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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE ====***Jtfc=; ====
MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE ~===***·~t=====
UNIVERSITE DE ANNABA =======***;tfc=:=====
INSTITUT DE GENIE CIVIL =======***~t=======
r/lESt' cr 2 ((1":, li ___ _
Présentée à l'Institut de GENIE CIVIL
Pour l'obtention du grade de MAGISTER =======***~t========
Par Mr. BOURAS FAOUl!
rr===========1:1 THE M E 1:1===== =====,
OEVELOPPEAIENT ET VALIOATION 0 'UN ELERENT QUAORILATERE A 4 NOEUOS ET /2 0, L
EN ELERENTS fINIS
Soutenu publiquement le: / / Devant le Jury:
Président: Mr. A.BOUMEKIK M.C U. ANNABA
Raporteur: Mr. M.GUENFOUD Dr C.U.GUELMA
Examinateurs: Mr. A.SERIDI Pr C.U.GUELMA
Mr. K.DJEGHABA Dr U. ANNABA
Mr. O.HERIRECHE Dr C.U.GUELMA
, .
REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE ====****". ====
MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE =======***~-========
UNIVERSITE DE ANNABA
INSTITUT DE GENIE CIVIL ========****",========
THESE Présentée à l' Insti tut de GENIE CIVIL
Pour l'obtention du grade de MAGISTER _ ........... _-=****"'====
Par Mr. BOURAS FAOUl!
rr========-=====I'" TI NH E M E Il'l===========;t Il Il
DEVELOPPERENT ET VALIDATION D'UN ELENENT QUADRILATERE A"I NOEUDS ET /2 0, L
EN ELENENTS fINIS
Soutenu publiquement le: / / Devant le Jury:
Président: Mr. A.BOUMEKIK M.C U. ANNABA
Raporteur: Mr. M.GUENFOUD Dr C.U.GUELMA
Examinateurs: Mr. A.SERIDI Pr C.U.GUELMA
Mr. K.DJEGHABA Dr U. ANNABA
Mr. O.HERIRECHE Dr C.U.GUELMA
REMERCIEMENTS
Ce travail a été fait sous la direction de Mr M. GUENFOUD
pour qui j'adresse tous mes remerciements de m'avoir encouragé
tout au long de cette étude et pour m'avoir soutenu et éclairé de
ces precieux conseils.
Je remercie vivement Monsieur A. BOUMEKIK maître de • conférence à l'université d'Annaba pour l'honneur qu'il me fait en
acceptant de présider le jury.
Messieurs A. SERIDI, O. HARIRECHE et K. DJEGHABA pour
l'intérêt qu'ils ont porté a ce travail en acceptant d'être
membres du jury, qu'ils trouvent ici l'expression de ma profonde
gratitude.
J'adresse aussi mes remerciements à mes collègues de
promotion: S. BEHAZ, K. BOUDJELLAL, A. BOUAZIZ et L. BENAZZOUZ. (je
m'excuse auprès de ceux que j'ai oublié)
Et à tout le personnel sympathique de l'lnstitut de G.Civil
du C.U. de GUELMA.
DEDICACES
Je dédie ce h~mble travail à
Ma très .chen:: mère
Mon père
Toute ma famille
Et à tous mes amis
RESUME
Nous présentons dans ce mémoire la formulation et
l'évaluation d'un élément fini de plaque pour l'analyse statique
et dynamique de plaques minces élastiques de formes quelconques.
L'élément développé est un élément quadrangulaire, possédant
4 noeuds et 3 degrés de liberté (D.L) par noeud, soit le
déplacement transversal et les deux rotations par ,rapport à deux
coordonnées curvilignes orthogonales.
Nous décrivons les différentes étapes de la formulation de
l'élément fondée sur une théorie linéaire des plaques, valable
pour les petits déplacements , petites déformations et rotations
modé rées, et sur les hypothèses cinématiques de _~~E~~t::.~_~~
introduites sous forme discrète.
La matrice de rigidité linéaire, le vecteur sollicitation et
la matrice de masse sont évalués par une intégration numérique de
Gauss 2x2.
L'étude de nombreux problèmes statiques et dynamiques nous
permet de mettre en évidence l'efficacité et la fiabilité de
l'élément.
Les exemples concernent des problèmes linéaires statiques
déplacements, contraintes et dynamiques ( vibrations libtres).
Les résulats sont systématiquement comparés à d'autres
résultats analytiques numériques ou expérimentaux ..
SOMMAIRE
* INTRODUCTION
CHAPITRE l 7
, ~-~,
\ Il ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
1- 1 ELEMENTSQUADRILATERAUX A 12 D.L
1-1-2 DIFFERENTS ELEMENTS RECTANGULAIRES
1-1-3 ELEMENTS QUADRILATERAUX
CHAPITRE II: FORMULATION ENERGETIQUE
11-1
11-2
FORMULATION ENERGETIQUE
PRINCIPES VARRIATIONNELS
CHAPITRE III: CONSTRUCTION DE L'ELEMENT
Page 1
4
4
4
6
10
14
111-1 CONSTRUCTION DE Ku 22
111-2 CONSTRUCTION DU VECTEUR CHARGE EQUIVALENT 27
111-3 CALCUL DES EFFORTS RESULTANTS 27
111-4 CONSTRUCTION DE LA MATRICE DE MASSE 28
CHAPITRE IV: VALIDATION ET TESTS NUMERIQUES
IV-l PATCH-TEST 31
VI-2 TESTS DE ROBINSON 33
VI-3 T~STS DE CONVERGENCE POUR PLAQUES CARREES
ET RECTANGULAIRES 37
VI-4 PLAQUE COURBE AVEC RESULTATS EXPERIMENTAUX 50
VI-5 PLAQUE ENCASTREE AVEC RESULTATS EXPERIMENTAUX 59
CHAPITRE V: COMPORTEMENT DYNAMIQUE
V- COMPORTEMENT DE L'ELEMENT DKQ DANS LE DOMAINE
DYNAMIQUE
CONCLUSIONS
REFERENCES
CHAPITRE VI: ANNEXES
ANNEXE -1
ANNEXE II
ANNEXE III
ANNEXE IV
62
64
65
71
73
74
77
INTRODUCTION
Les plaques et coques constituent une catégorie importante de
l'ensemble des structures rencontrées en génie civil. Leur analyse
nécessite une modélisation faite à partir d~éléments plats
triangulaires" ou quadrilatéraux. La méthode des éléments finis
s'est avérée efficace dans l'analyse de la flexion des plaques
minces; offrant une grande souplesse d'emploi.
