FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAN FUNGSI KARAKTERISTIK

Disusun untuk memenuhi Tugas Akhir Semester Genap pada mata kuliah Statistik Matematik II Tingkat 2AOleh :Dewi Agita P. (08. 5602)Dinny PravitasariErma Ziamah Fathoni

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK2009/2010

FUNGSI PEMBANGKIT MOMENDEFINISI MGF

Fungsi Pembangkit Momen atau Moment generating function (MGF) dari sebuah RV X dapat didefinisikan sebagai:M x (t )=E (e tX )untuk t dalam R

di mana T = {t ∈ R : MX (t) < ∞}.Jika X memiliki distribusi diskrit, dengan densitas f, maka

M x (t )=∑x∈S

e tx f (x )

 Jika X memiliki distribusi kontinu, dengan densitas f, makaM x (t )=∫

S

❑

e tx f (x )dx

Definisi MGF tergantung pada distribusi dan pilihan nilai t. Misalnya, Mx(t) didefinisikan untuk semua t jika X normal, tidak didefinisikan untuk t mana pun jika X adalah Cauchy dan didefinisikan untuk t < 1

θ jika X ~ Exp(θ).

Dengan menggunakan deret Taylor sendiri, turunan ke r dari Mx(t) terhadap peubah t dapat dituliskan sebagai:M x (t )=1+μ+μ2

1 t2

2 !+…+μr

1 t2

r !+…

d1M x (t )d t 1 |

t=0

=μr1

dr M x (t)

d t r={ ∑

x

xr etx f (x )bila xdiskret

∫−∞

∞

xr e tx f (x)dx bila x kontinu

TeoremaMisalkan Y adalah random variable di mana Y = a + bX. Jika Mx(t) adalah fungsi pembangkit momen peubah acak X dan a dan b (b ¹ 0) adalah konstanta maka:

M Y (t )=eat M X (bt )

BuktiM Y ( t )=E [e tY ]=E [eat+btX ]=eat E [e(bt)X ]=eat MX (bt )

Dengan sedikit manipulasi aljabar dari hasil perhitungan di atas, dapat kita simpulkan bahwa: Mx + a (t) = eat Mx (t) Max (t) = Mx (at) M(x + a) / b (t) = eat/b Mx (t/b)

Hasil ini dapat pula digunakan untuk membuktikan E [a+bX ]=a+bE [X ] karena

M Y(1) ( t )=aeat MX (bt )+beat M X

(1) (bt )M Y(1) (0 )=aMX (0 )+bM X

(1) (0 )=a+bE [X ]

PERHITUNGAN MGF DARI BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG Distribusi GeometriX ~ Geo(p), q = 1-p

M x (t )=∑x=1

∞

e tx pqx−1=p et∑x=1

∞

(et )(x−1)q x−1= pe t

1−qe t

Distribusi PoissonX ~ Poi(λ)

M x (t )=∑x=1

∞

e tx e−λ λx

x !=e− λ∑

x=1

∞

¿¿¿¿

Distribusi Uniform X ~ U(a,b)

f ( x )={ 1b−a

,a<¿ x<b

0 , untuk x lainnya

Fungsi pembangkit momennyaM x (t )=∫

a

be tx

b−adx= ebt−eat

(b−a ) t

Distribusi Eksponensial X ~ Exp(ϴ)

f ( x )={ 1θ e− xθ ,0<¿ x<∞

0 , untuk x lainnya

Fungsi Pembangkit Momennya M X (t )=∫

0

∞

e tx 1θe

−xθ dx=∫

0

∞

θe−(1θ −t ) x

dx=−θ1θ−t

e−( 1θ−t) x ]

0

∞

=1

1−θt

Perhatikan bahwa integral ini hanya terdefinisi saat t < 1θ

EKSISTENSI MGFTidak semua distribusi memiliki fungsi pembangkit momen. Ada dua alasan mengapa sebuah distribusi probabilitas tidak mungkin memiliki fungsi pembangkit momen:

1. Pertama, semua momen distribusi mungkin tidak ada. Hal ini dapat menunjukkan bahwa jika moment ke-n suatu distribusi tidak ada, maka tidak ada momen dengan orde yang lebih besar dari n. Kita akan melihat bahwa properti yang paling penting dari MGF adalah bahwa, semua momen distribusi dapat dihitung dari MGF ini. Jadi, jika suatu distribusi tidak memiliki semua momen, ia pasti tidak memiliki sebuah MGF. Kasus semacam ini terjadi, misalnya, pada distribusi tn Student yang tidak memiliki momen di luar momen ke (n - 1). Secara khusus, jika n = 1, distribusi t berubah menjadi distribusi Cauchy, yang tidak memiliki momen.2. Suatu distribusi mungkin saja memiliki semua momen, dan namun tidak memiliki fungsi pembangkit momen karena ekspresi mendefinisikan MGF akan mengarah

pada suatu kuantitas yang jumlahnya tak berhingga. Hal ini terjadi, misalnya, dari distribusi lognormal.

MENGAPA KITA MENGGUNAKAN MGF?1. Untuk menghitung momen-momen. Akan lebih mudah menghitung momen menggunakan MGF daripada dengan langsung menghitung E[Xr].2. Untuk menentukan distribusi dari suatu fungsi random variable3. Untuk memperkirakan distribusi. Misalnya MGF dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa dengan semakin bertambahnya n, distribusi Bin(n; p) dapat mendekati distribusi normal.DEFINISI MOMENMomen Pusat ke-R di Sekitar Titik AsalMomen ke-r di sekitar titik asal dari sebuah random variable X dapat didefinisikan sebagai E[Xr] asalkan nilai ekspektasi itu ada. Untuk X diskrit dengan f peluang f(x) :

E [X r ]=X1r f ( X1 )+X2

r f (X2 )+…+Xnr f ( Xn )¿∑

i=1

n

X ir f (X i )

Untuk X kontinu dengan f kepekatan f (x) :E [X r ]=∫

−∞

∞

X r f ( X )dx

Dalam hal ini, E[Xr] merupakan turunan ke-r dari M X (t )=E [e tX ]saat t=0.M X ( t=0 )=E [X0 ]=1M x

' (t=0 )=E [X1 ]M x' (t=0 )=E [X1 ]M x

' ' ( t=0 )=E [X2 ]

.

