Microeconomia Problem Set 3 Solution

Guía de Trabajos Prácticos - Microeconomía 2011

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TRABAJO PRÁCTICO Nº 3

EJERCICIO Nº 3.1

A Luciano le gusta la cerveza en general. Pero tiene una particular preferencia hacia una cierta cerveza rubia importada, “De la Corona”. Él siempre se siente igualmente satisfecho al tomar un porrón de cerveza “De la Corona” o tres de la cerveza local “Tehuelches”. Luciano destina $100 por mes a comprar cervezas. El costo de un porrón de la marca “De la Corona” es $10 y el de una “Tehuelche” es $5.

a) Encuentre la canasta óptima de consumo para Luciano

Las preferencias de Luciano pueden representarse mediante la función de utilidad,

Así que Luciano comprará sólo 10 cervezas “De la Corona”.

Nota: En rojo se grafica la curva de indiferencia y en azul la restricción presupuestaria.

b) Suponga que el gobierno decide incrementar los aranceles de importación, por lo que el

precio del porrón de cerveza “De la Corona” pasa a ser de $25. ¿Cuál es la nueva elección óptima de Luciano? ¿Cuánto de este cambio se explica por el efecto ingreso y cuánto por el de sustitución?

Frente a esta nueva relación de precios Luciano preferirá gastar todo su ingreso en cervezas tehuelches. De modo que comprará 20 porrones.

La reducción en el consumo de cervezas “De la Corona” se explica totalmente por efecto sustitución (el paso de A a B).

2 4 6 8 10c

5

10

15

20

t


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c) Preocupada por el bienestar de su novio, Marianella decide tratar de compensarlo.

¿Cuánto dinero debería regalarle Marianella a Luciano para que él pueda seguir obteniendo el mismo nivel de utilidad que en la situación inicial? ¿Es este monto la variación equivalente o la variación compensatoria? Y si en vez de regalarle dinero le regalara cervezas, ¿cuántas y de qué marca deberían ser?

Marianella debería regalarle $ 50. De esa forma Luciano podría comprar 10 Tehuelches adicionales que le permitirán obtener el mismo nivel de satisfacción que en la situación original.

Este monto es la variación compensatoria porque indica cuánto debe incrementarse el ingreso del agente para que, a los nuevos precios, mantenga el nivel de utilidad.

Si en lugar de dinero le regalara cervezas, Marianella debería obsequiarle 10 porrones de cerveza Tehuelche.

d) Suponga en cambio que la introducción del arancel eleva el precio del porrón de cerveza

“De la Corona” a $12. ¿Cuál es la nueva elección óptima de Luciano? ¿Cuánto de este cambio se explica por el efecto ingreso y cuánto por el de sustitución?

Aún con este encarecimiento de la cerveza importada, Luciano preferirá gastar todo su ingreso en ellas. De modo que comprará 8.3 porrones.

La reducción en el consumo de cervezas “De la Corona” se explica totalmente por efecto ingreso (el paso de A a C).

2 4 6 8 10c

5

10

15

20

25

30

t


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e) Repita el inciso c para el nuevo escenario planteado en el inciso d

Marianella debería regalarle $ 20. De esa forma Luciano podría comprar 1.7 Coronas adicionales que le permitirán obtener el mismo nivel de satisfacción que en la situación original.


Si en lugar de dinero le regalara cervezas, Marianella debería obsequiarle 1.7 porrones de cerveza De la Corona.

EJERCICIO Nº 3.2

Lucas siempre toma fernet con Coco Colo en una proporción de 1 a 2, es decir, una medida de fernet por cada dos de Coco Colo. A los efectos de este ejercicio, suponga que Lucas puede comprar fracciones perfectamente divisibles de ambas bebidas. Sean $200 el presupuesto que Lucas destina mensualmente a estos bienes, $10 el precio de la medida de fernet y $3 el precio de la medida de Coco Colo.

a) Encuentre la canasta óptima de consumo de Lucas

Las preferencias de Lucas pueden representarse mediante la función de utilidad,

Así que Luciano comprará sólo 12.5 medidas de fernet y 25 de Coco Colo.

Gráficamente,

2 4 6 8 10c

5

10

15

20

25

30

t

=C


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b) Considere que el jefe de Lucas le otorga un aumento salarial, por lo que ahora Lucas

pasa a destinar $300 al mes para el consumo de bebidas alcohólicas. ¿Cuál es la nueva elección óptima de Lucas? ¿Cuánto de este cambio se explica por el efecto ingreso y cuánto por el de sustitución?