Une modélisation des plaques en éléments discrets présente un
grand intéret, vu que ces derniers possèdent comme degré de
liberté (DL) les variables essentielles des calculs à savoir: le
déplacement transversal ~ et les rotations ex et ey autour de X et
y ( fig .1 ) "\r'
Au cours de cette étude nous essayons de formuler un élément
quadrilatéral nommé DKQ (Discret Kirchhoff Quadrilateral). Comme
son nom" l'indique , cet élément nécessite une évaluation numérique
basée sur les hypothèses de Kirchhoff sous forme discrète.
L'élément quadrilatère est à 4 noeuds et douze degrés de liberté.
Ini tialement, nous allons présenté une petite synthèse des
différents éléments à 4 noeuds et à 12 DL ,ensuite nous présentons
la théorie de calcul afin de définir les fonctions d'interpolation
(~x et f3y) en fonction des variables nodales (les douze DL). La
partie théorique se terminera par l'établi~sement de la matrice de
rigidité et du vecteur charge équivalente ainsi que le calcul des
efforts de flexion. Les tests en fin de travail auront pour but de
démontrer la validité et les performances de l'élément formulé
(DKQ) .
- 1-
%,w -,
;-----------~--.~
---
- 2 -
-, --
noeuo ... [~~ 9:1
1 • ,~
\ , \
\
CHAPITRE l
ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
1- ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE
1-1 ELEMENTS QUADRILATEREAUX A 12 DL
L'intéret et l'importance de la flexion des plaques ont été à
l'origine de la formulation de plusieurs éléments plaques de
flexion.Parmi les articles et les ouvrages qui présentent l'examen
de ces éléments, on se limitera bien sur aux éléments
quadr ilatéraux à 4 noeuds et douze DL soient: w, ex et ey au
niveau des 4 noeuds.
Notre interet portera sur les solutions pour plaques minces
associées au modèle de Kirchhoff-Love. où ,M cisaillement
transversal est négligeable. ~ .=--
1-1-2 DIFFERENTS ELEMENTS RECTANGULAIRES
Les éléments rectangulaires ont été les premiers éléments à
quatre noeuds à être proposés pour l'étude de la flexion des
plaques . L'un des premiers éléments rectangulaires fut proposé
par Melos~ [21]. C'est un élément de type hybride (deplacement et
contrainte), basé sur des considérations physiques en analogie
--7 avec le comportement des poutres croisées. L'ACM [22] [23]est un ~
élément rectangulaire utilisant une fonction d'interpolation
cUbique complète en plus de deux termes d'ordre quatre (x 3y et
y3X). Il ~st implanté dans de très nombreux codes bien qu'il est
incompatible. Certains tests de convergence marchent bien pour cet
élément. Dawe [24]va utiliser ensuite d'autres polynomes à 12
termes. Clough et Tocher [25]ainsi que Bogner .et Al.[26] proposent
un élément compatible mais incomplet. En faisant intervenir quatre
sous-régions triangulaires(fig.2), Deak et Pian [27]proposeront un
élément rectangulaire compatible.
- 4 -
fig.2. Elément rectangulaire faisant intervenir quatre
sous-regions triangulaires.
" Les travaux de Kikuchi et Ando [28] sur ce type d'élément
utilisent des modèles déplacements hybrides. Leurs produits
présentent une convergence généralement meilleure ·que celle de'
l' ACM. Les critiques des auteurs ( Mang et Gallagher ) [29] font
douter de la fiabilité de ces éléments. Pian [30], et Severn et
Taylor [31] proposent également des éléments rectangulaires à
partir de fonctionnelles hybrides de type contraintes. Un autre
~ élément rectangulaire QC [32] a été proposé par Dhatt et qui est
basé sur l'introduction des hypothèses de Kirchhof f sous forme
discrète.
L'objet de notre étude qui est le DKQ est justement une
généralisation de l'élément QC.
I-1-3 ELEMENTS QUADRILATERAUX
Ce type d'éléments peut être obtenu par assemblage d'éléments
triangulaires à 9 D.L. Des matrices différentes seront cependant
obtenues suivant l'orientation du découpage. (fig. 3)
Un élément quadrilatère Q-19 [33] de formulation identique à
l'élément triangulaire HCT est complet et conforme. Il est obtenu
par assemblage de quatre éléments triangulaires (eux-mêmes obtenus
par trois sous-triangles) et nécessite une condensation statique
de 7 D.L.
Des éléments quadrilatéraux basés sur un modèle hybride
contrainte ont été présenté par Allwood et Cornes [34] avec champ de
contraintes linéaire, quadratique ou cubique, par Torbe et Church
[35] avec champ de contrainte quadratique. Horrigmoe [36] utilise un
- 5 -
F,s. 3. f./Ult'tls q u,u'rtl .. /~r dU' 0 bhf! uS par OSSt",h/1I5"
dt. frià'J 9 ILS
- 6 -
- 0, ...........
