Microscopia De Força Atômica: Controle de uma Microviga

1

Microscopia De Força Atômica: Controle de uma Microviga Modelada Matematicamente com

Comportamento Não-Linear e sob a ação de Amortecimento Hidrodinâmico

Tusset, A. M. 1, Balthazar, J. M.

2

1 UNESP - DEMAC, Rio Claro, Brazil, [email protected] 2 UNESP - DEMAC, Rio Claro, Brazil, [email protected]

Resumo: Em microscópia de força atômica (AFM), a análise do comportamento do microcantilever vibrando, de suas não linearidades e da interação não-linear entre o tip e a amostra pode ter grande influência na compreensão da dinâmica do cantilever. Neste trabalho, é analisada a dinâmica não-linear e o comportamento caótico para o caso da (AFM) no modo intermitente (tapping) considerando os efeitos do amortecimento em um meio hidrodinâmico. Os resultados obtidos através e simulações computacionais indicaram a ocorrência de movimentos caóticos. Com o objetivo de controlar o sistema em uma orbita desejada foi proposto um controle considerando a técnica do controle linear feedback. Keywords: AFM, Chaos, Nonlinear Dynamic Control.

1. INTRODUÇÃO

Os mais novos desenvolvimentos na área de microscopia são microscópios de varredura por sonda, ou SPM (Scanning Probe Microscope) que são na realidade, grupos de instrumentos compostos basicamente de sonda sensor, cerâmicas piezelétricas para posicionar o objeto amostra e para fazer a varredura, circuitos de realimentação para controlar a posição vertical da sonda e um computador para mover os scanners de varredura, armazenar dados e os converter em imagens por meio de softwares específicos para esse fim.

Há diversos tipos de microscópios de sonda, como o de tunelamento ou STM (Scanning Tunneling Microscope), o de força ou AFM (Atomic Force Microscope), o de campo próximo ou SNOM (Scanning Near-Field Optical Microscope), entre outros.

O STM foi inventado por Gerd Binnig e Heinrich Rohrer, em 1981 e foi o primeiro instrumento capaz de gerar imagens reais de superfícies com resolução atômica. Em 1986 seus inventores ganharam o Prêmio Nobel de Física [1].

A partir de uma modificação do microscópio de tunelamento, combinado com um profilômetro Stylus (aparelho para medir rugosidade em escala microscópica) Binnig, Quate e Gerber [1], desenvolveram o AFM em 1986 como resultado de uma colaboração entre a IBM e a Universidade de Stanford, o que permitiu obter imagens reais, em três dimensões, da topografia das superfícies, com uma resolução espacial que se aproxima das dimensões

atômicas, ou, seja o AFM usa interação entre as forças sonda-amostra para traçar o mapa da superfície [2].

O princípio fundamental de operação do AFM é a medida das deflexões de um suporte em cuja extremidade livre está montada a sonda. Estas deflexões são causadas pelas forças que agem entre a sonda e a amostra. Os efeitos de uma variedade de forças atuando entre ponta-amostra podem ser analisados, durante a varredura [2]. Essas forças incluem as forças atrativas de van der Waals, forças magnéticas, e forças Coulombianas de média para grandes distâncias, tipicamente ≥ 100 Å (1 Â =10-10 m).

Na Fig. 1., pode-se observar um modelo de AMF.

Fig. 1. Exemplo de um AFM

Fonte: [3]

Em resumo, quando a ponteira se aproxima da amostra, é primeiramente atraída pela superfície, devido a uma ampla gama de forças atrativas existentes na região, como as forças de van der Waals. Esta atração aumenta até que, quando a ponteira aproxima-se muito da amostra, os átomos de ambas estão tão próximos que seus orbitais eletrônicos começam a se repelir. Esta repulsão eletrostática enfraquece a força atrativa à medida que a distância diminui. As forças anulam-se quando a distância entre os átomos é da ordem de alguns angstroms (da ordem da distância característica de uma união química). Quando as forças se tornam positivas, podemos dizer que os átomos da ponteira e da amostra estão em contato e as forças repulsivas acabam por dominar.

