk , e) ij ikA

Rjeenje:

a) 11 22 33 3ii

b) 3ij ij ii jj

c) 3ij ik jk kj jk kk

kj

d) ij jk ik

e) ij ik jkA A

1.2 Zapiite u indeksnoj notaciji komponente vektora 2f j .

Rjeenje:

22i if

1.3 Direktnim razvojem pokazati da za permutacijski simbol ijk vrijedi:

a) 6ijk kij

b) 0ijk j ka a

Rjeenje:

a)

1 1 2 2 3 3

2,3 3,2 1,3 3,1 1,2 2,1

231 123 321 132 132 213 312 231 123 312 213 321

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

6

ijk kij ij ij ij ij ij ij

1

23

+

1. Vjebe


b) 0a a

1 123 2 3 132 3 2 2 3 3 2

1 1

1 0jk j ki a a a a a a a a a a

2 231 3 1 213 1 3 3 1 1 3

1 1

2 0jk j ki a a a a a a a a a a

1.4 Odredite 2f komponentu vektorskog izraza: ji

j ji

j i

ccf b b

x x

.

Rjeenje:

2 2 21 2

22 1 2

j

j j

j

cc c cf b b b b

x x x x

2 1 23 1 2

3 2 2

c c cb b b

x x x

33

2

32 1 21 3

1 2 3 2

cb

x

cc c cb b

x x x x

1.5 Koristei indeksnu notaciju dokazati vektorske identitete:

a) a b c a c b a b c

b) 0a b a

Rjeenje:

a) j k j i j jl j i

m

i

a b c a c b a b c

Prikaz u indeksnoj notaciji:

ijm j mkl k l j j i j j ia b c a c b a b c

Dokaz:

ijm mkl j k l ik jl il jk j k lj j i j j i

a b c a b c

a c b a b c

1. Vjebe


b) 0j k i

i

a b a

Prikaz u indeksnoj notaciji:

0ijk j k ia b a

Dokaz:

simetrino po ij

antisimetrino po ij

i j j i

ijk jik

a a a a

Produkt simetrinog i antisimetrinog tenzora je jednak nuli.

1.6 Prikazati u indeksnoj notaciji sljedee vektorske identitete:

a) a b c d c a b d d a b c

b) a b c d a c b d b c a d

Rjeenje:

a) l m p i m n k i mn k n

i i ij

k

a b c d c a b d d a b c

kij ilm l m jnp n p k i imn m n k i imn m na b c d c a b d d a b c

b) j k m i j j i j jl i i

ii

a b c d a c b d b c a d

ijk j k ilm l m i i j j i i j ja b c d a c b d bc a d

1. Vjebe


1.7 Razviti u indeksnu notaciju i prikazati simboliki sljedee izraze:

a) uv

b) ua

c) ua

d) u

Rjeenje:

a) uv

j j j

v uuv u v

x x x

uv u v v u

b) ii

u a

ii ii i i

a uua u a

x x x

ua u a a u

c)

i

kj

u a

k kijk ijk ijk k

j j j

ua a uu a

x x x

ua u a u a

d) i i

u

2

2 2 2

2 2 2

1 2 3

i i i i

u u

x x x x

u u u

x x x

u u

1. Vjebe


1.8 Primjenom indeksne notacije izraunajte izraz a b b , uz pretpostavku da je a

okomito na b .

Rjeenje:

Uvjet okomitosti:

0a b odnosno j j 0a b

kij ilm l m j j k j

l m j

i ijk ilm

kjl km kljm

a b b a b b a b b

2

k j j k j ja b b a b b b a

1.9 Zapiite u indeksnoj notaciji izraze za:

a) moment sile F u odnosu na ishodite

b) rad sile F na putu d r .

Rjeenje:

a)

i j k

i

M r F

i ijk j kM x F

b)

d dW F r i id dW F x

Napomena:

Snaga je d

=d

WP

t

ii i i

d xd WP F F v

d t d t

(a b) b aa

a b

b

F

r

x1x2

x3

F

d r

x1

x2

x3

r

1. Vjebe


1.10 Izraunajte sferni, simetrini i antisimetrini dio tenzora

0 6 4

T 4 6 2

8 0 6

Rjeenje:

- Sferni dio tenzora

4 0 01

0 4 0 43

0 0 4

kk ij ijT

- Simetrini dio tenzora

0 6 4 0 4 8 0 1 61 1

4 6 2 6 6 0 1 6 12 2

8 0 6 4 2 6 6 1 6

ij ij jiS T T

-Antisimetrini dio tenzora

0 6 4 0 4 8 0 5 21 1

4 6 2 6 6 0 5 0 12 2

8 0 6 4 2 6 2 1 0

ij ij jiA T T

Napomena: ij ij ijT S A

2. Vjebe


2. VJEBE

2.1 Odredite fluks vektora : dS

Q v n S po povrini S kocke brida a=2 s centrom u

ishoditu. Povrina S je orijentirana vektorom vanjske normale n , a vektor v je

1 2 1 2 3 2 2 3 3 33 6 3v x x e x x e x x x e .

Rjeenje:

Formula Gauss-Ostrogradski

ii i

iS V

vQ v n d S d V

x

2 3

1 2 2 3 2 3 3

1

(3 ;6 ; 3 )iv x x x x x x x

v v v

1

1

23

i

i

v v

x x

x

3 2

32

2 3

6 3

vv

x x

x x

1

36 1i

i

vx

x

010203

3 36 1 6 1 8xxx

V

Q x dV x V V

linearna promjena pa je integral jednak vrijednosti u teitu volumena pomnoen s

volumenom

2.2 Izraunajte vrijednost integrala dS

F pn S , gdje je S povrina kugle polumjera R =

3, sa sreditem u toki S (2,1,3) a n je vanjska normala na povrinu, ako je

2 2 2

1 2 3p x x x . Kolika bi bila vrijednost F za sluaj p = konst?