.

.M x

(r )(t=0 )=E [X r ]

Momen pertama di sekitar titik asal dari suatu distribusi adalah rata-ratanya. M x

' (t=0 )=E [X1 ]=E [ X ]=μ

Momen Pusat ke R di Sekitar Rataan Momen ke-r di sekitar rataan dari sebuah random variable X dapat didefinisikan sebagai :

μr=E[(X−μ)r]

Momen pertama jarang dibicarakan karena nilainya akan selalu nol.M x

' (t=0 )=E [ (X−μ )1 ]=E [ (X−μ ) ]=E [ X ]−μ=0

Momen kedua di sekitar rataan dari suatu distribusi adalah varians.M x

' ' ( t=0 )=E [ (X−μ )2 ]=σ2

Momen ketiga di sekitar rataan digunakan menunjukkan kemencengan suatu distribusi dan digunakan sebagai suatu ukuran keasimetrisan.M x

(3) (t=0 )=E [ (X−μ )3 ]

α 3=E [ (X−μ )3 ]

σ3=μ3σ3

α3 = koefisien kemencengan kurva (skewness)Jika suatu distribusi simetris di sekitar rataannya¿, koefisien kemencengan kurvanya akan bernilai nol. Sebaliknya, koefisien kemencengan kurva tidak bernilai nol, maka distribusi yang bersangkutan asimetris.Namun demikian, distribusi yang asimetris dapat memiliki koefisien kemencengan kurva = 0.Contoh distribusi yang simetris adalah distribusi normal, Beta(a; a), Bin(n; p =0,5).Contoh distribusi yang asimetris antara lain :

Distribution SkewnessBin(n; p) np(1- p)(1- 2p)Pois(λ) λExp(λ) 2/ λ

Momen keempat di sekitar rataan digunakan menunjukkan keruncingan (kurtosis) suatu distribusi. Kurtosis untuk distribusi normal adalah3σ4.M x

(4 ) ( t=0 )=E [ ( X−μ )4 ]

α 4=E [ (X−μ )4 ]

σ4=μ4σ 4

α4 = koefisien kurtosisTeoremaJika momen ke-r dari suatu variable acak ada, maka momen ke-s dari random variable itu pasti ada untuk semua nilai s < r. Momen ini dapat digunakan untuk menghitung rataan dan varian dari random variable yang ditransformasi, serta untuk menghitung koefisien kemencengan dan keruncingan kurva.Contoh Hitung rataan dan varian dari A = πR2

Jadi dalam hal ini, kita harus meghitung E[R], E[R2], dan E[R4]MENGHITUNG MOMEN MENGGUNAKAN MGFMomen pusat ke-r dari suatu random variable di sekitar titik asal dapat diperoleh dengan menghitung turunan ke-r dari MGF M X ( t )=E [e tX ]saat t=0

ContohX ~ Exp(λ)

M (1) ( t )= λ

( λ−t )2; E [ X ]=1

λM (2) ( t )= 2λ

( λ−t )3; E [X 2 ]= 2

λ2

M (r )(t )= Γ (r+1) λ( λ−t )r+1

; E [X r ]=Γ (r+1)λr

X ~ Geo(p), q = 1-pM (1) ( t )= pe t

1−qe t +p qe2 t

(1−qe t)2; E [ X ]= 1

p

M (1) ( t )= pe t

1−qe t +3 pqe2 t

(1−qe t)2+ 2 pq

2 e3t

(1−qe t)3; E [X2 ]=5−6 p+2 p

2

p

TeoremaJika Mx(t) dari suatu random variable X adalah terhingga dan ada dalam suatu interval terbuka yang memuat 0, maka Mx(t) akan mempunyai derivative untuk semua order.

M X(r ) ( t )=E [X r e tX ]M X

(r ) (0 )=E [X r]

BuktiM X

1 ( t )= ddt∫−∞

∞

etx f X ( x )dx¿∫−∞

∞

( ddt etx) f X ( x )dx¿∫

−∞

∞

xetx f X ( x )dx¿ E [X r etX ]

M X(2) ( t )= d

dtMX1 ( t )¿∫

−∞

∞

x( ddt etx) f X (x )dx¿∫

−∞

∞

x2 e tx f X (x )dx¿ E [X 2e tX ]

dan seterusnya dapat dibuktikan dengan induksi. Cara lain untuk memperoleh hasil semacam ini adalah melalui ekspansi deret Taylor

e y=1+ y+ y2

2 !+ y3

3 !+…,−∞< y<∞

yang memberikan :M X ( t )=E[1+Xt+ X2t 2

2!+ X3 t3

3 !+…]¿1+E [ X ] t+E [X 2 ] t

2

2!+E [X3 ] t

3

3!+…

MENENTUKAN NILAI TENGAH DAN RAGAM MELALUI MGFMisalkan ada random variable X dengan MGF g(t) sebagai berikut :g (t )=E (e tX )=∑

k=0

∞ μk tk

k !=E(∑

k=0

∞Xk t k

k ! )=∑j=0

∞

e t x j p (x j )

