Minimum spanning trees

Minimum spanning trees

˙定義：　 1. 展開樹 (spanning trees) 是一個連接網路

　　上所有節點的 arc 的組合，每個 arc 上都　　具有成本。


　 2.Minimum spanning trees 就是網路上所　　有 spanning trees 裡成本最小的那個。

˙應用：　 1.Direct application ：　　利用最少成本或是最短的 arc 長度將網　　路上的 node 連接起來。


　 2. Indirect application：　　將許多表面上看起來跟 minimum

　　 spanning trees 一點也不相關的問題，　　可轉換成 minimum spanning trees。　

Application 24Reducing data storage

˙題目定義：　利用 two-dimensional array 儲存 data 會比　較有效率，意即較能節省記憶體空間。˙題目敘述：　 1. 假設在陣列裡的每一列之間有許多相似的　　 entries ，並且只有某些 entries 不一樣。　 2. 為了節省記憶空間，在陣列裡隨意抽出一列，　　稱之為“ reference row”.


　 3. 儲存陣列裡任兩列不同的 enteries 的數

　　量。　 4.Let cij 表示在 row i ， row j 裡不同　　 enteries 的數量。　 5. 當給定 row i 時，便可依據第 3 點來找出

　　 row j ， cij 表所必須轉換的次數。


　 6. 舉例：　　 row1 為 reference row

　　 c12表 row1 與 row2 所必須轉換的次數　　 c13表 row1 與 row3 所必須轉換的次數　　 c24表 row2 與 row4 所必須轉換的次數

1

2 3

4

1

2 3

4

C12

C24

C13

Reference row

C12

C24

C13

C14C34

C23


˙轉換成 Minimum spanning trees ：　

１

３

４

２10

15

1040

20

20

Reference row

紅線部份則是 Minimum spanning tree

Application 26System reliability bounds

˙題目定義：　　　系統可靠度 ( 估計系統運作的機率 ) 乃是依照　系統所組成的次系統與次系統之間的關係。

˙題目敘述：　 1. 首先考慮將一個非常簡單的 system 結構格式化

　 2.Let k 為 system 內影響運作的次系統，　　 k=1.2.3…K


　 3.Let Ek 是第Ｋ個讓 system 運作的次系統的事件， Ec表示　　第 k 個次系統失敗的互補事件。　 4. 只要至少有一個次系統運作，則系統就會運作。　 5. 則 System 運作的機率為：

　 Prob(system operates) = Prob(Uk=1 Ek) = 1- Prob(∩k=1Ek)　　若每個次系統失敗事件為獨立，則 :　　 Prob(∩k=1Ek) = ∏k=1 Prob(Ek)

　

ck k

k

kk c

c


　　但是大部分失敗的事件都是非獨立的，因此利用：　　 1. 交集 /聯集的原理來計算 system 運作機率。　 2. 所有零件 (k=1.2.3…K) 的 S 集合， Prob(∩i∈sEi)

　 3. 但是要計算連接事件 ( 例如： E1∩E2∩E3) 非常　　困難，只能利用有限的資訊試圖找出連接事　　 bound。　 4. 因此可以利用更多資訊來協助找出 system 運　　作機率的 bound。


Prob(system opearte) = Prob(∪k=1Ek) ∑Prob(E≦ k)k

k

K=1

但這不是計算最好 upper bound 的方法

5. 計算公式：


˙改善：　 1. 圖 (a) 表示事件 1.2.3。　　 Eij：任兩事件的交　　　　　集。　　 E1∩E2∩E3：三事　　　　件的交集。 (a)

E1

E2

E3

則：Pro(E1∪E2∪E3) = Pro(E1)+ Pro(E2)+ Pro(E3)-Pro(E1∩E2) Pro(E1∩E

3)-Pro(E2∩E3)+Pro(E1∩E2∩E3)


2. 圖 (b) 表示事件 1.2.3. 發生機率的　 upper bound。　　 Eij-E1∩E2∩E3 ：任兩事件交集的集合　 E1∩E2∩E3 ：三事件的交集。

　所以 upper bound ：Key

Single Count Double Count

Triple Count Prob(E1)+Prob(E2)+Prob(E3)

E1

E2

E3

(b)


3. 圖 (c) 表示事件 1.2.3 發生機率的　 lower bound ，其中排除任兩事件　交集的集合 (Eij-E1∩E2∩E3) ，　及三事件的交集 (E1∩E2∩E3)。

　所以 lower bound ：(c)

E2

E1

E3

∑k=1Prob(Ek) - ∑i≠jProb(Ei∩Ej)k


E3

E2

E1

(d)

4. 因為這個例子有三個事件，若　只扣掉其中任兩個事件的交集　，則可以得到系統可靠度的　 upper bound。如圖 (d)。

　 upper bound:

Pro(E1)+ Pro(E2)+ Pro(E3)-Pro(E1∩E3)- Pro(E2∩E3)


Prob(∪k=1Ek) ∑ Prob(E≦ k) －∑ Prob(Eij)

K=1

K

　 5. 由此可以推斷更多的事件 (EK)　　˙假設在一個 undirected network 裡面　　˙ node i 表示 Ei ， node j 表示 Ej

　　˙ arc(i,j) 表示 cost Cij = Prob(Eij)　　˙ T 表示在 undirected network 裡任何一個 spanning tree　　˙ upper bound 的值越小越好　　˙所以 T 必須越大越好 (maximum spanning tree)　　˙因此便可得到 better upper bound ：

K

(i.,j)∈T


E2

E3

E1

T

(spanning

trees)

E2

E2

E2

Maximum

spanning

trees

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