MUESTREO Y DISTRIBUCIONES DE MUESTREOPROPIEDADES DE LA MEDIA
ARITMETICAEntre varias propiedades de la media aritmtica para una
distribucin normal estn:1. Imparcialidad: implica el hecho de que
el promedio de todas las medias de muestras posibles ser igual a la
media de la poblacin2. Eficiencia: precisin de la muestra de
estadstica como un estimador del parmetro de poblacin.3.
Consistencia: efecto del tamao de la muestra sobre la utilidad de
un estimador. Al incrementarse el tamao de muestra, la variacin de
la media de muestra de la media de poblacin se hace ms pequea, por
lo que se vuelve una mejor estimacin.ERROR ESTANDAR DE LA MEDIAEl
hecho de que las medias de muestras variables son menos variables
que los datos de poblacin se desprenden de la ley de nmeros
grandes. Una media de muestra particular promedia conjuntamente
todos los valores de la muestra. Una poblacin puede consiste en
resultados individuales que pueden tener un amplio radio de
valores, de extremadamente pequeos a extremadamente grandes. Sin
embargo, si un valor extremo cae en la muestra, aunque tendr un
efecto en la media, el efecto se reducir pues se promediara con
todos los dems valores de la muestra. Adems, al incrementarse el
tamao de muestra, el efecto de un solo valor extremo se hace cada
vez menor, puesto que se est promediando con ms observaciones.Este
fenmeno se expresa estadsticamente en el valor de la desviacin
estndar de la media y se denomina desviacin de la media de muestra
o error estndar de la media.INTRODUCCIN AL MUESTREOLos
especialistas usan la palabra poblacin para referirse a todo los
elementos que han sido escogidos para su estudio; y la palabra
muestra para describir una porcin escogida de la
poblacin.ESTADISTICAS Y PARAMETROSCuando la media, mediana, moda y
desviacin estndar describen caractersticas de una muestra, se
denominan estadsticas; cuando describen las caractersticas de una
poblacin se llaman parmetros.TIPOS DE MUESTREOSUtilizamos muestreos
porque en algunos casos medir una poblacin completa no puede ser
factible debido al tiempo y costos que conlleva.Existen dos tipos:
No aleatorio o de juicio: se emplea el conocimiento y la opinin
personal para identificar a los elementos de una poblacin que deben
incluirse en una muestra. Probabilidad: todos los elementos de la
poblacin tienen la posibilidad de ser elegidos. Incluyen un anlisis
mayor estadstico y de planeacin, toman as tiempo y dinero que las
muestras subjetivas. Aleatorio simple: cada posible muestra tiene
igual probabilidad de ser seleccionada y cada elemento de la
poblacin tiene igual oportunidad de ser incluido en la muestra.
Sistemtico: cada elemento tiene igual probabilidad de ser incluido
pero cada muestra no tiene la misma oportunidad de ser elegida.
Estratificado: dividir la poblacin en grupos relativamente
homogneos, llamados estratos y luego se elige si se escoge
aleatoriamente un nmero especfico de elementos o extraemos el mismo
nmero de elementos de cada estrato y se ponderan los resultados.
Garantiza que cualquier elemento de la poblacin tenga la misma
posibilidad de ser elegido. Se elige cuando existe mayor varianza
entre grupos que dentro del mismo grupo; cuando los grupos son
homogneos.El muestreo de juicio y el de probabilidad no son
necesariamente excluyentes. Si existe poca informacin, se podra
sugerir uno de probabilidad.DISEO DE EXPERIMENTOSDefinimos un
evento como uno o ms de los resultados posibles de hacer algo, y un
experimento como la actividad que tendra como resultados tales
eventos.FASES1. Se hace una afirmacin2. Se establecen objetivos3.
Se selecciona la variable de respuesta4. Eleccin del tamao de
muestra5. Las condiciones experimentales se mantienen constantes6.
Anlisis de datos.INTRODUCCION A LAS DISTRIBUCIONES DE MUESTREOUna
distribucin de probabilidad de todas las medias posibles de las
muestras es una distribucin de las medias de las muestras. Los
especialistas en estadstica la conocen como distribucin de muestreo
de la media.Cualquier distribucin de probabilidad puede ser
descrita parcialmente por su media y su desviacin estndar.ERROR
ESTANDAR DE DESVIACION ESTANDAR DE LA DITRIBUCION DE DE LA
MUESTRA
La mediaMedias
ProporcinProporcin
EstadsticaEstadstica
MedianaMediana
RangoRango
DISTRIBUCION DE MUESTREOS
POBLACIONES NORMALESError estndar de la media para poblaciones
infinitas, con reemplazo:
Estandarizacin de la media de la muestra:
El error estndar de la media es el error de muestreo.POBLACIONES
NO NORMALESTEOREMA DEL LIMITE CENTRALLa media de la distribucin de
muestra de la media ser igual a la media de la poblacin, sin
importar el tamao de la muestra; la distribucin de muestreo de la
media se acercara a la normalidad, sin importar la forma de la
distribucin de la poblacin.El teorema del lmite central asegura que
la distribucin de muestreo de la media se aproxima a la normal al
incrementarse el tamao de la muestra.La distribucin de muestreo de
la media tendr distribucin aproximadamente normal:
Para la mayora, sin importar la forma30 observaciones
Distribuciones bastante simtricas15 observaciones
Distribucin normalmenteSiempre
La importancia del teorema del lmite central es que nos permite
usar estadsticas de muestras para hacer inferencias con respecto a
los parmetros de poblacin, sin saber sobre la forma de la
distribucin de frecuencia de esa poblacin ms lo que podamos obtener
en la muestra.RELACIN ENTRE EL TAMAO DE MUESTRA Y EL ERROR
ESTANDARSi la dispersin disminuye ( se hace ms pequea) entonces los
valores tomados por la media de la muestra tienden a agruparse ms
cercanamente alrededor de , y viceversa. Al disminuir el error
estndar, el valor de cualquier media de muestra probablemente se
acercara al valor de la media de poblacin.MULTIPLICADOR DE POBLACIN
FINITAFactor de correccin para poblaciones finitas:
Error estndar de la media para poblaciones finitas:
Los especialistas en estadstica se refieren a la fraccin n/N
como la fraccin de muestreo, porque es la fraccin de la poblacin N
contenida en la muestra.Si la fraccin de muestreo es menor a 0,5 no
es necesario usar el multiplicador de poblacin finita. Si es mayor
debe utilizarse, o si el muestreo es conducido sin reemplazo de
poblaciones que son de tamao finito N.Cuando la muestra constituye
una muy pequea fraccin de la poblacin, el factor de correccin no
tiene ningn efecto en la estimacin del intervalo de confianza.Para
que sea ms pequea, debo agrandar n. En consecuencia, resulta que el
tamao absoluto de la muestra es el que determina la precisin del
muestreo.El fcpf siempre ser menor a 1, lo cual implica que en este
tipo de muestreo, las estimaciones surgidas resultan ms exactas, o
lo que es lo mismo, tienen menos dispersin en el
muestreo.ESTIMACIONLos administradores utilizan estimaciones porque
deben tomar decisiones racionales sin contar con la informacin
pertinente completa y con una cuota de incertidumbre de lo que el
futuro pueda deparar.Estadstica inferencial: tcnicas que permiten
dar considerado plausible acerca de un valor de parmetro
poblacional de inters.En la inferencia estadstica, debemos tomar
los resultados de una sola muestra y llegar a conclusiones acerca
de la poblacin, y no al contrario.Estadgrafos: medidas anlogas
obtenidas a partir de datos muestrales. Tambin conocidos como
estimadores. Se utilizan para proporcionar una idea del valor de a
media poblacional correspondiente, pero solo considerando los datos
muestrales.TIPOS DE ESTIMACIONESUna estimacin puntual es un solo
nmero que se utiliza para estimar un parmetro de poblacin
desconocido. A menudo, una estimacin puntual solo tiene dos
opciones: correcta o equivocada, por eso es mucho ms til si viene
acompaada por una estimacin del error que podra estar implicado.Una
estimacin de intervalo es un conjunto de valores que se utiliza
para estimar un parmetro de la poblacin. Una estimacin de este tipo
indica el error de dos maneras: por la extensin del intervalo y por
la probabilidad de que el verdadero parmetro poblacional se
encuentre dentro del intervalo.ESTIMADOR Y ESTIMACIONESUn estimador
es un estadstico de la muestra utilizado para estimar un parmetro
poblacional. Una estimacin es un valor especfico observado de un
estadstico que resulta de la muestra particular observada.CRITERIOS
PARA SELECCIONAR UN BUEN ESTIMADOR1. Insesgado: La media de la
distribucin muestral de las medias de las muestras tomadas de la
misma poblacin es igual a la media de la poblacin misma.2.
