數學遊戲二大象轉彎

遊戲說明這個玩具的構造分兩個部份：

1.橘色長條狀塑膠板橘色長條狀塑膠板橘色長條狀塑膠板橘色長條狀塑膠板：板上裝有7個可旋轉的底座，且底座上均附一個大象模型，固定在上。

2. 綠色軌道綠色軌道綠色軌道綠色軌道：長條塑膠板可在其中移動，一端有缺口，另一端為封閉的。

遊戲目標將橘色長條塑膠板移出綠色軌道

起始狀況：

完成目標：

遊戲規則

� 因綠色軌道構造的關係，在移動橘色塑膠板時，大象(底座)的位置及方向會受到限制：

1.因軌道缺口處有縮減，所以大象必須轉為左右向才能離開軌道。

2. 綠色軌道中之凹槽處，為大象旋轉的唯一位置。

如何使第 1 號大象的方向向左?

方法：

只要將第 1 號大象移至凹槽中，即可旋轉得到。

步驟數：1

1

2 3 4 5 6 7

如何使第1、2號大象的方向皆向左?

方法：先轉第二個，再轉第一個。

步驟數：2

2

3 4 5

你注意到了嗎？

當你想旋轉第3號大象時，你需要將它移至凹槽，此時其他大象的方向應該如何呢？

1. 1號大象方向向左：可讓3號大象移至凹槽

2. 2號及4號大象方向上：此時3號大象可自由旋轉。

32

1

4 5

決定遊戲策略

一、想要旋轉第 n 號大象時，其他大象的方向？

1. 第 n 號大象要移到凹槽的位置：

前n – 2個大象要轉向左，才能走出缺口，將凹槽空位讓給第 n 號大象

nn – 2n – 3

n – 1 n + 1

2. 第 n 號大象要有旋轉的空間：

第n – 1號大象(左方)要向上

第n + 1號大象(右方)要向上或向左

nn – 2n – 3

n – 1 n + 1

二、旋轉第 n 號大象向左後，

該如何讓第 n – 1號大象有空間可以旋轉？

1.第n – 2號大象(左方)要先轉向上

2.第n – 3號大象要先轉向上，第n – 2號大象才有空間旋轉

3.第n – 4號大象要先轉向上，第n – 3號大象才有空間旋轉

4.第n – 5號大象要先轉向上，第n – 4號大象才有空間旋轉

：

：

第 1 號大象要先轉向上，第 2號大象才有空間旋轉

結論結論結論結論：：：：

必須先將前必須先將前必須先將前必須先將前n – 2號大象全部先恢複原狀大象全部先恢複原狀大象全部先恢複原狀大象全部先恢複原狀(向向向向上上上上)

完成前 n 個大象轉出來的策略：

1. 完成前n – 2個 (讓第 n 號大象能移到凹槽)

2. 旋轉第 n 個

3. 回復前n – 2個 (讓第 n – 1號大象有旋轉的空間)

4. 完成前n – 1個

需要步驟個數：

接下來為了知道我們做了些什麼事，我們提供一些符號讓同學將步驟記錄下來。

直接依序記錄旋轉大象的號碼；

最接近缺口者編號為1，依序增加。並用Sn 表示所需的

步驟。

例如：S2=(2, 1)

S3=(1, 3, 1, 2, 1)

計算步驟數

我們將轉出前 n 個大象的最少步驟數記為an

1.轉出前1個大象的步驟數：a1 = 1

2.轉出前2個大象的步驟數：a2 = 2

最少步驟數

完成前 n 個大象轉出來的策略：

1. 完成前n – 2個

2. 旋轉第 n 個

3. 回復前n – 2個

4. 完成前n – 1個

※所以，an

= 2an – 2 + a

n – 1 + 1

且a1 = 1，a2 = 2

(需要步驟數an – 2 )

(需要步驟數1 )

(需要步驟數an – 2 )

(需要步驟數an – 1 )

THE END