Mii u2matematicas

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D.R.© Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Eugenio Garza Sada 2501 Sur, Col. Tecnológico, Monterrey, N.L. México. 2010

Matemáticas

Matemáticas Módulo II Conjuntos y elementos de lógica matemática

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Matemáticas

Unidad 2 Operaciones con conjuntos

Introducción En esta unidad estudiarás a los elementos como parte de un conjunto más amplio. La idea de “Conjunto Universo” ofrece reconocer a los elementos como parte de un todo. El concepto de Universo te permitirá tener la habilidad de resolver operaciones con conjuntos a través de los diagramas de Venn. Estos diagramas ofrecen representar la teoría de los conjuntos de manera gráfica y más divertida. ¿Estás listo para continuar?

Competencias de la unidad

Las competencias que desarrollarás en esta unidad son las siguientes:

Identificar y explicar correctamente las relaciones entre un conjunto y un elemento dentro de uno o varios universos.

Interpretar los diagramas de Venn a través del uso de la teoría de los conjuntos.

Resolver diversas operaciones entre conjuntos a través del método de los diagramas de Venn. A continuación te presentamos los temas que revisaremos en esta unidad:

Tema 1 Operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento Tema 2 Representación con diagramas de Venn

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Tema 1 Operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento ¿Qué necesitas para encontrar los elementos de algún conjunto? Obviamente necesitas alguna referencia que te ayude a identificar sus similitudes y de esa manera formar algún conjunto.

Observa el siguiente ejemplo. A= {x|x es días de la semana que empiezan con m}

Cuando se usa la definición de conjunto y queremos encontrar sus elementos, necesitamos una referencia para encontrarlos. Al conjunto que se usa como referencia se le conoce como conjunto Universo y se representa con la letra U. El conjunto de referencia o conjunto Universo puede cambiar de una situación a otra. Siguiendo con el ejemplo anterior, podemos destacar que el conjunto Universo del conjunto A, son los días de la semana. Complemento de un conjunto Los complementos de un conjunto son los elementos que no pertenecen al conjunto señalado, pero se necesitan para completar el conjunto Universo. Por ejemplo…

A= {verano, otoño} El complemento serían las otras dos estaciones que no están incluidas en el conjunto A, en este caso serían, primavera e invierno. El complemento del conjunto A es el conjunto de elementos que le faltan al conjunto A para completar el

conjunto Universo: El complemento del conjunto A se representa como cA .

Ahora que ya conoces los componentes de los conjuntos y sus universos, podemos representar a los conjuntos de forma gráfica.

¿Cuál es la referencia que estamos tomando para definir al conjunto anterior?

A= {x|x es días de la semana que

empiezan con m}

Martes

Miércoles

Referencia: Días de la semana.

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

La referencia que tomamos para definir al conjunto “A”, fue los días de la semana.

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Matemáticas

Tema 2 Representación con diagramas de Venn Los diagramas de Venn son figuras geométricas que representan conjuntos, universos y complementos. Utilizaremos el ejemplo de los días de la semana que revisaste al principio de esta unidad.

A= {x|x es días de la semana que empiezan con m} Vinculando con… Pensamiento Crítico Observa el siguiente diagrama de Venn utilizando los tipos de ciencias que existen de acuerdo a la Epistemología.

C= {Ciencias formales}

Los conjuntos serán representados en un círculo

El Universo es el contenido que está dentro de todo el rectángulo

(incluyendo el conjunto).

El complemento es todo lo que está afuera del círculo, es decir del

conjunto.

Días de la semana

Martes,

miércoles

lunes, jueves, viernes, sábado,

domingo.

Ciencias

Matemáticas,

Lógica.

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Operaciones entre conjuntos Unión Ahora que ya sabes cómo se forman los diagramas de Venn, es tiempo de realizar operaciones con ellos. La primera operación que realizaremos es la unión. Unión de conjuntos: La unión del conjunto A y el conjunto B está formada por todos los elementos que pertenecen al conjunto A y los que pertenecen al conjunto B, los elementos que pertenecen a los dos conjuntos sólo deben escribirse una vez.

A U B = {x | x ε A o x ε B} Lo anterior se puede representar como A U B = {x | x ε A o x ε B} Se lee de la siguiente manera: “El conjunto formado por la unión de A y B está formado por el conjunto de los elementos de x, tal que x pertenezca al conjunto A ó x pertenezca al conjunto B”. La unión del conjunto A y el conjunto B se puede representar en un diagrama de Venn de la siguiente manera:

Elementos comunes.

Cuando el conjunto A y el conjunto B tienen algunos elementos comunes.

No tienen elementos comunes.

Cuando el conjunto A y el conjunto B no tienen elementos comunes.

Ciencias factuales.

A B

Elementos comunes.

U

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Todo el conjunto A pertenece al conjunto B.

Cuando todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B.

Intersección de conjuntos Ahora revisemos una operación nueva, la intersección.

Usamos el símbolo para representar la intersección de dos conjuntos.

Intersección de conjuntos: La intersección del conjunto A y el conjunto B está formada por todos los elementos que pertenecen al conjunto A y que también pertenecen al conjunto B. Esto se representa como

A B = {x | x ε A y x ε B}.

El conjunto A B se representa en un diagrama de Venn de la siguiente manera:

La parte sombreada corresponde a la intersección del conjunto A y el conjunto B. Observa cómo se representarán los siguientes conjuntos en un diagrama de Venn.

Si A = {a, b, c, d, e, f} y B = {d, e, f, g, h}.

Encuentra A B.

