Minimalcurven als Örter von Krümmungsmittelpunkten

Minimalcurven als Örter von KrümmungsmittelpunktenAuthor(s): E. StudySource: American Journal of Mathematics, Vol. 32, No. 3 (Jul., 1910), pp. 257-263Published by: The Johns Hopkins University PressStable URL: http://www.jstor.org/stable/2370075 .

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41i1'nimalcurven als Orter von Krummmungsmittelpunkten.

VON E. STUDY.

Die vorliegende Mittheilung enthalt eine Erzeugungsweise der krummen Minimallinien, die, obwohl sie eigentlich recht nahe liegt, bis jetzt nicht bemerkt worden zu sein scheint, und einige sich daran anschliessende Entwickelungen, bei denen es sich im Grunde um eine Beruihrungstransformation handelt.

Wir benutzen die Methode und die Bezeichnungen, die kuirzlich in den Transactions of the American Mathematical Society entwickelt worden sind. (Vol. X, 1909, pp. 1-49, citiert mit A. C., und Vol. XI, 1910, citiert mit N. GI.)

? 1. Curven auf Minimalkegeln.

Der Formel, die zur Darstellung des Ortes der KriEmmungsmittelpunkte einer regulkren Curve dient,

y zx+R.f3 RA.C.,Nr.i0f, (1)

lisst sich folgender Lehrsatz entnehmen:

Unter den unebenen regularen Curven haben die mit constantem Radiuus der Schmiegungskugel die charakteristische Eigenschaft, dass ihr Torsionswinkel in constantem Ferhaltnisse steht zum Bogenelemente des zugehorigen Ortes der Krirmmungsmittelpunkte.

Aus (1) ergiebt sich namlich, mit HiElfe der Frenet'schen Gleichungen

(A. C., Nr. 9), dy.dR P ds- ds (2)

also

/dy/dy RT2 dR 2ds ds (3)

woraus unmittelbar der Satz abgelesen wird. Die unebenen regularen Curven mit constantem Radius 9R der Schmiegungskuigel sind theils solche der constanten



258 STUDY: Minimalcurven als crter von Krilmmungsmittelpunkten.

Kriimmung R = theils sphArische Curven. Im Falle Ji = 0 aber ist

nur der zweite Fall moglich. So sehen wir, dass auch folgender Lehrsatz gilt:

Die unebenen Curven auf MinimalkegeIn sind dadurch gekennzeichnet, dass die

zugekhrigen Orter von Krimmung8mittelpunkten Minimalcurven sind.

Die Minimallinien, die man auf diese Art findet, kdnnen niemals gerade sein, andere Besonderheiten aber haben sie nicht:

Auf jedem Minimalkegel liegt eine einzige analytische Curve, die eine vorgeschriebene krumme Minimallinie zum Ort der KriAmmungsmittelpunkte hat.

Hiervon kann man sich sehr leicht uiberzeugen. Es sei o der Scheitel des gegebenen Minimalkegels. Der zweite Kegel, der die Curve (y), Ort der Punkte y, aus o projiciert, wird dann fuir die zu construierende Curve (x) als Evoluten- fliache zu fungieren haben. Die Punkte o, x, y miussen nun ein recltwinkliges Dreieck bilden, mit dem rechten Winkel bei y, und zwar ein Dreieck, dessen Hypotenuse die Liange Null hat. Nennen wir z den Piinkt in der Mitte zwischen o und x, so ist z Mittelpunkt eines Kreises durch o, x, y, der in die Minimal- gerade durch o und x und eine zweite Minimalgerade durch o und y zerfiallt. Diese zweite Gerade aber ist Tangente an die Curve (y) im Punkte y. Man kann also etwa so verfahren: Man suche den eigentlichen Schnittpunkt z der Tangente des Punktes y mit dem gegebenen Minimalkegel, und verdoppele sodann den Vector (Minimalvector) von o nach z. Der Endpunkt x des ver- doppelten Vectors wird dann auf dem Minimalkegel eine Curve beschreiben, zu der die Gerade oy als Krtummungsaxe des Punktes x geh6rt; y wird der Fusspunkt des Lothes von x auf diese Gerade, und der Ort von y also Ort der Kriimmungsmittelpunkte fuir die Curve (x). Man erhalt hieraus sofort

xz=2 y-((Y//Y)).y' (4)

Der in dieser Formel auftretende Nenner (y/y') kann nicht identisch verschwinden, da dann (y/y) -const. folgen wiurde, die als krumm vorausgesetzte Mimimalcurve also sphairisch sein miisste, was unmoglich ist.

R2 _ -(y/y) (5)

ist der zu x gehorige quadrierte Kruimmungsradius. Hat man aus (4) den Ort von axgefunden, so ergiebt sich aus diesem wieder der Ort von y nach der Regel (1), also



STUDY: Minimalcurven als 0Orter von Krilmmungsmittelpunkten. 259

y- (XI lz5) (X($l/ I f/)f ($ftlzt)ztf (6) + (X/X//- (x'/x")x

Vorausgesetzt ist hier, dass der vorgeschriebene Minimalkegel vom Anfangs- punkt der Coordinaten ausgeht.