Rjeenje:

i i

iS V

pF pn d S dV

x

2 2 2

1 2 3p x x x 11

2p

xx

; 2

2

2p

xx

; 3

3

2p

xx

2. Vjebe


3

1 1 1

42 2 ( ) 2 2 3 144

3V

F x dV x s V

3

2 2 2

42 2 ( ) 2 1 3 72

3V

F x dV x s V

3

3 3 3

42 2 ( ) 2 3 3 216

3V

F x dV x s V

144 ,72 ,216iF

ili 2 2 2

1 2 3 j jp x x x x x

2 2j

j i

i i

ij

xpx x

x x

2 2 ( )i i iiV V

iteita V

pF dV x dV x s V

x

x

definicija teita volumena!!!

Za sluaj p = konst, 0i

p

x

Fi=0

2.3 Odredite jedan jedinini vektor si u ijem smjeru nema promjene polja 2

1 2 36p x x x

u toki T (1,2,3).

Rjeenje:

- openito:

- si moe biti bilo koji

vektor u ravnini koja je

tangencijalna na p = konst.

u toki T

1

1

12p

xx

; 3

2

px

x

; 2

3

px

x

U toki T

12;3;2i T

p

x

grad p

si

p=konst.

T

x1x2

x3

2. Vjebe


Uvjet okomitosti grad p i s

0ii

ps

x

1 2 3

1 2 3

0p p p

s s sx x x

1 2 312 3 2 0s s s

Proizvoljno odabiremo 1 2 1s s pa je

22 2

3 1 2

1 1512 3 7,5 1 1 7,5 58,25

2 2i is s s s s

i1 1 7,5

; ; 0,131;0,131; 0,98358,25 58,25 58,25

s

2.4 U toki T fluida tenzor naprezanja ima sljedee komponente u odnosu na koordinatni

sustav 1 2 3x x xO

7 0 2

0 5 0

2 0 4

ij

Odredite :

a) vektor naprezanja na ravninu orijentiranu normalom i2 2 1

, ,3 3 3

n

, te

apsolutnu vrijednost toga vektora.

b) normalnu komponentu naprezanja u toj ravnini, i apsolutnu vrijednost

tangencijalnog naprezanja.

c) kut izmeu vektora normale i vektora naprezanja.

Rjeenje:

a)

7 0 2

0 5 0

2 0 4

ij

2 2 1

, ,3 3 3

in

i j j jin n

1 1 11 2 21 3 312 1

7 2 43 3

jn n n n

2 1 12 2 22 3 322 10

53 3

jn n n n

2. Vjebe


3 1 13 2 23 3 332 1

2 4 03 3

jn n n n

104; ;0

3i

2

2 2 2 2

1 2 3

104 5,21

3i jn

b)

1 1 2 2 3 3

2 10 2 444

3 3 3 9

nn i in

n n n

2 2

2

2 445,21 1,799

nt i nn

c)

44

9cos 0,9385,21

i i nn

i i

n

arccos 0,938 20,2

2.5 Zadano je stanje tlanih naprezanja u fluidu tenzorom ij ijp

Pokaite da je vektor naprezanja uvijek paralelan vektoru vanjske normale, te da je

komponenta normalnog naprezanja jednaka p nezavisna od orijentacije povrine.

Rjeenje:

i j j ji j ji in n n p pn

1

nn i i i in p n n p

0 0

0 0

0 0

ij

p

p

p

sferni tenzor

Zakljuak: sila tlaka je uvijek okomita na povrinu

ninn

nt

i

ni

ni

-pni

-pni

T

T

3. Vjebe


3. VJEBE

3.1 Blok mase m=10 kg klie po glatkoj povrini kosine nagnute pod kutom =20.

Odredite brzinu U bloka koja e se ustaliti, ako se izmeu bloka i kosine nalazi uljni

film debljine h=0,1 mm. Koeficijent dinamike viskoznosti ulja je =0,38 Pas, a

povrina bloka u dodiru s uljem A=0,15 m2. Pretpostavite linearni profil brzine u

uljnom filmu.

Rjeenje:

U

h

F A

sinF mg

sinU

A mgh

sinmg hU

A

310 9,80665 sin 20 0,1 10

0,38 0,15U

0,0588 m/sU

Napomena: Za konstantu g se koristi vrijednost 29,80665 m/sg .

U=?

m

A

h

mg

mgsin

F

3. Vjebe


3.2 Newtonska kapljevina gustoe =920 kg/m3, kinematikog koeficijenta viskoznosti

=510-4 m2/s struji preko nepomine stijenke. Profil brzine uz stijenku dan je izrazom

33 1

2 2

u y y

U

gdje je y udaljenost od stijenke, a udaljenost na kojoj je brzina u U . Odredite

veliinu i smjer tangencijalnog naprezanja na povrini stijenke, u zavisnosti od U i

.

Rjeenje:

0 0

d d

d dy y

u u

y y

2

3

0

d 3 1 3 d 3

d 2 2 d 2y

u y u UU

y y

3

2

U

4 3920 5 102

U

2

/

/0,69 m s

N m

m

U

Tangencijalno naprezanje fluida na stijenku djeluje u smjeru relativne brzine fluida u

odnosu na stijenku.

y

u( )y

U

3. Vjebe


3.3 U cilindrinoj posudi polumjera R0=220 mm, nalazi se cilindar polumjera R=216 mm

koji rotira stalnom brzinom vrtnje n=200 o/min za to se troi snaga P = 46 W.

Odredite koeficijent dinamike viskoznosti kapljevine koja ispunjava prostor

izmeu cilindra i posude u kojem pretpostavite linearni profil brzine, a utjecaj dna

zanemarite. Zadano je: h=20 cm.

Rjeenje:

30

n

; u R ;

0

u

R R

2F R h ; M F R ; P M

2 2

0

2 2u

P F R R h R hR R

2 3 3 2 3

0 0

2 2900

R n RP h h

R R R R

03 2 3

450P R R

n R h

3 2 3

450 46 0,220 0,216

200 0,216 0,20

0,0331 Pa s

R

h

=?

n=konst

POSUDA

R0

g

cilindar

3. Vjebe


3.4 U jedan krak U-cijevi u kojoj se nalazi voda gustoe =999,1 kg/m3 nadoliveno je

ulje gustoe 0=820 kg/m3, prema slici. Ako je visina stupca ulja h0=150 mm,

odredite razliku visina h razina ulja i vode.

