Microwave Resonators Data

24Microwave Resonators

Microwave resonators yang digunakan dalam berbagai aplikasi, termasuk filters, osilator,

frekuensi meter, dan tuned- amplifiers. Karena operasi microwave resonators sangat mirip

disamakan-elemen resonators teori sirkuit, kita akan mulai dengan meninjau karakteristik dasar

dari Sirkuit seri dan paralel RLC resonant. Kita kemudian akan membahas berbagai

implementasi resonators pada frekuensi microwave menggunakan didistribusikan elemen seperti

jalur transmisi, waveguides persegi panjang dan melingkar, dan dielektrik rongga. Kami juga

akan membahas eksitasi resonators menggunakan apertur dan lembar saat ini.

6.1 SIRKUIT SERI DAN PARALEL RESONANT

Pada frekuensi dekat resonansi, microwave resonator dapat biasanya dimodelkan dengan baikserial atau paralel RLC disamakan-elemen setara sirkuit, dan jadi kita sekarang akan meninjau beberapasifat dasar dari sirkuit ini.

Rangkaian Resonant seriRangkaian RLC resonant sirkuit ditunjukkan dalam gambar 6.1a. Impedansi masukan adalah

dan daya kompleks yang dikirim ke resonator

6.1 gambar A seri RLC resonator dan respon. (a) sebuah seri sirkuit RLC resonator. (b) masukanImpedansi besarnya versus frekuensi.

Daya yang dihamburkan oleh resistor R adalah

rata-rata energi magnetik yang disimpan dalam induktor L

dan rata-rata energi listrik yang disimpan dalam kapasitor C

mana Vc adalah tegangan di kapasitor. Maka kekuatan kompleks (6.2) dapatditulis ulang sebagai

dan impedansi masukan dari (6.1) dapat ditulis ulang seperti

Resonansi terjadi ketika rata-rata magnetik dan listrik disimpan energi sama, atauWM = kami. Kemudian dari (6.5) dan (.3A), impedansi masukan di resonansi

274 Bab 6: Microwave Resonators

yang murni nyata. Dari (6.3b, c), Wm = kami menyiratkan bahwa frekuensi resonan, ω0, dapatmenjadi defined sebagai

Parameter penting lainnya dari sirkuit resonant adalah Q, atau kualitas faktor, yangdefined sebagai

Dengan demikian Q adalah ukuran dari hilangnya rangkaian resonant — kerugian yang lebih rendah berarti Q lebih tinggi.Kerugian resonator mungkin karena konduktor badan, dielektrik kehilangan atau kerugian radiasi, dandiwakili oleh perlawanan, R, sirkuit setara. Menghubungkan jaringan eksternalmungkin memperkenalkan tambahan kerugian. Setiap dari mekanisme kerugian ini akan memiliki efek yang rendah-ering Q. Q resonator sendiri, mengabaikan eksternal loading efek, disebutQ yang diturunkan, dilambangkan sebagai Q0.Untuk sirkuit resonant seri tokoh 6.1a, Q dibongkar dapat dievaluasi dari(6.7), menggunakan (6.3) dan fakta bahwa Wm = kami pada resonansi, memberikan

yang menunjukkan bahwa Q meningkatkan sebagai R berkurang.Selanjutnya, mempertimbangkan perilaku impedansi masukan dari resonator ini dekat dengan resonanFrekuensi [1]. Biarkan ω = ω0 + ω, mana ω kecil. Impedansi masukan kemudian dapat ditulis ulang dari (6.1) sebagai

Formulir ini akan bermanfaat bagi identifikasi sirkuit setara dengan elemen didistribusikanresonators.Selain itu, sebuah resonator dengan kerugian dapat dimodelkan sebagai sebuah resonator lossless res yang -frekuensi onant, ω0, telah diganti dengan frekuensi resonan efektif yang kompleks:

Ini bisa dilihat dengan mempertimbangkan impedansi masukan dari penalun seri tanpa kehilangan, sebagaidiberikan oleh (6.9) dengan R = 0:

6.1 sirkuit seri dan paralel Resonant 275Kemudian mengganti frekuensi kompleks (6.10) untuk ω0 memberikan

mana identik (6.9). Ini adalah prosedur berguna karena untuk paling praktis resonatorskerugian sangat kecil, sehingga Q dapat ditemukan dengan menggunakan metode gangguan, mulaidengan solusi untuk kasus lossless. Kemudian efek dari kerugian dapat ditambahkan ke inputImpedansi dengan mengganti ω0 dengan frekuensi resonan kompleks diberikan dalam (6.10).Akhirnya, mempertimbangkan bandwidth pecahan setengah-power resonator. Gambar 6.1bmenunjukkan variasi dari besarnya impedansi masukan versus frekuensi. Ketikafrekuensi adalah sedemikian rupa sehingga |Zin|2 = 2R2, maka oleh (6.2) rata-rata kekuatan (real) dikirim kesirkuit adalah satu-setengah yang disampaikan pada resonansi. Jika BW bandwidth pecahan, makaΩ ω0 = BW 2 di tepi band atas. Menggunakan (6.9) memberikan

Resonant rangkaian paralelSirkuit resonant RLC paralel, ditunjukkan dalam gambar 6.2a, adalah ganda seri RLCsirkuit. Impedansi masukan adalah

GAMBAR 6.2 A paralel RLC resonator dan respon. (sirkuit RLC paralel). (b) masukanImpedansi besarnya versus frekuensi.


dan daya kompleks yang dikirim ke resonator

Daya yang dihamburkan oleh resistor, R, adalah

rata-rata energi listrik disimpan dalam kapasitor, C,

dan rata-rata energi magnetik yang disimpan dalam induktor, L,

dimana IL adalah arus yang melalui induktor. Maka kekuatan kompleks (6.13) dapatditulis ulang sebagai

mana identik (6.4). Demikian pula, impedansi masukan dapat dinyatakan sebagai

mana identik (6.5).Seperti dalam kasus seri, resonansi terjadi ketika Wm = kami. Kemudian dari (6,16) dan (6.14a)Impedansi masukan di resonansi adalah

yang merupakan impedansi murni nyata. Dari (6.14b) dan (14.6 c), Wm = kami menyiratkan bahwafrekuensi resonan, ω0, dapat defined sebagai

mana identik dengan kasus resonant sirkuit seri. Resonansi dalam kasus paralelSirkuit RLC kadang-kadang disebut sebagai antiresonance.Dari definition (6.7), dan hasil dalam (6.14), Q dibongkar paralelResonant sirkuit dapat dinyatakan sebagai

sejak Wm = kami pada resonansi. Hasil ini menunjukkan bahwa Q sirkuit resonant paralelmeningkatkan sebagai R meningkat.

6.1 sirkuit seri dan paralel Resonant 277

Dekat resonansi, impedansi masukan dari (6.12) dapat menggunakan seri ex - simplifiedPansion mengakibatkan

Lagi membiarkan ω = ω0 + ω, mana ω kecil, memungkinkan (6.12) dapat ditulis ulang sebagai [1]

sejak ω02 = 1/LC. Ketika R = ∞ (6,19) mengurangiSeperti dalam kasus penalun seri, efek dari kerugian dapat dipertanggungjawabkan dengan mengganti ω0dalam ungkapan ini dengan frekuensi resonan efektif kompleks:

Gambar 6.2b menunjukkan perilaku besarnya impedansi masukan versusfrekuensi. Tepi setengah-kekuatan bandwidth yang terjadi pada frekuensi (ω ω0 = BW 2)sedemikian rupa sehingga

yang, dari (6,19), menyiratkan bahwa

seperti dalam kasus resonansi seri.

Q dimuat dan dibongkarDefined Q, Q0, dibongkar di bagian sebelumnya merupakan karakteristik dari resonator itu-diri, tanpa adanya efek loading yang disebabkan oleh sirkuit eksternal. Dalam prakteknya, namun,Sebuah resonator selalu digabungkan ke sirkuit lainnya, yang akan memiliki efek menurunkansecara keseluruhan, atau dimuat Q, QL, sirkuit. 6.3 tokoh menggambarkan resonator digabungkan ke

6.3 tokoh A resonant sirkuit terhubung ke beban eksternal, RL.


Tabel 6.1 ringkasan hasil untuk seri dan paralel Resonators

resistor beban eksternal, RL. Jika resonator merupakan rangkaian RLC sirkuit, resistor beban RL menambahkandalam seri dengan R, jadi perlawanan efektif dalam (6,8) adalah R + RL. Jika resonator paralelSirkuit RLC, resistor beban RL menggabungkan secara paralel dengan R, jadi perlawanan efektif di(6,18) adalah RRL /(R + RL). Jika kita define Q eksternal, Qe, sebagai

kemudian dimuat Q dapat dinyatakan sebagai

Tabel 6.1 meringkas hasil di atas untuk rangkaian seri dan paralel resonant.

6.2 TRANSMISI GARIS RESONATORS

Seperti yang kita lihat, unsur-unsur ideal disamakan sirkuit sering tak terjangkau di microwave frequencies, sehingga unsur-unsur didistribusikan sering digunakan. Dalam bagian ini kita akan mempelajari penggunaantransmisi bagian garis dengan berbagai panjang dan pengakhiran (biasanya buka - atau pendek-hubung) untuk bentuk resonators. Karena kami tertarik pada Q resonators ini, kitaharus mempertimbangkan jalur transmisi dengan kerugian.