Conforme [4], o microscópio de força atômica forneceu as bases para o desenvolvimento da nanotecnologia. O princípio de um microscópio de força atômica (AFM) é baseado na alteração das características de vibração de uma viga cantilever devido a forças entre a ponta do cantilever e

Proceedings of the 9th Brazilian Conference on Dynamics Control and their Applications Serra Negra, SP - ISSN 2178-3667 363

Microscopia De Força Atômica: Controle de uma Microviga Modelada Matematicamente com Comportamento Não-Linear e sob a ação de Amortecimento Hidrodinâmico

Angelo Marcelo Tusset,José Manoel Balthazar.

2

a amostra. Uma vez que estas forças são inter-atômica na natureza, não é necessário que a amostra seja uma superfície eletricamente condutora. Como resultado, AFM é aplicável aos condutores e não condutores, bem como superfícies.

Há vários modos de operação para a digitalização e mapeamento de superfície. Esses modos incluem não contato o modo de contato, e modo de contato intermitente. Os três modos de operação diferentes um do outro na ponta da proximidade da amostra. No modo contato a ponta do cantilever toca a amostra, e, assim, as forças de interação incluem tanto forças de atrito como forças de atração e repulsão. No modo não contato, não há contato entre a ponta do cantilever e a amostra e, portanto, as forças são regidas somente pelo um potencial de interação [5].

O modo intermitente (tapping) tem sido amplamente utilizado em nanômetro-escala na caracterização da superfície de materiais, especialmente para materiais macios como polímeros, moléculas de DNA e proteínas. Sendo o cantilever excitado em uma freqüência próxima da freqüência natural da amostra, o que possibilita manter a amplitude de oscilação do cantilever em um valor fixo. Neste caso o cantiléver percorre a amostra vibrando perto de sua freqüência de ressonância. O cantiléver trabalha, principalmente, nas regiões de atuação da interação de van der Waals. Entretanto pode tocar ligeiramente a amostra o que pode causar ação da repulsão eletrostática.

Conforme [6] mesmo com a grande utilização do modo intermitende em experiências, ainda há necessidade de uma melhor compreensão das vibrações do microcantilever, pois a precisão da estimativa das forças de interações entre o tip e amostra depende fundamentalmente da qualidade do modelo matemático utilizado para analisar a dinâmica da microestrutura, influenciando diretamente na estratégia de controle, resultando na precisão da imagem.

Conforme [7], os modelos matemáticos utilizados são em sua maioria sistemas lineares massa-mola-amortecedor que incorporaram a força não-linear derivada da interação entre a ponta e a amostra.

A inerente e altamente não-linearidade na interação ponta-amostra dá lugar a uma dinâmica complexa do cantilever na AFM. A não-linearidade é essencial para a compreensão da dinâmica do sistema, pois há muitas forças não-lineares em AFM, como as forças de atração de van der Waals, as interações repulsivas Shortrange e não-linearidades de contato. [8], [9] e [10].

Conforme [11] a AFM poderia impactar significativamente fabricação e muitos processos de fabricação, devido às suas vantagens, tais como topografia 3D de nano-fabricação e metrologia para MEMS. E para que a AFM tenha um bom desempenho, é necessário identificar e, eliminar possíveis movimentos caóticos do cantilever [11].

Conforme [12] o caos na AFM vai depender do amortecimento da excitação, e da distância entre a ponta do cantilever e a amostra, sugerindo que um controle feedback dos estados pode ser usado para eliminar a possibilidade de comportamento caótico.

2. MODELAGEM DO AMF

Na Fig.2 pode-se observar o modelo do microcantilever no modo tapping em AFM. A base do microcantilever é excitada por um atuador piezelétrico gerando um deslocamento )cos(wtf .

