Migadikoi μετhodoi-askhseis

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ


ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΡΩΤΗ

ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΡΩ Έννοια του μιγαδικού Πράξεις μιγαδικών Γεωμετρική ερμηνεία των πράξεων Η έννοια του μέτρου Γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου

ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1η Για να δείξω ότι δύο μιγαδικοί είναι ίσοι, αρκεί να δείξω ότι ισχύουν

ταυτόχρονα οι ισότητες: , .

Παράδειγμα 1ο

Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί έτσι, ώστε οι μιγαδικοί και

να είναι ίσοι

ΛύσηΓια να ισχύει η ισότητα των δύο μιγαδικών, πρέπει

2η Για να δείξω ότι , αρκεί να δείξω κάποια από τις πιο κάτω ισοδύναμες

σχέσεις :


Αν με και , να δειχθεί ότι ο αριθμός είναι πραγματικός

ΛύσηΑρκεί να δείξω ότι .Πράγματι έχω:

1



Αν για τους μιγαδικούς ισχύει να δείξετε ότι ο αριθμός

είναι πραγματικός.

ΛύσηΑρκεί να δείξω ότι ο μιγαδικός ισούται με το συζυγή του. Είναι

Συνεπώς ο αριθμός είναι πραγματικός.

3η Για να δείξω ότι αρκεί να δείξω κάποια από τις πιο κάτω ισοδύναμες

σχέσεις


Αν για τους μιγαδικούς ισχύει να δείξετε ότι ο αριθμός

είναι φανταστικός.

Λύση Αρκεί να δείξω ότι ο μιγαδικός ισούται με τον αντίθετο του συζυγή του. Είναι

4η Για να δείξω ότι ένας αριθμός δεν είναι πραγματικός ή δεν είναι

φανταστικός εργάζομαι με άτοπο.


Έστω οι μιγαδικοί και , , να δείξετε ότι ο αριθμός

δεν


Λύση

Έστω ότι τότε υπάρχει πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε

2


Επειδή το τριώνυμο που προέκυψε έχει αρνητική διακρίνουσα, η εξίσωση είναι αδύνατη στο

, επομένως .

5η Για να λύσω μια εξίσωση της μορφής , ακολουθώ έναν

από τους πιο κάτω τρόπους : Θέτω και καταλήγω σε εξίσωση της μορφής . Από τη λύση του συστήματος προκύπτουν οι ζητούμενοι αριθμοί. Παίρνω το συζυγή και στα δύο μέλη της εξίσωσης. Είναι . Σχηματίζω το σύστημα με αγνώστους τους αριθμούς και η λύση του μου δίνει το ζητούμενο αριθμό.


Να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών η εξίσωση

Λύσηα΄ τρόπος Θέτω . Η εξίσωση που μου έχει δοθεί ισοδύναμα γράφεται Από τον ορισμό της ισότητας μιγαδικών προκύπτει το σύστημα Δηλαδή ο ζητούμενος μιγαδικός είναι ο

β΄ τρόπος Θεωρώ την εξίσωση που προκύπτει από τους συζυγείς. Είναι .Σχηματίζω το σύστημα Από τη λύση του συστήματος έχω .

6η Για να λύσω ένα σύστημα στο σύνολο των μιγαδικών εργάζομαι με τον

ίδιο τρόπο που εργάζομαι και στο σύνολο των πραγματικών. Μερικές φορές είναι αναγκαίο να θέτω


Να λυθεί το σύστημα

Λύση

3


Για τη λύση του συστήματος ακολουθώ τη μέθοδο των οριζουσών

4


Έχω

και

Επειδή το σύστημα έχει , έχει μοναδική λύση την

.

7η Αν μου δίνουν μια ανίσωση , όπου πολυώνυμο ως προς .

Θέτω και γράφω την παράσταση σε κανονική ( καρτεσιανή. μορφή

οπότε και


Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει με

ΛύσηΘέτω , οπότε έχω

Επομένως είναι όλοι οι αριθμοί που βρίσκονται πάνω στον άξονα των πραγματικών και με τετμημένες μεγαλύτερες του 1 ή μικρότερες του –1.

8η Για να υπολογίσω δυνάμεις του , διαιρώ τον εκθέτη με το 4 και τον

φέρνω στη μορφή ,

και γνωρίζοντας ότι , έχω την τιμή της οποιασδήποτε δύναμης .


Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης ,

ΛύσηΔιακρίνω περιπτώσεις για το ν.Αν , τότε

Αν , τότε

Αν , τότε

Αν , τότε

5


9η Αν μου ζητούν το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού , όπου ο

ικανοποιεί κάποια συνθήκη ( άμεσα ή έμμεσα. τότε χρησιμοποιώντας τη συνθήκη αυτή καταλήγω σε μια εξίσωση του από την οποία προσδιορίζω το ζητούμενο γεωμετρικό τόπο.


Θεωρούμε το μιγαδικό, και μη πραγματικό αριθμό . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του , όταν ο μιγαδικός

,είναι πραγματικός.

ΛύσηΓια να είναι ο πραγματικός, πρέπει . Τότε:

Επειδή ο δεν είναι πραγματικός, είναι , οπότε .Επομένως, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με εξίσωση

από τον οποίο έχουν εξαιρεθεί τα σημεία και γιατί στα σημεία αυτά ο γίνεται πραγματικός.

10η Για να βρω την τετραγωνική ρίζα μιγαδικού αριθμού ακολουθώ την

πιο κάτω διαδικασία:Έστω , μιγαδικός του οποίου ζητάω να βρω την τετραγωνική του ρίζα, δηλαδή μιγαδικό τέτοιο, ώστε . Αν , τότε

Αν τότε

Οπότε

Από την βλέπω αν οι είναι ομόσημοι ή ετερόσημοι.

6


11η Για να βρω τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή για το μέτρο

αθροίσματος ή διαφοράς δύο μιγαδικών, χρησιμοποιώ την τριγωνική ανισότητα, δηλαδή την

.Πρέπει να εξασφαλίζω ότι υπάρχει μιγαδικός για τον οποίο έχουμε τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή.Το μέγιστο και το ελάχιστο μπορώ επίσης να το προσδιορίσω και γεωμετρικά φορές το μέγιστο και ελάχιστο το βρίσκω γεωμετρικά.


Αν για τον μιγαδικό αριθμό ισχύει , να βρεθεί η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή της παράστασης

ΛύσηΗ παράσταση που θέλω να προσδιορίσω το μέγιστο και το ελάχιστο γράφεται

Από την τριγωνική ανισότητα έχω

.Εξετάζω αν υπάρχει μιγαδικός τέτοιος, ώστε

.

Αντικαθιστώ και λύνοντας το σύστημα προκύπτει ότι . Εξετάζω αν υπάρχει μιγαδικός τέτοιος, ώστε

.

Αντικαθιστώ και λύνοντας το σύστημα προκύπτει ότι . Επομένως η ελάχιστη τιμή είναι η και η μέγιστη . ( Για το γεωμετρικό τρόπο να δω τη λυμένη άσκηση 18.

12η Για να βρω το γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών που ικανοποιούν

σχέση μέτρων , υψώνω τη σχέση στο τετράγωνο και τελικά αντικαθιστώ το μιγαδικό στην καρτεσιανή του μορφή.Καθοριστικό ρόλο παίζει πολλές φορές η γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου.


Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών , για τους οποίους ισχύει .

Λύση Υψώνοντας και τα δύο μέλη στο τετράγωνο, ισοδύναμα έχω

.Θέτω , Ryx, και ισοδύναμα έχω

7


Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία με εξίσωση

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να γραφούν σε καρτεσιανή μορφή και να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών

α. β.

ΛΥΣΗΚάνοντας όλες τις επιτρεπτές πράξεις έχω:

α. .

β.

2. Να δείξετε ότι αν δύο μιγαδικοί αριθμοί έχουν άθροισμα πραγματικό αριθμό και

διαφορά φανταστικό αριθμό, τότε οι μιγαδικοί είναι συζυγείς.

ΛΥΣΗΈστω και .

Έχω: και .Επειδή και ,είναι και ,οπότε και Άρα οι δύο μιγαδικοί είναι συζυγείς.

3. Να παρασταθούν στο μιγαδικό επίπεδο οι αριθμοί

α. , . β. ,

γ. ,

8

xx´

y

y´

0

1

-1

ð 3ð2ðð2 2

xx´

y

y´

0


ΛΥΣΗ

α. Επειδή οι εικόνες του ανήκουν στην ευθεία . Για το ισχύει οπότε, οι εικόνες του είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ όπως αυτό φαίνεται στο διπλανό σχήμα

β.Αφού το παίρνει τιμές από ολόκληρο το , οι εικόνες του μιγαδικού είναι η γραφική

παράσταση του συνημίτονου.

