MINES ParisTech 1 ereann eemms.ensmp.fr/mms_paris/bonus/poly_mms_2013.pdf · MINES ParisTech 1 ereann ee MECANIQUE DES MATERIAUX SOLIDES Notes de cours D. RYCKELYNCK, S. CANTOURNET,

MINES ParisTech

1ereannee

MECANIQUE

DES

MATERIAUX

SOLIDES

Notes de cours

D. RYCKELYNCK, S. CANTOURNET, M. MAZIERE, H. PROUDHON

P.-O. BOUCHARD, G. CAILLETAUDL. CORTE, J-L. DEQUIEDTA. GAUBERT, S. JOANNESA. ROUABHI, Y. TILLIER

V. YASTREBOV

Mars 2013

ii

Table des matieres

I COURS 3

1 Elements de theorie des poutres planes 51.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Modelisation geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Principe de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Modelisation des actions mecaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Approche par le principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Rappel : le principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Cinematique de la poutre de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Traitement des equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4 Equations differentielles traduisant l’equilibre . . . . . . . . . . . . 121.2.5 Cas particulier des systemes isostatiques . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.6 Lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.7 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.8 Energie potentielle dans le cas de l’elasticite lineaire . . . . . . . . . 16

1.3 Solution de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.1 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.2 Deplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Poutre sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.1 Evaluation des efforts interieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.2 Forme generale des lois de comportement elastiques . . . . . . . . . 21

2 Rheologie 252.1 Les differents types de ”deformation” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Les sources de ”deformation” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Dilatation thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Les briques de base du comportement non lineaire . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Plasticite uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.1 Modele elastique–parfaitement plastique . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.2 Modele de Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.3 Ecriture generale des equations de l’elastoplasticite uniaxiale . . . . 30

2.4 Viscoelasticite uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.1 Un exemple de modele rheologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.2 Etude d’un modele compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5 Viscoplasticite uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.1 Un exemple de modele rheologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

iii

iv TABLE DES MATIERES

2.5.2 Quelques modeles classiques en viscoplasticite . . . . . . . . . . . . 352.6 Influence de la temperature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Hyperelasticite 393.1 L’elasticite caoutchoutique, une origine entropique . . . . . . . . . . . . . 393.2 Formalisme thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.1 Formalisme des grandes deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.2 Mesure des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Comportement Hyperelastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1 Hyperelasticite isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.2 Representation en elongations principales . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.3 Traitement de l’incompressibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3.4 Quelques formes de densite d’energie de deformation . . . . . . . . 51

4 Elements de Mecanique Lineaire de la rupture 574.1 Parametres geometriques et parametres mecaniques . . . . . . . . . . . . . 584.2 Modes de rupture et facteur d’intensite des contraintes . . . . . . . . . . . 59

4.2.1 Cas du mode I en etat de contraintes planes . . . . . . . . . . . . . 594.2.2 Autres modes de sollicitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3 Taux de restitution d’energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3.1 Critere en energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3.2 Cas d’une charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3.3 Quelques valeurs critiques de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3.4 Critere de propagation en mode I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4 Analyse de l’etat de contrainte tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . 674.5 Quelques complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 Introduction a la theorie de stabilite des systemes conservatifs 695.1 Evolution et stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1.1 Dynamique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.1.2 Stabilite d’un equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.1.3 Equation de mouvement linearisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2 Theoreme de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3 Cas d’une energie potentielle strictement convexe localement . . . . . . . . 72

5.3.1 Theoreme de Lejeune Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3.2 Conservation de l’energie totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3.3 Elements de demonstration du theoreme de Lejeune Dirichlet . . . . 74

5.4 Critere de seconde variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.5 Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.6 Analyse de la stabilitee d’une barre articulee par le critere de seconde variation 755.7 Analyse du flambage d’une poutre par le critere de seconde variation de

l’energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.7.1 Une methode d’analyse qui procede par etapes . . . . . . . . . . . . 765.7.2 Parametrage et hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.7.3 Condition d’equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.7.4 Etude de bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.7.5 Analyse de stabilite du flambage, critere de seconde variation . . . . 80

TABLE DES MATIERES v

5.8 Analyse du flambage par l’etude de l’equilibre d’une configuration deformee 805.8.1 Forme generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.8.2 Poutre simplement supportee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.8.3 Autres conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6 Exercice 836.1 Flexion sur appui simple : poutre homogene et poutre sandwich . . . . . . 83

6.1.1 Poutre homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.1.2 Poutre sandwich sur deux appuis simples . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.2 Flexion d’une poutre de section rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.3 Gonflage d’un ballon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.4 Rupture fragile d’une poutre en flexion par une approche statistique . . . . 986.5 Evaluation de la charge de flambement d’une poutre droite . . . . . . . . . 1036.6 Composites a fibres longues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.6.1 Reservoir sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.6.2 Coefficient de dilation d’un composite a fibres longues . . . . . . . . 1106.6.3 Assemblage colle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.7 Etude de la flexion d’un bilame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.8 Test Biaxial sur elastomere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7 Notations 125

II Approche experimentale de la mecanique de materiauxsolides 127

8 Approche experimentale et inductive 1298.1 Objectifs et evaluation des mini-projets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.2 Description des mini-projets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

8.2.1 Rupture de billes de verre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.2.2 Retour elastique lors du pliage d’une tole en acier . . . . . . . . . . 1298.2.3 Etude de la mise en forme d’une tole en acier . . . . . . . . . . . . 1308.2.4 Photoelasticite sur une poutre en flexion . . . . . . . . . . . . . . . 1308.2.5 Fluage et relaxation d’un fil de brasure . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.2.6 Montages rheologiques complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.2.7 Un mecano pour jouer avec les poutres . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.2.8 Comportement de plaques composites . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.2.9 Flexion et torsion d’un ski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.2.10 Etude de la bifurcation d’une fissure . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.2.11 Comportement des elastomeres charges . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.2.12 Comportement d’une balle de squash . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.2.13 Comportement d’une balle de ping-pong . . . . . . . . . . . . . . . 1318.2.14 Etude de la tenue d’un assemblage frette . . . . . . . . . . . . . . . 1318.2.15 Etude de biomateriaux, les hydrogels . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.2.16 Contact d’une sphere et d’un plan rigide . . . . . . . . . . . . . . . 1328.2.17 Compression de canettes metaliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.2.18 Comportement d’une mousse rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.2.19 Resistance au flambement de pots de yaourt . . . . . . . . . . . . . 132

vi TABLE DES MATIERES

8.2.20 Etude experimentale et analyse de l’essai d’etirage de films mincesen polymere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Preambule

La mecanique est la science des mouvements de la matiere a toute echelle de tempset pour toute echelle d’espace. Pour les solides, ces mouvements conduisent a deschangements de forme. Par ailleurs, un materiau c’est de la matiere que l’on sait utiliserou transformer pour lui donner une fonction. La mecanique des materiaux solides a pourbut de maıtriser les changements de forme des materiaux a toutes les echelles de temps etd’espace, dans les cas ou l’on souhaite que leur forme evolue peu ou dans le cas d’evolutionsde forme desirees.

Prendre forme c’est occuper un domaine geometrique de l’espace avec destransformations decrites par des champs de deplacement. Nous nous placons dans le cadred’une approche lagrangienne, il est donc question de deplacement de points materiels.

Nous nous limitons ici aux echelles d’espace pour lesquelles le milieu occupe par lamatiere peut etre considere comme continu, c’est a dire de facon simple, des milieux pourlesquels les deplacements de matiere sont des fonctions continues des variables d’espace(variables de position), ou des fonctions continues presque partout sur le domaine occupepar la matiere. Ce type d’approche est tres largement repandue dans les metiers del’ingenieur pour des domaines aussi varies que les transports, l’energie, l’agroalimentaire...

La rupture est le changement de forme ultime pour les solides. Lorsqu’une fissure sepropage, de nouvelles surfaces se creent au bord de la matiere. Mais bien avant de rompre,certains materiaux peuvent supporter des contraintes induisant un changement de formepar deformation elastique, c’est a dire reversible, ou par deformation en partie irreversible.

Les 5 seances de cours magistraux sur la Mecanique des Materiaux Solides ontpour objectif pedagogique de donner des elements de connaissance theorique dans lebut d’interpreter les essais mecaniques realises au cours de mini-projets. Elles sont uneintroduction : (i) a la theorie des poutres, afin d’etre capable d’ecrire les equationsd’un probleme de mecanique pour les milieux elances rectilignes simples ; (ii) auxmodeles rheologiques permettant de decrire des lois de comportement liant tenseur decontrainte et tenseur de deformation ; (iii) a la modelisation de l’hyperelasticite ; (iv) ala mecanique lineaire de la rupture ; (v) a la stabilite des etats d’equilibre dans le cadrede la modelisation du flambage. Ces notions theoriques permettrons de proposer unemodelisation analytique des essais realises en deuxieme partie du cours.

L’ensemble, constitue des cours magistraux et des mini-projets, vise a donner uncertain nombre d’eclairages sur la mecanique des materiaux solides et les methodesutilisees, tout en offrant des points d’entree en vue d’etudes plus approfondies. Lefait de suivre un tel axe de decouverte fait courir le risque d’etre parfois troplapidaire. On cherchera donc, dans le temps imparti, a trouver un juste equilibre dansl’expose. On espere ainsi montrer que la mecanique des materiaux est un carrefour,

vii

TABLE DES MATIERES 1

ou se croisent mathematiciens et ingenieurs, industriels et universitaires, theoriciens etexperimentateurs.

Le cours lui-meme peut etre prolonge par les exercices corriges qui sont disponibles etpar les applications du site web http ://mms2.ensmp.fr, dont certaines sont interactives.Cet entrainement est necessaire a une bonne assimilation du cours.

Ce polycopie a ete redige sur la base de divers ouvrages dont le polycopie du coursMMS de G. Cailletaud de 2011, que nous remercions vivement pour son aide dans la miseen place la nouvelle formule du cours de Mecanique des Materiaux Solides.

http://mms2.ensmp.fr

2 TABLE DES MATIERES

Premiere partie

COURS

3

Chapitre 1

Elements de theorie des poutresplanes

La theorie des poutres s’applique sur des ”solides elances”. De facon traditionnelle,le calcul de poutres fait partie du domaine de la resistance des materiaux (RDM) [14].Cette discipline, longtemps enseignee en tant que telle, a permis pendant longtemps decalculer de facon analytique des treillis complexes, des ponts, des ouvrages d’art divers.Les memes calculs sont maintenant effectues numeriquement, au moyen de codes de calculpar elements finis.

Neanmoins, malgre le developpement des super calculateurs, l’interet pour la resolutionanalytique de problemes de mecanique subsiste. En effet, disposer d’une solutionanalytique permet d’y voir l’influence des differents parametres du modele, choseessentielle pour prendre des decisions ou pour comprendre un modele. Or, la theoriedes poutres, par l’ajout d’hypotheses sur l’elancement des milieux etudies, est une facon,dans certains cas, d’obtenir des solutions analytiques.

1.1 Definitions

1.1.1 Modelisation geometrique

Les poutres ne sont pas forcement des prismes. Le modele geometrique qui est employese resume a :

– une ligne moyenne C, de point courant G, avec s, abcisse curviligne a partir de O.On definit le long de cette ligne (t, n, b), triedre de Frenet orthonorme, ainsi que R,rayon de courbure. On rappelle les egalites suivantes :

t =OG

dsn = R

dt

dsb = t ∧ n (1.1)

– une section droite, S de la poutre, dans le plan (n, b), de contour Γ, de centre degravite G.

Dans le cas des geometries cylindriques, nous prendrons comme premier axe du reperex1 = t. Pour que la theorie soit applicable, il est necessaire que les sections droites soientlentement variables ou constantes en fonction de s, et que la plus grande dimensionde la section droite soit petite devant R, et devant la longueur de la poutre. Ceshypotheses permettent d’assimiler localement la poutre a un troncon de prisme. On

5

6 CHAPITRE 1. ELEMENTS DE THEORIE DES POUTRES PLANES

s=0

t

n

b

S

Figure 1.1 – Representation geometrique d’une poutre

considere dans la suite une theorie en petites deformations et petits deplacements. Lesactions mecaniques, charges et actions de liaison, s’appliquent sur la geometrie simplifiee.Elles sont representees par des torseurs (un vecteur resultant et un moment resultant),que l’on definit donc sur la ligne moyenne. On construira egalement une cinematiquesimplifiee, permettant de reconstruire les deplacements approches du milieu continu apartir de translations et de rotations d’un point de la ligne moyenne.

Le but de la theorie des poutres est de remplacer la solution tridimensionnelle parune solution globale, dans laquelle on ecrira des equations d’equilibre entre les quantitesmoyennes qui definissent les efforts, une cinematique definissant les deplacements sur lastructure simplifiee, et des lois de comportement qui relient les deux. Il s’agit de trouverune solution acceptable pour un probleme qui est, en toute rigueur, incomplet, puisqu’onne specifiera pas de facon precise les efforts exterieurs sur la geometrie tridimensionnelle.On ne cherchera a representer que les moyennes, en termes de resultantes et de moments.

La figure 1.1 montre la forme generale d’une poutre. Dans chaque section droite, ondefinit le centre de gravite par : ∫

S

GM dS = 0 (1.2)

On definit le moment quadratique par rapport a une droite ∆ de la section droite, enintroduisant H, projection de M ∈ S sur ∆

I(S,∆) =

∫

S

||HM ||2dS (1.3)

Cette grandeur presente une analogie avec le moment d’inertie d’un solide autour d’unedroite, mais dans le cas present, le solide est plan et la masse surfacique est de 1. Ceciexplique qu’on parle souvent de moment d’inertie de la surface S autour de ∆. On peutdonc construire une matrice des moments quadratiques, qui est symetrique :

(I)

=

I22 =

∫

S

x23dS I23 = −

∫

S

x2x3dS

I32 = −∫

S

x2x3dS I33 =

∫

S

x22dS

(1.4)

1.1. DEFINITIONS 7

Elle est diagonalisable. Il existe donc des directions centrales principales, pour lesquelleson definit les moments quadratiques centraux principaux

(I)

=

I2 =

∫

S

x23dS 0

0 I3 =

∫

S

x32dS

(1.5)

Pour la suite du chapitre, on travaillera dans les axes ainsi definis. Dans le cas ou lasection presente deux axes de symetrie, ceux-ci correspondent bien entendu aux directionsprincipales.

1.1.2 Principe de Saint-Venant

Le traitement de la theorie des poutres s’appuie sur le principe de Saint-Venant formuleen 1855 [4, 1]. Dans le cas de materiaux elastiques lineaires, il s’agit d’un theoreme donton peut trouver une demonstration dans [12]. Il est alors demontre qu’une distributiond’efforts exterieurs appliquee sur une section a l’une des extremites de Ω n’a qu’un effetlocalise au voisinage de cette section, si la resultante et le moment des efforts appliquessont nuls.Ce principe peut etre reformule de la facon suivante : pour les milieux elance, l’etatmecanique en des points suffisamment eloignes des points d’application des chargesexterieures ne depend que du torseur resultant des efforts exterieurs.On en deduit que seul le torseur des efforts interieurs intervient dans le travail virtuel desefforts interieurs, si l’on se place hors de l’effet local des conditions aux limites.Dans la pratique, la solution donnee par la theorie des poutres est valable lorsqu’on aparcouru sur la ligne moyenne une distance qui est de l’ordre de deux a trois diametres,si bien que la schematisation de type poutre est en general acceptee a partir d’un rapport10 a 15 entre la longueur et la plus grande dimension de la section droite.

1.1.3 Modelisation des actions mecaniques

Ligne moyenne C

x 1

σ(x). x1~ _ _S

Ω

_

x 1_

x 1_

x 3_G

G

Ω

S

σ(x). x1~ _ _dS

-

-

Figure 1.2 – Efforts interieurs transmis par une section droite


La figure 1.2 definit la maniere dont on prend en consideration les efforts de cohesion.Il ne s’agit plus de considerer les actions transmises par une surface infinitesimale maiscelle transmises par une section droite de la poutre. Dans la mesure ou la geometrie seresume en fait a une ligne et des sections droites, la representation de la section elle-memen’est presente que de facon indicative. La section droite consideree coupe le domaine endeux parties, Ω = Ω−∪Ω+. L’etendue de la surface de coupure n’etant plus infinitesimale,il est possible d’introduire une description de la rotation de celle-ci. Le plus simple estd’introduire un torseur de vitesse pour decrire la cinematique de la surface de coupure.La puissance des efforts exerces sur cette surface fait alors intervenir le torseur des effortsinterieurs, compose d’une resultante et d’un moment generalement exprime au point G.

Pour un champ de contrainte donne dans la section courante, il est possible d’obtenirles composantes du torseur des efforts interieurs. Elles sont definies de maniere globalesur la section courante. Les notations seront les suivantes :

– une resultante N selon x1, T2 selon x2, T3 selon x3 ; N est l’effort normal, T2 et T3

les composantes de l’effort tranchant– un moment de flexion M2 autour de x2, M3 autour de x3

– un couple de torsion autour de x1, M1.

On definit ainsi un torseur, qui est obtenu en integrant les composantes suivantes dutenseur de contrainte :

N =

∫

S

σ11dS T2 =

∫

S

σ12dS T3 =

∫

S

σ13dS (1.6)

C =

∫

S

(x2σ13 − x3σ12)dS M2 =

∫

S

x3σ11dS M3 = −∫

S

x2σ11dS (1.7)

Par definition, le torseur des efforts interieurs est le torseur des actions de Ω+ sur Ω−.

Il n’est pas utile de connaıtre les composantes σ22 et σ33 pour calculer les effortsresultants. Ceci va inspirer la solution de Saint-Venant qui est exposee en section suivante.Il faut noter egalement qu’il est possible de construire une infinite de champs de contraintesqui redonnent le torseur indique. Dans la pratique, la theorie des poutres ne precise pasla maniere dont sont distribuees les contraintes dans une section droite (en application duprincipe de Saint-Venant). Neanmoins cette distribution peut etre estimee dans certainscas.

1.2 Approche par le principe des travaux virtuels

On va poursuivre la description des actions mecaniques en appliquant le principe destravaux virtuels a l’aide d’une description cinematique particuliere. Pour plus de concision,on se resume a la resolution dans un plan. La figure 1.3 montre la geometrie et resumeles efforts appliques. La ligne moyenne est l’axe x1, la poutre se deforme dans le planx1 − x3, qui est plan principal d’inertie. Comme l’axe x1 est le lieu des centres d’inertiesdes sections, on a : ∫

S

x3dS = 0 . (1.8)

1.2. APPROCHE PAR LE PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS 9

1x

x3

x2

p

P

F

M

t

Figure 1.3 – Geometrie et efforts exterieurs consideres

1.2.1 Rappel : le principe des travaux virtuels

La figure 1.4 rappelle les grandeurs fondamentales que l’on considere sur un milieucontinu.

On introduit les definitions suivantes :

– Champ u′ CCA (cinematiquement admissible) :

u′ = ud sur ∂Ωu ε′∼

= 0.5(grad

∼u′ + grad

∼

Tu′)

(1.9)

– Champ σ∗∼

CSA (statiquement admissible) :

σ∗∼.n = F d sur ∂ΩF divσ∗

∼+ fd = 0 dans Ω (1.10)

La notation ′ n’indique pas une derivee quelconque, mais un champ virtuel utile aucalcul de travaux virtuels.L’evaluation du travail developpe par σ∗

∼dans u′ conduit a l’enchaınement suivant, pour

tout σ∗∼

CSA et u′ CCA non forcement relies par la loi de comportement :

ud

fd

Fd

Ω

– Deplacement impose ud sur la surface ∂Ωu

– Force repartie imposee F d sur la surface ∂ΩF

– Force volumique imposee fd a l’interieur de Ω

Figure 1.4 – Notations dans le milieu continu


∫

Ω

σ∗ijε′ijdΩ =

∫

Ω

1

2σ∗ij(u′i,j + u′j,i

)dΩ (1.11)

=

∫

Ω

σ∗iju′i,jdΩ (1.12)

=

∫

Ω

((σ∗iju

′i

),j− σ∗ij,ju′i

)dΩ (1.13)

=

∫

∂Ω

σ∗ijnju′idS −

∫

Ω

σ∗ij,ju′idΩ (1.14)

∫

Ω

σ∗ijε′ijdΩ =

∫

∂Ω

Fiu′idS +

∫

Ω

fdi u′idΩ (1.15)

(1.16)

Le principe des travaux virtuels s’enonce alors de la facon suivante : ∀u′i, variationautour d’un etat d’equilibre (u′i = 0 sur ∂Ωu)

∫

Ω

σ∗ijε′ijdΩ = −δWint = δWext =

∫

∂ΩF

F di u′idS +

∫

Ω

fdi u′idΩ (1.17)

Dans la suite, on va appliquer ce principe sur les quantites globales definies sur lapoutre.

1.2.2 Cinematique de la poutre de Timoshenko

L’idee consiste, pour un solide elance, a postuler une description simplifiee, globale,de la structure, au lieu de chercher une resolution exacte. Les solutions obtenues sontd’autant plus satisfaisantes que l’elancement est important.

Pour traiter le cas d’une poutre plane, on conserve dans la description geometriquedeux translations et un angle. Il leur correspondra deux forces et un moment, conjugues(au sens du travail virtuel). Pour le cas d’une poutre mince, on negligerait le cisaillement(modele N , M , Navier–Bernoulli).

Sollicitation axe de la poutre perp a l’axe moment de flexion”force” N T M

”deplacement” U V θ

On calcule donc successivement les deplacements virtuels et les deformations virtuelles,en suivant les notations illustrees par la figure 1.5

u′1 = U ′(x1) + θ′x3 u′3 = V ′(x1) (1.18)

ε′11 = U ′,1 + θ′,1x3 2ε′13 = V ′,1 + θ′ (1.19)

ε′22 = 0 ε′21 = 0 ε′23 = 0 ε′33 = 0 (1.20)

(La notation ′ n’indique pas une derivee quelconque, mais un champ virtuel utile aucalcul de travaux virtuels.)


Plan de la ligne neutre

Section

Figure 1.5 – Schematisation de la poutre de Timoshenko

1.2.3 Traitement des equations

Travail virtuel des efforts internes

δWint =−∫

V

(ε′11σ11 + 2ε′13σ13)dV (1.21)

=−∫

L

(U ′,1

∫

S

σ11dS + θ′,1

∫

S

x3σ11dS + (V ′,1 + θ′)

∫

S

σ13dS

)dx1 (1.22)

On introduit alors naturellement les quantites N , T , M conjuguees de U , V , θ :

N =

∫

S

σ11dS T =

∫

S

σ13dS M =

∫

S

x3σ11dS (1.23)

ce qui donne :

δWint = −∫

L

(NU ′,1 +Mθ′,1 + T (V ′,1 + θ′)

)dx1 (1.24)

Traitement du travail des efforts interieurs

A partir de :

δWint = −∫

L

(NU ′,1 +Mθ′,1 + T (V ′,1 + θ′)

)dx1 (1.25)

On integre classiquement par parties le travail des efforts interieurs, par exemple :∫

L

NU ′,1dx1 =

∫

L

((NU ′),1 −N,1U′) dx1 = [NU ′]

L0 −

∫

L

N,1U′dx1 (1.26)

d’ou :

δWint = −∫

L

(−N,1U′ −M,1θ

′ − T,1V ′ + Tθ′)) dx1 (1.27)

+N(0)U ′(0)−N(L)U ′(L) + T (0)V ′(0)− T (L)V ′(L) (1.28)

+M(0)θ′(0)−M(L)θ′(L) (1.29)


Travail des efforts exterieurs

On suppose que les forces concentrees sont appliquees aux extremites (x1 = 0 etx1 = L), et on integre entre 0 et L les efforts repartis. Les donnees sont :

– les forces normales F0 et FL, tangentielles P0 et PL,– les moments M0 et ML,– les efforts repartis sur la surface, representes par des densites lineiques normales p

et tangentielle t :

δWext = F0U′(0) + FLU

′(L) + P0V′(0) + PLV

′(L) +M0θ′(0) +MLθ

′(L) (1.30)

+

∫

L

(pV ′ + tU ′)) dx1 (1.31)

1.2.4 Equations differentielles traduisant l’equilibre

δWint = −∫

L

(−N,1U′ −M,1θ

′ − T,1V ′ + Tθ′)) dx1 (1.32)

+N(0)U ′(0)−N(L)U ′(L) + T (0)V ′(0)− T (L)V ′(L) (1.33)

+M(0)θ′(0)−M(L)θ′(L) (1.34)

δWext = F0U′(0) + FLU

′(L) + P0V′(0) + PLV

′(L) +M0θ′(0) +MLθ

′(L) (1.35)

+

∫

L

(pV ′ + tU ′)) dx1 (1.36)

Comme l’egalite δWint + δWext = 0 est valable quel que soit le triplet (U ′, V ′, θ′), ontrouve, en identifiant terme a terme les contributions de δWint et δWext :

N(0) = −F0 N(L) = FL T (0) = −P0 T (L) = PL (1.37)

M(0) = −M0 M(L) =ML (1.38)

N,1 + t = 0 T,1 + p = 0 M,1 − T = 0 (1.39)

On pose :

N =

∫

S

σ11dS T =

∫

S

σ13dS M =

∫

S

x3σ11dS (1.40)

On obtient :

N,1 + t = 0 T,1 + p = 0 M,1 − T = 0 (1.41)

La figure 1.6 illustre la signification physique des equations precedentes pour une”tranche” de la poutre.


T+dT

N+dN

M+dM

p

t

TNM

dN = −tdx1 (1.42)

dT = −pdx1 (1.43)

dM = Tdx1 (1.44)

Figure 1.6 – Equilibre d’une ”tranche” de poutre

1.2.5 Cas particulier des systemes isostatiques

Par definition, un systeme est isostatique si l’on peut determiner les efforts interieursen utilisant uniquement les equations d’equilibre. Si un systeme est isostatique, il est alorspossible de determiner les efforts sur toute la frontiere du systeme mecanique en ecrivantuniquement des conditions d’equilibre. La methode de resolution suivante peut alors etreadoptee : 1- determiner toutes les reactions des appuis (bords a deplacements imposes),2- considerer l’equilibre de differents troncons Ω+ pour obtenir l’expression du torseur desefforts interieurs dans la section courante S. Si la premiere etape echoue, cela signifie quele systeme n’est pas isostatique. Il faut alors tenir compte de lois de comportement pourdeterminer les efforts interieurs.

Pour appliquer l’etape 2 de la methode, il faut utiliser la propriete suivante : le torseurdes efforts interieurs etant le torseur des actions de Ω+ sur Ω−, l’action de Ω− sur Ω+ estdonnee par le torseur des efforts interieurs multiplie d’un signe moins.

1.2.6 Lois de comportement

Pour etablir les lois de comportement, il faut trouver des relations raisonnables entre lesdeplacements definis sur la ligne moyenne et les efforts globaux. L’approche par le principedes travaux virtuels laisse le choix du champ de contraintes statiquement admissible quel’on considere. Dans la suite, on va considerer une theorie tres simplifiee, qui n’aurapas le meme degre de raffinement que la solution de Saint-Venant presentee plus loin :on s’inspire en effet directement du champ cinematiquement admissible pour evaluer unchamp de contrainte, qui sera, en fait obtenu au travers de la loi de comportement, et quine sera pas rigoureusement statiquement admissible. On traite successivement les cas de laforce axiale, du moment et de l’effort tranchant, en faisant l’hypothese de transformationsinfinitesimales. Le materiau est suppose homogene, ses caracteristiques elastiques sont desconstantes.

Lois de comportement : force axiale

On evalue la composante 11 du tenseur de contrainte comme Eε11 = σ11−ν(σ22 +σ33),et on neglige σ22 et σ33. Il vient :

N =

∫

S

σ11dS =

∫

S

Eε11dS =

∫

S

Eu1,1dS =

∫

S

EU,1dS +

∫

S

E(θx3),1dS (1.45)


Selon l’equation (1.8), le deuxieme terme du developpement est nul, si bien que :

N = U,1ES (1.46)

Lois de comportement : moment

M =

∫

S

x3σ11dS =

∫

S

x3Eε11dS =

∫

S

x3U,1dS +

∫

S

x3(θx3),1dS (1.47)

Selon l’equation (1.8), le premier terme du developpement est nul, il vient :

M = θ,1

∫

S

x23dS = θ,1I (1.48)

avec I =

∫

S

x23 dS, moment quadratique par rapport a x2, si bien que :

M =

∫

S

x3σ11dS = EIθ,1 (1.49)

Pour une section rectangulaire, de hauteur 2h et de largeur b, I =2bh3

3

Lois de comportement : cisaillement

T =

∫

S

σ13 =

∫

S

2µε13dS =

∫

S

µ(u1,3 + u3,1)dS =

∫

S

µ (θ + V,1) dS (1.50)

si bien que :

T = µS(θ + V,1) (1.51)

Lois de comportement

Les relations suivantes constituent les lois de comportement globales de la structure.

N = ESU,1 T = µS(θ + V,1) M = EIθ,1 (1.52)

Equations differentielles

Comportement et conditions d’equilibre fournissent donc le systeme d’equationsdifferentielles suivant :

U,1 = N/ES (1.53)

V,1 = −θ + T/µS (1.54)

θ,1 = M/EI (1.55)

N,1 + t = 0 (1.56)

M,1 − T = 0 (1.57)

T,1 + p = 0 (1.58)


flexion cisaillement

Figure 1.7 – Forme de la deformee de la ligne moyenne

1.2.7 Remarques

Deformees

La forme de la deformee de la ligne moyenne (fig. 1.7) depend du type de chargement :– Le terme de cisaillement, produit une evolution lineaire de la fleche.– La fleche est obtenue comme solution d’un probleme d’ordre 4 par rapport aux

efforts appliques :

V,11 = −θ,1 = −MEI

V,111 = −M, 1

EI=

T

EIV,1111 = − p

EI(1.59)

– En presence d’un moment appliquee, la forme de la ligne moyenne sera circulaire,elle sera de degre 3 en cas d’effort concentre, et de degre 4 en cas d’effort repartitout au long de la poutre.

Methode de resolution

Le deplacement axial s’obtient en integrant la relation :

U,1 = N/ES (1.60)

La rotation relative entre les sections s’obtient en integrant la relation :

θ,1 = M/EI (1.61)

La fleche est le resultat de la somme de deux termes, l’un provenant de la rotation ellememe, et l’autre de l’effort tranchant T :

V,1 = −θ + T/µS (1.62)

Expression des contraintes locales

La connaissance de U , V et θ permet de remonter aux champs de deformation et decontrainte locaux. (' Eε11 = Eu1,1) est la somme de deux termes, dus a l’elongation et ala flexion :

σ11∼= N/S +Mx3/I (1.63)


Si le cisaillement est negligeable

θ = −V,1 M = −EIV,11 (1.64)

Theorie de Navier–Bernoulli

Dans la theorie qui a ete developpee jusque la, une section plane reste plane, maispas perpendiculaire a l’axe neutre. Si la plus grande dimension de la section droite estextemement petite devant la longueur de la poutre (poutre mince), ou si les cisaillementssont faibles (effet du moment dominant), il est raisonnable de rajouter cette dernierehypothese. On retrouve alors la theorie dite classiquement de Navier-Bernoulli. Dansce cas, il faut assurer ε13 = 0, ce qui entraıne la condition suivante sur l’hypothesecinematique :

2ε13 = V,1 + θ = 0 (1.65)

La consequence immediate est que T n’est pas calculable par la loi de comportement,mais uniquement accessible par les conditions d’equilibre.

1.2.8 Energie potentielle dans le cas de l’elasticite lineaire

Theoreme de l’energie potentielle : Pour les milieux elastiques lineaires, il existe uneenergie potentielle. A l’equilibre cette energie est stationnaire.