Fig. 2. Modelo de um AFM

Conforme [11], quando considera-se apenas o primeiro modo de vibrar, o raio de ação do AMF pode ser modelado como um sistema massa-mola-amortecedor, conforme o mostrado na Figura 3. O tip é modelado como se fosse uma esfera de raio R, e a distância entre a amostra e o cantilever por 0Z que é a distância entre a posição de equilíbrio do cantilever e a amostra, quando apenas a gravidade atua sobre ela. A posição cantilever é dada por x , medido a partir da posição de equilíbrio.

Na Fig. 3, pode-se observar o modelo do AFM cantilever vibrando perto da superfície da amostra, sendo acrescentado o componente

uF que representa a força de controle que

pode ser introduzida para controlar o deslocamento do cantilever.

Fig. 3. Representação do modelo de AFM através de um sistema

massa-mola-amortecedor

Conforme [13] a interação entre a ponta do cantilever e a superfície da amostra pode ser modelada como a interação entre uma esfera e uma superfície plana. Esta interação pode ser modelada como:

( ) ( )xz

RA

xz

RAzxU

+−

+=

0

27

0

10 61260),( (1)

Sendo ),( 0zxU o potencial Lennard-Jones (LJ).

Onde 1A é a constante de Hamaker para o potencial

atrativo e 2A é a constante de Hamaker para o potencial

repulsivo. Sendo 1212

1 cA ρρπ= e 2212

2 cA ρρπ= , sendo


3

1ρ e 2ρ a densidade dos componentes que estão

interagindo, e 1c e 2c são constantes da interação. Quando o cantilever esta próximo da amostra, alem da

força da mola acrescentam-se a Força atrativa de van der Waals que é proporcional ao inverso do quadrado da distância entre a ponta do cantilever e a amostra e a Força de repulsão é igual a oitava potência inversa da distância entre a ponta e a amostra. Estas forças podem ser representadas como a soma das forças atrativas e repulsivas, e é expressa como [13]:

( ) ( )20

28

0

1

0 6180)( xz

RA

xz

RA

zx

UF

+−

+=

+∂

∂−= (2)

Durante o processo de AFM no modo TM, o cantilever é excitado por uma força harmônica wtf cos , e o contato tip-amostra gera a força F .

No modo intermitente (TM) a sonda toca a superfície da amostra no ponto de máxima amplitude de oscilação. O contato entre ponta e amostra é bastante delicado, sendo este modo de operação indicado para amostras frágeis.

2.1. Modelo Matemático

Considerando o Lagrangeano:

VTL −= (3)

Sendo a energia cinética (T) e a energia potencial gravitacional (V), respectivamente, do sistema. Equações do movimento para a coordenada x :

iii

Qq

L

q

L

dt

d=

∂

∂−

∂

∂

(4)

Onde: i

Q = são as forças não-conservativas

2

21

xmT = (5)

42

41

21

xkxkV nll += (6)

wtfxcxcFQ si cos+++= (7)

Conforme [11]:

( )x

zx

LBxc

eff

s

30

3

+=

µ (8)

Onde effµ é um coeficiente de viscosidade efetiva, B a

largura do cantilever e L o comprimento do cantilever . Aplicando (4) em (5), (6) e (7) obtêm-se:

( ) ( )

( )wtfx

zx

LB

xz

RA

xz

RAxkxkxcxm

eff

nll

cos

6180

30

3

20

28

0

13

++

++

−+

=+++

µ (9)

Sendo x o deslocamento da ponta do cantilever, considerando-se a posição de equilíbrio na ausência de forças externas, x a velocidade de deslocamento, x a aceleração, m a massa do canlilever, lk o coeficiente de

rigidez linear da mola, nlk o coeficiente de rigidez não-linear da mola e c o coeficiente de amortecimento.

Definindo:

( ) 31

232

DZ s

= (10)

Considerando a introdução a função de controle u

F no modelo, a equação (9) fica de seguinte forma:

( ) ( )

( ) ueff

nll

Fwtfxzx

LB

xz

RA

xz

RAxkxkxcxm

+++

++

−+

=+++

cos

6180

30

3

20

28

0

13

µ (11)

Sendo UUFu

~+= , onde U

~ é o controle feedforward e U

é o controle feedback. Realizando as seguintes substituições em (11):

tw1=τ , sz

xy = ,

szw

xy

1

= ,

sz

za 0= ,

at

l

k

kb = , 2

sat

nl zk

kc = ,

27

4=d ,

6

405

2

=

sz

ae ,

sat zk

fg 0= ,

31

3

s

eff

zmw

LBp

µ= ,

1w

w=Ω ,

Qr

1= .