Baris singkat-hubung λ/2Panjang jalur transmisi lossy, pendek hubung di salah satu ujungnya, ditunjukkan dalam gambar 6.4.Baris memiliki impedansi karateristik:, Z0, propagasi konstan, β dan redaman

6.2 transmisi Line Resonators 279

GAMBAR 6.4 A hubung pendek panjang jalur lossy transmisi, dan distribusi tegangan untukn = 1 (= λ 2) dan n = 2 (= λ) resonators.

konstan, α. Pada frekuensi resonan ω = ω0, panjang baris adalah = λ/2.Dari (2,91), impedansi masukan adalah

Menggunakan identitas untuk tangen hiperbolik memberikan

Mengamati bahwa Zin = jZ0 tan β jika α = 0 (jalur lossless).Dalam praktek biasanya diinginkan untuk menggunakan jalur transmisi low loss, sehingga kita berasumsiitu α 1, dan kemudian tanh α α. Sekali lagi biarkan ω = ω0 + ω, mana ω kecil. Kemudian,dengan asumsi garis TEM, kami memiliki

dimana vp adalah kecepatan fase saluran transmisi. Karena = λ 2 = πvp/ω0 untuk

kami memiliki

dan kemudian

Menggunakan hasil ini dalam memberikan (6.24)

sejak ωα /ω0 1.Persamaan (6,25) adalah bentuk


yang merupakan impedansi masukan dari Rangkaian RLC resonant sirkuit, seperti yang diberikan oleh (6.9). Kita dapatmengidentifikasi hambatan dari sirkuit setara sebagai

dan induktansi sirkuit setara sebagai

Kapasitansi dari sirkuit setara dapat ditemukan dari (6.6) sebagai

Resonator 6.4 gambar sehingga beresonansi untuk ω = 0 (= λ/2), dan inputImpedansi di resonansi adalah Zin = R = Z0α. Resonansi juga terjadi untuk = nλ/2, n =1, 2, 3, . . . . Distribusi tegangan untuk n = 1 dan n = 2 mode resonan ditampilkandalam gambar 6.4. Q diturunkan dari resonator ini dapat ditemukan dari (6.8) dan (6.26) sebagai

sejak β = π di posisi resonansi. Hasil ini menunjukkan bahwa Q menurun sebagai attenua-tion baris meningkat, seperti yang diharapkan.

CONTOH 6.1 Q-GELOMBANG COAXIAL GARIS RESONATORSSebuah resonator λ 2 terbuat dari sepotong tembaga coaxial baris memiliki batinkonduktor radius 1 mm dan konduktor luar radius 4 mm. Jika resonanfrekuensi 5 GHz, membandingkan Q diturunkan dari resonator coaxial jalur udara-filledyang Teflon-filled coaxial line resonator.

SolusiKami posisi menghitung redaman yang garis coaxial, menggunakan hasil contoh2.6 atau 2.7. Dari Apendiks F, konduktivitas tembaga adalah σ = 5.813 × 107 S/m.Resistivitas permukaan di 5 GHz adalah

.

Redaman akibat kehilangan konduktor untuk jalur udara-filled


Untuk Teflon, r = 2.08 dan cokelat δ = 0.0004, jadi redaman akibat kehilangan konduktor

untuk baris Teflon-filled

Hilangnya dielektrik jalur udara-filled adalah nol, tetapi kehilangan dielektrik Teflon-

Garis filled

Akhirnya, dari (6,27), Qs dibongkar dapat dihitung sebagai

Dengan demikian itu dilihat bahwa Q jalur udara-filled adalah hampir dua kali bahwa Teflon-Garis filled. Q dapat lebih ditingkatkan dengan menggunakan dilapisi konduktor. ■

Singkat-hubung λ/4 barisJenis paralel resonansi (antiresonance) dapat dicapai dengan menggunakan short-circuited trans-misi garis panjang λ/4. Impedansi masukan korsleting garis panjang adalah

mana hasil terakhir diperoleh dengan mengalikan pembilang dan penyebut oleh− j dengan β. Sekarang berasumsi bahwa = λ/4 di ω = ω0, dan biarkan ω = ω0 + ω. Kemudian, untuk TEMbaris,

dan begitu

Juga, seperti sebelumnya, tanh α α untuk kerugian kecil. Menggunakan hasil ini dalam memberikan (6.28)

sejak α π ω 2ω0 1. Hasil ini adalah bentuk yang sama sebagai impedansi RLC paralelsirkuit, seperti yang diberikan dalam (6,19):


Kita dapat mengidentifikasi hambatan dari sirkuit setara sebagai

dan kapasitansi dari sirkuit setara sebagai

Induktansi sirkuit setara dapat ditemukan sebagai

Resonator gambar 6.4 karenanya memiliki resonansi paralel-jenis untuk = λ/4, denganinput impedansi di resonansi Zin = R = Z0/α. Dari (6,18) dan (6.30) dibongkarQ resonator ini adalah

sejak = π/2β di resonansi.

Hubung terbuka λ/2 barisSebuah resonator praktis yang sering digunakan dalam sirkuit microstrip terdiri dari terbuka-hubungpanjang jalur transmisi, seperti ditunjukkan pada gambar 6.5. Resonator ini akan berperilaku sebagai paralelResonant sirkuit ketika panjang λ 2, atau kelipatan λ 2.Impedansi masukan dari garis hubung terbuka lossy transmisi panjang adalah

Seperti sebelumnya, berasumsi bahwa = λ/2 di ω = ω0, dan biarkan ω = ω0 + ω. Kemudian,

GAMBAR 6.5 terbuka-hubung panjang jalur lossy transmisi, dan distribusi tegangan untukn = 1 (= λ 2) dan n = 2 (= λ) resonators.


dan begitu

dan tanh α α. Menggunakan hasil ini dalam memberikan (6,32)

Perbandingan dengan impedansi masukan dari sirkuit resonant paralel, seperti yang diberikan oleh (6,19),menunjukkan bahwa hambatan dari sirkuit RLC setara

dan kapasitansi dari sirkuit setara

Induktansi sirkuit setara adalah

Dari (6,18) dan (6.34) Q diturunkan adalahsejak = π/β di resonansi.

CONTOH 6.2 RESONATOR SETENGAH-WAVE MICROSTRIPPertimbangkan sebuah resonator microstrip yang dibangun dari panjang 50 terbuka - λ 2hubung microstrip baris. Substrat adalah Teflon (r = 2,08, tan δ = 0.0004), denganketebalan 0.159 cm, dan konduktor adalah tembaga. Menghitung yang diperlukanpanjang baris untuk resonansi 5 GHz, dan Q diturunkan dari resonator.Mengabaikan Zoobic bidang pada akhir baris.SolusiDari (3.197), lebar garis microstrip 50 pada substrat ini ditemukan untuk menjadiW = 0,508 cm, dan dielektrik efektif e = 1.80. Resonan panjangkemudian akan dihitung sebagai

Terus-menerus propagasi adalah

Dari (3.199), adalah redaman akibat kehilangan konduktor


dimana kami menggunakan Rs dari 6.1 contoh. Dari (3.198), redaman karena dielec -tric kerugian

Kemudian dari (6.35) Q diturunkan adalah

6.3 PERSEGI WAVEGUIDE RONGGA RESONATORS

Microwave resonators dapat juga dibangun dari bagian tertutup waveguide. Karenaradiasi kerugian dari waveguide terbuka dapat significant, waveguide resonatorsbiasanya pendek hubung di kedua ujungnya, sehingga membentuk sebuah kotak tertutup, atau rongga. Listrikdan energi magnetik disimpan dalam kandang rongga, dan daya yang dihamburkan dilogam dinding rongga serta di dielektrik bahan yang mungkin fill rongga.Coupling untuk resonator rongga mungkin dengan lobang kecil, atau kecil probe atau loop. Kamiakan melihat bahwa ada banyak kemungkinan resonan mode untuk resonator rongga, sesuaidari bidang variasi sepanjang tiga dimensi struktur.Kami akan posisi berasal frekuensi resonan untuk umum TE atau TM resonan moderongga persegi panjang, dan kemudian menurunkan ekspresi q dibongkar mode TE10.Pengobatan lengkap q dibongkar untuk mode TE dan TM yang sewenang-wenang dapat dibuatmenggunakan prosedur yang sama, tetapi ini tidak disertakan di sini karena panjang dan kompleksitas.

Resonan frekuensiGeometri rongga persegi ditunjukkan dalam gambar 6.6. Terdiri dari panjang,d, dari persegi panjang waveguide korsleting di kedua ujungnya (z = 0, d). Kami akan studi resonan

GAMBAR 6.6 A resonator rongga persegi panjang, dan variasi dari bidang listrik untuk TE101 danTE102 resonan mode.