Eficiencia: Se refiere al tamao del error estndar del estadstico.
El ms eficiente ser el que tenga el menor error estndar o la menor
desviacin estndar de la distribucin muestral, tendr mayor
oportunidad de producir una estimacin ms cercana al parmetro
poblacional que se est considerando.3. Consistencia: Si al aumentar
el tamao de la muestra, se tiene casi la certeza de que el valor
del estadstico se aproxima bastante al valor del parmetro
poblacional4. Suficiencia: Si utiliza tanta informacin de la
muestra que ningn otro estimador puede extraer informacin adicional
acerca del parmetro de poblacin que se est estimando.Un estadstico
de la muestra dado no siempre es el mejor estimador de su parmetro
poblacional correspondiente. Considere una poblacin con distribucin
simtrica, en la que los valores de la media y mediana coinciden. En
este caso, la media de la muestra sera un estimador imparcial de la
mediana de la poblacin. Tambin, la media de la muestra sera un
estimador consistente de la mediana de la poblacin puesto que, al
aumentar el tamao de la muestra, el valor de la media de la muestra
tendera a acercarse bastante a la poblacin. Y la meda de la muestra
sera un estimador ms eficiente de la mediana de la poblacin que de
la mediana de la muestra misma, ya que en muestras grandes, la
media de la muestra tiene un error esta dar menor que la de la
mediana de la muestra. Al mismo tiempo, la mediana de la muestra de
una poblacin con distribucin simtrica sera un estimador imparcial y
consistente de la media de la poblacin, pero no el ms eficiente,
porque en muestras grandes su error estndar es mayor que el de la
media de la muestra.
ESTIMACIONES PUNTUALESLa media de la muestra es el mejor
estimador de la media de la poblacin. Es insesgada, consistente el
estimador ms eficiente y, siempre y cuando la muestra sea
suficientemente grande, su distribucin muestral puede ser
aproximada por medio de la distribucin normal.DESVIACION ESTANDAR
Muestra
PoblacinESTIMACION DE INTERVALO: CONCEPTOS BSICOSUna estimacin
de intervalo describe un conjunto o rango de valores dentro del
cual es posible que est un parmetro de la poblacin. Sabemos que si
seleccionamos graficamos un nmero grande de medias de muestras de
una poblacin, la distribucin de estas medias se aproximara a la
curva normal. Adems, la media de las medias muestrales ser igual a
la media de la poblacin. Para medir la extensin o dispersin de la
distribucin demedias muestrales podemos calcular el error estndar
de media.PROBABILIDAD DE QUE EL PARAMETRO POBLACIONAL CAIGA DENTRO
DE LA ESTIMACION DEL INTERVALOSeleccionamos una muestra de 200
bateras, con una vida media de 36 meses. Aplicando la frmula del
error estndar de la media obtenemos un error de 0,707 meses,
podemos decir que la vida til real de las bateras puede estar en
alguna parte de la estimacin de intervalo comprendida entre 35,293
y 36,707.Necesitamos calcular que la duracin real de las bateras
este en este intervalo o en otros intervalos de diferentes anchos
que podamos escoger, , , y as sucesivamente.Tenemos que la
probabilidad es 0,955 de que la media de una muestre de 200 bateras
este dentro de errores estndar de la media de la poblacin, dentro
del intervalo comprendido entre 34,586 y 37,414, tenemos un 90,7%
de confianza de que este dentro del intervalo que va de 33,879 a
38,121 meses o dentro de errores estndar de la media de la
poblacin.ESTIMACION DE INTERVALO DE INTERVALOS DE CONFIANZALa
probabilidad que asociamos con una estimacin de intervalo se conoce
como nivel de confianza esta probabilidad indica qu tanta confianza
tenemos de que la estimacin de intervalo incluya al parmetro de
poblacin. Una probabilidad ms alta implica una mayor confianza.El
nivel de confianza se simboliza como (1-) x100%, en donde es la
proporcin que se encuentra en los extremos de la distribucin que
esta fuera del intervalo de confianza.El valor de Z elegido para
construir el intervalo de confianza se lo conoce como el valor
crtico de la distribucin. Cualquier aumento en el nivel de
confianza se ogra ampliando simultneamente el intervalo de
confianza obtenido, hacindolo menos preciso y menos til.El
intervalo de confianza es el rango o alcance de la estimacin que
estamos haciendo.Los lmites de confianza son los lmites superior e
inferior del intervalo de confianza. +x es el LSC y -x es el LIC.A
medida que se establece un intervalo de confianza cada vez ms
estrecho, se determina un nivel de confianza cada vez ms bajo. Si
el intervalo de confianza es muy reducido, la estimacin est
asociada a n nivel de confianza tan bajo que cuestionamos su valor;
sacrificamos confianza para ganar precisin.Los altos niveles de
confianza producen intervalos ms amplios, de manera que
sacrificamos precisin para ganar confianza.Supongamos que tenemos
95% de confianza de que se encuentre entre 30 y 32. Esta afirmacin
no significa que se tiene 0,95 de probabilidad de que la media
caiga dentro del intervalo establecido para la muestra. Ms bien,
indica que si seleccionamos muchas muestras aleatorias del mismo
tamao y calculamos un intervalo de confianza para cada na, entonces
en alrededor del 95% de los casos la media de la poblacin caer
dentro de dicho intervalo.LSC Lmite superior de confianza y LIC
Lmite inferior de confianza
Es el valor de la tabla estandarizada normal, que tiene
acumulado hasta ese valor de probabilidad. Este valor se denomina
valor crtico de la distribucin. Los ms usuales:
(1-)Nivel de confianza
95%1,96
99%2,575
90%1,645
CLCULO DE ESTIMACIONES DE INTERVALO DE LA PROPORCION A PARTIR DE
MUESTRAS GRANDESDistribucin en el muestreo de la proporcin:
distribucin de probabilidades que puede asumir un estadstico
muestral, calculados a partir de muestras del mismo tamao y
extrados en forma aleatoria de la misma poblacin.Para las variables
categricas, en las cuales se registra la posesin o no de una
caracterstica, el parmetro poblacional de inters es la proporcin
que indica qu proporcin de la poblacin posee tal caracterstica:
Para derivar la media y la desviacin estndar de la distribucin
nominal:
N= nmero de ensayos o intentos P= probabilidad de tener xito Q=
1-p= probabilidad de fracasosTericamente, la distribucin binomial
es la distribucin correcta a utilizar en la construccin de
intervalos de confianza para estimar una proporcin de la
poblacin.Debido a que el clculo de probabilidades binomiales puede
ser largo, el uso de la misma para elaborar estimaciones de
intervalo de la proporcin de una poblacin es una proposicin
complicada. Conforme aumenta el tamao de la muestra, la distribucin
binomial puede aproximarse a la normal apropiada, que podemos
utilizar para aproximar la distribucin muestral. Los estadsticos
recomiendan que en la estimacin, n sea lo suficientemente grande
para que tanto np como nq sean al menos 5 cuando se usa la
distribucin normal como sustituto de la distribucin binomial.Los
lmites del intervalo sern:
Para un tamao dado, los intervalos de confianza para las
proporciones a menudo parecen ser ms amplias que los
correspondientes a variables continuas, esto se debe a que pueden
aportar mayor informacin. En otras palabras, una variable categrica
con solamente dos valores posibles es una medicin bastante general,
en comparacin con una variable continua, de modo que cada
observacin aporta solamente un poco de informacin acerca del
parmetro que estamos estimando.
