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MHD-Gleichgewicht
Bjp
Druckgradient kann bilanziert werden durch Lorentz-Kraft(Ströme senkrecht zum Magnetfeld)
0 pB
Druck entlang von MF-Linien ist konstant
Kraftgleichung (stationär)
Grundlage des magnetischen Einschlusses von Plasmen
r
zB
Iz
BjBjBjp zz
Beispiel: Z-Pinch
a) stabil
b) marginal
c) instabil
d) linear instabil
e) linear stabil
Stabilität von Gleichgewichten
Beispiel aus der Hydrodynamik: Rayleigh-Taylor Instabilität
gpdt
vd Kraftgleichung:
Ausgangspunkt: MHD-Gleichungen
0)v( t
Kontinuitätsgleichung
Bjpt
v)v(vKraftgleichung
):(0v jresistivBE Ohmsches Gesetz
Maxwell-Gleichungen
0,,0
BBjEt
B
Adiabatische Zustandsänderung: 0)(
dt
pd
Und dazu noch:
Nichtlineare Stabilität: numerische Lösung der MHD Gleichungen
Einfacher: Lineare Stabilität:
Betrachte kleine Störungen des GG 000 Bjp
Störungsansatz für , v, p, B:
z.B. ),()(),( 10 trrtr
Stabilitätsuntersuchungen
00 vFür statische Gleichgewichte findet man Gleichungenfür die zeitliche Entwicklung der gestörten Größen 1, v1, p1, B1
Lineare Stabilitätsuntersuchungen
10011 vvt
Kontinuitätsgleichung:
010
100
11
0
11vBBBBp
t
Kraftgleichung ( mit ) Bj
0
1
Faradaysches + Ohmsches Gesetz:
0v BE,Et
B
011 Bvt
B
Lineare Stabilitätsuntersuchungen
Adiabatengesetz: 00)(
p
vtdt
pd
011
11
vp
pvt
p
t
p
Mit Kontinuitätsgleichung: vvt
011
11
vp
pvvvp
t
p
0
vppvt
p 10011 vppvt
p
Kraftgleichung
10011 vppvt
p
010
100
11
0
11vBBBBp
t
011 Bvt
B
Statt v1 anschaulichere Größe (Zeitintegral von v1) verwenden
: Verschiebungsvektor (kleine Verschiebung des GG-Zustandes)
011 BB
0011 ppp
010
100
121
2
0
11BBBBp
t
011000 )( BjBjpp
Keine Quellen und Senkenin idealer MHD
EW-Problem mit reellem 2
2 > 0: Schwingungen um GG-Lage => Alfvèn-Wellen
2 < 0, Im >0: System ist instabil, exponentielles Wachstum einerAnfangsstörung
Eigenwertproblem in linearer MHD
),((2
2
0 trFt
tiertr )(),(
))(()(20 rFr
011000 )()( BjBjppF
)( 01 BB 011 /)( Bj
Die treibenden Kräfte
Einfachster Fall: homogenes Plasma 0,0 00 jp
Keine Instabilitäten, aber Wellenausbreitung
Zusätzlich zu Schallwellen: Alfvèn-Wellen
Wellen im Gas bzw. im Plasma ohne Magnetfeld:
Schallwellen
Ausbreitungsgeschwindigkeit: p
cs
Scher- Alfvèn-Wellen
Magnetfeld-Energie
Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und
00
0
B
vv Aph Charakteristische (Alfvèn-) Geschwindigkeit
Kompressionale Alfvèn-Wellen
Kompressions-Energie
Energieaustausch zwischen kinetischer Energie und
0
0
00
20
pB
vph Charakteristische Geschwindigkeit:
MHD-Instabilitäten
tiertr )(),(
2 < 0, Im >0: System ist instabil, exponentielles Wachstum einerAnfangsstörung
))(()(20 rFr
011000 )()( BjBjppF
getrieben durch Druckgradienten und Plasmaströme
(detaillierter behandelt im 2. Semester)
Auch Rotation kann Quelle freier Energie sein
Beispiel: Magnetorotations-Instabilität in Akkretionsscheiben
Bilanzierung von Gravitation und Zentrifugalkraft:22 / rmgrm
Magnetorotations-Instabilität in Akkretionsscheiben
• zwei Massenpunkte (gekoppelt durch vertikales B-Feld) starten am gleichen Radius und laufen durch kleine Anfangsstörung radial auseinander
• Wegen ~r-3/2, gewinnt der nach innen laufende MP in , der nach außen laufende verliert, aber Feldlinienspannung verhindert Auseinanderlaufen
-> auswärts laufendes Element wird durch Kopplung beschleunigt, das nach innen laufende abgebremst-> wegen Drehimpuls P~r1/2, bedeutet Abbremsung weitere Bewegung radial nach innen und Beschleunigung Bewegung radial nach außen-> kleine Anfangsstörung wird verstärkt, System ist instabil!
Woher kommen Magnetfelder in der Astrophysik?