6.3 persegi Waveguide rongga Resonators 285

frekuensi ini rongga di bawah asumsi bahwa rongga lossless, kemudian menentukanQ dibongkar menggunakan metode gangguan yang diuraikan dalam bagian 2.7. Meskipun kita bisadimulai dengan persamaan gelombang Helmholtz dan metode pemisahan variabel untuk memecahkanuntuk listrik dan magnetik bidang yang memenuhi kondisi batas ronggalebih mudah untuk mulai dengan bidang mode waveguide TE atau TM karena ini sudah memenuhikondisi batas yang diperlukan di dinding sisi (x = 0, dan y = 0, b) rongga.Maka hal ini hanya diperlukan untuk menegakkan ketentuan batas bahwa Ex = Ey = 0 pada akhirdinding di z = 0, d.Dari tabel 3.2 bidang listrik melintang (Ex, Ey) TEmn atau TMmn rectangu-Lar waveguide modus dapat ditulis sebagai

mana e¯ (x, y) adalah variasi melintang dari modus, dan A +, A− yang sewenang-wenang amplitudomaju dan mundur bepergian gelombang. Konstan propagasi m, n TEatau mode TM

rongga.Menerapkan kondisi yang E¯t = 0 di z = 0 to (6.36) berarti bahwa A + = −A− (sebagaiKami mengharapkan untuk reflection dari dinding sempurna melakukan). Kemudian kondisi yangE¯t = 0 di z = d mengarah persamaan

Hanya nontrivial (+ = 0) solusi terjadi untuk

yang berarti bahwa rongga harus integer kelipatan setengah-panduan panjang gelombang panjangpada frekuensi yang resonan. Ada nontrivial solusi mungkin untuk panjang lainnya, atau untukfrekuensi selain frekuensi resonan.Beberapa gelombang resonansi untuk rongga persegi panjang dapat defined sebagai

Kemudian kita dapat merujuk ke TEmn atau TMmn modus resonan rongga, dimana di -kentang m, n, menunjukkan jumlah variasi dalam pola gelombang berdiri di x, y, zarah, masing-masing. Frekuensi resonan modus TEmn atau TMmn yang diberikan oleh

Jika b < < d, modus resonan dominan (terendah resonan frekuensi) akan menjadi TE101modus, sesuai dengan modus dominan waveguide TE10 dalam panduan korsleting panjangΛg/2, dan mirip dengan resonator baris singkat-hubung λ 2 transmisi. DominanMode resonan TM adalah modus TM110.


Dibongkar Q mode TE10Dari tabel 3.2, (6.36), dan fakta bahwa A− = −A +, bidang total untuk TE10 resonanmodus dapat ditulis sebagai

Membiarkan E0 = −2 j A + dan menggunakan (6,38) memungkinkan ungkapan-ungkapan ini menjadi simplified untuk

yang jelas menunjukkan bahwa bidang formulir berdiri gelombang di dalam rongga. Kami sekarang bisamenghitung Q diturunkan dari mode ini dengan finding energi listrik dan magnet disimpan,dan kekuatan hilang dalam melakukan dinding dan filling dielektrik.Energi listrik yang tersimpan adalah, dari (1.84),

Sementara energi magnetik yang tersimpan, dari (1,86),

Karena ZTE = kη/β, dengan β = β10 = k2 − (π/a) 2, kuantitas dalam tanda kurung di(6.43b) dapat dikurangi

menunjukkan bahwa kita = Wm pada resonansi. Kondisi yang sama tersimpan listrik dan magnetikenergi di resonansi juga diterapkan untuk sirkuit RLC resonant dari bagian 6.1.Untuk kerugian kecil kita bisa studi daya yang dihamburkan di dinding rongga menggunakan per-metode turbation Bagian 2.7. Dengan demikian, kekuatan hilang di dinding melakukan diberikan oleh(1.131) sebagai

mana Rs = √ ωµ0 2σ adalah resistivitas permukaan dinding logam, dan Httangensial magnetik dari bidang pada permukaan dinding. Menggunakan (6.42b), (6,42 c) dalam (6.44)

6.3 persegi Waveguide rongga Resonators 287

memberikan

mana menggunakan telah dibuat simetri rongga di menggandakan kontribusi daritembok-tembok pada x = 0, y = 0, dan z = 0 untuk memperhitungkan kontribusi dari tembok-tembok padax = y, = b, dan z = d, masing-masing. Hubungan k = 2π/λ dan ZTE = kη/β = 2dη / λjuga digunakan dalam menyederhanakan (6.45). Kemudian, dari (6.7), Q dibongkar rongga dengandinding melakukan lossy tetapi lossless dielektrik dapat ditemukan sebagai

Berikutnya, kita menghitung kekuatan hilang dalam bahan dielektrik yang mungkin fill rongga.Seperti dibahas dalam Bab 1, dielektrik lossy memiliki σ efektif konduktivitas = ω =Ω r 0 tan δ, mana = − j = r 0 (1 − j tan δ), dan tan δ tangen kerugian daribahan. Daya yang dihamburkan di dielektrik adalah, dari (1.92),

mana E¯ diberikan oleh (6.42a). Kemudian dari (6.7) Q dibongkar rongga dengan lossydielektrik filling, tapi dengan sempurna melakukan dinding,

Kesederhanaan dari hasil ini adalah karena fakta bahwa integral dalam (6.43a) untuk kami membatalkan denganintegral identik di (6.47) untuk Pd. Hasil ini karena itu berlaku untuk Qd untuk sewenang-wenangmodus resonan rongga. Ketika kerugian dinding dan kerugian dielektrik yang hadir, totalhilangnya kekuasaan adalah Pc + Pd, sehingga memberikan (6.7) total diturunkan Q sebagai

6.3 CONTOH DESAIN RESONATOR RONGGA PERSEGI PANJANGRongga waveguide persegi panjang terbuat dari sepotong tembaga WR-187 H-bandwaveguide, dengan = 4.755 cm dan b = 2.215 cm. Rongga merupakan filled dengan Poli-etilena (r = 2,25, tan δ = 0.0004). Jika resonansi terjadi pada f = 5 GHz, studipanjang diperlukan, d, dan hasil diturunkan Q untuk = 1 dan = 2resonan mode.


Solusi

Gelombang nomor k

Dari (6,40) panjang diperlukan untuk resonansi dapat ditemukan sebagai (m = 1, n = 0)

Dari 6.1 contoh, resistivitas permukaan tembaga di 5 GHz adalah Rs = 1.84 ×10−2. Impedansi intrinsik adalah

Kemudian dari (6.46) Q karena konduktor badan hanya adalah

untuk = 1, Qc = 8,403,untuk = 2, Qc = 11,898.

Dari (6,48) Q karena dielektrik kehilangan hanya adalah, untuk kedua = 1 dan = 2,

Maka total Qs yang diturunkan adalah, dari (6,49)

Perhatikan bahwa kerugian dielektrik memiliki pengaruh dominan dari q; bisa lebih tinggi Qdapat diperoleh dengan menggunakan rongga udara-filled. Hasil ini dapat dibandingkan dengan orang-orang6.1 contoh dan 6.2, yang digunakan jenis bahan yang serupa pada saat yang samafrekuensi. ■

6.4 MELINGKAR WAVEGUIDE RONGGA RESONATORS

Sebuah resonator rongga silinder dapat dibangun dari bagian waveguide melingkarkorsleting di kedua ujungnya, mirip dengan rongga persegi panjang. Karena gelombang melingkar dominan -Panduan mode modus TE11, modus rongga silinder yang dominan adalah modus TE111.Kami akan memperoleh frekuensi resonan untuk mode melingkar rongga TEnm dan TMnm,dan ekspresi q dibongkar modus TEnm.Edaran rongga sering digunakan untuk microwave frekuensi meter. Rongga merupakan mem-langsung dikonstruksi bahwa dengan dinding atas bergerak untuk memungkinkan mekanis tuning frekuensi resonan,dan rongga longgar digabungkan ke waveguide melalui lobang kecil. Dalam operasi,tenaga akan diserap oleh rongga seperti disetel ke frekuensi operasisistem; penyerapan ini dapat dipantau dengan power meter di tempat lain dalam sistem. The

6.4 melingkar Waveguide rongga Resonators 289

Foto gambar 6.7 W-band waveguide frekuensi meter. Tombol berputar untuk mengubahpanjang resonator rongga melingkar; skala memberikan pembacaan frekuensi.Foto milik Millitech Inc, Northampton, Mass

dial tuning mekanis biasanya langsung dikalibrasi di frekuensi, seperti model yang ditunjukkandalam gambar 6.7. Karena frekuensi resolusi ditentukan oleh Q penalun,TE011 mode sering digunakan untuk frekuensi meter karena Q yang jauh lebih tinggi daripada Qmode rongga melingkar yang dominan. Ini juga merupakan alasan coupling longgar untukrongga.

Resonan frekuensiGeometri rongga silinder ditunjukkan dalam gambar 6.8. Seperti dalam kasus rectan-gular rongga, solusinya adalah simplified oleh diawali dengan modus waveguide melingkar,yang sudah memenuhi kondisi batas yang diperlukan pada dinding gelombang melingkar-Panduan. Dari tabel 3.5, melintang listrik bidang (Eρ, Eφ) TEnm atau TMnm melingkarmodus waveguide dapat ditulis sebagai

mana e¯ (ρ, φ) mewakili variasi melintang modus, dan A + dan A− sewenang-wenangamplitudo maju dan mundur bepergian gelombang. Konstan propagasiTEnm mode adalah, dari (3.126),

GAMBAR 6.8 A rongga resonan silinder, dan distribusi listrik dari bidang untuk resonan modedengan = 1 atau = 2.