U

U

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Venn0001.svg

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Lo primero que debes hacer es identificar los elementos que se encuentran en ambos conjuntos, en este caso d, e y f, también se encuentran en el conjunto B.

A B = { d, e, f }

Observa el siguiente ejemplo. ¿La intersección de los conjuntos A = {a, e, i, o, u} con el conjunto B = {1, 3, 5, 7, 9} representa la intersección en un diagrama de Venn? Recuerda que la intersección de A y B es el conjunto formado por los elementos que están en A y que también están en B, en este caso no hay ningún elemento que sea común a los dos conjuntos.

En este caso tenemos que A B no tiene elementos, por lo tanto el resultado es un conjunto vacío porque no

hay elementos comunes entre el conjunto A y el conjunto B. Ejemplo donde la intersección no tiene elementos A partir del ejemplo anterior podemos definir lo siguiente:

Conjuntos vacío: = { } = : Es el conjunto que no tiene ningún elemento. Conjuntos ajenos o disjuntos: son los conjuntos que no tienen ningún elemento en común. Cuando el resultado de la intersección de dos conjuntos es el conjunto vacío, su representación en un diagrama de Venn es la siguiente:

a b

c d

e f

d h

e f g

a b

c

h

g

d

e

f

A B A B

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Diferencia entre dos conjuntos La diferencia de A menos B se representa como A - B y es el conjunto formado por los elementos que sí pertenecen al conjunto A y que no pertenecen al conjunto B. La diferencia de A menos B se representa de la siguiente manera:

A – B = {x|x ε A y x B} y se lee: Es todo elemento x que sí pertenezca al conjunto A y que no pertenezca al conjunto B. La diferencia de dos conjuntos se representa en un diagrama de Venn de la siguiente manera:

A - B

B - A

El conjunto A - B No es igual al conjunto B - A. Diferencia entre dos conjuntos Veamos un ejemplo de diferencia entre dos conjuntos. Si A = {1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8} y B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, encontrar… Este procedimiento es muy sencillo, ya que lo único que tienes que identificar, son los elementos de A, que no se encuentren en el conjunto B. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8 } y B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } En este caso el 1 y el 2, sólo aparecen en el conjunto A. Entonces… A – B = {1, 2}. Para el segundo caso, el procedimiento es el mismo, identificar que elementos aparecen en B, pero que no aparezcan en A. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8 } y B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } B - A = {9}. Con los resultados de los ejemplos anteriores puedes confirmar que: A – B es diferente a B – A.

A B B

A

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Venn0100.svg

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Venn0010.svg

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Matemáticas

Como resumen podemos destacar que hemos visto tres operaciones con conjuntos.

Unión

A U B

Intersección

A B

Diferencia

A – B

En la siguiente página podrás ver algunas conclusiones lógicas que se deducen al emplear todo lo estudiado hasta ahora. Ahora utiliza el poder de la lógica para comprender las siguientes afirmaciones

Relación y operaciones entre un conjunto A, su complemento cA y su conjunto Universo U:

A U cA U U - cA = A cU = A U cA = U

ccAA )( = U

U - A = cA A cA = A y cA son disjuntos

¿Crees que las operaciones que hemos revisado hasta ahora sólo aplican para realizar operaciones entre dos conjuntos? Operaciones entre 3 conjuntos y su representación en diagramas de Venn. Las operaciones que hemos visto con dos conjuntos y su representación en los diagramas de Venn, son válidas también para tres o más conjuntos. Ejemplo 1.

Representa en un diagrama de Venn el conjunto cB (A U C)

En este ejemplo la operación principal es la intersección, pero es la última que podemos realizar porque

primero tenemos que encontrar los conjuntos cB y (A U C).

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Paso 1 : cB

Paso 2: A U C

Paso 3: cB ( A U B )

Ejemplo 2. (A U B )-C.

Paso 1. ( A U B )

Paso 2. C

Paso 3 ( A U B ) - C

Ejemplo 3. Si A= {x| x es dígito} B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} C = {6,7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,19,20}

Encontrar el conjunto ) B A ( - C) A ( c

La operación principal es la resta, pero no la podemos realizar sino después que tengamos los conjuntos

) C A ( c y ) B A ( .

A

C

B

2

6

5

A

C

B 4

1

7

3

A

C B

1

4

3 2

5

6

A

C B

3

U

6

7

A

C B

1

6

3 2

7 4

A

C B

3

7

6

U

U

8

U

U

U

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Matemáticas

1 Para encontrar el conjunto ) C A ( c primero encontramos C A : C A es el conjunto formado por los elementos que están en A y que también están en

C : C A = { 6, 7, 8, 9 }

2 ) C A ( c Es el conjunto formado por los elementos que faltan para completar el

universo : l ) C A ( c = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 }

3 A U B es el conjunto formado por los elementos que están en A y que están B, sin repetir los elementos que están en ambos conjuntos. A U B = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 12, 14 }

4 Ahora sí hacemos la resta de ) C A ( c y ) B A (

) B A ( - C) A ( c es el conjunto formado por los elementos que están en ) C A ( c

y que no están en A U B

) B A ( - C) A ( c= { 11, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20 }

Diagrama En un diagrama de Venn la solución se representa de la siguiente manera:

Módulo II Conjuntos y elementos

14 3

16

20

5 15

6

10

A

C

B U

13

12

9 8

18

7

11

0

17 2

19 4

1

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Matemáticas

Cierre de la unidad. Has concluido el estudio de la Unidd 2 Operaciones con conjuntos. En esta unidad aprendiste a resolver diferentes operaciones con conjuntos, como la unión, intersección y diferencia. Además pudiste interpretar los diagramas de Venn a través de la simbología utilizada en la lógica matemática.

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