Min Z= 3x1 -4x2 + x3x1+x2+x3<=102x1+x2-x3<=20

Afrânio Murolo Pesquisa Operacional

Modelo Equivalente

Maximizar ( -Z ) = -3x1 +4x2 –x3

sa: x1+x2+x3 <= 10 2x1+x2-x3<=20 x1,x2,x3>=0

Problema da variável livreSe alguma variável do modelo não possuir a

condição de não negatividade, podemos substituí-la pela diferença de outras variáveis não negativas.

Um número qualquer pode ser escrito como a diferença de dois números positivos.

Max Z = x1 + 2x2 + x3sa: x1 + x2 + x3 < = 10 2x1 + 3x2 <= 20

X1>=0 , x2 livre

Variável livreX2 livre, logo X2 = X4 - X5 ( ambos >=

0)Substituindo no modelo anterior, temos o

modelo equivalente:

Max X1 + 2X4 – 2X5 + X3

sa : x1 + x4 –x5 + x3 <= 10 2x1 + 3x4 -3x5 <= 20X1 >= 0, x4>= 0 , x5>= 0, x3 >=0

Método SimplexModelos estudados até o momento se utilizaram de

restrições do tipo <= cm os termos de b ( a direita positivos ).

Novo Problema :1) Restrição do tipo >= Neste caso a variável de folga é subtraída e seu

valor é negativo. 2) Restrição do tipo = Neste caso não introduziremos a variável de

folga.3) Para as situações 1 e 2 acrescentaremos

variáveis auxiliares ai , formando um novo modelo

ExemplificaçãoMax Z = x1 + x2 + x32X1+ X2 + X3 <= 10X1 + X2 + 2X3 > = 202X1 + X2 + 3X3 = 60

A) Introduzindo as variáveis de folga:2X1+ X2 + X3 + XF1 = 10X1 + X2 + 2X3 - XF2 = 202X1 + X2 + 3X3 = 60

ExemploB) Introduzindo as variáveis auxiliares ai ( a2 e

a3), correspondentes às 2ª e 3ª restrições do tipo

( >= e = ), respectivamente.

2X1+ X2 + X3 + XF1 = 10X1 + X2 + 2X3 - XF2 + a2 = 202X1 + X2 + 3X3 +a3 = 60C) Reescrevendo a função Objetivo pelo método

do M grande. Neste caso, acrescentamos as variáveis auxiliares com coeficientes –M2 e –M3, sendo M2 e M3 números grandes.

Z = X1 + X2 + X3 ( original)Z = X1 + X2 + X3 -M2a2 - M3a3 ( M

grande )

Método do M grande Z = X1 + X2 + X3 -M2a2 - M3a3

( M grande )O modelo passa a ser maximizado á medida

que z cresce e por conseqüência as variáveis auxiliares

A2 e a3 deixam a base.

Modelo auxiliar (M grande )Max Z = X1 + X2 +X3 -M2a2 - M3a32X1+ X2 - X3 + XF1 = 10X1 + X2 + 2X3 - XF2 + a2 = 202X1 + X2 + 3X3 +a3 = 60

Solução básica inicial : variáveis básicas XF1=10 , a2=20 , a3=60 e todas as outras variáveis não básicas todas nulas ( x1=0, x2=0, x3=0 e XF2=0

Z X1 X2 X3 XF1 XF2 a2 a3 b

1 -1 -1 1 0 0 M2 M3 0

0 2 1 1 1 0 0 0 10

0 1 1 2 0 -1 1 0 20

0 2 1 3 0 0 0 1 60

Retorno ao Modelo Original1)Deveremos nesta modelagem eliminar

as variáveis auxiliares ( a2 e a3 )

2)Retornar ao modelo original que apresenta solução básica, composto pelas variáveis originais.

3)Variáveis básicas ( coeficientes nulos na linha de Z) variáveis não básicas ( coeficientes diferentes de zero na linha de Z)

Quadro inicial para a nova solução: Vb ( XF1=10,a2=20,a3=60) e VNB (x1=x2=x3=XF2=0)

Z X1 X2 X3 XF1 XF2 a2 a3 b

1 -1 -1 -1 0 0 M2 M3 0

0 2 1 -1 1 0 0 0 10

0 1 1 2 0 -1 1 0 20

0 2 1 3 0 0 0 1 60

Cálculo da Nova soluçãoVariável que entra na base é X3 ( coef. ( -1) )Neste caso escolhemos qq uma das variáveis. variável que sai :10 : -1 = -1020 : 2 =10 sai variável da 3ª linha60 : 3 = 20LP: 3ª linha ; pivô =2 NLP = LP / 2 = 0 0,5 0,5 1 0 -0,5