Sementara konstan propagasi modus TMnm, dari (3.139),

Untuk memiliki E¯t = 0 di z = 0, d, kita harus memilih A + = −A−, dan + dosa βnmd = 0,

atau

yang berarti bahwa waveguide harus dengan jumlah integer setengah-panduan panjang gelombangpanjang. Dengan demikian, frekuensi resonan modus TEnm adalah

dan frekuensi resonan modus TMnm

Dengan demikian modus TE dominan adalah modus TE111, sedangkan modus TM dominan adalah TM010modus. 6.9 angka menunjukkan grafik modus untuk mode resonan pesanan lebih rendah dari silinderrongga. Sebuah grafik berguna untuk desain melingkar rongga resonators, karena hal itu menunjukkan apamode dapat bersemangat pada frekuensi yang diberikan untuk ukuran tertentu rongga.

GAMBAR 6.9 resonan modus grafik untuk rongga silinder.Diadaptasi dari data dari R. E. Collin, fondasi untuk Microwave Engineering, 2nd edition,Wiley-IEEE Press, Hoboken, NJ, 2001. Digunakan dengan izin.

6.4 melingkar Waveguide rongga Resonators 291

Dibongkar Q mode TEnmDari tabel 3.5, (6,50), dan fakta bahwa A + = −A−, bidang TEnm modus dapatditulis sebagai

mana η = √ μ / dan H0 = −2 j A +.Karena rata-rata waktu disimpan listrik dan magnetik energi sama, totalenergi yang disimpan

mana identitas integral Lampiran C.17 telah digunakan. Hilangnya kekuasaan di mem-DUCTING dinding adalah

Kemudian, (6,8-7), Q dibongkar rongga dengan tidak sempurna melakukan dinding tetapilossless dielektrik adalah


Normalized gambar 6.10 diturunkan Q untuk silinder rongga berbagai mode (udara filled).Diadaptasi dari data dari R. E. Collin, fondasi untuk Microwave Engineering, 2nd edition,Wiley-IEEE Press, Hoboken, NJ, 2001. Digunakan dengan izin.

Dari (6.52) dan (6.51) kita melihat bahwa β = π d dan (ka) 2 adalah konstanta yang tidak berbeda dengandiberikan oleh k/Rs, yang bervariasi sebagai 1 / f; ini akan memberikan variasi dalam Qc untuk diberikan resonanbentuk mode dan rongga (fixed n, m, dan a/d).6.10 angka menunjukkan Q dibongkar dinormalisasi akibat kehilangan konduktor untuk berbagai res-onant mode rongga silinder. Perhatikan bahwa modus TE011 memiliki Q dibongkarsignificantly lebih tinggi dari bawah Orde TE111, TM010, atau TM111 modus.Untuk menghitung Q diturunkan karena dielektrik kerugian, kita harus menghitung kekuatan dissi-pated di dielektrik. Dengan demikian,

Kemudian (6.8) memberikan Q diturunkan karena dielektrik kehilangan

dimana cokelat δ adalah tangen kerugian dari dielektrik. Ini adalah sama sebagai hasil untuk Qd dari(6,48) untuk rongga persegi panjang. Kapan konduktor dan kerugian dielektrik yang hadir,rongga dibongkar total Q dapat ditemukan dari (6,49).

6.4 CONTOH DESAIN RESONATOR RONGGA MELINGKARSebuah resonator rongga melingkar dengan d = 2a adalah harus dirancang untuk beresonansi pada 5.0 GHzdalam TE011 mode. Jika rongga terbuat dari tembaga dan Teflon filled (r =2,08, tan δ = 0.0004), studi dengan dimensi dan Q dibongkar.

6.5 dielektrik Resonators 293

Solusi

Dari (6.53a) frekuensi resonan modus TE011 adalah

dengan p01 = 3.832. Kemudian, sejak d = 2a

Memecahkan untuk memberikan

Jadi kita memiliki d = 5.48 cm.Resistivitas permukaan tembaga di 5 GHz adalah Rs = 0.0184. Kemudian dari(6,57), dengan n = 0, m == 1, dan d = 2a, Q diturunkan karena konduktorkerugian adalah

mana (6.51a) digunakan untuk menyederhanakan ekspresi. Dari (6.59) Q dibongkarkarena dielektrik kerugian

dan total dibongkar q rongga

Hasil ini dapat dibandingkan dengan kasus persegi panjang rongga 6.3 contoh,yang telah Q0 = 1927 untuk modus TE101 dan Q0 = 2065 untuk TE102 mode.Jika ini rongga udara filled, Q akan meningkat menjadi 42,400. ■

6,5 RESONATORS DIELEKTRIKDisc kecil atau kubus (atau bentuk lain) material dielektrik juga dapat digunakan sebagai microwaveresonator. Pengoperasian sebuah resonator dielektrik sama prinsipnya dengan rectan-resonators gular atau silinder rongga sebelumnya dibahas. Resonators dielektrik biasanyamenggunakan bahan dengan kerugian daya hilang rendah dan tinggi dielektrik, memastikan bahwa sebagian besar bidangakan terkandung dalam dielektrik. Tidak seperti logam rongga, namun, ada beberapaDari bidang tepi atau kebocoran dari sisi dan ujung resonator dielektrik (yang tidakmetalized), menyebabkan kerugian kecil radiasi dan konsekuen menurunkan q. Dielektrikresonator umumnya lebih kecil dalam ukuran, biaya, dan berat daripada setara metalik rongga,dan dapat dengan mudah dimasukkan ke dalam microwave sirkuit terpadu dan digabungkan ke planarjalur transmisi. Bahan-bahan dengan konstanta dielektrik dalam kisaran 10-100 adalah umumnya


digunakan, dengan barium tetratitanate dan titanium dioksida menjadi contoh khas. Konduktorkerugian absen, tetapi kehilangan dielektrik biasanya meningkat dengan dielektrik; QS dari atasuntuk beberapa ribu kadang-kadang dapat dicapai, namun. Dengan menggunakan logam dapat disesuaikanpiring di atas penalun, frekuensi resonan dapat disetel secara mekanis. Karenaini fitur-fitur yang diinginkan, dielektrik resonators telah menjadi komponen kunci untuk integrasimicrowave filters dan oscillators.Di bawah ini kami menyajikan analisis perkiraan untuk frekuensi resonan TE01δmodus penalun dielektrik silinder; mode ini adalah yang paling umum digunakan dalamberlatih, dan analog dengan modus TE011 rongga metalik melingkar.

Resonan frekuensi TE01δ modeGeometri resonator dielektrik silinder ditunjukkan dalam gambar 6.11. Operasi dasar-ASI mode TE01δ dapat dijelaskan sebagai berikut. Resonansi dielektrik dianggapsebagai pendek panjang, L, dielektrik waveguide terbuka pada kedua ujungnya. Modus TE urutan terendahPanduan ini adalah modus TE01, dan dual mode TM01 logam melingkar-Lic waveguide. Karena dielektrik tinggi dari penalun, propagasi sepanjangz-AXIS dapat terjadi dalam dielektrik pada frekuensi yang resonan, tapi bidang akan dipotongoff (cepat berlalu Dr ingatan) di wilayah udara di sekitar dielektrik. Dengan demikian dari bidang Hz akan terlihat sepertiyang membuat sketsa di 6.12 gambar; tinggi urutan resonan mode akan memiliki lebih banyak variasi dalamz arah dalam resonator. Karena resonan panjang untuk modus TE01δ kurangdaripada λg/2 (di mana λg adalah panduan panjang gelombang TE01 dielektrik waveguide mode),simbol δ = 2L λg < 1 digunakan untuk menunjukkan variasi z modus resonan. Equiv-sirkuit alent resonator tampak seperti panjang jalur transmisi dihentikan di murnireaktif beban pada kedua ujungnya.Analisis kami mengikuti bahwa referensi [2], dan melibatkan asumsi yang magnetikdinding sempadan kondisi dapat dikenakan di ρ =. Perkiraan ini didasarkan pada faktayang coefficient reflection gelombang di daerah tinggi dielektrik insiden padapendekatan wilayah udara-filled + 1:

Coefficient reflection ini adalah sama dengan yang diperoleh pada batas dinding magnetik yang idealkondisi, atau sirkuit terbuka yang sempurna.Kita mulai dengan finding bidang modus dielektrik waveguide TE01 dengan magnetdinding sempadan kondisi di ρ =. Untuk mode TE, Ez = 0, dan Hz harus memenuhi gelombang

Geometri gambar 6.11 resonator dielektrik silinder.

6,5 Resonators dielektrik 295

6.12 gambar dinding magnetik kondisi batas pendekatan dan distribusi Hz versus zuntuk ρ = 0 modus posisi resonator dielektrik silinder.

persamaan

mana

Karena ∂/∂φ = 0, bidang melintang diberikan oleh (3.110) sebagai berikut:

mana kc2 = k2 − β2. Karena Hz harus finite di ρ = 0 dan nol di ρ = (magnetikdinding), kita memiliki

mana kc = p01/a, dan J0 (p01) = 0 (p01 = 2.405). Kemudian dari (6.62) bidang melintangyang


Di wilayah dielektrik, untuk |z| < L/2, yang terus-menerus propagasi nyata:

hal 296dan impedansi gelombang dapat defined sebagai

Di wilayah udara, untuk |z| Mengatakan L/2, yang terus-menerus propagasi akan imajiner, sehingga conve-nient menulis

dan define gelombang impedansi di wilayah udara sebagai

(

yang terlihat menjadi imajiner.Dari simetri, Hz dan Eφ dari bidang distribusi untuk modus urutan terendah akanbahkan fungsi tentang z = 0. Kemudian bidang melintang untuk TE01δ modus dapat ditulisuntuk |z| < L/2 sebagai

dan untuk |z| Mengatakan L/2 sebagai

mana A dan B adalah tidak diketahui amplitudo coefficients. Di (6.68b), tanda ± digunakan untukz mengatakan L/2 atau z < −L/2, masing-masing.Pencocokan tangensial bidang di z = L 2 (atau z = −L/2) mengarah ke dua berikutpersamaan:

yang dapat dikurangi untuk satu persamaan transendental:

Menggunakan (6.65b) dan (6.66b) memungkinkan ini menjadi simplified sebagai

mana β diberikan oleh (6.65a) dan α diberikan oleh (6.66a). Persamaan ini bisa diselesaikan numer-secara demokratis untuk k0, yang menentukan frekuensi resonan.