? 2. Specielle Darstellung der betrachteten Curven.

Wir nehmen jetzt an, dass die Minimalcurve gegeben und dargestellt sei mit Hilife einer charakteristischen Function f (e) ideren dritter Differential- quotient nicht identisch verschwindet t, und zwar in der vom Verfasser bevor- zugten Form:

1 -82 Y1_ 2/ A.i --f

Y_f S.fi + I2 ?J2} (7)

Y3 tfe fi +1

Man findet dann R2_ (y/y) f;- 2ff2l (y/y) =f.f3, (8)

und

2f *

I2 2 f {f2+ (sf - 2f )2} (9)

$3-- 2& 2f1(f12f

Vergleicht man diese Formeln mit den zur Darstellung der Curven auf einem Minimalkegel dienenden (N. GI., ? 1, Nr. 7):

. I-S2 (p) 1+8S2(P) 2 S8(P) _ _ -t 2-' (P)' X2 SI (P) ' Z3- .2S(P) (10)

so ergiebt sich

s -2 f( dSf(s)

und dP 2 ff2 -

fi2

d f f(s) Man kann also zuniachst durch eine Quadratur den natulrlichen Parameter P der Curve (x) als Function von s bestimmen, und hierauf, mit Hfilfe einer Elimination,



260 STIUDY: Minimalcurven als Orter von Kriinmungsmitte1punkten.

die Function S(P). Die zur natiirlichen Gleichung der Curve (x) gehorige Function F (P) hat den Werth

d1 (P) (12)

Zweitens gehen wir von der Curve auf dem Jinimalkegel (Nr. 10) als von dem Gegebenen aus. Diese Curve miussen wir als uneben voraussetzen, wenn wir wieder eine Curve, und folglich eine Minimalcurve, als Ort ihrer Krtummungs- mittelpunkte erhalten wollen. Es ist also (A. C., S. 34) der Fall cD (P) = const. auszuschliessen, der sich ja auch bei der eben ausgefiihrten umgekehrten Rech- nung nicht ergeben hatte (Nr. 12). Es ist mithin anzunehmen, dass

S' S'S"l"-4 S' S"8 "' + 3 8"8 S'l S" 0 (13)

ist, womit insbesondere auch das Bestehen der Ungleichheit 3 S" S" - 2 SS"' 4 0 gesichert ist.

Nunmehr findet sich

i S(1 S I)(S"S"- 8'S") + 28 5I' ('S' SS") - 2 S'(3 S" S"-2 S'S"')

_ 1 (1 + SS)(S"S"- S'S"')I-'2) S' S'(S'S- SS") 2 5' (3 S" S"-2 S' S"') ' (

i 2 S(S" S"-S' S"') + 2 S' S' S" Y3 2 S' (3 S S"-2 SI 8'S"')

Dies ist wirklich die Parameterdarstelluing einer Minimallinie, deren Tan- gente in y den ebenfalls bekannten Punkt J x enthailt. Nennt man $ irgend einen nicht verschwindenden Vector, der zu dieser Verbindungslinie gehort, so wird $1: 42: $3 dy1: dy2: dy3, und dann kann, da die Gleichungen (7) die Proportion

.1 -82 1+ S2 dy1:dy2:Y3- t : 2is 2 2

nach sich ziehen (A. C., Nr. 44), der zur Curve y geh6rige Paramneter s aus den Gleichungen

____ __ $3

03 01 - i3 ;2

gefunden werden. Bei DurchfiYhrung der Rechnung wird man etwa $k=Yk--lXk

setzen; man erhalt dann

s-S-2 'S',S (15)



STUDY: Minimalcurven als Orter von Kriimmungsmittelpunkten. 261

Die Gleichungen (11) zeigen nunmehr, dass

S S 8 S'8 Si (S16 - S// Sl// s

f -//I . 2- SI (3 S" SI'" 2 S' S"'l)(16

sein muss. In der That liefert die Substitution der Werthe (15) und (16) in die Gleichungen (7) das Gleichungssystem (14). Durch Elimination des Paramieters P ergiebt sich schliesslich f als Function von s.

Die abgeleiteten Resultate lassen sich kurz so zusammiienfassen:

Die krumme Minimallinie f =f (s) ist Ort der Krirmmungsmittelpunkte fitr die auf dem lfinimalkegel

2 + XI + X3-0 c1 + 3~x

verlaufende unebene Curve S_ S (P).

Ist die Futnction f (s) gegeben - so dass f"' (s) $ 0 - so werden P und S(P) aus den Gleichungen

P-r 2ff" -f f ds S sf'- 2f

bestirnmt. Es ist dann, wenn S als Function von P betrachtet wird, der Differential- ausdruck

S St St" - 4 St8" SSt" + 3 S" St" St'

nicht identisch gleich Ntull.

Wird umgelkehrt die Function S(P) dieser Bedingung gemass angenommen, so dienen zur Bestimmung von s tund f (s), also zur Bestimmung der Minimalcurve, die Gleichungen

SS"-2S'S' 5'8'S' s- s// - 2 SS SI S" S S// Y f S/I S,,.