La nueva elección óptima de Luciano es comprar 18.75 medidas de fernet y 37.5 de Coco Colo.

Todo este cambio se explica por efecto ingreso porque no hubo cambio en los precios relativos.

c) Retomando la situación inicial de un ingreso de $200, considere ahora que Lucas entra a

trabajar en la embotelladora desde donde se despacha su fernet preferido y que, como parte de la política salarial de la compañía, los empleados pueden adquirir la medida de fernet a sólo $3. ¿Cuál es la nueva elección óptima de Lucas? ¿Cuánto de este cambio se explica por el efecto ingreso y cuánto por el de sustitución?

0 5 10 15 20 25 30f

10

20

30

40

50

60

70

c

0 5 10 15 20 25 30f

20

40

60

80

100

c


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La nueva elección óptima de Luciano es comprar 22.2 medidas de fernet y 44.4 de Coco Colo.

Todo este cambio se explica por efecto ingreso porque en estas preferencias los cambios en precios relativos no provocan variaciones en las canastas de consumo.

d) En una actitud muy poco generosa, Camila, la novia, le hace saber a Lucas que no está

conforme con su ingreso a la embotelladora. Pero Lucas sabe que con algunos regalos puede hacerla cambiar de parecer. Suponga que la única diferencia para Lucas entre su antiguo trabajo y el nuevo viene dada por el cambio de precio descripto en el inciso 3. ¿Cuánto está dispuesto a gastar Lucas en regalos para Camila sin que eso implique terminar en un nivel de utilidad inferior al inicial? ¿Es este monto la variación equivalente o la variación compensatoria?

Lucas estaría dispuesto a gastar hasta $ 87.5 en regalos para Camila pues, a los nuevos precios, le basta con $ 112.5 para adquirir la canasta original.


EJERCICIO Nº 3.3

Jimena y Natalia consumen crema de enjuague “Delicada”. Si las dos presentan el mismo cambio en cantidades por efecto sustitución cuando cambia el precio de la crema de enjuague, pero para Jimena ésta es un bien normal mientras que para Natalia es un bien inferior. ¿En qué se diferenciarán las demandas de Jimena y Natalia de crema de enjuague “Delicada”?

La curva de demanda de Natalia es más empinada pues el cambio en la cantidad por efecto sustitución se ve reducido por la variación negativa producto del efecto ingreso.

0 5 10 15 20 25 30f

20

40

60

80

c


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EJERCICIO Nº 3.4

Elsa Bor sale a almorzar todos los días junto a sus compañeras de trabajo. El restaurant al que acuden normalmente ofrece ensaladas y tartas. A Elsa le gustan ambas alternativas, pero naturalmente se cansa de comer siempre lo mismo y además valora tener una alimentación balanceada. Por eso su función de utilidad viene dada por

donde

representa el consumo de ensaladas y el de tartas. Suponga que el ingreso de Elsa es de $100.

a) Encuentre la canasta óptima de consumo para Elsa cuando el precio de la porción de ensalada es $10 y el de la tarta $8

Las demandas de Elsa son,

Por lo tanto, Elsa comprará 6.67 ensaladas y 4.17 tartas.

Gráficamente,


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b) ¿Qué ocurre con las cantidades consumidas por Elsa de ensaladas y tartas si el precio de

la porción de tarta sube a $12 por el encarecimiento de las verduras de estación? ¿Cuánto de este cambio se explica por efecto ingreso y cuánto por sustitución?

Frente al cambio de precios relativos, la nueva cesta óptima de Elsa se compone de 6.67 ensaladas y 2.78 tartas.

Para encontrar la canasta intermedia que Elsa consumiría a los nuevos precios si le dieran el ingreso necesario para mantener su utilidad constante nos conviene utilizar las demandas hicksianas calculadas en el ejercicio 3.6. De allí se obtiene que la cesta B comprende 7.63 ensaladas y 3.18 tartas.

Por lo tanto,

0 2 4 6 8 10x1

2

4

6

8

10

12

14

x2

5 6 7 8 9 10x1

2

4

6

8

x2


72 | P á g i n a

Los cambios verifican lo que esperaríamos a priori dado que los bienes son normales y las preferencias Cobb-Douglas.

c) Compute la variación en el excedente del consumidor, la variación equivalente y la

variación compensatoria asociadas al cambio en el precio del inciso b.