6.6 eksitasi Resonators 297

Solusi ini perkiraan karena hal ini mengabaikan Zoobic bidang pada sisi res-onator, dan menghasilkan akurasi hanya urutan 10% (biasanya tidak cukup akurat untuktujuan praktis), tapi melayani untuk menggambarkan perilaku dasar dielektrik resonators.Lebih akurat solusi tersedia dalam literatur [3].Q diturunkan dari resonator dapat dihitung dengan menentukan energi yang tersimpan(di dalam dan di luar silinder dielektrik), dan daya yang dihamburkan di dielektrik danmungkin kehilangan radiasi. Jika yang terakhir kecil, Q dibongkar dapat diperkirakan sebagai1 tan δ, seperti dalam kasus resonators logam rongga.

CONTOH 6.5 RESONAN FREKUENSI DAN Q DIELEKTRIKRESONATORMenemukan frekuensi resonan dan perkiraan dibongkar Q untuk TE01δ modedari sebuah resonator dielektrik yang terbuat dari titania, dengan r = 95 dan cokelat δ = 0.001. Thedimensi resonator = 0.413 cm dan L = 0.8255 cm.SolusiPersamaan transendental (6,70) harus diselesaikan untuk k0, dengan β dan α diberikanoleh (6.65a) dan (6.66a). Dengan demikian,

mana

dan

Karena α dan β keduanya harus nyata, rentang frekuensi mungkin adalah dari f1 f2,

mana

Metode mengurangi separuh interval (Lihat tempat-tempat menarik di akar-findingalgoritma dalam bab 3) studi akar dari persamaan di atas memberikan resonanfrekuensi sekitar 3.152 GHz. Ini dapat dibandingkan dengan nilai diukur tentang3.4 GHz dari referensi [2], menunjukkan kesalahan 10%. Perkiraan diturunkanQ, karena dielektrik kerugian, adalah

■

6.6 EKSITASI RESONATORSResonators tidak berguna kecuali mereka digabungkan ke eksternal sirkuit, jadi sekarang kita membahasBagaimana resonators dapat digabungkan ke jalur transmisi dan waveguides. Dalam praktek, jalandi mana untuk melakukannya tergantung pada jenis resonator dipertimbangkan; beberapa contoh


GAMBAR 6.13 Coupling untuk microwave resonators. (resonator jalur transmisi microstrip)kesenjangan digabungkan ke microstrip feedline. (b) Sebuah resonator rongga persegi diberi makan oleh

koaksial probe. (c) aperture resonator rongga melingkar yang digabungkan ke persegi panjangwaveguide. (d) resonator dielektrik digabungkan ke garis microstrip.

dari resonator kopling teknik yang ditampilkan dalam gambar 6.13. Kita akan membahas operasibeberapa teknik kopling yang lebih umum, terutama kesenjangan kopling dan apertureCoupling. Kita mulai dengan membahas coefficient coupling untuk resonator terhubung keFeed line, dan subjek kritis kopling. Topik terkait kepentingan praktis bagaimanaQ diturunkan dari resonator boleh ditentukan dari respon resonator dua-portdigabungkan ke jalur transmisi.

Coupling Coefficien dan kritis CouplingTergantung tingkat kopling yang diperlukan antara resonator dan sirkuit yang terpasang padaaplikasi. Rongga waveguide digunakan sebagai frekuensi meter, misalnya, adalah biasanya longgardigabungkan ke panduan yang feed untuk menjaga Q tinggi dan akurasi tinggi. Sebuah resonator digunakanosilator atau menantikan amplifier, bagaimanapun, mungkin erat digabungkan untuk mencapaitransfer daya maksimum. Ukuran tingkat kopling antara resonator danpakan yang diberikan oleh coefficient kopling. Untuk mendapatkan transfer daya maksimum antaraSebuah resonator dan feed line, resonator harus dicocokkan dengan garis di resonanfrekuensi; resonansi kemudian dikatakan kritis digabungkan ke feed. Kami akan menggambarkankonsep-konsep ini dengan mempertimbangkan sirkuit resonant seri yang ditampilkan dalam gambar 6.14.

GAMBAR 6.14 A seri resonant sirkuit digabungkan ke feedline.


Dari (6.9), impedansi masukan dekat resonansi sirkuit resonant seriGambar 6.14 diberikan oleh

dan Q dibongkar, (6,8-7),

Di resonansi, ω = 0, sehingga dari (6. 71) impedansi masukan Zin = R. Agar sesuairesonansi ke baris kita harus

Dalam hal ini Q diturunkan adalah

Dari (6.22), Q eksternal adalah

yang menunjukkan bahwa Qs dibongkar dan eksternal sama di bawah kondisi kritisCoupling. Q dimuat adalah setengah nilai ini.Kita bisa define coupling coefficient, g, sebagai

yang dapat diterapkan untuk kedua seri (g = Z0 R) dan paralel (g = R/Z0) resonant sirkuit,ketika terhubung ke jalur transmisi karakteristik impedansi Z0. Tiga kasus dapatdibedakan:

1. g < 1: resonator dikatakan undercoupled untuk feedline.2. g = 1: resonator kritis digabungkan ke feedline.3. g mengatakan 1: resonator dikatakan overcoupled untuk feedline.6. 15 gambar menunjukkan Smith sketsa grafik lokus impedansi seri resonansirkuit, seperti yang diberikan oleh (6. 71), untuk berbagai nilai r sesuai dengan kasus di atas.

Sebuah Resonator Gap-ditambah MicrostripPertimbangkan kedekatan resonator λ 2 hubung terbuka microstrip digabungkan ke ujung terbukamicrostrip jalur transmisi, seperti ditunjukkan pada gambar 6.13a. Kesenjangan antara resonatordan garis microstrip dapat dimodelkan sebagai sebuah kapasitor seri, sehingga dapat sirkuit setaradibangun seperti ditunjukkan pada gambar 6,16. Impedansi masukan dinormalisasi dilihat olehfeedline adalah

mana SM = Z0ωC adalah susceptance dinormalisasi kopling kapasitor, C. resonansiterjadi dengan z = 0, atau bila


6. 15 gambar Smith bagan yang menggambarkan coupling untuk seri sirkuit RLC.

Solusi untuk persamaan transendental ini ditampilkan dalam grafik gambar 6.17. Dalampraktek, bc 1, sehingga posisi resonan frekuensi, ω1, akan dekat dengan frekuensiβ yang = π (posisi resonan frekuensi resonansi dibongkar). Kopling dariresonansi untuk feedline memiliki efek menurunkan frekuensi resonan.Kami sekarang berharap untuk menyederhanakan impedansi titik mengemudi dari (6.77) untuk berhubungan resonator iniseri sirkuit RLC setara. Ini dapat dicapai dengan memperluas z(ω) di Taylorseri tentang resonan frekuensi, ω1, dan dengan asumsi bahwa SM kecil. Dengan demikian,

GAMBAR 6,16 setara sirkuit resonator ditambah kesenjangan microstrip gambar 6.13a.


GAMBAR 6.17 solusi (6.78) untuk frekuensi resonan kesenjangan-ditambah microstripresonator.

karena, dari (6.77) dan (6.78), z(ω1) = 0. Kemudian,

mana kita telah menggunakan (6.78) dan asumsi SM 1. Dengan asumsi garis TEM, kamimemiliki (β) d / dω = /vp, mana vp adalah fase kecepatan baris. Karena πvp/ω1,Impedansi dinormalisasi dapat ditulis sebagai

Sejauh ini kita telah mengabaikan kerugian, tetapi untuk resonator high-Q kerugian dapat dimasukkan oleh re-menempatkan frekuensi resonan, ω1, dengan frekuensi resonan kompleks yang diberikan oleh ω1(1 +j/2Q0), yang mengikuti dari (6.10). Menerapkan prosedur ini (6,80) memberikan masukanImpedansi dari kesenjangan-coupled lossy resonator sebagai

2

Catatan bahwa terlepas λ 2 hubung buka transmisi garis resonator tampak seperti paralelSirkuit RLC dekat resonansi, tetapi kasus dari suatu yang kapasitif digabungkan tampak resonator λ 2seperti sebuah seri sirkuit RLC dekat resonansi. Hal ini karena memiliki seri kopling kapasitorEfek membalik impedansi titik mengemudi dari resonator (Lihat diskusiImpedansi Inverter dalam bagian 8.5).Resonansi perlawanan masukan adalah R = Z0π 2Q0bc2. Untuk kritis kopling, kita harusmemiliki R = Z0,

atau

Coefficient coupling dari (6.76) yang ditemukan

Jika SM < √π/2Q, maka g < 1 dan resonator adalah undercoupled; jika SM mengatakan √π/2Q, kemudiang mengatakan 1 dan resonator adalah overcoupled.