élément avec champ de contraintes (moments) linéaire et
déplacement transversal cubique pour l'analyse non linéaire de
coques par facettes planes. Cook [37] étudie une grande variété
d'éléments quadrilatéraux à 12 D.L de type hybride contrainte; qui
sont obtenus par assemblage de quatre éléments triangulaires avec
élimination du noeud milieu par condensation statique. Ces
éléments sont basés sur la théorie des plaques avec cisaillement
transversal et des polynomes différents sont utilisés pour
représenter les contraintes et les déplacements (le long des ~
contours). Ces éléments permettent l'étude des plaques épaisses,
sandwich, et minces mais les critiques des auteurs vont à
l'encontre de leur fiabilité.
Dans la théorie de K1rchhoff, la compatibilité des éléments à
formuler de type déplacement exige une continuité de type Cl
(continuité de la 1è~e dérivée ) du déplacement transversal. Par
contre la théorie des plaques épaisses (c.à.d. avec cisaillement. )
permet de formuler des éléments où la continuité nécesaire du
déplacement w et des rotations de la normale de type Co. Si un
modèle se comporte normalement pour les plaques minces où les
cisaillements sont nuls, il y a avantage à utiliser cette dernière
approche (dite de Mindlin ).
Le QUS4 est basé sur cette approche et a été proposé par
Hughes et al [38]. Il se caractérise par une formulation simple et
ses performances pour certaines plaques carrées; mais hélas leur
comportement n'est pas garanti pour toutes les situations. Un
élément isoparamétrique (avec cisaillement transversal ) QUAD 4 de
Nastran proposé par Mac Neal [39] est modif ié par un ensemble de
techniques telles que: intégration réduite, séléctive, addition de
termes correctifs pour la flexion ... Ces techniques sont basées sur
des résultats effectifs remarqués sur un élément de poutre.Cet
élément ne se comporte pas bien aux deux tests proposés par Robinson
mais atteint une très bonne performance pour l'analyse des plaques
carrées et rectangulaires.
- 7 -
Enfin, Robinson et Haggenmacher [40] proposent un élément LORA
de type contrainte (force à 9 paramètres indéterminés.Des
transformations permettront de repasser à des D.L. de type
déplacement. La formulation est faite à partir d'une série de
tests de Robinson. La performance de cet élément est bonne pour
l'ensemble des tests sauf un.( flexion génée
- 8 -
CHAPITRE II
B
~PRINCIPES ENRGETIQUES EN ELASTICITE
II 1- FORMULATION ENERGITIQUE
Dans ce chapitre, nous allons rappeler brièvement le principe
énergétique de base pour la formulation de l'élément DKQ.
Les résultats de la théorie linéaire de l' élastici té des plaques ne font pas l'objet de cette partie 1 ils seront donc
utilisés sans démonstration.
On définit l'énergie de déformation d'un corps élastique
déformable soumis à un système de forces exterieures; comme étant
le travail emmagasiné dans le corps sous forme d'énergie:
U = 1/2 J< a • t:: + a • t:: + a . ( + L • '1 + L . '1 + 1: . '1 ). dV x x y y z z xy xy xz xz yz yz
V U Energie de déformation totale pour un élément 3-D.
De façon générale pour N éléments et en tenant compte du
cisaillement
N /
U = L \' U;m + e" 1
( 2 )
e Ufm : Energie interieure de déformation de flexion de membrane au
niveau de l'élément.
Energie interieure de déformation due au cisaillement au
niveau de l'élément. Nous allons donc écrire pour les plaques :
U: = 1/2 J < "1 >. [D c ]. {'I }. dA e
Ae
- 10 -
(2.a)
(2.b)
Pour le cas des plaques bi-dimensionnelles, homogène et isotrope
avec un problème de contraintes planes nous avons :
[ D m
] =
[
2 12(1-v )
E h 1
v
[ ~ v
[ 1 (1_v 2 )
0 0
D ] = E h k c 2.(1+v)
v
1
o
0
0
(1-v)/2
P q ] ( 3 )
Avec E, v, h, k respectivement: module de Young, coefficent de
Poisson, épaisseur et le facteur de correction du cisaillement
transversal ( pris généralement égal à 5/6 ), vu la distribution
non uniforme du cisaillement à travers l'épaisseur. Ae:l'aire de l'élément.
Nous allons maintenant définir les déformations dûes aux effets de flexion~de membrane et de cisaillement. Considerons une plaque (fig. 4 ) soumise à des charges axiales de
compression ou de tension en plus de charges transversales et est
rapportée à un système d'axe cartésien. Le plan X Y est le plan moyen
de la plaque. Les déplacements d'un point de peuvent s'écrire en série de Taylor:
coordonnées ( x, y, z )
2
U( x, y, z = U ( x, y, 0 ) + ( ~ ~ )o.z +
V( x, y, z ) = V ( a V x, y, 0 ) + .( a z ) ~. z + 1/2
En supposant que: W ( x, y, z ) = W ( x, y, 0
Et en posant t--a U "--"-~-~---~av~-~ U
L~_~~~_=_ .. ~~~(_ .. ~z_ ) ~ = J3 yI x, y, 0 = U
V ( x, y, 0 ) = V et W ( x, y, 0 ) = W
! .
- 11 -
z
- 12 -
.. ~
On aura en limitant les développement aux termes linéaires et en négligeant c (à partir des relations d'élasticité) ce qui suit
z
a fJ = a u + z x a x . ax x
8 fJ y
ay ( 6 )
lXY a u a v = a y + a x + z. ""xz = fJ x
a w = fJ y + a y L~~, <.'"