A equação (11) fica da seguinte forma adimensional:

( ) ( )

( )ufy

ya

pg

ya

e

ya

dcybyyry

++

−Ω

++

++

−=+++

3

823

cos τ

(12)

2.2. Simulações numéricas

Considerando os valores dos parâmetros: ;1=Ω 0.1r = ; 1b = ; 0.35c = ; 4/27d = ; 0.0001e = ; 0.2g = ; 0.005p =

e 1.6a = obtidos de [11], e 0=uf . O deslocamento pode ser observado na Fig. 4 e o diagrama de fase pode ser observado na Fig.5.




4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

dis

pla

cem

ent

Fig. 4. Deslocamento do tip para b=1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x1

x2

Fig. 5. Diagrama de fase para b=1

Considerando que no contado o cantilever deva ser deformado e não a rede, para que imagens fidedignas sejam obtidas, a constante elástica do cantilever ( lk ) deve ser menor que a constante elástica efetiva do acoplamento interatômico ( atk ) da amostra. Assim a constante elástica da

mola deve ser: atl KK < . Sendo atatat mwK2= . Freqüências

de vibração atômica típicas são Hzat1310=ω e massas

atômicas são da ordem de 2510− kg, assim 10<lK [N/m] [14].

Considerando o caso de atl KK < e reescrevendo a equação (12) em espaço de estados:

( ) ( )

( );1

cos

3

231

3

81

21

31122

21

=

++

−Ω

++

++

−−−−=

=

x

fxxa

pxg

xa

e

xa

dcxbxrxx

xx

u

(13)

sendo: yx =1 , yx =2 e τ=3x . O comportamento de (13) conforme a variação de

at

l

k

kb = , pode ser observado através do diagrama de

bifurcação na Fig. 6, para 0=uf .

Fig. 6. Diagrama de bifurcação b=[0:0.5]

Na Fig. 7, pode ser observado os expoentes de Lyapunov para (13) com 0=uf e os valores dos parâmetros:

;1=Ω 0.1r = ; 0.05b = ; 0.35c = ; 4/27d = ; 0.0001e = ; 0.2g = ; 0.005p = e 1.6a = .

0 2 4 6 8 10 12

x 104

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

time

Ly

apu

nov

Ex

pon

ent

Fig. 7. Expoente de Lyapunov para o sistema (13)

Como pode ser visto na Fig. 7, os expoentes de Lyapunov ( 23.01 −=λ , ;02 =λ 1.03 =λ 0), que indica que o sistema possui um atrator caótico.

O deslocamento do tip pode ser observado na Fig. 8 e o Diagrama de fase pode ser observado na Fig. 9.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

t

dis

pla

cem

ent

Fig. 8. Deslocamento do tip para b=0.05


5

-1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

x1

x2

Fig. 5. Diagrama de fase b=0.05

3. DETERMINAÇÃO DO CONTROLE ÓTIMO

O objetivo é encontrar o controle linear feedback tal que a resposta do sistema controlado (12) resulte em uma órbita periódica assintoticamente estável. Definindo a órbita periódica como uma função de )(~ tx . Assim o regime desejado é obtido da seguinte equação:

( ) ( )

( )uy

ya

pg

ya

e

ya

dycybyry

~~~cos

~~~~~~

3

823

++

−Ω

++

++

−−−−=

τ

(14)

Sendo u~ o controle que mantêm o sistema na trajetória desejada, e se a função )(~ tx é a solução de (12) sem o

termo de controle uf então 0~ =u .