Jika g(t) dedifferentiate sebanyak n kali dan t=0, akan didapatkan μn:dn

d t ng (t )|

t=0

=g (n ) (0 )=∑k=n

∞ k ! μk tk−n

( k−n )!k !|t=0=μn

ContohMisalkan X ={1,2,3,…,n} dan px ( j )=1

n untuk 1≤ j≤n (distribusi

uniform) makag ( t )=∑

j=1

n1ne t j=1

n(et+e2 t+⋯+ent )= e t (ent−1 )

n (e t−1 )

Jika menggunakan rumus di atas akan terlihat seperti berikut:μ1=g' (0 )=1

n(1+2+3+⋯+n )=n+1

2,

μ2=g ' ' (0 )=1n

(1+4+9+⋯+n2 )= (n+1 ) (2n+1 )6

dan μ=μ1=(n+1 )/2 dan σ 2=μ2−μ12= (n−1 )/12.

ContohMisalkan X ={1,2,3,…,n} dan px ( j )=(nj) p jqn− j untuk 0≤ j ≤n (distribusi Binomial), maka

g ( t )=∑j=0

n

e tj(nj) p jqn− j=∑j=0

n

(nj)( pe t ) jqn− j=( pet+q )n

perhatikan bahwaμ1=g' (0)=n ( pe t+q )n−1 pe t ¿t=0=np ,

μ2=g' ' (0 )=n (n−1 ) p2+np ,

maka μ=μ1=np , dan σ 2=μ2−μ12=np (1−p ).

ContohMisalkan X ={1,2,3,…,n} dan px ( j )=q j−1 p untuk semua j (distribusi Geometric), maka

g ( t )=∑j=1

∞

e tjq j−1 p= pe t

1−qe t

dimanaμ1=g' (0 )= pe t

(1−qet )2¿t=0=

1p,

μ2=g' ' (0 )= pe t+ pqe2 t

(1−qet )3¿t=0=

1+qp2

,

μ=μ1=1/ p , dan σ 2=μ2−μ12=q/ p2.

ContohMisalkan X ={1,2,3,…,n} dan px ( j )=e− λ λ j / j ! untuk semua j (distribusi Poisson dengan rataan λ), maka

g ( t )=∑j=0

∞

e tj e−λ λ j

j !=e−λ∑

j=0

∞ (λe t ) j

j !=e−λ eλe t

=eλ (et−1 )

dimanaμ1=g' (0 )=eλ (e t−1) λet ¿t=0=λ ,

μ2=g' ' (0 )=e λ (et−1 ) (λ2e2 t+λe t )¿ t=0=λ2+ λ ,

μ=μ1=λ , dan σ 2=μ2−μ12= λ.

Dalam beberapa hal, akan lebih mudah bekerja dengan menggunakan logaritma dari MGF, yang sering disebut Cumulant-Generating Function (CGF), dan didefinisikan oleh R ( t )=ln [M (t )].R' ( t )=M ' (t)

M ( t)R' ' ( t )=M (t )M ' ' ( t )−[M ' (t)]2

[M (t) ]2

Sebelumnya, telah diketahui bahwa :M ( t=0 )=E [X 0 ]=1M ' ( t=0 )=E [X1 ]=E [X ]=μ

Sehingga saat t=0R' (t )=M ' (t)

M ( t)=

E[X ]1

=μ

R' ' ( t )=M ( t )M ' ' (t )−[M ' (t)]2

[M (t) ]2=1 .E [X 2 ]−[E(X)]2

12=E [ X2 ]−[E(X )]2=σ2

TRANFORMASI PEUBAH ACAK DENGAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

Fungsi Pembangkit Momen Fungsi Peubah Acak Misalkan X1, X2, …,Xn merupakan contoh acak dari suatu sebaran dengan fungsi kepekatan peluang f(x) dan fungsi kepekatan peluang gabungan X1, X2, …,Xn adalah h (x1,x2,…,xn) untuk Y1 = u (X1, X2, …,Xn) dan akan dicari g(y1) yang merupakan fungsi kepekatan peluang Y1. Bila fungsi pembangkit momen bagi Y1 ada maka untuk peubah acak kontinu dapat ditulis :

M Y ( t )=E (et y1 )=∫−∞

∞

et y1g( y1)d y1

Dan jika fungsi pembangkit momen bagi Y1 terlihat merupakan fungsi pembangkit momen tertentu maka dengan sendirinya fungsi kepekatan peluang bagi Y1 dapat ditentukan.ContohAmbil peubah acak X1 dan X2 bebas dan mempunyai fungsi masa peluang sama yaitu:

f ( x )={ 16 ,untuk x=1,2,30 , untuk x lainnyya

Cari sebaran peluang Y = X1 + X2 Jawab :Untuk X1 =1, 2, 3, dan X2 = 1, 2, 3 maka nilai Y = 2, 3, 4, 5, 6 dan sebaran peluang Y dengan mudah dilihat dalam tabel sebaran peluang gabungan:

F(x1,x2) X21 2 3

X11 1/36 2/36 3/362 2/36 4/36 6/363 3/36 6/36 9/36

Sehingga sebaran peluang Y = X1 + X2 adalah:Y 2 3 4 5 6

G(y) 1/36 4/36 10/36 12/36 9/36Dengan menggunakan fungsi pembangkit momen, sebaran peluang bersamanya dapat dilakukan tanpa merinci sebaran peluang gabungannya.Misalkan Fungsi pembangkit momen Y = My(t)

M Y ( t )=E [e tY ]=E [et (X1+X2 )]=E[e t X 1e t X 2]¿ E [e t X 1 ]E [e t X 2 ]=MX 1(t ) MX 2

(t )