Où cie "" lyZ et ""xz sont les déformations en un x yi xy 1
point .de coordonnées ( x, y, z et fJ"{, fJt ~ont yles rot a tions de la normale ( ou bien rotation des plans YZ et XY autour de X et Y respectivement) (fig 5 ). W étant le déplacement transversal.
D'après les relations cinématiques décomposition suivante :
6 ) et ( 7 ) on aura la
Déformation de membrane --- - -----< C
RI
8 U > = < 8 x
8 V 8 Y
Déformation de flexion --------- --8 fJ
x 8 fJ
y -< (. > = < -8 -,-f x ay
Déformation de cisaillemnt ------- ------
-( "" > = < fJ x
8 W + --8 x
( 8. a )
8 fJ 8 fJ x + __ y>
ay 8 x ( 8. b )
> ( 8. c )
Suivant les hypothèses de la théorie des plaques on néglige les
effets d'interaction de membrane et de flexion. Ce qui \ à ignorer les contraintes dans la surfaçe moyenne ~ ( membrane ), donc nos déformations se réduisent à :
. .::: )
'"
- 13 -
nous amène
a {3 . x
ax-a {3
y ay ( 9 )
a {3 a {3 x + __ y
ay a x
Et les moments de flexion et les efforts de cisaillement
{ H } ; ( :J ; [ D f 1 . {< } (10 a)
=[D c
] . ( 10 b ) (voir fig. 4 )
II 2- PRINCIPES VARRIATIONNELS
II 2-1 Principes variationnels usuels en élasticité
Les problèmes de physique mathématique ou appliquée se posent
à l'ingénieur de deux manières de formulation: locale ou globale. Alors que certaines méthodes numériques, comme celle des
différences finies s'appliquent aux problèmes physiques sous forme
locale, nous nous sommes intéressés à la méthode des éléments
finis pour une formulation globale. Cette dernière fait appel aux principe variationnels dont voici les plus importants et les plus
connus.
al Principe de variation des déplacements, appelé aUSSl "pr,incipe du minimum de l'énergie totale y \\\,1-,.\ bl principe de variation des tensions qui est le "principe du
m~um de l'énergie complémentaire " j' Du fait de la nature de nos travaux nous utiliseront le
"'..-----
principe du minimum de l'énergie totale.
- 14 -
z,w
.. 1 J'( , " "or ... ~ t GCtor '" c(.
'j,v
.f~_5_ blll~c.Tlo"'S POS/7IVCS J',&., ~t f.v
II 2-2 Equations d'élasticité linéaire:
Soit un corps solide déformable, dont la géométrie définit un
domaine V et une surface extérieure( S ).
Le contour se compose de : -Une partie S sur laquelle les déplacements sont imposés
u
-Une partie complémentaire notée Sa sur laquelle sont imposés
des forces exterieures ~. ( voir fig. 6 ). 1
Un rappel des équations d'élasticité est fait tout en les classant en trois catégo~ies
i/ Equation de compatibilité : Elles définissent un champ de déformation et des conditions aux limites sur S
~ i j , k 1
+ ~ le l , i j
- E. i k , j 1
= 0
En d'autres termes plus simples
( = 1/2 . ( D .. U. + D .. U i j 1 J J
U = U i sur S u
/
(--
( 11 )
11. a )
( 12 )
Les équations 11 et 12) exigent un champ de déplacement continu et différentiable. (1. Remarque: Les déformations et les déplacements sont Eetits.
--,----,--~-~--''" ~
i i / Equations d'équilibre Elles définissent un champ de
contraintes et les conditons aux limites sur Sa
D.o .. + f. = 0 } 1 1 J . 1 Dans V ( 13 ) a = a i j j i
cp = CP. - a .n. sur Sa ( 14 ) 1 1 i j J
Avec f. ) et i. ) sont respectivement les forces de 1 1
volume et les forces exterieures de surface imposées. iii/ Lois de comportement du milieu
Dans le cas de matériaux à comportement linéaire élastique;
on a une approche par modèle élastique linéaire de la loi de Hooke
qui est la suivante (;
kl Dans
- 16 -
V ( 15 )
"FIGuQ.t - 06
- 17 -
Avec Cijk1 :composantes du tenseur élasticité.
En notation matricielle les équations précédentes s'écrivent
-Equations de compatibilité
{ E } = [ 1n J. { u }
{ u } = { u }
-Equation d'équilibre ~
[a J { a } + { fi } = { 0 }
{ ~i } = { ~ 1 }
-Loi de comportement
Dans V ( 16 )
Dans V ( 17 )
( 17 )
( 18 )
~ Par application du ;"Principe!'des travaux -virtuels on aura le
résultat suivant :
J 4> i' 8 u i ds + J sa v
Où 8 u. est le 1
f . 8 u dv = J a '. 8 u '. dv (19) i i _ V iJ i ,J /
- -- -, -vi J.,,(~-------' ------ -- -- \... },\:t) ~ champ~ de déplacement cinématlquement
~----------------.
admissible. En notant W le potentiel de déformation il vient
( 20 )
Pour un corps solide en équilibre, l'accroissement de
l'énergie de déformation ( U = J W. dv ) est égal à la somme des v
travaux virtuels des forces de volume et de surface pour tout
accroissement virtuel admissible du champs des déplacements.
Remarque: On peut voir que le potentiel de déformation W
représente une densité volumique d'énergie de déformation W = ~ ~ Ce résultat peut s'exprimer sous forme d'une condition d'extremum
- 18 -
si l'on admet que les forces de volume et'de surface dérivent de potentiels.