Notons F l’energie potentielle. Pour un troncon de poutre elastique et lineaire, en seplacant dans le cadre de la theorie de Navier–Bernoulli, on a :

u = (U, V ) cinematiquement admissible→ F(u) =1

2

∫

L

(E S U2

,1 + E I V 2,11

)dx1 −Wext

(1.66)ou Wext est le travail des efforts exterieurs appliques au troncon de poutre. Le premierterme correspond a l’energie de deformation du troncon.Nous montrerons au chapitre sur la stabilite que ce point stationnaire doit etre unminimum local. Il faut donc que le module d’Young soit une grandeur positive.

F est une fonction de fonctions, c’est une fonctionnelle. La condition de stationarites’obtient par extraction de la partie lineaire en U ′ et V ′ de la difference F(U + U ′, V +V ′)−F(U, V ), lorsque U ′ et V ′ sont des perturbations infinitesimales. La differentielle deF en u = (U, V ) est notee F,u(u)[u′], avec u′ = (U ′, V ′). Par le calcul obtient l’expressionsuivante :

(U, V ) , (U ′, V ′)→ F,u(u)[u′] =

∫

L

(E S U,1 U

′,1 + E I V,11 V

′,11

)dx1 − δWext (1.67)

La condition de stationnarite s’ecrit donc :

F,u(u)[u′] = 0 ∀ (U ′, V ′) cinematiquement admissible (1.68)

Ainsi, la stationnarite de F implique que le principe des travaux virtuels est verifie. Lareciproque est vraie egalement.

1.3. SOLUTION DE SAINT-VENANT 17

Prise en compte du gauchissement de section

Comme on peut le constater en se referant a la solution de Saint-Venant, la methodepresentee ici n’est qu’approchee, surtout dans le cas ou le cisaillement est important.Ainsi, il est facile de verifier par exemple que le resultat en contrainte σ13 ne verifie pasles conditions aux limites, puisque, σ13 etant uniforme, le cisaillement calcule n’est pasnul en surface. Par ailleurs, les equations d’equilibre non utilisees ne sont pas verifiees.L’approximation se justifie neanmoins en raison des ordres de grandeur respectifs dechacune des composantes de contrainte mises en jeu. Il est relativement simple d’apporterune premiere amelioration en considerant que la section S peut devenir gauche. Celaconduit a postuler un champ de deplacement tridimensionnel de la forme, ou ηi designele ”gauchissement longitudinal” :

u1(X) = u(s) + θ(s)x3 + η1(x1, x2, x3)u2(X) = η2(x1, x2, x3)u3(X) = v(s) + η3(x1, x2, x3)

La seule modification a apporter aux equations consiste a introduire un coefficient k,dit de section reduite dans l’expression du cisaillement, qui devient :

T = µ(S/k)(θ + V,1) (1.69)

Ce coefficient vaut 6/5 pour le cas d’une poutre de section rectangulaire.

1.3 Solution de Saint-Venant

Sous certaines hypotheses detaillees ci-dessous, la theorie des poutres et la theoriegenerale des milieux continus coincident.

1.3.1 Contraintes

L’hypothese de Saint-Venant consiste a chercher la solution d’un troncon de poutredroite sous la forme d’un etat de contrainte contenant uniquement deux cisaillements etun terme de contrainte axiale :

(σ..)

=

σ11 σ12 σ13

σ21 0 0σ31 0 0

(1.70)

Chaque composante depend pour le moment de la position (x1, x2, x3) d’un pointcourant au sein de la poutre. On cherche a resoudre le probleme a l’aide d’une formulationen contraintes. Le tenseur recherche doit verifier :

– les equations d’equilibre

σ11,1 + σ12,2 + σ13,3 = 0 (1.71)

σ21,1 = 0 (1.72)

σ31,1 = 0 (1.73)

(1.74)


– les equations de Beltrami permettant de trouver ulterieurement un champ dedeplacement

−∆σ11 − σ11,11 = 0 (1.75)

(1 + ν)∆σ12 + σ11,12 = 0 (1.76)

(1 + ν)∆σ13 + σ11,13 = 0 (1.77)

−σ11,22 + ν∆σ11 = 0 (1.78)

−σ11,23 = 0 (1.79)

−σ11,33 + ν∆σ11 = 0 (1.80)

(1.81)

On deduit des equations precedentes la forme generale de la solution, dans laquelle ona introduit une fonction φ dependant de x2 et x3, telle que ∆φ = 0 :

σ11 = a0 + a1x1 + (b0 + b1x1)x2 + (c0 + c1x1)x3 (1.82)

σ12 = φ,3 −a1

2x2 − c1x2x3 −

b1

1 + ν

x23

2(1.83)

σ13 = −φ,2 −a1

2x3 − b1x2x3 −

c1

1 + ν

x22

2(1.84)

(1.85)

Lors du calcul des integrales sur la section droite, un certain nombre de termes sont

nuls, dans la mesure ou les axes x2 et x3 sont des axes principaux. C’est le cas de

∫

S

x2dS,∫

S

x3dS,

∫

S

x2x3dS. On voit par ailleurs apparaıtre les moments quadratiques principaux.

La forme finale de la solution en contrainte est :

σ11 =N

S+M2

I2

x3 −M3

I3

x2 (1.86)

σ12 = −T3

I2

x2x3 −1

1 + ν

T2

I3

x23

2(1.87)

σ13 = −T2

I3

x2x3 −1

1 + ν

T3

I2

x22

2(1.88)

(1.89)

La fonction φ est solution de ∆φ = A, equation differentielle qu’il faut resoudre enprenant en compte respectivement une condition aux limites sur le contour de la sectiondroite, et l’expression du moment de torsion :

dφ =

(−T2

I3

x2x3 −T3

2(1 + ν)I2

x22

)dx2 +

(−T3

I2

x2x3 +T2

2(1 + ν)I3

x23

)dx2 (1.90)

C = S

∫

S

φdS +

∫

Γ

φ(x3dx2 − x2dx3) (1.91)

+T2

I3

∫

S

(−x2x3 +

x23

2(1 + ν)

)dS +

T3

I2

∫

S

(−x3x2 +

x22

2(1 + ν)

)dS (1.92)

1.3. SOLUTION DE SAINT-VENANT 19

1.3.2 Deplacements

On passe des contraintes aux deplacements par la loi de comportement. Le calcul desdeplacements se fait de facon traditionnelle en calculant d’abord les rotations, puis lescomposantes du vecteur deplacement (voir le cours MMC) Les rotations sont calculeesa l’aide d’un tenseur ω

∼, partie antisymetrique du gradient de deplacement, dont les

composantes ω12, ω23 et ω31 verifient des equations differentielles du type :

ω12,1 = ε11,2 − ε12,1 ω12,2 = ε12,2 − ε22,1 ω12,3 = ε13,2 − ε32,1 (1.93)

et permutation circulaire.Les composantes du deplacement sont obtenues par des equations du type :

u1,1 = ε11 u1,2 = ε12 + ω12 u1,3 = ε13 + ω13 (1.94)

et permutation circulaire.On trouve [7] :

u1 =N

ESx1 −

(T2

EI3

x2 +T3

EI2

x3

)(Lx1 −

x21

2

)+

(M2

EI2

x3 −M3

EI3

x2

)x1 (1.95)

+T2

EI3

(νx3

2

6− (2 + ν)

x2x23

2

)+

T3

EI2

(νx3

3

6− (2 + ν)

x3x22

2

)(1.96)

+1 + ν

EΦ + γx2 − βx3 + α0 (1.97)

u2 = −ν NES

x3 +

(T2

2EI3

(x22 − x2

3) +T3

EI2

x2x3

)ν(L− x1) (1.98)

+ ν

(M3

2EI3

(x22 − x2

3)− M2

EI2

x2x3

)+

1 + ν

EAx1x3 (1.99)

+

(M3

EI3

+T2

EI3

(L− x1

3

)) x21

2− γx1 − αx3 + β0 (1.100)

u3 = −ν NES

x3 +

(T3

2EI2

(x23 − x2

2) +T2

EI3

x2x3

)ν(L− x1) (1.101)

+ ν

(M2

2EI2

(x23 − x2

2)− M3

EI3

x2x3

)− 1 + ν

EAx1x2 (1.102)

+

(−M2

EI2

+T3

EI2

(L− x1

3

)) x21

2+ βx1 − αx2 + γ0 (1.103)

(1.104)

1.3.3 Discussion

La solution est bien donc relativement complexe, cependant la solution est adapteepour une large gamme de problemes, en flexion et en torsion. C’est la presence de Φqui rend la resolution analytique delicate (voire impossible), et dependante de la formede la section. Dans le cas general, il y a un couplage entre les sollicitations, c’est-a-direpar exemple qu’un effort tranchant conduit a un deplacement en torsion. Les couplagesdisparaissent lorsque les sections presentent des axes de symetrie. On obtient un resultatanalytique dans le cas ou la section est circulaire. En torsion pure, on trouve tout


simplement que φ vaut (R2 − x22 − x2

3)/2, et on verifie que la section reste plane ; sousl’effet d’un effort tranchant T2 uniquement, on trouve :

σ12 =T2

I3

(3 + 2ν

8(1 + ν)

(x2

3 − x22 +R2

)− x2

3

2(1 + ν)

)σ13 = −T2

I3

(1 + 2ν

4(1 + ν)x3x2

)

(1.105)On note que le vecteur contrainte est bien nul sur la surface laterale.

D’une facon generale, le deplacement de la ligne moyenne est obtenu pour x2 = x3 = 0.Les sections droites restent planes sous l’action d’un effort normal ou d’un moment. Dansle cas d’un effort tranchant, on a un gauchissement des sections droites, ainsi, sous l’actionde T2, en notant U le deplacement selon x1 d’un point courant de la ligne moyenne, on a :

u1 − U =T2

EI3

(νx3

2

6− (2 + ν)

x2x23

2

)+

1 + ν

EΦ(x2, x3) (1.106)

Ce gauchissement reste neanmoins relativement peu important, ce qui encouragera en faita construire des solutions dans lesquelles on conserve les sections planes.

1.4 Poutre sandwich

On continue ici a utiliser une approche relativement grossiere, qui consiste a evaluer lechamp de contrainte a partir du champ de deplacement. On suppose donc que, en presencede plusieurs couches, on continue a avoir la meme cinematique. Contrairement au cas dumateriau homogene, il y a maintenant une distribution spatiale des proprietes elastiques,qui dependent de la cote x3 dans la section. On considere une section droite de formerectangulaire. On suppose que la partie centrale de la section droite est en mousse et quela partie superieure ainsi que la partie inferieure sont en metal. Ceci interdit de sortir lesmodules des integrales, et conduit donc a des moyennes differentes, prenant en compte ala fois la geometrie et le comportement.

1.4.1 Evaluation des efforts interieurs

Effort normal

N =

∫

S

σ11 dS (1.107)

La contrainte σ11 est discontinue, et : σ11(x3) = E(x3)ε11

σ11 = E(x3) (U1,1 + θ1,1x3) (1.108)

N = U,1

∫

S

E(x3)dS + θ,1

∫

S

E(x3)x3dS (1.109)

Si E(x3) est une fonction paire en x3, et independante de x2 ; la seconde integrale estnulle. On a :

N =< ES > U,1 avec < ES >=

∫

S

E(x3)dS (1.110)

1.4. POUTRE SANDWICH 21

Poutre sandwich : moment

M =

∫

S

x3σ11 dS (1.111)

σ11 = E(x3) (U1,1 + θ1,1x3) (1.112)

M = U,1

∫

S

x3E(x3)dS + θ,1

∫

S

E(x3)x23dS (1.113)

Si E(x3) est une fonction paire en x3, et independante de x2 ; la premiere integrale estnulle. On a :

M =< EI > θ,1 avec < EI >=

∫

S

E(x3)x23dS (1.114)

Poutre sandwich : cisaillement

On ne peut pas comme dans les deux cas precedents accepter d’evaluer directement lescomposantes de contrainte a partir du comportement. On commet en effet une grossiereerreur en ne prenant pas en compte la continuite de la composante σ13 a l’interface. Lavaleur de σ13 est limitee par le faible module de la mousse a l’interieur de la poutre, etelle doit etre nulle en surface externe, de normale x3, qui est libre. Une pratique couranteadmet tout simplement de negliger la contribution des plaques metalliques externes ; onse limite a l’integrale sur le cœur de la poutre, soit, en supposant que celui-ci est comprisentre ±h :

T =

∫

S

σ13 dS ≈∫ b

0

∫ +h

−hσ13dx2dx3 = (V,1 + θ)

∫ +h

−h2bµ(x3)dx3 (1.115)

T ≈< µS >+h−h (V,1 + θ) (1.116)

1.4.2 Forme generale des lois de comportement elastiques

Si la distribution des modules n’est pas paire en x3, il y a un couplage entre tractionet flexion. On doit ecrire :

N

M

T

=

∫

S

EidS

∫

S

Eix3dS 0∫

S

Eix3dS

∫

S

Eix23dS 0

0 0

∫

S

µidS

=

U,1

θ,1

V,1 + θ

(1.117)

On a introduit les quantites suivantes :


- ligne moyenne definie par :∫SEix3dS = 0

- rigidite equivalente de traction : < ES >=∫SEidS

- rigidite equivalente de flexion : < EI >=∫SEix

23dS

- rigidite equivalente de cisaillement : < µS >=∫SµidS

On a donc etabli des lois de comportement simplifiees :

N =< ES > U,1 T =< µS > (θ + V,1) M =< EI > θ,1 (1.118)

Tout ceci permet de retrouver les contraintes σ11 locales :

σ11 ' Ei

(N

< ES >+

Mx3

< EI >

)(1.119)

La composante σ11 presente donc a l’interface une discontinuite qui est dans la rapportdes modules d’Young en direction 1. Ceci explique que ce sont les peaux qui assurent laresistance au moment de flexion. Si la poutre est suffisamment epaisse, et la peau mince,les peaux sont pratiquement en traction et en compression simple. Comme l’assemblagea permis de les eloigner de la ligne moyenne, la rigidite sera donc nettement plus grande.

Pour une bonne conception de l’assemblage, il faut verifier que les contraintes decisaillement qui se developpent aux interfaces restent compatibles avec la resistance desjoints de colle entre les differents materiaux.

1.4. POUTRE SANDWICH 23

Resume

– La theorie de Timoshenko pour les poutres suppose qu’une section plane resteplane, mais pas forcement perpendiculaire a la ligne moyenne. La cinematiqueest :

u1 = U(x1) + θx3 u3 = V (x1)

ε11 = U,1 + θ,1x3 2ε13 = V,1 + θ

– Les equations d’equilibre global sont :

N,1 + t = 0 T,1 + p = 0 M,1 − T = 0

– Les equations de comportement global sont :

N = ESU,1 T = µS(θ + V,1) M = EIθ,1

– Schema de resolution :

T,1 + p = 0 M,1 − T = 0 θ,1 = M/EI V,1 = −θ + T/µS

– La theorie de Navier–Bernoulli s’applique pour les poutres minces qui ne sontpas capables de supporter un cisaillement. Dans ce cas, on a simplement : θ =V,1 M = −EIV,11

– Dans le cas de poutre sandwich symetrique, il n’y a pas de couplage traction–flexion, et on peut appliquer les memes equations, a condition d’effectuer desmoyennes ponderees par le module de Young sur la section complete, et, dans lecas du cisaillement, en premiere approximation, sur la section de mousse.


Chapitre 2

Rheologie

La construction des modeles de comportement non lineaire des materiaux comportedeux volets : l’etude des proprietes rheologiques et la definition de la forme des equationspour un chargement tridimensionnel. La rheologie, etude des ecoulements, permet derelier les contraintes, les deformations, et leurs derivees, et caracterise la nature descomportements. La caracterisation experimentale a ete evoquee en introduction. Certainscomportements fondamentaux ont ete identifies. Chacun va se caracteriser ici par unebrique elementaire. Les comportements les plus complexes se batissent ensuite a partir decelles-ci en formant des assemblages qui sont decrits dans ce chapitre. On commencel’examen des differentes classes de modele par quelques remarques sur les types dedeformation que peut subir la matiere.

2.1 Les differents types de ”deformation”

2.1.1 Les sources de ”deformation”

Pour les lois de comportement les plus simples (elasticite, viscosite pure) un seultenseur de deformation permet de caracteriser les changements de forme de l’element devolume. De nombreuses situations pratiques font au contraire intervenir d’autres types dedeformations. Avant d’aborder cette description, on fait le bilan des elements necessairesa la construction d’une loi de comportement.

Un cadre devenu classique, et qui est presente dans le cours de MMC [5] (chapitre 5)suppose que l’on definisse un certain nombre de variables d’etat qui representent a l’instantt le resultat de toute l’histoire du materiau. La deformation elastique est l’exemple d’unetelle variable. Il faut ensuite introduire des coefficients, ou parametres materiau, qui vontporter sur ces variables et definir les grandeurs associees (l’approche thermodynamiqueparle de ”forces” thermodynamiques) qu’elles generent. Ainsi, le tenseur des modulesd’elasticite permet-il de calculer le tenseur des contraintes. Un materiau est egalementsoumis a l’action de parametres exterieurs, qui vont creer en son sein des distorsions oudes variations de volume.

Le fait de solliciter le materiau dans des conditions extremes (fortes charges parexemple) fait apparaıtre des irreversibilites dans le processus de deformation, qui devrontetre caracterisees par de nouvelles variables d’etat. On entamera au paragraphe suivantl’etude de ce type de deformation. Il faut auparavant citer le cas des deformationsparametriques. On regroupe derriere cette denomination les modes de deformations

25

26 CHAPITRE 2. RHEOLOGIE

additionnels, qui sont pilotes par des parametres exterieurs. En toute rigueur lesdistorsions et dilatations produites ne conduisent pas a un tenseur de deformation, parcequ’elles ne verifient pas forcement les equations de compatibilite. L’usage a neanmoinsconsacre l’abus de notation, et on utilise par exemple ε

∼th pour designer la dilatation

thermique ; on accepte meme parfois de parler de deformation thermique. Parmi les autresparametres exterieurs qui fournissent des deformations additionnelles, on peut citer parexemple :

– l’irradiation d’un materiau, qui provoque dans certaines gammes de temperature lagermination et la croissance de cavites, ce qui produit un changement de volume ;

– le changement de phase ; les metaux et alliages, mais aussi les roches, peuventchanger de reseau cristallin en fonction de la temperature et de la pression. Cesphenomenes doivent bien entendu etre decrits a l’aide de variables d’etat, mais,dans la mesure ou une quantite donnee d’atomes n’occupera pas le meme volume enfonction de sa phase cristallographique (cubique, hexagonale,. . .), un changementde volume specifique accompagnera de facon systematique le changement de phase.

2.1.2 Dilatation thermique

La dilatation thermique est proportionnelle a la variation de temperature pourune petite variation de celle-ci autour d’un point de fonctionnement considere. Cecipermet donc d’introduire un tenseur de dilatation thermique. Sur une large gammede temperature, l’experience montre que les termes de ce tenseur dependent de latemperature. Comme par ailleurs on peut choisir la temperature a laquelle on prendla dilatation thermique nulle, il faut introduire deux temperatures particulieres dans ladefinition, T0 temperature a laquelle ε

∼th est nul, et Tr, temperature de reference a partir

de laquelle est mesure α∼

. La forme complete est alors :– pour le cas anisotrope

ε∼th = α

∼(T )(T − Tr)−α∼ (T0)(T0 − Tr) (2.1)

– pour le cas isotrope

ε∼th = α(T )(T − Tr)I∼ − α(T0)(T0 − Tr)I∼ (2.2)

soit

εthij = α(T )(T − Tr)δij − α(T0)(T0 − Tr)δij (2.3)

Dans une telle definition, α(T ) (dependant de la temperature) est le coefficient dedilatation secant. C’est lui qui est ordinairement tabule dans les bases de donnees.

La deformation totale s’ecrit comme une somme de la part elastique et de la partthermique :

ε∼

= ε∼e + ε

∼th

Lorsque le champ de temperature dans une piece n’est pas uniforme, la dilatation varied’un point a l’autre. Si le champ applique permet de verifier les conditions de compatibilite,et s’il peut se developper une dilatation libre, il n’y a pas de contrainte ; dans le cascontraire (champ de temperature trop complexe ou restrictions cinematiques), ceci conduitau developpement de contraintes thermomecaniques.

2.2. LES BRIQUES DE BASE DU COMPORTEMENT NON LINEAIRE 27

2.2 Les briques de base du comportement non

lineaire

L’allure qualitative de la reponse des materiaux a quelques essais simples permet deles ranger dans des classes bien definies. Ces comportements ”de base”, qui peuvent etrerepresentes par des systemes mecaniques elementaires, sont l’elasticite, la plasticite et laviscosite. Les elements les plus courants sont reportes en figure 2.1, ou le point au-dessusd’une variable designe la derivee temporelle :

1. Le ressort, qui symbolise l’elasticite lineaire parfaite, pour laquelle la deformationest entierement reversible lors d’une decharge, et ou il existe une relation biunivoqueentre les parametres de charge et de deformation (figure 2.1a).

2. L’amortisseur, qui schematise la viscosite, lineaire (figure 2.1b) ou non–lineaire(figure 2.1c). La viscosite est dite pure s’il existe une relation biunivoque entre lacharge et la vitesse de chargement. Si cette relation est lineaire, le modele corresponda la loi de Newton.

3. Le patin, qui modelise l’apparition de deformations permanentes lorsque la chargeest suffisante (figure 2.1d). Si le seuil d’apparition de la deformation permanenten’evolue pas avec le chargement, le comportement est dit plastique parfait. Si, deplus, la deformation avant ecoulement est negligee, le modele est rigide–parfaitementplastique.

σ = Eε

σ = ηε

σ = ηε1/N

−σy ≤ σ ≤ σy

a.

b.

c.

d.

Figure 2.1 – Les briques de base pour la representation des comportements

Ces elements peuvent etre combines entre eux pour former des modeles rheologiques.Ceux-ci representent des systemes mecaniques qui servent de support dans la definitiondes modeles. Il ne faut en aucun cas leur accorder un trop grand credit pour ce quiconcerne la representation des phenomenes physiques qui sont a la base des deformations.Ils sont neanmoins brievement presentes ici, car ils permettent de comprendre la naturedes relations a introduire pour chaque type de comportement, en pratiquant par exemplel’exercice qui consiste a combiner deux a deux les modeles elementaires. C’est aussil’occasion d’introduire l’ensemble du vocabulaire qui sera utile dans le cas general deschargements tridimensionnels.


En fonction du type de chargement impose, la reponse de ces systemes peut etre jugeedans 3 plans differents :

– plan deformation–contrainte, ε-σ, pour l’essai de traction simple, ou d’ecrouissage,augmentation monotone de la charge ou de la deformation ;

– plan temps–deformation, t-ε, pour l’essai de fluage, sous charge constante ;– plan temps–contrainte, t-σ, pour l’essais de relaxation, sous deformation constante.

2.3 Plasticite uniaxiale

a.

(σy) (E)

b.

(σy)

(H)

εp

σσy

−σyc.

σy

Hεp

σ

d.

Figure 2.2 – Associations en serie ou parallele de patin et ressort

2.3.1 Modele elastique–parfaitement plastique

L’association d’un ressort et d’un patin en serie (figure 2.2 a) produit un comportementelastique parfaitement plastique, modelise en figure 2.2 c. Le systeme ne peut pas supporterune contrainte dont la valeur absolue est plus grande que σy.

Pour caracteriser ce modele, il faut considerer une fonction de charge f dependant dela seule variable σ, et definie par :

f(σ) = |σ| − σy (2.4)

Le domaine d’elasticite correspond aux valeurs negatives de f , et le comportement dusysteme se resume alors aux equations suivantes :

− domaine d’elasticite si : f< 0 (ε = εe = σ/E) (2.5)

− decharge elastique si : f= 0 et f< 0 (ε = εe = σ/E) (2.6)

− ecoulement plastique si : f= 0 et f= 0 (ε = εp) (2.7)

En regime elastique, la vitesse de deformation plastique est bien entendu nulle, lavitesse de deformation elastique devenant a son tour nulle pendant l’ecoulement plastique.

2.3. PLASTICITE UNIAXIALE 29

Ceci implique que l’expression de la vitesse de deformation plastique ne peut pas se fairea l’aide de la contrainte. C’est au contraire la vitesse de deformation qui doit etre choisiecomme pilote.

Le modele est sans ecrouissage, puisque le niveau de contrainte ne varie plus au sortirdu domaine d’elasticite. Il n’y a pas d’energie stockee au cours de la deformation, etla dissipation en chaleur est egale a la puissance plastique. Le modele est susceptibled’atteindre des deformations infinies sous charge constante, conduisant a la ruine dusysteme par deformation excessive.

2.3.2 Modele de Prager

L’association en parallele de la figure 2.2b correspond au comportement illustre enfigure 2.2d. Dans ce cas, le modele presente de l’ecrouissage. Il est dit cinematiquelineaire [11], car dependant lineairement de la valeur actuelle de la deformation plastique.Sous cette forme, le modele est rigide–plastique. Il devient elasto–plastique si l’on rajouteun ressort en serie. La forme de la courbe dans le plan σ − εp est due au fait que, lorsde l’ecoulement plastique, la contrainte qui s’etablit dans le ressort vaut X = Hεp. Parailleurs, cet ecoulement ne se produit que si la valeur absolue de la contrainte dans lepatin, soit |σ−Hεp|, est egale a σy. Pour une deformation donnee, cette contrainte X estune contrainte interne qui caracterise le nouvel etat neutre du materiau.

Ce deuxieme exemple offre l’occasion d’ecrire un modele plus complet queprecedemment. La fonction de charge depend maintenant de la contrainte appliquee et dela contrainte interne. Elle s’ecrit :

f(σ,X) = |σ −X| − σy (2.8)

Il n’y aura presence d’ecoulement plastique que si on verifie a la fois f = 0 et f = 0. Ceciconduit a la condition suivante :

∂f

∂σσ − ∂f

∂XX = 0 (2.9)

D’ou :

signe(σ −X) σ+signe(σ −X) X = 0 (2.10)

σ = X, et finalement : εp = σ/H (2.11)

Dans ce cas, la contrainte augmente au cours de l’ecoulement plastique, si bien qu’ellepeut servir de variable de controle. Mais il est aussi toujours possible d’exprimer la vitessed’ecoulement plastique en fonction de la vitesse de deformation totale, en utilisant ladecomposition de la deformation combinee avec l’expression de la vitesse de deformationplastique, le cas ou H = 0 redonnant bien entendu le cas du materiau parfaitementplastique :

εp =E

E +Hε (2.12)

Il est remarquable de noter que le calcul de l’energie dissipee au cours d’un cycleproduit exactement le meme resultat que pour le premier montage, ce qui indique que,pour ce type de comportement, une partie de l’energie est temporairement stockee dans lemateriau (ici, dans le ressort), et entierement restituee a la decharge. Ceci donne une


illustration physique de la notion d’ecrouissage renversable, alors que d’autres reglesd’ecrouissage cinematique, non–lineaire, qui ne seront pas considerees dans le cadre dece cours, sont accompagnees d’une dissipation d’energie.

2.3.3 Ecriture generale des equations de l’elastoplasticiteuniaxiale

Dans le cas general, les conditions de ”charge–decharge” s’expriment donc :

− domaine d’elasticite si : f(σ,Ai)< 0 (ε = σ/E) (2.13)

− decharge elastique si : f(σ,Ai)= 0 et f(σ,Ai)< 0 (ε = σ/E) (2.14)

− ecoulement plastique si : f(σ,Ai)= 0 et f(σ,Ai)= 0 (ε = σ/E + εp) (2.15)

Dans le cas general, le module H depend de la deformation et/ou des variablesd’ecrouissage. La valeur du module plastique au point (σ,Ai) s’obtient en ecrivant que lepoint representatif du chargement reste sur la limite du domaine d’elasticite au cours del’ecoulement. L’equation qui en decoule s’appelle la condition de coherence :

f(σ,Ai) = 0 (2.16)

Ce formalisme peut paraıtre un peu lourd dans le cadre d’un chargement uniaxial, maisil est utile de le mettre en place, car ce sont les memes outils qui seront ensuite utilisesdans le cas plus complexe des chargements multiaxiaux. Dans les deux exemples qui ontete decrits, le domaine d’elasticite est soit fixe, soit mobile, sa taille etant conservee.Le premier cas ne necessite bien entendu aucune variable d’ecrouissage, le second faitintervenir une variable X qui depend de la valeur actuelle de la deformation plastique.Cette variable deviendra tensorielle dans le cas general. Comme indique plus haut le typed’ecrouissage correspondant s’appelle ecrouissage cinematique (figure 2.3b).

Une autre evolution elementaire que peut subir le domaine d’elasticite est l’expansion.Cet autre cas (figure 2.3a) correspond a un materiau dont le domaine d’elasticite voit sataille augmenter, mais qui reste centre sur l’origine : il s’agit d’un ecrouissage isotrope [13].La variable d’ecrouissage qui intervient dans f est la dimension du domaine d’elasticite,notee R :

f(σ,R) = |σ| −R− σy (2.17)

L’evolution de cette variable est la meme quel que soit le signe de la vitesse de deformationplastique. Elle s’exprimera donc en fonction de la deformation plastique cumulee, p,variable dont la derivee est egale a la valeur absolue de la vitesse de la deformationplastique : p = |εp|. Bien entendu, il n’y a pas de difference entre p et εp tant quele chargement est monotone croissant. Dans ce cas, verifier la condition de coherencerevient tout simplement a exprimer que la valeur actuelle de la contrainte est sur lafrontiere du domaine d’elasticite. Pour l’ecrouissage cinematique, cela s’ecrit σ = X + σy,et pour l’ecrouissage isotrope σ = R + σy. Cela signifie donc que c’est la loi d’evolutionde la variable d’ecrouissage qui determine exactement la forme de la courbe de traction.Les deux modeles rheologiques invoques donnent des courbes lineaires, avec des modulesplastiques nul ou constant. Il est souvent plus realiste de considerer une courbe qui sesature en fonction de la deformation, soit par exemple une fonction puissance (loi deRamberg–Osgood, avec deux coefficients materiaux K et m) ou une exponentielle, cette

2.4. VISCOELASTICITE UNIAXIALE 31

derniere formulation offrant l’avantage d’introduire une contrainte ultime σu supportablepar le materiau (deux coefficients materiau, σu et b en plus de σy) :

σ =σy +K (εp)m (2.18)

σ =σu + (σy − σu) exp(−b εp) (2.19)

Dans bien des cas, les utilisateurs ne prennent pas la peine de definir une formeexplicite de la loi de comportement, et decrivent la courbe de traction point par point.Cela revient implicitement a considerer un ecrouissage isotrope. Ce type d’ecrouissageest predominant pour les deformations importantes (au-dela de 10%). Cependant,l’ecrouissage cinematique continue de jouer un role important lors de decharges, memepour les grandes deformations, et c’est lui qui est preponderant pour les faiblesdeformations et les chargements cycliques. Il permet en particulier de simuler correctementl’effet Bauschinger, c’est-a-dire le fait que la contrainte d’elasticite en compression decroıtpar rapport a la contrainte initiale a la suite d’un preecrouissage en traction. Il estneanmoins moins souvent utilise que l’ecrouissage isotrope, car son traitement numeriqueest plus delicat.