La variación en el excedente del consumidor es el cambio en el área bajo la curva de demanda,

La variación equivalente puede calcularse como,

Por último, la variación compensatoria es,

Como esperábamos, las tres medidas arrojan valores muy similares.

EJERCICIO Nº 3.5

Rehaga el Ejercicio 3.4 pera ahora suponiendo que la función de utilidad de Elsa viene dada por .

Las demandas de Elsa son,

Por lo tanto, Elsa comprará 9 ensaladas y 1.25 tartas.

Gráficamente,


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a) ¿Qué ocurre con las cantidades consumidas por Elsa de ensaladas y tartas si el precio de

la porción de tarta sube a $12 por el encarecimiento de las verduras de estación? ¿Cuánto de este cambio se explica por efecto ingreso y cuánto por sustitución?

Frente al cambio de precios relativos, la nueva cesta óptima de Elsa se compone de 9 ensaladas y 0.83 tartas.

Para encontrar la canasta intermedia que Elsa consumiría a los nuevos precios si le dieran el ingreso necesario para mantener su utilidad constante nos conviene utilizar las demandas hicksianas calculadas en el ejercicio 3.7. De allí se obtiene que la cesta B comprende 9.41 ensaladas y 0.83 tartas.

Por lo tanto,

0 2 4 6 8 10x1

1

2

3

4

5

x2

8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0x1

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

x2


74 | P á g i n a

Los cambios verifican lo que esperaríamos a priori dado que los bienes son normales y las preferencias cuasilineales.

b) Compute la variación en el excedente del consumidor, la variación equivalente y la

variación compensatoria asociadas al cambio en el precio del inciso b.

La variación en el excedente del consumidor es el cambio en el área bajo la curva de demanda,

La variación equivalente puede calcularse como,


Como esperábamos, las tres medidas arrojan exactamente el mismo valor.

EJERCICIO Nº 3.6

Suponga que para algún a>0 y b>0 un consumidor tiene preferencias representadas por la

función de utilidad ba

xxxxu 2121 ),( . Los precios en el mercado están dados por p1 y p2,

respectivamente.

a) Formule el problema de minimización del gasto

El problema del consumidor es,

O, anticipando que la restricción será activa, podemos plantear directamente,


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b) Halle y grafique las demandas hicksianas

Las condiciones de primer orden del problema de minimización llevan a la condición de igualdad entre la tasa marginal de sustitución y los precios relativos.

Así se obtienen las demandas,

0 2 4 6 8 10h1

2

4

6

8

10

p1


76 | P á g i n a

c) Determine la función de gasto y verifique que se cumple el Lema de Shephard

La función de valor de este problema es la función de gasto,

Para verificar el Lema de Shephard,

d) Determine la función de utilidad indirecta y verifique que se cumple la Identidad de Roy

Tomando las demandas marshallianas halladas en el ejercicio 2.8, la función de utilidad indirecta resulta,

0 2 4 6 8 10h2

2

4

6

8

10

p2


77 | P á g i n a

Para verificar la Identidad de Roy,

EJERCICIO Nº 3.7

Rehaga el Ejercicio 3.6 pero ahora suponiendo que las preferencias del consumidor están

representadas por la función de utilidad )ln(),( 2121 xxxxu .





Las condiciones de primer orden del problema de minimización llevan a la condición de igualdad entre la tasa marginal de sustitución y los precios relativos.



78 | P á g i n a




0 1 2 3 4 5h1

2

4

6

8

10

p1

0 2 4 6 8 10h2

2

4

6

8

10

p2


79 | P á g i n a




EJERCICIO Nº 3.8


representadas por la función de utilidad 2121 )ln(),( xxxxu .

Este ejercicio es idéntico al anterior. Sólo varía el bien adoptado como numerario.

EJERCICIO Nº 3.9


representadas por la función de utilidad )ln(3

2)ln(

3

1),( 2121 xxxxu .

Este ejercicio es idéntico al 3.6 pues se trata de una transformación monótona creciente de una

Cobb-Douglas con

y

.


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EJERCICIO Nº 3.10


representadas por la función de utilidad },min{),( 2121 xxxxu .





Las demandas compensadas resultan,

0 1 2 3 4 5h1

2

4

6

8

10

p1


81 | P á g i n a







0 1 2 3 4 5h2

2

4

6

8

10

p2


82 | P á g i n a

EJERCICIO Nº 3.11


representadas por la función de utilidad 2121 2),( xxxxu .