Rjeenje:

Jednadba manometra od A do B:

0 0 0a ap g h h gh p

0 0 0 0h h h

00 1h h

8200,15 1

999,1h

0,0269 m 26,9 mmh

pa pag

h=?

h0ulje

pa

pa hA

B

h0h0-h

3. Vjebe


3.5 Odredite apsolutni i manometarski tlak u toki A spremnika, za otklone manometra i

barometra prema slici. Zadano je: =999 kg/m3, 1 =771 kg/m3, 0 =13560 kg/m3, h=5

cm, h0=17,5 cm, h1=12,5 cm, ha=752 mm.

Rjeenje:

Barometar: 0 99999,6 1000 1000a ap gh Pa mbar hPa

0,001 bar 1mbar 1hPa

Manometar: 0 0 1 1 1A ap p g h h gh gh

Apsolutni tlak u toki A: 138458 Pa=1385 mbarAp

Manometarski tlak u toki A: 38458 Pa = 385 mbarMA A ap p p

h

h0

h1

haA

3. Vjebe


3.6 Hidrostatski manometar moe se iskoristiti za mjerenje koliine fluida u spremniku

oblika paralelopipeda. Odredite zavisnost visine l ive gustoe 0 u lijevom kraku

manometra o volumenu V nafte gustoe u spremniku dimenzija dna LxB. Visina h

se mjeri od ravnotenog poloaja ive prije punjenja spremnika i prikljune cijevi

naftom.

Rjeenje:

VV L B H H

L B

(1)

02a ap g H h l gl p (2)

u (2)

02V

h lL B

02

Vl h

L B

Sluaj V=0, prikljuna cijev puna, 0l l

0

02

hl

pa

pa

l

l

h

spremnik dimen ija dnax

z L B

ravnoteni poloaj ive

nafta

priklju na cijev

iva

4. Vjebe


4. VJEBE

4.1 Osjetljivost hidrostatskog manometra (definirana odnosom otklon manometra /

mjerena razlika tlakova) poveava se naginjanjem kraka manometra. Za

mikromanometar na slici, duljina l u nagnutom kraku mjeri se od poloaja meniskusa

kod jednakih tlakova p1 i p2. Odredite kut nagiba kraka da bi osjetljivost manometra

bila 1mm/Pa. Zadano je: =800 kg/m3.

Rjeenje:

2 sinh l (1)

2 1 2 1J.M. p g h h p (2)

2 2

14 4

D dh l

(3)

2

1iz (3)d

h lD

(3a)

(1) i (3a) u (2)

2

1 2sind

g l p pD

(4)

3

21 2

1osjetljivost 10 m Pa

sin

l

p p dg

D

(5)

2 233 1010 sin 1 sin 0,117

d dg

D g D

sin 0,117

6,75 6 44 45

D= d10

d

h1 h2

l

4. Vjebe


4.2 Na slici je shematski prikazan princip rada hidraulike pree. Odredite kojom silom F

treba gurati ruicu da se ostvari sila preanja F2=4800 N. Zadano je: m=25 kg,

D=200 mm, h=1,3 m, l1= 52 cm, l2=12 cm, A1=19,6 cm2, =820 kg/m3.

Rjeenje:

l1

h

A1 l2

D

m

F2

F=?

otpresak

g

h l1

A1

A2

F1 F1

l2

F

F2

F2

F2

p2

mg

mg

otpresak

ulje

stap 2

F2

p2

p1

p1

4. Vjebe


Poluga: 1 2 1 2F l l F l (1)

Stap 1: 1

1 1 1 1 1

1

a a

Fp A p A F p p

A

(2)

Jednadba

manometra

2 1p p gh (3)

Stap 2: 2

2 2 a 2 2 2 a 2

4

F mgp A p A F mg p p

D

(4)

Nepoznanice: F, F1, p1, p2

(2) i ( 4) u (3)

2 1

2

1

4

a a

F mg Fp p gh

D A

21 1 2

4

F mgF A gh

D

1 335 NF

21

1 2

lF F

l l

62,9 NF

4. Vjebe


4.3 Odredite rezultantnu silu tlaka (veliinu, smjer i hvatite) na kvadratni poklopac

dimenzije a=0,8 m, ije se teite nalazi na dubini H=1,8 m, za sluajeve prema

slikama (a), (b) i (c). Zadano je: h=0,8 m, H1=1,2 m, =998,2 kg/m3, 1 =820 kg/m3,

=70o.

H

H1

H

H

h

C

C

C

g

g

g

.

. .

.

. .

..

.

.

.

..

...

..

..

.

a

aa(a)

(b)

(c)

4. Vjebe


Rjeenje:

(a)

2 11277 NhF gH a

C 1.92 msin

Hy

4

2

2

12 0,0278 m12C C C

aI a

yy S y a y

Sile konstantnog tlaka pa izvana i iznutra se

ponitavaju.

(b) 1. nain

Izvana djeluje sila uslijed atmosferskog tlaka

pa, a iznutra sila uslijed konstantnog tlaka p0.

Razlika tih dviju sila je sila F0 pretlaka pM0

iznutra.

Sila Fh uslijed hidrostatskog tlaka je ista kao

pod (a).

Jednadba manometra

0ap gh p

0 0 7831PaM ap p p gh

2

00 5012 NMF p a

H

O

C

z

Fh

yC

y

70o

h

H

.

. .

.

. .

..

.

.

.

..

...

..

..

.

C

a

4. Vjebe


Rezultantna sila :

0 16289 NR hF F F

RC FM M

RR hF y F y

0,0193 mhR R

Fy y

F

(b) 2. nain

Ako se pretlak 0Mp pretvori

u visinu tlaka 0Mp

hg

dolazi se do fiktivne

slobodne povrine na kojoj

vlada atmosferski tlak, te na

povrinu djeluje samo sila

uslijed hidrostatskog tlaka

raunata na osnovu dubine

mjerene od fiktivne

slobodne povrine.