E [e t X 1 ]=E [e t X2 ]=16e t+ 26e2 t+ 3

6e3 tM Y ( t )=( 16 e t+ 2

6e2 t+ 3

6e3t)

2

¿ 136

e2 t+ 436

e3 t+ 1036

e4 t+ 1236

e5 t+ 936

e6 t

Dari hasil di atas, dapat diketahui Fungsi kepekatan peluang bagi Y(y) adalah sebagai berikut :

g ( y )={136

,∧ y=2

436

,∧ y=3

1036

,∧ y=4

1236

,∧ y=5

936

,∧ y=6

0 ,∧ y lainnya

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DUA ATAU LEBIH PEUBAH ACAKFungsi Pembangkit Momen GabunganFungsi pembangkit momen gabungan atau Joint MGF dapat didefinisikan sebagai fungsi pembangkit momen yang diperoleh berdasarkan fungsi peluang gabungan atau fungsi densitas gabungan dari dua peubah acak. Dalam hal ini, fungsi pembangkit momen gabungan dapat digunakan untuk memperoleh momen-momen, baik untuk satu peubah acak maupun dua peubah acak.Jika X dan Y adalah dua peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka fungsi pembangkit momen gabungan dari X dan Y (dinotasikan dengan M(t1,t2)) didefinisikan sebagai:

M x1 x2 (t 1, t2 )=E(et 1x1+t2 x2)

E (x1r x2s )= ∂(r+s )

∂t 1r ∂t 2

s (M x1x2 (t 1 ,t 2 ))|t1=t2=0

untuk -h1 < t1 < h1 , -h2 < t2 < h2 , h1 > 0 , h2 > 0.

Untuk peubah acak X1 dan X2 yang bebas satu sama lain, maka:M x1 x2 (t 1, t2 )=∫

−∞

∞

∫−∞

∞

e t1 x1+t2 x2 f 1 (x1 ) f 2 (x2 )d x2d x1

¿∫−∞

∞

e t1x1 f 1 (x1 )d x1 .∫−∞

∞

et 2x2 f 2 ( x2 )d x2

¿M x1 (t1 ) M x2 (t2 )

Fungsi Pembangkit Momen Gabungan DiskritJika X dan Y adalah peubah acak diskrit dengan p(x,y) adalah nilai fungsi peluang gabungan dari X dan Y di (x,y), maka fungsi pembangkit momengabungan dari X dan Y didefinisikan sebagai :

M X, Y ( s , t )= ∑(x , y)∈S

exp (sx+ty ) f (x , y)

Fungsi Pembangkit Momen Gabungan KontinuJika X dan Y adalah peubah acak kontinu dengan f(x,y) adalah nilai fungsi densitas gabungan dari X dan Y di (x,y), maka fungsi pembangkit momen gabungan dari X dan Y didefinisikan sebagai:

M X, Y ( s , t )=∫S

❑

exp (sx+ty ) f ( x , y )dxdy

Berdasarkan fungsi pembangkit momen gabungan dari X dan Y, kita dapat menentukan fungsi pembangkit momen masing-masing dari X dan Y yang dinamakan fungsi pembangkit momen marginal dari X dan fungsi pembangkit momen marginal dari Y. Fungsi pembangkit momen marginal dari X diperoleh dari fungsi pembangkit momen gabungan dengan mensubstitusikan t2 = 0, sehingga:

M(t1,0) = M(t1) = E[exp(t1X)]Penentuan momen-momen dari peubah acak X berdasarkan fungsi pembangkit momennya digunakan rumus sebagai berikut:

μx=E (X )=∂M (t1 ,0)

∂ t 1 |t 1=0=∂M (0,0)∂ t 1

E (X 2)= ∂2M (t 1 ,0)

∂ t12 |

t1=0

=∂2M (0,0)

∂t 12

Adapun penentuan varians dari X digunakan rumus sebagai berikut:Var (X )=σ x

2=∂2M (0,0)

∂t 12 −[ ∂M (0,0)

∂ t1 ]2

Fungsi pembangkit momen marginal dari Y diperoleh dari fungsi pembangkit momen gabungan dengan mensubstitusikan t1 = 0, sehingga: M(0,t2) = M(t2) = E[exp(t2Y)]

Penentuan momen-momen dari peubah acak Y berdasarkan fungsi pembangkit momennya digunakan rumus sebagai berikut:

μy=E (Y )=∂M (0 ,t 2)

∂ t2 |t2=0=∂M (0,0)∂t 2

E (Y 2 )=∂2M (0 , t2)

∂ t 22 |

t2=0

=∂2M (0,0)

∂ t 22

Adapun penentuan varians dari Y digunakan rumus sebagai berikut:Var (Y )=σ y

2=∂2M (0,0)

∂ t22 −[ ∂M (0,0)

∂t 2 ]2

Adapun nilai E(XY) ditentukan dengan rumus sebagai berikut:E (XY )=

∂2M (t1 , t2)∂ t1∂ t2 |

t1=t2=0=∂2M (0,0)∂ t1∂ t2

Teorema Suatu himpunan terhingga vektor acak, yang mempunyai pembangkit momen bersama, dikatakan saling bebas, jika dan hanya jika fungsi pembangkit momen bersama itu dapat dinyatakan sebagai hasil kali masing-masing fungsi pembangkit momen.Bukti:Untuk dua vektor acak, selengkapnya dapat diselesaikan dengan induksi.Misalkan vektor acakx⃗=(x1 , x2 ,…,xm )

y⃗=( y1 , y ,…, yn )

M x , y (t 1…tm , u1…un )=E(et 1X 1+…+tm Xm+ u1Y 1+…+unY n)

¿ [E (et1 X 1 )E (et 2X 2 )…E (e tm Xm) ][E (eu1Y 1 )E (eu2Y 2 )…E (eunY n )]