POS L1:ton d'iquL(ibre
-7 ~/\,G.
/ ,~
. ~,ri cp, = - a-
l u. 1 .
Le travail 't des forces appliquées est alors
Iv t ... "';," _ ............
't = - G. dv - g. ds "
ou bien : 0 U = 0 't ( 21 )
Ce qui nous amène en introduisant l'énergie potentielle totale V :
o V = 0 ( U - 't ) = 0 ( 22 )
L'équation ( 22 ) est une formulation du potentiel d'énergie sous forme d'extremum ( stationnarité ).
II 2-3- Principe de l'énergie potentielle:
Le principe de variation des déplacements s'annonce comme suit
Il Pour un cinématiquements
état d'équilibre admissibles qui
stable, les déplacements satisfont les conditions
d'équilibre, sont ceux qui minimisent l'énergie potentielle et réciproquement ".
E:, , • lJ
Soit : 0 ( U - 't ) = 0
Où :U = J 0". V lJ
ou, ,. dv = J W ( E:" ). dv l,J V lJ
est l'énergie totale de déformation exprimée
- 19 -
( 23 )
en fonction de
Et ~ = - I f, .b u,. dv - I ~,. b u,. ds ( 24 1 1 1 1
V sa ~ est l'énergie potentielle des charges imposées à partir du
champ de déplacement compatible satisfaisant donc, aux conditions
i/, ii/, 'iii/.
Dans notre thèse en discrétisant les équations ( 22 ), ( 23 )
et (24 nous parviendront à la construction de la matrice de
rigidité [ Ka ] et~ du vecteur force exterieur { F }.
- 20 -
CHAPITRE III
CONSTRUCTION DE L'ELEMENT
-~. 'L-/
~
III 1- CONSTRUCTION DE Ko:
Etant donné que notre étude porte sur un élément de plaque
mince, alors l'énergie interne de cisaillement transversal Usera c
négligée devant l'énergie interne dûe à la flexion Uf .
Donc comme il a été cité auparavant, la formulation de
l'élément DKQ est basée sur la discrétisation de l'énergie interne
de déformation dûe à la flexion uniquement
~ Uf = L Ue f
e
Au niveau élémentaire
Ue = 1/2. J < f. >. [ Df ] . { [ } dx. dy ( 25 ) f A
{ c } et [ Df ] sont données respectivement par les expressions
(9 et 3).
allons essayer
et le {J, fJ -"~ y
de trouver une relation entre les déplacement transversal w,
Nous rotations
recherchant un élément qui représente les caractéristiqu€~
tout en
de type .,
Kirchhoff i. e.- : d'une part les var iables nodales finales doivent
être le déplacement transversal w et ses dérivées par rapport à x et à y ( w, w et w ) aux quatre noeuds de l'élément; d'autre part
., " . ,X,. . .. , y
l'_~ypothè~~ ~,e Kirch.h.9ff doit être satisf ai te le long du contour de l'élément. l' \ l'>: ,.(Î( ]
\ ~ \
Par souci de compatibilité de l'élément, les conditions
ci-dessous sont retenues pour formuler la matrice de rigidité du
DKQ 8 f3 x et f3 y sont définies par des polynomes quadra,tl.ç;l.uessur
un élément 8
f3 x = \' N f3 ~ i' xi i = 1
Où N. sont l
coordonnées € et Tl qui
l'élément de référence ).
~ .. e
8
LN,. fJ . hl 1 Y l
( 26 )
les fonctions d'interpolation des sont les paramètres classiques sur
fJ. et J3. sont des var iables nodales Xl yl
- 22 -
et j :: 2.. ~ • 4 1 1
'j ~ l2., 2 3 . -5 4 1 4 1
- 23 -
affeC?\eS aux noeuds sommets et aux noeuds milieux (
~J En introduisant l'hypothèse de Kirchhoff on
al Aux noeuds sommets:
voir fig. 7 )
qJ2.t iJillt ... ':'
+ W
{ '1 }i = rx;
, x i } = 0 ( 27 ) fJ Yi + W
, y i
= 1, 2, 3, 4
bl Aux noeuds milieux
( 28 )
k = 5, 6, 7, B
S La coordonnée le long du contour (W,s = ~ ~ )
au point k du déplacement Ci) W, s k représente la dér i vée transversal w, dont la variation est choisie cubique le long du
'''--'---''''
côté dont k est le point milieu
w k = -3/2. l ... ( w , 8 1 J
.- w .) - 114 ( w , l , J
( voir Annexe l
Avec K = 5, 6, 7, B milieu des côtés ij.
Où i j = 1, 2, 3, 4 respectivement.
1 .. est la longueur ij ( fig. 5 ) o ~n varie linéairement le long des côtés " 2, ", ,
f3 k = 1/2. ( f3 .+ fJ . n nI nJ
29 )
k toujours égal à 5, 6, 7, B est milieu des côtés 1, 2, 3, 4
Le vecteur des variables nodales d'un élément DKQ est donc
<Un >. = < W 1 ex1 eY1
En posant
W 2 ex 2 ~:L2"""" W 4; x 4
W,y et ey = .. ~~
e y4 > ( 30 )/
( 31 ) ,---~--~-~~,-~~~,~-'""",...".---~ < .. ->-<~~~----~.-...-~._~
e et e sont les rotations autour des axes x et y x y
respectivement (fig. 4 ).
Ainsi nous avons établi des expressions de ( 27 ) à (.31 ) qui
vont nous permettre de trouver des variables nodales temporaires
fJ X ! et f3 yi ( 26 ) en foncton des composantes du vecteur { Un }.