2

16289 N

RhF F g H h a

2,77 msin

C

H hy

4

2

2

12

0,0193 m12

R

C C

R

C

aI

yy S y a

ay

y

CFh

F0FR

y

y

R

poklopac

H

h

z

. .

.

.

..

.

.

.

..

...

..

..

.

H

O

C

fiktivna slobodnapovrina

yC

y

R

4. Vjebe


(c)

H 1

H

C

F h

F h 1

F R

y 1

y R

y

Sile konstantnog tlaka pa se

ponitavaju.

Sila Fh uslijed hidrostatskog

tlaka je ista kao pod (a).

2

1 1 1 6176 NhF gH a

11 1,28 m

sinC

Hy

4

1 2

1 1

12 0,0418 mC C

aI

yy S y a

1 5101 NR h hF F F

RC F

M M

1 1 Rh h RF y F y F y

11 0,0109 mh hR R

F y F yy

F

4.4 Potrebno je odrediti na koju visinu h treba spustiti razinu vode, da bi se poklopac

jedinine irine, okretljiv u toki O, prema slici, otvorio uslijed vlastite teine.

Gustoa poklopca je jednolika, a masa mu je m=250 kg. Zadano je: L=160 cm ,

15 , =998 kg/m3.

O

L

pa

pa

h=?

g

poklopac

4. Vjebe


Rjeenje:

Na poklopac djeluje

vlastita teina i sila

hidrostatskog tlaka.

Poklopac e se otvoriti

kada moment sile teine

u odnosu na toku O

bude vei od momenta

sile hidrostatskog tlaka.

Krak sile teine u odnosu

na toku O je, cos2

L a

krak sile Fh hidrostatskog

tlaka je 2

Ly , te vrijedi

cos2 2

h

L Lmg F y

(a)

Sila hidrostatskog tlaka je definirana izrazom

sin 1h C CF gh A g y L (b)

a pomak

3 21

12 1 12C C C

I L Ly

y A y L y

(c)

Uvrtavanjem izraza (b) i (c) u (a) slijedi izraz za yC

0,851 m6

C

m Ly ctg

L

(d)

Iz slike (a) slijedi granina visina h fluida

sin sin 0,427m2

C

Lh x y

(e)

Oito je sinh L = 0,414 m, to znai da je razina fluida iznad gornjeg ruba poklopca,

kao to je pretpostavljeno na slici (a). Da to nije tako, trebalo bi ponoviti proraun uz

pretpostavku da je samo dio povrine poklopca u dodiru s fluidom.

O

L

pa

mg

Fh

y C

x

y

pa h

C

5. Vjebe


5. VJEBE

5.1 Treba odrediti silu F koja dri u ravnotei poklopac AB jedinine irine, zglobno

vezan u toki A, u poloaju prema slici. Zadano je : a=0,84 m; H=0,65 m; h=35,5 cm;

=999 kg/m3.

Rjeenje:

Slika (a) Sile na poklopac

U ovom primjeru nije pogodno

uvoditi fiktivnu slobodnu

povrinu, jer povrina AB nije

itava uronjena u fluid. Na dio

povrine poklopca koji se

nalazi iznad fluida, djeluje

samo sila konstantnog tlaka p0,

a na potopljeni dio povrine i

sila tlaka p0 i sila

hidrostatskog tlaka.

Zbog toga je u ovom sluaju jednostavnije raunati silu F0 (uslijed konstantnog tlaka p0) na

itavu povrinu, koja djeluje u teitu poklopca AB i silu hidrostatskog tlaka Fh, na dio

poklopca ispod stvarne slobodne povrine, kao to je prikazano na slici (a).

Sila teine poklopca prolazi tokom A, te u ravnotei momenata nije bitna. S obzirom da

fluid u spremniku miruje, tlak p0 e se odrediti iz jednadbe manometra od toke 1 u

piezometrikoj cijevi do toke 2 na slobodnoj povrini, koja glasi

pa

pa

p0=?.. ....

.

..

.

. ..

H

B

A

a

h

F

poklopac

g

pa

p0.

. ..

.. ..

.

. ..

H

B

A

a

a/2

h =y HC C= /2

H/2h

12

F

Fh

F0

y

5. Vjebe


0ap gh gH p (a)

iz koje je manometarski tlak

0 0 2890PaM ap p p g h H (b)

Negativni predznak ukazuje da se radi o podtlaku, te e sila F0

0 0 1 2428NMF p a (c)

biti negativna, odnosno usmjerena suprotno nego to je ucrtano na slici (a). Sila Fh je

1 20702

h

HF g H N (d)

a pomak hvatita sile Fh je

3

C

1

12 0,108 m6

12

HI H

yHy A

H

(e)

Sila F se odreuje iz uvjeta ravnotee momenata u odnosu na toku A, koja glasi

02 2 6

h

a H HF a F F

(f)

U gornjoj se jednadbi sila F0 uvrtava s negativnim predznakom, te slijedi sila F=-680 N,

to znai da na poklopac treba djelovati silom F u suprotnom smjeru od smjera na slici (a).

S obzirom da se poklopac naslanja na stijenku u toki B, sila F e biti sila reakcije izmeu

poklopca i stijenke, te za dranje poklopca u ravnotei nee trebati djelovati silom izvana.

5.2 Treba odrediti rezultantnu silu na zatvara, oblika polucilindra, jedinine irine B,

prema slici. Zadano je: H=3 m, R=1 m, =60o, =998,2 kg/m3.

g

H

C

R

pa

pa

5. Vjebe


Rjeenje:

Slika (a) Sile na zatvara

Ishodite koordinatnog sustava Oxz je smjeteno

na slobodnu povrinu. Sile atmosferskog tlaka pa

izvana i iznutra se ponitavaju tako da na

zatvara djeluje samo sila hidrostatskog tlaka,

koja se razlae na horizontalnu i vertikalnu

komponentu. Horizontalna komponenta sile se

rauna iz izraza

x Cx xF p S (a)

gdje je Sx projekcija povrine zatvaraa, a pCx

hidrostatski tlak u njenu teitu. Gledajui sliku

(a), horizontalne sile na dijelu povrine DEF

zatvaraa se meusobno ponitavaju jer je

projekcija dijela EF jednaka projekciji DE, a

suprotnog je predznaka.