εp

σ

R+σy

R+σyσy

a. Isotrope

Xσy

σyσy

εp

σ

b. Cinematique

Figure 2.3 – Illustration des deux principaux types d’ecrouissage

2.4 Viscoelasticite uniaxiale

2.4.1 Un exemple de modele rheologique

Le modele de Maxwell regroupe un amortisseur et un ressort en serie (figure 2.4a),celui de Voigt un amortisseur et un ressort en parallele (figure 2.4b). Leurs equationsrespectives sont :

−Maxwell : ε = σ/E0 + σ/η (2.20)

−Voigt : σ = Hε+ ηε, ou encore : ε = (σ −H ε)/η (2.21)

La particularite du modele de Voigt est de ne pas presenter d’elasticite instantanee.Ceci entraıne que sa fonction de relaxation n’est pas continue et derivable par morceaux,avec un saut fini a l’origine : l’application d’un saut de deformation en t = 0 produitune contrainte infinie. Ce modele n’est donc pas utilisable en relaxation, sauf si la mise


a. Maxwell

(η) (E0)

b. Voigt

(η)

(H)

t

ε

σ0/H

σ0/E0

Voigt

Maxwell

c. Fluage

Maxwell

E0ε0

t

σ

d. Relaxation

Figure 2.4 – Fonctionnement des modeles de Maxwell et Voigt

en charge est progressive, et sera pour cette raison associe a un ressort en serie poureffectuer des calculs de structure (modele de Kelvin–Voigt du paragraphe suivant). Sousl’effet d’une contrainte σ0 constante en fonction du temps, la deformation tend vers lavaleur asymptotique σ0/H, le fluage est donc limite (figure 2.4c). Par ailleurs, si, apres unemise en charge lente, la deformation est fixee a une valeur ε0, la contrainte asymptotiquesera H ε0. Il n’y a donc pas dans ce dernier cas disparition complete de la contrainte.Au contraire, dans le cas du modele de Maxwell, la vitesse de fluage est constante(figure 2.4c), et la disparition de contrainte au cours d’une experience de relaxation esttotale (figure 2.4d).

Dans le cas de modeles et de chargement aussi simples, la reponse est obtenueinstantanement par integration directe des equations differentielles. Les formules obtenuessont respectivement, pour le modele de Maxwell :

−fluage sous une contrainte σ0 : ε = σ0/E0 + σ0 t / η (2.22)

−relaxation a la deformation ε0 : σ = E0ε0 exp[−t/τ ] (2.23)

et pour le modele de Voigt :

−fluage sous une contrainte σ0 : ε = (σ0 /H)(1− exp[−t/τ ′]) (2.24)

Les constantes τ = η/E0 et τ ′ = η/H sont homogenes a un temps, τ designant le tempsde relaxation du modele de Maxwell.

2.4.2 Etude d’un modele compose

Le modele de Kelvin–Voigt (figure 2.5a) presente respectivement les reponses suivantes,pour t > 0, en fluage sous une contrainte σ0, en posant τf = η/H, et en relaxation pour

2.5. VISCOPLASTICITE UNIAXIALE 33

a. Kelvin–Voigt

(E0)

(H)

(η)

b. Zener

(η)(E2)

(E1)

Figure 2.5 – Exemple de modeles composes

une deformation ε0, en posant τr = η/(H + E0) :

ε(t) = C(t)σ0 =

(1

E0

+1

H(1− exp[−t/τf ])

)σ0 (2.25)

σ(t) = E(t) ε0 =

(H

H + E0

+E0

H + E0

exp[−t/τr])E0ε0 (2.26)

Le temps caracteristique en relaxation, τr, est plus court que le temps correspondant enfluage, τf . Le materiau evolue donc plus vite vers son etat asymptotique en relaxationqu’en fluage.

Le modele de Zener (figure 2.5b) peut se ramener au modele de Kelvin–Voigt, a l’aidedu double changement de variable 1/E1 = 1/E0 +1/H, et E2 = E0 +H, ce qui prouve queles deux modeles sont en fait identiques. La meme observation peut etre faite en fluage.Ce modele correspond au comportement du beton frais. Les modeles indiques peuventetre encore ameliores :

– le modele de Kelvin–Voigt generalise est obtenu en ajoutant en serie d’autres modulesamortisseur-ressort (H, η) dans le cas du premier modele ; ce modele represente engeneral correctement le comportement des polymeres fortement reticules ;

– le modele de Maxwell generalise est obtenu en ajoutant en parallele d’autres modulesamortisseur-ressort (E2, η) au second modele ; ce modele represente qualitativementle comportement des polymeres thermoplastiques.

2.5 Viscoplasticite uniaxiale

2.5.1 Un exemple de modele rheologique

La figure 2.6a indique comment, en rajoutant un simple amortisseur, il est possiblede passer tres simplement d’un modele ayant un comportement plastique independant dutemps a un modele viscoplastique : le modele obtenu est le modele de Bingham generalise.On retrouverait l’original de ce modele en enlevant le ressort en serie (E → ∞, pasd’elasticite instantanee, on obtient alors un modele rigide viscoplastique), et en supprimantle ressort en parallele, (H = 0, pas d’ecrouissage). La deformation elastique se lit auxbornes du ressort de caracteristique E, la deformation viscoplastique, que l’on nommeraεvp, aux bornes de l’assemblage en parallele. La determination des equations de ce modeles’effectue en considerant les equations de comportement individuelles de chacun deselements :

X = Hεvp σv = η εvp σp 6 σy (2.27)


a. Schema du modele

(E)

(H)

(η)

(σy)εvp

σ

εσy

b. Comportement en traction

Figure 2.6 – Modele de Bingham generalise

ou X, σv et σp sont respectivement les contraintes dans le ressort de caracteristique H,dans l’amortisseur et dans le patin, et :

σ = X + σv + σp (2.28)

Il y a donc comme pour le modele plastique un domaine d’elasticite, dont la frontiere estatteinte lorsque |σp| = σy. On distingue alors trois regimes de fonctionnement, selon quela vitesse de deformation viscoplastique est nulle, positive ou negative :

(a) εvp = 0 |σp|= |σ −Hεvp| 6σy (2.29)

(b) εvp> 0 σp =σ −Hεvp − η εvp =σy (2.30)

(c) εvp< 0 σp =σ −Hεvp − η εvp = − σy (2.31)

Le cas (a) correspond a l’interieur du domaine d’elasticite (|σp| < σy ) ou a un etatde decharge elastique (|σp| = σy et |σp| ≤ 0), les deux autres cas a de l’ecoulement(|σp| = σy et |σp| = 0 ). En posant < x >= max(x, 0), les trois cas peuvent se resumerpar une seule expression :

η εvp = 〈|σ −X| − σy〉 signe(σ −X) (2.32)

ou encore :

εvp =< f >

ηsigne(σ −X) avec f(σ,X) = |σ −X| − σy (2.33)

La nature du modele a maintenant completement change, puisque le point representatifde l’etat de contrainte courant peut se trouver dans la zone f > 0, et que la vitessed’ecoulement est maintenant regie par le temps : elle peut etre non nulle sans qu’il y aitd’increment de contrainte ou de deformation. Ceci explique qu’en figure 2.6b la courbede traction ne soit plus unique (plus la vitesse est grande, plus la contrainte visqueuse σvsera elevee, et plus la courbe de traction sera haute), et que, lors d’une decharge, le pointde fonctionnement ne penetre pas immediatement dans le domaine d’elasticite (on peutdonc avoir un ecoulement positif a contrainte decroissante). Par ailleurs, il est possible desimuler des experiences de fluage ou de relaxation.

En fluage (figure 2.7), en supposant qu’on applique un echelon de contrainte (de 0 aσo > σy) a partir d’un etat de reference ou toutes les deformations sont nulles, le modele

2.5. VISCOPLASTICITE UNIAXIALE 35

prevoit que la deformation viscoplastique est une exponentielle en fonction du temps t,avec un temps caracteristique τf = η/H (figure 2.7a) :

εvp =σo − σyH

(1− exp

(− t

τf

))(2.34)

La figure 2.7b montre, dans le plan contrainte–deformation viscoplastique, les evolutionsrespectives de la contrainte interne X et du seuil X + σy. Lorsque ce dernier rejoint lacontrainte appliquee σo, la vitesse de deformation viscoplastique s’annule.

t

σ0 −σy

H

εvp

a.

X

σy

σy

σ0

σ

εvp

b.

Figure 2.7 – Fluage avec le modele de Bingham

En relaxation, la reponse a un echelon de deformation (de 0 a εo tel que Eεo > σy)fait cette fois intervenir un temps caracteristique de relaxation τr = η/(E +H) :

σ = σyE

E +H

(1− exp

(− t

τr

))+

EεoE +H

(H + E exp

(− t

τr

))(2.35)

La figure 2.8a montre le trajet parcouru par le point representatif de l’etat de contrainteau cours de la relaxation (pente −E puisque εvp + σ/E = 0). La figure 2.8b representequant a elle le trajet caracteristique au cours d’une experience d’effacement , ou encorede recouvrance. En fonction du niveau de chargement initial, on peut rencontrer apresdecharge une vitesse d’ecoulement negative ou nulle, mais en aucun cas on ne pourraramener la deformation viscoplastique a zero, sauf dans le cas particulier ou la contrainteσy est nulle. Il n’y a alors plus de seuil initial, et on concoit bien qu’il n’est plus necessairedans ce cas de definir une decomposition de la deformation : on retrouve d’ailleurs lemodele de Kelvin–Voigt, donc une approche viscoelastique.

2.5.2 Quelques modeles classiques en viscoplasticite

Dans l’exemple precedent, la vitesse de deformation viscoplastique est proportionnellea une certaine contrainte efficace, difference entre la contrainte appliquee et le seuil,qui represente la distance entre le point de fonctionnement actuel et la frontiere dudomaine d’elasticite, qui n’est rien d’autre que la valeur de la fonction f au point defonctionnement courant. La relation lineaire peut etre remplacee par une forme plusgenerale, en introduisant une fonction de viscosite, φ, qui fournit alors en traction simple :

εvp = φ(f) (2.36)


−E

H

εvp

σ

σy

a.

O

A

B

CD

εvp

σ

σy

OA : transitoireAB : relaxationBC : dechargeCD : effacement

incomplet

b.Figure 2.8 – Fonctionnement du modele de Bingham a deformation imposee

Pour un modele qui comporterait a la fois de l’ecrouissage isotrope et cinematique, cetterelation s’inverse sous la forme suivante, toujours en traction simple :

σ = σy +X +R + φ−1(εvp) = σy +X +R + σv (2.37)

La courbe de traction est determinee par l’evolution du seuil, exactement comme dans lecas d’un modele de plasticite (au travers de X et R), mais egalement par la fonction deviscosite, qui pilote la valeur de la contrainte visqueuse σv . Pour des raisons physiquesevidentes, on considere que φ(0) = 0, et on suppose egalement que φ est une fonctionmonotone croissante. Dans le cas ou σv s’annule, le modele reproduit un comportementplastique independant du temps. Par ailleurs, plus la vitesse de sollicitation augmente, etplus la contrainte atteinte pour une deformation donnee sera elevee.

Dans le cadre d’un modele viscoplastique, il y a donc deux possibilites pour introduirede l’ecrouissage. On conserve les possibilites d’action sur des variables de type X et R, eton peut egalement jouer sur la forme de la contrainte visqueuse. On appelle classiquementmodeles a ecrouissage additif ceux qui jouent sur les variables de type plasticite et modelesa ecrouissage multiplicatif ceux qui jouent sur la contrainte visqueuse, une approche ou lesdeux mecanismes sont presents etant bien entendu egalement envisageable. Par ailleurs,contrairement au cas de la plasticite, on peut ici considerer un modele dans lequel ledomaine d’elasticite se reduit a l’origine (σ = 0), et qui ne possede pas d’ecrouissage.Ainsi le modele le plus courant est–il le modele de Norton (avec deux coefficients materiauK et n) :

εvp =

( |σ|K

)nsigne(σ) (2.38)

On peut le generaliser pour en faire un modele a seuil sans ecrouissage, ou reintroduireX et R aux cotes de σy, ce qui conduit a un modele a ecrouissage additif.

εvp =

⟨ |σ| − σyK

⟩nsigne(σ) (2.39)

εvp =

⟨ |σ −X| −R− σyK

⟩nsigne(σ −X) (2.40)

Il y a egalement une grande liberte pour choisir d’autres formes que la fonction puissance,ainsi un sinus hyperbolique dans le modele de Sellars et Teggart (loi sans ecrouissage,

2.6. INFLUENCE DE LA TEMPERATURE 37

coefficients A et K) :

εvp = A sinh

( |σ|K

)signe(σ) (2.41)

Pour obtenir des lois a ecrouissage multiplicatif, il faut admettre que la fonction φ nedepend pas uniquement de f , ainsi la loi de Lemaitre (coefficients materiau K, m et npositifs) :

εvp =

( |σ|K

)np−n/m signe(σ) avec p = |εvp| (2.42)

2.6 Influence de la temperature

Tous les coefficients caracteristiques qui ont ete definis ci–dessus sont susceptibles dedependre de la temperature. Les dependances se definissent en general par des tables, apresexamen du comportement isotherme. Dans certains cas, lorsque les mecanismes physiquessont bien definis, il est possible de preciser explicitement l’influence de la temperature. Laloi la plus couramment utilisee pour cela est la loi d’Arrhenius. Elle est valide en fluage.Elle introduit une energie d’activation thermique Q, et R, constante des gaz parfaits (lerapport Q/R est homogene a une temperature), et indique que plus la temperature estelevee pour une charge donnee, plus la vitesse de deformation est grande :

εvp = εo exp(−Q/RT ) (2.43)

Ceci permet de construire des equivalences temps–temperature, et, en menant enlaboratoire des essais a temperature plus elevee que la temperature de fonctionnementvisee dans les applications, d’obtenir en un temps limite des informations sur lecomportement a long terme. Cette approche doit bien entendu etre manipulee avecprecaution dans le cas de materiaux vieillissants, et elle ne peut etre etendue a de tropgrandes plages de temperature.


Resume

Les equations tres generales qui ont ete ecrites pour le moment mettent en evidencela nature des modeles de viscoelasticite, de plasticite et de viscoplasticite. Ces deuxderniers ont en commun l’existence d’un domaine d’elasticite (eventuellement reduita l’origine pour le modele viscoplastique) et de variables d’ecrouissage. Par contre,il faut aussi retenir que l’ecoulement plastique est instantane, alors que l’ecoulementviscoplastique est retarde :

dεp = g(σ, . . . )dσ dεvp = g(σ, . . . )dt (2.44)

Ceci aura des consequences importantes pour l’ecriture du comportement elasto-(visco)-plastique tangent, qui est la caracteristique utilisee par les codes de calculde structures.On ne considere dans ce cours que des formes tres naıves d’ecrouissage, dans lamesure ou l’objectif est avant tout de mettre en place les structures des theories. Ladescription de formes plus realistes necessiterait bien plus de temps. On retiendrapour memoire les effets des chargements cycliques, des trajets de chargementmultiaxiaux non proportionnels, des changements de phase, le vieillissement, lesinteractions avec l’environnement, etc. . . La plupart de ces effets sont maintenantbien documentes, et font l’objet de modelisations specifiques.En l’absence de deformations parametriques, les principales equations sont doncles suivantes (en adoptant a partir de maintenant la meme notation, εp, pour ladeformation viscoplastique comme pour la deformation plastique) :

– Viscoelasticite : le modele est une combinaison des deformations, des contraintes,et de leurs vitesses :

−Maxwell : ε = σ/E0 + σ/η

−Voigt : σ = Hε+ ηε, ou encore : ε = (σ −H ε)/η

– Plasticite et viscoplasticite :ε = εe + εp

– Plasticite :

− domaine d’elasticite si : f(σ,Ai)< 0 (ε = σ/E)

− decharge elastique si : f(σ,Ai)= 0 et f(σ,Ai)< 0 (ε = σ/E)

− ecoulement plastique si : f(σ,Ai)= 0 et f(σ,Ai)= 0 (ε = σ/E + εp)

En traction a contrainte imposee :

εp =σ

H

En traction a deformation imposee :

εp =ε

E +H

– Viscoplasticite :

− domaine d’elasticite si : f(σ,Ai)6 0 (ε = σ/E)

− ecoulement plastique si : f(σ,Ai)> 0 (ε = σ/E + εp)

En traction a contrainte et a deformation imposee, une forme possible est :

εp =

(σ − σyK

)n

Chapitre 3

Hyperelasticite

3.1 L’elasticite caoutchoutique, une origine entro-

pique

Les metaux, les polymeres rigides et les elastomeres presentent tous une deformationelastique pur dans un domaine de deformation propre a chaque materiau. Pourtant cesmateriaux sont tres differents, leurs differences portent non seulement sur leurs valeursde modules de Young et de leurs limites elastiques ( 100 GPa et 1,2% pour les metaux,quelques GPa et de 3% a 5% pour les polymeres et quelques MPa et de 500% a 1000%pour les elastomeres) mais surtout sur la nature meme de leurs caracteres elastiques.

Soit une eprouvette soumise a une charge ~f uniaxiale qui produit une extension, un etatde contrainte σ et un etat de de deformation ε (pour simplifier, on ne fait pas apparaitre iciles difficultes theoriques liees aux grandes deformations. Etudions la variation de l’energieinterne. Selon le premier principe de la thermodynamique, elle est egale a la variation dechaleur au cours de la deformation plus le travail fourni par la force de rappel :

dU = dQ+ dW (3.1)

Pour un materiau elastique, on peut donc considerer du point de vue thermodynamiqueque les phenomenes sont reversibles, ainsi la variation entropique est d’apres le secondprincipe de la thermodynamique :

dQ = TdS (3.2)

On deduit donc des equations (3.1) et (3.2), la relation suivante :

dU = TdS + dW (3.3)

Dans des conditions isothermes, il vient donc :

(δW )T = (δU)T − T (δS)T (3.4)

D’autre part, l’energie libre d’un systeme est donnee par F = U − TS, par consequentla variation d’energie libre est dF = dU − TdS − SdT . De plus si le processus s’effectuedans des conditions isothermes, dT = 0, il vient :

(δF )T = (δU)T − T (δS)T (3.5)

39

40 CHAPITRE 3. HYPERELASTICITE

En combinant (3.4) et (3.5), on obtient :

(δF )T = (δW )T (3.6)

On en deduit que pour un phenomene reversible et isotherme, la variation d’energie libreest egale au travail fourni. Reprenons notre cas d’extension uniaxiale dε, le travail fourniest egal a :

dW = σ : dε (3.7)

Or on obtient pour un processus isotherme : (∂F )T = (∂W )T = (σ : dε)T Ainsi :

σ =

(∂F

∂ε

)

T

(3.8)

En exprimant 3.5 par rapport a dε, on obtient :

σ =

(∂F

∂ε

)

T

=

(∂U

∂ε

)

T

− T(∂S

∂ε

)

T

(3.9)

Par consequent la thermodynamique classique permet donc de dire que la force de rappelassocie a la deformation elastique reversible releve de deux contributions, l’une associee ala variation d’energie interne, l’autre a la variation entropique.

Le probleme consiste donc a evaluer l’importance des deux contributions

(∂U

∂ε

)

T

et(∂S

∂ε

)

T

en fonction de σ.

En premiere approximation, on peut supposer que si l’on a une variation de temperatureT , le volume reste constant. Donc de F = U − TS, on derive et on obtient :

(∂F )V = (∂U)V − T (∂S)V − S (∂T )V (3.10)

De plus, de l’expression (3.9) , on extrait :

σ : (∂ε)V = (∂U)V − T (∂S)V (3.11)

Par consequent en combinant (3.10) et (3.11), on obtient :

(∂F )V = σ : (∂ε)V − S (∂T )V (3.12)

Comme F est une fonction d’etat, la differentielle est totale et exacte et il vient :

−(∂S

∂ε

)

T

=

(∂σ

∂T

)

ε

(3.13)

Cette relation simple, est connue sous le nom de la relation de Maxwell en traction. Ellemontre que si le deuxieme terme est positif, une augmentation de la deformation produitune diminution de l’entropie. Cette diminution du desordre moleculaire est consecutivea l’alignement des chaınes. De plus si on soumet l’elastomere a une charge constante,d’apres la relation (3.13), une augmentation de temperature produit une diminution de la

3.1. L’ELASTICITE CAOUTCHOUTIQUE, UNE ORIGINE ENTROPIQUE 41

deformation de l’echantillon. Cette relation explique donc l’experience de Cough. De plusen substituant l’equation (3.13) dans l’equation (3.9), on obtient :

σ =

(∂U

∂ε

)

T

+ T

(∂σ

∂T

)

ε

(3.14)

Donc si l’on mesure, pour un allongement maintenu constant, la contrainte σ en fonctionde la temperature, on doit en principe obtenir une droite passant par zero et dont la pente

n’est que le terme :

(∂σ

∂T

)

ε

. On peut donc experimentalement determiner la variation

d’entropie grace a la relation (3.13).Les experiences de Meyer et Ferry (1935) ont mis en evidence la predominance des effetsentropiques dans le caoutchouc naturel vulcanise avec 8% de souffre grace a une experiencede traction simple sur une eprouvette. Ils ont observe figure 3.1 que la force de rappeldans un echantillon maintenu a deformation constante est bien une fonction lineaire dela temperature avec un changement de pente a la temperature de transition vitreuse ducaoutchouc naturel Tg = 213oK. On en conclut que pour un caoutchouc, la variation

Figure 3.1 – Effet entropique de l’elasticite caoutchoutique

d’energie interne lors de l’allongement est nulle ou proche de zero pour T > Tg.

σ = T

(∂σ

∂T

)

ε

= −T(∂S

∂ε

)

T

(3.15)

Avant la transition vitreuse, l’energie libre du caoutchouc est dominee par les effetsd’energie interne du fait de la forte cohesion du materiau. Les points de reticulationimmobiles empechent les chaınes de glisser les unes par rapport aux autres et des’orienter selon l’axe de traction. Au-dela de la temperature de transition vitreuse leseffets entropiques apparaissent du fait de la mobilite des chaınes. La temperature eleveepermet aux points de reticulation de se deplacer. Ainsi lors de l’extension des chaınes, unordre apparaıt qui diminue l’entropie du materiau. D’ou σ croıt avec la temperature : lemodule des elastomeres augmente donc avec la temperature.La predominance des effets entropiques a donc ete demontre et explique la grande


difference du comportement elastique des caoutchoucs et des metaux dont l’energie libreest dominee par les effets d’energie interne.

3.2 Formalisme thermodynamique

Pour determiner l’evolution d’un systeme deformable, il est necessaire d’etablir unerelation entre contrainte et deformation : la loi de comportement. Elle doit en outre obeiraux criteres suivants :

– le principe d’objectivite ou d’indifference materielle : la loi de comportement doitetre invariante par tout changement de referentiel,

– la compatibilite avec les symetries materielles : dans le cas d’un materiau isotrope,la loi de comportement doit etre invariante dans toute rotation de la configurationde reference.

Sous l’hypothese de l’etat local, la loi de comportement est construite de manierephenomenologique en partant de l’inegalite de Clausius-Duhem que l’on obtient a partirdes premier et second principes de la thermodynamique. En introduisant l’energie librespecifique de HELMHOLTZ (ϕ, ϕ0) (notation usuelle en physique F voir section ( 3.1),les anglo-saxons preferent la notee A), l’inegalite de Clausius-Duhem traduit la positivitede la dissipation (Φ,Φ0). La mise en equation de la dissipation peut s’ecrire de faAonequivalente sous differentes formes, selon la configuration de reference. En effet selonle formalisme des grandes deformations, domaine de deformation des elastomeres, lesconfigurations initiales et actuelles ne sont pas superposables, elles font donc appel a unformalisme different.

3.2.1 Formalisme des grandes deformations

Le mouvement d’un solide est decrit par la fonction x = x (X, t) donnant la positionx a l’instant t de la particule qui occupait la position X avant deformation. A l’instantt donne, cette configuration decrit la deformation du solide entre sa configuration dereference Co et sa configuration deformee C(t). Les coordonnees relatives au repere dela configuration de reference sont dites lagrangiennes. Celles relatives au repere de laconfiguration deformee sont dites euleriennes.Le champ de deplacement u (X, t) est defini comme :

x (X, t) = X + u (X, t) (3.16)

La fonction x (X, t) definit le mouvement global du solide.

La difficulte en transformation finie est de definir des tenseurs de contraintes et dedeformations independants de l’observateur puis de construire une loi de comportement,relation reliant les deformations aux contraintes, egalement independante de l’observateur.Ce principe est appele objectivite ou indifference materielle. Pour le satisfaire,le plus simple est d’ecrire la loi de comportement comme une relation entre lestenseurs de contraintes et de deformations ecrits dans la configuration initiale. La loiest automatiquement objective. Sinon on doit verifier que la loi de comportement estinvariante par changement de referentiel d’observation.

3.2. FORMALISME THERMODYNAMIQUE 43

Pour decrire les deformations locales, on introduit le tenseur gradient de deformationF∼ tel que :

dx = F∼ dX avec Fij =∂xi∂Xj

(3.17)

Ce tenseur gradient de deformation F∼ , egalement appele application lineaire tangentea la fonction x (X, t), permet de passer de la configuration initiale C0 a la configurationdeformee C(t) selon (3.17). Il permet aussi d’exprimer la loi de transformation de l’elementde volume dvo, c’est a dire la dilatation volumique :

dv = J dvo avec J = det (F∼ ) (3.18)

On introduit le champs de vitesse v, derivee par rapport au temps du vecteur positionx (X, t) et on definit alors le gradient du champ eulerien des vitesses L∼ tel que :

L∼ = F∼ F∼−1

ou F∼ = Fij =∂vi∂Xj

(3.19)

La decomposition de L∼ en ses parties symetrique et antisymetrique permet de definir letenseur taux de rotation et surtout le taux de deformation D∼ , que l’on utilisera par lasuite :

D∼ =1

2

(L∼ +L∼

T)

ou Dij =1

2

(∂vi∂xj

+∂vj∂xi

)(3.20)

Pour definir la deformation du solide, il faut eliminer la rotation.D’apres le theoreme de decomposition polaire, le tenseur F

∼etant inversible, il peut

se decomposer de maniere unique a l’aide des tenseurs de dilatation symetriques definispositifs U

∼et V

∼, et d’un tenseur de rotation R

∼sous la forme :

F∼ = V∼ .R∼ = R∼ .U∼ (3.21)

Le tenseur de rotation R∼ est orthogonal et verifie donc les equations suivantes :

R∼ .R∼T = 1∼ et det R∼ = 1. (3.22)

Les tenseurs U∼

et V∼

different par rotations pres,

V∼ = R∼ .U∼ .R∼T (3.23)

et

U∼ = R∼TV∼ .R∼ (3.24)

Cette methode permet de decomposer la transformation avec une etape intermediaire,etape pendant laquelle le materiau a uniquement subi une rotation (R

∼) ou uniquement

une deformation pure (U∼

).


On definit ensuite le tenseur de dilatation de Cauchy-Green gauche de lamaniere suivante :

B∼ = F∼ .F∼T = V∼

2; (3.25)

puis le tenseur de dilatation de Cauchy-Green droit :

C∼ = F∼TF∼ = U∼

2. (3.26)

Il est important de noter que contrairement a F∼ qui n’est pas toujours symetrique, lestenseurs B∼ et C∼ sont symetriques par definition.

On definit alors les deux tenseurs des deformations de Green-Lagrange E∼ dansC0 et d’Euler-Almansi A∼ dans C(t) par :

E∼ =1

2(C∼ − I∼) =

1

2

(F∼TF∼ − I∼

)=

1

2(U∼

2 − 1∼).

A∼ =1

2

(I∼ −B∼ −1

)=

1

2

(I∼ − F∼ −T F∼ −1

)=

1

2(1∼ − V∼ 2)

(3.27)

En notation indicielle, Eij =1

2(ui,j + uj,i + uk,iuk,j). E∼ est lagrangien, invariant par

changement de referentiel tandis que A∼ , eulerien, est objectif.

3.2.2 Mesure des contraintes

Que ce soit en petites ou en grandes deformations, le vecteur contrainte est defini dans laconfiguration deformee comme caracterisant les efforts interieurs de cohesion exerces surune partie solide a travers un element de surface ds de normale exterieure n. On definitainsi le tenseur eulerien des contraintes, le tenseur symetrique des contraintes deCauchy σ∼ , sachant qu’il existe une relation lineaire entre le vecteur contrainte t et levecteur normale n :

df = σ∼ n ds avec t = df/ds : (3.28)

On transporte le tenseur σ∼ dans la configuration de reference. Il faut donc caracteriserl’element de surface par rapport a la configuration de reference C0, soit N la normaleexterieure et dso l’element de surface. On definit alors le premier tenseur de Piola-Kirchhoff appele aussi tenseur de Boussinesq S∼ , qui n’est ni eurelien ni lagrangientel que :

df = S∼ N dso (3.29)

Par consequent pour definir un tenseur lagrangien et symetrique, il faut transporter dfdans Co. Soit Π∼ ce tenseur appele second tenseur de Piola-Kirchhoff (PK2) ou tenseur dePiola-Lagrange :

dfo = F∼−1 df = Π∼ N dso (3.30)

La relation entre ces trois tenseurs est donnee par :

J σ∼ = S∼ F∼T = F∼ Π∼ F∼

T (3.31)

3.3. COMPORTEMENT HYPERELASTIQUE 45

Cependant, le tenseur Π∼ n’a pas de sens physique, sa construction reside dans le faitque c’est la variable duale du tenseur de Green Lagrange. Seuls les tenseurs σ∼ et S∼peuvent caracteriser les efforts appliques et intervenir dans les conditions aux limites pourles formulations de l’equilibre et dans le travail des efforts interieurs. Enfin, le tenseur deBoussinesq en traction uniaxiale dans la direction e1 correspond a la contraintedite ingenieur c’est a dire : S1 = F/S0.

Le postulat de l’etat local permet de definir en chaque point materiel M (x, t) unetemperature, une densite d’energie e et une densite d’entropie s. La combinaison des deuxpremiers principes de la thermodynamique nous permet d’etablir l’inegalite de Clausius-Duhem.Description eulerienne

Φ = σ∼ : D∼ − ρ(ϕ+ sT

)

︸︷︷︸din

−q

T.∇xT

︸︷︷︸dth

≥ 0 (3.32)

Description lagrangienne

Φ0 = Π∼ : E∼ − ρ0

(ϕ+ sT

)

︸︷︷︸din

−Q

T.∇XT

︸︷︷︸dth

≥ 0 (3.33)

Description mixte

Φ0 = S∼ : F∼ − ρ0

(ϕ+ sT

)

︸︷︷︸din

−Q

T.∇XT

︸︷︷︸dth

≥ 0 (3.34)

ou q est le vecteur flux de chaleur et ϕ = e− Ts est l’energie libre specifique. On postulesouvent un decouplage de la dissipation thermique dth et de la dissipation intrinseque din,en exigeant que :

dth ≥ 0 din ≥ 0 (3.35)

De plus l’energie de deformation s’ecrit respectivement dans la description eulerienne,lagrangienne et mixte tel que :

σ∼ : D∼ = Π∼ : E∼ = S∼ : F∼ (3.36)

3.3 Comportement Hyperelastique

Un comportement est dit hyperelastique s’il verifie les criteres suivants :– l’existence d’une configuration de reference libre de contrainte,– le materiau ne dissipe pas d’energie,– le comportement du materiau est decrit par une densite d’energie libre specifique ,

fonction des deformations et de la temperature.