Ce qui nous amène à écrire pour les fonctions d'interpolation #
et fJy :
.. J . J'\
- 24 -
x
ç, T) ) >
J. { Un } ( 32 ) ç, T) ) >
Ou' < H Hl Hl 2 t H >=< ....... >e < 1 1~ > r < H ....... H > sont x x x y y y
les douze composantes du nouveau vecteur d'interpolation obtnues- à·~.-
partir des coordonnées des noeuds et des
< N >. ( voir Annexe II
fonctions d'interpolation
i
Hl = 3/2 ( as·Ns - as,Ns Hl = 3/2 ds,Ns - ds,NB x y
HZ= bs,Ns + bs,Ns H2 = -N + e S ,N5 + es,Ns ( 33 ) x y 1
3 N - ( c 5 ·N5 cs·Ns H3 b .. N be·Ns H = + = - -x 1 y !ci S
Les fonctions H4 HS Hb H4 HS , H6 , sont obtenues des x' x' x' y' y y
expressions ( 33 ) en remplaçant N1 par N~ et les indices s et 5
par
Les
les
5 et 6 respectivement. , 7 S 9 7 fonct10ns H , H , H , H ,
x x x y
indices s et 5 par 6 et 7. en remplaçant N 1 par N 4 et
E f' H10 Hl1 H12 H10 Hl1 et H1Z sont obtenues en remplaçant n 1n x' x' x' y' Y Y
N1 par N3 et les indices 5 et s par 7 et respectivement.
Les facteurs rentrant dans les expréssions ( 33 ) sont :
x .. 1 J
2 2 2 CL = (1/4 x .. - 1/2 y .. )/1 ..
.. IJ IJ 1J
e = (-1/2 x2 .+ 1/4 2 )/1 2 le IJ Yij ij
3/4 x . y . 1 j i J
1. ) 1 J
2
et
Avec k = 5, 6, 7, S pour les côtés 12, 23, 34, 41 ( fig. 7
Un calcul précis de < HX > est présenté en Annexe II. Ainsi une combinaison des expressions ( 33 ) et ( 9 ) donne
[ B ] matrice reliant les gradients aux variables nodales.
- 25 -
Elle est égale à :
< H > x,x jll < H x.' ç > + j12< H >
x ,1/
[ B ] = < H > y , y = j 21 < H y , ç > + j22< H > y ,1/
<H x, y ; H > Y,x jl1<Hy,ç> + j12<H y ,1/> Jj Zl<
+j22 <
Où j .. sont les termes inverses de la matrice jacobienne de la l J
transformation géométrique: [ j ] = [ J ]-1.
[ J
[ J
~
Nous avons donc :
[ x 12+ x34 + 1/ (X 12 + X34 ) y 21+
] = X3Z + X + E, (X 12 + x 34 ) Y32 +
4 l
] [ J 11 J 12 ] = J 21 J 22
On tire les expréssions de j 11 ' j 12 /
j 11 J 22
j12 - J 12
= det [J ] = det [J
j 21 - J 21
j 22 J 11
= det [J ] = det [J ,
Où : det [J ] = J 11 · J 22 - J 21 0 J 12 et Xi j = Xi - X j et Yi j = Yi - Y j
Les termes de < H 1:> / x,,>
< H > / x/Tl
Y34+ 1/ Y 12 + Y34 ] = Y41 + TI Y 1~: + Y:l 4
( 34 )
j 21 / j 22
) ]
]
35
et < H > y,1/ sont
fonctions de N. 1: etN. noElles sont définies en Annexe II. l ,':, l ,"
L'élément DKQ aura une matrice de rigidité définie par
. \. l 1 l 1 , ,\[ K ] =
o -1-1
\ ' \, '
T [ B ] . [ D ]. [ B ]. det [ J ]. dE,. dT) 0 \!
i cette'intégrale sera evaluée par la méthode de Gauss-Legendre
nécessitant quatre points d'intégration ( 2x2 )
- 26 -
III 2- CONSTRUCTION DU VECTEUR CHARGE EQUIVALENT:
L'énergie potentielle pour une charge à distribution uniforme
q suivant z s'écrit pour un élément: z
U e ext = qz J W dAe = < U Ae n
>
L'interpolation de w n'étant pas définie sur l'élément lors de - -
la formulation de sa matrice de rigidité, nous aurions pu choisir une
interpolation linéaire simple de w pour le vecteur charge
équivalent.
Ainsi donc, nous avons considéré une interpolation plus
plus deux termes du complet complète avec un polynôme
quatrième ordre, soit ç q3
avec la formulation de la
cubique 3 et f, D,
matrice
ce qui apparai t plus cohérent
de rigidité où des fonctions
cUbiques ont été retenues pour w sur le contour de l'élément.
< fe > = q J 1 J 1 < N > det [J ]d~ di' z -1 -1
( 36 )
Cette intégrale est évaluée numériquement et les fonctions < N >
sont données en Annexe IV
III 3- CALCUL DES EFFORTS RESULTANTS
Le vecteur { M } des moments (Eq. 10 a) est lié au vecteur de
courbure { E } par la matrice élastique [ Dr ] .
{ M } = [ Dr ] { E } ( 37 )
Pour un point M de coordonnées x et y d'un élément, le
vecteur { M } est obtenu connaisant le vecteur < U > : n
{ M } = [ Dr ] { E } = [ Dr ] [ B (x ,y) ] { Un }
Des valeurs différentes sont obtenues le long des frontières des
éléments.
- 27 -
Dans notre programme, le calcul de { M } est effectué au
centre de gravité, et/ou aux noeuds sommets de l'élément et/ou au milieu des côtés de l'élément.