...)2()2cos(

)()cos(~

22

110

+Ω+Ω

+Ω+Ω+=

ττ

ττ

senba

senbaay (15)

O controle feedforward u~ é dado por:

( ) ( )

( )y

ya

pg

ya

e

ya

dycybyryu

~~cos

~~~~~~~

3

823

++Ω

−+

−+

++++=

τ

(16)

Substituindo yx =1 e yx =2 na equação (12), o sistema (12) pode ser escrito na forma de espaço de estados:

( ) ( )

( ) ufxxa

pg

xa

e

xa

dcxbxrxx

xx

++

−Ω

++

++

−−−−=

=

231

81

21

31122

21

cos τ

(17)

Substituindo (16) em (17) e definindo os desvios da trajetória desejada como:

−

−=

22

11~

~

xx

xxe (18)

O sistema (17) pode ser representado da seguinte forma:

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )u

xa

xp

xea

xep

xa

e

xea

e

xa

d

xea

dxcxecberee

ee

++

+++

+

−+

−++

++

+++

−++−−−=

=

31

23

11

22

81

811

21

211

31

311122

21

~

~

~

~

~~~

~~~

(19)

sendo ufu u~−= o controle feedback. O sistema (19) pode

ser representado em desvios como:

BuxgxgAee +−+= )~()( (20)

A parte não linear do sistema (20) pode ser representada da seguinte forma:

)~)(~,()~()( xxxxGxgxg −=− (21)

Assim o sistema (19) pode ser representado por:

BuexxGAee ++= )~,( (22)

Representando o sistema (19) na forma (22):

uxgxge

e

rbe

e

+−+

−−

=

1

0)~()(

10

2

1

2

1

(23)

sendo:

( )[ ]( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

++

++

+−

+−

++

+

++

++−−+−

=−=−

31

23

11

228

18

11

21

211

31

311

~

~

~

~

~~

0

~~~~

0

)~)(~,()~()(

xa

xp

xea

xep

xa

e

xea

e

xa

d

xea

dxxec

xxxxGxgxg

Conforme [15], se existirem matrizes Q e R, definidas

positivas com matriz Q simétrica, tal que a matriz:

)~,()~,(~

xxPGPxxGQQT −−= (24)

seja definida positiva com matriz G limitada, então o controle u é ótimo e transfere o sistemas não-linear (23) de qualquer estado inicial ao estado final:

0)( =∞e (25)




6

Minimizando o funcional:

dtuRueQeJTT )

~(

0

+= ∫∞

(26)

Para os casos em que analisar a matriz Q~

analiticamente é muito difícil, é possível analisar numericamente

considerando a função )()(~

)()( tytQtytLT= , calculada na

trajetória ótima, se )(tL é definida positiva para todo o

intervalo de tempo, então a matriz Q~

é definida positiva [15].

O controle u pode ser encontrado resolvendo a equação:

KeePBRu T −=−= −1 (27)

Sendo a matriz P simétrica, e pode ser encontrada da equação algébrica de Riccati:

01 =+−+ − QPBPBRPAPA TT (28)

Definindo a trajetória desejada como a órbita periódica, com amplitude menor que (a), e freqüência igual a ( Ω ):

)sin(3.1~ tx = (29)

3.1 Determinação do Controle Ótimo para b=1

Considerando os valores dos parâmetros: ;1=Ω 0.1r = ; 1b = ; 0.35c = ; 4/27d = ; 0.0001e = ; 0.2g = ; 0.005p =

e 1.6a = .

A matriz A, e a matriz B, podem ser representadas por:

−−

=1.01

10A ,

=

1

0B (30)

e definindo:

=

100

010Q , [ ]1=R (31)

Utilizando o comando lqr do matlabr obtêm-se:

=

7266.33166.2

3166.259.12p e [ ]7266.33166.2=K (32)

Substituindo em (27) obtêm-se o controle:

21 7266.33166.2 eeu −−= (33)

O deslocamento do tip pode ser observado na Fig. 10 e o diagrama de fase pode ser observado na Fig. 11.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

dis

pla

cem

ent

Fig. 10. Deslocamento do tip para o sistema (17) com controle (33)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x1

x2

Fig. 11. Diagrama de fase para o sistema (17) com controle (33)

Na Fig. 12, pode ser observada a comparação do deslocamento do tip sem o controle e com o controle proposto.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

dis

pla

cem

ent

uncontrolled

controlled

Fig. 12. Deslocamento do tip para o sistema sem e com controle

Na Fig. 13 pode-se analisar a matriz Q~ considerando a

função )()(~

)()( tytQtytLT= .