“The core”
BuBt
B
2
0
Zeitliche Entwicklung des Magnetfeldes:
BuBBBt
B
0
22
0
02
2
1
2
)2/(
dVB
...2 0
Betrachte zeitliche Änderung der MF-Energie:
Alle Terme ~B, seed MF kann verstärkt, aber nicht “erschaffen” werden
BBBBBB
dAnBBdVBB
BB
2schon verwendet bei Ableitung obiger Formel
jB
0Am Rand sei j=0
2220
jBB
Reduzierung der MF-Energie durch Dissipation
BuBt
B
2
0
Zeitliche Entwicklung des Magnetfeldes:
dVB
...2 0
Betrachte zeitliche Änderung der MF-Energie:
Alle Terme ~B, seed MF kann verstärkt, aber nicht “erschaffen” werden
BBuBBuBuB
BjujBuBBu
0
1
dAnBBudVBBu
Am Rand sei u=0
BuBBBt
B
0
22
0
02
2
1
2
)2/(
BjuBuB
0
1
Bedeutung???
BjuBuB
0
1
Bedeutung???
puBjudt
du
pBjdt
du
2
1
2
1 2
Analogon: Änderung der kinetischen Energie
Kraftgleichung: | u/2
Umwandlung von MF-Energie in kinetische
BjuBuB
0
1
Beschreibt Umwandlung von kinetischer in MF-Energie
Anfangs-MF kann verstärkt werden = Dynamo!
BjudVjdVB
dVt
2
0
2
2
Änderung der MF-Energie
Ohmsche Dissipation
Umwandlung zwischen kinetischer und MF-Energie
Bt
B 2
0
MF-Energie kann nur auf Kosten der kinetischen Plasmaenergie erhöht werden, in statischen Plasmen zerfällt MF:
mit charakteristischer Zeitskala:20 LM
MF kann anwachsen, wenn ausreichend kinetische Energie zur Verfügung steht
BuB
2
0
MF kann anwachsen, wenn ausreichend kinetische Energie zur Verfügung steht
BuB
2
0
oder magnetische Reynolds-Zahl 10
uLRM
Analogie zur Hydrodynamik:
LuRH
L
u
L
20
entspricht kinematischer Viskosität /
Das Magnetfeld der Erde
fester äußerer Mantel3500 km < r < 6000 km
flüssige Schicht1200 km < r < 3500 km
fester ErdkernR < 1200 km
Aufbau der Erde
Erdmagnetfeld:
Fast Dipolfeld
rmV
VB
1
Äquator: 30 T, magn. Pole: 60 T
• Magnetfeld muss im Erdinneren erzeugt werden, weil es nach außen abfällt
• Magnetfeld kann nicht durch Permanentmagnet erzeugt sein, da im Zentrum Temperatur zu hoch (> Curie-Temperatur)
• Zerfallszeit Jahre (Parameter des flüssigen Erdkerns)
• Änderung der Polarität alle 200000 – 300000 Jahre, aber MF-Stärke etwa konstant (innerhalb Faktor 3) seit 109 Jahren
• magnetische Reynolds-Zahl: 125
53 101...104 M
Das Magnetfeld der Erde
Erdmagnetfeld existiert viel länger als Zerfallszeit!
Dynamo in 2D?
BuBt
B
2
0
Kann man MF aus Bewegung des flüssigen Erdkerns erzeugen?
Wie könnte ein Dynamo funktionieren?
In 2D kein Dynamo, denn Fluss durch blaue Linie ändert sich nicht!
Dynamo in 3D?
BuBt
B
2
0
Kann man MF aus Bewegung des flüssigen Erdkerns erzeugen?
Wie könnte ein Dynamo funktionieren?
Aber in 3D möglich!
Dynamo für ein Dipolfeld?
Ein axisymmetrisches stationäres MF kann man aber nicht mit Dynamo erzeugen
x x
C
NN
Betrachte Kreis C durch neutrale Punkte:
ldBuEdljCC
muss endlich sein
B || dl entlang C (nur toroidales MF)
t
BSdEldE
SC
Widerspruch für stationäres MF!
Erdmagnetfeld
Aber das Erdmagnetfeld ist auch nicht streng ein Dipol-Feld
Betrachte fluktuierendes Feld:
BuBt
B
2
0
Der kinematische Dynamo
Änderung des mittleren Feldes:
Zusätzlicher Term durch Fluktuationen
Änderung des mittleren Feldes:
Zusätzlicher Term durch Fluktuationen
BBv ~~
Betrachte spezielle Form einer Fluktuation
Bewegung der Flüssigkeit auf einer Spirale
B
v
(turbulente Bewegung von sich bewegenden Wirbeln)
BBv ~~
Betrachte spezielle Form einer Fluktuation
Bewegung der Flüssigkeit auf einer Spirale
Störung kann symmetrisches MF erzeugen
Rekonnektion erforderlich
Das Magnetfeld der Erde
Konvektion
Flüssigkeitsbewegung wegen Kühlung der Erde an Oberfläche
• T-Gradient in radialer Richtung
• Konvektion wegen temperaturabhängiger Dichte der Flüssigkeit:
-wärmere (weniger dichte) Flüssigkeit steigt im Gravitationsfeld auf- kühlt dann oben ab- fällt wieder ab
• System rotiert -> Corioliskraft wirkt
Umwandlung von toroidalem in poloidales MF und umgekehrt
Das Magnetfeld der Erde
Flüssigkeitsbewegung wegen Kühlung der Erde an Oberfläche
Simulationsrechnungen
Los Alamos
95% durch Ströme im Erdinneren5% durch Ströme in Hochatmosphäre (v.a. Ionsosphäre)
Dynamo funktioniert bei laminarer Strömung (kleine Reynolds-Zahlen), aber nicht für realistische (turbulente Strömung)
10
uLRM
LuRH
Für (realistische) turbulente Strömung (hohe Re-Zahl) ist RM für Na zu klein -> Plasma?