γ. Είναι αφού και

. Επομένως, οι εικόνες

του γράφουν το τμήμα της ευθείας (διχοτόμος 1ου και 3ου

τεταρτημορίου. που βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο χωρίς το σημείο

4. Δίνονται οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει

.Να βρείτε τους όταν α. Οι είναι συζυγείς.β. Ο είναι φανταστικός και ο είναι πραγματικός.

ΛΥΣΗα. Έστω και με . Η σχέση που έχει δοθεί ισοδύναμα γίνεται Από την ισότητα των μιγαδικών προκύπτει το σύστημα .Επομένως οι ζητούμενοι μιγαδικοί είναι οι

και .

β. Είναι και με . Τότε η σχέση που μου έχει δοθεί ισοδύναμα γίνεται .Από την ισότητα των μιγαδικών προκύπτει το σύστημα

9

xx ΄

x= 2y

y ΄

02


Επομένως, και .

5. Για τον μιγαδικό , να δειχθούν οι πιο κάτω ισοδυναμίες

α. β.(Να τις ξέρω ως θεωρία και να τις αποδεικνύω αν τις χρειαστώ στις εξετάσεις.

ΛΥΣΗΈστω , τότε α. β. .

6. Αν , με και , να δειχθεί ότι ο αριθμός είναι

φανταστικός.

ΛΥΣΗΓια να δείξω ότι ο είναι φανταστικός, αρκεί να δείξω ότι .Πράγματι

7. Να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικών η εξίσωση

ΛΥΣΗΘέτω με και η εξίσωση γίνεται

Επομένως, οι λύσεις της εξίσωσης είναι , , .

10


8. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού για τον οποίο ισχύει

ΛΥΣΗΘέτω και έχω

.

Οπότε

.

Έτσι

Επομένως, το σύνολο των σημείων του επιπέδου που επαληθεύουν τη δοθείσα σχέση είναι τα σημεία του άξονα των φανταστικών, χωρίς το σημείο καθώς και ο κύκλος , όπου Ο η αρχή του συστήματος αναφοράς,

9. Αν και ισχύει , να δειχθεί ότι .

ΛΥΣΗΕίναι

10. Αν για τους μιγαδικούς ισχύει

,να δειχθεί ότι ή .

ΛΥΣΗΕίναι

11


ή .

11. Να παραστήσετε στο μιγαδικό επίπεδο τις εικόνες των μιγαδικών για τους

οποίους ισχύεια. β.γ.

ΛΥΣΗα.Η ισότητα που έχει δοθεί γράφεται (1. Γνωρίζω ότι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Κ εικόνα του μιγαδικού και ακτίνα , είναι η .Επομένως, η (1. περιγράφει κύκλο με κέντρο , εικόνα του μιγαδικού και ακτίνα .

β. Είναι .

Επομένως, πρόκειται για τα σημεία κυκλικού δίσκου με κέντρο το σημείο και ακτίνα χωρίς τα σημεία της

περιφέρειας.

γ.Η ανισότητα προσδιορίζει τα σημεία κυκλικού δίσκου με κέντρο και ακτίνα 2, μαζί με τα σημεία της περιφέρειας. Η ανισότητα προσδιορίζει τα σημεία που βρίσκονται εκτός του κυκλικού δίσκου με κέντρο και ακτίνα 1, μαζί με τα σημεία της περιφέρειας.

12. Να προσδιορίσετε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει :

.

ΛΥΣΗΗ εξίσωση (1. περιγράφει τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με και . Η ευθεία αυτή σε καρτεσιανό επίπεδο έχει εξίσωση .Η εξίσωση (2. περιγράφει τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος ΒΓ με . Η ευθεία αυτή στο καρτεσιανό επίπεδο έχει εξίσωση .

Αφού οι (1., (2. πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα, προκύπτει το σύστημα

Άρα, ο ζητούμενος μιγαδικός είναι ο .

12

xx ΄

y

2

y ΄

- 3

xx ΄

y

-2

y ΄

-1

x21-1

x ΄

y

y ΄

xx ΄

y

y ΄

0

-3

1

1


13. Για τους μιγαδικούς να δειχθεί η ισοδυναμία

.