Ainsi, le comportement mecanique d’un materiau hyperelastique se deduit des inegalitesthermodynamiques et s’exprime tel que :En eulerien

σ∼

= 2ρB∼.∂ϕ

∂B∼

(3.37)

En lagrangien

S∼

= ρ0∂ϕ

∂E∼

(3.38)

En mixte

Π∼

= 2ρ∂ϕ

∂F∼

(3.39)

——————————————————————————————————————–DEMONSTRATION :

D’apres le second et le premier principe de la thermodynamique, on obtient l’inegalitede Clausius-Duhem en configuration lagrangienne :

Φ0 = S∼ : E∼ − ρ0

(ϕ+ sT

)−Q

T.∇XT ≥ 0 (3.40)

Les theoremes de reductions appliques aux corps elastiques montrent que le jeu devariables privilegiees pour la representation des solides elastiques anisotropes est :

ϕ = ϕ(E∼ , T,G), (3.41)

ouE∼ est la deformation de Green-Lagrange reliee de maniere univoque au tenseur droitde Cauchy-GreenC∼ , T la temperature, G = ∇XT le gradient de temperature lagrangien etΠ∼ le second tenseur de Piola-Kirchhoff. Ce qui permet d’ecrire, par derivation en chaıne :

ϕ =∂ϕ

∂E∼: E∼ +

∂ϕ

∂TT +

∂ϕ

∂G· G (3.42)

En subtituant (3.42) dans (3.40) et en ordonnant les termes, la dissipation devient :

Φ0 = (Π∼ − ρ0∂ϕ

∂E∼) : E∼ − ρ0(

∂ϕ

∂T+ s0)T − ρ0

∂ϕ

∂G· G−Q · G

T> 0 (3.43)

La dissipation Φ0 doit etre positive et ce pour tous processus thermodynamique etdonc pour toute valeur de E∼ , T , G. Φ0 etant clairement lineaire en ces increments, les

termes devant E∼ , T , G doivent donc s’annuler, et on obtient alors :

Π∼ = ρ0∂ϕ

∂E∼(3.44a)

s0 = −∂ϕ∂T

(3.44b)

∂ϕ

∂G= 0 (3.44c)


Ces relations constituent les lois de comportement dites ”hyperelastiques” pour lescontraintes et l’entropie. Elles demontrent que l’energie libre est un potentiel d’elastictedont decoulent les relations contraintes-deformations et entropie-temperature.——————————————————————————————————————–

3.3.1 Hyperelasticite isotrope

D’apres (3.44), on a :

ρ0ϕ = W (E∼ ) = W (C∼ ) (3.45)

On sait qu’un corps hyperelastique est isotrope si son energie libre est une fonctionisotrope de ses arguments. En particulier, d’apres le theoreme de representation pour lesfonctions scalaires d’une variable tensorielle, elle est fonction des invariants principaux deC∼ (on a prefere ici la variable C∼ a E∼ ), donc :

Π∼ = 2∂W

∂C∼= 2

(∂W

∂I1

∂I1

∂C∼+∂W

∂I2

∂I2

∂C∼+∂W

∂I3

∂I3

∂C∼

)(3.46)

Les invariants de C∼ s’expriment par :

I1 = trC∼ (3.47a)

I2 =1

2

[(trC∼ )2 − trC∼ 2

](3.47b)

I3 = det(C∼ ) = J2 (3.47c)

Les invariants de C∼ sont obtenus a partir de l’cequation de Cayley-Hamilton :

C∼3 − I1C∼

2 + I2/,C∼ − I3 1∼ = 0∼ (3.48)

La relation reliant les contraintes aux deformations est alors obtenue en derivant cesinvariants par rapport a C∼ . On a :

∂I1

∂C∼= 1∼ (3.49a)

∂I2

∂C∼= I11∼ −C∼ (3.49b)

∂I3

∂C∼= I3C∼

−1 (3.49c)

La derivee de I3 par rapport a C∼ est aisement obtenue en utilisant l’equation de Cayley-Hamilton (voir eq. (3.48)).De plus substituant les equations (3.49) dans la relation (3.46), on obtient :

Π∼ = 2∂W

∂C∼= 2

3∑

k=1

∂W

∂Ik

∂Ik∂C∼

= 2

[(∂W

∂I1

+ I1∂W

∂I2

)1∼ −

∂W

∂I2

C∼ + I3∂W

∂I3

C∼−1

] (3.50)


En configuration eulerienne, la relation contrainte-deformation est obtenue en utilisantla relation de passage :

σ∼ =1

JF∼ Π∼F∼

T

=2

J

[I3∂W

∂I3

1∼ +

(∂W

∂I1

+ I1∂W

∂I2

)B∼ −

∂W

∂I2

B∼2

] (3.51)

La loi de comportement d’un materiau isotrope hyperelastique s’ecrit, en posantWi =∂W

∂Iiet en tenant compte de l’equation de Cayley-Hamilton (voir eq.3.48) :

En eulerien

σ∼ =2

J

((W2 I2 +W3 I3)1

∼+W1B∼ −W2 I3B∼

−1)

(3.52)

En lagrangien

Π∼

=((W1 +W2 I1)1

∼−W2C∼ −W3 I3C∼

−1)

(3.53)

En mixte

S∼ = 2((W1 +W2I1)F∼ +W1 F∼ .C∼ −W2I3 F∼

−T ) (3.54)

3.3.2 Representation en elongations principales

Rappels :Soit un tenseur M

∼symetrique, il existe une base orthogonale de vecteur propres e

∼Iet ses

valeurs propres associees λ2i telle que :

M∼ =III∑

i=I

λ2ie∼i ⊗ e∼i. (3.55)

Ainsi, les tenseurs U∼

et V∼

etant relatifs aux dilatations pures, leurs valeurs propresdonnent directement acces aux valeurs des dilatations principales dans chacune desdirections. De plus, par construction les valeurs propres de U

∼et V

∼sont identiques et

note λi.

U∼ = λ1m(1) ⊗m(1) + λ2m

(2) ⊗m(2) + λ3m(3) ⊗m(3) (3.56)

V∼ = λ1 n(1) ⊗ n(1) + λ2 n

(2) ⊗ n(2) + λ3 n(3) ⊗ n(3) (3.57)

avec λi et m(i) les valeurs propres et vecteurs propres de U∼ et λi et n(i) les valeurs propreset vecteurs propres de V∼ . La decomposition spectrale du tenseur de Cauchy-Green droitC∼ et du tenseur de Cauchy-Green gauche B∼ :

C∼ = U∼2 = λ2

1m(1) ⊗m(1) + λ2

2m(2) ⊗m(2) + λ2

3m(3) ⊗m(3) (3.58)


B∼ = V∼2 = λ2

1 n(1) ⊗ n(1) + λ2

2 n(2) ⊗ n(2) + λ2

3 n(3) ⊗ n(3) (3.59)

Il vient alors que les valeurs propres des tenseurs de dilatation de Cauchy-Green B∼

et C∼

(ayant aussi par construction les memes valeurs propres) donnent directement acces aucarre des valeurs des dilatations principales dans chacune des directions.Finalement on obtient la decomposition spectrale du gradient de deformation F∼ :

F∼ = R∼ U∼ = V∼ R∼ = λ1 n(1) ⊗m(1) + λ2 n

(2) ⊗m(2) + λ3 n(3) ⊗m(3) (3.60)

avec n(i) = R∼m(i) car le gradient de deformation se decompose de maniere unique a l’aide

des tenseurs de dilatations symmetriques U∼ et V∼ .Enfin, on peut exprimer les invariants du tenseur M∼ (avec M∼ egale a C∼ ou B∼ )

(donnees independantes du referentiel choisi) : I1, I2 et I3 invariants de M∼ en fonctiondes valeurs propres λ2

i :

I1 = trace(M∼ ) = λ21 + λ2

2 + λ23

I2 = 12

[(trM∼ )2 − trM∼ 2

]= λ2

1 λ22 + λ2

1 λ23 + λ2

2 λ23

I3 = det(M∼ ) = λ21λ

22λ

23

(3.61)

L’energie de deformation hyperelastique isotrope peut etre ecrite en fonction deselongations principales λi = (

√(λ2

i ))

W (C∼ ) = W (λ1, λ2, λ3) (3.62)

l’increment de l’energie de deformation prend alors la forme suivante :

dW (C∼ ) = dW (λ1, λ2, λ3) =∂W

∂λ1

dλ1 +∂W

∂λ2

dλ2 +∂W

∂λ3

dλ3 (3.63)

Et l’increment tenseur de Cauchy-Green droit s’exprime d’apres l’expression (3.60) :

dC∼ =3∑

i=1

2λi ∂λim(i) ⊗m(i) + λ2

i dm(i) ⊗m(i) + λ2

i m(i) ⊗ dm(i) (3.64)

sachant que par definition m(1).m(i) = δ1i et m(i).dm(i) = 0. Par consequent l’incrementdes elongations principales s’expriment tels que :

dλi =1

λi(m(i) ⊗m(i)) : dC∼ (3.65)

En substituant ces resultats dans l’equation (3.63), on obtient :

dW (C∼ ) =∂W

∂C∼: dC∼ (3.66)

avec :∂W

∂C∼=

3∑

i=1

1

2λi

∂W

∂λi(m(i) ⊗m(i)) (3.67)


en utilisant cette derivee, l’expression du tenseur de Piola-Kirchhoff prend la forme :

Π∼ = 2∂W

∂C∼=

3∑

i=1

1

λi

∂W

∂λi(m(i) ⊗m(i)) (3.68)

Il est important de noter que Piola-Kirchhoff 2 est coaxial avec le tenseur de Cauchy-Greendroit C∼ dans le cas isotrope et donc avec U∼ car les directions principales coincident.Les contraintes principales de PK2 s’expriment alors telles que :

Πi =1

λi

∂W

∂λi(3.69)

Enfin en utilisant la decomposition spectrale du gradient de deformation F∼ , l’expressiondu tenseur des contraintes de Cauchy devient :

σ∼ =1

JF∼ Π∼F∼

T =1

λ1λ2λ3

3∑

i=1

λi∂W

∂λi(n(i) ⊗ n(i)) (3.70)

Il est egalement important de noter que le tenseur des contraintes de Cauchy est coaxialavec le tenseur de Cauchy-Green gauche B∼ dans le cas isotrope et donc avec V∼ parce queles directions principales coincident.Les contraintes principales de Cauchy s’expriment alors telles que :

σi =λi

λ1λ2λ3

∂W

∂λi(3.71)

3.3.3 Traitement de l’incompressibilite

Les elastomeres peuvent supporter des deformations sans exhiber de variationde volume. Il s’agit d’une propriete fondamentale permettant de considerer que lesdeformations se font a volume constant. Il s’agit de la propriete d’incompressibilite :

dv = constante⇔ J = det(F∼ ) = 1, (3.72)

qui est une condition necessaire et suffisante pour qu’une transformation soit isochore.Cette condition d’incompressibilite peut etre directement introduite dans l’expression del’energie de deformation en l’ecrivant sous la forme :

W = W (C∼ )− p(J − 1), (3.73)

ou W est definie pour J = det(F∼ ) = 1 et p est un multiplicateur de Lagrangeindetermine qui est generalement identifie a la pression hydrostatique. Ainsi, seulsinterviennent dans W les deux premiers invariants du tenseur des deformations (puisqueI3 = 1) et on a W (C∼ ) = W (I1, I2).

En derivant l’energie de deformation, W , par rapport a F∼ , on retrouve le premiertenseur de Piola-Kirchhoff, S∼ .

S∼ = −pF∼ −T +∂W (C∼ )

∂F∼(3.74)


Et en multipliant par F∼−1,

le second tenseur de Piola-Kirchhoff, Π∼ :

Π∼ = −pC∼ −1 + 2∂W (C∼ )

∂C∼

= 2

[(∂W

∂I1

+ I1∂W

∂I2

)1∼ −

∂W

∂I2

C∼

]− pC∼ −1

(3.75)

En formulation eulerienne, on a alors :

σ∼ = F∼ Π∼F∼T

= 2

[(∂W

∂I1

+ I1∂W

∂I2

)B∼ −

∂W

∂I2

B∼2

]− p1∼

(3.76)

3.3.4 Quelques formes de densite d’energie de deformation

D’apres les principes thermodynamiques decrits dans la section 3.1, la deformationprovient ainsi de deux origines (voir eq.(3.9)) :

– une contribution (1) due a la variation de l’energie interne correspondante auxphenomenes intramoleculaires ;

– une autre (2) provient de la variation de l’entropie traduisant les phenomenesintermoleculaires.

Dans le cas des elastomeres, c’est la deuxieme contribution qui est preponderante[Flory1943]. Lors d’une deformation, les chaınes voient leur conformation considerablementmodifiee. La force de rappel elastique est due a la diminution de l’entropie traduisantla diminution du nombre de conformations possibles. Ainsi, la densite d’energie dedeformation definie a partir de la variation d’entropie s’ecrit telle que :

ρ0ϕ = W (E∼ , T ) = −T∆S (3.77)

Il existe deux approches pour decrire ce type de comportement pour leselastomeres. La premiere approche est statistique basee sur la theorie macromoleculaire[Treolar1944],[Flory1953]. La deuxieme, utilisee ici, est phenomenologique traduisant lesresultats experimentaux macroscopiques.

Les lois constitutives hyperelastiques sont la plupart du temps ecritesen terme de densite d’energie de deformation W , comme nous l’avons montreprecedemment (section 3.2.1). En resume, la densite d’energie de deformation est unegrandeur scalaire objective et de ce fait est une energie independe de la rotation R∼ . Elleest donc souvent ecrite en fonction du tenseur de dilatation U∼ , du tenseur de dilatation deCauchy-Green droit C∼ , du tenseur de deformation de Green Lagrange E∼ , des invariantsde C : I1, I2 et I3 ou encore en fonction des dilatations principales λ1, λ2 et λ3 (toutesces quantites etant independantes de R∼ )


Les coefficients de ces differentes lois ne sont pas quelconques. En effet, ils doiventassurer un comportement physique raisonnable pour le materiau considere. Par exemple,la polyconvexite de W assure l’existence d’une solution du probleme d’equilibre.

Parmi les formes proposees dans la litterature, sont presentes ci-dessous les modelesutilises a travers nos differentes etudes, soient :

Modele NEO-HOOKEENW (I1) =

µ

2(I1 − 3) (3.78)

Ce modele reste de loin le plus utilise pour sa simplicite et sa capacite a refleter

0.3. DEFINITIONS D’UN COMPORTEMENT PUREMENT ELASTIQUE 13

convenablement le comportement des elastomeres pour des niveaux de deformation allantjusqu’a 100%.


Modele de MOONEY

W (I1) = C10(I1 − 3) + C20(I1 − 3)2 + C30(I1 − 3)3 + ... (3.79)

14

Modele de MOONEY

W (I1) = C10(I1 − 3) + C20(I1 − 3)2 + C30(I1 − 3)3 + ... (79)

Cette formulation generale est basee uniquement sur des hypotheses d’isotropie et d’incom-pressibilite.

Cette formulation generale est basee uniquement sur des hypotheses d’isotropie etd’incompressibilite.


Modele de HART-SMITH , (1966)

W (I1, I2) = h1

∫exp (h3(I1 − 3)2)dI1 − 3h2 ln

(I2

3

)(3.80)

Cette forme d’energie decrit correctement le comportement des elastomeres pour des


Modele de HART-SMITH , (1966)

W (I1, I2) = h1

exp (h3(I1 − 3)2)dI1 − 3h2 ln

I2

3

(80)

Cette forme d’energie decrit correctement le comportement des elastomeres pour des defor-

mations allant jusqu’a 500%. Il permet en particulier de reproduire le phenomene de durcis-sement dit ”upturn” en tres grandes deformations.

deformations allant jusqu’a 500%. Il permet en particulier de reproduire le phenomene dedurcissement dit ”upturn” en tres grandes deformations.


Modele de ARRUDA-BOYCE, (1993)

W = µr

(√N λchain β +N ln

β

sinh β

)(3.81)

Avec λchain =√

(λ21 + λ2

2 + λ23)/3 =

√I1/3 et β = L−1

(λchain√

N

)ou L−1 est la

fonction inverse de la fonction de Langevin L(β) = coth(β)− 1/β Arruda-Boyce (1993),

16

Modele de ARRUDA-BOYCE, (1993)

W = µr

√N λchain β + N ln

β

sinhβ

(81)

Avec λchain =

(λ21 + λ2

2 + λ23)/3 =

I1/3 et β = L−1

λchain√

N

ou L−1 est la fonction

inverse de la fonction de Langevin L(β) = coth(β) − 1/β Arruda-Boyce (1993), introduisent

la notion d’extensibilite limite de chaıne pour ecrire un potentiel dependant de l’elongationde chaıne λchain.introduisent la notion d’extensibilite limite de chaıne pour ecrire un potentiel dependantde l’elongation de chaıne λchain.


Modele de OGDEN

W =N∑

p=1

µp

αp(λα

p

1 + λαp

2 + λαp

3

)(3.82)

le module de cisaillement est evalue par la relation suivante :


Modele de OGDEN

W =

N

p=1

µp

αp

λα

p

1 + λαp

2 + λαp

3

(82)

le module de cisaillement est evalue par la relation suivante :

2 µ =N

p=1

µp αp (83)

Conclusion Les modeles phenomenologiques decrivent relativement bien le comportementhyperelastique des elastomeres charges ou non et sont faciles a mettre en oeuvre dans lescodes de calcul. En revanche, leurs parametres sont delicats a mesurer car ils ne sont pasrelies a des valeurs physiques parfaitement identifiees.

2µ =N∑

p=1

µp αp (3.83)

Conclusion Les modeles phenomenologiques decrivent relativement bien le comporte-ment hyperelastique des elastomeres charges ou non et sont faciles a mettre en oeuvredans les codes de calcul. En revanche, leurs parametres sont delicats a mesurer car ils nesont pas relies a des valeurs physiques parfaitement identifiees.

Chapitre 4

Elements de Mecanique Lineaire dela rupture

Par definition, la mecanique de la rupture a pour objet essentiel l’etude de la ruinedes structures par une fissuration macroscopique, a partir d’une fissure initiale petite,pour des sollicitations quasi-statiques. L’apparition de la fissure initiale resulte d’unprocessus d’amorcage dont la modelisation ne sera pas presentee dans ce cours. Nous nousinteressons ici aux materiaux fragiles qui par definition ont une rupture sans produirede deformation irreversible (sans deformation plastique, ou tres peu de deformationplastique). Nous nous limitons ici a la mecanique lineaire de la rupture, cadre dans lequelle comportement mecanique du materiau reste elastique, lineaire et soumis a de petitesdeformations. En pratique, la rupture fragile est soudaine, sans signe annonciateur autreque la fissure initiale si celle-ci est observable. Le critere de ruine de la structure estdonne par un critere de propagation de la fissure initiale. Notons que le fait de raisonnersur la propagation d’une fissure existante permet d’eluder la formulation d’un critere encontrainte completant le critere en energie que developpons ici. En effet, en pointe defissure la contrainte est toujours suffisamment elevee, puisqu’elle est infinie, pour verifierun quelconque critere en contrainte. Le lecteur trouveras dans [3] une justification de lacomplementarite du critere en contrainte et du critere en energie pour modeliser la rupturefragile des materiaux dans un cadre plus general que celui de la propagation d’une fissureinitiale.

Heureusement pour l’ingenieur d’aujourd’hui, on sait identifier si un materiau estfragile. De plus, on connaıt ou on sait determiner les causes de fragilisation desmateriaux. Le parametre d’environnement le plus commun jouant sur la fragilisation est latemperature. Un materiau a basse temperature est plus fragile qu’a haute temperature. Sia de plus hautes temperatures le materiau fait apparaitre des deformations irreversiblesapres rupture, il est dit ductile a ces temperatures. Il est alors possible de tracer unecourbe de transition ductile-fragile en fonction de la temperature. En pratique l’ingenieurn’utilise pas les materiaux fragiles, et il veille a ce que l’environnement dans lequel ilutilise les materiaux ne les rende pas fragile. Il reste neanmoins a savoir identifier si unmateriau est fragile et dans quel environnement il l’est ou a quelle(s) condition(s) il ledevient. Ceci suffit a justifier l’interet de ce cours.

De plus un cours sur la rupture fragile est une bonne introduction a la ruptureductile pour ceux qui voudraient s’y interesser. Il faut noter que l’utilisation de structuresfissurees en materiau ductile est tout a fait courante. Certaines cuves sous-pression

57

58 CHAPITRE 4. ELEMENTS DE MECANIQUE LINEAIRE DE LA RUPTURE

en fonctionnement ont des fissures macroscopiques tolerees car le materiau est ductile.Certaines structures extremement legere en materiau ductile ont egalement des fissurestolerees pour faciliter l’optimisation des systemes dont elles font partie. L’expertise desingenieurs et des techniciens et alors necessaire pour prevenir les risques d’accident.

Les premiers resultats de modelisation en accord avec la rupture de materiaux fragilesont ete obtenus dans les annees 1920 par A. A. Griffith. Il a introduit un critere d’instabilitebase sur la variation d’energie potentielle de la structure lorsque qu’une fissure se propage.Dans cette formulation, il n’est pas question de contrainte a rupture pouvant caracteriserle materiau. Il y a propagation d’une fissure initiale lorsqu’il y a suffisamment de variationd’energie potentielle due a l’elasticite de la structure pour compenser l’energie consommeepar la creation de surface lors de la separation de la matiere par l’avancement de la fissure.Cette approche energetique etant globale, elle ne permet pas d’introduire differents modesde rupture. Or, pour une meme valeur d’energie de deformation, il peut correspondreplusieurs champs de deformation dans une structure et plusieurs facons d’ouvrir ou defermer une fissure. La notion de mode de rupture est donc venue completer la theoriede Griffith et avec elle Irwin associa la notion de facteur d’intensite des contraintes.Soulignons que le facteur d’intensite des contraintes n’est pas le facteur de concentrationdes contraintes introduit dans le cours de Mecanique des Milieux Continus. Le facteurd’intensite des contraintes est couramment utilise aujourd’hui pour caracteriser la tenacitedes materiaux fragiles.

L’unification de la description de l’amorcage des fissures et de leur propagation estaujourd’hui encore un sujet de recherche. Actuellement, la theorie de l’endommagementcontinu est une facon pertinente de decrire le processus d’amorcage d’une fissuremacroscopique. Notons egalement que la vitesse de sollicitation d’une structure fissuree,lorsqu’elle est suffisamment elevee, modifie ses proprietes a rupture. Il est alors questionde resilience caracterisee par l’essai Charpy. Le lien entre resilience et tenacite est encoreun sujet ouvert, pour lequel on commence a avoir des elements de reponse grace auxmodeles numeriques.

Le cours presente ici n’est qu’une introduction a la mecanique de la rupture. Denombreuses avancees scientifiques ont vu le jour depuis les travaux de Griffith et d’autrescontinuent d’etre produites aujourd’hui. Elles ne seront pas mentionnees ici. Les questionsouvertes restent -comment eviter la ruture en condition d’oxydation ? Comment allegerles structures sans rupture ? De combien peut-on prolonger la duree de vie d’installationcouteuses (Centrales, gazoduc, ...) ? Ou quand doit-on prevenir un incident ? Pour finir, lasensibilite de la tenacite vis a vis de la presence de defauts rend necessaire une approchestatistique de la rupture. Cette approche n’est abordee ici que succinctement dans le cadred’un exercice.

4.1 Parametres geometriques et parametres mecaniques

La rupture est un processus de separation de la matiere par creation de surface dansun volume. En mecanique des milieux continus. La naissance d’une surface se decrit parune discontinuite du champ de deplacement, la discontinuite etant localisee sur la surfacecreee dans un volume continu.

Lorsqu’une fissure se propage la matiere cesse d’etre continue. Neanmoins, l’energie dedeformation reste a valeur finie. Ceci permet d’utiliser le cadre theorique de la mecanique

4.2. MODES DE RUPTURE ET FACTEUR D’INTENSITE DES CONTRAINTES 59

des milieux continus. Dans ce cadre, il est tout a fait admissible de decrire un champ dedeplacement discontinu avec une discontinuite restreinte a une surface, ou la matiere estsusceptible d’etre separee en deux par l’avancee de la fissure.

La mecanique de la rupture est a cheval entre la mecanique des materiaux et lamecanique des structures car il est difficile de formuler une regle de changement d’echelle.En effet, une fissure dans un milieu homogene n’a pas de dimension caracteristique tantque l’on ne rencontre pas d’heterogeneite du materiau ou une frontiere du domaine etudie.De plus, l’effet des conditions aux limites, meme en les supposant infiniment eloignees de lafissure initiale, peuvent avoir une influence sur la propagation de celle-ci. Cette importancede l’effet des conditions aux limites, qui est un effet de structure, rend utile la definitionde modes de rupture.

4.2 Modes de rupture et facteur d’intensite des

contraintes

La notion de mode de rupture a pu etre exploitee grace aux travaux de George RankineIrwin qui a introduit en 1956 la notion de facteur d’intensite des contraintes. Ce facteurcaracterise l’etat de contrainte dans le voisinage de la pointe de fissure bien que descontraintes soient infinies en pointe de fissure. La tenacite des materiaux fragiles a alorspu etre caracterisee par une valeur critique du facteur d’intensite des contraintes.

4.2.1 Cas du mode I en etat de contraintes planes

A chaque mode correspond une energie potentielle susceptible de faire propager lafissure. Cette energie potentielle est donnee par l’energie de deformation elastique moinsle travail des efforts exterieurs produit lors du passage de l’etat naturel a l’etat d’equilibre.

Solution de Muskhelishvili

La figure 4.1 montre le systeme qui est considere ici. Il s’agit d’un panneau ”infini”,contenant une fissure de longueur 2a selon l’axe x1, et sollicite en traction uniforme selonl’axe x2. Dans la pratique, un modele de ce type pourra etre raisonnablement utilise deslors que les dimensions de la fissure seront de 10 a 20 fois plus faibles que celle de la plaque.Il existe une solution analytique exacte de ce probleme, sur l’axe x2 = 0, en supposant unetat de contraintes planes :

− Si x1 > a σ22 = σ∞/(1− (a/x1)2

)1/2σ11 = σ22 − σ∞

(4.1)

ε22 =(σ∞E

)(ν +

1− ν(1− (a/x1)2)1/2

)(4.2)

− Si 0 6 x1 6 a [u2] = 2u2 =

(4 a σ∞E

)(1− (x1/a)2

)1/2(4.3)


A’ A

M

A : (0,a)A’ : (0,-a)

x2

1xθr

A

Figure 4.1 – Plaque infinie en traction simple selon x2

La formule du deplacement u2 sur la frontiere de la fissure montre que l’ouverture deslevres de la fissure est representee par une ellipse. Le changement de variable x1 = a + rmontre qu’il existe au voisinage de la pointe de fissure une singularite en r1/2 lorsque rtend vers 0.

σ22 ∝ σ∞(a/2r)1/2 (4.4)

Dans ce type de configuration un critere en contrainte ne peut pas servir de critere derupture puisque la contrainte est infinie en pointe de fissure alors qu’il existe une tenacitenon nulle qui caracterise une resitance a la propagation de fissure.Pour pouvoir considerer differents types de conditions aux limites a l’infini, il est preferabled’adopter une methode asymptotique.

Solution asymptotique de Westergaard

Le probleme precedent peut egalement etre aborde en introduisant la ”fonction d’Airy”Ψ(x1, x2) telle que : σ11 = Ψ,22 ;σ22 = Ψ,11 ;σ12 = Ψ,12. Les equations d’equilibre sontalors automatiquement verifiees. En elasticite lineaire, le report de ces egalites dans lesconditions de compatibilite 2 ε12,12 = ε11,11+ε22,22 conduit a chercher Ψ comme solution del’equation biharmonique ∆ ∆ Ψ = 0. Ce probleme se resoud par la methode des fonctionscomplexes. On obtient ainsi la solution asymptotique au voisinage de la pointe de fissure(Fig.4.2). Irwin a montre que le premier terme du developpement limite est le meme, a unfacteur multiplicatif pres, pour tous les problemes correspondant a un mode d’ouverturedonne. La sollicitation d’une fissure lineaire dans un milieu plan perpendiculairement ason axe correspond au mode I ; on introduit ainsi le facteur d’intensite de contrainte enmode I, KI ,tel que :

KI = limr→0

(σ22

√2 π r

)(4.5)

4.2. MODES DE RUPTURE ET FACTEUR D’INTENSITE DES CONTRAINTES 61

Remarques

1. Dans ce type de configuration un critere en contrainte ne peut servir de critere derupture puisque la contrainte est inifie en pointe de fissure alors qu’il existe unetenacite non nulle qui caracterise une resitance a la propagation de fissure.

2. L’unite de KI est le N.m−3/2. On utilise couramment le MPa.√

m. Le facteurd’intensite des contraintes depend a la fois du materiau et de la geometrie.

3. La singularite en r permet a l’energie de deformation elastique de rester finie enpointe de fissure (le materiau ne devient pas localement indeformable) :

We =1

2

∫

Ω

σ∼

: ε∼dV ∝ 1

2

∫

Ω

1√r

1√rr dr dθ (4.6)

4. La comparaison de la solution precedente en θ = 0 et de la solution de Muskhelishvililorsque r tend vers 0 fournit l’expression de KI pour une fissure horizontale delongueur 2a chargee selon x2 a l’infini avec une contrainte σ∞ :

Westergaard : σ22 ∝KI√2π r

; Muskhelishvili : σ22 ∝ σ∞

√a

2 r(4.7)

KI = σ∞√π a (4.8)

5. Il ne faut pas confondre KI avec Kt facteur de concentration de contrainte, qui estsans dimension, et qui caracterise le rapport entre la contrainte normale maximaleet la contrainte a l’infini au voisinage d’une entaille. Ainsi, au voisinage d’un defautelliptique de longueur 2a et de rayon de courbure ρ le facteur de concentration decontrainte vaut :

Kt = σ22max/σ∞ = 2√a/ρ (4.9)

Cette valeur peut se retrouver a l’aide de la solution de Muskhelishvili pour un trouelliptique. La valeur de Kt devient infinie lorsque le rayon ρ tend vers 0, ce qui n’estbien sur pas le cas de KI .

4.2.2 Autres modes de sollicitation

Le chargement etudie jusqu’a present fait intervenir un champ de contrainte ”lointain”comportant une seule composante, normale a la direction de la fissure, il s’agit du moded’ouverture, ou mode I. C’est celui qui est physiquement le plus important, puisqu’unefissure en mode I se propage dans son propre plan, par raison de symetrie, sans bifurcation,l’ouverture de la fissure conduisant facilement a la rupture. Dans le cas du mode II, lechamp lointain de sollicitation exterieure est un cisaillement perpendiculaire au front defissure (Fig.4.2.b), et dans le cas du mode III un cisaillement parallele au front de fissure(Fig.4.2.c).

Remarque

Dans le cas des materiaux anisotropes, il existe un couplage entre les differents modesmeme pour les configurations les plus simples, comme la plaque en traction etudieeprecedemment. On definit alors un tenseur de facteurs d’intensite de contraintes :

Kij = limr→0

σij√

2 π r (4.25)


a. Mode I : ouverture

σ11 =KI√2πr

cosθ

2(1− sin

θ

2sin

3θ

2) (4.10)

σ22 =KI√2πr

cosθ

2(1 + sin

θ

2sin

3θ

2) (4.11)

σ12 =KI√2πr

cosθ

2sin

θ

2cos

3θ

2(4.12)

u1 =KI

2µ

√r

2πcos

θ

2(κ−1+2 sin2 θ

2) (4.13)

u2 =KI

2µ

√r

2πsin

θ

2(κ+1−2 cos2 θ

2) (4.14)

avec : κ = 3− 4ν en deformations planes

(4.15)

et : κ =3− ν1 + ν

en contraintes planes

(4.16)

b. Mode II : glissement dans le plan

σ11 = − KII√2πr

sinθ

2(2 + cos

θ

2cos

3θ

2)

(4.17)

σ22 =KII√2πr

sinθ

2cos

θ

2cos

3θ

2(4.18)

σ12 =KII√2πr

cosθ

2(1− sin

θ

2sin

3θ

2) (4.19)

u1 =KII

2µ

√r

2πsin

θ

2(κ+ 1 + 2 cos2 θ

2)

(4.20)

u2 = −KII

2µ

√r

2πcos

θ

2(κ− 1− 2 sin2 θ

2)

(4.21)

c. Mode III : glissement antiplan

σ13 = − KIII√2πr

sinθ

2(4.22)

σ23 =KIII√

2πrcos

θ

2(4.23)

u3 = −2KIII

µ

√r

2πsin

θ

2(4.24)

Figure 4.2 – Les differents modes de fissuration et les champs singuliers associes

4.3. TAUX DE RESTITUTION D’ENERGIE 63

4.3 Taux de restitution d’energie

4.3.1 Critere en energie

Nous reprenons en partie la presentation faite dans [3] 1 exceptee la discussion tresinteressante sur l’unification en une theorie du probleme d’amorcage et du probleme depropagation.