Es kann dann, wenn f als Function von s betrachtet wird, der dritte Differential- quotient f"' (s) nicht identisch verschwinden.

? 3. Minimalcurven, die aus anderen durch Derivation abgeleitet sind.

Nach der vorn Verfasser entwickelten Theorie (A. C., ? 6) geh6rt zu jeder krummen Minimallinie ein sphdrisches Bild, ein Ort von Punkten auf einem beliebigen Minimalkegel. Dieses Bild kann aus einer einzigen analytischen Curve oder auch aus deren zweien bestehen, die dann durch die Spiegelung am Scheitel des Minimalkegels in einander uibergehen. Der erste Fall tritt dann ein, wenn die beiden Werthe des Differentials des natuirlichen Parameters auf der Curve einen analytischen Zusarmmenhang haben; der zweite, wenn dies



262 STIUDY: Minimalcurven als Orter von Krilrmmungsmtttelpunkten.

nicht stattfindet. Entscheidet man sich im zweiten Falle fur eine der beiden moglichen Annahmen uiber den natiirlichen Parameter, so erhalt man auch im zweiten Falle eine bestimmte analytische Curve als sphiarisches Bild. Im ersten Falle aber wird man sich die Minimalcurve doppelt ulberdeckt denken, ent- sprechend den beiden Werthen des genannten Differentials. Sagen wir, die Curve sei durch die beschriebenen Processe orientiert, so entspricht nunmehr jedem Punkte der orientierten (einfach oder doppelt iuberdeckten) Curve eine vollig bestimmte Stelle des spharischen Bildes, das jetzt immer eine einlzelne.analytische Curve ist.

Wir wollen nun die im vorigen Paragraphen betrachtete Curve auf dem Kegel X + X2 + X3 = O mit dem sphbirischen Bilde einer orientierten Minimal- linie identificieren. Dies erreichen wir, wenn wir die letzte Curve in der Form

Y T- F-NF 1- F2}

Y2- . F-SF1 + + SF2 } (17)

Y3-- AF I20 F3 Et 0

darstellen, fiber den Werth der Wurzelgr6sse V F3 (s) bestimmt verffugen, und den natiurlichen Parameter P aus der Gleichung

P -fVF3.dS (18)

bestimmen. P ist dann zugleich natuArlicher Parameter fulr das sphiirische Bild der orientierten Curve:

. 1 _S2 1 +S2~ 2 3F, x2 VEt, X32-s VP3 (19)

(vergl. A. C., Nr. 48). Ist dieses Bild eine unebene Curve (A. C., S. 34), gehort also die gegebene Minimalcurve nicht zur Familie der gemeinen Schrauben- linien (A. C., S. 41), so gehort dazu eine Kriimmungsmittelpunktscurve f =f (s) (Nr. 7) die als Derivierte der vorgelegten orientierten Minimalcurve F _ F(S) (Nr. 17, 18) bezeichnet werden kann.

Die im vorigen Paragraphen entwickelten Formeln setzen nun den Zusammen- hang in Evidenz, der zwischen den charakteristischen Functionen F(S) und f (s) der beiden betrachteten Minimalcurven besteht: Man hat nur in die Gleichungen (11, 15, 16) die Annahme dP: dS=-sF3(S) einzufuihren. Es ergiebt sich also:



STUDY: Minimalcurven als Orter von Kriimmungsmittelpunkten. 263

Zu jeder orientierten Minimalcurve F F (S), V/F3 ,, die nicht in der Familie der gemeinen Minimalchraubenlinien enthalten ist

,4 F32F6- 18F3F4F5 + 15 F43 $ Ot,

gehlrt eine bestimmte krumme Minimallinie als Derivierte- Ort der Kriimmungs-

mittelpunkte des splariscen Bildes - die gefunden wird mit Hiilfe der Gleichungen

_S + 4 34 f(s)-4!3f VF3. (20) 4 F4

UJmgekehrt ist jede krumme Minimallinie I f-f(8), f3(s) $ /}0 :Derivierte von 0 6 orientierten Minimalcurven, die durch die Gruppe ailler Schiebungen in einander iihbergehen. Diese Curven werden bestim mt aus dent Gleichungen

S-s-1 fF3(S * (21)

Man iuberzeugt sich leicht durch Ausrechnung davon, dass jedes der Gleich- ungssysteine (20), (21) das andere zur Folge hat.

Das einfachste Beispiel zu unserem Satze liefern die Minimalcurven 3. Ord- nung, betrachtet als Kruimmungsmittelpunktscurven, wenn der Scheitel des Kegels x2 + x2 + X2 = 0 auf der Curve selbst angenomnien wird. Jede solche Figur ist congruent zu der durch die Annahme f (s) = 1 s3 gegebenen. Sie geh6rt als Derivierte zu oo 6 ebenfalls rationalen Minimalcurven 5. Ordnung.

NEAPEL, 5. November, 1909.



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