III 4- CONSTRUCTION DE LA MATRICE MASSE
L'expression de la matrice masse élementaire s'obtient en considérant le travail virtuel des forces d'inertie OWa .
( 38)
avec p: Masse volumique .. e ( ) U. i=l,4
1 Composantes du vecteur accélération dans le repère
local lié à l'élément.
Comme l'expression 37 ,nous allons écrire
( 39)
N :Fonctions d'interpolation données en annexe IV.
{ti e}T = { ü , 'y., ·w· ,ex' eY1 ez} Le travail des efforts d'inertie peut alors se mettre sous la
forme matricielle suivante:
La matrice masse élémentaire [ Me] est telle que
[ Me] = f p < N > T < N > dv ve
Ayant une épaisseur constante:
(40)
(41 )
1 1
[ Me] = p h L 1 L 1 < N > T < N > det [ J ] dt: dT) ( 43)
- 28 -
,~~ \. La flèche w ( x, y ) n'étant pas définie de manière continue
sur l'élément DKQ, il est alors nécessaire dans ce cas de choisir
une interpolation pour celle-ci. Un po~yn~l!'e Hermit:ien peut ce rôle. Ce dernier est basé sur le quadrilatère à quatre de continuité semi-C 1 qui a comme pôlynome de base
jouer
noeuds
< P > = < 1 1; 11 1;2 1;11 112 1;3 1;211 1;11 2 113 1;311 3
1;11 > Les fonctions de forme ainsi que leur~ dérivées résultant' de cette base p6lynomiale sont données en annèxe IV .
c. L1l-
\-h...r l'Y) \. ~" Z;-' ~
- 29 -
CHAPITRE IV
VALIDATION ET TESTS NUMERIQUES
IV- TESTS NUMERIQUES DE L'ELEMENT DKQ:
Dans ce chapitre, nous allons présenter les ré sul tats de
plusieurs test~ numériques standards pour la convergence du DKQ et d'analyses de cas pratiques. Une comparaison avec des résultats
expérimentaux est faite pour certains exemples.
Les résultats des tests numér iques font intervenir un ou plusieurs éléments DKQ. Parmi les problèmes étudiés les l(;-o,..pS?J?j,tions de ~obinson sont incluses. Notre intéret porte sur
les déplacements et les efforts M , M , M . Ces derniers peuvent x y xy
être évalués en neuf points par élément (au centre de gravité, aux noeuds sommets et aux milieux des côtés.
IV-l PATCH-TEST
La formulation. théorique assure la compatibilité de l'élément DKQ car les variables (3x et f3 y intervenant dans le "principe"-"'~
variationnel" sont continues. Donc, le problème proposé en (fig.8) -
conf irme la compatibilité de l'élément. C'est un assemblage de cinq éléments DKQ qui modélisent une plaque rectangulaire reposant
sur trois appuis ( en 1,2, I_.J-~ Cette plaque est sollicitée aux
quatre coins de manière à générer une distribution ( théorique )
unitaire des efforts M , M 1 et M x y xy
En résultat, nous obtenons une répartition uniforme effective et unitaire pour
M 1 pour différente valeurs de v ainsi que pour xy
géométries.
- 31 -
M, M 1 et x y
différentes
Y
1 JJ N
l 1 .0.-
1·-
~. 5 6
13 L-
Conditioni limitei ~ W· 0 OU~'l\oeUaS '.~ el 7
SoLlitÎ1otàon. : My = b QU~ noeuds 2 er B
MI • .&. .. "',. IUIII",d .. .t 1
""1 ""aJ M.sQ ""li- noeeud .. ct 2-
M~ :-Q QUX ()oaud~ 1 et 8
p ~ -; " 'lu oocCAd 8
~
..... p Cl
lJ
• 1(
Ré~,"tofS: M" :1\\) -.: M4~ .. 1 co tou1 pOlot du r~ctal)9le lindép&od.ot d~ V)
lPou(" Q;'ZO, b-::.IO. E='COO. h::l,wa:: 1'2..4B aVec.
U • O.!) et wa::;~. b po",,. v: 0)
- 32 .-
IV-2 TEST DE ROBINSON : ----------
Dans cette partie, on s'intéresse aux deux problèmes proposés
par Robinson. On prend un seul élément rectangulaire encastré le
long d'un côté (fig. 9 ). les caractéristiques sont: largeur b =1
épaisseur h = 0.05, E = 107 , V = 0.25. L'influence du rapport L/h
allant de 1 à 10 4 est étudiée pour deux types de
sollicitations.L~ test A est défini par l'action de deux couples
M = 1 appliqués aux noeuds 2 et 3 pour la flexion génée. Le test y
B est caractérisé par l'action de deux charges concentrées p = 1 x
agissant en sens opposé aux noeuds 2 et 3 ( torsion génée ). les
valeurs obtenues pour W J suivant L /h sont reportées dans les
graphes des figures 10 et 11 pour les deux types de sollicitations.