Pour introduire le critere en energie propose par Griffith, nous considerons unestructure elastique lineaire sous chargement quasi statique tant qu’il n’y a pas propagationd’une fissure preexistante a l’etat initial. A chaque etape du chargement, l’energiepotentielle de la structure peut etre definie comme etant l’energie de deformation moinsle travail des efforts exterieurs depuis l’etat initial. Cette energie potentielle est notee F .Nous pouvons egalement definir une energie cinetique pour la structure, notee Wa. Pardefinition du chargement quasi statique avant rupture on a Wa = 0 tant qu’il n’y a paseu de propagation de la fissure. Nous considerons la variation de ces energies entre l’etatultime avant propagation de la fissure et celui ou la propagation a produit l’ouvertured’une surface d’aire infinitesimale dA. dA est tres petit devant l’aire de la fissure initialeA, d’ou l’hypothese relative a l’existence d’une fissure initiale. Selon Griffith, n’ayant pasd’autre variation d’energie dans la structure, le bilan de variation d’energie s’ecrit :

dF + dWa +Gc dA = 0, (4.26)

ou dF est la variation d’energie potentielle produite par la propagation de la fissure sansmodification des conditions aux limites, et dWa est l’apparition d’energie cinetique lorsde cette transformation. Gc est une densite d’energie par unite de surface. Son unite estle joule/ m2. Gc dA est l’energie consommee par l’ouverture d’une fissure dont la surfacecreee totale est dA. Notons que la surface creee par la propagation de la fissure est ledouble de la surface sur laquelle est apparue un champ de deplacement discontinu, carune fissure est composee de deux levres en vis a vis. L’etat avant fissuration etant quasistatique, dWa est l’energie cinetique de la structure apres propagation de la fissure. DoncdWa ≥ 0. On en deduit donc la condition necessaire suivante pour qu’il y ait propagationselon le critere de Griffith :

− dFdA≥ Gc (4.27)

Cette inequation differentielle suppose l’existence d’une fissure initiale. Neanmoins, cettehypothese peut etre contournee grace a des resultats scientifiques rescents [3].On note G le taux de restitution d’energie :

G = −dFdA

(4.28)

Il est calculable quel que soit l’etat mecanique de la structure etudiee. Son unite est lejoule/ m2. Il s’agit de la variation de l’energie potentielle totale F , resultat de la variationde l’energie elastique stockee dans la structure et de la variation d’energie liee aux forcesexterieures. Pour les materiaux fragile, lorsque la fissure avance cela libere de l’energiepotentielle, dont de l’energie elastique. Ceci permet d’entretenir la creation de surface enpointe de fissure jusqu’a la rupture de la structure.La frontiere du domaine est partagee en 4 parties :

1. D., Leguillon, Strength or toughness ? A criterion for crack onset at a notch, European Journal ofMechanics A/Solids, 2002, 21 ,61-72


– une partie o‘u les deplacements sont imposes, notee Su ,– une autre ou les efforts sont imposes, notee SF ,– auxquelles s’ajoute les deux levres de la fissure initiale A+ et A−.

Pour le calcul du taux de restitution d’energie, nous supposons qu’il y a pas contact entreA+ et A−, si bien qu’il n’y a pas d’effort ni sur A+ ni sur A−. Si le materiau est elastique,et dans le cas ou les forces de volume sont negligees, l’expression de l’energie potentiellese reduit a deux termes, le premier correspondant a l’energie de deformation elastique(dans le volume Ω du solide), et le second correspondant au travail des forces exterieuresappliquees en surface, (force Fd sur les frontieres ou la force est imposee SF ) :

F =1

2

∫

Ω

σ∼

: ε∼dV −

∫

SFF d . u dS (4.29)

L’application du theoreme de la divergence au terme volumique permet de le transporteren surface, le terme obtenu se partageant ensuite sur les surfaces a force et deplacementimposes (ud ) :

1

2

∫

Ω

σ∼

: ε∼dV =

1

2

∫

SF . u dS =

1

2

∫

SFF d . u dS +

1

2

∫

SuF . ud dS +

1

2

∫

A+∪A−F . u dS

(4.30)Le calcul deG s’effectue par simple derivation a partir de la nouvelle expression de l’energiepotentielle :

F =1

2

∫

SuF . ud dS − 1

2

∫

SFF d . u dS (4.31)

et :

G =1

2

∫

SFF d .

∂u

∂AdS − 1

2

∫

Su

∂F

∂A. ud dS (4.32)

L’etendue de la fissure initiale a une incidence sur le champ de deplacement et l’effortde reaction sur le bord Su . Le taux de restitution d’energie capte la sensibilite des champsu et F aux variations de A.

4.3.2 Cas d’une charge ponctuelle

Dans le cas particulier ou il n’y a qu’une charge ponctuelle, les expressions se simplifienten introduisant la raideur R de la structure ou sa complaisance C . La force F et ledeplacement U deviennent alors ponctuels et : F = R U ; U = C F . L’avancee de fissurepeut se schematiser par une perte de raideur comme en figure 4.3, selon que l’avancee sefait a deplacement impose (Fig.4.3a) ou a force imposee (Fig.4.3b).

Dans chaque cas l’expression de G devient :– a deplacement impose (F d = 0), comme F = R Ud :

G= −1

2

∫

Su

∂F

∂A. ud dS (4.33)

= −1

2

(dRdA

Ud

). Ud = −1

2

(F 2

R 2

)dRdA

(4.34)

(4.35)

4.3. TAUX DE RESTITUTION D’ENERGIE 65

F

0U

F

a. Force imposeeUd

F

0

U

M

H

b. Deplacement impose

Figure 4.3 – Evaluation de l’energie mise en jeu lors d’une avancee de fissure

– a force imposee (ud = 0), comme U = C F d :

G=1

2

∫

SFF .

∂u

∂AdS (4.36)

=1

2F d .

(d CdA

F d

)(4.37)

(4.38)

Les deux cas aboutissent formellement a la meme expression :

G =1

2F 2 dCdA

(4.39)

Il faut neanmoins noter que l’evolution de la force n’est pas la meme (chute de force lorsde l’avancee de fissure a deplacement impose, la structure devenant plus souple, et bienentendu force constante a force imposee, avec augmentation du deplacement resultant).L’energie recuperable dans le cas du deplacement impose est finie (egale a l’aire du triangleOMH), si bien que G va decroıtre avec la progression de fissure, et que la fissure pourraeventuellement s’arreter. Ces expressions sont utilisees pour mesurer experimentalementG.

4.3.3 Quelques valeurs critiques de G

Le verre et les ceramiques ont des valeurs tres faibles du taux de restitution d’energiecritique, de l’ordre de 10 J/ m2. Viennent ensuite les resines fragiles, avec des valeurs del’ordre de 100 a 500 J/ m2. Les composites verre–resine possedent des valeurs de l’ordrede 7000 J/ m2, ce qui les place au voisinage des alliages d’aluminium (20000 J/ m2). Lesmateriaux les plus resistants a la dechirure sont les aciers (100 kJ/ m2), et, bien entendu,les metaux purs (100–1000 kJ/ m2).


a a∆

x2

x10’0

Figure 4.4 – Operation de refermeture de fissure pour le calcul de la relation K–G

4.3.4 Critere de propagation en mode I

Il est possible de trouver la relation entre les facteurs d’intensite des contraintes et G.Nous nous limitons ici au cas du mode I, en evaluant le travail necessaire pour refermer unefissure de longueur a+∆a, comme indique en figure 4.4. Il s’agit d’exprimer que la densited’effort sur le segment OO′ passe de 0 lorsque la fissure est en O′ a σ22 lorsque la fissureest en O, alors que dans le meme temps l’ouverture passe de u2 a 0. Le resultat obtenuest : G = KI

2(k + 1) /8µ avec k = 3− 4ν en deformations planes, et k = (3− ν)/(1− ν)en contraintes planes, soit :

Contraintes planes : G = KI2/E (4.40)

Deformations planes : G = (1− ν2)KI2/E (4.41)

Pour effectuer la demonstration des formules precedentes, le taux de restitutiond’energie est pris sous la forme :

G =1

2

∫

SFF d .

∂u

∂AdS (4.42)

Le calcul consiste a evaluer, par unite d’epaisseur :

G.∆a =1

2

∫ a+∆a

a

σ22(O)u2(O′) dx1 (4.43)

Formule d’Irwin

Les relations generales sont, en cas de melange des modes :

Contraintes planes : G =1

E(KI

2 +KII2) (4.44)

Deformations planes : G =1− ν2

E(KI

2 +KII2) (4.45)

4.4. ANALYSE DE L’ETAT DE CONTRAINTE TRIDIMENSIONNEL 67

x

x

1

2

x3

Figure 4.5 – Etat de contrainte tridimensionnel en pointe de fissure

Tenacite d’un materiau : KIC

Pour un materiau isotrope ayant une fissure sollicitee uniquement en mode I, laresistance du materiau est caracterisee par sa tenacite (Toughness en Anglais) notee KIC .Elle intervient dans le critere d’Irwin ci-dessous :

– KI ≤ KIC ,– si KI < KIC il n’y a pas de propagation de la fissure,– si KI = KIC il y a propagation possible de la fissure.

La tenacite est mesuree a l’aide d’eprouvettes CT ou SENB.

4.4 Analyse de l’etat de contrainte tridimensionnel

Apres avoir examine le probleme d’elasticite bidimensionnelle, il est utile de considererl’etat de contrainte 3D qui s’etablit dans les structures.

– Dans les structures epaisses (exemple de l’eprouvette de la figure 4.5.a), l’etatde contrainte est triaxial, et 0 < σ11 < σ33 < σ22. Les directions de glissementpreferentielles sont donc dans le plan de cisaillement maximum, x1−x2, si bien quel’eprouvette perit ”par l’arriere” de la fissure.

– Dans les structures minces (exemple de l’eprouvette de la figure 4.5.b), lacomposante 33 du tenseur de contrainte est negligeable (0 < σ33 < σ11 < σ22),si bien que le plan de cisaillement maximum est maintenant le plan x2 − x3, et quel’epaisseur de la structure va diminuer au devant de la fissure, provoquant la ruinepar amincissement exagere.

4.5 Quelques complements

En fonction du chargement et du materiau consideres, si le milieu est globalementplastique ou viscoplastique, l’etude est du ressort de la mecanique non lineaire de larupture, ou encore de l’approche locale, dans laquelle il est fait une description aussiprecise que possible de l’etat de contrainte et de deformation en pointe de fissure a l’aidede modeles de comportement non lineaires. Si au contraire la plasticite est absente ou restetres confinee, les theories qui permettent de traiter le probleme considerent le materiau


comme elastique partout : c’est la mecanique lineaire de la rupture, qui est considereedans ce chapitre.

Les dates principales qui marquent le developpement de la mecanique de la rupturesont 1920, lorsque Griffith montre que la rupture d’un milieu elastique-fragile peut etrecaracterisee par une variable globale, qui sera appelee plus tard le taux de restitutiond’energie, et 1956, lorsque, a partir de l’etude des singularites du champ de contrainte,Irwin introduit la notion de facteur d’intensite des contraintes. Les annees 1960-1980 sontcelles de l’essor puis de la maturite de la mecanique de la rupture, avec en particulier lesdeveloppements numeriques et le traitement des problemes non lineaires. Les ouvrages dereferences les plus anciens sont epsuises [10], mais il existe une abondante litterature issuedes laboratoires francais [2, 8, 9, 6].

Chapitre 5

Introduction a la theorie de stabilitedes systemes conservatifs

Ce chapitre s’inspire tres largement de Stabilite et mecanique non lineaire, de Quoc-Son Nguyen, publie dans la serie Etudes en mecanique des materiaux et des structures,chez Hermes, en 2000.

5.1 Evolution et stabilite

La rupture fragile est une instabilite au cours de laquelle l’energie potentielle esttransformee en energie de surface. C’est une instabilite car avant la rupture aucunevariable observable n’indique qu’une petite perturbation aura l’effet non negligeable qu’estla rupture.Dans ce chapitre, nous presentons une approche de la stabilite pour des systemes elastiquesou hyperelastiques, sans que l’energie potentielle ne soit tranforme en une autre energieque l’energie cinetique. Dans ce cadre, pour qu’une petite pertubation est un effet nonnegligeable, il faut envisager l’etude de probleme non-lineaires. Ainsi, nous considerons icides problemes elastiques sans negliger l’effet des rotations de la matiere.Pour les structures elancees, les grandes rotations font que les equations d’equilibredans la configuration deformee differes des conditions d’equilibre linearisees pour destransformations infinitesimales.L’objet de ce cours est d’enseigner les notions utiles pour affirmer de facon concise qu’unetat d’equilibre stable correspond a un minimum local de l’energie potentielle, sachantque les etats d’equilibre rendent stationnaire cette energie.Sur le plan theorique, la stationnarite d’une energie potentielle peut conduire a plusieursetats d’equilibre. Mais en realite, certaines configurations d’equilibre ne sont pasobservables, on pourrait dire qu’elle n’existent pas physiquement, du fait qu’elles sontinstables. Malheureusement, elles sont solutions des equations d’equilibre. L’ingenieurdoit donc se poser la question suivante : l’equilibre calcule est-il stable ? Negliger cequestionnement peut conduire a de graves accidents.Nous abordons le probleme de stabilite en etudiant les systemes dynamiques conservatifs(elasticite sans frottement). L’equilibre est vu comme un cas particulier de solution desequations de la dynamique du systeme, en regime stationnaire (en oubliant l’effet des

69

70CHAPITRE 5. INTRODUCTION A LA THEORIE DE STABILITE DES SYSTEMES CONSERVATIFS

conditions initiales).On suppose ici que l’energie potentielle F est differentiable. Comme application de cecours nous considererons le flambage d’une poutre.

5.1.1 Dynamique des milieux continus

Pour analyser les etats hors equilibre en mecanique des milieux continus, nous devonsutiliser le principe fondamental de la dynamique. Nous le faisons ici sous la formedu principe des travaux virtuels. Il faut alors introduire le travail virtuel des termesd’acceleration δWa.

Ici, le deplacement en tout point de Ω est une fonction du temps : (x ∈ Ω, t) → u,avec t > 0. Par definition, on a :

δWa =

∫

Ω

ρ u u′ dΩ, u ∈ V , u′ ∈ V (5.1)

ou V est l’espace vectoriel des deplacements cinematiquement admissibles a zero. Cetespace permet d’ecrire rigoureusement que les deplacements sont des champs suffisammentcontinus et qu’il verifient des conditions aux limites nulles aux endroits ou les deplacementssont imposees.

Le Principe fondamental de la dynamique s’ecrit :

δWa = δWint + δWext ∀ u′ ∈ V (5.2)

Propriete des systemes conservatifs : Il existe une energie potentielle F telle que,

δWint + δWext = −F,u(u)[u′] ∀ u′ ∈ V (5.3)

ou F,u(u)[u′] est la differentielle de F evaluee en u. Cette differentielle est par definitionlineaire en u′ (que l’on aurrait pu noter du et dont les valeurs sont independantes devectu).Pour la suite de ce chapitre nous faisons l’hypothese suivante : l’energie potentielle F estindependante du temps.

Pour les systemes conservatifs, les equations de mouvement s’ecrivent sous la formedu probleme suivant : Trouver u ∈ V tel que

∫

Ω

ρ u u′ dΩ + F,u(u)[u′] = 0 ∀ u′ ∈ V (5.4)

u(x, t = 0) = uini(x) ∀x ∈ Ω (5.5)

u(x, t = 0) = vini(x) ∀x ∈ Ω (5.6)

Definition : Une position d’equilibre ue est independante du temps. Elle verifienecessairement :

F,u(ue)[u′] = 0 ∀ u′ ∈ V (5.7)

5.1. EVOLUTION ET STABILITE 71

5.1.2 Stabilite d’un equilibre

Une position d’equilibre ue est stable si une petite perturbation des donnees initiales(ut=0 = ue, ut=0 = 0) n’entraine qu’une faible evolution dynamique autour de l’equilibre.

Supposons que l’on connaisse une mesure de la distance entre ue et le deplacementpertube u. Notons d(t) cette distance qui evolue dans le temps.

Definition : Une position d’equilibre ue est stable si et seulement si,

∀ε > 0 il existe α tel que d(0) < α⇒ d(t) < ε ∀t > 0. (5.8)

Il est alors possible de choisir une perturbation initiale pour qu’a chaque instant l’effetde cette perturbation soit borne par une borne donnee, quelle qu’en soit sa valeur.

La notion de stabilite depend de la definition de d.

5.1.3 Equation de mouvement linearisee

La perturbation initiale etant supposee petite, nous considerons un developpement deTaylor au premier ordre de l’equation de mouvement autour de la position d’equilibre ue.On introduit la difference φ = u− ue.

On obtient l’equation linearisee suivante :

∫

Ω

ρ φ u′ dΩ + F,uu(ue)[u′, φ] = 0 ∀ u′ ∈ V (5.9)

C’est une equation differentielle en temps ”a coefficients” constants. On cherche φ al’aide d’une methode de separation des variables d’espace et de temps :

φ(x, t) = es t ψ(x) (5.10)

On obtient le probleme aux valeurs propres suivant : Trouver les solutions (ψ, s) telque,

s2

∫

Ω

ρ ψ u′ dΩ + F,uu(ue)[u′, ψ] = 0 ∀ u′ ∈ V (5.11)

⇓

s2 = −F,uu(ue)[ψ, ψ]∫

Ωρ ψ ψ dΩ

(5.12)

Il y a une suite denombrable de solutions (ψk, sk)k=1...∞. ψ

kest appele mode propre du

systeme. Les modes propres forment une base orthogonale de V .

Ce probleme est un probleme de vibrations libres qui se distingue du probleme usuelcar il s’agit de vibrations libres autour d’un etat qui n’est pas necessairement l’etat naturel.


5.2 Theoreme de Lyapunov

A chaque mode propre ψk

on associe une valeur propre sk definie par :

s2k = −

F,uu(ue)[ψk, ψk]∫Ωρ ψ

kψkdΩ

Il alors possible de reconstruire la solution en deplacement du probleme linearise, enutilisant la base modale :

∃ ak ∈ C , u = ue +∞∑

k=1

ak esk t ψ

k(x) pour le probleme linearise

ou les coefficients ak sont identifies pour satisfaire les conditions initiales de laperturbation.

– Si <(sk) < 0 pour tout k, l’equilibre est asymptotiquement stable.– S’il existe un indice k tel que <(sk) > 0 alors l’equilibre est instable. Dans ce casF,uu(ue)[ψk, ψk] < 0.

– Si <(sk) 6 0 pour tout k et s’il existe au moins un indice k tel que <(sk) = 0 alorson ne sait pas conclure.

En mecanique, le premier cas n’est possible qu’en presence de dissipation mecanique,ce qui n’est pas le cas des systemes conservatifs.

5.3 Cas d’une energie potentielle strictement convexe

localement

L’energie potentielle est strictement convexe localement en ue, si et seulement s’ilexiste un voisinage Ve de ce point tel que :

∀ u′ ∈ Ve F(u′)−F(ue)−F,u(ue)[u′ − ue] > 0 (5.13)

En utilisant un developpement de Taylor a l’ordre 2, avec u′ = ue + α ψ, on obtient :

∀ψ F,uu(ue)[ψ, ψ] > 0

Donc si lenergie potentielle est strictement convexe localement, alors <(sk) = 0 pour toutk et on ne sait pas conclure au sujet de la stabilite, a l’aide du theoreme de Lyapunov.

5.3.1 Theoreme de Lejeune Dirichlet

Theoreme de Lejeune-Dirichlet : L’equilibre est stable,– s’il correspond a un minimum local de l’energie potentielle,

∀ u′ ∈ Ve, u′ 6= ue, F(u′) > F(ue) (5.14)

– si l’energie potentielle est differentiable jusqu’au deuxieme ordre,

∀ u′ ∈ Ve F(u′)−F(ue) = F,uu(ue)[u′ − ue, u′ − ue] + o(‖u′ − ue‖2) (5.15)

5.3. CAS D’UNE ENERGIE POTENTIELLE STRICTEMENT CONVEXE LOCALEMENT73

– si la seconde variation est coercive dans V (s’il n’y a pas de mode de bifurcation),

∃ γ > 0, ∀ ψ ∈ Ve F,uu(ue)[ψ, ψ] > γ∥∥ψ∥∥2

(5.16)

– si les deplacements perturbes sont suffisamment reguliers.

Ce theoreme vient completer le theoreme de Liapunov.

Pour la demonstration de ce theoreme, nous devons introduire l’energie totale dusysteme, note ET , et la propriete de conservation de cette energie pour les systemesconservatifs.

5.3.2 Conservation de l’energie totale

Definition : L’energie totale du systeme mecanique est la somme de l’energie cinetiqueet de l’energie potentielle.

ET (u, u) =1

2

∫

Ω

ρ u u dΩ + F(u) (5.17)

Propriete : Pour les systemes conservatifs, l’energie totale est constante au cours dutemps.

ET (u, u) = ET (uini, uini) ∀t ≥ 0 (5.18)

ET (u, u) =1

2

∫

Ω

ρ u u dΩ + F(u)

avec ∫

Ω

ρ u u′ dΩ + F,u(u)[u′] = 0 ∀ u′ ∈ V

Faisons le calcul de la derivee en temps de l’energie totale.

d

dtET (u, u) =

1

2

∫

Ω

d

dt(ρ u u) + (ρ u u) div(u) dΩ + F,u(u)[u] (5.19)

Or, il y a conservation de la masse : ddtρ+ ρ div(u) = 0, donc :

d

dtET (u, u) =

∫

Ω

ρ u u dΩ + F,u(u)[u] (5.20)

Or u ∈ V , donc du fait que l’equation de mouvement est verifiee on obtient :

d

dtET (u, u) = 0 (5.21)

L’energie totale est bien conservee au cours du temps.


5.3.3 Elements de demonstration du theoreme de LejeuneDirichlet

Si l’on admet que l’energie potentielle est differentiable jusqu’au deuxieme ordre, alorsdans un voisinage de ue on a :

∀ue ∈ Ve ET (u, u)−ET (ue, ue = 0) =1

2

∫

Ω

ρ(u−ue)2dΩ+1

2F,uu(ue)[u−ue, u−ue]+o(‖u− ue‖2)

Si la seconde variation est coercive dans V :

∀ue ∈ Ve d(t) =1

2

∫

Ω

ρ (u− ue)2 +1

2F,uu(ue)[u− ue, u− ue] > 0

et d(t) = 0 si et seulment si u = ue.

Si l’on suppose o(‖u′ − ue‖2) negligeable, alors la conservation de l’energie totaledonne :

d(t) = d(0)

Donc pour avoir d(t) < ε ∀t > 0, il suffit de prendre d(0) < ε pour tout ε. Donc l’equilibreest stable.

Il existe des demonstrations rigoureuses ne reposant pas sur un developpement deTaylor a l’ordre 2.

5.4 Critere de seconde variation

Si les conditions 1 et 2 du theoreme de Lejeune Dirichlet sont verifiees on obtient :le critere de seconde variation : Si,

∀ ψ ∈ V , ψ 6= 0 F,uu(ue)[ψ, ψ] > 0 (5.22)

alors l’equilibre est stable.

Remarques : Si ∃ψ 6= 0, ψ ∈ V F,uu(ue)[ψ, ψ] = 0 alors la condition de bifurcationest verifiee. L’etude des bifurcations n’est pas traitee dans ce cours. Pour les sollicitationsquasistatiques, avec un chargement evolutif, le passage d’un point de bifurcation peutgenerer un changement de stabilite de l’equilibre.

5.5 Synthese

L’etude de la seconde variation de l’energie potentielle permet les conclusionssuivantes :

– si ∀ψk∈ V F,uu(ue)[ψ, ψ] > 0 le theoreme de Lejeune Dirichlet nous permet

d’affirmer que la position d’equilibre ue est stable ;

5.6. ANALYSE DE LA STABILITEE D’UNE BARRE ARTICULEE PAR LE CRITERE DE SECONDE VARIATION75

F

Configuration déformée

u

L

Configuration initiale

Figure 5.1 – Parametrage cinematique et geometrique.

– s’il existe ψk∈ V tel que F,uu(ue)[ψ, ψ] = 0 alors il peut y avoir bifurcation de la

courbe d’equilibre,

– s’il existe ψk∈ V tel que F,uu(ue)[ψ, ψ] < 0 alors the theoreme de Lyapunov nous

permet d’affirmer que la position d’equilibre est instable.

5.6 Analyse de la stabilitee d’une barre articulee par

le critere de seconde variation

On considere une barre indeformable soumise a de la compression. Cette barre estarticulee a l’une de ses extremitees comme represente sur la Figure 5.1. Un ressort detorsion permet de ramener cette barre a l’horizontal lorsqu’aucun effort ne lui ait applique.Son poid est neglige dans cette analyse. Il s’agit d’etudier la stabilite d’un etat d’equilibresachant que la barre peut pivoter. La longueur de la barre est note L. La force exterieurede compression est note F . Nous rappelons que l’energie de deformation d’un ressort estde la forme 1

2k u2, ici k est la raideur de torsion du ressort.

Notons u l’angle de rotation pour conserver les notations introduites dans ce cours pourles parametres cinematiques. Du fait de la rotation, le travail de la force exterieure est :

Wext = L (1− cos(u)) F (5.23)

L’expression de l’energie potentielle est donc la suivante :

F(u) =1

2k u2 − L (1− cos(u)) F (5.24)

La differentielle de F s’obtient par un calcul differentiel classique :

F,u(u)[u′] = u′ (k u− L sin(u) F ) (5.25)

La condition d’equilibre est donc :

k u− L sin(u) F = 0 (5.26)

Pour rechercher les solutions en u de la condition d’equilibre, il faut etudier la fonctiong(u) = k

L Fu − sin(u). On a : g,u = k

L F− cos(u). Discussion : Si F < k

Lalors g est une

fonction croissante. Dans ce cas seul g(0) est nul. Il n’y a d’un etat d’equilibre ue = 0, quicorrespond a la configuration horizontale. Si F ≥ k

Lil y a plusieurs etats d’equilibre.


* *

*

Figure 5.2 – Description du champ de deplacement.

Lorsque l’on augment progressivement l’intensite de la charge, F atteint une charge Fc =kL

au-dela de laquelle plusieurs positions d’equilibre sont possibles. Il est donc legitimed’etudier la stabilite de l’equilibre horizontal. Pour cela on calcule la seconde variation del’energie potentielle :

F,uu(u) = k − L cos(u) F (5.27)

Donc :

F,uu(ue = 0) = k − L F (5.28)

Discussion : Si F < Fc alors la configuration horizontale est stable, elle l’est notammenten traction quel que soit l’intensite du chargement (car F < 0 dans ce cas). Si F = Fc ily a bifurcation de la courbe d’equilibre. Si F > Fc l’equilibre horizontal est instable. Fcest la charge critique de compression de la barre.

5.7 Analyse du flambage d’une poutre par le critere

de seconde variation de l’energie potentielle

5.7.1 Une methode d’analyse qui procede par etapes

Les etapes de l’analyse mecanique du flambage par le critere de seconde variation sontles suivantes :

– Choisir une description cinematique,– choisir l’expression de l’energie potentielle (donc des lois de comportement et les

conditions aux limites),– ecrire les conditions d’equilibre,– trouver une courbe d’equilibre en cheminant a partir de l’etat naturel,– ecrire la condition de bifurcation,– analyser le signe de la seconde variation de l’energie potentielle pour la position

d’equilibre courante.

Remarque : Il est egalement possible de considerer l’equilibre d’une configurationperturbee par un champ de deplacement transverse. C’est le probleme d’Euler dont laresolution est proposee plus loin.

5.7. ANALYSE DU FLAMBAGE D’UNE POUTRE PAR LE CRITERE DE SECONDE VARIATION DE L’ENERGIE POTENTIELLE77

5.7.2 Parametrage et hypotheses

Nous considerons une poutre mince. Nous choisissons ici la cinematique du modele deNavier-Bernoulli.

u = u1(x1, x3) x1 + u3(x1, x3) x3 ∀(x1, x2, x3) ∈ Ω (5.29)

u1 = U(x1) + θ(x1)x3 u3 = V (x1) V,1 + θ = 0 (5.30)

Les non-linearites geometriques sont prises en compte a l’aide du tenseur de Green-Lagrange E

∼:

E∼

=1

2(F

∼T F

∼− I

∼) (5.31)

Eij(u) = εij(u) +1

2qij(u, u) (5.32)

εij(u) =1

2(ui,j + uj,i) (5.33)

qij(u, u) = uk,i uk,j (5.34)

F(u, λ) =1

2

∫

Ω0

E∼

: C≈

: E∼dΩ−Wext(u, λ) (5.35)

Les deformations sont supposees suffisamment petites pour considerer que l’energie dedeformation est quadratique en E

∼. C

≈est le tenseur de Hooke. Ω0 est le domaine occupe

par la poutre a l’etat initial. Apres calcul nous obtenons :

(ε..)

=

U,1 − V,11x3 0 0

0 0 00 0 0

(5.36)

(q..)

=

(U,1 − V,1 x3)2 + V 2,1 0 U,1 V,1

0 0 0U,1 V,1 0 V 2

,1

(5.37)

On suppose que les deformations longitudinales sont faibles (U,1) et que l’effet dupincement de la poutre (q33) est negligeable. Le terme en x2

3 de q∼

est suppose negligeable(poutre mince). On obtient la forme classique suivante pour les termes non lineaires deE∼

:

(q..)

=

V 2,1 0 00 0 00 0 0

(5.38)

Apres integration dans les sections droites S on obtient :

F(u) =

∫

C0(1

2E S (U,1 +

1

2V 2,1)2 +

1

2E I V 2

,11) dx1 −Wext(u, λ) (5.39)

Il apparaıt clairement une contribution non quadratique en (U, V ) due aux rotations avecle terme en V,1. Le parametre scalaire λ permet de piloter l’intensite du chargement. Dansle cas d’un chargement ponctuel en un seul point et dans une seule direction, ce parametrese confond avec la charge appliquee.


5.7.3 Condition d’equilibre

Soit une poutre droite de section S et de longueur initiale L, soumise a une force decompression λ > 0 en x1 = L, en appui simple en x1 = 0 et x1 = L. Les sections sontconstantes et le materiau est homogene dans les sections.

On a : Wext = −λ U(L), U(0) = 0, V (0) = 0, V (L) = 0.

Et : δU(0) = 0, δV (0) = 0, δV (L) = 0

On obtient donc :

F(u, λ) =

∫

C0(1

2E S (U,1 +

1

2V 2,1)2 +

1

2E I V 2

,11) dx1 + λ U(L) (5.40)

F(u, λ) =

∫

C0(1

2E S (U,1 +

1

2V 2,1)2 +

1

2E I V 2

,11) dx1 + λ U(L)

L’equation d’equilibre est donnee par :∫ L

0

(E S (U,1 +1

2V 2,1) (δU,1 + δV,1 V,1) + E I δV,11 V,11) dx1 +λ δU(L) = 0 ∀δU δV (5.41)

Avec par definition des efforts interieurs :

N =

∫

S

σ11 dS = E S (U,1 +1

2V 2,1), M =

∫

S

x3 σ11 dS = −E I V,11

On obtient :∫ L

0

(N (δU,1 + δV,1 V,1)−M δV,11) dx1 + λ δU(L) = 0 ∀δU δV (5.42)

Premiere integration par partie :

N(L)δU(L)−M(L)δV,1(L)+M(0)δV,1(0)−∫ L

0

N,1δUdx1+

∫ L

0

NV,1δV,1+M,1δV,1dx1+λδU(L) = 0 ∀δUδV(5.43)

On pose Q = N V,1 +M,1.

N(L)δU(L)−M(L)δV,1(L)+M(0)δV,1(0)−∫ L

0

N,1δUdx1+

∫ L

0

QδV,1dx1+λδU(L) = 0 ∀δUδV(5.44)

Deuxieme integration par partie :

N(L)δU(L)−M(L)δV,1(L)+M(0)δV,1(0)−∫ L

0

N,1δUdx1−∫ L

0

Q,1δV dx1+λδU(L) = 0 ∀δUδV(5.45)

5.7. ANALYSE DU FLAMBAGE D’UNE POUTRE PAR LE CRITERE DE SECONDE VARIATION DE L’ENERGIE POTENTIELLE79

Donc :N,1 = 0, Q,1 = 0, N(L) = −λ, M(0) = 0, M(L) = 0

N,1 = 0, Q,1 = 0, Q = N V,1 +M,1, N(L) = −λ, M(0) = 0, M(L) = 0

N = E S (U,1 +1

2V 2,1), M = −E I V,11

Solution triviale pour une courbe d’equilibre passant par l’etat naturel (N(λ = 0) =0, M(λ = 0) = 0, M,1(λ = 0) = 0).