13


ΛΥΣΗ

Έστω ότι .Ισοδύναμα έχω

(1.Έστω ότι .Ισοδύναμα έχω

(2.Από τις σχέσεις (1.,(2. έχω ότι

14. Αν για τους μιγαδικούς ισχύει , να δείξετε ότι:

α.

β.

γ.

ΛΥΣΗ α. Γνωρίζω ότι το μέτρο ενός μιγαδικού υψωμένο στο τετράγωνο ισούται με το

γινόμενο του μιγαδικού και του συζυγή του. Επομένως,

β. Αποδεικνύεται με αντίστοιχο τρόπο.

γ. Το πρώτο μέλος της ζητούμενης ανίσωσης γίνεται

15. Να βρεθεί στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του

μιγαδικού για τον οποίο ισχύει

14


ΛΥΣΗΓνωρίζω πως η εξίσωση στο μιγαδικό επίπεδο παριστάνει κύκλο με

κέντρο και ακτίνα .Η εξίσωση που έχει δοθεί γράφεται

Ισοδύναμα

Επομένως, οι εικόνες του γράφουν κύκλο με κέντρο και ακτίνα .

16. Στο μιγαδικό επίπεδο, να προσδιορισθεί το σύνολο των σημείων, εικόνων του

μιγαδικού , για τον οποίο ισχύει .

ΛΥΣΗα΄ τρόποςΓνωρίζω ότι η εξίσωση περιγράφει τα σημεία της μεσοκαθέτου του

ευθυ-γράμμου τμήματος με και .Επομένως, η δοθείσα εξίσωση περιγράφει την μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία , .Από τη συμμετρία προκύπτει ότι είναι η ευθεία .

β΄ τρόποςΥψώνοντας την αρχική ισότητα στο τετράγωνο, ισοδύναμα έχουμε

(1.

Θέτω και η (1. ισοδύναμα δίνει

17. Έστω η εικόνα, πάνω στο μιγαδικό επίπεδο, του μιγαδικού αριθμού για

τον οποίο ισχύει .Να βρεθεί ο μιγαδικός που ικανοποιεί την παραπάνω σχέση και έχει το μικρότερο μέτρο.

ΛΥΣΗΕίναι (1.

15

xx ΄

y

y ΄

01

1


Θέτω , οπότε η (1. δίνει : .

Συνεπώς τα σημεία γράφουν την ευθεία .

Ο μιγαδικός που ανήκει στην και έχει το μικρότερο μέτρο είναι εκείνος που αποτελεί σημείο τομής της κάθετης από την αρχή των αξόνων πάνω στην . Είναι :

.

Επομένως, η ευθεία ΟΚ είναι η .

Προσδιορίζω το σημείο Κ λύνοντας το σύστημα των δύο ευθειών. Έχω

Συνεπώς, ο ζητούμενος μιγαδικός είναι ο

18. Αν για τον μιγαδικό ισχύει

,να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της παράστασης .

ΛΥΣΗ

Οι εικόνες του μιγαδικού που επαληθεύουν την εξίσωση βρίσκονται πάνω σε κύκλο με κέντρο και ακτίνα .

Η παράσταση εκφράζει την απόσταση του τυχαίου σημείου που βρίσκεται πάνω στην περιφέρεια του κύκλου από το σταθερό σημείο και για να γίνει η απόσταση αυτή ελάχιστη πρέπει το να πάρει τη θέση

ενώ για να γίνει μέγιστη πρέπει να πάρει τη θέση , όπου

είναι τα σημεία όπου η τέμνει τον κύκλο.Η απόσταση των σημείων είναι

.

Επειδή η ακτίνα του κύκλου είναι θα έχω και .Επομένως και .Παρατήρηση: Αν ήθελα να προσδιορίσω και τα σημεία – μιγαδικούς για τους οποίους έχω την ελάχιστη και μέγιστη απόσταση θα έλυνα το σύστημα κύκλου και ευθείας.

16

x

Κ

x ΄

y

y ΄

0 136

134

xx ΄

y

y ΄

0

1

-4 K

M 2

M 1

P (-2 ,0 )


19. Αν για τον μιγαδικό ισχύει : ,

να προσδιορισθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της παράστασης .

ΛΥΣΗΕίναι .Όμως, οπότε και Άρα .

20. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει

, .

Να προσδιορισθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών όταν ο είναι καθαρά φανταστικός.

