2011

Carlos Toscano

EXAMEN DE MHD [ ]Este examen está en formato pregunta-respuesta

Examen de MHD

1. Considera el aparato que se muestra en las figuras. Éste consiste de un circuito rectangular horizontal inmerso en un campo magnético constante B0. El circuito está compuesto de un deslizador eléctricamente conductor, el cual, es libre de moverse horizontalmente entre los rieles. Para simplificar el análisis supondremos que la profundidad del aparato es mucho mayor que sus dimensiones laterales L y W, de manera que el problema pudiera analizarse como 2D. También se considera que el espesor es mucho menor que L o W.

Si al deslizador se le da un pequeño impulso, entonces su movimiento y la corriente inducida en el circuito están descritos respectivamente por

Rescribe las ecuaciones anteriores utilizando variables adimensionales y en términos de los números adimensionales:

a) Qué significa físicamente cada número adimensional? b) Cuáles son las variables adimensionales que utilizaste? c) Simplifica el sistema de ecuaciones adimensionales cuando Rm>>1 y Rm<<1 d) Que significa físicamente cada caso? ¿Qué relación hay entre BI y B0? e) Obtén soluciones para cada caso considerando pequeñas perturbaciones sobre una posición base L0 del deslizador. f) Finalmente, describe las similitudes entre las ecuaciones del deslizador y las ecuaciones de la MHD?

Rescribiendo las ecuaciones con base al número de Reynolds magnético y el parámetro de interacción además de definir las siguientes relaciones (inciso b): La relación del Campo magnético impuesto y el inducido.

𝑏 =

𝐵𝐼𝐵0

La relación entre las longitudes del sistema..longitud caracteristica

𝐿 =

𝐿

𝑊

La relación entre la velocidad y la longitud del sistema

𝑡 =

𝑊

𝑈 𝑡

(inciso a) Ahora bien el Reynolds magnético nos indica una razón de la inducción que hay en el sistema; y el parámetro de interacción nos indica la relación entre la fuerza de Lorentz y los efectos inerciales. Tomando los números adimensionales y las relaciones antes descritas se tiene. (Para el movimiento y la corriente respectivamente)

=

[ ] =

(inciso “c,d y e”) Ahora bien si se considera un Rm>>1 las ecuaciones

anteriormente expuestas quedarían.

Por lo que

[ ] =

Lo que implicaría que el flux Φ se conserva.

Y por lo tanto se buscarían soluciones de la = 0 , donde 0 =

y la

ecuación del movimiento del deslizador queda de la siguiente forma:

0

=

Mostrando que el deslizador oscila con una frecuencia √

Numero 2(inciso c,d y e) para el caso de Rm<<1 (

)

de esta forma tenemos:

[ ] =

En esta aproximación

Reduciendo la ec. de corriente a:

0 =

Y aplicando esta ecuación en la del desplazamiento tenemos que :

(

) =

De esta forma se buscan soluciones de la forma = 0 , con 0, y

0 = = .

En este caso físicamente hablando el campo magnético ahora disipa energía y

existe un amortiguamiento magnético.

Por lo que se ha visto se encuentra que Bi es dependiente del reynolds

magnético y determina a este valor inductivo quedando relacionado con el

campo impuesto Bo por las ecuaciones generales en donde el campo

magnético es el total.

Por ultimo se establece que esta aproximación del deslizador tiene similitud con

la de la MHD debido a que el deslizador representa nuestro fluido continuo sin

variar sus propiedades y para obtener soluciones se necesita resolver ambos

sistemas de ecuaciones es decir, las ecuaciones del movimiento acopladas a la

del electromagnetismo haciendo en énfasis lo similar del comportamiento del

deslizador a un fluido.

2. Explica la hipótesis del continuo aplicada a un fluido En esta hipótesis se considera que el fluido es continuo a lo largo del espacio que ocupa, ignorando por tanto su estructura molecular y las discontinuidades asociadas a esta. Con esta hipótesis se puede considerar que las propiedades del fluido (densidad, temperatura, etc.) son funciones continuas. La forma de determinar la validez de esta hipótesis consiste en comparar el camino libre medio de las moléculas con la longitud característica del sistema físico. Al cociente entre estas longitudes se le denomina número de Knudsen. Cuando este número adimensional es mucho menor a la unidad, el material en cuestión puede considerarse un fluido (medio continuo). 3. ¿Qué es una partícula de fluido? Se llama partícula fluida a la masa elemental de fluido que en un instante determinado se encuentra en un punto del espacio. Dicha masa elemental ha de ser lo suficientemente grande como para contener un gran número de moléculas, y lo suficientemente pequeña como para poder considerar que en su interior no hay variaciones de las propiedades macroscópicas del fluido, de modo que en cada partícula fluida podamos asignar un valor a estas propiedades. Es importante tener en cuenta que la partícula fluida se mueve con la velocidad macroscópica del fluido, de modo que está siempre formada por las mismas moléculas. 4. Las fuerzas superficiales que se ejercen sobre una partícula de fluido se

expresan matemáticamente por ̅ = ⃡ ⃗⃗⃗⃗ ; Describe y explica. Representa las fuerzas normales y tangenciales aplicadas a una superficie. Siempre que tengamos que describir propiedades de la materia que varíen con la dirección.

[

]

5. Describe el tensor de esfuerzos viscoso y da un ejemplo del significado de los elementos de la diagonal del tensor. El tensor de esfuerzos viscosos es una representación de los esfuerzos cortantes debidos a un gradiente de velocidades. Teniendo dos componentes cuando se descompone en tangenciales y normales. La diagonal del tensor representa a los esfuerzos normales al plano que son principalmente ocasionados por la viscosidad de dilatación o volumétrica siendo esto un ejemplo de cómo hay esfuerzos viscosos en planos ortogonales debido a un tipo de viscosidad. 6. Describe en qué consiste el principio fundamental de la dinámica de un fluido.