Il s’agit d’un etat de compression avec de faibles deformations lineaires

Ue = − λ

E Sx1, Ve = 0 ∀x1 ∈ [0, L] ∀λ (5.46)

Rappel :

F,u(u, λ)[δu] =

∫ L

0

(ES (U,1 +1

2V 2,1) (δU,1 +δV,1V,1)+ E I δV,11V,11)dx1 +λδU(L) (5.47)

5.7.4 Etude de bifurcation

Le calcul de la seconde variation de l’energie potentielle, avec φ = (Uφ, Vφ), donne :

F,uu(u, λ)[δu, φ] =

∫ L

0

(E S (Uφ,1 + Vφ,1 V,1) (δU,1 + δV,1 V,1) (5.48)

+ E S (U,1 +1

2V 2,1) δV,1 Vφ,1 (5.49)

+ E I δV,11 Vφ,11) dx1 (5.50)

Au point d’equilibre ue(λ) = (− λE S

x1, 0) on a :

F,uu(ue, λ)[δu, φ] =

∫ L

0

(E S Uφ,1 δU,1 (5.51)

− λ δV,1 Vφ,1 (5.52)

+ E I δV,11 Vφ,11) dx1 (5.53)

S’il existe, le mode de bifurcation ψ est donne par :

F,uu(ue, λc)[δu, ψ] = 0 ∀ δU δV (5.54)

Pour le probleme etudie on trouve la condition suivante, avec ψ = (Uψ, Vψ) :

∫ L

0

(E S Uψ,1 δU,1 (5.55)

− λ δV,1 Vψ,1 (5.56)

+ E I δV,11 Vψ,11) dx1 = 0 ∀δU δV (5.57)

avec Uψ(0) = 0, Vψ(0) = 0, Vψ(L) = 0.

On trouve : λc = π2

L2 E I , Uψ = 0, Vψ = B sin(π x1L

)


5.7.5 Analyse de stabilite du flambage, critere de secondevariation

On obtient alors, pour Uψ = 0, Vψ = B sin(π x1L

) :

F,uu(ue, λ)[ψ, ψ] =

∫ L

0

(λ2c

E IB2 sin2(π

x1

L) (5.58)

− λ λcE I

B2 cos2(πx1

L)) dx1 (5.59)

F,uu(ue, λ)[ψ, ψ] =λcE I

B2 L

2(λc − λ) (5.60)

Pour λ < λc, F,uu(ue, λ)[ψ, ψ] > 0, l’equilibre est stable (Theoreme de LejeuneDirichlet).

Pour λ = λc, F,uu(ue, λ)[ψ, ψ] = 0, il y a bifurcation.Pour λ > λc, F,uu(ue, λ)[ψ, ψ] < 0, l’equilibre est instable (Theoreme de Lyapunov).On en deduit que λc est la charge critique de flambage de la poutre en compression.

5.8 Analyse du flambage par l’etude de l’equilibre

d’une configuration deformee

L’ensemble des developpements qui sont montres par ailleurs dans cette sectionutilisent une hypothese de petites perturbations, soit a la fois des petites deformations etde petits deplacementss : les deformations sont calculees en utilisant la partie symetriquedu tenseur gradient de deplacement, donc sans considerer les termes de plus haut degre,et les calculs sont effectues sur la configuration initiale. En elasticite, les relations quisont ecrites sont toutes lineaires, ce qui conduit entre autres a appliquer le ”principe”de superposition pour combiner l’effet de plusieurs chargements. L’application effectueedans ce paragraphe nous amene a introduire les efforts non plus sur la configurationinitiale, mais sur la configuration deformee. Ceci introduit une non-linearite, si bien que lesrelations force–deplacement ne seront plus lineaires, et que l’on ne pourra plus appliquerle principe de superposition.

Le flambage (ou le flambement) est un phenomene d’instabilite qui apparaıt surles poutres longues, les plaques et les coques minces, et qui conduit a des modes dedeformation catastrophiques. Ainsi une plaque ou une coque se met-elle ”en accordeon”.Une poutre droite flambe en compression lorsque sa ligne neutre ne reste pas droite. Laforce au-dela de laquelle le risque est avere est la force critique de flambement. Sa valeurdepend etroitement du module du materiau qui constitue la poutre, de la forme de lasection droite, de la longueur de la poutre, mais aussi des conditions aux limites (poutresur appui simple ou encastree).

5.8.1 Forme generale

On considere une poutre droite de longueur l le long de l’axe x1, et de section S. Elle estconstituee d’un materiau elastique de module E. Elle est chargee a ses extremites avec uneforce −F , dans l’axe de la poutre (on suppose F > 0). Dans un monde parfait, l’etat de

5.8. ANALYSE DU FLAMBAGE PAR L’ETUDE DE L’EQUILIBRE D’UNE CONFIGURATION DEFORMEE81

deformation est de la compression simple, la deformation axiale est uniforme sur l’ensemblede la poutre, de valeur F/ES. Il en est tout autrement si on considere que la ligne neutrede la poutre peut ne pas rester droite. Les raisons pour cela peuvent etre une petiteperturbation de l’equilibre, ou un defaut initial. Si on considere que la force s’appliquesur une configuration deformee qui n’est plus le segment de droite theorique initial, laforce axiale va developper un moment de flexion, et la poutre va se deformer en flexionautour d’un axe perpendiculaire a x1. On note I le moment quadratique correspondant.La deformee est donc caracterisee par la fleche V (x1), et il est naturel de negliger ledeplacement axial devant celle-ci, ce qui explique que l’approche considere une poutreinextensible. La donnee de la fleche permet d’obtenir l’expression du moment en x1,qui est egal a FV (x1). Comme on se place dans le cas d’une poutre longue, le momentvarie en fonction de la courbure V,11 uniquement. Son expression depend des conditionsaux limites : il est maximum pour un encastrement, nul pour une extremite simplementsupportee. Dans tous les cas, on trouve une equation de la forme :

EIV,11 + FV = C(x1) (5.61)

En posant k2 = F/EI, l’equation sans second membre s’ecrit :

V,11 + k2V = 0 (5.62)

Elle admet donc des solutions de la forme :

V (x1) = A cos(kx1) +B sin(kx1) (5.63)

5.8.2 Poutre simplement supportee

Si on considere le cas d’une poutre simplement supportee aux deux extremites, lafleche doit etre nulle aux deux extremites (x1 = 0 et x1 = L), ce qui impose :

A = 0 B sin(kL) = 0 (5.64)

Le cas B = 0 correspond a la situation triviale ou la fleche reste nulle. Par contre, si ona kl = nπ, on trouve effectivement la possibilite d’avoir une deformee non rectiligne. Ontrouve alors :

V (x1) = B sin(nπ

x1

L

)F = n2π2EI

L2(5.65)

La charge critique d’Euler Fc correspond au premier mode, obtenu avec n = 1 :

Fc = π2EI

L2(5.66)

C’est a partir de cette charge la, en general bien inferieure a la charge de rupture theoriquecalculee a partir d’un modele en compression, que la poutre risque de sortir de sa positiond’equilibre. En effet, si F est legerement inferieur a Fc, la solution de l’equation (5.64) nepeut etre que B = 0. L’etat dequilibre est alors de la compression pure, sans deplacementtransverse. Mais si F = Fc alors B est quelconque. Les deplacements transverses peuventavoir une amplitude quelconque. Au moindre effort transverse, ils deviennent infinis.L’equilibre n’est plus stable pour F = Fc.


5.8.3 Autres conditions aux limites

– Pour une colonne encastree a une extremite et libre de l’autre cote, on trouvedirectement la solution en considerant que, pour des raisons de symetrie, la chargecritique est la meme que celle d’une poutre simplement supportee de longueur 2L ;il vient :

Fc = π2 EI

4L2(5.67)

– Pour une colonne encastree d’un cote et simplement supportee de l’autre, l’equationdifferentielle est :

EIV,11 + FV = H(L− x1) (5.68)

dans laquelle H est la reaction de l’appui simple perpendiculairement a l’axe x1. Lacharge critique est alors :

Fc ≈ 20.187EI

L2(5.69)

– Pour une colonne encastree aux deux extremites, on obtient successivement :

EIV,11 + FV = Hx1 −M0 (5.70)

ou l’on a introduit de plus le moment M0 en x1 = 0. La charge critique est alors :

Fc ≈ 4π2EI

L2(5.71)

Chapitre 6

Exercice

6.1 Flexion sur appui simple : poutre homogene et

poutre sandwich

x 1

x 1

3x

3x

2h

2h

e

e

Figure 1 : Geometrie des poutres etudiees

Le but de cet exercice est de prendre conscience de l’importance qu’il y a a mettrele materiau qu’il faut a l’endroit ou il faut pour avoir des structures a la fois legeres etresistantes. La comparaison proposee porte sur deux poutres de section rectangulaire(figure 1), l’une realisee en alliage d’aluminium (longueur 2l, hauteur 2h, epaisseurb), l’autre constituee de ce meme alliage, colle sur un cœur de mousse polyurethane.Ce deuxieme assemblage presente environ la meme masse que le premier, les tolesd’aluminium utilisees etant deux fois moins epaisses que dans le premier cas. L’epaisseurde mousse vaut 2h. Chacune de ces deux poutres est posee sur deux appuis simples, etchargee ponctuellement en son milieu avec une force −P (flexion 3 points).

6.1.1 Poutre homogene

1. Traiter le cas de la poutre homogene, en supposant qu’une section plane de lapoutre reste plane. Trouver en particulier les equations qui expriment l’equilibre du milieucurviligne en termes de N , T et M , respectivement effort normal et ”effort tranchant”,et moment de flexion autour de l’axe 2. Trouver les lois de comportement qui relient lesquantites precedentes aux translations U et V d’un point de la ligne moyenne et de larotation θ d’une section.

Les poutres etant simplement posees, et le chargement discret, l’effort tranchant Test discontinu au point d’application de la force, et la derivee du moment l’est aussi. Le

83

84 CHAPITRE 6. EXERCICE

moment est nul aux deux extremites (figure 2 ). Notons que le systeme est isostatique, carnous pouvons determiner les reactions aux appuis sans exploiter les lois de comportementdu materiau. Ces reactions sont egales du fait de la symetrie et valent P/2x3. Pourla resolution des equations d’equilibre, le systeme etant isostatique, nous avons deuxpossibilites :

– (i) adopter une methode directe, en isolant le troncon [0, x1] pour x1 ∈ [0, l] puisx1 ∈ [l, 2l],

– (ii) resoudre les equations differentielles de l’equilibre local en theorie des poutresde Timoshenko.

Developpons l’analyse pour chaque approche. (i) Isolons le troncon [0, x1] pour x1 < l.Les actions exterieures qui lui sont appliquees sont P/2x3 en x1 = 0 (point O) et, pardefinition, le torseur des effort interieurs en x1 (point G). L’equilibre des resultantesdonne :

N = 0, T + P/2 = 0

L’equilibre des moments au point G donne :

Mx2 +GO ∧ P2x3 = 0

Developpement des calculs : GO ∧ P2x3 = −x1

P2x1 ∧ x3 = x1

P2x2. On obtient :

T = −P2∀x1 ∈ [0, l]

M = −x1P

2∀x1 ∈ [0, l]

Par la meme demarche, sur [l, 2 l] s’ajoute l’effort exterieur au centre de la poutre, onobtient :

T =P

2∀x1 ∈ [l, 2 l]

M = (x1 − l)P

2∀x1 ∈ [l, 2 l]

(ii) L’equation locale de l’equilibre s’ecrit, en absence de charge repartie :

N,1 = 0 ∀x1

T,1 = 0 ∀x1

M,1 − T = 0 ∀x1

En O la normale exterieure a la matiere est n = −x1, donc le torseur des efforts interieursy est oppose au torseur des efforts exterieurs appliques en O. Donc :

N(x1 = 0) = 0

T (x1 = 0) = −P2

M(x1 = 0) = 0

6.1. FLEXION SUR APPUI SIMPLE : POUTRE HOMOGENE ET POUTRE SANDWICH85

Par integration sur [0, l] on obtient :

N = 0, T = −P2∀x1 ∈ [0, l]

M = −x1P

2∀x1 ∈ [0, l]

En x1 = l il y a une discontinuite due au chargement exterieur ponctuel. Soit on etablitl’equilibre d’un troncon de longueur infinitesimal centre sur le milieu de la poutre (ceciest similaire a l’approche (i)), soit on integre les equations differentielles en partant dela condition a la limite x1 = 2l. On trouve ainsi la forme de la figure 3 . Le moment estnegatif.

x 1

-P xP/2 x

1x

33

M

P/2 x 3

T

-P x 3

P/2 x 3

si x1 < l : T = −P/2 ; M = −Px1/2si x1 > l : T = P/2 ; M = −P/2(l − x1)

Figure 2 : Chargement

1x

P/2

−P/2T

M

Pl/2

T,M

Figure 3 : Effort tranchant et moment

2. Trouver l’expression de la fleche pour cette poutre. Application numerique : P =160 N, l = 250 mm, E = 75000 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm, h = 2 mm.

N etant nul, la contrainte σ11 est egale a Mx3/I, avec I = (2/3)bh3. Pour x1 < l,l’angle θ est tel que θ,1 = −Px1/2EI, et, comme il est nul en x1 = l, on a :

θ =P (x2

1 − l2)

4EI

La fleche s’exprime :

V = −∫ x1

0

θdx1 +

∫ x1

0

T

µSdx1

En tenant compte du fait qu’elle s’annule en x1 = 0, il vient :

V =Px1

2µS+Pl2x1

4EI− Px3

1

12EI


Soit, au milieu de la poutre (x1 = l) :

V =Pl3

6EI+

Pl

2µS

Application numerique :L’ensemble (P = 160 N, l = 250 mm, E = 75000 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm, h = 2 mm)conduit a :

EI =2

3100× 75000× 23 = 40000000 N.mm2

µS =75000

2× 1.3× 100× 4 = 11538461 N

v = (10.41 + 0.0017) mm

Le terme lie a l’effort tranchant est negligeable.

6.1.2 Poutre sandwich sur deux appuis simples

3. Indiquer les differences entre la poutre sandwich et la precedente. Etudier enparticulier la continuite des composantes du tenseur des contraintes aux interfaces.Donner l’expression de la fleche. Application numerique : P = 160 N, l = 250 mm,Ea = 75000 MPa, Em = 20 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm, e = 2 mm, h = 15 mm.

Les calculs effectues ci-dessus restent valables, a condition d’utiliser les valeurshomogeneisees des produits EI et µS :

v =Pl3

6 < EI >+

Pl

2 < µS >

L’aluminium (Ea, µa), est situe entre les cotes ±h et ±(h+ e). La mousse (Em, µm) entreles cotes ±h. Il vient donc :

< EI >=2

3b(Ea((e+ h)3 − h3) + Emh

3)

< µS >= 2bhµm

Application numerique :L’ensemble (P = 160 N, l = 250 mm, Ea = 75000 MPa, Em = 20 MPa, ν = 0.3,b = 100 mm, e = 2 mm, h = 15 mm) conduit a :

< EI >=2

3× 100(75000× (173 − 153) + 20× 153)

< EI >= 7694500000 N.mm2

< µS >= 2× 100× 15× 20

2× 1.3= 23077 N

V = (0.054 + 0.867) mm

6.1. FLEXION SUR APPUI SIMPLE : POUTRE HOMOGENE ET POUTRE SANDWICH87

4. Montrer qu’il est important que la mousse soit capable d’offrir un minimum deresistance au cisaillement, faute de quoi la fleche due a celui-ci fait perdre l’avantageofferte par l’assemblage pour ce qui concerne la resistance au moment de flexion.

C’est maintenant le terme lie a l’effort tranchant qui est preponderant. On notel’importance qu’il y a a conserver un materiau qui possede des proprietes non negligeablescomme cœur de la poutre. Ainsi, avec un module d’Young qui de 0,79 MPa au lieu de20 MPa, on trouverait une fleche de plus de 22 mm, en ayant donc perdu tout l’avantagede l’assemblage ¡¡sandwich¿¿.


6.2 Flexion d’une poutre de section rectangulaire

3x

x1x2

Epaisseur b

MM 2h

Figure 1 : Geometrie et chargement de la poutre

La poutre de la figure 1 possede une section rectangulaire, de hauteur 2h et de largeurb. Elle est chargee en flexion pure (cisaillements negliges), et on suppose qu’une sectiondroite de normale x1 reste droite.Le comportement du materiau qui la constitue est elastique (E, ν) parfaitement plastique(σy).

1. Quelle est la distribution de contrainte et de deformation en elasticite ?L’etat de flexion pure autour de x2 d’un barreau d’axe x1 est caracterise par une

deformation ε11 lineaire en x3 et, en elasticite, par une contrainte σ11 egalementlineaire en x3. On pose σ11 = kx3. Toutes les autres composantes du tenseur decontrainte sont nulles. Les tenseurs de contrainte et de deformation elastique sontrespectivement representes par les matrices :

σ 0 00 0 00 0 0

et

σ/E 0 00 −νσ/E 00 0 −νσ/E

(6.1)

Le vecteur contrainte sur une section courante de normale e1 se reduit a σ11e1.On deduit immediatement de la geometrie de la section (−b/2 6 x2 6 b/2 et−h 6 x3 6 h) que la resultante est nulle sur une facette normale a l’axe x1. Lemoment des efforts interieurs sur la section de la poutre s’ecrit, en tenant comptedu fait que les composantes de OM sont (0, x2, x3) :

M =

∫∫(OM × T ) dS = M2e2 +M3e3 (6.2)

avec :

M2 =

∫∫x3 σ11 dx2 dx3 =

∫∫k x2

3 dx2 dx3 (6.3)

M3 = −∫∫

x2 σ11 dx2 dx3 = −∫∫

k x2 x3 dx2 dx3 (6.4)

(6.5)

La composante M3 est nulle (integrale de x3 entre −h et h). L’expression obtenuepour M2, que l’on designera dans la suite par M , est (voir Fig.2a) :

M = kb

∫ +h

−hx2

3 dx3 =2

3kbh3 (6.6)

6.2. FLEXION D’UNE POUTRE DE SECTION RECTANGULAIRE 89

On peut donc exprimer k en fonction du moment, et, en posant I = 2bh3/3, ontrouve la valeur courante de σ11 sur la section :

σ11(x3) = σ(x3) = Mx3/I (6.7)

Il s’agit d’une fonction impaire en x3, dont la valeur maximale, σm, atteinte enx3 = h, vaut 3M/2bh2.

2. Trouver le moment Me pour lequel la plasticite debute.Il y a plastification lorsque σm = σy, soit : Me = 2bh2σy/3

σ- Μ

σΜ

x3x3

σ0-

0σ

x3

σ0-

0σ

c

Compression

Traction

-h

+h

a-a

ba

Figure 2 : Profil de contrainte σ11 dans une poutre en flexion simple :

(a) Elasticite, (b) En cours de plastification, (c) Charge limite

3. Trouver la distribution des contraintes lorsque M depasse Me. Montrer qu’ilexiste une valeur limite M∞ du moment de flexion pour laquelle les deformationsdeviennent infinies.Pour M > Me, il y a un noyau elastique −a ≤ x3 ≤ a, et deux zones plastiques, l’une

en traction (x3 > a), l’autre en compression (x3 < −a). Dans le noyau elastique, ona toujours linearite de la contrainte avec x3 : σ = kx3 ; dans les zones plastiques,on a σ = +σy(x3 > a), ou σ = −σy(x3 < −a) (Fig.2b). Les deux inconnues duprobleme sont k et a.Elles doivent verifier :

– la condition d’equilibre (1) :

∫ +h

−hx3 σb dx3 = M

– la continuite de la deformation en ±a , entraınant celle de la contrainte a lafrontiere entre les zones elastique et plastique :ka = σy d’ou : k = σy/a.En remplacant σ par son expression dans l’egalite (1), on obtient la valeur de M :

M/2 =

∫ a

0

x3(σy x3/a)b dx3 +

∫ h

a

x3 bσy dx3


M = bσy(h2 − a2/3)

Remarques– Si a = h : M vaut bien Me = (2/3)bσyh

2

– Si a = 0 : M = M∞ = bσyh2 = 3Me/2

Dans les deux cas, les solutions elastique et plastique se raccordent correctement.Pour M = M∞, la totalite de la poutre est plastifiee, elle ne peut plus supporter decharge supplementaire, on a une rotule plastique (Fig.2c).

4. Que se passe-t-il lorsqu’on relache l’effort (M = 0),i) dans le cas ou le moment maximum atteint vaut Mm ≤Me,ii) dans le cas ou Me < Mm < M∞ ?Montrer qu’il subsiste dans ce dernier cas des contraintes residuelles.

Si on n’a pas depasse le moment Me, l’ensemble de la structure reste elastique,si bien que, apres relachement de l’effort, la structure reprendra sa forme initiale,et il n’y aura plus de contraintes. Au contraire, s’il y a eu plastification partielle,lorsqu’on fera passer le moment de Mm a zero, les fibres qui sont allongees (resp.raccourcies) de facon irreversible vont se retrouver en compression (resp. traction).En supposant que l’ensemble de la decharge s’effectue de facon elastique (ce quel’on verifiera par la suite), on obtient l’etat final par superposition de l’etat actuelet de la distribution de contrainte que l’on obtiendrait en elastique avec le moment−Mm, soit, quel que soit x3 compris entre −h et +h : σ = −Mmx3/I. Cela donnele profil suivant, reporte en figure 3a :– pour −a ≤ x3 ≤ a σ = σyx3/a− 3Mmx3/2bh

3

– pour x3 ≥ a σ = σy − 3Mmx3/2bh3

– pour x3 ≤ −a σ = −σy − 3Mmx3/2bh3

Remarques

– On note que la pente −3Mm/2bh3 est negative pour |x3| > a.

– Les contraintes residuelles sont autoequilibrees :

∫ +h

−hσ dx3 = 0.

– On ne replastifie pas en compression, car, lorsque le moment maximum Mm tendvers le moment limite M∞ = bσyh

2, la contrainte σc obtenue par superpositionen x3 = h reste superieure a −σy :

σc = σy − (3bσyh2/2bh3)h = −σy/2

x3 x3σc

σT σ0-

0σ- /2

0 /2

-aa

a b

σ0

σ

TC

C

T

Figure 3 : Profil de contrainte σ11 apres decharge : (a) Pour une mise en charge

elastoplastique, (b) Pour une mise en charge a la charge limite


5. Recommencer le probleme avec une force horizontale P superposee au moment deflexion : definir dans le plan P–M la ¡¡limite d’elasticite¿¿, pour laquelle il ya plasticite commencante, et la ¡¡charge limite¿¿ correspondant a la ruine de lastructure par deformation excessive.Si on applique une traction horizontale en plus d’un moment, la forme du tenseur

de contrainte est inchangee, mais la ligne neutre est deplacee. On a simplement, enelasticite :

σ11 = σ = Mx3/I + P/2bh

On definit donc la limite du domaine d’elasticite par un segment de droite danschaque quadrant du plan P–M .On connaıt deja le moment limite en flexion simple. En l’absence de moment, lacharge limite en traction est egale a la charge qui produit la premiere plasticite :

P∞ = Pe = 2hbσy

Pour trouver les valeurs de Pr et Mr qui conduisent a la ruine, en cas de chargementcombine, il suffit de se placer directement a l’etat limite (Fig.4a), et d’y ecrirel’equilibre des moments et de la force horizontale. Cet etat est caracterise par :

si x3 < a : σ = −σysi x3 > a : σ = σy.

On ecrit alors :

P =

∫ a

−h−σyb dx3 +

∫ h

a

σyb dx3 = −2σyab

M =

∫ a

−h−σyx3b dx3 +

∫ h

a

σyx3b dx3 = bσy(h2 − a2)

En normant par Pe et Me, Pr = −Pea/h ; Mr = 3Me(1 − a2/h2)/2, et on trouve lediagramme de la figure 4b :

Mr/Me = (3/2)(1− (Pr/Pe)2)

−σ0

+σ0

ruine de lastructure

M/Me

P/Pea

1

Elastique

Plast.

1.5

1

(a) (b)

Figure 4 : (a) Profil de contrainte σ11 pour l’etat de charge limite, en traction axiale et

flexion pure, (b) illustration des domaines elastique et plastique dans l’espace P–M


6. Evaluer la fleche au cours du chargement et la fleche residuelle.En supposant qu’une section plane reste plane, le champ de deplacement dans la

poutre est de la forme :u1 = U(s) + θx3 U(s) designant le deplacement d’ensemble de la section,

θ son angle de rotation,u3 = V (s) V (s) designant le deplacement vertical.

S’il n’y

a pas de cisaillement de type 13, la deformation correspondante doit etre nulle. Ontrouve ainsi la relation qui permet de calculer la fleche en connaissant la rotation :

u1,3 + u3,1 = 0

θ + V,1 = 0

La deformation axiale se calcule aisement en fonction de la rotation, puisque :

ε11 = u1,1 = θ,1x3

Dans le cas d’un comportement elastique, le terme θ,1 s’exprime en fonction dumoment applique, puisque :

M =

∫ +h

−hσ11x3b dx3 = EIθ,1

En presence de plasticite parfaite, la rotation continue d’etre imposee par le noyauelastique : une section plane reste plane, et son orientation est donnee par la penteentre −a et a. Dans cette zone :

ε11 = σ11/E = (σy/E)(x3/a)

θ,1 = σy/Ea

Il s’ensuit que la courbure V,11 vaut :– en regime elastique : V,11 = −M/EI– en regime elastoplastique : V,11 = −σy/EaL’integration de ces equations pour une poutre simplement posee sur ses deuxextremites, et de longueur 2L (soit −L ≤ x1 ≤ L) donne pour expression dudeplacement vertical :– en regime elastique : V = (M/2EI)(L2 − x2

1)– en regime elastoplastique : V = (σy/2Ea)(L2 − x2

1)

La valeur maximale de la fleche est obtenue pour x1 = 0. En remplacant a parson expression en fonction de M pendant le regime elastoplastique, on trouvel’expression de la reponse globale de la structure :

V =σyL

2

2Eh√

3(1−M/bσyh2)

RemarqueCette expression est coherente avec celle qui est ecrite pour le cas elastique lorsqueM = Me = (2/3)bσyh

2

La fleche tend vers l’infini lorsque M tend vers M∞ = bσyh2. Dans ce dernier cas,


il est clair que l’hypothese de petites deformations sera en defaut bien avant larupture, si bien qu’il faut en toute rigueur reconsiderer le calcul.La fleche residuelle est celle que l’on calcule en superposant au resultat precedentecrit pour le moment Mm celui obtenu lors d’une decharge elastique de −Mm, soit :

V =σyL

2

2Eh√

3(1−Mm/bσyh2)− MmL

2

2EI


6.3 Gonflage d’un ballon

Un ballon de baudruche spherique a un rayon initial R d’epaisseur H. Il est gonfle aun rayon final r et une epaisseur de paroi h par une pression interne pi. On suppose qu’al’etat de reference pi = 0. La geometrie des deux configurations, de reference et actuelle,sont representees figure 6.1. Supposons que le caoutchouc peut etre modelisee comme un

20

Figure 2 – definition de la configuration de reference et de la configuration deformee ou diteactuelle (current configuration)

(c) Evaluer Pnorm = pi R4 H , la pression normalisee par rapport a λ.

(d) En deduire une expression pour la pression maximale requise pour gonfler le ballon.

Le soufflage de membranes est un test couramment utilise pour l’etalonnage de materiauxsouples. Lors de la mise sous pression de la membrane spherique celle ci se deforme en une

sphere mince ; la solution triviale du probleme conserve la propriete de sphericite. Nous savonsqu’a partir d’une sphere parfaite si l’on applique une pression interne chaque direction dansle plan de la sphere est une direction principale. Par consequent nous sommes en presencesd’une deformation equibiaxiale.Sa deformation peut etre presentee en termes d’etirements le long des directions principalesdes coordonnees spheriques. L’allongement de l’epaisseur de la paroi est aisement evaluerpar :

λr =h

H(97)

avec h, H les epaisseurs de la sphere mince respectivement dans le repere courant et dereference.

Figure 6.1 – definition de la configuration de reference et de la configuration deformeeou dite actuelle (current configuration)

solide incompressible.

1. Montrer que les contraintes de Cauchy principales sont donnees par l’expression :

σi = 2(W2λ

2i +W1

)λ2i

(1− λ−6

i

)(6.8)

Le soufflage de membranes est un test couramment utilise pour l’etalonnage de materiaux

souples. Lors de la mise sous pression de la membrane spherique celle ci se deforme en

20

Figure 2 – definition de la configuration de reference et de la configuration deformee ou diteactuelle (current configuration)

(c) Evaluer Pnorm = pi R4 H , la pression normalisee par rapport a λ.

(d) En deduire une expression pour la pression maximale requise pour gonfler le ballon.

Le soufflage de membranes est un test couramment utilise pour l’etalonnage de materiauxsouples. Lors de la mise sous pression de la membrane spherique celle ci se deforme en une

sphere mince ; la solution triviale du probleme conserve la propriete de sphericite. Nous savonsqu’a partir d’une sphere parfaite si l’on applique une pression interne chaque direction dansle plan de la sphere est une direction principale. Par consequent nous sommes en presencesd’une deformation equibiaxiale.Sa deformation peut etre presentee en termes d’etirements le long des directions principalesdes coordonnees spheriques. L’allongement de l’epaisseur de la paroi est aisement evaluerpar :

λr =h

H(97)


une sphere mince ; la solution triviale du probleme conserve la propriete de sphericite.

6.3. GONFLAGE D’UN BALLON 95

Nous savons qu’a partir d’une sphere parfaite si l’on applique une pression interne chaquedirection dans le plan de la sphere est une direction principale. Par consequent noussommes en presences d’une deformation equibiaxiale.Sa deformation peut etre presentee en termes d’etirements le long des directionsprincipales des coordonnees spheriques. L’allongement de l’epaisseur de la paroi estaisement evaluer par :

λr =h

H(6.9)


La condition d’incompressibilite nous permet d’evaluer, l’allongement circonferentieldu ballon. En effet le volume de la membrane du ballon reste constant ;4π r h = 4π RH et λr λθ λφ = 1 = V/V0, on obtient alors :

λφ = λθ = λ =r

R(6.10)

Ainsi on deeduit que λr = λ−2.Le gradient de deformation et le tenseur gauche de Cauchy-Green prennent alors les formessuivantes :

F∼

= λ−2gr⊗GR + λ

(gθ⊗GΘ + g

φ⊗GΦ

)(6.11)

avec (GR, GΘ, GΦ), le repere spherique associe a la configuration initiale et (gr, g

θ, g

φ), le

repere aspherique ssocie a la configuration deformee. Le tenseur B∼ prends alors la formesuivante :

B∼

= F∼F∼T = λ−4g

r⊗ g

r+ λ2

(gθ⊗ g

θ+ g

φ⊗ g

φ

)(6.12)

La contrainte de Cauchy peut etre alors s’exprimee telle que :

σ∼

= σrrgr ⊗ gr + σθθ

(gθ⊗ g

θ+ g

φ⊗ g

φ

)(6.13)

σrr = −p+ 2 (W2I1 +W1)λ−4 − 2W2λ−8

σθθ = −p+ 2 (W2I1 +W1)λ22 − 2W2λ

42 = σ

(6.14)

le ballon etant tres fin, la contrainte radiale σrr est donc negligeable devant σθθ (voir tubemince) . σrr verifie l’equation differentielle d’equilibre. La valeur de σrr est approximeeetel que :

σrr = −p+ 2 (W2I1 +W1)λ−4 − 2W2λ−8 ≈ 0 (6.15)

En substituant le multiplicateur inconnu, p (pression hydrostatique), a partir de 6.15 dans6.14 2, nous obtenons :

σ = 2 (W2I1 +W1)λ2(1− λ−6

)− 2W2λ

4(1− λ−12

)(6.16)

= 2W1λ2(1− λ−6

)+ 2W2λ

2(λ2 − λ−4

)(6.17)

= 2(W2λ

2 +W1

)λ2(1− λ−6

)(6.18)

2. A partir de l’equation d’equilibre de la demi-sphere deduire l’expression de la pression

interne pi en fonction de la deformation equi-biaxiale λ.


