Milyen nehéz egy játék

2D összerakók - Tangramok

Szabályos alakzat szétvágásával

keletkező elemek

2D összerakók - Tangramok

Klasszikus tangram

Elemek:– Száma: 7– Tengelyesen szimm.:

6– Forgásszimm.: 2– Szimmetria nélkül: 0– Egybevágók: 2-2

Japán tangram

Elemek:– Száma: 7– Tengelyesen szimm.:

5– Forgásszimm.: 2– Szimmetria nélkül: 1– Egybevágók: 2

2D összerakók - Tangramok

Trigo tangram

2D összerakók - Tangramok

• Száma: 7• Tengelyesen szimmetrikus: 5• Forgásszimmetrikus: 2• Szimmetria nélkül: 1• Egybevágók: 0

Trigo tangram

Elemek:

2D összerakók - Tangramok

Diaphan

• Száma: 7• Tengelyesen szimm: 3• Forgásszimm: 0• Szimmetria nélkül: 4• Egybevágók: 2

Elemek:

2D összerakók - Tangramok

• Száma: 4• Tengelyesen szimm: 0• Forgásszimm: 0• Szimmetria nélkül: 4• Egybevágók: 0

Elemek:

2D összerakók - Tangramok

Kombinatorikus2D összerakók

Szabályos alakzat összeillesztésével keletkező elemek

Pl. háromszögek, négyzetek, hatszögek…

Kombinatorikus2D összerakók

tetrominó

monominó, dominó

triominó

• Négyzetek összeillesztésével keletkező elemek (Polyominók)

pentomino

Kombinatorikus2D összerakók

Nagyobb elemszámú polyominók

n P(n)

6 hexominó 35

7 heptominó 108

8 octominó 369

9   1285

10   4655

11   17073

12   63600

13   238591

14   901971

15   3426576

n=28-ig tudjuk pontosan (2004):

P(28)=153.511.100.594.603

(Golomb, Rivest, Coxeter, Silva ...)

Kombinatorikus2D összerakókPentominó

• Száma: 12• Tengelyesen szimm: 6• Forgásszimm: 3• Szimmetria nélkül: 5• Egybevágók: 0

Elemek:

Kombinatorikus2D összerakók

Pentomino és sakktábla

Lefedhető e pentominókkal minden 8*8-as sakktábla, amiből 4 mezőt kivágunk?

Kombinatorikus2D összerakók

Pentomino és sakktábla

Lefedhető e pentominókkal minden 8*8-as sakktábla, amiből 4 mezőt kivágunk?

Ezek igen!

Kombinatorikus2D összerakók

Pentomino és sakktábla

Lefedhető e pentominókkal minden 8*8-as sakktábla, amiből 4 mezőt kivágunk?

De nem mind !

Hexominó

Kombinatorikus2D összerakók

35 elem, ebből 20 szimmetria nélkül

Hexominó

Kombinatorikus2D összerakók

Téglalapot nem lehet kirakni belőle!

Kombinatorikus2D összerakók

Cornucopia Hexominó szimmetria és 2*2-es négyzet nélküli elemeiből áll

Kombinatorikus2D összerakók

Cornucopia

• Száma: 17• Tengelyesen szimm: 0• Forgásszimm: 0• Szimmetria nélkül: 17• Egybevágók: 0

Elemek:

Válasszunk ki 10 elemet!

Kombinatorikus2D összerakók

hexó

monohex, duohex

triohex

Hatszögek összeillesztésével keletkező elemek (Polyhex-ek)

Kombinatorikus2D összerakók

Hexó

• Száma: 7• Tengelyesen szimm: 4• Forgásszimm: 4• Szimmetria nélkül: 2• Egybevágók: 0

Elemek:

Kombinatorikus2D összerakók

Polyhex-ek n H(n)

1 1

2 1

3 3

4 7

5 22

6 82

7 333

8 1448

9 6572

10 30490

11 143552

12 683101

13 3274826

n=19-ig tudjuk pontosan (2004):

H(19)=41.892.642.772

Kombinatorikus2D összerakók

Szabályos háromszögek összeillesztésével keletkező elemek (Polyiamond-ok)

n D(n)

7 24

8 66

9 160

10 448

11 1186

12 3334

13 9235

14 26166

15 73983

… …

28 75.195.166.667

Kombinatorikus2D összerakók

Tricó

• Száma: 12• Tengelyesen szimm: 5• Forgásszimm: 4• Szimmetria nélkül: 5• Egybevágók: 0

Elemek:

Kombinatorikus2D összerakók

Egyenlőszárú derékszögű háromszögek összeillesztésével keletkező elemek

Diaboló

• Száma: 14• Tengelyesen szimm: 6• Forgásszimm: 5• Szimmetria nélkül: 5• Egybevágók: 0

Elemek:

3D összerakók

Általában szabályos alakzatot kell kirakni (kocka, téglatest, lépcső, henger...)