ΛΥΣΗΟ μιγαδικός είναι καθαρά φανταστικός όταν και μόνο όταν . Ισοδύναμα έχω

(1..Θέτω με και . Η εξίσωση (1. ισοδύναμα γίνεται

.

Επομένως, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι κύκλος με κέντρο το σημείο και ακτίνα

21. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού για τον οποίο

ισχύει .

ΛΥΣΗΗ εξίσωση που προσδιορίζει το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του ισοδύναμα γράφεται (1..

Γνωρίζω ότι το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών εκφράζει την απόσταση των εικόνων τους στο μιγαδικό επίπεδο.

17

xx ΄

y

y ΄

0

K (0 ,1 )


Η (1. επαληθεύεται από τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου που το άθροισμα των αποστά-σεών τους από τα σταθερά σημεία και είναι σταθερό ( ίσο με 6. και μεγαλύτερο από την απόσταση των δύο σημείων

Συνεπώς, ο γεωμετρικός τόπος είναι έλλειψη με , και .

Δηλαδή πρόκειται για την έλλειψη με εστίες τα σημεία και εξίσωση

.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Στο ίδιο συμπέρασμα θα κατέληγα αν έκανα διαδοχικές υψώσεις στο τετράγωνο στην αρχική σχέση και κατόπιν αντικαθιστούσα με .

18


ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

1. Αν είναι καθαρά φανταστικοί αριθμοί, να δειχθεί ότι ο αριθμός

είναι μη θετικός.

2. Aν , και , να δειχθεί ότι

και .

3. Αν να δείξετε ότι:

α. . β. .

γ. αν είναι φανταστικός αριθμός, να δείξετε ότι ο αριθμός είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός.

4. Να βρεθούν οι δυνατές τιμές της παράστασης

.

5. Έστω οι μιγαδικοί .α. Να δείξετε ότι

.

β. Να προσδιορίσετε το μικρότερο για τον οποίο ισχύει

.

6. Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης , .

7. Nα δείξετε ότι ο αριθμός

,

είναι πραγματικός για κάθε .

8. Δείξτε ότι ο μιγαδικός αριθμός , είναι πραγματικός.

9. Αν μιγαδικός για τον οποίο ισχύει και ,να δειχθεί ότι ο μιγαδικός


10. Αν για τον μιγαδικό ισχύει ότι

όπου , να δείξετε ότι ο είναι φανταστικός.

19


11. Αν για τον μιγαδικό ισχύει

όπου , να δείξετε ότι ο είναι πραγματικός.

12. Να δείξετε ότι η εξίσωση

,

δεν έχει πραγματική ρίζα.

13. Να λυθεί στο σύνολο των μιγαδικών η εξίσωση .Δίνεται η εξίσωση

.α. Να λύσετε την εξίσωση (1..β. Αν είναι η ρίζα της (1. με θετικό το φανταστικό μέρος, να γράψετε τον αριθμό

σε καρτεσιανή μορφή.

γ. Αν Α, Β, Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών αντίστοιχα, να προσδιρίσετε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ.

14. Δίνεται η εξίσωση .

α. Αν είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης , να δείξετε ότι ο αριθμός

είναι φανταστικός. β. Αν η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζα της μορφής , να δείξετε ότι:

i. ii. .

15. Να δειχθεί ότι ο μιγαδικός είναι πραγματικός και ανήκει στο διάστημα

.

16. Να λύσετε τις ανισώσεις α. β. .

17. Έστω μιγαδικός με και . Θεωρούμε και τους μιγαδικούς

.

Αν η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στην ευθεία , να δείξετε ότι:α. Ο μιγαδικός είναι πραγματικός.β. Η εικόνα του μιγαδικού ανήκει σε κύκλο.

18. Έστω και ισχύει

.

Να δειχθεί ότι αν , τότε οι εικόνες του μιγαδικού ανήκουν σε υπερβολή της οποίας έχουν εξαιρεθεί οι κορυφές της.

20


19. Δίνονται οι μιγαδικοί με

.

Αν να βρεθεί η γραμμή που γράφουν στο επίπεδο οι εικόνες του μιγαδικού .

20. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός . Αν , να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

εικόνων Μ του , όταν: α. β.

21. Θεωρούμε τους μιγαδικούς . Αν ο έχει εικόνα πάνω στον άξονα των

πραγματικών, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του .

22. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει

,

23. Δίνεται η συνάρτηση , . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του , όταν:α. β.

24. Έστω μιγαδικοί διαφορετικοί ανά δύο με εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία αντίστοιχα.

Να δείξετε ότι τα είναι συνευθειακά αν και μόνο αν ισχύει : .

25. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός .Αν Α,Β,Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών , και αντίστοιχα, να προσδιορίσετε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει .

26. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει.

27. Για κάθε μιγαδικό αριθμό , να δείξετε ότι:

α. αν , τότε .

β. αν , τότε .

28. Στο μιγαδικό επίπεδο να βρεθούν τα σημεία που είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει:α. β.

γ. δ.

ε. .

29. α. Να δείξετε ότι η εξίσωση του κύκλου που περνά από ην αρχή των αξόνων και έχει κέντρο την εικόνα του μιγαδικού , έχει τη μορφή

21


.

β. Αν με και , να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των

εικόνων του μιγαδικού είναι ευθεία, όταν ο βρίσκεται στον κύκλο του (α. ερωτήματος.

30. Αν για τον μιγαδικό ισχύει , να αποδείξετε ότι .

31. Αν και ισχύει , να αποδείξετε ότι .

32. Αν και , να αποδείξετε ότι:

α. .

β. το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο στο Ο, όπου Α, Β οι εικόνες των αντίστοιχα και Ο η αρχή του συστήματος αναφοράς.

33. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν μέτρο 1, τότε:

α. να αποδείξετε ότι είναι ισοδύναμες οι ισότητες και

β. να προσδιορίσετε το μέτρο του μιγαδικού

34. Αν για τους μιγαδικούς είναι , να δειχθεί ότι ο αριθμός


35. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει

.

36. Αν μιγαδικοί αριθμοί , να δειχθεί ότι ισχύει

.

37. Για τους μιγαδικούς , να δείξετε ότι

.

38. Για τους μιγαδικούς να δείξετε ότι

.

39. Αν για τους μιγαδικούς ισχύει , να δειχθεί ότι

22


40. Για τους μιγαδικούς να δειχθούν οι παρακάτω σχέσεις :

α. β.

γ.

δ. (Κανόνας παραλληλογράμμου.

(Το δ ερώτημα να το ξέρω ως θεωρία γιατί είναι πολύ «δυνατό εργαλείο» στα μέτρα)

41. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς ισχύει

να δειχθεί ότι

42. Αν για τους μιγαδικούς ισχύει

,να δειχθεί ότι .

43. Για τον μιγαδικό αριθμό , να δειχθεί η ισοδυναμία

44. Να δειχθεί ότι για τους μιγαδικούς , ισχύει η ισοδυναμία

.

45. Αν για τους μιγαδικούς ισχύει ,, να δειχθεί ότι

.

46. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών που ικανοποιούν την σχέση

.

47. Για τους μιγαδικούς να δειχθούν οι πιο κάτω ισοδυναμίες:

α. β.

γ. .

48. Έστω , .Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού για τις οποίες οι εικόνες του μιγαδικού βρίσκονται σε περιφέρεια κύκλου.Να προσδιορίσετε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των πιο πάνω κύκλων.

49. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει .

Αν η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο και ακτίνα , τότε:

α. Να δείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού κινείται σ ευθεία.β. Να προσδιορίσετε το μιγαδικό με το μικρότερο μέτρο.

23


50. Αν με

και είναι οι εικόνες τους αντίστοιχα, στο μιγαδικό επίπεδο και Ο είναι η αρχή των αξόνων, να δειχθεί ότι:

α. β.

γ.

51. Αν , και , α. Να δειχθεί ότι οι εικόνες του κινούνται σε ευθεία

β. Να δειχθεί ότι .

52. Δίνεται η εξίσωση , .

α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού .β. Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού , για την οποία το γίνεται

ελάχιστο.

53. Να προσδιορισθούν τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου που αποτελούν εικόνες του μιγαδικού για τον οποίο ισχύει

54. α. Να προσδιορίσετε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού για τον οποίο

ισχύει .

β. Αν οι εικόνες των μιγαδικών ανήκουν στη γραμμή του (α. ερωτήματος

και είναι συμμετρικές ως προς το , να βρείτε τη μέγιστη και την

ελάχιστη τιμή του .