¿M x1 (t1 ) M x2 (t2 )…M xm (tm ) M Y1 (u1 ) M Y2 (u2 )…M Yn(un)

Dengan demikian, jika X1 , X2 ….Xn saling bebas dengan MGF Mx1(t), …… Mxn(t), serta jika S = X1 + X2+ ….. + Xn , maka Ms(t) = Mx1(t) Mx2(t) ……. Mxn(t) Fungsi pembangkit momen jumlah peubah acak yang saling bebas yang banyaknya sama dengan hasil kali fungsi pembangkit momen masing-masing.Korolari 1Jika X1, X2, …., Xn hasil pengamatan contoh acak dengan fungsi pembangkit momen M(t) maka

a) Fungsi pembangkit momen Y=∑

i=1

n

X iadalahM Y (t)=∏i=1

n

M (t )=¿ (M (t ) )n¿

b) Fungsi pembangkit momen

X=∑i=1

n

( 1n )X iadalahMX (t )=∏i=1

n

M ( tn )=¿(M ( tn ))n

¿

Korolari 2Misalkan X1 , X2, … , Xm adalah peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi normal dengan E (X i)=μi

dan var ( X i )=σ i

2 ,i=1 ,2 ,3 ,…,mmaka fungsi pembangkit momen dari x⃗=(x1 , x2 ,…,xm ) adalah:

M x (t 1 ,…, tm )=exp (∑i=1

m

ti μi+12∑i=1

m

t i2σ i

2)

Jumlah terhingga peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi normal adalah juga berdistribusi normal.Korolari 3

S'=X1+X2+…+X m

M s ( t )=∏i=1

m

M xi( t )=e

t∑i=1

m

μi+12t 2∑

i=1

m

σ i2

Misalkan X1 , X2, … , Xm sampel (contoh) acak dari populasi berdistribusi normal dengan rata-rata dan varians 2 , makax berdistribusi normal dengan mean = dan variansi = σ2

n.

Bukti

Akan dihitung MGF dari x=Sn

. Dengan mengingat MGF S adalah:

M s ( t )=exp( t∑i=1

m

μi+12t2∑

i=1

m

σ i2)¿exp( t n μ+ 12 t 2nσ 2)

dan M sn

( t )=M s( tn )=exp (t μ+ t 2

2 ( σ√n )

2)

Sifat-sifat yang paling penting dari MGF adalah bahwa jika dua distribusi peluang memiliki MGF yang sama, maka mereka juga identik pada semua poin (memiliki densitas/distribusi yang sama). Dalam hal ini, untuk semua nilai t : maka

untuk semua nilai x.Teorema [Uniqueness theorem]Jika MGF dari X ada untuk t dalam sebuah interval terbuka yang memuat 0, maka MGF itu secara unik menentukan CDF dari X, yaitu tidak ada dua distribusi berbeda yang memiliki nilai MGF yang sama dalam interval yang memuat 0.Contoh

Misalkan X1, X2, … , Xn merupakan identical independent random variable yang masing-masing berdistribusi Exp(λ). Apakah distribusi dari S=ΣXi ?M S (t )=∏

i=1

nλ

λ−t=¿( λ

λ−t )n

¿

Perhatikan bahwa MGF di atas bukan MGF exponensial. Jadi, MGF dari jumlah RV di atas tidak berdistribusi exponensial. Sebagaimana pembahasan sebelumnya kita ketahui bahwa MGF Gamma(α,λ) adalah

Dengan demikian S= ΣXi ~ Gamma(n;λ)Pendekatan ini juga memberikan pembuktian yang mudah bahwa jumlah dari independent normal variable adalah normal juga. MGF dari random variable normal N(µ,σ2) adalah:

M ( t )=eμ1 t+

12σ 1

2

t2

Sehingga jika X i iid→

N (μ i , σ i2), i = 1,2, …, n, maka

M∑ X i( t )=∏

i=1

n

eμi t+

12σi

2

t2

=exp (t∑i=1

n

μii+t 2

2∑i=1

n

σ i2)

di mana MGF di atas adalah MGF dari distribusi N (Σ μi ,Σσ i2),

FUNGSI KARAKTERISTIKDEFINISIDalam teori peluang, fungsi karakteristik dari setiap variabel acak benar-benar menggambarkan distribusi peluangnya. Fungsi karakteristik dari suatu distribusi peluang diberikan oleh rumus berikut, dimana X adalah setiap variabel acak dengan distribusi yang bersangkutan :

φX ( t )=E (e itX )=∫e itX d F X ( x )=∫−∞

∞

f X (x ) e itx dx

dimana t adalah bilangan riil, i adalah bilangan imajiner, dan E melambangkan nilai ekspektasi, F(x) adalah fungsi distribusi kumulatif.Bentuk φX ( t )=∫ eitX d FX (x )merupakan suatu Riemann-Stieltjes integral dan selalu valid tanpa memperhatikan apakah fungsi densitas ada.BentukφX ( t )=∫

−∞

∞

f X ( x ) eitx dx hanya valid bila fungsi densitas ada. Jika variabel acak X mempunyai pdf ƒX maka fungsi karakteristiknya merupakan transformasi fouriernya. Fungsi karakteristik dari sebuah PDF yang simetris (p(x)=p(-x)) adalah riil, karena komponen imaginer yang diperoleh dari x>0 menghapus bagian di mana x<0. Contoh Fungsi karakteristik dari random variable distribusi Uniform U(–1,1).