3D összerakókSoma kockaMinden 3 és 4 kockából álló nem “egyenes” elem:

• Száma: 7• 3D Forgásszimm: 6• Szimmetria nélkül: 1• Egybevágók: 0• Kocka megoldásai: >200

Elemek:

3D összerakók3D pentominóMinden 5 kockából álló síkba fektethető elem

• Száma: 12• 3D Forgásszimm: 7• Szimmetria nélkül: 5• Egybevágók: 0• Téglatestek m.o.: >100

Elemek:

3D összerakók25 Y

• Száma: 25• 3D Forgásszimm: 0• Szimmetria nélkül: 25• Egybevágók: 25• Kocka m.o.: ???

Elemek:

Vagy akármelyik 3D pentominó elemből 25 db

3D összerakókConway kockáiLegegyszerűbb egy megoldásos kockák

• Száma: 9• 3D Forgásszimm: 9• Szimmetria nélkül: 0• Egybevágók: 3-6• Kocka m.o.: 1

Elemek:

3D összerakókCoffin kockái (5 elem)

Egy megoldásos kockák, az elemek minél kevesebb szimmetriájával

• Száma: 5• 3D Forgásszimm: 1• Szimmetria nélkül: 4• Egybevágók: 0• Kocka m.o.: 1

Elemek:

3D összerakókCoffin kockái (Half hour)Egy megoldásos kocka, az elemek minél kevesebb szimmetriájával

• Száma: 6• 3D Forgásszimm: 3• Szimmetria nélkül: 3• Egybevágók: 0• Kocka m.o.: 1

Elemek:

3D összerakókCoffin félkockái2*2*1-es hasábok összes lehetséges elrendezése

• Száma: 10• 4*4*5-ös tégla

kirakható• Megoldások: 87

Elemek:

3D összerakókCoffin félkockái2*2*1-es hasábok összes lehetséges elrendezése a két téglatest nélkül

• Száma: 8• 4*4*4-es kocka

nem kirakható

Elemek:

• Egy elhagyva, egy megduplázva már kirakható (2 m.o.)

Összekapcsolódó

• Öntartóak• Egymáson áthatoló elemek• Fontos az összerakási

sorrend• Sok szimmetria

6 elemű rabkeresztek

• 6*2*2-es vagy hosszabb hasábok

• Kis kockák kivágva• Elvben: 212=4096 féle elem• Ténylegesen: 837• Fajtái:

– fűrészelhető– marható– általános

Elemek:

6 elemű rabkeresztek

• Legegyszerűbb• Tömör• Szimmetrikus elemek: 6• Egyforma elemek: 3-2• 1-es fokozat• 1-es típus

6 elemű rabkeresztek

• Legismertebb• Tömör• Szimmetrikus elemek: 4• Egyforma elemek: 0• 1-es fokozat• 1-es típus

6 elemű rabkeresztek

• Legnehezebb tömör• Szimmetrikus elemek: 0• Egyforma elemek: 0• 1-es fokozat• 3-as típus

• Egy elem kicserélésével egy másik hasonlóan nehezet kapunk

6 elemű rabkeresztek

• Legnehezebb fűrészelhető• Szimmetrikus elemek: 2• Egyforma elemek: 2• 5-ös fokozat• 3-as típus• 10 hosszú• 480 hamis megoldás!

6 elemű rabkeresztek

• Legnagyobb fokozatú• Szimmetrikus elemek: 2• Egyforma elemek: 0• 10-es fokozat!!!• 2-es típus• 8 hosszú• 1 megoldás

6 elemű rabkeresztek

•Készlet az összes tömör kereszthez:

42 db elem25 fajta220 megoldás

Összekapcsolódó

• 2003-as verseny nyertese

Szétválasztók

•Nehezen elemezhető

•Változatos bonyolultság

Szétválasztók

Azonos elv, különböző bonyolultság

Szétválasztók

Az elv bonyolítása

Szétválasztók

Az egyszerűtől a lehetetlenig?