Como antes, tenemos demandas definidas por tramos,


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La función de valor de este problema es la función de gasto. Aunque, para ser más correcto, se trata de una correspondencia. Según sea la relación de precios tendremos distintas expresiones,

Para verificar el Lema de Shephard nos limitaremos a los tramos de demanda positiva,

0 1 2 3 4 5h1

2

4

6

8

10

p1

0 1 2 3 4 5h2

2

4

6

8

10

p2


84 | P á g i n a


Lo mismo ocurre con la función de utilidad indirecta,

Para verificar la Identidad de Roy nos limitaremos a los tramos de demanda positiva,

EJERCICIO Nº 3.12

Rehaga el Ejercicio 3.6 pero ahora suponiendo que el consumidor tiene preferencias

lexicográficas que priorizan el bien 1x .

Este problema no puede resolverse. ¡Ni siquiera puede plantearse! Pues estas preferencias no admiten ser representadas a través de una función de utilidad.

EJERCICIO Nº 3.13

Suponga que un consumidor tiene preferencias representadas por la función de utilidad

21

21

11),(

xxxxu . Los precios en el mercado están dados por p1 y p2, respectivamente.

a) Halle las demandas marshallianas y hicksianas

Estas preferencias, aunque de expresión extraña, son estrictamente convexas y fuertemente monótonas. Por lo que la resolución del problema opera normalmente.


85 | P á g i n a

Demandas Marshallianas

Las condiciones de primer orden del problema de maximización llevan a la condición de igualdad entre la tasa marginal de sustitución y los precios relativos.


Demandas Hicksianas

Las condiciones de primer orden del problema de maximización llevan a la condición de igualdad entre la tasa marginal de sustitución y los precios relativos.


86 | P á g i n a


b) Compute la elasticidad precio, elasticidad ingreso y elasticidad cruzada de cada uno de

los bienes

Elasticidades precio:

Elasticidades ingreso:

Elasticidades cruzadas:


87 | P á g i n a





La función de utilidad indirecta es,


EJERCICIO Nº 3.14

Rehaga el Ejercicio 3.13 pero ahora suponiendo que las preferencias del consumidor están representadas por la función de utilidad 12121 2),( xxxxxu .



88 | P á g i n a

Estas preferencias son convexas y monótonas. Pero la solución eventualmente podría ser de esquina.


Asumiendo que el ingreso es lo suficientemente elevado como para que la solución sea interior, las condiciones de primer orden del problema de maximización llevan a la condición de igualdad entre la tasa marginal de sustitución y los precios relativos.


Demandas Hicksianas

Como antes, asumiendo solución interior, las condiciones de primer orden son,

0 1 2 3 4 5x1

1

2

3

4

5

x2


89 | P á g i n a



los bienes






90 | P á g i n a






EJERCICIO Nº 3.15


representadas por la función de utilidad },max{),( 2121 xxxxu .



91 | P á g i n a

Estas preferencias son monótonas, pero no convexas. Así que el problema del consumidor siempre tendrá una solución de esquina. Si el bien 1 es más barato, el agente comprará sólo bien 1. Si el bien 2 es el más barato, el consumidor gastará todo su ingreso en ese bien.



Demandas Hicksianas

0 2 4 6 8 10x1

2

4

6

8

10

x2


92 | P á g i n a

b) Compute la elasticidad precio, elasticidad ingreso y elasticidad cruzada de cada uno de los bienes

Las demandas resultantes coinciden con las derivadas de sustitutos perfectos excepto en el tramo en el que los precios son iguales. Para este inciso se remite entonces al f del Ejercicio 2.13.


Equivalente a la resolución del Ejercicio 3.11


Equivalente a la resolución del Ejercicio 3.11

EJERCICIO Nº 3.16


representadas por la función de utilidad .0,,, 21221121 xxxxu Esta función

pertenece a la familia de funciones de utilidad de Stone-Geary. Suponga que 2211 ppm ,

es decir que el nivel de ingreso es tal que le permite al individuo obtener canastas cuyo nivel de utilidad asociado es positivo.


Estas preferencias pueden pensarse como equivalentes a las Cobb-Douglas, aunque con un cambio del origen del al . La intuición es que y son consumos mínimos. Y el

supuesto adicional 2211 ppm nos permite concentrarnos en niveles de utilidad positivos,

con los consumos mínimos cubiertos.