7

0 5 10 15 20 25 300

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

t

L (

t)

Fig. 13. Função L(t)

Como pode ser observado na Figura 13, L(t) é definida positiva, conclui-se então que para os valores de Q e R

definidos têm-se que Q~

é definida positiva, e o controle (33) é ótimo.

3.2 Determinação do Controle Ótimo para b=0.05

Considerando os valores dos parâmetros: ;1=Ω 0.1r = ; 05.0b = ; 0.35c = ; 4/27d = ; 0.0001e = ; 0.2g = ;

0.005p = e 1.6a = a matriz A, e a matriz B, podem ser representadas por:

−−

=1.005.0

10A ,

=

1

0B (34)

e definindo:

=

100

010Q , [ ]1=R (35)

Utilizando o comando lqr do matlabr obtêm-se:

=

92.311.3

11.373.12P e [ ]9293.31127.3=K (36)

Substituindo em (27) obtêm-se o controle:

21 9293.31127.3 eeu −−= (37)

Na Fig. 14, pode-se observar o sistema controlado na orbita (29), e o diagrama de fase pode ser observado na Fig. 15.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

dis

pla

cem

ent

Fig. 14. Deslocamento do tip para o sistema controlado com a função

(37)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x1

x2

Fig. 15. Diagrama de fase do sistema controlado com a função (37)

Na Fig. 16, pode ser observada a comparação do deslocamento do tip sem o controle e com o controle proposto (37).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

dis

pla

cem

ent

uncontrolled

controlled

Fig. 16. Deslocamento do tip para o sistema sem controle e com

controle (37)

Na Fig. 17, pode-se analisar a matriz Q~ considerando a

função )()(~

)()( tytQtytLT= .




8

0 5 10 15 20 25 300

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

t

L (

t)

Fig. 17. Função L(t)

Como pode ser observado na Fig. 17, L(t) é definida positiva, conclui-se então que para os valores de Q e R

definidos têm-se que Q~

é definida positiva, e o controle (37) é ótimo.

4. CONCLUSÃO

Neste trabalho foi analisada a dinâmica não-linear de um microcantilever para o caso do modo tapping em AFM. Para analisar a interação entre o tip do microcantilever e a amostra foi utilizado um modelo matemático não linear considerando as forças de atração e repulsão através do potencial Lennard-Jones.

Para que os microcantilevers em AFM possam detectar a variação das forças atrativas de van der Waals, forças magnéticas, e forças Colombianas, de média para grandes distâncias, força de van der Waals para medir com precisão as superfícies dos materiais em escala nanométrica, é necessário que eles se aproximem das superfícies.

Considerando que no contado entre o tip do microcanliver e a amostra seja o cantilever que deva ser deformado e não a rede, a constante elástica do cantilever deve ser menor que a constante elástica efetiva do acoplamento interatômico da amostra, o que pode gerar caos, como o observado nas simulações.

Os resultados obtidos nas simulações computacionais demonstraram que é possível que ocorra caos no sistema, dependendo da razão entre o a constante elástica do microcantilever e a constante elástica da amostra.

Através da aplicação do Controle Linear Feedback foi possível eliminar a possibilidade do caos e estabilizar o sistema em uma orbita desejada, demonstrando que o controle proposto pode ser utilizado no controle do sistema mesmo com a possibilidade de caos.

AGRADECIMENTOS

O primeiro autor agradece a FAPESP pela bolsa de pós-doutorado (proc. 2009/50993-0) e ao DEMAC-UNESP-Rio Claro. O Segundo autor agradece ao suporte da FAPESP e do CNPq.

REFERÊNCIAS

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Microscopia De Força Atômica: Controle de uma Microviga