Projekcija Sx se dakle odnosi na dio ABD povrine zatvaraa, oblika je pravokutnika

povrine 2BRsin i pozitivna je, jer vektor normale n na povrinu ini s pozitivnim

smjerom osi x kut manji od 90o. Teite projekcije povrine Sx je u toki C u kojoj je

hidrostatski tlak Cxp gH , te je

x 2 sin 50,9 kNF gH R B (b)

Negativni predznak sile Fx kazuje da sila gleda u negativnom smjeru osi x, tj. u lijevo.

Vertikalna komponenta sile je po veliini jednaka teini fluida u volumenu od povrine

zatvaraa do slobodne povrine. Volumen je definiran vertikalama AH i FI, povuenim iz

rubnih toaka povrine zatvaraa. Vertikala BG dijeli povrinu zatvaraa na dijelove s

pozitivnom i negativnom projekcijom Sz. Dio AB povrine ima negativnu projekciju Sz, te

vertikalna sila na taj dio povrine gleda u pozitivnom smjeru osi z, a definirana je

volumenom ABGHA. Dio povrine BDEF ima pozitivnu projekciju Sz, na koju vertikalna

komponenta sile hidrostatskog tlaka gleda prema dolje, a definirana je teinom fluida u

volumenu BDEFIGB.

H

C

A

B

D EF

2si

nR

2 cosR

n

n

V

H I xG

z

O

5. Vjebe


Kada se ove dvije sile zbroje dobije se ukupna vertikalna komponenta sile hidrostatskog

tlaka koja gleda prema dolje, a definirana je volumenom ABDEFIHA, koji je osjenan na

slici (a). Veliina tog volumena se rauna kao umnoak zbroja povrina polukruga i

trapeza AFIH sa irinom B zatvaraa, te je izraz za silu Fz

2

z 2 cos 44,7 kN8

DF g R H B (c)

Negativni predznak sile Fz ukazuje da ona gleda prema dolje.

Za odreivanje hvatita rezultante u opem bi sluaju bilo potrebno prvo odrediti poloaj

hvatita horizontalne i vertikalne komponente sile hidrostatskog tlaka. Za sluaj cilindrine

povrine to nije nuno, jer se unaprijed zna da e rezultanta prolaziti tokom C jer i sve

elementarne sile dpn S prolaze tokom C.

Slika (b) Poloaj rezultantne sile

Rezultantna sila je po veliini jednaka

2 2

R x z 67,7 kNF F F (d)

a djeluje pod kutom prema slici (b)

oz

x

arctg 41,3F

F (e)

AA

BBB

DD EEFF

V

HH IIG G

+ =

C

FR

5. Vjebe


5.3 Kvadratina greda zglobno je uvrena u bridu A. Odredite silu F kojom treba

djelovati na gredu jedinine duljine da bi bila u ravnotei u poloaju prema slici.

Zadano je: a=1 m; =999 kg/m3.

Rjeenje:

1. nain

2l a

1

1

2F g a l B

3

112

1 6

2

l Bl

l

l l B

2

3

2F g a l B

3

212

3 18

2

l Bl

l

l l B

1 1 2 2

1 12 0

2 2F a F l l F l l

2 21 1 5

12 3 12F gl B gl B

8164 NF

pa

pa

g

A

a

a

F=?

pa

C1F1

F2

C2a

a

F

A

C1

C2

5. Vjebe


2. nain povrina se tretira kao zakrivljena povrna

x 2S B a

3 32 2

12 3

B a aI

Horizontalna komponenta Fh

22 2 19593h C xF g h S g a a ga N

3

C x

2

13 0,333 m2 3

aI

h ah S a a

Vertikalna komponenta Fv

22

2

a aV a

2

v 9797F gV ga N

1

0,333 m3

x a

Uvjet ravnotee:

A 0M

v h2F a F x F a h

v h

1 2

2 3 3

a aF F F

a

8164 NF

pa

A

C2

x

z

hC=a

H= a2h

B=1

projekcija povrine

Cx

H

Sx

A

A

T2a

a

=

pa

A

F

Fh 2aFv

5. Vjebe


5.4 Homogena elina kugla gustoe c=7800 kg/m3 radijusa R=8 cm zatvara otvor na

ravnoj stijenci promjera d=12 cm. Treba odrediti kut nagiba kose stijenke da kuglica

oslobodi otvor kada u spremniku nastupi pretlak od pM=5000 Pa.

Rjeenje:

Slika (a) Sile na kuglu

Od vanjskih sila na kuglu djeluju sila teine G

u teitu C kugle, te sila F0 uslijed pretlaka pM

koja je okomita na projekciju dijela povrine

kugle izloene pretlaku pM, te takoer prolazi

teitem C kugle, kao to prikazuje slika (a).

Gledajui raspored sila moe se zakljuiti da e

se kuglica pomaknuti kada moment sile F0

bude vei od momenta teine, a kuglica e se

gibati oko toke O u kojoj e biti nepoznata sila

reakcije, koju nije nuno odrediti jer se

postavlja momentna jednadba oko toke O u

obliku

02

dF G k (a)

Sila F0 konstantnog tlaka je jednaka umnoku pretlaka i projekcije povrine pod pretlakom,

to u ovom sluaju glasi

2

0 56,5 N 4

M

dF p

(b)

Sila teine je

d=?

Rg

plin

pM=konst.

pa

d/2

G

F0

C

A

k

O

R

5. Vjebe


34 164 N

3cG mg R g (c)

Krak k sile teine, prema slici (a) je

cosk R (d)

gdje se kut moe odrediti iz pravokutnog trokuta AOC prema slici (a), iz jednadbe

o2cos 41,4

d

R (e)

Uvrtavanje izraza (d) u izraz (a) daje

0cos2

F d

R G

(f)

odakle je

o75 , odnosno o33,6 . (g)

6. Vjebe


6. VJEBE

6.1 Treba odrediti silu F u vijcima, kojima je privren poklopac, oblika stoca, mase

m = 474 kg, prema slici. Zadano je: H=1,4 m, h=0,9 m, R=0,8 m, pM0=2800 Pa,

=998 kg/m3.