Las condiciones de primer orden resultan,


93 | P á g i n a


Demandas Hicksianas

Como antes, asumiendo solución interior, las condiciones de primer orden son,

Así se obtienen las demandas compensadas,


los bienes




94 | P á g i n a









95 | P á g i n a

EJERCICIO Nº 3.17

Considere la función de utilidad

.1,0,1,,1

2121 xxxxu

Esta función pertenece a la familia de las funciones de utilidad con elasticidad de sustitución constante (CES) y constituye un caso general que engloba a las tres preferencias más usadas: sustitutos perfectos, Cobb-Douglas y complementos perfectos. El objetivo de este ejercicio es mostrar esa relación para las dos primeras. Ayuda: Para los incisos a continuación puede que le convenga usar la función

2121 1, xxxxu , ¿por qué eso es válido?

a) Muestre que con = 1 la función de utilidad se reduce a una función lineal

Es claro que con = 1,

b) Muestre que cuando 0 se obtiene la función Cobb-Douglas

Tomando logaritmo a la función de utilidad,

Tomando límite,

Aplicando L’Hôpital,


96 | P á g i n a

Luego, con 0,

c) Obtenga las funciones de demanda de ambos bienes

Equivalente a los Ejercicios 3.6 y 3.11.

d) Obtenga la función de utilidad indirecta y verifique que recupera a partir de ella las

funciones de demandas obtenidas en c)

Equivalente a los Ejercicios 3.6 y 3.11.

EJERCICIO Nº 3.18

Un consumidor tiene la siguiente función de utilidad indirecta:

21

21 ,,pp

mmppv

Calcule las funciones de demanda marshalliana y la función de gasto.

Utilizando la Identidad de Roy,

Es decir, se demanda la misma cantidad de los dos bienes siempre, cantidad que viene determinada por el ingreso dividido la suma de los precios. Esto es equivalente a pensar en un único bien formado por una unidad del bien 1 y una del bien 2 en el cual el individuo gasta todo su ingreso. Luego, es claro que se trata de complementos perfectos en relación 1 a 1.

Del Ejercicio 3.10 sabemos que la función de gasto en este caso es,


97 | P á g i n a

EJERCICIO Nº 3.19

La función de utilidad de un individuo está dada por },min{),( yxyxu . Este individuo tiene un

ingreso de $15.000 y el precio de x e y es de 1 en ambos casos. Su jefe está considerando la posibilidad de trasladarlo a otra ciudad donde el precio de x es 1 y el precio de y es de 2. Sin embargo, no le ofrece ninguna suba salarial. Este individuo, que comprende perfectamente los conceptos de variación compensadora y de variación equivalente, se queja amargamente. Dice que no le importa trasladarse (la nueva ciudad le resulta tan agradable como la otra) pero tener que hacerlo es tan malo como una reducción del salario en $A. También dice que no le importaría trasladarse si le ofrecieran una suba de $B. Compute los valores de A y B. Repita lo hecho cuando el nivel de ingreso es m.

El traslado a la otra ciudad implicaría para el individuo pasar a consumir la cesta (5.000, 5.000) en lugar de (7.500, 7.500). Como el individuo tiene preferencias de Leontief sabemos que la única forma de que el individuo mantenga constante su nivel de utilidad es dándole la misma canasta. Eso simplifica mucho los cálculos.

El individuo dice que mudarse es tan malo como una reducción del salario en $A. Se está refiriendo a la variación equivalente pues el monto $A hace referencia a cuánto estaría dispuesto a sacrificar de ingreso para que los precios no variarán.

En tanto, el monto $B es la variación compensatoria pues indica el aumento de ingreso necesario para que el individuo mantenga su nivel de satisfacción a pesar del cambio en precios.


Luego, el individuo considera que mudarse es tan malo como soportar una reducción del salario de $ 5.000, pero no le importaría trasladarse si su ingreso fuera incrementado en $ 7.500.

Por otro lado, los montos A y B pueden dejarse expresados en función de ,


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Nota: En rojo se grafican las curvas de indiferencia, en azul las restricciones presupuestarias a la relación de precios de la primer ciudad y en naranja las restricciones presupuestarias a la relación de precios de la nueva ciudad.

0 2000 4000 6000 8000 10 000 12 000 14 000x1

2000

4000

6000

8000

10 000

12 000

14 000

x2

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