Error estndar de la proporcin:
Error estndar estimado de la proporcin:
ESTIMACIONES DE INTERVALOS CON LA DISTRIBUCION tEl uso de la
distribucin t para hacer estimaciones se requiere siempre que el
tamao de la muestra sea menor o igual a 30 no est muy sesgada y la
desviacin estndar de la poblacin no se conozca. Adems, al utilizar
la distribucin t suponemos que la distribucin poblacional es normal
o aproximadamente normal.Fue estudiada por Gasset.CARACTERISTICAS
DE LA DISTIBUCION tLa distribucin t y normal tienen relacin. Ambas
son simtricas, acampanadas. En general, la distribucin t es ms
plana que la distribucin normal y hay una distribucin t para cada
tamao posible de muestra. Aun as, conforme el tamao de muestra o
grados de libertad se hace ms grande, la forma de la distribucin t
deja de ser plana y se aproxima ms a la normal. Esto se debe a que
conforme aumenta el tamao de la muestra, la desviacin de la muestra
se vuelve una mejor estimacin de la desviacin de la poblacin. Con
un tamao de muestra aproximadamente 120 o mayor, S estima a , con
suficiente precisin, de modo que existe poca diferencia entre las
distribuciones t y Z. Por esta razn, cuando la muestra es mayor a
120 se utiliza la distribucin Z en lugar de la distribucin t.La
distribucin t tiene ms rea en los extremos y menos en la parte
central que en el caso de la distribucin normal.Una distribucin t
es menor en la media y mayor en las colas que una distribucin
normal.
GRADOS DE LIBERTADPodemos definirlos como el nmero de valores
que podemos escoger libremente. Utilizaremos los grados de
libertado cuando elijamos una distribucin t para estimar una media
de poblacin, y utilizaremos n-1 grados de libertas, cuando n es
igual al tamao de la muestra.La varianza es mayor a 1. Cuanto ms
grados de libertad tenga, la varianza es ms cercana a 1 y ms se
aproximan las distribuciones.La idea de grados de libertad remite a
la cantidad de valores de una muestra que podra asumir cualquier
calor. Cada restriccin impuesta en la observacin, hace perder un
grado de libertad.USO DE LA TABLA DE DISTRIBUCION tDiferencias
entre la tabla t y la tabla z: La tabla t es ms compacta y muestra
reas y valores de t solo para algunos porcentajes (10, 5, 2 y 1%)
La tabla z no se concentra en la probabilidad de que el parmetro de
poblacin que se est estimando se encuentre dentro del intervalo de
confianza. En lugar de ello, mide la probabilidad de que el
parmetro de poblacin que estamos estimando no est dentro de nuestro
intervalo de confianza, de que est afuera. En la tabla t debemos
especificar los grados de libertad que se manejan.
ESTIMACION MEDIANTE EL MINIMO ESFUERZOImplica la seleccin de una
muestra inicial y un posterior muestreo de la muestra inicial.
Desarrollado por Efron, requieren el uso intensivo de la
computadora.No requieren de conocimiento de los parmetros de la
poblacin.Pasos a seguir:1. Seleccione una muestra aleatoria de
tamao n sin reemplazo de un marco de poblacin de tamao N.2. Tome un
ejemplo de la muestra inicial, seleccionando n observaciones con
reemplazo.3. De esta segunda muestra calcule la media, la
estadstica de inters.4. Repita los pasos 2 y 3 m veces diferentes.
M suele ser entre 100 y 1000.5. Forme la distribucin de muestreo
repetido de la estadstica de inters, utilizando un diagrama de
tallo y hoja o una presentacin ordenada.6. Para formar el intervalo
de confianza de mnimo esfuerzo utilice el valor que interseca al
menor y al mayor valor de de la estadstica.
INTERVALO DE PREDICCION PARA UN VALOR INDIVIDUAL FUTUROEl
intervalo de prediccin de n valor individual futuro est dado
por:
DETERMINACION DEL TAMAO DE MUESTRA EN ESTIMACIONSe presentara
cierto grado de error de muestreo por no estudiar la poblacin
completa. Siempre que tomamos una muestra, perdemos algo de
informacin til de la poblacin. Si queremos tener un alto nivel de
precisin debemos muestrear la poblacin lo suficiente para
asegurarnos que obtuvimos la informacin requerida. El error de
muestreo se puede controlar si seleccionamos una muestra con el
tamao adecuado. En general, cuanta ms precisin se requiera, ms
grande ser el tamao necesario de la muestra. Tenemos que pensar en
qu tanto error podeos aceptar y todava ser capaces de obtener
conclusiones adecuadas sobre los datos.Incluso en los casos en que
el nivel de confianza y el error de muestreo estn especificados,
debemos tener disponible una estimacin de la desviacin estndar, la
podemos desarrollar apropiadamente si tomamos en cuenta el alcance
y la distribucin de la variable. ; ; Debe conocerse:1. Nivel de
confianza Z2. Error de muestreo permitido, e. 100% - X% nivel de
confianza = e3. Desviacin estndar, Al determinar el tamao de
muestra cuando se estima la media, utilizamos la ecuacin del medio,
en la que n es el tamao de la muestra sin considerar el factor de
correccin de poblacin finita.La aplicacin del factor de correccin
tiene como resultado el tamao de muestra real, n, calculado con la
ecuacin:
La regla indica que se utilizara un valor de p=0,5 dado que es
un criterio conservador, que dar un mayor valor e la varianza y
tamao de la muestra.Para poblaciones finitas, se obtiene despejando
n de la frmula del error, en el que se utilizara el factor de
correccin.Determinar el tamao de la muestra nos asegura que el
estimador se vuelve ms confiable con muestras grandesCUNDO APLICAR
CADA ESTADSTICO? Para estimar el intervalo para la media
poblacional, se aplica la distribucin normal, en caso de
distribucin normal de la variable de estudio, o en su defecto si la
muestra es superior a 30 casos. El uso de la distribucin t en la
estimacin por intervalos de la media poblacional es un requisito
cuando desconocemos la varianza poblacional, con distribucin de la
variable en estudio normal si la muestra es menor a 30 casos, y es
recomendable, en idnticas condiciones, aun cuando la muestra es
mayor. Se usan todos los casos en que necesites estimar la
varianza.