Fungsi ini bernilai riil karena berhubungan dengan sebuah random variable yangsimetris di sekitar titik asal. Namun, umumnya fungsi karakteristik dapat bernilai kompleks.Notasi fungsi karakteristik digeneralisasikan untuk variabel acak multivariat dan random elements yang lebih kompleks. Pada umumya beberapa definisi dinotasikan sepertiabawah ini: Jika X adalah suatu vektor acak berdimensi k, maka untuk t RЄ k

φX (t )=E [ei t ' X ] Jika X adalah suatu matriks acak berdimensi k, maka untuk t RЄ kxp

φX (t )=E [eitr (t ' X ) ] Jika X adalah variabel acak kompleks, maka untuk t CЄ

φX (t )=E [eiRe (t X ) ] Jika X adalah vektor acak kompleks, maka untuk t CЄ k

φX (t )=E [eiRe ( t¿ X ) ] Jika X(s) adalah suatu proses stokastik, maka untuk semua fungsi t(s) seperti integral ∫Rt(s)X(s) ds konvergen untuk hampir semua bentuk X.

φX (t )=E [ei ∫ R t ( s) X (s )ds ]

Di sini (') menyatakan transpose matriks, tr(·) – operator trace matriks, Re adalah bagian nyata dari suatu bilangan kompleks, z menandakan konjugasi kompleks dan (*) adalah konjugasi transpose (z*= z').FUNGSI KARAKTERISTIK DAN DERET FOURIERFungsi karakteristik berhubungan erat dengan transformasi fourier : fungsi karakteristik suatu pdf p(x) merupakan hubungan yang kompleks dari transformasi fourier kontinyu dari p(x).(Berdasarkan konvensi yang umum; berikut bentuk alternatif dari tranformasi fourier yang kontinyu).

φX ( t )=⟨eitX ⟩=∫−∞

∞

e itX p ( x )dx=(∫−∞

∞

e−itX p ( x )dx )=P ( t )

Di mana P(t) melambangkan transformasi fourier yang kontinyu dari pdf p(x). Demikian juga, p(x) dapat dikembalikan dari φX ( t )melalui inversi transformasi fourier. Fungsi karakteristik suatu distribusi dengan fungsi densitas f adalah sebanding dengan kebalikan tranformasi fourier dari f. (6)Tentu saja, bahkan ketika variabel acak tidak mempunyai suatu densitas, fungsi karakteristik dapat terlihat sebagai transformasi fourier yang merupakan ukuran yang berhubungan dengan variabel acak.

Berikut adalah fungsi karakteristik dari berbagai distribusi peluang.

Distribution Characteristic function φ(t)Degenerate δaBinomial B(n, p)Poisson Pois(λ)Uniform U(a, b)Laplace L(μ, b)Normal N(μ, σ2)Chi-square χ2kCauchy Cauchy(μ, θ)Gamma Γ(k, θ)Exponential Exp(λ)Multivariate normal N(μ, Σ)

KONTINUITASBijeksi menyatakan antara distribusi peluang dan fungsi karakteristik adalah kontinyu. Sehingga kapan saja suatu urutan fungsi distribusi {Fj(x)} konvergen (dengan lemah) ke beberapa distribusi F(x), urutan yang bersesuaian terhadap fungsi karakteristik {φj(t)} juga akan konvergen, dan batas φ(t) akan menyesuaikan dengan fungsi karakteristik hukum F. Secara lebih formal, ini dinyatakan sebagai :

Teorema Kontinuitas Levy. Suatu urutan {Xj} dari n-variate variabel acak konvergen ke distribusi variabel acak X jika dan hanya jika urutan {φXj} konvergen ke suatu fungsi φ yang berKontinuitas pada titik asal maka φ adalah fungsi karakteristik X. Teorema ini sering digunakan untuk membuktikan hukum bilangan-bilangan besar, dan Teorema limit sentral.FORMULA INVERSIKarena ada suatu korespondensi satu-satu antara cdf dan fungsi karakteristik, selalu memungkinkan untuk menemukan salah satu dari fungsi-fungsi ini jika kita mengetahui yang lain. Rumusan dalam definisi fungsi karakteristik memungkinkan kita untuk menghitung φ ketika kita mengetahui fungsi distribusi F ( atau densitas f). Dengan kata lain, jika kita mengetahui fungsi karakteristik φ dan ingin menemukan fungsi distribusi yang bersesuaian maka salah satu dari Teorema inversi dapat digunakan:Teorema. Jika fungsi karakteristik  φX dapat diintegralkan, maka FX pasti kontinyu dan oleh karena itu, X memiliki pdf sebagai berikut:

saat X adalah skalar;Pada kasus multivariate, pdf tersebut dipahami sebagai turunan dari distribusi μX berkaitan dengan ukuran Lebesgue  λ:

Teorema (Levy). Jika φX adalah fungsi karakteristik dari fungsi distribusi FX, dua titik a<b sedemikian hingga { x| a< x< b} adalah suatu himpunan kontinuitas dari μX (dalam kasus univariate, kondisi ini setara dengan kontinuitas FX pada titik a dan b), maka:FX (b )−F X (a )= 1

2πlimT →∞

∫−T

+Te−ita−e−itb

¿ φX ( t )dt

jika X adalah skalar, danμX ( {a<x<b })= 1

2 πlimT →∞

∫−T

+Te−ita−e−itb

¿ φ X ( t )dt

jika X adalah variabel vektor acak.Teorema. Jika a adalah sebuah atom dari X (dalam kasus univariate, artinya adalah suatu titik diskontinuitas dari FX) maka

,   saat X adalah sebuah random variabel scalar, dan,   saat X adalah suatu random variabel vektor.

Teorema (Gil-Pelaez). Untuk suatu random variabel univariat X, jika x adalah titik kontinuitas dari FX maka :Formula inversion untuk distribusi multivariate tersedia.