CONTOH 6.6 DESAIN RESONATOR GAP-DITAMBAH MICROSTRIPSebuah resonator terbuat dari hubung terbuka microstrip 50 baris dan adalah kesenjangan cou-membalikan ke 50 feedline, seperti dalam gambar 6.13a. Resonansi memiliki panjang 2.175 cm,konstanta dielektrik efektif 1.9, dan redaman 0.01 dB/cm dekat nyaresonansi. Menemukan nilai yang diperlukan untuk kritis kopling, kopling kapasitordan frekuensi resonan dihasilkan.SolusiFrekuensi resonan posisi akan terjadi bila resonator adalah sekitar = λg/2panjangnya. Mengabaikan Zoobic bidang kami studi yang fre resonan perkiraan -quency adalah

Hasil ini tidak termasuk efek kapasitor kopling. Dari (6.35)dibongkar Q resonator ini adalah

Dari (6.82) dinormalisasi kopling kapasitor susceptance adalah

Jadi kapasitor kopling memiliki nilai

yang harus menyediakan kritis kopling resonator untuk 50 feedline.Sekarang bahwa C ditentukan, frekuensi resonan yang tepat dapat ditemukan oleh solv-ing persamaan transendental (6.78). Karena kita tahu dari grafis begitu -lution 6.17 gambar yang resonan frekuensi sebenarnya sedikit lebih rendah daripadadibongkar resonan frekuensi GHz 5.0, itu adalah hal yang mudah untuk menghitung (6.78)untuk beberapa frekuensi di sekitar ini, yang mengarah ke nilai sekitar 4.918 GHz.Ini adalah sekitar 1.6% lebih rendah dari frekuensi resonan dibongkar. Gambar 6,18 menunjukkansebidang bagan Smith impedansi masukan dari kesenjangan-coupled resonator untukCoupling kapasitor nilai-nilai yang menyebabkan undercoupled, ditambah kritis, dan lebih-ditambah resonators. ■

Ditambah bukaan ronggaSebagai contoh final resonator eksitasi, kami mempertimbangkan waveguide aperture ditambahrongga yang ditunjukkan dalam gambar 6,19. Seperti telah dibahas dalam Bagian 4.8, lobang kecil di melintangdinding waveguide bertindak sebagai induktansi shunt. Jika kita mempertimbangkan posisi resonan modusrongga, yang terjadi untuk panjang rongga = λg/2, maka rongga dapat dianggapsebagai sebuah resonator jalur transmisi korsleting pada salah satu ujungnya. Ditambah bukaan rongga kemudian dapatdimodelkan oleh sirkuit setara yang ditunjukkan dalam gambar 6,20. Sirkuit ini pada dasarnya adalahganda dari sirkuit setara 6,16 gambar, untuk resonator microstrip ditambah kesenjangan, sehinggakita akan mendekati solusi dengan cara yang sama.


GAMBAR 6,18 Smith Bagan alur input impedansi dari resonator ditambah kesenjangan microstrip dariContoh 6.6 versus frekuensi untuk nilai-nilai berbagai kapasitor kopling.

GAMBAR 6,19 A persegi waveguide aperture digabungkan ke rongga persegi panjang.

GAMBAR 6,20 setara sirkuit resonator rongga ditambah aperture.


Masuk masukan dinormalisasi yang dilihat oleh feedline adalah

dimana xL = ωL/Z0 adalah reactance dinormalisasi aperture. Antiresonance terjadiBila pembilang (6.84) lenyap, atau bila

mana serupa dalam bentuk untuk (6.78), untuk kasus resonator ditambah kesenjangan microstrip. Dalampraktek, xL 1, sehingga posisi resonan frekuensi, ω1, akan dekat dengan resonan frekuensiuntuk β yang = π, mirip dengan solusi yang diilustrasikan pada gambar 6.17.Menggunakan prosedur yang sama seperti dalam bagian sebelumnya, kita dapat memperluas Akui masukan-Bantuan (6.84) dalam seri Taylor tentang frekuensi resonan, ω1, dengan asumsi xL 1, untukmemperoleh

karena, dari (6.84) dan (6.85), y(ω1) = 0. Kemudian,

Untuk waveguide persegi panjang,

di mana c adalah kecepatan cahaya. Kemudian masuk dinormalisasi dari (6.86) dapat dikurangi

Di (6.87), k0, β dan xL harus dievaluasi pada frekuensi yang resonan, ω1.Kerugian dapat sekarang dimasukkan oleh asumsi rongga high-Q, dan mengganti ω1 dalam numer-ator (6.87) dengan ω1 (1 + j 2Q0), untuk memperoleh

Resonansi perlawanan masukan adalah R = 2Q0β2cxL2 Z0/πk0ω1. Untuk mendapatkan kritis cou-Pling kita harus memiliki R = Z0, yang menghasilkan reactance aperture diperlukan sebagai

Dari XL, ukuran celah perlu dapat ditemukan.Modus resonan berikutnya untuk ditambah bukaan rongga terjadi ketika Dal masukan -Tari menjadi nol, atau Y → ∞. Dari (6.84) terlihat bahwa hal ini terjadi pada frekuensi yang seperti ituβ bahwa cokelat = 0, atau β = π. Dalam kasus ini rongga adalah persis λg/2 panjang, jadi null dimelintang dari bidang listrik yang ada di pesawat aperture, dan aperture tidak berpengaruh. IniMode adalah bunga kecil praktis karena kopling ini diabaikan.Eksitasi resonator rongga probe arus listrik atau loop bisa ana-lyzed dengan metode analisis modal, serupa dengan yang dibahas dalam Bagian 4,7 dan 4.8.


GAMBAR 6. 21 A dua-port jaringan yang terdiri dari sebuah Rangkaian RLC resonator dalam seri dengan transmis-garis Sion.

Prosedur yang rumit, namun, oleh fakta bahwa ekspansi modal lengkap re -kumpulan bidang memiliki irrotational (nol curl) komponen. Pembaca tertarik disebutuntuk referensi [1] dan [4].

Menentukan Q diturunkan dari pengukuran dua-PortPengukuran langsung Q diturunkan dari resonator ini umumnya tidak mungkin karenaEfek loading sistem pengukuran, tetapi itu mungkin untuk menentukan dibongkar Qdari pengukuran respons frekuensi resonansi dimuat ketika terhubunguntuk jalur transmisi. Satu-port (reflection measurement) dan dua-port (transmisiteknik pengukuran) mungkin; kami akan menjelaskan bagaimana dibongkar Q dapat ditemukandari measurement dua-port.6. 21 angka menunjukkan sebuah resonator RLC seri yang dimasukkan ke dalam seri di jalur transmisiKarakteristik impedansi Z0, membentuk sebuah jaringan dua-port. Transmisi maksimum oc-Curs di resonansi karena impedansi dari penalun seri minimum di resonansi.Off resonansi, resonator impedansi meningkat dan peningkatan kehilangan penyisipan. TheHasilnya adalah bahwa jaringan 6. 21 gambar memiliki respons transmisi dua-port (seperti yang diberikan oleh|S21|) bentuk ditunjukkan dalam gambar 6.22. Q dimuat boleh ditentukan dari (6. 21) sebagaiQL = f0/BW, mana f0 frekuensi resonan, dan BW adalah setengah-kekuatan bandwidth(dalam Hz), dimana respon transmisi adalah 3 dB lebih rendah daripada resonansi.Q dibongkar dapat dinyatakan dalam Q dimuat dan coupling coeffi-Sien, g. Dari (6.23),

GAMBAR 6.22 respon frekuensi transmisi karakteristik jaringan resonatorGambar 6. 21 untuk dua nilai Q dibongkar dan coupling coefficient.


sejak g = Q0 Qe dari (6.76). Menulis ulang (6,90) memberikan

Karena Q0 = ω0 L/R untuk penalun seri, dan Q eksternal adalah Qe = ω0 L/2Z0, sebagaihasil dari garis yang dimuat di masing-masing ujung penalun, coupling coefficient

Di resonansi, impedansi dari Rangkaian RLC resonator mengurangi sampai Z = R. Penyebaranparameter S21 untuk jaringan 6. 21 gambar dua-port dapat ditemukan dalam seriImpedansi resonator menggunakan hasil Tabel 4.2 (atau dari masalah 4.11). Di resonansi,

Memecahkan untuk memberikan g

Prosedur untuk finding Q diturunkan dari penyebaran diukur parameter data (ataudari data yang dihasilkan oleh komputer pemodelan) untuk posisi studi coefficient kopling menggunakan(6.94), kemudian studi Q dimuat dari bandwidth 3 dB, dan finally, menggunakan (6.91), studi Q0.Perhatikan bahwa S21 harus bilangan real di resonansi, dengan asumsi fase referensi pesawat disirkuit resonator. Jika resonator muncul sebagai Rangkaian RLC paralel, sangat mudah untuk menunjukkan bahwahasil untuk g (6.94) harus dibolak-balik.