FUNDAMENTOS DE LA PRUEBA DE HIPOTESISLa prueba de hiptesis
comienza con una suposicin llamada hiptesis, que hacemos acerca de
un parmetro de poblacin. Empieza con algo de teora, afirmacin o
asercin con respecto a un parmetro particular de una poblacin.Una
hiptesis nula es siempre una de status quo o de no
diferencia.Siempre que especifiquemos una hiptesis nula debemos
especificar una hiptesis alternativa, o una que debe ser verdadera
si se encuentra que la hiptesis nula es falsa.La hiptesis
alternativa representa la conclusin a la que se llegara si hubiera
suficiente evidencia de la informacin de la muestra para decidir
que es improbable que la hiptesis nula sea verdadera y, por lo
tanto, rechazarla.No rechazar la hiptesis nula no prueba que sea
cierta; simplemente no nos proporciona evidencia estadstica para
rechazarla. Siempre que afirmemos que aceptamos la hiptesis nula,
en realidad lo que queremos decir es que no hay suficiente
evidencia para rechazarla, porque estamos basando nuestra decisin
nicamente en la informacin de la muestra, no en la poblacin entera.
Si no rechazamos la hiptesis nula, lo nico que podemos decir es que
la evidencia fue insuficiente para garantizar su rechazo. La
hiptesis nula es la que se va a probar La hiptesis alternativa es
contraria a la nula, representa la conclusin a la que se llegara si
la hiptesis nula fuera rechazadaEn lo que se conoce como metodologa
de prueba de hiptesis clsica: La H0 siempre se refiere a un valor
especificado del parmetro de poblacin. El planteamiento de H0
contiene un signo de igualdad. El planteamiento de la H1 nunca
contiene un signo de igualdad.Una vez definida la hiptesis,
recolectamos datos de muestra, producimos estadsticas muestrales y
usamos esta informacin para decidir qu tan probable es que nuestro
parmetro de poblacin hipottico sea correcto. Digamos que suponemos
un cierto valor para una media de poblacin. Para probar la validez
de esa suposicin recolectamos datos de muestra y determinamos la
diferencia entre el valor hipottico y el valor real de la media de
la muestra. Despus juzgamos la diferencia obtenida, si es o no
significativa. Mientras ms pequea sea la diferencia, mayor ser la
probabilidad de que nuestro valor hipottico para la media sea
correcto. Mientras mayor sea la diferencia, ms pequea ser la
probabilidad.Nuestro estndar mnimo para una probabilidad, tambin es
el riesgo que corremos de rechazar una hiptesis que es cierta.
PRUEBA DE HIPOTESISEn una prueba de hiptesis, debemos establecer el
valor supuesto o hipottico del parmetro de poblacin antes de
comenzar a tomar la muestra. La suposicin que deseamos probar se
conoce como hiptesis nula y se simboliza H0.Un valor hipottico de
una media de poblacin seria: H0.Si los resultados de nuestra
muestra no respaldan la hiptesis nula, debemos concluir que se
cumple alguna otra cosa. Siempre que rechazamos la hiptesis, la
conclusin que s aceptamos se llama hiptesis alternativa cuyo smbolo
es H1.La distribucin de muestreo de la estadstica de prueba se
divide en dos regiones: una regin de rechazo o crtica y una regin
de no rechazo. Si la estadstica de prueba cae dentro de la regin de
no rechazo, no se puede rechazar la hiptesis nula.La regin de
rechazo puede considerarse como el conjunto de valores de la
estadstica de prueba que no tienen posibilidad de presentarse si la
hiptesis nula es verdadera. Por otro lado, estos valores no son tan
improbables de presentarse si la H0 es falsa. En consecuencia, si
observamos un valor de la estadstica de prueba que cae en esta
regin critica, rechazamos la H0 porque el valor seria improbable si
sta fuera verdadera.Con el fin de tomar una decisin con respecto a
la H0, primero debemos determinar el valor crtico de la estadstica
de prueba. El valor crtico separa las regiones de rechazo y no
rechazo; depende del tamao de la primera, que est relacionada con
el riesgo implicado en el uso de una sola evidencia de muestra para
tomar decisiones con respecto a un parmetro de poblacin.ERRORES DE
TIPO I Y IIRechazar una hiptesis nula cuando es cierta se denomina
error tipo I o nivel de significacin y su probabilidad se simboliza
con . Los investigadores han elegido niveles de alfa igual o
menores a 5.Aceptar una hiptesis nula cuando es falsa se le llama
error tipo II o riesgo , y su probabilidad se simboliza con . Se
conoce tambin como nivel de riesgo del consumidor. Depende de la
diferencia entre los valores supuesto y real del parmetro de
poblacin.La probabilidad de cometer un tipo de error puede
reducirse solo si estamos dispuestos a aumentar la probabilidad de
cometer el otro tipo de error.Con el fin de obtener una baja,
tendremos que tolerar una alta. Los tomadores de decisiones deciden
el nivel de significancia adecuando examinando los costos o la
penalizacin vinculados con ambos tipos de error.INTERPRETACIN DEL
NIVEL DE SIGNIFICANCIA El propsito de la prueba de hiptesis no es
cuestionar el valor calculado del estadstico de la muestra, sino
hacer juicio respecto a la diferencia entre ese estadstico y un
parmetro hipottico de la poblacin.Qu pasa si probamos una hiptesis
con 5% de nivel de significancia? Esto quiere decir que
rechazaremos la hiptesis nula si la diferencia entre el estadstico
y el parmetro hipottico de la poblacin es tan grande que esta u
otra diferencia mayor ocurrir, en promedio, solo cinco o menos
veces en cada 100 muestras, cuando el parmetro hipottico de la
poblacin es correcto. Si suponemos que la hiptesis es correcta,
entonces el nivel de significancia indicara el porcentaje de medias
muestrales que esta fuera de ciertos lmites. El nivel de confianza
indicaba el porcentaje de medias muestrales que caan dentro de los
lmites de confianza obtenidos.SELECCIN DE UN NIVEL DE
SIGNIFICANCIACuanto ms alto sea el nivel de significancia que
utilizamos para probar una hiptesis, mayor ser la probabilidad de
rechazar la hiptesis nula cuando es cierta.Cuanto ms alto sea el
nivel de significancia, el rea de no rechazo ser ms pequea, por lo
que rara vez se rechaza una hiptesis cierta.MEDICION DE LA POTENCIA
DE UNA PRUEBA DE HIPOTESISPor cada valor de para el que la hiptesis
alternativa es cierta hay una probabilidad diferente, , de aceptar
incorrectamente una hiptesis nula. Claro que desearamos que esta
fuera lo ms pequea posible o, de manera equivalente, nos gustara
que 1- fuera lo ms grande posible.Puesto que rechazar una hiptesis
nula cuando es falsa es justo lo que debe hacer una buena prueba,
un valor alto de 1- (algo cerca de 1.0) significa que la prueba
trabaja bastante bien (rechaza la hiptesis nula cuando es falsa);
un valor bajo de 1- (cerca de 0.0) significa que la prueba trabaja