PENGGUNAAN FUNGSI KARAKTERISTIK

Fungsi karakteristik selalu ada ketika diperlakukan sebagai fungsi suatu argumen bernilai riil, tidak seperti fungsi pembangkit momen. Ada hubungan antara sifat-sifat fungsi karakteristik suatu distribusi dan sifat-sifat distribusi, seperti keberadaan momen dan keberadaan suatu fungsi densitas.Fungsi karakteristik memberikan suatu cara alternatif untuk menggambarkan suatu variabel acak. Sebagaimana halnya fungsi distribusi kumulatif (FX ( x )=E1{X ≤x })yang dengan sepenuhnya menentukan perilaku dan sifat-sifat distribusi peluang variabel acak X, fungsi karakteristik (φX ( x )=E [e itX ] ) juga dengan sepenuhnya menentukan perilaku dan sifat-sifat distribusi peluang variabel acak X. Dua pendekatan tersebut sama dalam artian pengetahuan mengenai salah satu fungsi dapat selalu digunakan untuk menemukan fungsi yang lain, namun keduanya memberikan pengertian yang berbeda untuk memahami jenis variabel acak kita. Bagaimanapun, pada kasus khusus, akan ada perbedaan apakah fungsi ini dapat diwakili sebagai ekspresi yang menyertakan fungsi standard sederhana.Jika suatu variabel acak merupakan suatu fungsi kepadatan (densitas) maka fungsi karakteristik merupakan dualitasnya. Maksudnya, masing-masing dari variable acak tersebut adalah transformasi fourier dari yang lainnya. Jika suatu variabel acak mempunyai suatu fungsi pembangkit momen maka fungsi karakteristik dapat diperluas menjadi daerah yang kompleks sehinggaφx

(−¿ )=M X ( t )Catatan : Bagaimanapun fungsi karakteristik suatu distribusi selalu ada, bahkan ketika pdf atau mgf tidak ada.

Suatu fungsi karakteristik ada untuk sembarang variabel acak. Lebih dari itu, ada suatu bijeksi antara fungsi karakteristik dan fungsi peluang kumulatif. Dalam hal ini, untuk sembarang 2 random variabel X1, X2 :Dengan kata lain, dua distribusi peluang tidak akan pernah memiliki fungsi karakteristik yang sama.

Misalkan ada suatu fungsi karakteristik φ, adalah mungkin untuk merekonstruksi fungsi distribusi peluang kumulatif F yang bersesuaian :FX ( y )−FX ( x )= lim

τ→+∞

12 π

∫−τ

+τe−itx−e−ity

¿ φX (t )dt

Umumnya, ini adalah suatu improper integral, fungsi yang diintegralkan mungkin hanya dapat diintegralkan secara besyarat, dibanding Lebesgue-Integrable, yaitu integral di mana nilai mutlaknya mungkin tak hingga. Pendekatan fungsi karakteristik berguna untuk menganalisis kombinasi linier variabel acak yang bebas. Aplikasi penting yang lain yaitu dalam teori dekomposabilitas variabel-variabel acak.Ada ketertarikan untuk menemukan kriteria yang simple ketika suatu fungsi yang ditemukan bisa jadi merupakan fungsi karakteristik suatu Random variabel. Ada berbagai teori yang mencoba menjelaskan hal ini, diantaranya adalah Bochner’s theorem, Khinchine’s, Mathias’s, or Cramér’s, serta Pólya’s theorem. Teorema Polya menyediakan kondisi konveksitas yang simple dan cukup. Fungsi karakteristik yang memenuhi kondisi ini disebut Pólya-type.

Bochner’s theorem. Suatu fungsi sembarang φ: Rn C adalah fungsi karakteristik dari beberapa random variabel jika dan hanya jika φ adalah nonnegative definite, kontinyu pada titik asal dan φ(0) = 1.Khinchine’s criterion. Suatu fungsi bernilai kompleks yang kontinyu secara absolut φ sama dengan 1 pada titik asal adalah sebuah fungsi karakteristik jika dan hanya jika fungsi tersebut dapat mewakili

Mathias’ theorem. Sebuah fungsi riil yang genap, kontinyu, dan integrable secara absolut φ sama dengan 1 pada titik asal adalah sebuah fungsi karakteristik jika dan hanya jikauntuk  n = 0,1,2,…, dan semua p > 0. Di sini  H2n menyatakan Hermite polynomial dengan derajat 2n.

Teorema Polya dapat digunakan untuk membangun suatu contoh dari dua variabel acak yang memiliki fungsi karakteristik bersamaan dalam suatu interval terhingga tetapi berbeda di luar interval tersebut.

Pólya’s theorem. Jika φ adalah suatu fungsi kontinyu bernilai riil yang memenuhi syarat-syarat :1. φ (0) = 1;2. φ merupakan fungsi genap;3. φ(∞) = 0;4. φ adalah fungsi konvex untuk t> 0maka φ(t) adalah fungsi karakteristik dari suatu distribusi simetris yang kontinyu secara mutlak.Akibat teorema kontinuitas di atas, fungsi karakteristik seringkali digunakan untuk membuktikan Teorema limit sentral (CLT). Manipulasi aljabar utama yang terlibat dalam membuat perhitungan dengan fungsi karakteristik adalah mengenali fungsi sebagai fungsi karakteristik dari suatu distribusi tertentu.SIFAT-SIFAT FUNGSI KARAKTERISTIK

Suatu kombinasi linier yang konvex ∑n

anφn(t )  (dengan an≥0 , ∑

n

an=1  ) dari sejumlah fungsi karakteristik yang berhingga atau dapat dihitung juga merupakan fungsi karakteristik

Hasil perkalian dari sejumlah fungsi karakteristik ∏n

φn(t )  juga merupakan fungsi karakteristik. Hal yang sama berlaku pula untuk suatu hasil perkalian tak terhingga yang konvergen ke sebuah fungsi yang kontinyu pada titik asal.