6.7 MENEMUKAN PERPUTARAN RONGGA

Dalam aplikasi praktis resonators rongga yang sering modified dengan membuat perubahan kecil dalambentuknya, atau dengan memperkenalkan potongan-potongan kecil bahan dielektrik atau logam. Untuk ujian-PLE, frekuensi resonan resonator rongga dapat dengan mudah disetel dengan sekrup kecil(dielektrik atau logam) yang memasuki rongga volume, atau mengubah ukuran ronggadengan dinding bergerak. Aplikasi lain meliputi penentuan dielektrikdengan mengukur perubahan dalam frekuensi resonan ketika contoh dielektrik kecil diperkenalkanke dalam rongga.Dalam beberapa kasus, efek tersebut menemukan perputaran pada rongga kinerja bisa cal-culated persis, tetapi sering pendekatan harus dilakukan. Salah satu teknik yang berguna untuk melakukanini adalah metode perturbational, yang mengasumsikan bahwa bidang sebenarnya dari ronggabentuk kecil atau gangguan materi yang tidak sangat berbeda dari gentarrongga. Dengan demikian, teknik ini dalam konsep mirip dengan metode perturbational diperkenalkandi bagian 2.7 untuk mengobati kerugian dalam baik konduktor, dimana itu diasumsikan bahwa adatidak significant perbedaan antara bidang perangkat dengan baik konduktor dandengan sempurna konduktor.Dalam bagian ini kita menurunkan ekspresi untuk perkiraan perubahan dalam frekuensi resonanKetika rongga resonan terganggu oleh perubahan kecil dalam filling bahan rongga, ataudengan perubahan kecil dalam bentuknya.

Menemukan perputaran bahan6. 23 angka menunjukkan rongga yang perturbed oleh perubahan di dielektrik (), atau permeabilitas(μ), Semua atau bagian dari materi filling rongga. Jika E¯0, H¯0 adalah bidang yang asli

6.7 rongga menemukan perputaran 307

GAMBAR 6. 23 A resonan rongga terganggu oleh perubahan dielektrik atau permeabilitasmateri dalam rongga. (a) asli rongga. (b) terganggu rongga.

rongga, dan E¯, H¯ adalah bidang rongga perturbed, maka persamaan Maxwell curl dapatditulis untuk dua kasus sebagai

mana ω0 frekuensi resonan rongga asli, dan ω adalah frekuensi resonanperturbed rongga.Kalikan konjugat (6.95a) oleh H¯, dan kalikan (6.96b) dengan E¯0∗, untuk mendapatkan

Mengurangkan persamaan dengan dua dan menggunakan identitas vektor (B.8) • ∇ itu (A¯ × B¯) =B¯ • ∇ × A¯ − A¯ • ∇ × B¯ memberikan

Demikian pula, kalikan konjugat (6.95b) oleh E¯, dan kalikan (6.96a) dengan H¯0∗, untuk mendapatkan

Mengurangkan persamaan dengan dua dan menggunakan identitas vektor (B.8) memberikan

Sekarang tambahkan (6.97a) dan (6.97b), mengintegrasikan atas volume V0, dan menggunakan teorema divergenceuntuk mendapatkan


mana permukaan integral adalah nol karena nˆ × E¯ = 0 pada S0. Menulis ulang memberikan

Ini adalah sebuah persamaan yang tepat untuk perubahan dalam frekuensi resonan karena bahan pertur-bations, tapi tidak dalam bentuk yang sangat bermanfaat karena kita umumnya tidak tahu E¯ dan H¯,bidang yang tepat dalam rongga perturbed. Namun, jika kita berasumsi bahwa dan μ kecil,kita dapat perkiraan bidang perturbed E¯, H¯ oleh bidang asli E¯0, H¯0, dan ω dipenyebut (6,99) oleh ω0, untuk memberikan perkiraan perubahan pecahan dalam resonanfrekuensi sebagai

Hasil ini menunjukkan bahwa ada kenaikan atau μ pada setiap titik dalam rongga akan menurunkanresonan frekuensi. Pembaca dapat juga mengamati bahwa istilah-istilah dalam (6.100) dapat terkaituntuk energi listrik dan magnetik disimpan di rongga asli dan terganggu, sehinggamengurangi frekuensi resonan dapat terkait dengan peningkatan energi disimpanrongga terganggu.

GANGGUAN UPTAKE BAHAN CONTOH 6.7 RONGGA PERSEGI PANJANGRongga persegi panjang yang beroperasi dalam modus TE101 terganggu oleh penyisipandari dielektrik lempengan tipis ke bagian bawah rongga, seperti ditunjukkan pada gambar 6,24.Menggunakan hasil perturbational (6.100) untuk memperoleh ekspresi untuk perubahan dalamresonan frekuensi.SolusiDari (6.42a)–(6.42c), bidang untuk TE101 gentar rongga modus dapatditulis sebagai

Di pembilang (6.100), =)

r

− 1)

0

untuk 0 ≤ y ≤ t dan nol di tempat lain.

GAMBAR 6,24 A rongga persegi terganggu oleh lempengan dielektrik tipis.


Integral dapat kemudian dievaluasi sebagai

Penyebut (6.100) sebanding dengan total energi dalam gentarrongga, yang dievaluasi dalam (6,43); dengan demikian,

Kemudian (6.100) memberikan pecahan (turun) perubahan resonan frekuensi sebagai

■

Menemukan perputaran bentukMengubah ukuran rongga, atau memasukkan sekrup tuning, dapat dianggap sebagai perubahandalam bentuk rongga dan, untuk perubahan kecil, juga dapat diobati oleh gangguanteknik. Gambar 6,25 menunjukkan rongga sewenang-wenang dengan gangguan dalam bentuknya; kami akanmenurunkan ekspresi untuk perubahan dalam frekuensi yang resonan.Seperti dalam kasus menemukan perputaran materi, biarkan ω0 E¯0, H¯0, yang menjadi bidang dan resonanfrekuensi ω rongga dan membiarkan E¯, H¯, asli menjadi bidang dan frekuensi resonanrongga terganggu. Kemudian persamaan Maxwell curl dapat ditulis untuk dua kasus sebagai

Kalikan konjugat (6.101a) oleh H¯, dan kalikan (6.102b) dengan E¯0∗, untuk mendapatkan

GAMBAR 6,25 A resonan rongga terganggu oleh perubahan dalam bentuk. (a) asli rongga. (b) terganggurongga.


Mengurangkan persamaan dengan dua dan menggunakan identitas vektor (B.8) memberikan

Demikian pula, kalikan konjugat (6.101b) oleh E¯ dan (6.102a) dengan H¯0∗ untuk mendapatkan

Memberikan identitas vektor mengurangi dan menerapkan (B.8)

Sekarang tambahkan (6.103a) dan (6.103b), mengintegrasikan atas volume V, dan menggunakan perbedaan -Orem untuk mendapatkan

sejak nˆ × E¯ = 0 pada S.Karena permukaan perturbed S = S0 − S, kita dapat menulis

karena nˆ × E¯0 = 0 pada S0. Menggunakan hasil ini dalam memberikan (6.104)

¯ ∗ ¯

yang adalah ekspresi yang tepat untuk frekuensi resonan baru, tetapi tidak satu yang sangat bermanfaat sejakkita umumnya tidak awalnya tahu E, H atau ω. Jika kita menganggap S kecil, dan perkiraanE¯, H¯ dengan nilai-nilai gentar E¯0, H¯0, kemudian pembilang (6.105) dapat dikurangisebagai berikut:

mana identitas terakhir berikut dari konservasi kekuasaan, sebagai berasal dari konjugatdari (1,87) σ, J¯s dan M¯ s diatur ke nol. Menggunakan hasil ini dalam (6.106) memberikan ekspresi untukperkiraan perubahan pecahan resonan frekuensi sebagai

mana kita juga telah mengasumsikan bahwa penyebut (6.105), yang mewakili total

energi yang disimpan dalam rongga perturbed, adalah kira-kira sama untuk gentarrongga.Persamaan (6.107) dapat ditulis dalam hal energi yang disimpan sebagai berikut:

mana Wm dan kita adalah perubahan dalam energi magnetik yang disimpan dan energi listrik,masing-masing, setelah bentuk gangguan, dan Wm + kami adalah total energi yang disimpan di


rongga. Hasil ini menunjukkan bahwa frekuensi resonan mungkin baik menambah atau mengurangi,tergantung pada mana gangguan terletak dan apakah itu meningkat atau menurunvolume rongga.

CONTOH 6.8 BENTUK GANGGUAN UPTAKE RONGGA PERSEGI PANJANGSekrup tipis dari radius r0 memanjang jarak melalui pusat atas dindingrongga persegi panjang yang beroperasi dalam modus TE101, seperti yang ditunjukkan pada gambar 6,26. Jikarongga udara filled, menggunakan (6.107) untuk memperoleh ekspresi untuk perubahan resonanfrekuensi dari rongga gentar.SolusiDari (6.42a)–(6.42c), bidang untuk TE101 gentar rongga dapat ditulisSebagai

Jika sekrup tipis, kita dapat mengasumsikan bahwa bidang konstan atas kayu salibBagian dari sekrup dan dapat diwakili oleh bidang di x = a/2, z = d 2:

Kemudian pembilang (6.107) dapat dievaluasi sebagai

mana V = π r02 adalah volume sekrup. Penyebut (6.107) adalah,dari (6,43),

GAMBAR 6,26 A rongga persegi terganggu oleh posting tuning di pusat atas dinding.


mana V0 = Amerika Serikat adalah volume rongga gentar. Kemudian memberikan (6.107)

yang menunjukkan penurunan frekuensi resonan. ■

REFERENSI

[1] R. E. Collin, fondasi untuk teknik Microwave, 2nd edition, Wiley-IEEE Press, Hoboken,NJ, 2001.[2] S. Cohn B., "Microwave Bandpass filter yang mengandung High-Q dielektrik Resonators," IEEE Trans -tindakan pada teori Microwave dan teknik, vol. MTT-16, pp. 218-227, April 1968.[3] M. W. Pospieszalski, "Resonators dielektrik silinder dan aplikasi mereka di TEM garis Mi -crowave sirkuit,"IEEE transaksi pada teori Microwave dan teknik, vol. MTT-27, ms. 233-238, Maret 1979.[4] R. E. Collin, teori medan dipandu gelombang, McGraw-Hill, New York, 1960.