Rjeenje:

Slika (a) Sile na poklopac

Na slici (a) su prikazane sile koje djeluju na

poklopac. Osim sile teine samog poklopca i sile Fv

u vijcima (koja je pretpostavljena tako da izaziva

vlana naprezanja u vijcima), djeluje jo vertikalna

sila F0 konstantnog pretlaka pM0 i sila Fz

hidrostatskog tlaka. Horizontalne sile tlaka se

meusobno ponitavaju. Sila F0 konstantnog

pretlaka je jednaka umnoku pretlaka i plotine

projekcije Sz povrine stoca sa strane pretlaka pM0.

Projekcija Sz je oblika kruga polumjera R i

negativna je, te je sila jednaka

2

0 M0 5630 NF p R (a)

i gleda prema gore.

Vertikalna komponenta Fz sile hidrostatskog tlaka je po veliini jednaka teini fluida u

prostoru od povrine stoca u dodiru s fluidom do slobodne povrine. Taj volumen je

osjenan na slici (a). Njegov je obujam

2 2 2

3

hV R h R r R r (b)

g

H

..

.

.

. .

.

.

..

..

...

..

..

.

.. .

.

R

h

poklopacpM0

H

..

.

..

.. ..

..

.

R

h

pM0

F0

Fz

mg

Fv

sl. pov inar

rV

6. Vjebe


Nepoznati polumjer r se odreuje iz slinosti trokuta, prema kojoj je

0,286 mr R H h

r RH h H H

(c)

to uvrteno u izraz (b), daje obujam V=0,914 m3. Sila Fz takoer gleda prema gore (jer je

projekcija povrine u dodiru s fluidom negativna), a po veliini je

z 8945 NF gV (d)

Iz ravnotee vertikalnih sila, prema slici (a), slijedi traena sila u vijcima

v 0 z 9930 NF F F mg (e)

Slika (b)

Do istog se rezultata moglo doi i na drugi

nain. Ako se poklopcem smatra sve ono to

se nalazi iznad ravnine A-B, prema slici (b),

odnosno iznad otvora polumjera R, tada e i

fluid unutar stoca pripadati poklopcu. Ako se

sa F M0h p g , prema slici (b), oznai

visinu pretlaka pM0, koja definira poloaj

fiktivne slobodne povrine, tada e sila F na

poklopac biti jednaka teini fluida u

osjenanom volumenu.

Slika (c)

Ako se toj sili oduzme teina fluida u

zatvarau, dobije se situacija prikazana na

slici (c), gdje osjenani dio volumena od

stvarne do fiktivne slobodne povrine definira

silu F0, a osjenani volumen ispod stvarne

slobodne povrine definira silu Fz, jednako

kao u prvom nainu.

.

.

.

.

..

. ... .

.

h

pM0

Fiktivna slobodna povr ina

hF

A B

.

.

.

.

..

. ... .

.

h

pM0

Fiktivna slobodna povr ina

hF

A B

6. Vjebe


6.2 Drvena homogena greda gustoe =940 kg/m3, duljine L=8 m i promjera D=0,5 m,

privrena je pod vodom gustoe v=999kg/m3 u toki O, oko koje se moe okretati.

Kolika e u ravnotenom poloaju biti duljina l uronjenog dijela grede?

Rjeenje:

2

4

DG g L

2

b v4

DF g l

O 0M

bcos cos2 2

L lG F

2 2 2 2

vcos cos4 2 4 2

D L D lg g

v

7,76 ml L

v

g

O

pa

L

l=?

D

O

L/2

l/2

Fb

G

6. Vjebe


6.3 Tankostijena bava mase m=94 kg, volumena V=600 l, potpuno je potopljena pod

vodu gustoe =998,2 kg/m3. Do polovine volumena ispunjena je zrakom

zanemarive teine i privezana uetom za dno. Odredite silu F u uetu.

Rjeenje:

b2

VF g

G mg

b 0F F G

b2

VF F G g mg

2015 NF

g

pa

zrak

.

...

..

..

.

..

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

..

.

. ..

.

..

.

.

..

.

.

.

voda

ue

Fb

F

mg

.

...

.

..

..

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

6. Vjebe


6.4 Kocka gustoe 0=495 kg/m3, brida a=0,44 m, zglobno je vezana u bridu O i zatvara

kvadratini otvor na dnu spremnika, prema slici. Treba odrediti silu F potrebnu za

podizanje kocke. Zadano je: H=1,2 m, =35, =999 kg/m3.

Rjeenje:

Slika (a) Sile tlaka na kocku

Slika (b)

Na slici (a) su prikazane sile tlaka koje djeluju na kocku. Sile koje djeluju na plohe kocke

koje su paralelne ravnini slike, meusobno se ponitavaju. Ako se na plohi OA doda i

oduzme sila F4 hidrostatskog tlaka, kao to je prikazano na slici (b), tada suma sila 1F , 2F ,

3F i sile 4F izvana, daju silu uzgona, koja djeluje u teitu kocke, te osim nje ostaje sila

hidrostatskog tlaka F4 iznutra na plohu OA, kao to je prikazano na slici (c), na kojoj je

ucrtana i sila teine kocke, odgovarajui krakovi sila, te veliine yC i y za silu F4. Iz slike

(c) slijedi

pa

pa

g

O

a

H

F=?

pa

paO

A

H

F2

F1

F3

pa

pa

A

O

HF2

F1

F3F4

F4

6. Vjebe


sin cos 0,613 mL a a (a)

2 0,306 mk L (b)

Slika (c) Sile na kocku

C 1,46 mcos 2

H ay (c)

C C cos 1,38 mh y (d)

Na temelju ega je

2

4 C C

4

cos

2618 N

F g h A g y a

F

4

2

C C

2

C

12

0,011 m12

aI

yy A y a

ay

y

3

b 834,5 NF gV ga

Kocka e se podii kada moment sile F (u odnosu na toku O) svlada momente ostalih sila,

tj.