0,5 0 10

Nova solução:CÁCULO DA NOVA 1ª LINHANLP

0 0,5 0,5 1 0 -0,5

0,5 0 10

X (1)

0 0,5 0,5 1 0 -0,5

0,5 0 10

+ 1ª linha

1 -1 -1 -1 0 0 M2 M3 0

S=nova 1ª linha

1 -0,5

-0,5

0 0 -0,5

M2 M3 0

Cálculo da nova 2ª linha: coficiente da variável que entra ( X3) é - 1

NLP

0 0,5 0,5 1 0 -0,5

0,5

0 10

X( 1)

0 0,5 0,5 1 0 -0,5

0,5

0 10

+2ª l

0 2 1 -1 1 0 0 0 10

S 0 2,5 1,5 0 1 -0,5

0,5

0 20

Novo quadro incluindo todas as linhas

Z x1 x2 x3 XF1 XF2 a2 a3 b

1 -0,5

-0,5

0 0 -0,5

M2 M3 0

0 2,5 1,5 0 1 -0,5

0,5 0 20

0 0,5 0,5 1 0 -0,5

0,5 0 10

0 0,5 -0,5

0 0 1,5 -1,5

1 30

Solução:Variáveis básicas:

X3=10 XF1= 20 e a3=30

Variáveis não básicasX1=X2=XF2=a2=0

Z=10 O processo terá continuidade, pois a2 e a3 continuam na base

Cálculo da nova soluçãoVariável que entra: entra XF2 ( coeficiente -0,5)

Variável que sai : 20 / - 0,5 = -40 não 10 / -0,5 = - 20 não 30 / 1,5 = 20 ----- sai variável

da quarta linha.LP : 4ª linha Pivô : 1,5 NLP ( já / por 1,5)

0 0,333 - 0,333 0 0 1 -1 0,667 20ida

A partir deste instante todos os cálculos incluem seqüências já conhecidas pelo estudante.

Novo quadro considerando todas as novas linhas

Z x1 x2 x3

XF1 XF2 a2 a3 b

1 -0,333

-0,667

0 0 0 M2 M3 20

0 2,667

1,333

0 1 0 0 0,333

30

0 0,667

0,333

1 0 0 0 0,333

20

0 0,333

-0,333

0 0 1 -1 0,67

20

Solução do quadro anterior

VB : X3 = 20 XF1 =30 XF2 = 20

VNB : X1=X2=a2=a3=0Como a2= a3= 0, logo A solução básica é

formada pelas variáveis originais. Portanto podemos abandonar as variáveis a2 e a3 auxiliares.

Variáveis auxiliares excluídas, a2=a3=0Z x1 x2 x3 XF1 XF2 b

1 -0,333

-0,667 0 0 0 20

0 2,667

1,333 0 1 0 20

0 0,667

0,333 1 0 0 20

0 0,333

-0,333 0 0 1 20

Cálculo da solução ótimaObservando o quadro anterior verifica-se:Variável que entra X2 coeficiente -0,667 )

Variável que sai :30/ 1,3333 = 22,5 sai var. de 2ª linha XF1Lp: segunda linhaPivô : 1,3333NLP( LP/1,333) : 0 2 1 0 0,75 0 22,5Os passo seguintes envolvem os cálculos da

1ª , 3ª e 4ª linhas:

Quadro final do modelo otimizadoZ x1 x2 x3 XF1 XF2 b

1 1 0 0 0,5 0 35

0 2 1 0 0,75

0 22,5

0 0 0 1 -0,25

0 12,5

0 1 0 0 0,25

1 27,5

Solução ótimaVB : X2 = 22,5 X3 = 12,5 XF2 = 27,5

VNB : X1 = 0 XF1 = 0

Z = 35

A solução é ótima

Digitação do programaMax x1 + x2 + x3 2x1 + x2 - x3 <= 10x1 + x2 + 2x3 >= 202x1 + x2 + 3x3 = 60

Min = Minimização

Quadro inicial do software ----- ITERAÇÃO 0 DA FASE I ******* SOLUÇÃO BÁSICA ******* F1 = 10 A2 = 20 A3 = 60 ##### W = -80 VARIÁVEIS : X1 X2 X3 F1 F2 A2 A3 F.OBJETIVO: -3 -2 -5 0 1 0 0 RESTR. 1 : 2 1 -1 1 0 0 0 RESTR. 2 : 1 1 2 0 -1 1 0 RESTR. 3 : 2 1 3 0 0 0 1 VARIÁVEL ENTRANTE : X3 VARIÁVEL SAINTE : A2

Quadro final utilizando programa ******* SOLUÇÃO BÁSICA ******* X2 = 45/2 X3 = 25/2 F2 = 55/2 ##### Z = 35 VARIÁVEIS : X1 X2 X3 F1 F2 F.OBJETIVO: 1 0 0 1/2 0 RESTR. 1 : 2 1 0 3/4 0 RESTR. 2 : 0 0 1 -1/4 0 RESTR. 3 : 1 0 0 1/4 1 A ÚLTIMA SOLUÇÃO É ÓTIMA

Análise Econômica

No programa de produção para o próximo período, a empresa Beta Ltda. , escolheu Três produtos P1,P2 e P3. O Tableau a seguir mostra os valores solicitados por unidade de produção.