55. α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού , για τον οποίο ισχύει

.

β. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς του (α. ερωτήματος έχει το ελάχιστο δυνατό

μέτρο.

56. Αν για τους μιγαδικούς ισχύει και να δείξετε ότι:α. β.

57. Αν για τους μιγαδικούς ισχύει να δείξετε ότι

.

58. Για τους μιγαδικούς , με να δείξετε την ισοδυναμία

.

59. Αν Α, Β, Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών , με και ισχύει η σχέση

, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.

24


60. Αν για τον μιγαδικό αριθμό ισχύει , να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης

.

61. Αν για τον μιγαδικό αριθμό ισχύει , να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης .

62. α. Να προσδιορίσετε το σύνολο των σημείων που είναι εικόνες των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει .β. Από τους μιγαδικούς που ικανοποιούν την παραπάνω ισότητα ποιος είναι εκείνος που έχει το μικρότερο και ποιος εκείνος που έχει το μεγαλύτερο μέτρο.

63. Αν με και , να προσδιορίσετε την ελάχιστη τιμή του .

64. Αν και , να αποδείξετε ότι το τρίγωνο που σχηματίζεται από τις εικόνες των και την αρχή του συστήματος αναφοράς είναι ισόπλευρο και ότι

.

65. Αν και η εικόνα του κινείται στον άξονα , να δείξετε ότι:

α. Η εικόνα του κινείται σε κύκλο. β. .

66. Οι μιγαδικοί αριθμοί επαληθεύουν τις σχέσεις και . Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της παράστασης καθώς και οι

τιμές των για τις οποίες η πιο πάνω παράσταση γίνεται ελάχιστη.

67. α. Θεωρούμε τους μιγαδικούς και τις εικόνες τους Α, Β αντίστοιχα. Αν Ο η αρχή του συστήματος αναφοράς, να δείξετε ότι:

.

β. Δίνονται οι μοναδιαίοι μιγαδικοί αριθμοί και Α, Β, Γ οι εικόνες τους αντίστοιχα.

Αν ισχύει ,

να δείξετε ότι:

.

68. Έστω οι μιγαδικοί και Α,Β οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο αντίστοιχα.

Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ να δείξετε ότι:

25


α. Το Μ είναι εικόνα του μιγαδικού

β. .

26


Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Α Θ Ε Μ Α Τ ΑΠΡΩΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

Άσκηση 1

Έστω , με και (1)

α. Να δείξετε ότι ο δεν είναι πραγματικός.β. Να δείξετε ότι οι εικόνες του στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία κύκλου, του

οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.γ. Να βρείτε τους μιγαδικούς που έχουν το μέγιστο και το ελάχιστο μέτρο.δ. Να δείξετε ότι

ε. Αν μιγαδικοί που ικανοποιούν την (1), να δείξετε ότι

.

Άσκηση 2

Δίνεται η εξίσωση , , και είναι οι ρίζες της με .

α. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς .

β. Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός.

γ. Έστω οι εικόνες των μιγαδικών αντίστοιχα, με

,

τότε:ι. Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.ii. Αν

, να δείξετε ότι .

iii. Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών , που επαληθεύουν των εξίσωση , βρίσκονται πάνω σε έλλειψη.

Άσκηση 3

α. Έστω τέτοιος, ώστε με και . Να δείξετε ότι: i. ii.β. Αν ο μιγαδικός αριθμός επαληθεύει τη σχέση , τότε:

i. Να δείξετε ότι .

ii. Να βρείτε το .iii. Να βρείτε τον μιγαδικό .

Άσκηση 4

Δίνεται η εξίσωση , .

α. Να δείξετε ότι οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι μη πραγματικοί αριθμοί.β. Έστω οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης. Αν ισχύει

27


,

να βρείτε την τιμή του και τις .

Άσκηση 5

Έστω , .

α. Να λύσετε την εξίσωση

β. Αν , να βρείτε το .

γ. Αν , να δείξετε ότι οι εικόνες του ανήκουν σε κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Άσκηση 6

Δίνεται η εξίσωση (1).α. Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει άπειρες λύσεις στο σύνολο των μιγαδικών.β. Αν είναι δύο λύσεις της παραπάνω εξίσωσης, να δείξετε ότι

.