Pour relier les contraintes a la pression interne, pi, nous considerons l’equilibre d’unedemi-sphere :

pi = 2h

rσ = 2

λ−2H

λRσ = 2

H

λ3Rσ =

4H

λR

(W2λ

2 +W1

)λ2(1− λ−6

)(6.19)

3. Evaluer Pnorm =piR

4H, la pression normalisee par rapport a λ. Applications des modeles

d’Ogden, de Mooney Rivlin et Neo-Hookeen

A partir de lequation (6.19), l’expression generale de la pression-etirement peut etreevaluee telle que :

Pnorm(λ) =piR

4H=(W2λ

2 +W1

) (λ−1 − λ−7

)(6.20)

Les modeles d’Ogden, de Mooney Rivlin et Neo-Hookeen sont appliques avec les proprietesmateriaux suivants : Les proprietes des materiaux pour le modele d’Ogden sont donneesen fonction du module de cisaillement µ = 4.225 105N/m2. Pour le modele de Mooney-Rivlin les coefficients materiaux suivant ont ete utilises C10 = 0.4375µ, C20 = 0.065µ tel

que (C10/C20 = 7), et pour les Neo Hookeen modele C10 =µ

2Figure 6.2, le comportement

locale de la contrainte biaxiale dans la membrane est trace en fonction de l’elongationλ et la pression interne normee est evaluee figure 6.3 pour chacun des modeles decomportement.22

Figure 3 –

Figure 4 –

Il est a noter que la pression atteint un maximum a un ratio d’elongation relativement faible.Le maximum apparait pour le modele Neo Hookeen (W2 = 0) quand :

dPnorm

dλ= −λ−2 + 7λ−8 = 0 (109)

Figure 6.2 –

4. En deduire l’expression de la pression maximale requise pour gonfler le ballon.

6.3. GONFLAGE D’UN BALLON 97

22

Figure 3 –

Figure 4 –

Il est a noter que la pression atteint un maximum a un ratio d’elongation relativement faible.Le maximum apparait pour le modele Neo Hookeen (W2 = 0) quand :

dPnorm

dλ= −λ−2 + 7λ−8 = 0 (109)

Figure 6.3 –

la pression atteint un maximum a un ratio d’elongation relativement faible. Le maximumapparait pour le modele Neo Hookeen (W2 = 0) quand :

dPnormdλ

= −λ−2 + 7λ−8 = 0 (6.21)

donc quandλ = 71/6 = 1.3831 (6.22)

Ce pic de pression en fonction de l’elongation est une caracteristique bien connue dugonflage d’un ballon. Apres un gonflage relativement faible , il est plus facile de continuera gonfler le ballon. Une autre consequence de ce pic de pression est que le gonflage devientnon uniforme apres le pic, une partie de la membrane peut etre deformee a un degresuperieur (perte de sphericite), avant la reaugmentation de la pression avec la deformation,alors que le reste de la membrane est moins deforme que λ = 1.38

RESULTATS EXPERIMENTAUX


0.5. GONFLAGE DU BALLON 23

donc quandλ = 71/6 = 1.3831 (110)

Ce pic de pression en fonction de l’elongation est une caracteristique bien connue du gonflaged’un ballon. Apres un gonflage relativement faible , il est plus facile de continuer a gonfler leballon. Une autre consequence de ce pic de pression est que le gonflage devient non uniformeapres le pic, une partie de la membrane peut etre deformee a un degre superieur (perte desphericite), avant la reaugmentation de la pression avec la deformation, alors que le reste dela membrane est moins deforme que λ = 1.38

RESULTATS EXPERIMENTAUX

6.4 Rupture fragile d’une poutre en flexion par une

approche statistique

X1

X3 F

L L L

A

B C D

H

F

Fig.1 : Geometrie et conditions aux limites de la poutre en flexion

Une poutre en acier est soumise a de la flexion, a une temperature de -20oC. Acette temperature le materiau est plus fragile qu’a 20oC. L’objectif de cet exercice est dedecouvrir progressivement l’approche statistique de la rupture en utilisant la theorie dumaillon faible. Les premieres questions sont neanmoins posees dans un cadre deterministe.

Nous considerons une poutre sollicitee en flexion pure sur deux appuis (flexion 4points). Nous supposons les deformations planes. Le chargement et la geometrie etantplans, pour l’etude deterministe nous n’etudions que le troncon compris entre les pointsA et C. Ce troncon et la condition limite de symetrie sont reportes sur la figure 6.4. Onadmet que la rupture n’a lieu que loin des points d’application des charges pour pouvoir

6.4. RUPTURE FRAGILE D’UNE POUTRE EN FLEXION PAR UNE APPROCHE STATISTIQUE99

appliquer la theorie des poutres. La longueur de la poutre complete est 3L (L = 0, 3m).Sa section est rectangulaire, de hauteur h et de largeur B (h = 0, 005 m, B = 0, 03m).L’effort applique est de 500N.

X1

X3

L L/2

A

B C

F

Fig.2 : Conditions aux limites du probleme symetrique

1. Calculer la plus grande contrainte principale en tout point de la poutre.On supposera les effets du cisaillement negligeables.

La poutre est isostatique. L’equilibre du troncon [0, 32L] permet d’obtenir la reaction

de l’appui au point A. L’action de l’appui en A sur la poutre est RA = −F . En isolant letroncon [0, x1] pour x1 ≤ L on obtient l’equation de moment suivante au centre d’inertiede la section droite en x1 :

M + Fx1 = 0 ∀x1 ≤ L

Donc :

M = −Fx1 ∀x1 ≤ L

Le materiau etant homogene, la repartition des contraintes dans la section droite estlineaire. On en deduit que :

σ11 =M

Ix3 ∀x1 ≤ L

En supposant negligeable le cisaillement, les autres composantes du tenseur de contraintesont nulles. Donc la premiere contrainte principale est :

σI = −F x1

Ix3 ∀x1 ≤ L, ∀ x2, x3

avec I = B h3

12. En isolant le troncon [L, x1] pour x1 ≤ 3

2L on obtient l’equation de moment

suivante au centre d’inertie de la section droite en x1 :

M + Fx1 − F (x1 − L) = 0 ∀x1 ∈ [L,3

2L]

Donc :

M = −FL ∀x1 ∈ [L,3

2L]

et

σI = −F L

Ix3 ∀x1 ∈ [L,

3

2L], ∀ x2, x3


X1

X3

Zoom sur la fissure

aσ∞σ∞

A H

Fig.2 : Fissure de profondeur a, en face superieure.

2. Prise en compte d’une entaille microscopique. Nous considerons la presenced’une entaille a la surface superieure ou inferieure de la poutre. L’entaille est assimileea une demie fissure. Sur la figure 2, un agrandissement d’une entaille en face superieurea ete represente. La longueur de l’entaille est notee a. Elle traverse toute la largeur de lapoutre, selon la direction x2. Nous faisons l’hypothese de separation des echelles. Ainsi,la contrainte principale macroscopique (a l’echelle de la poutre) s’applique au voisinagede la fissure comme si elle etait appliquee a l’infinie. De plus l’entaille microscopique nemodifie pas le champ de contrainte macroscopique. Quel mode de fissuration est-il active ?

Il s’agit du mode d’ouverture par la contrainte perpendiculaire a la fissure. C’est lemode I. Il n’y a pas de mode de cisaillement.

3 Donner l’expression du facteur d’intensite des contraintes en pointede fissure, en fonction de la contrainte principale macroscopique calculeeprecedemment.

Selon le cours, nous avons pour chaque microfissure :

KI = σI√π a

or seules les fissures en face inferieure sont ouvertes par le chargement. Il faut ne fautdonc considerer que le cas x3 = −h

2pour le calcul de KI .

σI =F x1

I

h

2∀x1 ≤ L, ∀ x2

σI =F L

I

h

2∀x1 ∈ [L,

3

2L], ∀ x2

4 Quelle est la plus petite entaille qui provoque la rupture fragile de la poutre ?

La tenacite de l’acier considere, a -20oC, est de 100MPa.m1/2. Ou se situe cette entaille ?On notera ac la taille critique de l’entaille.

Pour ouvrir la fissure avec le chargement choisi, l’entaille doit etre en face inferieure,dans la zone la plus sollicitee en traction qui est dans l’intervalle [L, 2 L] en considerantla poutre complete. On a alors :

KIc =F L

I

h

2

√π ac

6.4. RUPTURE FRAGILE D’UNE POUTRE EN FLEXION PAR UNE APPROCHE STATISTIQUE101

donc

ac =1

π

(2KIc I

F L h

)2

5 L’etat de surface de la poutre est tel qu’il existe, en surface, unedistribution d’entailles de longueur a. La distribution statistique est donnee par la loipuissance suivante pour ce qui concerne la probabilite d’avoir une entaille microscopiquede longueur a :

p(a) = (a

a)β

avec a = 1, 4 1010m et β = 11. Sachant que la rupture a lieu pour a > ac, l’expression dela probabilite de rupture d’un volume elementaire V est donnee par :

PR = 1− exp(− VVo

∫ ∞

ac

p(a) da),

ou Vo = 10−6m3. On supposera que la longueur microscopique de l’entaille et la contrainteσ sont les seuls parametres mecaniques expliquant la rupture a l’echelle microscopique.Donner l’expression de la probabilite de rupture comme une fonction de la contraintemacroscopique σ.

Il y a rupture pour les entailles de longueur superieure a ac = 1π

(KIcσ

)2+, donc :

p(σ) =

∫ ∞1π

(KIcσ

)2+

p(a) da

Apres integration, en supposant β > 1, on obtient :

PR = 1− exp(− VVo

p(σ)),

p(σ) = (σ

σU)2β−2+ ,

σU = (β − 1

aβ πβ−1K2β−2Ic )1/β

Cette expression est similaire a une loi de Weibull dont la forme generale est :

PW = 1− exp(−(σ − σoσ

)m+ )

6 Considerons deux volumes elementaire V1 et V2, soumis respectivementaux contraintes macroscopique σ1 et σ2. Donner l’expression de la probabilite derupture de l’ensemble V1 ∪ V2 en appliquant la theorie du maillon faible qui dit qua laprobabilite de non rupture est donnee par la non rupture de V1 et celle de V2. Etendre laformule a un ensemble de volumes infinitesimaux poses sur une surface S et de volumego dS, avec go = V

1/3o .

Notons PR1 et PR2 les probabilite de rupture de chaque volume. On a alors :

1− PR1+2 = (1− PR1) (1− PR2),


avec PR1+2 probabilite de rupture de l’ensemble. On obtient donc pour la probabilite derupture :

PR1+2 = 1− exp(−V1

Vop(σ1)− V2

Vop(σ2))

Pour un volume infinitesimal dV = go dS on a :

PRS = 1− exp(−∫

S

goVo

p(σ) dS) ,

ou S est la face inferieure de la poutre complete.

7 Y a-t-il un effet de taille sur la rupture de la poutre ? La probabilite derupture de la poutre depend-t-elle de la largeur B ?

Pour la poutre, seule la surface inferieure est en traction. Donc la probabilite de rupturede la poutre en flexion est :

PRpoutre = 1−exp(−B

(∫ L

0

goVo

(F x1 h

2 σu I

)2β−2

dx1 + 2

∫ 32L

L

goVo

(F L h

2 σu I

)2β−2

dx1

))

Elle depend lineairement de B.

PRpoutre = 1− exp(−B A F 2β−2) avec A =goVo

(h

2 σu I

)2β−2

L2 β−1 2β

2 β − 1

8 Quelle est la charge critique pour la poutre avec une probabilite derupture de 50%.

0.5 = 1− exp(−B A F 2β−2c )

donc

Fc =

(ln(2)

B A

) 12β−2

Comme β > 1 plus la largeur de la poutre est grande ou plus la poutre est longue, moinsla charge critique est grande. Il y a evidemment une limite a ce modele.

6.5. EVALUATION DE LA CHARGE DE FLAMBEMENT D’UNE POUTRE DROITE103

6.5 Evaluation de la charge de flambement d’une

poutre droite

Dans ce probleme 1, nous examinons la resistance au flambement d’une poutre droitede longueur L, encastree a x1 = 0 subissant une charge compressive F > 0 (N(x1) =−F < 0), et une charge laterale P , a x1 = L, comme sur la figure ci-dessous. On notecomme d’habitude V (x1) la fleche de la poutre, qui va intervenir dans le calcul du moment,car on travaillera sur la configuration deformee.

1. Dessiner le diagramme d’equilibre sur la configuration deformee. En utilisant celui-ci, montrer que V verifie l’equation differentielle :

EI V,11 +F V = P (L− x1) + Fδ

L’ecriture de l’equilibre comporte les trois equations :

N,1 + t = 0 T,1 + p = 0 M,1 − T = 0

Les valeurs de N et T sont donc constantes, egales aux valeurs des efforts exterieurs enx1 = L :

N(x1) = FL = −F T (x1) = TL = P

De facon classique, on integre T pour trouver M , sachant que le moment est nul al’extremite libre (x1 = L),

M(x1) = ML +

∫ x1

L

T (x)dx = P (x1 − L)

Le fait de travailler sur la configuration deformee va rajouter le moment produit par F ,si bien que :

M(x1) = P (x1 − L) + F (V − δ)La relation de comportement M = −EI V,11 permet ensuite de retrouver l’equationsouhaitee. Il est a noter que l’on ajoute les contributions des deux efforts (F et P ) lorsqu’on

1. Exercice mis au point par le Prof. D.M. Parks (MIT) pendant son sejour 2007–2008


calcule les moments, mais que cette operation ne revient pas a appliquer le theoreme desuperposition. La presence de V dans l’equation conduit a une solution non polynomiale.

2. En posant k2 ≡ F/EI, donner la solution de l’equation differentielle, somme de lasolution homogene et de la solution particuliere, et utiliser les conditions aux limites enx1 = 0 pour trouver la fleche, V (x1).

L’equation s’ecrit simplement :

V,11 +k2V =P (L− x1)

EI+ k2 δ

La solution homogene Vh et la solution particuliere Vp s’ecrivent :

Vh = A sin kx1 +B cos kx1 Vp =P (L− x1)

k2EI+ δ

On ecrit donc respectivement la fleche et sa derivee sous la forme :

V = A sin kx1 +B cos kx1 +P (L− x1)

k2EI+ δ

V,1 = Ak cos kx1 −Bk sin kx1 −P

k2EI

En x1 = 0, la fleche et sa derivee sont nulles, puisqu’on est en presence d’unencastrement, si bien que :

0 = B +PL

k2EI+ δ

0 = Ak − P

k2EI

La fleche s’exprime donc :

V (x1) =P

Fksin kx1 −

(PL

F+ δ

)cos kx1 +

P

F(L− x1) + δ

3. En utilisant la ¡¡condition de coherence¿¿ V (L) ≡ δ, montrer que

δ =

(PL3

EI

)(tan kL− kL

(kL)3

)

En exprimant la ¡¡condition de coherence¿¿ V (L) = δ, on peut trouver la valeur de lafleche a l’extremite de la poutre :

δ =PL3

EI

tan kL− kL(kL)3


La valeur de la fleche est donc finalement :

V (x1) =PL3

EI(kL)3(sin kx1 − kx1 + tan kL(1− cos kx1))

4. Lorsque kL→ π/2, δ →∞ ; en deduire la valeur de F = Fc qui prevoit une flecheinfinie pour une charge laterale nulle, et verifier que cette valeur est egale a la chargecritique d’Euler.

La valeur obtenue est bien :

FC =π2EI

4L2

5. Pour une charge axiale F ¡¡petite¿¿, montrer que la solution tend vers la solutionstandard d’une poutre encastree de longueur L soumise a une charge P a son extremite.

Si le terme kL est petit, le developpement limite de tan kL dans l’expression de δdonne un terme lineaire qui disparaıt au numerateur. Le terme suivant vaut (kL)3/3, sibien que :

limkL→π/2

δ =PL3

3EI

Cette valeur est bien celle qui correspond a une poutre console chargee en son extremiteavec une charge P . On la retrouve sans calcul en exploitant le fait que la fleche est lameme que celle d’une poutre de longueur 2L simplement supportee a ses extremites, etchargee avec une charge 2P en son milieu, cas qui a ete traite en cours. Les equationssont brievement redemontrees en question 7.

6. Refaire ce probleme pour le cas de la traction (on a maintenant F negative).

Le cheminement est identique, mais le changement de signe change les sin et cos en sinhet cosh, et l’equilibre instable lorsqu’on augmente la valeur absolue de F en un equilibrestable. En posant maintenant k2 = −F/EI, l’equation differentielle a resoudre est :

V,11 − k2V =P (L− x1) + Fδ

EI

qui a pour solution :

V (x1) = A sinh kx1 +B cosh kx1 +P

F(L− x1) + δ

Lorsqu’on annule a la fois V et sa derivee en x1 = 0, on trouve les deux conditions quidefinissent A et B :

B +PL

F+ δ = 0 A =

P

Fk

La condition de coherence en x1 = L fournit alors la valeur de δ :

δ =PL3

EI

(kL− tanh kL

(kL)3

)


La valeur de la fleche est finalement :

V (x1) =PL3

EI(kL)3(− sinh kx1 + kx1 − tanh kL(1− cosh kx1))

7. Comparer les resultats obtenus lorsque la force dans l’axe de la poutre est encompression ou en traction

Le calcul sans force axiale, avec la seule charge P sur une poutre console de longueurL encastree en x1 = 0 donne successivement :

T (L) = PL = P

M = P (x1 − L)

θ =M

EI=

P

EI

(x2

1

2− Lx1

)

V =P

EI

(Lx2

1

2− x3

1

6

)

V (L) =PL3

3EI

On peut comparer la deformee obtenue dans ce cas avec celles qui ont ete calculees pourune force axiale en compression ou en traction. Le diagramme suivant montre la flechemaximale obtenue lorsqu’on applique une force axiale a l’extremite d’une poutre consoleencastree en x1 = 0, et chargee avec une charge P en x1 = L. Les valeurs en ordonneesont normees par la valeur de reference a force axiale nulle, les valeurs en abscisse sontnormees par la charge critique d’Euler, FC . On observe bien l’instabilite qui s’annoncedes que la force axiale en compression atteint 90% de FC , alors qu’au contraire la flecheest stable pour le cas de la traction axiale.

Comparaison de la fleche maximale, normee par la valeur a force axiale nulle, en fonctionde la force axiale, en compression ou en traction, normee par la charge critique d’Euler


Augmentation de la fleche produite par l’application d’une compression axiale

Les consequences sur la forme prise par la poutre sont illustrees par deux figures, danslesquelles la fleche au point x1 est de nouveau normee par la fleche maximale, et ou cettevaleur est tracee en fonction de l’abscisse normee x1/L sur la poutre. En compression, ontrouve que la fleche est plus grande, en traction qu’elle est plus petite.

Diminution de la fleche produite par l’application d’une traction axiale

En conclusion, on observe que, pour une charge donnee P , l’application d’une tractionproduit une rigidification apparente de la poutre, alors que l’application d’une compressionproduit un assouplissement apparent. Ceci est a mettre en relation avec la frequence desvibrations libres d’une poutre comportant une masse en bout. Si fo est la frequence dereference lorsque la poutre vibre dans le plan horizontal, la frequence que l’on observera


sera fb > fo lorsque la poutre vibre verticalement avec la masse vers le bas, et fh < fo sila masse est placee vers le haut.

6.6. COMPOSITES A FIBRES LONGUES 109

6.6 Composites a fibres longues

6.6.1 Reservoir sous pression

On considere un reservoir cylindrique sous pression forme d’une enveloppe mince derevolution, qui, en section courante, comporte des fibres de verre selon deux directionsfaisant un angle ±α par rapport a l’axe du reservoir 2. Les fibres sont disposees en couchesalternees, noyees dans une matrice de resine, dont on negligera la contribution mecanique.Il y a un nombre egal de couches dans chaque direction. La pression interne vaut p.L’epaisseur et le rayon moyen de l’enveloppe valent respectivement e et R (avec e R).

1. Donner l’expression du tenseur de contrainte sur l’enveloppe en coordonneescylindriques (on se placera en fait dans le repere (z–θ)) en fonction de p, e et R.

Voir le mini-formulaire d’elasticite. On trouve, en tenant compte de l’¡¡effet de fond¿¿ :

σθθ =pr

eσzz =

pr

2e

2. Les modules transversaux etant nuls dans chaque couche, l’etat de contrainteest approximativement uniaxial dans chaque couche, la seule composante non nullecorrespondant a la direction n des fibres. Etablir les relations entre σnn, σzz et σθθ.

La contribution de la couche, dont les fibres font un angle α avec la direction z desgeneratrices, est telle que (en notant c = cosα, s = sinα) :

σzzσθθσzθ

=

c2 s2 −2css2 c2 2cscs −cs c2 − s2

σnn00

=

c2σnns2σnncsσnn

On observe donc que le terme de cisaillement va disparaıtre lors de la moyenne entre lesdeux couches (angles α et −α), si bien que le resultat final est simplement :

σzz = c2σnn σθθ = s2σnn

3. A l’aide des resultats des deux questions precedentes, determiner l’angle optimal αque doivent faire les fibres avec les generatrices du cylindre. Quelle est alors la contraintedans les fibres en fonction de p, e et R ?

L’angle optimal sera donc celui pour lequel chacune des deux contraintes σzz et σθθcharge les fibres de facon equivalente. On verifie alors :

c2σnn =pR

2es2σnn =

pR

e

Soit :tan2 α = 2 α ≈ 54.7

4. En appelant σu la contrainte a rupture de la fibre, calculer successivement la quantitede fibre necessaire et l’epaisseur d de l’enveloppe, sachant que la fraction volumique de

2. Cet exercice est inspire de celui de D. Gay, Materiaux composites, Hermes, 1991, p.433

http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/intro/transparents/f_Memoelas.pdf


fibres f dans le composite est de 80%.Application numerique : diametre D=80cm ; p=200bars ; σu= 3200 MPa.

On a alors :

fσu =3

2

pR

ee =

3

2

pR

fσu

Application numerique :

e =3

2

pR

fσu≈ 4.7mm

6.6.2 Coefficient de dilation d’un composite a fibres longues

On considere un composite a fibres longues comportant une fraction volumique f defibres. La matrice et la fibre ont des coefficients de dilatation tres differents, que l’onsupposera isotropes (respectivement αm et αf ). En raison de la geometrie du materiau,on suppose que l’etat de contrainte qui se developpe est uniaxial, dans le sens des fibres.On caracterise donc uniquement le module longitudinal des fibres, Ef , et le coefficientde Poisson correspondant, νf . La matrice est quant a elle caracterisee par Em et νm. Lesfibres sont disposees selon l’axe x1.

1. Donner une estimation de l’etat de contrainte dans le materiau lorsque, partantd’un etat initial libre de deformations et de contraintes, on applique une difference detemperature uniforme de ∆T .

On note respectivement σf et σm les seules composantes non nulles des tenseurs decontraintes (respectivement σf11 dans la fibre et σm11 dans la matrice). Les deformationslongitudinales seront alors εf11 et εm11, les deformations transversales εf22 et εm22. La resultanteselon l’axe 1 est nulle, et les deformations selon l’axe 1 sont egales. Donc :

fσf + (1− f)σm = 0 εf11 = εm11 = ε11

La deformation se decompose en une part elastique et une part thermique, soit :

σf

Ef+ αf∆T =

σm

Em+ αm∆T

La resolution du systeme en contraintes donne, en posant E = fEf + (1− f)Em :

σf = (1− f)EmEf

E(αm − αf )∆T σm = − f

1− f σf = −f EmEf

E(αm − αf )∆T

2. En deduire les coefficients de dilatation moyens en direction longitudinale ettransversale.

En reportant les resultats precedents dans l’expression de ε11, on introduit le coefficientde dilatation longitudinale αL :

ε11 = εf11 = (1− f)Em

E(αm − αf )∆T + αf∆T =

fαfEf + (1− f)αmEm

E∆T = αL∆T

La deformation transverse ε22 est la moyenne des deformations de chaque phase :

ε22 = fεf22 + (1− f)εm22 = f(−νfσf

Ef+ αf∆T ) + (1− f)(−νm

σm

Em+ αm∆T )


Il vient alors, en posant α = fαf + (1− f)αm :

ε22 =

(fσf

(− νfEf

+νmEm

)+ α

)∆T

=

(f(1− f)(νmEf − νfEm)(αm − αf )

E+ α

)∆T

= αT∆T

si bien qu’on obtient un encadrement de α :

αT =f(1− f)(νmEf − νfEm)(αm − αf )

E+ α 6 α 6 αL =

fαfEf + (1− f)αmEm

E

On a trace (Fig.1) les courbes resultantes pour les differentes estimations et bornes, dansle cas d’un composite verre–resine polyester. On observe que l’estimation faite selon le senstransverse est au-dessous de la borne minimale ( !). Cela remet en cause les hypothesesde la comparaison :

0

1e-05

2e-05

3e-05

4e-05

5e-05

6e-05

7e-05

8e-05

9e-05

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

alph

a

Vol fraction

maxmin

longitrans

Figure 1 : Courbes obtenues pour un composite fibre de verre–resine polyester, avec :Ef=74000 MPa, νf=0.25, αf=5.10−6, Em=4000 MPa, νm=0.4, αm=8.10−5.

- d’une part, supposer le champ uniaxial est trop reducteur ;- par ailleurs, l’expression de la borne inferieure utilisee ici est trop simple. Le materiauetant anisotrope, il faut aussi tenir compte d’un terme deviatorique pour mesurer lecoefficient de dilatation thermique, qui devient alors un tenseur.

3. Une approche plus generale du probleme, mais appliquee dans le cadre d’un materiauisotrope (composite inclusion-matrice), montre que le coefficient de dilatation homogeneised’un composite biphase, αh, compose des materiaux 1 et 2, vaut :

αh = 〈α〉+1/Kh − 〈1/K〉1/K1 − 1/K2

(α1 − α2).

ou 〈.〉 est une operation de moyenne arithmetique, et ou Kf et Km designentrespectivement les modules de compressibilite des materiaux 1 et 2. Les valeurs de Kh

sont encadrees par les bornes de Voigt et Reuss, ce qui fournit donc un encadrement deαh. Avec les notations precedentes, on obtient successivement, pour Kh :

1

(1− f)Km + fKf

61

Kh6

1− fKm

+f

Kf


et pour αh :

α +

1

(1− f)Km + fKf

−(

1− fKm

+f

Kf

)

1/Kf − 1/Km

(αf − αm) 6 αh 6 α

avec α = 〈α〉 = (1− f)αm + fαfVerifier que, si νf=νm, la borne min correspond a la valeur prealablement estimee en senstravers.

La courbe figure 2 montre comment se transforme la courbe precedente lorsque l’onramene la valeur de νm a 0.25, ce qui conduit a νm = νf . L’estimation transverse est biensur la borne minimale.

0

1e-05

2e-05

3e-05

4e-05

5e-05

6e-05

7e-05

8e-05

9e-05

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

alph

a

Vol fraction

maxmin

longitrans

Figure 2 : Courbes obtenues lorsque les coefficients de Poisson sont egaux :Ef=74000 MPa, νf=0.25, αf=5.10−6, Em=4000 MPa, νm=0.25, αm=8.10−5.

4. Application numerique : tracer en fonction de la fraction volumique de fibres les deuxestimations precedentes et les deux bornes de la question 3, pour le cas d’un compositefibre de verre–resine (Ef=74000 MPa, νf=0.25, αf=5.10−6, Em=4000 MPa, νm=0.4,αm=8.10−5). Discuter.

6.6.3 Assemblage colle

Afin de pouvoir saisir une eprouvette en composite entre les mors d’une machine detraction, on realise un collage entre deux plaques d’aluminium. Comme l’indique la figure3, il y a donc deux joints de colle, de part et d’autre de l’eprouvette en composite.

Les plaques d’aluminium ont chacune une epaisseur de e1, l’epaisseur de l’eprouvetteen materiau composite est 2e2. Les couches de colle ont chacune une epaisseur h, lerecouvrement entre les plaques porte sur une distance l. L’axe x1 est l’axe de traction del’eprouvette, l’axe x3 est normal au plan de l’eprouvette. On suppose que l’ensemble estde faible dimension en direction x2, ce qui autorise a tenter une modelisation dans le planx1–x3, en negligeant les efforts en direction 3. On supposera que toutes les forces et lesdeplacements dependent uniquement de x1.


e

l

2e2

1

1x

x 3

Figure 3 : collage composite - plaques aluminium

Les modules de la plaque composite et de l’aluminium etant grands par rapport a celuide la colle, il est raisonnable de supposer que la colle est cisaillee (glissement simple)entre les plaques, dans lesquelles les segments initialement paralleles a x3 restent parallelespendant la traction (force F).

1. En considerant successivement l’equilibre d’une tranche (dx1–e1) d’aluminium, et(dx1–e2) de composite, autour du joint superieur de colle, donner les relations entre lesforces de traction par unite d’epaisseur N1 et N2, dans l’aluminium et dans le composite,et le cisaillement a l’interface, τ .

La premiere equation d’equilibre, integree sur les petits volumes consideres, donnent :∫

(σ11,1 + σ13,3)dx1dx3 = 0

Il s’agit d’un cas simplifie de theorie des poutres, dans lequel ne subsiste que l’effort normaldans la section de la poutre, mais avec une sollicitation exterieure tangente a la surface.Le premier terme de l’integrale correspond a la derivee de l’effort normal par rapport ax1. On transforme le second terme en integrale sur le contour. Il vient donc un terme enσ13n3, n3 etant la normale a la surface chargee en cisaillement. Ce terme vaut donc −τpour l’element de volume d’aluminium (normale (0,-1)), et τ pour la plaque composite. Ilvient donc :

N1,1 + τ = 0 N2,1 − τ = 0

Si on suppose que le deplacement horizontal est le meme en tout point des plaques, etqu’on le designe par U1 dans l’aluminium et par U2 dans le composite, il vient :

N1 = E1e1U1,1 N2 = E2e2U2,1

2. Proposer un champ de deplacement pour la colle, et en deduire la relation entre lesdeplacements des plaques et le cisaillement τ .

En supposant que la colle est en glissement simple, la valeur du cisaillement produit(petites deformations) est :

γ =U2 − U1

h=

τ

µc

D’ou on deduit :h

µcτ,1 = U2,1 − U1,1 =

N2

E2e2

− N1

E1e1

= y(x1)

Les relations entre les efforts normaux et τ se recombinent de la facon suivante :

N1,1

E1e1

+τ

E1e1

= 0N2,1

E2e2

− τ

E2e2

= 0


soit :

y,1 =

(1

E1e1

+1

E2e2

)τ

3. Trouver l’equation differentielle du second ordre que verifie la fonction y de x1 telleque :

y =N2

E2e2

− N1

E1e1

L’equation est donc finalement :

y,11 − ω2y = 0 avec ω2 =µch

(1

E1e1

+1

E2e2

)

dont la solution generale est :

y = a coshωx1 + b sinhωx1

Les conditions aux limites sont :

- en x1 = 0, N1 = F , N2 = 0, soit y = − F

E1e1

= a ;

- en x1 = l, N1 = 0, N2 = F , soit y =F

E2e2

= a coshωl + b sinhωl L’application de ces

conditions aux limites conduit a :

y = − F

E1e1

coshωx1 + Fsinhωx1

sinhωl

(1

E2e2

+1

E1e1

coshωl

)

4. Integrer cette equation, et determiner les constantes d’integration en x1 = 0 etx1 = l.

On trouve enfin le cisaillement en prenant la derivee de y :

τ =Fµ

ωh

(−sinhωx1

E1e1

+coshωx1

sinhωl

(1

E2e2

+coshωl

E1e1

))

La courbe fonction de x1 presente des valeurs maximum aux deux extremites du collage.On a respectivement :

- en x1 = 0, τ(0) =Fµ

ωh

(1

E2e2 sinhωl+

1

E1e1 tanhωl

);

- en x1 = l, τ(l) =Fµ

ωh

(1

E2e2 tanhωl+

1

E1e1 sinhωl

).