muy mal (no rechaza la hiptesis cuando es falsa). Como el valor de
1- es la medida de qu tan bien trabaja la prueba, recibe el nombre
de potencia de prueba.Es decir, es la probabilidad de rechazar H0
cuando sta es falsa y debe ser rechazada.COEFICIENTE DE
CONFIANZAEst representado por 1-, es la probabilidad de que H0 no
sea rechazada cuando de hecho es verdadera y debera ser
aceptada.Representa la probabilidad de llegar a la conclusin de que
el valor especificado del parmetro que se est probando con la H0
pueda ser plausible.RIESGOS EN LA TOMA DE DECISIONESDependiendo de
la decisin especifico, uno de dos clases de error se puede cometer,
o se puede llegar a una de dos conclusiones correctas.Una manera en
que podemos controlar la probabilidad de cometer un error del tipo
II en un estudio, consiste en aumentar el tamao de la muestra. Para
un nivel dado de , aumentar el tamao de la muestra disminuir y
aumentara la potencia de la prueba para detectar si a H0 es
falsa.SITUACION
Decisin estadsticaH0 verdaderaH0 falsa
No rechazar H0Confianza ( 1-)Error tipo II
Rechazar H0Error tipo IPotencia (1-)
Podemos determinar el efecto de a potencia sobre la prueba si
variamos, uno a la vez: El tipo de prueba estadstica: de uno o dos
extremos: Una prueba de un extremo es ms poderosa que una de dos
extremos, y se debera utilizar siempre que sea adecuado especificar
la direccin de la H1. El nivel de significacin: Puesto que la
probabilidad de cometer un error de tipo I y la del II tienen una
relacin inversa, y esta ltima es el complemento de la potencia de
prueba, entonces alfa y la potencia de prueba varan en proporcin
directa. Un aumento en el valor de significancia escogido tendra
como resultado un aumento en la potencia de la prueba; una
disminucin en alfa tendra como resultado una disminucin en la
potencia. El tamao de la muestra: Un aumento en el tamao de la
muestra escogida tendra como resultado un aumento en la potencia de
la prueba; una disminucin en el tamao de la muestra seleccionada
tendra como resultado una disminucin en la prueba.DETERMINACION DEL
TAMAO DE MUESTRA BASANDOSE EN Y Suponiendo que se trata de una
prueba de un extremo:
DECISION DE QU TIPO DE DISTRIBUCION USAR EN LA PRUEBA DE
HIPOTESISCondiciones para usar las distribuciones normal y t en la
prueba de hiptesis sobre mediasSe conoce No se conoce
30 < nNormal, zNormal, z
30 > o = nNormal, zDistribucin t
Otra regla que debe cumplirse al probar el valor hipottico de
una media. Al igual que en la estimacin, utilice el multiplicador
de poblacin finita siempre que la poblacin sea finita en tamao, el
muestreo se haga sin reemplazo y la muestra sea de ms del 5% de la
poblacin.PRUEBAS DE HIPOTESIS DE DOS COLAS Y DE UNA COLAUna prueba
de dos colas rechaza la hiptesis nula si la media de muestra es
significativamente mayor o menor que la media hipottica de la
poblacin. Por lo tanto, en una prueba de dos colas, existen dos
regiones de rechazo.Una prueba de dos colas es apropiada cuando la
hiptesis nula es = H0 y la hiptesis alternativa es H0. En este
caso, la evidencia muestral con la media de la muestra
significativamente menor que la media hipottica de la poblacin es
la que nos lleva a rechazar la hiptesis nula en favor de la
hiptesis alternativa. Dicho de otro modo, la regin de rechazo est
en la cola inferior de la distribucin de la media muestral, y esa
es la razn por la que la llamamos prueba de cola inferior.Otro tipo
de prueba de una cola es una prueba de cola derecho o superior. Una
prueba de cola superior se utiliza cuando las hiptesis son H0: = H0
y H1: > H0. Solo los valores de la media de la muestra que son
significativamente mayores que la media hipottica de la poblacin
harn que rechacemos la hiptesis nula en favor de la hiptesis
alternativa.
VALOR P PARA LA PRUEBA DE HIPOTESISEl valor p es la probabilidad
de obtener una estadstica de prueba igual o ms exacta que el
resultado obtenido a partir de los datos de la muestra, dado que la
H0 es realmente verdadera.Al valor p se o conoce como el nivel de
significacin observado, que es el mnimo nivel al cual H0 puede ser
rechazada para un conjunto de datos.
PRUEBAS DE UNA MUESTRA CON DATOS NUMRICOSELECCION DEL
PROCEDIMIENTO DE PRUEBA APROPIADAPROCEDIMIENTOS PARAMTRICOSLos
procedimientos de prueba paramtricos pueden definirse como aquellos
que:1) Requieren que el nivel de medicin obtenido con los datos
recolectados este en forma de escala de intervalo o de una escala
de cociente2) Implican la prueba de hiptesis de valores de parmetro
especificados3) Requieren un conjunto limitante de suposicionesSin
embargo, podemos decidir qu tipos de procedimientos escoger si: Las
mediciones obtenidas con los datos son solamente categricas, es
decir, estn escaladas nominalmente; o en rangos, escaladas
ordinalmente. Las suposiciones subyacentes en el uso de los mtodos
paramtricos pueden no cumplirse. La situacin requiere el estudio de
caractersticas tales como aleatorizacin, independencia, simetra o
bondad de ajuste en lugar de la prueba de hiptesis con respecto a
valores especficos de parmetros de poblacin en
particular.PROCEDIMIENTOS SIN DISTRIBUCION Y NO PARAMETRICOSLos
procedimientos de prueba sin distribucin pueden definirse
ampliamente como:1. Aquellos cuya estadstica de prueba no depende
de la forma de la distribucin de la poblacin subyacente de la cual
se tom la muestra de datos2. Aquellos para los cuales los datos no
tienen fuerza suficiente para garantizar operaciones aritmticas
significativas, estn escalados nominal u ordinalmente.Los
procedimientos no paramtricos pueden definirse como aquellos que no
tienen que ver con los parmetros de una poblacin.Principales
ventajas del uso de estos dos procedimientos: Pueden utilizarse en
todo tipo de datos: categricos, de rangos datos medidos con ms
precisin. Son fciles de aplicar y rpidos de calcular cuando los
tamaos de muestra son pequeos. Implican un menor nmero de
suposiciones menos limitantes que los mtodos paramtricos. En
consecuencia, tienen una mayor aplicabilidad y producen un conjunto
de conclusiones ms general y con una base amplia. Los mtodos no
paramtricos permiten la resolucin de problemas que no implican la
prueba de parmetros de la poblacin. Dependiendo del procedimiento
particular elegido, los mtodos sin distribucin pueden ser
igualmente o casi, poderosos que el procedimiento paramtrico
correspondiente cuando las suposiciones del ltimo se cumplen, y
cuando no se cumplen pueden ser bastante ms poderosos.Principales
desventajas: Utilizar mtodos libres de distribucin cuando se pueden
cumplir todas las suposiciones de procedimiento paramtrico.