Produto ContribuiçãoLucro/unidade.

Horas de trabalho

Horas deUso de máquina

Demanda Máxima

P1 2.100 6 12 800

P2 1.200 4 6 600

P3 600 6 2 600

Análise Econômica: Modelo

Modelo de ProduçãoOs preços de venda foram fixados por decisão

política e as demandas foram estimadas tendo em vista esses preços. A firma pode obter um suprimento de 4.800 horas de trabalho durante o período de processamento e pressupõe-se usar três máquinas que podem prover 7.200 horas de trabalho.

Estabelecer um programa ótimo de produção para o período.

Modelagem da programação da produção

A) Modelo linear:VD: x1=qtde de produção de P1 x2=qtde de produção de P2 x3=qtde de produção de P3Objetivo é maximizar o L =2100x1 + 1200x2 + 600x3 sa : HT) 6x1 + 4x2 + 6x3 + xF1

=4800 HM) 12x1 + 6x2 +2x3 +xF2

=7200 DM) x1 + xF3 =

800 DM) x2 +xF4

=600 DM) x3 +xF5

=600

Variáveis de Folga

XF1 = sobra de recursos de horas de trabalho

Xf2 = sobra de recursos de hora/máquina

XF3=sobra de recurso mercado P1XF4=sobra de recurso mercado P2XF5=sobra de recurso mercado P3

Quadro inicial do simplexZ x1 x2 x3 xF1 xF2 xF3 xF4 xF5 b

1 -2100

-1200

-600 0 o 0 0 0 0

0 6 4 6 1 0 0 0 0 4800

0 12 6 2 0 1 0 0 0 7200

0 1 0 0 0 0 1 0 0 800

0 0 1 0 0 0 0 1 0 600

0 0 0 1 0 0 0 0 1 600

Quadro final: solução ótimaZ x1 x2 x3 xF1 xF2 xF3 xF4 xf

5b

1 0 0 0 50 150 0 100 0 1.380.000

0 0 0 1 0,2 -0,1 0 -0,2 0 120

0 1 0 0 -0,03 0,1 0 -0,47 0 280

0 0 0 0 0,03 -0,1 1 0,47 0 520

0 0 1 0 0 0 0 1 0 600

0 0 0 0 0,2 0,1 0 0,2 1 480

Quadro final otimizado1) apresenta VB e VNB2)A função Objetivo está escrita em termos das

variáveis não básicas 3) vb (coefs. Nulos)4)O valor das variáveis básicas estão na coluna b5) ) O coeficiente da variável não básica na fç

objetivo mede a tendência do objetivo para aquela variável

É um valor marginal, indica a variação proporcional no objetivo para pequenos aumentos ou diminuições unitárias na variável.

Posteriormente, em análise de sensibilidade poderemos verificar até quantas unidades podemos aumentar ou diminuir da variável, sem alterar a informação contida em seu coeficiente.

Esses coeficientes são chamados de preços de oportunidade.

No quadro final, a solução é ótima. Um aumento de zero para 1 na variável não básica prejudica o objetivo:

Lucros diminuemCustos aumentam

Solução OtimizadaX1= 280 unidades de P1X2= 600 unidades de P2X3= 120 unidades de P3 Recursos disponíveis após o programa:520 unidades do mercado P1 :( Dm=800)-

(x1=280)=520 0 unidades do mercado P2 : (Dm=600)-

(x2=600)=0

120 unidades do mercado P3: (Dm=600)-(x3=120)=480

XF1 = 50 - é igual ao preço de oportunidade do recurso “ horas de trabalho” ( coeficiente de XF1 no

quadro = 50) e indica que:Se conseguirmos mais uma hora de trabalho aos

custos correntes poderemos aumentar nosso lucro em 50, isto é, poderemos obter uma nova solução

ótima com lucro de 13.080.050.Se uma hora a mais de trabalho acarreta o

pagamento de adicional extra,o valor 50 indica o limite máximo deste adicional

Z x1 x2 x3 xF1 xF2 xF3 xF4 xF5

b

1 0 0 0 50 150 0 100 0 1380000

Análise de xF1Exemplificando: se o adicional for de 20, a

nova hora de trabalho implicará uma nova solução com lucro de 30 a mais que o anterior, determinando um lucro de

$13.080.030Se houver falta de uma hora de trabalho,

o lucro fica diminuído em 50, caso não haja alteração no custo.