Dans la plupart des configurations numeriques, le terme en sinh est tres grand, et tanh ≈ 1.L’efficacite maximum du systeme commande que les produits E1e1 et E2e2 soient egaux.La rupture eventuelle d’un collage debute donc a partir des bords. On peut diminuer lesefforts en considerant un recouvrement plus long. La figure ci-dessous montre la courbeobtenue pour les conditions preconisees.

5. Determiner l’expression du cisaillement τ et la tracer en fonction de x1 surl’intervalle (O–l). Discuter le paradoxe concernant les conditions aux limites pour τ enx1 = 0 et x1 = l.


Le cisaillement calcule ici n’est donc pas nul sur les faces verticales du joint de colle,qui sont pourtant des surfaces libres. On retrouve donc bien dans ce calcul approchele probleme classique du cisaillement dans les theories de poutre. En fait, si la surfaceest libre, la forme du bord n’est pas lineaire, comme suppose dans les hypotheses pourconstruire le cisaillement. Des calculs de structures montrent neanmoins que les resultatsd’un calcul complet se raccordent tres rapidement a ceux qui sont trouves ici, si bien quele niveau de la concentration de contrainte est bien realiste. Il represente en particulierune bien meilleure approximation que celle qui consisterait a repartir uniformement lecisaillement sur l’ensemble du joint.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 5 10 15 20 25 30

tau

(MP

a)

x (mm)

Figure 4 : Evolution du cisaillement a l’interface aluminium–composite ; conditions ducalcul pour l’aluminium, E1 = 75000 MPa, e1 = 2. mm ; pour le stratifie,

E2 = 100000 MPa, e2 = 1.25 mm ; pour la colle (araldite), µc = 1700 MPa, h = 0.1 mm,l = 30 mm ; force par unite d’epaisseur, F=70 MPa/mm


6.7 Etude de la flexion d’un bilame

Le but de cet exercice est d’examiner la courbure d’une plaque circulaire constitueede deux couches sous l’effet d’un changement de temperature. La plaque est composee dedeux couches homogenes, le depot et le substrat qui ont respectivement des epaisseurs edet es, des modules d’Young Ed et Es, et des coefficients de Poisson νd et νs. L’epaisseurdu depot est supposee tres petite devant celle du substrat, ce qui est generalement lecas lorsqu’on traite le cas des ¡¡wafers¿¿, supports en silicium sur lesquels on vientfabriquer les puces en microelectronique (il y a environ 3 ordres de grandeur d’ecart).Les coefficients de dilatation thermique sont respectivement αd et αs. On suppose que lechamp de temperature initial est uniforme, et on applique au systeme une variation detemperature T , supposee egalement uniforme. Comme la distribution des materiaux dansl’epaisseur n’est pas symetrique, il apparaıt un couplage ¡¡membrane–flexion¿¿, si bienque le simple changement de temperature va generer une courbure de la plaque, et descontraintes thermomecaniques autoequilibrees a l’interieur des couches.

1. Indiquer comment est modifiee la loi de comportement d’une plaque homogene enpresence de dilatation thermique. On utilisera pour le moment des notations sans indices,E, ν, e, α, et on supposera que le plan moyen de la plaque est le plan (x1,x2), donc que−e/2 6 x3 6 e/2.

La loi de comportement comprend un terme de membrane, un terme de flexion, et unterme de cisaillement transverse. La loi de comportement, qui relie les termes caracterisantles efforts et ceux qui definissent la cinematique, est etablie en postulant une forme dechamp de contrainte dans la plaque. Le fait d’introduire un terme de dilatation thermique,ε∼th = αTI

∼, ne va pas modifier la partie cisaillement. Il faut par contre examiner son

influence sur les efforts axiaux et les moments. La loi de comportement restreinte auxcomposantes 11 et 22, avec σ33 = 0, s’ecrit :

(σ11

σ22

)=

E

1− ν2

(1 νν 1

)(ε11 − αTε22 − αT

)

L’estimation des termes N11 et N22 s’effectue en integrant respectivement σ11 et σ22 surl’epaisseur de la plaque. Ceci donne par exemple pour N11 :

N11 =E

1− ν2

∫ e/2

−e/2(ε11 + νε22 − (1 + ν)αT )dx3

Les deformations s’expriment en fonction des composantes du deplacement de membraneet des angles de rotation : ε11 = U1,1 + θ2,1x3 et ε22 = U2,2 − θ1,2x3. Les termes lineairesen x3, qui sont impairs, disparaissent comme d’habitude dans l’integration entre −e/2 ete/2, mais il reste un terme supplementaire par comparaison avec la solution du cours :

N11 =Ee

1− ν2(U1,1 + νU2,2)− EαTe

1− ν

On a donc : (N11

N22

)=

Ee

1− ν2

(1 νν 1

)(U1,1

U2,2

)− EαTe

1− ν

(11

)

6.7. ETUDE DE LA FLEXION D’UN BILAME 117

L’estimation des termes M11 et M22 s’effectue en integrant respectivement x3σ11 et x3σ22

sur l’epaisseur de la plaque. Ceci donne par exemple pour M11 :

M11 =E

1− ν2

∫ e/2

−e/2(x3ε11 + νx3ε22 − (1 + ν)αTx3)dx3

Cette fois-ci, le terme provenant de la dilatation thermique est lineaire en x3, si bien qu’ildisparaıt dans l’integration, et que la loi de comportement est inchangee par rapport a lasolution isotherme : (

M11

M22

)=

Ee3

12(1− ν2)

(1 νν 1

)(θ2,1

−θ1,2

)

2. On se preoccupe dans cette question des equations d’equilibre resultant del’assemblage des deux couches. Justifier le fait que le moment de flexion dans le depotest negligeable devant le moment resultant sur le substrat. On raisonne dans un premiertemps en conditions axisymetriques, si bien que les composantes 11 et 22 sont egales. Enecrivant l’equilibre des efforts pour une section droite de la plaque multicouche, determinerl’effort normal N s = N s

11 = N s22 et le moment de flexion M s = M s

11 = M s22 dans la couche

de substrat en fonction de l’effort normal Nd = Nd11 = Nd

22 dans la couche de depot.

e s E s νs α sx 1

Nd

M s

N s

x3

Figure 1 : Equilibre d’une section droite

La resultante des efforts normaux est nulle, puisqu’il n’y a pas d’efforts exterieursappliques sur le systeme. On en deduit :

N s +Nd =Eded

1− νd(ε− αdT ) +

Eses1− νs

(ε− αsT ) = 0

On a note ε les termes U1,1 et U2,2, qui sont supposes egaux dans les deux couches, ce quisignifie que l’extension moyenne est la meme dans les deux couches, et que le problemeest axisymetrique. On fait en effet l’hypothese qu’il y a continuite du deplacement entreles couches. Il est donc possible d’eliminer ε et de trouver l’expression de Nd :

Nd =

Eded1− νd

Eses1− νs

(αs − αd)TEded

1− νd+

Eses1− νs

Comme les valeurs des constantes du modele elastique et des coefficients de dilatationthermique sont du meme ordre pour les deux materiaux, mais que la couche de depot estd’epaisseur negligeable, la valeur de l’effort normal dans le substrat est finalement :

N s = −Nd ≈ Eded1− νd

(αd − αs)T


L’effort est donc d’autant plus grand que la difference entre les coefficients de dilatationthermique est importante, que le depot est epais et que son module de Young est grand.Le moment dans le substrat se calcule en considerant l’effort applique par le depot sur lesubstrat, effort concentre applique a une distance es/2 de la surface moyenne du substrat :

M s = Nd es2

3. Calculer la valeur de la courbure, en supposant que le substrat est une plaque mincede Love-Kirchhoff

Si la plaque est mince, les derivees des angles qui interviennent dans l’expression desmoments sont egales a la courbure :

θ2,1 = −W,11 = −θ1,2 = −W,22 =1

R

La relation entre le moment et le rayon de courbure dans le substrat est donc :

M s =Ese

3s

12(1− νs)1

R

En remplacant M s par son expression en fonction de Nd, il vient :

1

R=

6(1− νs)Nd

Ese2s

Si on exprime maintenant Nd :

1

R=

6E ′desE ′s

(αd − αs)T

ou on a pose :

E ′s =Eses

1− ν2s

E ′d =Eded

1− ν2d

Remarques :Le champ de contrainte dans le substrat se calcule en superposant la contribution del’effort de membrane et celle du moment de flexion. Le premier fournit un champ decontrainte uniforme dans l’epaisseur, alors que le second genere un champ impair en x3.Le resultat est donc une distribution affine ; la surface sur laquelle la contrainte s’annuleest situee au tiers de la plaque a partir du la face qui porte le substrat. On trouve eneffet :

σ11 = σ22 =N s

11

es+

12

e2s

x3

esM s

11 =Nd

es

(−1 +

6x3

es

)

expression qui s’annule bien lorsque x3 = es/6.

3. En fait, on observe que, sur de grandes plaques, de diametre 200 a 300 mm, laflexion n’est pas axisymetrique, mais elle s’effectue selon une direction preferentielle.Cela conduit a reconsiderer les conditions aux limites, et a utiliser a la place unehypothese de deformation plane. Recommencer les calculs precedents et donner la


nouvelle expression du rayon de courbure. On realisera ensuite l’application numeriquepour une plaque de 30 cm de diametre consstituee d’un substrat en silicium etd’un depot de nickel, soumise a une diminution de temperature T=-300 C :Es=112 GPa νs=0.28 αs = 3.10−6 C −1 es= 200 µmEd=207 GPa νd=0.31 αd = 13.10−6 C −1 ed= 50 nm

ed

e s

x 1E s νs α s

E d νd α d

e s ed

e s ed

x3

+2

+2

Figure 2 : Geometrie de la plaque composite

On resout cette fois-ci le probleme d’une plaque composite chargee en etat dedeformation plane selon la direction x2. On considere la resultante N11 et le momentM11 correspondant a l’ensemble des couches. Les derivees partielles par rapport a x2 sontnulles, si bien que les equations d’equilibre se reduisent a :

N11,1 = 0 M11,11 = 0

Avec les conditions aux limites de bords libres, il vient : N11 = 0, M11 = 0, et les equationsde comportement s’ecrivent (en prenant ε22 nul dans l’expression des contraintes) :

(N11

M11

)=

∫ (ed+es)/2

−(ed+es)/2

E(x3)

1− ν2(x3)dx3

∫ (ed+es)/2

−(ed+es)/2

E(x3)

1− ν2(x3)x3dx3

∫ (ed+es)/2

−(ed+es)/2

E(x3)

1− ν2(x3)x3dx3

∫ (ed+es)/2

−(ed+es)/2

E(x3)

1− ν2(x3)x2

3dx3

(U,1θ2,1

)

−T

∫ (ed+es)/2

−(ed+es)/2

E(x3)α(x3)

1− ν(x3))dx3

∫ (ed+es)/2

−(ed+es)/2

E(x3)α(x3)x3

1− ν(x3))dx3

On peut reecrire les equations de comportement en introduisant une matrice A et unvecteur B sous la forme :

(N11

M11

)=

(A11 A12

A21 A22

) (U,1θ2,1

)−(B1

B2

)T

Les deformations generalisees sont calculees en inversant la matrice A et en utilisant lefait que N11 et M11 sont nuls :

(U,1θ2,1

)= A−1BT


Les composantes de la matrice A et du vecteur B sont calculees en remplacant lesintegrales par des sommes, le substrat etant situe entre x3 = −(es + ed)/2 et x3 =(es − ed)/2, et le depot entre x3 = (es − ed)/2 et x3 = (es + ed)/2 :

A11 =Es

1− ν2s

es +Ed

1− ν2d

ed

A12 = A21 =Es

2(1− ν2s )

((es − ed)2

4− (es + ed)

2

4

)

+Ed

2(1− ν2d)

((es + ed)

2

4− (es − ed)2

4

)

A22 =Es

3(1− ν2s )

((es − ed)3

8+

(es + ed)3

8

)

+Ed

3(1− ν3d)

((es + ed)

3

8− (es − ed)3

8

)

B1 =Esαs1− νs

es +Edαd1− νd

ed

B2 =Esαs

2(1− νs)

((es − ed)2

4− (es + ed)

2

4

)

+Edαd

2(1− νd)

((es + ed)

2

4− (es − ed)2

4

)

En reprenant la notation de la question 3 et en introduisant

E ′′s =Esesαs1− νs

= αs(1 + νs)E′s E ′′d =

Ededαd1 + νd

= αd(1− νd)E ′d

il vient, en negligeant les termes de second et troisieme degre en ed :

A11 = E ′s + E ′d

A12 = A21 =1

2(−E ′sed + E ′des)

A22 =E ′s12

(e2s + 6e2

d) +E ′d12

(e2d + 6e2

s)

B1 = E ′′s + E ′′d

B2 =1

2(−E ′′s ed + E ′′des)

Le rayon de courbure s’exprime comme :

1

R= θ2,1 =

A11B2 − A12B1

A11A22 − A212

En negligeant les termes de second et troisieme degre en ed, on trouve :

A11B2 − A12B1 ≈es2

(E ′sE′′d − E ′dE ′′s )

A11A22 − A212 ≈

e2sE′s2

12


Ce qui donne finalement :

1

R=

6

es

E ′sE′′d − E ′dE ′′sE ′s

2 =6E ′desE ′s

((1 + νd)αd − (1 + νs)αs)T

La formule differe de celle obtenue en conditions axisymetriques uniquement par un termeen (1 + ν) dans chaque materiau.

Application numerique : On trouve R = 17, 543m. On trouve la fleche correspondanteen integrant deux fois. Si on suppose que la plaque est simplement posee, avec le depotvers le haut, les deux extremites vont se soulever. En supposant la fleche nulle au milieu,et -150 mm6 x1 6 150 mm, il vient successivement :

θ2(x1) =x1

RW (x1) =

x21

2R

Le soulevement maximal est donc de 0,641 mm.


6.8 Test Biaxial sur elastomere

Soit une plaque d’un materiau elastomere, presentant un module neo-Hooke µ =2C10 = 0, 75MPa, de 200mm carre et 10mm d’epaisseur, les bords de la plaque sontalignes parallelement aux axes e1 et e2. Quelles sont les forces F1 et F2 qui doivent etreappliquees dans les directions respectivement e1 et e2 pour etirer de maniere homogene laplaque et deformer les bords paralleles a la direction e1 a 400mm et le bords parralele dela direction e2 a 300mm ?

Les essais de traction biaxiaux sont generalement utilises pour calibrer les parmaetresmateriaux des modeles de comportements. Une solution analytique de ce type de testspeut etre facilement developpe. Prenons l’exemple d’un essais biaxiale homogene d’uneplaque mince incompressible isotrope.

18

0.4 Test Biaxial

Soit une plaque d’un materiau elastomere, presentant un module neo-Hooke µ = 2C10 =0, 75MPa, de 200mm carre et 10mm d’epaisseur, les bords de la plaque sont alignes parallele-ment aux axes e 1 et e 2. Quelles sont les forces F1 et F2 qui doivent etre appliquees dans lesdirections respectivement e 1 et e 2 pour etirer de maniere homogene la plaque et deformer lesbords paralleles a la direction e1 a 400mm et le bords parralele de la direction e2 a 300mm ?

Les essais de traction biaxiaux sont generalement utilises pour calibrer les parmaetres mate-riaux des modeles de comportements. Une solution analytique de ce type de tests peut etrefacilement developpe. Prenons l’exemple d’un essais biaxiale homogene d’une plaque minceincompressible isotrope.

y1 = λ1x1 y2 = λ2x2 y3 = λ3x3 (84)

Par le calcul direct nous obtenons

F∼ =y

x= λ1e 1 ⊗ e 1 + λ2e 2 ⊗ e 2 + λ3e 3 ⊗ e 3 (85)

En effet par definition, les directions principales ne tournent pas dans un essai biaxial. Ainsi,le systeme de coordonnees coincide avec les directions principales d’etirements et la loi consti-tutive prend la forme :

σ∼ = −p1∼ + 2 (W2I1 + W1)B∼ − 2W2B∼2 (86)

σ1 = −p + 2 (W2I1 + W1)λ21 − 2W2λ

41

σ2 = −p + 2 (W2I1 + W1)λ22 − 2W2λ

42

σ3 = −p + 2 (W2I1 + W1)λ23 − 2W2λ

43

(87)

Les contraintes sont homogenes et les equations d’equilibre sont satisfaites automatique-ment. A partir des conditions aux limites de traction-libres sur la surface de la plaque, nousobtenons :

σ3 0 ⇒ p = 2 (W2I1 + W1)λ23 − 2W2λ

43 (88)

y1 = λ1x1 y2 = λ2x2 y3 = λ3x3 (6.23)

Par le calcul direct nous obtenons

F∼

=y

x= λ1e1 ⊗ e1 + λ2e2 ⊗ e2 + λ3e3 ⊗ e3 (6.24)

En effet par definition, les directions principales ne tournent pas dans un essai biaxial.Ainsi, le systeme de coordonnees coincide avec les directions principales d’etirements etla loi constitutive prend la forme :

σ∼

= −p1∼

+ 2 (W2I1 +W1)B∼− 2W2B∼

2 (6.25)

σ1 = −p+ 2 (W2I1 +W1)λ21 − 2W2λ

41

σ2 = −p+ 2 (W2I1 +W1)λ22 − 2W2λ

42

σ3 = −p+ 2 (W2I1 +W1)λ23 − 2W2λ

43

(6.26)

6.8. TEST BIAXIAL SUR ELASTOMERE 123

Les contraintes sont homogenes et les equations d’equilibre sont satisfaitesautomatiquement. A partir des conditions aux limites de traction-libres sur la surfacede la plaque, nous obtenons :

σ3 ' 0 ⇒ p = 2 (W2I1 +W1)λ23 − 2W2λ

43 (6.27)

En substituant la pression hydrostatique (multiplicateur de Lagrange) p dans le tenseurdes contraintes 6.26, nous obtenons :

σ1 = 2 (W2I1 +W1) (λ21 − λ2

3)− 2W2 (λ41 − λ4

3)

σ2 = 2 (W2I1 +W1) (λ22 − λ2

3)− 2W2 (λ42 − λ4

3)(6.28)

De plusI1 = trace(B

∼) = λ2

1 + λ22 + λ2

3 (6.29)

On peut reecrire les contraintes sous la forme :

σ1 = 2 (W2λ22 +W1) (λ2

1 − λ23)

σ2 = 2 (W2λ21 +W1) (λ2

2 − λ23)

(6.30)

la condition d’incompressibilite implique :

λ3 =1

λ1λ2

(6.31)

Les equations 6.30 sont souvent utilisees pour la calibration experimentale desmateriaux moux tels que les elastomeres en notamment faisant varier le rapport descontraintes appliquees.

Les contraintes ingenieurs sont deduites a partir des contraintes de Piola-Kirchoff I(boussinesq) :

Si = λ−1i σi (6.32)

Les contraintes ingenieurs dans les directions e1 et e2 s’expriment telles que :

S1 = 2C10(λ1 − pλ−11 = 0.75

(2− 1

9∗ 1

2

)= 1.4583Mpa

S2 = 2C10(λ2 − pλ−12 = 0.75

(1.5− 1

9∗ 1

1.5

)= 1.0694Mpa

(6.33)

Les forces sont alors obtenus en multipliant les contraintes ingenieurs par les sectionsinitiales de la plaque respectivement perpendiculaires aux directions e2 et e2

F1 = S1 ∗ A1 = 1.4583e6 ∗ (200e−3 ∗ 10e−3) = 2917N

F2 = S2 ∗ A2 = 1.0694e6 ∗ (200e−3 ∗ 10e−3) = 2139N(6.34)


Chapitre 7

Notations

u Champ de deplacementu′ Champ de deplacement virtuel

δWext Travail virtuel des efforts exterieurs connusδWint Travail virtuel des efforts interieursN Effort normalT Effort tranchantM Moment flechissantε∼, ε

∼e Tenseur de deformations (petites perturbations), deformation elastique

ε∼th Tenseur de dilatation thermique

ε∼p, ε

∼vp Tenseur de deformation plastique, viscoplastique

σ∼

Tenseur de contrainte de Cauchyf , n

∼Fonction de charge ; derivee par rapport aux contraintes ∂f/∂σ

∼I1, I2, I3 Invariants du tenseur de contrainteJ1, J2, J3 Invariants du deviateur de contrainte

J Second invariant du deviateur des contraintesAi, α∼ i Variables d’ecrouissageR, X

∼Variables d’ecrouissage isotrope, cinematique

σy Limite d’elasticite initialeH Module plastiqueW Energie de deformationF Energie potentielleΩ Potentiel viscoplastiqueE∼ Tenseur de deformations de Green-LagrangeG Taux de restitution d’energieKIC Tenacite

125

126 CHAPITRE 7. NOTATIONS

Deuxieme partie

Approche experimentale de lamecanique de materiaux solides

127

Chapitre 8

Approche experimentale et inductive

8.1 Objectifs et evaluation des mini-projets

Deux des principaux objectifs de ce cours sont de decouvrir et de pratiquer uneapproche inductive de la mecanique des materiaux solides. Savoir observer, emettre deshypotheses, proposer un ou des modeles, analyser les resultats experimentaux a l’aide dece ou ces modele(s), sont les elements de cette approche inductive.

L’evaluation de savoirs acquis par les mini-projets aura pour support les comptes rendude seance de mini-projet et une presentation orale. Les points suivants seront evalues :

– presentation du materiau etudie,– presentation des methodes experimentales mises en œuvre,– presentation des hypotheses et des modeles introduits pour analyser ce qui a ete

observe ou mesure,– pertinence de l’analyse des resultats experimentaux,– precision de l’argumentation scientifique,– qualite des figures et des courbes presentees,– qualite des reponses aux questions posees lors de la soutenance,– qualite et concision des rapports de seance de mini-projet,– autonomie et investissement personnel au cours des seances de mini-projet.La note finale sera la moyenne de la note d’examen et de la note de mini-projet.

8.2 Description des mini-projets

8.2.1 Rupture de billes de verre

On genere une multitude de petites fissures (dites de faiencage thermique) en plongeantdans l’eau glacee une bille prealablement mise au four. A l’inverse, une bille prealablementrefroidie (azote liquide) va se rompre par l’interieur. On etudie les divers modes de rupturepossibles lies aux contraintes thermomecaniques, et on cherche a prevoir la taille desreseaux de fissures.

8.2.2 Retour elastique lors du pliage d’une tole en acier

Ce projet a pour but d’illustrer le retour elastique de toles en acier ou en aluminiumapres deformation plastique par pliage ; il montre que le rayon final est d’autant plus

129

130 CHAPITRE 8. APPROCHE EXPERIMENTALE ET INDUCTIVE

grand que (i) la tole est mince, (ii) la limite d’elasticite est faible.

8.2.3 Etude de la mise en forme d’une tole en acier

On etudie le pliage de deux toles d’acier differents afin d’evaluer l’influence ducomportement mecanique sur la formabilite du materiaux. Pour cela les essais de pliagessont realises sur la machine de compression ; les mesures de la force et du deplacementsont alors compares a des resultats de calculs.

8.2.4 Photoelasticite sur une poutre en flexion

La question est de caracteriser les champs des contraintes dans des poutres en PMMAmise en flexion en utilisant la photoelasticite. On cherchera a mesurer l’orientation et lavaleur des contraintes principales dans ces poutres et on en deduira une prevision de lacharge a la rupture des poutres, que l’on validera enfin par l’experience

8.2.5 Fluage et relaxation d’un fil de brasure

Les fils de brasures etain-plomb presentent un comportement viscoplastique a latemperature ambiante. On cherche a identifier la loi correspondante en utilisant des essaisde fluage et de relaxation. Le projet comporte donc la realisation des essais, leur analyse,et leur simulation numerique avec des lois qui sont a definir.

8.2.6 Montages rheologiques complexes

En utilisant des fils de brassure, des fils rigides, et des ressorts, on va construire uncertains nombre de modele reologiques complexes qui seront ensuite testes en traction, enfluage, et en relaxation sur la machine d’essais mecaniques, puis compares aux modelestheoriques.

8.2.7 Un mecano pour jouer avec les poutres

La theorie permet entre autres d’etudier la deformee des poutres, le risque deflambement, les vibrations. Ce mini-projet offre l’occasion de comparer les resultatsnumeriques avec des experiences simples, qui permettent de juger de la validite deshypotheses avancees, pour plusieurs geometries et plusieurs materiaux.

8.2.8 Comportement de plaques composites

La superposition d’un grand nombre de plis elementaires constitues de nappes defibres unidirectionnelles noyees dans une matrice permet d’optimiser les proprietes desplaques composites obtenues vis-a-vis de chargements impose particuliers (traction,flexion, torsion). On se propose dans ce projet de mener de facon coordonnee une etudeexperimentale et des simulations numeriques, afin de mieux comprendre les raisons del’excellente tenue des materiaux composites.

8.2. DESCRIPTION DES MINI-PROJETS 131

8.2.9 Flexion et torsion d’un ski

Un ski est une structure complexe qui supporte des efforts importants et qui doitcombiner rigidite en patin et souplesse en spatule. Ce mini-projet offre l’occasion de testerun ski en flexion et torsion, et de faire le lien entre la structure interne et les proprietesmecaniques globales. On fournit pour cela une paire de ski, l’un est entier, l’autre decoupeen plusieurs morceaux.

8.2.10 Etude de la bifurcation d’une fissure

Une fissure dont la direction est perpendiculaire a la direction de la plus grandecontrainte normale principale se propage en general en ligne droite, dans un materiauisotrope. Ce projet permet d’etudier le chemin qu’elle suit lorsqu’elle n’est pas orienteeainsi en debut de sollicitation. Plusieurs criteres theoriques seront compares aux essais,qui seront realises pendant le mini-projet.

8.2.11 Comportement des elastomeres charges

On durcit classiquement les elastomeres en realisant des melanges avec des poudresde carbone, dont les grains sont de taille micrometrique. Le but de ce projet est d’etudierplutot le renfort obtenu a l’aide de nanotubes de carbone, de taille mille fois plus faible,et dont les proprietes mecaniques sont exceptionnelles. Il s’agit donc de realiser des essaismecaniques sur des melanges disponibles pour le projet, et de developper un modele simpleexpliquant le comportement obtenu.

8.2.12 Comportement d’une balle de squash

Le comportement d’une balle de squash constitue une excellente etude de cas pourcomprendre le comportement des caoutchoucs. Les caoutchoucs font partis d’une classede materiau, les elastomeres, tres utilises dans l’industrie notamment pour leurs grandesdeformabilites uniques et leurs pouvoir amortissants. Les applications sont multiplestelles que les amortisseurs, les pneumatiques... A travers ce ’simple’ cas, le formalismeet les mecanismes de deformations des elastomeres seront etudies. Ainsi vous decouvrirezpourquoi avant de commencer une partie de squash, il faut ”chauffer” la balle.

8.2.13 Comportement d’une balle de ping-pong

Le but de ce mini-projet est d’etudier le flambage d’une coque mince en utilisantcomme essai de reference l’ecrasement d’une balle de Ping-pong entre deux plateaux.L’etude combine approche experimentale, modele analytique et modele numerique.

8.2.14 Etude de la tenue d’un assemblage frette

On etudie dans ce mini-projet l’assemblage d’un pointeau en PMMA et d’un poussoiren alliage d’aluminium. L’assemblage des 2 pieces est realise par frettage. Le systeme estutilise pour reguler une fuite d’huile afin de temporiser le mouvement d’une barriere. Ilne subit pas d’efforts mecaniques notables lorsqu’il est en service, neanmoins on deploredans certains cas des ruptures differees.


8.2.15 Etude de biomateriaux, les hydrogels

Les hydrogels sont des materiaux biocompatibles que l’on peut utiliser enremplacement des disques intervertebraux. Leur utilisation necessite bien entendu unecaracterisation fine, que l’on se propose d’effectuer dans ce projet.

8.2.16 Contact d’une sphere et d’un plan rigide

On s’interesse dans ce projet a la zone de contact entre une sphere en caoutchouc etun plateau rigide lorsque l’on ecrase cette balle avec une force donnee. Grace a la theoriedu contact de Herz, la relation entre la force et le diametre de la zone de contact donnedes informations precieuses sur les proprietes mecanique du caoutchouc.

8.2.17 Compression de canettes metaliques

Le flambage des structures est un mode de ruine complexe difficile a anticiper sur desstructure reeles. Il faut donc mettre a l’epreuve la theorie de stabilite sur des cas simplecomme les tubes minces qui sont representes ici par des canettes metalliques. On evaluerala charge et le mode de flambage pour diverses geometrie et on comparera les resultatsaux modeles theoriques.

8.2.18 Comportement d’une mousse rigide

Les mousses de polymeres servent dans de nombreuses applications industriellesen raison de leur bon rapport resistance mecanique/masse volumique. En fonctionde l’application visee on peux augmenter la densite de la mousse pour ameliorer sesproprietes. On cherchera dans ce projet a etudier de maniere experimentale et theoriquele lien entre densite de la mousse et proprietes mecanique.

8.2.19 Resistance au flambement de pots de yaourt

Le packaging joue un role tres important dans l’industrie agroalimentaire. Unemballage alimentaire possede entre autres des fonctions mecaniques que l’on etudieraici dans le cas des pots de yaourt. On analysera ainsi dans ce projet la resistance auflambement de 2 types de geometries ainsi que le role du papier d’emballage.

8.2.20 Etude experimentale et analyse de l’essai d’etirage defilms minces en polymere

Les films de polymeres sont couramment utilises pour des applications de protectiondans des domaines aussi divers que l’optique, l’automobile ou des applications medicales.Ce mini-projet porte sur l’etude experimentale et l’analyse des resultats d’un essaid’etirage de films minces en polymere. La premiere etape consiste a mettre au point l’essaid’etirage. Un marquage regulier realise a la surface de l’eprouvette permettra de verifier sila deformation du film au cours de l’essai est homogene et dans le cas contraire, d’effectuerune analyse locale des deformations. Des prises de vues regulieres permettront un post-traitement de ces informations. Plusieurs essais mecaniques seront realises a temperature

8.2. DESCRIPTION DES MINI-PROJETS 133

ambiante et pour diverses vitesses de deformation. Deux types d’informations serontanalyses : l’evolution de la force en fonction du deplacement de la traverse et du temps,ainsi que celle de la forme de l’eprouvette et du marquage au cours de l’essai. A partir descourbes experimentales, on remontera a l’evolution de la contrainte nominale en fonctionde la deformation nominale, en se referant a la geometrie initiale de l’eprouvette, puisa l’evolution de la contrainte equivalente en fonction de la deformation equivalente pourune vitesse de deformation equivalente donnee. On se basera dans un premier temps surl’hypothese d’une deformation plane puis sur une analyse locale des deformations. Cetteetape sera suivie du choix d’une loi de comportement representative du materiau etudie.On procedera alors a l’identification de ses parametres, graphiquement puis a l’aide d’unemethode d’optimisation. Les differents resultats pourront etre compares a ceux obtenus al’aide d’une modelisation elements finis de l’essai et la validite des differentes hypothesesretenues lors des depouillements analytiques discutee.


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135

Documents

MINES ParisTech 1 ereann eemms.ensmp.fr/mms_paris/bonus/poly_mms_2013.pdf · MINES ParisTech 1 ereann ee MECANIQUE DES MATERIAUX SOLIDES Notes de cours D. RYCKELYNCK, S. CANTOURNET,