Conforme aumenta el tamao de la muestra, la manipulacin de datos
requerida para efectuar o procedimientos sin distribucin y los no
paramtricos es laboriosa. Con frecuencia se necesitan tablas
especiales de valores crticos y no es tan fcil disponer de
ellas.IMPORTANCIA DE LAS SUPOSICIONES EN LA SELECCIN DE LA PRUEBASe
dice que algunos procedimientos de prueba paramtricos son robustos
porque son relativamente insensibles a ligeras violaciones en las
suposiciones. Sin embargo, cuando las violaciones son grandes, y 1-
reales pueden diferir enormemente de lo que se espera. En esos
casos, una prueba paramtrica no es vlida y debera seleccionarse un
procedimiento sin distribucin.No es ventajoso utilizar un
procedimiento libre de distribucin cuando todas las suposiciones de
la correspondiente prueba paramtrica pueden lograrse.PRUEBAS DE
HIPOTESIS DE MEDIAS CUANDO SE CONOCE LA DE LA POBLACIONPRUEBA DE
HIPOTESIS USANDO LA ESCALA ESTANDARIZADAHay dos escalas de medicin,
la escala original o sin procesar y la escala estandarizada. Como
estos dos nmeros se dan en dos escalas distintas, no podemos
compararlos directamente cuando probamos nuestras hiptesis. Debemos
convertir uno de ellos a la escala del otro. Hicimos nuestra prueba
de hiptesis en la escala original al convertir los valores z
crticos a los valores crticos de en la escala original.En lugar de
convertir los valores crticos z a la escala original, para obtener
nmeros directamente comparables con el valor observado de ,
podramos haber convertido nuestro valor observado de
estandarizada:
Los dos mtodos siempre llevaran a las mismas conclusiones,
utilizaremos el que nos resulte ms cmodo.EL PROCESO DE CINCO PASOS
PARA LA PRUEBA DE HIPOTESIS UTILIZANDO LA ESCALA ESTANDARIZADA1)
Decida si esta es una prueba de dos colas o una. Establezca su
hiptesis. Seleccione un nivel de significancia apropiado para esta
decisin.2) Decida qu distribucin, z o t, es adecuada y encuentro
valores crticos para el nivel de significancia elegido en la tabla
adecuada.3) Calcule el error estndar del estadstico muestral. Use
el error estndar para convertir el valor observado del estadstico
en un valor estandarizado.4) Bosqueje la distribucin y marque la
posicin del valor de la muestra estandarizado y del valor crtico
para la prueba.5) Compre el valor del estadstico muestral
estandarizado con los valores crticos para esta prueba e interprete
el resultado.PRUEBA DE HIPOTESIS PARA PROPORCIONES: MUESTRAS
GRANDESPRUEBA DE UNA O DOS COLAS PARA PROPORCIONES1. Establezca sus
hiptesis, tipo de prueba y nivel de significancia2. Elija la
distribucin apropiada y encuentre el valor critico3. Calcule el
error estndar y estandarice el estadstico de la muestra
4. Bosqueje la distribucin y seale el valor de la muestra y los
valores crticos5. Interprete el resultado.PRUEBA DE HIPOTESIS DE
MEDIAS CUANDO NO SE CONOCE LA DE LA POBLACIONPRUEBA DE UNA O DOS
COLAS PARA MEDIAS USANDO LA DISTRIBUCION tComo nuestra prueba de
hiptesis se basa en la distribucin t, usamos t para denotar el
estadstico estandarizado:
Si utilizamos la distribucin t para una prueba de una cola,
necesitamos determinar el rea localizada solo en una de ellas.La
prueba t est considerada como un procedimiento paramtrico clsico.
Como tal, requiere de un cierto nmero de suposiciones limitantes
que deben cumplirse si queremos estar seguros de que los resultados
obtenidos al emplear la prueba son vlidos. En particular, para
utilizar la prueba t de una muestra se supone que los datos
numricos son tomados de manera independiente y representan una
muestra aleatoria de la poblacin que est distribuida
normalmente.PRUEBA DE HIPOTESIS: PRUEBAS DE DOS MUESTRASPRUEBA DE
HIPOTESIS PARA DIFERENCIAS ENTRE MEDIAS Y PROPORCIONESDISTRIBUCION
DE MUESTREO PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS PARAMETROS DE POBLACIONLa
distribucin de muestreo que nos interesa es la distribucin muestral
de la diferencia entre medias muestrales.La media de la distribucin
muestral es la diferencia entre las medias muestrales se
representan por y es igual a . Si ambas son iguales, su diferencia
ser 0.La desviacin estndar de las diferencias entre las medias de
la muestra se conoce como el error estndar de la diferencia entre
dos medias y se calcula con la siguiente formula:
Si no conocemos las dos desviaciones de la poblacin, podemos
estimar el error estndar de la diferencia entre dos medias
utilizando .PRUEBAS PARA DIFERENCIAS ENTRE MEDIAS: Suponemos que
estamos tomando las muestras de poblaciones distribuidas
normalmente que tienen la misma varianza.En situaciones en las que
no podemos hacer la suposicin de que las dos poblaciones realmente
estn distribuidas normalmente, la prueba t de varianza conjunta es
robusta, es decir que no es sensible con respecto a violaciones
moderadas de la suposicin, siempre y cuando el tamao de muestras
sea grande. En tales situaciones, la prueba t de varianza conjunta
puede utilizarse sin que se vea seriamente afectada en su
potencia.Si el tamao de las muestras es pequeo y no podemos suponer
que los datos fueron tomados de poblaciones distribuidas
normalmente: se puede realizar alguna transformacin normalizante y
luego utilizar la prueba de t de varianza conjunta; o seguir un
procedimiento de libre distribucin, como la prueba de suma de
rangos de Wilcoxon, que no dependen de la suposicin de normalidad
de las dos poblaciones.En situaciones en las que no podemos o no
deseamos hacer la suposicin de que las dos poblaciones estn
distribuidas normalmente, de las cuales se tomaron las muestras que
tienen igual varianza, se dice que tiene un problema de Behrens
Fisher, y se puede utilizar la prueba t de varianza separada,
desarrollada por Satterwaite.MUESTRAS GRANDESCuando ambos tamaos de
muestra son mayores que 30, estandarizamos la diferencia de las
medias entre las muestras. Primero calculamos la diferencia
hipottica de las medias de las poblaciones y luego dividimos entre
el error estndar estimado de la diferencia entre las medias
muestrales.