γ. Αν είναι αντίστοιχα οι τιμές των του β’ ερωτήματος, για τις οποίες η

παράσταση γίνεται μέγιστη, να δείξετε ότι:

Άσκηση 7Αν , α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων όταν

.

β. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του .

Άσκηση 8

Δίνονται οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί με

και .

Να δείξετε ότι:α.

β. Το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των είναι ισόπλευρο.

28


Άσκηση 9

Δίνεται η εξίσωση , .α. Να λυθεί η εξίσωση.β. Αν οι δύο ρίζες της εξίσωσης, τότε:

i. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των ριζών για κάθε .

ii. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του .

Άσκηση 10

Αν για το μιγαδικό , ισχύει , να βρεθεί:

α. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του .β. Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του .

Άσκηση 11

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί με .

α. Να δείξετε ότι .

β. Να δείξετε ότι .

γ. Αν είναι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού στο επίπεδο και ισχύει ότι , να δείξετε ότι το ανήκει στον άξονα .δ. Να δείξετε την ισοδυναμία

Άσκηση 12Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών , για τους οποίους ισχύει .Να βρεθεί ο μιγαδικός με το ελάχιστο και το μέγιστο μέτρο.

Άσκηση 13

Δίνεται η συνάρτηση .

α. Να γράψετε τον μιγαδικό σε κανονική μορφή.β. Να δείξετε την ισοδυναμία .

γ. Αν ισχύει , να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι κύκλος, του οποίου να βρείτε τα στοιχεία του.δ. Για τους μιγαδικούς του προηγούμενου ερωτήματος, να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του .

Άσκηση 14

Δίνονται οι μιγαδικοί .α. Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών ανήκουν σε κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.β. Να βρείτε τον μιγαδικό με το μεγαλύτερο μέτρο.γ. Αν για τους μιγαδικούς ισχύει

να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών είναι σημεία συνευθειακά.

29


Άσκηση 15Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους, ισχύει

.

Άσκηση 16

Έστω οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει

και .

α. Να βρείτε τους .

β. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών .

γ. Να δείξετε ότι .

Άσκηση 17

Θεωρούμε μιγαδικούς για τους οποίους ισχύει . (1)

α. Να δείξετε ότι .

β. Να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο της παράστασης .

γ. Αν είναι μιγαδικοί που ικανοποιούν την εξίσωση (1) με και , να

δείξετε ότι ο μιγαδικός .

Άσκηση 18

Έστω και οι μιγαδικοί .

α. Να εκφράσετε τον συναρτήσει των και .

β. Να δείξετε ότι, αν ο αριθμός είναι πραγματικός, τότε ο αριθμός


Άσκηση 19

Αν για τους μιγαδικούς ισχύει

να δείξετε ότι:α. Ο αριθμός είναι φανταστικός.

β. Το τρίγωνο που σχηματίζεται από τις εικόνες των και το σημείο είναι ορθογώνιο.γ. Ο περιγεγραμμένος κύκλος στο παραπάνω τρίγωνο έχει εξίσωση

Άσκηση 20

Δίνονται οι διαφορετικοί ανά δύο μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει

και .Να δείξετε ότι:α. β.

γ. δ.

ε. Το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των είναι ισόπλευρο.

Άσκηση 21

Έστω και οι μιγαδικοί τέτοιοι, ώστε .

30


α. Να δείξετε ότι .β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών .γ. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του .δ. Να δείξετε ότι .

Άσκηση 22Έστω η εξίσωση , , η οποία έχει ρίζα έναν μιγαδικό και μη πραγματικό αριθμό που έχει μέτρο 5.α. Να βρείτε τον και τις ρίζες της εξίσωσης.β. Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης και , να δείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός.γ. Να βρείτε κάθε σημείο , ώστε το τρίγωνο που έχει κορυφές το Μ και τις εικόνες των ριζών της εξίσωσης να είναι ορθογώνιο.δ. Αν είναι συζυγείς μιγαδικοί, να δείξετε ότι

Άσκηση 23Έστω ο μιγαδικός για τον οποίο ισχύει .Να δείξετε ότι:

α. β.

Άσκηση 24Έστω οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει

.α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των .β. Να δείξετε ότι

.

γ. Αν είναι μιγαδικοί που ικανοποιούν την εξίσωση του πρώτου ερωτήματος, να

βρείτε το μέγιστο της παράστασης .

31

Documents

Migadikoi μετhodoi-askhseis