4 b2 2

a LF L F y mg F (e)

odakle je sila 776 NF .

pa

pa

O

H

F

F4

A

yC

y

C

asin acos

L

mg

Fb

k=L/2

6. Vjebe


6.5 Na slici je prikazan presjek spremnika jedinine irine, ispunjenog vodom gustoe =

998 kg/m3. Odredite vlane i smine sile u vijcima u spojevima A B i C. Zanemarite

teinu svih dijelova spremnika. Zadano je: H = 2.5 m, h = 0.9 m, R = 0.6 m.

Rjeenje:

a) Odreivanje sile u spoju C. Da bismo odredili silu u spoju C, oslobodit emo ga donjeg

dijela spremnika, to emo nadoknaditi horizontalnom komponentom CxF , vertikalnom

komponentom CzF i momentom CM , koji se ovdje ne trai. Od vanjskih sila imamo samo

silu hidrostatskog tlaka kojom fluid djeluje na stijenku, jer se sile atmosferskog tlaka

izvana i iznutra ponitavaju, a sila teine je zanemarena.

Horizontalna komponenta CxF je dakle u ravnotei s horizontalnom komponentom

hidrostatskog tlaka, tj. vrijedi

Komponenta CzF je jednaka vertikalnoj komponenti sile hidrostatskog tlaka, koja djeluje

prema gore, a po veliini je jednaka teini fluida u zeleno osjenanom volumenu, prema

gornjoj slici.

H

R

pa

g

B C

A

h

pa

FCx gH

2 H B

FCx 3.058 104

N

FCz g H RR h

2

B FCz 1.204 104

N

H

R

pa

g

C

h

pa

6. Vjebe


b) Odreivanje sile u spoju B. Da bismo odredili silu u spoju B, oslobodit emo ga dijela

spremnika lijevo od toke B, to emo nadoknaditi horizontalnom komponentom BxF ,

vertikalnom komponentom BzF i momentom BM , koji se ovdje ne trai. Od vanjskih sila

ponovo imamo samo silu hidrostatskog tlaka kojom fluid djeluje na stijenku koja se sastoji

od polucilindra BC i dijela povrine kao u sluaju odreivanja sile u spoju C.

S obzirom da se horizontalna komponenta sile hidrostatskog tlaka na polucilindru BC

ponitava, horizontalna komponenta ostaje ista kao i kod odreivanja sile u spoju C, tj.

Vertikalna komponenta sile BzF u spoju B dri u ravnotei vertikalnu komponentu sile

hidrostatskog tlaka, koja je jednaka teini fluida u plavo osjenanom volumenu na gornjoj

slici, pa vrijedi

c) Odreivanje sila u spoju A. Da bismo odredili silu u spoju A, oslobodit emo ga veza, tj

dodati horizontalnom komponentu AxF , vertikalnom komponentu AzF i moment AM , koji

se ovdje ne trai. Od vanjskih sila ponovo imamo samo silu hidrostatskog tlaka kojoi fluid

djeluje na stijenku koja se sastoji od ravnog dijela AB, polucilindra BC i dijela povrine

kao u sluaju odreivanja sile u spoju C.

FBx gH

2 H B FBx 3.058 10

4 N

FBz g H RR h

2

R2

2

B FBz 2.286 104

N

H

pa

g

B

C

pa

H

pa

g

A

C

pa

h

6. Vjebe


Horizontalna komponenta hidrostatskog tlaka je u ovom sluaju manja nego u prethodnom,

jer se horizontalne komponente tlaka ponitavaju i na dijelu povrine AB, pa vrijedi

Vertikalna komponenta ostaje ista kao i u za sluaj odreivanja sile u spoju B, tj.

Napomena: Kod sva tri spoja vertikalne komponente predstavljaju vlane sile, a

horizontalne komponente smine sile za odgovarajue vijke.

FAx 1.253 104

NFAx gH h( )

2

2 B

FAz g H RR h

2

R2

2

B FAz 2.286 104

N

7. Vjebe


7. VJEBE

7.1 Ravninsko strujanje fluida (slika strujanja je ista u svim ravninama paralelnim

s ravninom x3 = 0) zadano je jednadbama gibanja :

1 1tx y e

2 2tx y e

gdje su: =1 s-1 vremenska konstanta, yi Lagrangeove koordinate, a xi prostorne ili

Eulerove koordinate. Odredite :

a) brzinu i ubrzanje estice fluida u Lagrangeovim koordinatama,

b) polje brzine i ubrzanja u Eulerovim koordinatama,

c) trajektoriju estice fluida yi = (1,1),

d) strujnice, te nacrtajte strujnicu koje prolazi tokom xi = (1,1).

Rjeenje:

Jednadbe gibanja estice fluida

1 1

tx y e

2 2

tx y e (1)

Oito vrijedi:

0i ix t y

se mogu napisati i u inverznom obliku

1 1

ty x e

2 2

ty x e (2)

estica fluida yi (1,1) e se prema (1) nakon 3 sekunde nai na poziciji

3

1 1 20,09x e

3

2 1 0,050x e

Iz jednadbe (2) moemo odrediti gdje se nalazila estica fluida, koja se npr. u t =3 s

nalazila u toki

3 3,ix e e

3 3

1 1y e e

3 3

2 1y e e

i 1,1y

a) brzina i ubrzanje u Lagrangeovim koordinatama

,

i

i i

i

y konst

x y tv

t

7. Vjebe


11 1

txv y et

22 2

txv y et

(3)

,

i

i i

i

y konst

v y ta

t

211 1

tva y et

222 2

tva y et

(4)

Iz (3) moemo izraunati brzinu, a iz (4) ubrzanje bilo koje estice yi u bilo kojem

trenutku t.

b) Polje brzine i ubrzanja

Ako se u jednadbu (3) uvrste jednadbe (2)

1 1 1

t tv x e e x

2 2 2

t tv x e e x (5)

Polje brzine je stacionarno jer ne zavisi od vremena

- polje ubrzanja (2) (4)