MUESTRAS PEQUEASNuestra primera tarea al efectuar la prueba
consiste en calcular el error estndar de la diferencia entre las
dos medias. Como no se conocen las desviaciones estndar de las
poblaciones, utilizaremos la .La estimacin conjunta de 2:
Como tenemos que usar las varianzas de la muestra para estimar
el valor desconocido de 2, la prueba estar basada en la distribucin
t. Este caso es igual a probar una sola media de tamao n, cuando no
conocemos el valor de 2. Ah utilizamos una distribucin t con n-1
grados de libertad, debido a que una vez que conocemos la media de
la muestra solo n-1 observaciones se pueden especificar
libremente.En el paso 3, clculo del error estndar estimado de la
diferencia entre dos medias muestrales, con muestras pequeas y
varianzas de poblaciones iguales tenemos:
PRUEBA DE DIFERENCIAS ENTRE MEDIAS CON MUESTRAS DEPENDIENTESEl
uso de muestras dependientes o apareadas permite llevar a cabo un
anlisis ms preciso, porque permite controlar factores externos. Con
muestras dependientes, todava se sigue el procedimiento bsico
adoptado en todas las pruebas de hiptesis. Las nicas diferencias
consisten en que se emplea una formula distinta para el error
estndar estimado de las diferencias muestrales y que es necesario
que ambas muestras sean del mismo tamao.Con muestras
independientes, la hiptesis nula no puede ser rechazada.PRUEBAS
PARA DIFERENCIAS ENTRE PROPORCIONES: MUESTRAS GRANDESPRUEBAS DE DOS
COLAS PARA DIFERENCIAS ENTRE PROPORCIONESEl error estndar de la
diferencia entre dos proporciones:
Si establecemos la hiptesis de que no hay diferencia entre las
dos proporciones de la poblacin, entonces la mejor estimacin de la
proporcin global de xitos en la poblacin es, tal vez, la proporcin
combinada de xitos en ambas muestras, esto es:
Y en el caso de los dos compuestos:
Estandarizamos la diferencia entre as dos proporciones de la
muestra observada, dividimos entre el error estimado de la
diferencia entre dos proporciones:
VALOR P: OTRA MANERA DE VER LAS PRUEBAS DE HIPOTESISCuando
probamos las hiptesis, tomamos una muestra, calculamos la media y
rechazamos la hiptesis nula si la media de la muestra se aleja de
la poblacional, que la probabilidad de encontrar una gran
diferencia entre ambas es menor que 0,05. En otras palabras, antes
de tomar la muestra especificamos qu tan improbables debern ser los
resultados observados para que rechacemos la hiptesis nula. Existe
otra forma de enfocar la decisin de aceptar o rechazar la hiptesis
nula que no requiere especificar el nivel de significancia antes de
tomar la muestra. VALORES P PARA OTRAS CONDICIONES1. Si fuera
conocida y estuviramos realizando una prueba de una cola, habramos
calculado el valor P exactamente de la misma manera, con la
excepcin de que no multiplicaramos por dos la probabilidad obtenida
en la tabla de distribucin normal, porque esa tabla da las
probabilidades de una cola directamente.2. Si no se conociera ,
habramos utilizado la distribucin t con n-1 grados de libertad y la
tabla de distribucin de t de Student. Esta tabla nos da las
probabilidades de dos colas, pero solo unas cuantas, de modo que no
podemos obtener valores p exactos.3. PRUEBA DE HIPOTESIS X2 PARA LA
VARIANZA O DESVIACION ESTANDARLas pruebas de ji cuadrada nos
permiten hacer mucho ms que probar la igualdad de varianzas de
proporcin.
Una distribucin chi cuadrada es una distribucin sesgada cuya
forma depende exclusivamente de los grados de libertad; a medida
que aumenta, la distribucin se vuelve ms simtrica.Debemos tener
cuidado al probar una hiptesis con respecto a una varianza o
desviacin estndar de la poblamos, tenemos que ser conscientes de
que hemos supuesto que los datos de la poblacin estn distribuidos
normalmente. Esta prueba es bastante sensible a los alejamientos de
tal suposicin, es decir que no es una prueba robusta, de tal modo
que si la poblacin no est distribuida normalmente, en especial para
tamaos pequeos de muestra, la precisin de la prueba puede verse
seriamente afectada.PRUEBA DE HIPOTESIS DE RANGOS CON SIGNO
WILCOXON PARA LA MEDIANALa prueba de rangos con signo de Wilcoxon
puede utilizarse cuando deseamos probar una hiptesis con respecto a
la mediana de la poblacin, Mx. este procedimiento libre de
distribucin, que no implica ninguna suposicin acerca de la forma
especfica de la distribucin de poblacin subyacente, excepto que sea
aproximadamente simtrica.Es ms probable que el procedimiento de
Wilcoxon, que hace pocas suposiciones menos limitantes que la
prueba t, sea ms poderoso para detectar la existencia de
diferencias significativas que su correspondiente contraparte
paramtrica.Las suposiciones necesarias para llevar a cabo la prueba
de rangos con signo de Wilcoxon son:1. Que los datos observados
constituyan una muestra aleatoria de n valores independientes de
una poblacin con una mediana desconocida.2. Que el fenmeno
aleatorio subyacente de inters sea continuo.3. Que los datos
observados sean medidos a un nivel ms alto que la escala ordinal4.
Que la poblacin subyacente sea aproximadamente simtricaNo todas las
distribuciones simtricas tienen forma de campana, aunque todas las
distribuciones normales son simtricas y tienen forma de
campana.Para llevar a cabo la prueba se deben seguir seis pasos:1)
Obtenemos un conjunto de resultados de diferencia Di entre cada uno
de los valores observados y el valor especificado de la mediana
supuesta: , donde i=1, 2, 32) Obtenemos un conjunto de n
diferencias absolutas: |Di|3) Omitimos cualquier diferencia cuyo
resultado es 0.4) Luego asignamos rangos, , de 1 a n a cada una de
las diferencias absolutas, de modo tal que la ms pequea obtenga el
rango 1 y la mayor el rango n. Debido a una falta de precisin en el
proceso de medicin, si dos o ms de las |D| son iguales, a cada una
se le asigna un rango promedio de los rangos que tendran asignaos
de manera individual.5) Reasignamos los signos + y a cada uno de
los n rangos, dependiendo d si la diferencia era originalmente
positiva o negativa.6) La prueba de Wilcoxon, W, se obtiene de a
suma de los rangos positivos:
La prueba estadstica de prueba W est distribuida de manera
aproximadamente normal, y puede utilizarse la siguiente formula de
aproximacin de muestra grande para probar la H0:
Entonces:
PRUEBA DE CORRIDAS DE UNA MUESTRA DE WALD-WOLFWITZSe supone que
todos los datos recolectados en un estudio constituyen una muestra
aleatoria, de modo que cada observacin o medida es tomada de la
poblacin de manera aleatoria e independiente. Tal suposicin puede
ser probada mediante el empleo de un procedimiento no paramtrico
conocido como pruebas de corridas de una muestra de Wald-Wolfwitz
para aleatoriedad.Para probar la aleatoriedad: H0: el proceso que
genera el conjunto de datos numricos es aleatorio H1: el proceso
que genera el conjunto de datos numricos no es aleatorioLa hiptesis
nula de aleatoriedad puede probarse mediante la observacin del
orden o secuencia e que se obtienen los elementos de la muestra. Si
a cada elemento se le asigna uno de dos trminos, como E y F (xito y
fracaso), dependiendo de si la medida cae por arriba o por debajo
de un cierto valor, la aleatoriedad de la secuencia puede ser
investigada. Si esta es generada de manera aleatoria, el valor E o
F de un elemento ser independiente tanto de su posicin en la
secuencia como del valor de los elementos que le preceden.Por otra
parte, si el valor de un elemento de la secuencia es afectado por
los valores de los dems elementos, o si la probabilidad de su
ocurrencia depende de su posicin en la secuencia, el proceso que la
genera no es considerado aleatorio. En los casos no aleatorios, los
elementos parecidos tendern a agruparse o se mezclaran de manera
alternada, de modo que se presentara algn efecto peridico
sistemtico.Para estudiar si una secuencia observada es aleatoria o
no, consideraremos como estadstica de prueba el nmero de corridas
presentes en los datos.Una corrida se define como una serie de
elementos similares que estn limitados por elementos de un tipo
diferente o por el inicio o el final de la secuencia.Al probar la
aleatoriedad, lo esencial es el ordenamiento o la colocacin de los
elementos de la secuencia, no nada ms la frecuencia de los
elementos de cada tipo.En caso de querer comprobar la aleatoriedad
utilizaremos una prueba de dos colas.Si estamos interesados en
probar la aleatoriedad contra una alternativa especfica
utilizaremos una prueba de una cola: Izquierda U menor o igual al
valor crtico: efecto de tendencia, hay tendencia de agrupamiento de
los elementos parecidos. Derecha U mayor al valor crtico: efecto
sistemtico o peridico, se presentan demasiadas corridas.La frmula
de clculo:
JI CUADRADA COMO PRUEBA DE INDEPENDENCIALa prueba de
independencia permite establecer si existe o no relacin entre
variables categricas, cuando cada una de las cuales posee dos o mas
categoras.La prueba ji-cuadrada es una prueba de carcter general
que se utiliza cuando se desea determinar si las frecuencias
absolutas obtenidas en la observacin difieren significativamente o
no de las que se esperaran bajo cierta hiptesis planteada de
interrelacion de las categoras de las variables consideradas.En las
pruebas de ji-cuadrada de independencia, siempre se coloca el
riesgo de no aceptar la hiptesis nula siendo sta cierta en el
extremo superior de valores de la distribucin.