Jika φ adalah suatu fungsi karakteristik and α adalah suatu bilangan riil, maka φ, Re[φ], |φ|2, dan φ(αt) juga merupakan fungsi karakteristik.

Fungsi karakteristik yang sangat berguna untuk menangani kasus fungsi  variabel acak yang independen. Sebagai contoh, jika X1, X2, ..., Xn adalah barisan variabel acak yang independent ( tidak harus terdistribusi secara identik), danSn=∑

i=1

n

ai X i

dimana ai adalah tetap, maka fungsi karakteristik untuk Sn diberikan oleh :φSn

( t )=φX 1(a1t )φX 2

(a2 t )…φX n(an t )

Secara khusus, φX+Y ( t )=φX ( t )φY (t )Untuk melihatnya, tuliskan definisi fungsi karakteristik:φX+Y ( t )=E (e¿ (X+Y ) )=E (e itX eitY )=E (e itX ) E (eitY )=φX (t )φY (t )Amati bahwa independensi dari variabel X dan Y diperlukan untuk menetapkan persamaan ekspresi keempat dan ketiga.Kasus khusus lain yang menarik adalah ketika ai = 1 / n dan Sn adalah rata-rata sampel. Dalam hal ini, penulisan X untuk rata-rata, φX ( t )=(φX (t /n ) )n .

MOMEN-MOMENFungsi karakteristik dapat digunakan untuk menemukan momen dari suatu variabel acak. Asalkan nth momen ada, fungsi karakteristik dapat diturunkan (differensialkan) sebanyak n kali danE (X n )=i−nφX

(n) (0 )=i−n [ dn

dt nφX (t )]

t=0

.Sebagai contoh, X memiliki Distribusi Cauchy standar maka φX ( t )=e−|t|. Fungsi ini tidak terdiferensiasi di t=0. Hal ini

menunjukkan bahwa distribusi Cauchy tidak memiliki ekspektasi. Lihat juga bahwa fungsi karakteristik rata-rata sampel X dari n pengamatan independen  memiliki fungsi karakteristik  φX (t )=(e−|t|/n )n=e−|t|, menggunakan hasil dari bagian sebelumnya. Ini adalah fungsi karakteristik dari distribusi Cauchy standard. Jadi, rata-rata sampel memiliki distribusi yang sama dengan populasinya sendiri.ContohSuatu distribusi gamma dengan parameter skala θ dan parameter bentuk k yang memiliki fungsi karakteristik (1−θit )−k. Misalkan  X Γ (k 1 , θ )∧Y Γ (k2 ,θ ) dengan X dan Y independen satu sama lain, dan kita ingin tahu apakah distribusi dari X+Y. Fungsi karakteristik dari X dan Y masing-masing adalah : φX ( t )=(1−θit )−k1 dan φY (t )=(1−θit )−k2 yang dengan independensi dan sifat dasar fungsi karakteristik menyebabkan :

φX+Y (t )=φX (t )φY (t )=(1−θit )−k1 (1−θit )−k2= (1−θit )−(k1+k2 ).Ini adalah fungsi karakteristik dari distribusi gamma parameter skala θ dan parameter bentuk k1 + k2.Dengan demikian kita dapat menyimpulkan X+Y Γ (k1+k2 ,θ ).Hasilnya dapat diperluas untuk n variable-variabel acak berdistribusi gamma yang independen dengan parameter skala yang sama, dan kita mendapatkan :∀i∈ {1 ,⋯ , n }:X i Γ (k i , θ )⇒∑

i=1

n

X i Γ (∑i=1

n

k i , θ)DAFTAR PUSTAKA

“Chapter 10. Generating Functions” (diakses tanggal 30 Juni 2010)“Characteristic Function”, http://su.wikipedia.org/wiki/Fungsi_karakteristik (diakses tanggal 30 Juni 2010) “Characteristic Function (Probability Theory)”, http://en.academic.ru/dic.nsf/enwiki/1524436 (diakses tanggal 30 Juni 2010)“Characteristic Function (Probability Theory)”, http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory)Irwin, Mark E. “Moment Generating Function”, Statistics 110, Harvard University, Summer 2006 (diakses tanggal 30 Juni 2010)“Materi Pokok 18. FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN PEUBAH ACAK KONTINU KHUSUS” (diakses tanggal 30 Juni 2010) “Materi Pokok 23. TRANFORMASI PEUBAH ACAK DENGAN FUNGSI PAMBANGKIT MOMEN” ” (diakses tanggal 30 Juni 2010)“Materi Pokok 10. MOMEN DAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DUA PEUBAH ACAK”“Moment Generating Function”, http://www.aiaccess.net/English/Glossaries/GlosMod/e_gm_momgen.htm (diakses tanggal 30 Juni 2010)“Moment Generating Function”, Ecole Polytechnique Federale De Laussanne. (diakses tanggal 30 Juni 2010) “Moment Generating Function”, http://en.wikipedia.org/wiki/Moment-generating_function (diakses tanggal 30 Juni 2010) “Moment Generating Function”, http://www.fmi.uni-sofia.bg/vesta/virtual_labs/expect/expect5.html (diakses tanggal 30 Juni 2010)

“Moment-Generating Function”, http://mathworld.wolfram.com/Moment-GeneratingFunction.html (diakses tanggal 30 Juni 2010) “STK 203 TEORI STATISTIKA I” (diakses tanggal 30 Juni 2010)“The Moment Generating Function”, http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/SHUTLER3/node2.html (diakses tanggal 30 Juni 2010)