Se esta falta de 1 hora de trabalho, for caracterizada pela ausência de um funcionário que não terá sua hora descontada, deve-se acrescentar este prejuízo causado por sua ausência

Análise de xF2O preço de oportunidade do recurso “ horas de

máquina” ( coeficiente de xF2 = 150), indica que:Uma hora a menos de máquina, o que

equivale a dizer xF2 = 1, acarreta uma diminuição no lucro de $ 150. Portanto a nova solução ótima nesse caso seria de

13.079.850.Uma hora a mais de máquina a ser

contratada, adicionada aos custos correntes, significa um acréscimo de $ 150 no lucro :

No caso de aluguel de uma hora máquina de terceiros, o preço de oportunidade 150 indica o máximo que podemos pagar pelo aluguel além de nosso custo corrente.

Análise de xF1( recurso hora máquina)

Exemplificando: Se nosso custo corrente for de $ 500, então alugar uma hora máquina por menos de $ 650 tende a aumentar cada vez mais nosso lucro.

Esse aumento de lucro corresponde à diferença entre

$ 650 e o valor do aluguel. ( pv = pc + L )Pv = 500 + 150 = 650 ou l =pv – pc =650 –

500 = 150Aluguel = 60$ L = pv – pc = 650 – ( 500+60)

=$90

Xf3( preço de oportunidade do recurso “mercado de P1”O coeficientes xF3 = 0 indica que este recurso

não é escasso. O mesmo ocorre com o preço de oportunidade do recurso “ mercado de P3 ( xF5=0).

Isto nos leva a rever os investimentos nos mercados desses dois produtos:

P1 --- Dm = 800 u e P3 --- Dm = 600 uX1= 280 u x2= 120 u Observação:Folgas não proporcionam lucroRecursos disponível Recursos disponível XF3= 520 unidades de P1 XF5 = 480 unidades

de P3

XF3 (P1) e XF5(P3)Uma diminuição desses investimentos com

conseqüente diminuição no mercado destes produtos ( p1 e P3) não afetará nossas vendas , causando um aumento nos lucros.

Dm P1 <=800 e DM P2<=600Lembrando que : XF1=520 e XF3 =480 sobra

de recursos ( ociosidade ). Outra forma de aumentar o lucro destes

produtos seria aumentar o preço de venda dos mesmos, diminuindo os mercados correspondentes sem afetar as vendas, desde que o mercado não diminua aquém da produção

XF4(Preço de oportunidade da unidade de recurso”mercado P2”Lembrando que x1=600 D<=600 , logo XF4 = 0.O aumento de 1 unidade desse mercado, acarreta

um aumento de $ 100 no lucro, isto é , a nova solução seria de 1.380.100

Da mesma forma, o cancelamento de 1 unidade na compra implica em um prejuízo de $ 100, além do custo normal da unidade deste produto.

Observação : O departamento de MKT estima em 80$ o investimento adicional para aumentar em uma unidade o mercado deste produto P2, logo :

RL ou RSI = 100 – 80 = $ 20

CustosCustos correntes :também denominados

custos de reposição. Representam o custo necessário para repor um item no local.

Custos primários ou diretos : estão associados diretamente à produção, sendo aqueles incluídos de forma objetiva no cálculo dos produtos ou serviços comercializados. Consistem nos materiais diretos usados na fabricação do produto e mão- de -obra direta. Ex: aço para fabricar chapas, salários de operadores, etc ( são mensuráveis )

Utilizando o programaMax 2100x1 + 1200x2 + 600x36x1 + 4x2 +6x3 <= 480012x1 +6x2 + 2x3 <= 7200x1 <= 800x2 <=600x3 <=600

Solução Ótima----- ITERAÇÃO 3 DA FASE II******* SOLUÇÃO BÁSICA ******* X3 = 120 X1 = 280 F3 = 520 X2 = 600 F5 = 480 ##### Z = 13

Solução Ótima do tableau VARIÁVEIS : X1 X2 X3 F1 F2 F3 F4 F5 F.OBJETIVO: 0 0 0 50 150 0 100 0 RESTR. 1 : 0 0 1 1/5 -1/10 0 -1/5 0 RESTR. 2 : 1 0 0 -1/30 1/10 0 -7/15 0 RESTR. 3 : 0 0 0 1/30 -1/10 1 7/15 0 RESTR. 4 : 0 1 0 0 0 0 1 0 RESTR. 5 : 0 0 0 -1/5 1/10 0 1/5 1 A ÚLTIMA SOLUÇÃO É ÓTIMA