Tablas de contingenciaDescribiremos las dimensiones de una tabla
de contingencia estableciendo primero el nmero de renglones y luego
el nmero de columnas. El total no cuenta como parte de las
dimensiones.Frecuencias observadas
Pn es la proporcin del noreste que prefieren el plan actual Ps
sureste que prefieren plan actualPc proporcin centralPw proporcin
oesteFrecuencia real:NSCWTOTAL
N ACTUAL68755779279
N NUEVO32453331141
TOTAL10012090110420
Frecuencia esperada:NSCWTOTAL
N ACTUAL66,4379,7259,7973,07-
N NUEVO33,5740,2830,2136,93-
TOTAL-----
Podemos combinar las muestras: Prefieren actual:
Prefieren lo nuevo: El estadstico ji-cuadrada
En el ejemplo es igual a 2,7638.Si este valor fuera muy grande,
indicara una diferencia sustantiva entre los valores esperados los
observados. Una ji-cuadrada igual a cero indica que las frecuencias
son exactamente iguales. Nunca puede ser negativo porque las
frecuencias estn elevadas al cuadrado.Para probar la hiptesis nula,
debemos comparar las frecuencias que se observaron con las que
esperaramos si la hiptesis nula fuera verdadera. Si el conjunto de
ambas frecuencias son casi iguales, podemos razonar de manera
intuitiva que la hiptesis nula se acepta. Si existe una diferencia
grande entre estas frecuencias, podemos rechazar la hipotesis nula
intuitivamente y concluir que existen diferencias significativas en
las proporciones.La distribucin de ji-cuadradaPara un numero pequeo
de grados de libertad (gl), la distribucin ji-cuadrada estar
seriamente sesgada a la derecha. Conforme aumentan los gl, la curva
de hace cada vez mas simtrica hasta que el numero de grados alcanza
valores grandes, en cuyo caso puede aproximarse con la normal.
Determinacin de los gl
Tabla de cotingencia con mas de dos renglones
: frecuencia esperada en una celda dadaRT: total por rengln,
para el que contiene esa celdaCT: total por columna, para la que
contiene esa celdaN: numero total de observacionesPrecauciones al
usar ji-cuadradaUsar tamaos de muestras grandes. Para evitar
incurrir en inferencias incorrectas de la prueba de hiptesis
ji-cuadrada, siga la regla general de que una frecuencia esperada
de menos de 5 en una celda de una tabla de contingencia es muy
pequea para utilizarla.Utilizar con cuidado los datos recolectados.
Si el valor de ji-cuadrada fuera cero, tendramos que ser cuidadosos
al preguntar si existe absolutamente ninguna diferencia entre las
frecuencias esperadas y las observadas.PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE:
PRUEBA DE LO APROPIADO DE UNA DISTRIBUCIONLa prueba ji-cuadrada
puede utilizarse tambin para decidir si una distribucin de
probabilidad en particular, como la binomial, la de Poisson o la
normal, es la apropiada. La prueba de ji-cuadrada nos permite
probar si hay una diferencia significativa entre una distribucin de
frecuencias observadas y una distribucin de frecuencias tericas. De
esta forma, podemos determinar si debemos creer que los datos
observados constituyen una muestra obtenida de la distribucin
teorica hipottica.La prueba de bondad sirve para determinar si una
poblacin tiene una distribucin teorica especifica, ya sea una
distribucin conocida o una distribucin ad hoc.La prueba se basa en
que tan buen ajuste o concordancia tiene entre las frecuencias de
ocurrencia de las observaciones de una muestra observada y las
frecuencias esperadas que se obtienen a partir de una distribucin
hipottica.La hiotesis nula ser que la variable tiene la distribucin
supuesta y la hiptesis alternativa esta dada por que la variable no
sigue la distribucin supuesta.En las pruebas de ji-cuadrada de
bondad de ajuste, siempre se coloca el riesgo de no aceptar la
hiptesis nula siendo sta cierta en el extremo superior de valores
de la distribucin.
Calculo de las frecuencias observadas y esperadas. Calculo de
ji-cuadrada Ho: P=40 es buena H1: P=40 no es buena Distribucin
binomial 0,20=CALIFICACIONES POSITIVASPROBABILIDAD RESULTADOS
POSIBLESN CANDIDATOS
ENTREVISTA 0140,216X100=21,6
ENTREVISTA 1470,432X100=43,2
ENTREVISTA 2240,288X100=28,8
ENTREVISTA 3110,064X100=6,4
21,6-3,612,960,6
43,23,814,440,3343
28,8-4,823,040,8
6,44,621,263,3063
Determinacin de los gl de una prueba de bondad de ajusteAntes de
calcular el nmero adecuado de gl para una prueba de ji-cuadrada de
bondad de ajuste, es necesario contar el nmero de clases, denotado
por k, para las que se compararon las frecuencias esperadas y
observadas. Podemos vernos forzados a imponer restricciones
adicionales en el clculo de gl.Primero aplicamos la regla: (k-1) y
luego restamos 1 gl adicional por cada parmetro de poblacin que se
debe estimar a partir de los datos de la muestra.Tenemos 6 clases:
0, 1 , 2 , 3, 4, 5 k-1=6-1=5.Si tenemos que usar la media de la
muestra como estimacin de la poblacional, tendremos que restar otro
gl, por lo que nos quedaran 4 gl. Ejemplo con distribucin de
PoissonHo: N de defectos con distribucin de Poisson.H1: N no tiene
distribucin de Poisson.Gl=3 ; =0,05 Valor critico de X2= 7,83 N7,38
Rechaza HoCalculamos la probabilidad de ocurrencia para obtener la
frecuencia esperada: ;
DEFECTOSP(x)N TOTAL
00,52205X43=2,44815
10,33933X43=14,59119
20,10519X43=4,52317
3+0,03343x43=1,43749
DEFECTOS
02,4481525-2,551858,5911938420,29008798
114,59119104,5911921,07902561,444464061
24,523176-1,476832,181026850,48218989
3+1,437492-0,562510,31641750,22011805
TOTAL4343--2,43703653
Uso de la prueba de ji-cuadrada de bondad de ajusteBuscamos en
la tabla para =0,2 y gl=5 4,642La regin que se encuentra a la
derecha del valor ji-cuadrada 4,642 contiene 0,2 del rea bajo la
curva.
Me uede en 13.4 lo que sigue y cap 13. 5 es del modulo 3
PRUEBA T DE VARIANZA SEPARADA PARA DIFERENCIAS ENTRE DOS
MEDIASLa estadstica de prueba t de varianzas independientes puede
ser aproximada por una distribucion t con los grados de libertad,
v, tomados como la parte entera del calculo:
Estadstica 2| 23