Consiste en la conservación de movimiento del fluido describiéndolo a partir de todas las fuerzas que interactúan en el mismo. 7. Describe cada término de la ecuación para la dinámica de un fluido:

Para el primer termino: Nos representa el cambio en la velocidad de la partícula del fluido con respecto al tiempo. Para el segundo termino: Nos representa las fuerzas superficiales debidas a la presión. Para el tercer termino: Nos representa las fuerzas superficiales viscosas que se ejercen sobre la partícula de fluido. Para el cuarto termino: Nos representa las fuerzas volumétricas representando a la gravedad que se ejercen sobre todo el fluido. 8. La ecuación anterior es válida para cuáles consideraciones, es decir, tipo de fluido o flujo, incompresible o no, etc. ¿Cuál sistema describe: el Euleriano o el Lagrangiano? La ecuación anterior es valida considerando la hipótesis del medio continuo así como para un flujo completamente desarrollado indistinto de la compresibilidad del fluido. La descripción es dad desde el método Lagrangiano 9. Explica los siguientes términos

El primer termino representa la variación de la velocidad con respecto del 10. ¿Cuáles aproximaciones se utilizaron para llegar a la siguiente ecuación?

Las aproximaciones que se hicieron fueron considerar al fluido como incompresible y Newtoniano despreciando el término de viscosidad de

dilatación de la relación del tensor de esfuerzos viscosos ̿ y ̿.

11. Describe los siguientes parámetros adimensionales: Número de Reynolds, Número de Reynolds magnético, Número de Hartmann, Parámetro de Interacción. Número de Reynolds: El número de Reynolds relaciona la viscosidad de un fluido y su velocidad. Sirve como parámetro para diferenciar flujos turbulentos y laminares. Número de Reynolds magnético: Es una aproximación de la relación de entre los efectos de inducción magnética y la difusión magnética. Número de Hartman: Es la relación que existe entre la Fuerza de Lorentz y las fuerzas viscosas. Parámetro de Interacción 12. ¿Cuál es la capa de Hartmann? ¿Qué diferencia hay con la capa límite hidrodinámica? La capa de Hartmann es una región modificada por el campo magnético donde se concentran los esfuerzos viscosos y la diferencia con la capa limite es que esta no considera los efectos magnéticos sobre esta región. 13. Plantea la ecuación MHD, en términos del potencial eléctrico, para el flujo completamente desarrollado unidireccional de un metal líquido en un ducto rectangular inmerso en un campo magnético constante perpendicular al flujo. Describe las condiciones de frontera, en términos del potencial eléctrico, para los casos en las paredes del ducto son aislantes, perfectamente conductoras y conductoras de pared delgada. Partiendo de la ecuación de MHD previamente adimensionalizada y tomando como aproximación un Rm<<1 tenemos:

[ ] =

Sabiendo que: = =

Ahora establecemos la ley de Ohm en términos del potencial eléctrico sabiendo

que =

= Haciendo uso de la relación de divergencia de la corriente:

=

Ahora substituimos la corriente en términos del potencial eléctrico en la ecuación MHD:

[ ] =

Ahora para las condiciones de frontera; primero tenemos paredes aislantes tenemos la condición de:

= Lo que nos da una desaparición de la derivada normal del potencial

=

Para la pared perfectamente conductora el potencial en la pared se convierte a uniforme ya que la diferencia de potencial no puede existir. El valor del potencial de pared puede ser entonces puesto como cero sin que hay perdida de información. Para paredes de conductividad finita (conocida) la corriente local es descargada en la pared delgada en una forma casi bi-dimensional. Sabiendo que el potencial no cambia a través de la pared y con la integración de la ley de Ohm se puede llegar a la siguiente relación.

] =

=

Donde “c” es el parámetro de conductancia de la pared. 14. Plantea el problema MHD* para el flujo de metal líquido en un espacio anular formado por dos tubos concéntricos como se muestra en la figura. El flujo es impulsado por un gradiente de presión constante a lo largo del tubo; y es completamente desarrollado, unidireccional y tiene simetría axial, es decir, no depende de la posición alrededor de este eje. El movimiento del fluido es influenciado por un campo magnético constante en la dirección radial a lo largo del tubo. a) Plantea las condiciones de frontera para los casos de paredes aislantes, perfectamente conductoras y conductoras de pared delgada. b) Obtén una solución para la velocidad para uno de los casos del inciso anterior. c) Grafica tus resultados para diferentes valores de los parámetros involucrados y discute los resultados.

*Nota: Plantea el problema en coordenadas cilíndricas

Para el correcto planteamiento se deben de ocupar las ecuaciones de Navier –

Stokes en coordenadas cilíndrica, despreciando los términos espaciales y que

varian con el tiempo. Ahora también es importante mencionar que es un flujo

completamente desarrollado y que la dirección z será la única que se estudie

junto con la variación a lo largo de r. Tenemos:

=

[

(

)]

A esta ecuación reducida faltaría agregarle los términos de la fuerza de

Lorentz. Por los productos que anteriormente se han manejado se deduce una

corriente para coordenadas cilíndricas que ha de ser parte del producto cruz de

la fuerza de lorentz.

= 0

Una vez expresada la corriente en coordenadas cilíndricas se hace el producto

cruz con el campo magnético impuesto quedando de la siguiente forma:

= 0

El potencial es eliminado en este producto ya que es paralelo al campo

magnético. La ecuación queda planteada como sigue:

=

[

(

)] 0

Rescribiendo con la constante G

= [

(

)] 0