MASALAH

6.1 Rangkaian RLC resonator dengan beban eksternal ditunjukkan di bawah. Menemukan frekuensi resonan, un-Q dimuat, dan Q dimuat.

6.2 berasal ekspresi q diturunkan dari jalur transmisi resonator terdiri dari singkat-hubung transmisi 1λ garis panjang.6.3 jalur transmisi resonator mengarang dari panjang λ 4 baris hubung terbuka. Menemukan dibongkarQ resonator ini jika terus-menerus kompleks propagasi baris adalah α + jβ.6.4 mempertimbangkan resonator yang ditunjukkan di bawah ini, yang terdiri dari panjang λ 2 jalur transmisi lossless korsletingpada kedua ujungnya. Pada titik yang sewenang-wenang, z, di jalur, menghitung impedances ZL dan ZR dilihat mencari

ke kiri dan ke kanan, masing-masing, dan menunjukkan bahwa ZL = Z∗R. (Kondisi ini berlaku untuk setiaplossless transmisi baris resonator dan merupakan dasar untuk teknik melintang resonansi dibahasdi bagian 3.9.)

6.5 resonator dibangun dari 3.0 cm panjang garis coaxial udara-filled 100, korsleting di satu ujungdan diakhiri dengan sebuah kapasitor di ujung lain, seperti yang ditunjukkan di bawah ini. (a) menentukan nilai kapasitor

Masalah 313

untuk mencapai urutan terendah resonansi 6.0 GHz. (b) sekarang berasumsi bahwa kerugian diperkenalkan dengan menempatkanresistor 10.000 secara paralel dengan kapasitor. Menghitung Q dibongkar.

6.6 resonator jalur transmisi terbuat dari panjang jalur transmisi lossless karakteristikImpedansi Z0 = 100. Jika baris diakhiri pada kedua ujungnya seperti yang ditunjukkan di bawah ini, studi /λ untuk posisiresonansi, dan Q diturunkan dari resonator ini.

6.7 menulis ekspresi untuk bidang E¯ dan H¯ untuk resonator hubung pendek λ 2 coaxial baris, danmenunjukkan bahwa rata-rata waktu disimpan listrik dan magnetik energi sama.6.8 seri sirkuit RLC resonant terhubung dengan panjang jalur transmisi yang λ/4 panjang di nyafrekuensi resonan, seperti yang ditunjukkan di bawah ini. Menunjukkan bahwa, di sekitar resonansi, impedansi masukanberperilaku seperti sirkuit RLC paralel.

6.9 resonator rongga persegi dibangun dari 2.0 cm panjang aluminium X-band waveguide.Rongga adalah udara filled. Menemukan resonan frekuensi dan dibongkar Q TE101 dan TE102 resonanmode.6.10 berasal Q dibongkar untuk modus TM111 rongga persegi panjang, dengan asumsi lossy melakukan dindingdan lossless dielektrik.6.11 mempertimbangkan resonator rongga persegi panjang sebagian filled dengan dielektrik seperti ditunjukkan di bawah. Memperolehtransendental persamaan untuk frekuensi resonan modus yang dominan dengan menulis bidangwilayah udara dan dielektrik filled TE10 waveguide mode dan menegakkan bataskondisi di z = 0, d-t dan d.


6.12 menentukan frekuensi resonan rongga persegi panjang dengan melaksanakan pemisahan penuh-dari-variabel solusi untuk persamaan gelombang Ez (untuk mode TM) dan Hz (untuk TE mode), tunduk padakondisi batas yang sesuai rongga. [Berasumsi larutan form X (x) Y (y)Z(z).]6.13 menemukan Q dibongkar untuk modus resonan TMnm0 rongga melingkar. Pertimbangkan konduktor kedua dandielektrik kerugian.6.14 desain resonator rongga melingkar untuk beroperasi dalam mode TE111 dengan maksimum dibongkar Q difrekuensi 6 GHz. Rongga adalah berlapis emas dan filled dengan bahan dielektrik memiliki r = 1.5dan tan δ = 0,0005. Menemukan dimensi rongga dan dihasilkan Q dibongkar.6. 15 resonator rongga persegi udara-filled memiliki posisi yang tiga mode resonan pada frekuensi 5.2, 6.5,dan 7.2 GHz. menemukan dimensi rongga.6,16 mempertimbangkan resonator cincin microstrip yang ditunjukkan di bawah ini. Jika konstanta dielektrik efektifmicrostrip adalah e, studi persamaan untuk frekuensi resonansi posisi. Menyarankan beberapa metodedari coupling untuk resonator ini.

6.17 microstrip Edaran disk resonator ditunjukkan di bawah. Memecahkan persamaan gelombang untuk mode TMnm0 untukstruktur ini, menggunakan pendekatan magnet dinding yang Hϕ = 0 di ρ =. Jika bidang Zoobicdiabaikan, menunjukkan bahwa frekuensi resonan modus dominan diberikan oleh

6,18 menghitung frekuensi resonan resonator dielektrik silinder dengan r = 36.2, 2a = 7.99 mm,dan L = 2, 14 mm.6,19 memperpanjang analisis Bagian 6,5 untuk memperoleh persamaan transendental untuk frekuensi resonanmodus resonan berikutnya resonator dielektrik silinder. (Hz aneh di z.)6,20 mempertimbangkan resonator dielektrik persegi panjang yang ditunjukkan di bawah ini. Menganggap magnet dinding batas mem-dition di sekitar tepi rongga, dan memungkinkan cepat berlalu Dr ingatan bidang arah ±z menjauh dari

Masalah 315

dielektrik, mirip dengan analisis Bagian 6.5. Memperoleh persamaan transendental untuk resonanfrekuensi.

6. 21 high-Q resonator berguna pada frekuensi gelombang milimeter adalah Fabry-Perot penalun, yang mem-sists dari dua pelat logam paralel (Lihat figure di bawah ini). Gelombang pesawat yang bepergian pada insiden normal

antara dua piring akan menunjukkan resonansi ketika piring pemisahan sama dengan kelipatanΛ/2. () memperoleh ekspresi untuk frekuensi resonan resonator Fabry-Perot memiliki piringpemisahan d dan mode nomor. (b) jika piring memiliki konduktivitas σ, menurunkan ekspresi untukQ diturunkan dari resonator. (c) penggunaan ini hasil studi frekuensi resonan dan diturunkanQ dari Fabry-Perot resonator memiliki d = 4,0 cm, dengan plat tembaga, dan dengan sejumlah modus= 25.

6.22 sirkuit RLC paralel, dengan R = 1000, L = 1.26 nH, C = 0.804 pF, digabungkan dengan serangkaiankapasitor, C0, ke 50-transmisi line, seperti yang ditunjukkan di bawah ini. Menentukan C0 untuk kritis coupling untukbaris. Apa yang dimaksud dengan frekuensi resonan?

6. 23 rongga ditambah aperture waveguide persegi panjang memiliki frekuensi resonan 9.0 GHz dandibongkar Q 11.000. Jika dimensi waveguide = 2.5 cm dan b = 1.25 cm, studi atau -malized reactance aperture yang diperlukan untuk kritis kopling.6,24 microwave resonator terhubung sebagai rangkaian satu-port, dan kehilangan nya kembali diukur versusfrekuensi. Resonansi kehilangan kembali adalah 14 dB, sementara di 2.9985 GHz dan 3.0015 GHz kembaliLoss adalah 11 dB (setengah-power point). Menentukan Q diturunkan dari resonator. Melakukan ini untuk keduaseri dan paralel resonators.6,25 microwave resonator diukur dalam dua-port konfigurasi seperti yang ditunjukkan pada gambar 6. 21. Thekehilangan sisipan minimal diukur sebagai 1,94 dB pada 3.0000 GHz. Kehilangan sisipan adalah 4,95 dB pada2.9925 GHz dan 3.0075 GHz. Apa itu Q diturunkan dari resonator?


6,26 lempengan tipis materi magnet dimasukkan di z = 0 dinding rongga persegi panjang yang ditunjukkandi bawah ini. Jika rongga beroperasi dalam TE101 mode, menurunkan ekspresi perturbational untuk perubahandalam resonan frekuensi yang disebabkan oleh bahan magnetik.

6,27 menurunkan ekspresi untuk perubahan dalam frekuensi resonan untuk screw-tuned persegi ronggaContoh 6.8 jika sekrup terletak di x = a/2, z = 0, mana Hx maksimum dan Ey minimum.

Documents

Microwave Resonators Data