2 2

1 1 1

t ta x e e x

2 2

2 2 2

t ta x e e x (6)

Ako je izvedena materijalna derivacija:

1 2 3

1 2 3

i i i i i i ii j

j

Dv v v v v v va v v v v

Dt t x t x x x

211 1 1

1

va v x

x

222 2 2

2

va v x

x

Ubrzanje estice fluida u toki 3 3,ix e e je iz (6)

2 3

1a e

2 3

2a e

7. Vjebe


Znamo da se u toki 3 3,ix e e nalazi estica yi =(1,1) u t=3 s, pa bi isto ubrzanje trebali

dobiti i iz jednadbi (4) to je oito.

c) Trajektorija estice fluida yi =(1,1)

Jednadba trajektorije se dobije u Lagrangeovom zapisu eliminacijom vremena t iz

jednadbi gibanja (1). U ovom sluaju ih je dovoljno pomnoiti, te slijedi:

1 2 1 2x x y y

za yi =(1,1) 1 2 1x x jednadba hiperbole

- mijenjanjem poetne pozicije yi

dobiju se razliite trajektorije

Trajektorije se mogu odrediti i iz Eulerova polja brzine:

ii

Dxv

Dt 1 1 1

d

d

xv x

t

2 2 2d

d

xv x

t

11 1 1 1

1

dd ln ln t

xt x t C x C e

x

22 2 2 2

2

dd ln ln t

xt x t C x C e

x

Konstante C1 i C2 se odreuju iz poetnih uvjeta koji glase.

za t=0 x1=y1; x2=y2 to uvrteno daje

1 1

2 2

t

t

x y e

x y e

poetne jednadbe gibanja

1

estica yi1

y2

y11

estica =(1,1)yi1

-trajektorija

y1

1

7. Vjebe


d) strujnice (luk strujnice dxi je kolinearan s vektorom brzine vi)

i id x d v 1 1d dx v

2 2d dx v

1 2 1 2

1 2 1 2

d d d dx x x x

v v x x

1 2ln ln lnx x C

1 2x x C jednadba strujnica -

mijenjanjem konstante C dobivaju se razliite strujnice

Strujnica koja prolazi tokom xi=(1,1) se

poklapa s trajektorijom, to se za

stacionarno strujanje i oekuje.

1

1

=1.

7. Vjebe


7.2 Stap injekcije je promjera D = 9 mm, a igla je promjera d = 0,2 mm. Odredite brzinu

v1 strujanja nestlaivog fluida kroz iglu, ako je brzina pomicanja stapa v = 3 mm/s.

Rjeenje:

Iz jednadbe kontinuiteta

1 2Q Q

2 2

14 4

D dv v

2

1 6,075 m sD

v vd

7.3 U mjealite kroz prvu cijev promjera D1 = 100 mm ulazi nestlaivi fluid gustoe

1=850 kg/m3 masenim protokom 1 6,9 /m kg s , a kroz drugu cijev promjera D2 =

150 mm ulazi nestlaivi fluid gustoe 2=980 kg/m3, brzinom v2 = 2,1 m/s. Odredite

kojom e brzinom iz mjealita istjecati homogena mjeavina ovih fluida kroz cijev

promjera D3 = 200 mm. Koja je gustoa mjeavine ?

.

7. Vjebe


Rjeenje:

Prema jednadbi kontinuiteta

1 2 3m m m ili 22

321 2 2 3 3

4 4

DDm v v

(1)

Zbog nestlaivosti strujanja vrijedi:

1 2 3Q Q Q ili 22

31 22 3

1 4 4

Dm Dv v

(2)

iz (2)

2

1 22

13 2

3

41,44 m s

4

m Dv

vD

iz (1)

2

21 2 2

3

3 2

33

4 956,7 kg m

4

Dm v

Dv

7.4 U cilindrini spremnik ulazi voda, kroz jednu cijev protokom Q1 = 18 l/s, a kroz

drugu protokom Q2 = 25 l/s. Kroz treu cijev promjera D3 = 100 mm voda istjee

brzinom v3 = 3,8 m/s. Odredite vrijeme potrebno da u spremnik utee 3 m3 vode.

Rjeenje:

2

33 3 29,8 l s

4

DQ v

1 2 3 13,15ukQ Q Q Q l s

228uk

Vt s

Q

8. Vjebe


8. VJEBE

8.1 Odredite minimalni protok Q u nestlaivom strujanju fluida kod kojeg e ejektor

poeti usisavati fluid kroz vertikalnu cjevicu. Zadano je A2=14 cm2, A1=3,5 cm

2,

h=0,9 m.

Rjeenje:

Da bi ejektor poeo usisavati fluid kroz vetikalnu cjevicu, tlak p1 u presjeku A1 mora biti

manji od hidrostatskog tlaka koji vlada pri mirovanju fluida u vertikalnoj cjevici.

1 ap p gh (a)

Bernoullijeva jednadba od presjeka A1 do presjeka A2 glasi:

2 2

1 1 2 2

2 2

p v p v

g g g g (b)

Jednadba kontinuiteta

1 1 2 2v A v A Q 1 21 2

iQ Q

v vA A

(c)

Uvrtavanjem (c) i (a) u (b)

2 2

a a

2 2

1 22 2

p gh pQ Q

g gA g gA

odakle je:

3 31 2

2 2

2 1

2 1,52 10 m sA A

Q ghA A

h

Q=?A1

pa

pa

A2

g

8. Vjebe


8.2 Odredite visinu zB kraja B sifona, pri kojoj se u neviskoznom strujanju fluida

ostvaruje maksimalni protok Q nestlaivog fluida gustoe =995,6 kg/m3, tlaka

isparavanja pv=4241 Pa, ako je: pa =1010 mbar, z1=34 m, z0=30,5 m, d=150 mm.

Rjeenje:

Sputanjem izlaznog kraja sifona brzina strujanja se poveava, a tlak u najvioj toki

sifona smanjuje. Pri minimalnom tlaku u najvioj toki, koji odgovara tlaku isparavanja

p1=pv postie se maksimalno mogua brzina v1=vmax.

Documents

Mfi Mfk Vjezbe