- 33 -
7
TEST
- 34 -
WX1000 100~------------------------------~
80
60
40
20
-+- 16R16(Ref)
+-. OKQ
-j- LORA
-B- QUA04-MSC/NASTRAN
o L..--.....L.----L----L_-'----L-----I...-.l..--.....L.----L-----L- .--L __ ..L_-'--~
o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
L/h FIGURE 10- TEST A ( FLEXION GENEE) POUR
DIFFERENTS ELEMENTS A 4 NOEUDS
- 35 -
WX1000 45~--------------------------------~
-- 16R16
40 . -+ LORA
35
30
25
20
15
10
5
-+- OKa
~ aUAD4MSC/NASTRAN
O~~~--~~~--~~--~~~--~~~
. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
L/h FIGURE 11-TEST B ( TORSION GENEE) POUR
DIFFERENTS ELEMENTS A 4 NOEUDS
- 36 -
Nous présentons les résultats d'une série d'analyse de
plaques carrées et rectangulaires encastrées et simplement
supportées, soumises à une charge concentrée au centre .Les
maillages sur un quart de plaque sont associés à un découpage en N
= l, 2, 3, 4 et 8 sections identiques le long d'un côté. les
résultats obt~nus ( déplacement au centre et moments de flexion et
réaction ) sont comparés aux résultats que nous avons pu relever
dans la littérature et concerant des éléments rectangulaires ou
quadrilatéraux à 12 D.L.( fig 12 et 13). Les solutions de
référence sont extraites de TIMOSHENKO .(l'V-elL....s\)7""v-...:,.L,'-~ ~ -\
Les Figures 14 à 20 concernent les variations et les erreurs -----sur le déplacement au centre en fonction du découpage suivant les
différentes configurations géométriques, le chargement et les
condi tions aux bords, alors que les figures 21 à 23 concernent
l'erreur sur les moments de flexion ou de torsion significatifs.
- 37 -
0.72 .---------------------,
0.69
0.66 Wc
0.63
--0 K Q
W Analy.- 0.6116
0.6~--~----~--~----~--~----~--~
f 1 '---
2 4-.~
FIGURE 12-PLAQUE ENCASTREE (b/s-H.
5 -6 7
CHARGE CONCENTREE. DEPLACEMENT CENTRAL.
- 38 -
8
Wc 1.65...-------------------,
1.5
1.35
1.2 1 2 3 4 5 6 7 Wc réf. - 1.266 N
1 ~DKQ -+- LORA -+- QUAD4 -8- QUS41
FIGURE 13-PLAQUE SIMPLEMENT APPUYEE (b/a-1).CHARGE CONCENTREE.DEPLACEMENT
CENTRAL
- 39 -
8
-- OKT(A) -+- OKT(B) 4-- OKQ
0/0 Erreur 35~----------------------------------~
30 y y
25 DKT(A) DKT(B)
x c x
20
y
15
DKQ
10 c
x
5
OL----L----~==~====d===~----~--~
1 2 3 4 5 6 7
N. FIGURE 14-COMPARAISON SUR L'ERREUR DE LA
FLECHE ENTRE OKT ET OKQ.PLAQUE SIMPLEMET SUPPORTEE-CHARGE CONCENTREE-(b/a-1)
- 40 -
8
0/0 Erreur 16~----------------------------------~
~ OKT(A) -+- DKT(B) -+- OKQ
14
12
10
8
6
4
2
o~~·~----~----~----~----~----~-----
1 2 3 4 5 6 7
N
FIGURE 16-COMPARAISON SUR L'ERREUR DE LA FLECHE ENTRE OKT ET DKQ.PLAQUE ENCASTREE
CHARGE CONCENTREE (b/a-1)
- 41 -
8
'-
Wc
2.1
1.9
1.7
1.5 '---_-'--_---L-_~ _ ___'_ __ _'____~ _ ___'
1 2 3 4 5 6 7
W analy. • 1.803 N
OKa -t- LORA -+- aUAD4
-8- ACM -*- PIAN
FIGURE 16-PLAQUE SIMPLEMENT SUPPORTEE (b/a-2).DEPLACEMENT CEN TRAL. CHARGE
CONCENTREE
- 42 -
8
Wc 1~------------------------------------~
0.,8 ~---
0.6 b c y
a
W Analy. • 0.788 N el 2 V= a,?> x 0.4 '--__ ~ _ __L._ _ ___L_ _ ___'_ __ ~ _ __"__ _ __'
1 2 3 4 5 6 7 8
N
-- OKa -+- LORA 4- aUAD4
-8- aUS4 --*" ACM
FIGURE 17- PLAQUE ENCASTREE(b/a-2). CHARGE ENCASTREE.DEPLACEMENT CENTRAL.
- 43 -
"0 Erreur
10
---o~~----------~--------------------~
-10
-20
-30~--~----~--~----~--~----~--~
1 2 3 4 6
N
- LORA -t- aUA04 -+- ACM
-8- aUS4 --*- OKa
FIGURE 18-ERREUR SUR LE DEPLACEMENT CENTRAL-PLAQUE ENCASTREE (b/a-2)
CHARGE ENCA~T~E Ub1.tl ct!..- rl. ft
- 44 -
7 8
Wc
2.5 '1
~ -N-2
2.3 b w-0.3
c. A )(
2.1
1.9
1.7
1. 5 1-----:.--1-__ --1--__ L---_--1-__ -L-__ L---_---I
1 2 3 4 5 6 7
W réf. • 1.8.509 N
1 ~ OKQ -+- LORA -+- PIAN
FIGURE 19-PLAQUE RECTANGULAIRE (b/a-3) SIMPLEMENT SUPPORTEE SOUS CHARGE CONCEN
TREE. DEPLACEMENT CçNTRAL
. - 45 -
8
W 0.9~--------------------------------~
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4 L---_--'-__ ....J.-__ L---_---'-__ ~ __ l.._ _ __l
1 2 3 4 5 6 7 8
N W Analy.- 0.791
- OKa -+ LORA --* aUA04 -B- aUS4
FIGURE 20- PLAQUE ENCASTREE (b/a-3). DEPLACEMENT CENTRAL-CHARGE CONCENTREE.
- 46 -
IMxyl
0.06 f-
~
-~l 1
0.04
'1
0.02
o
-0.02 1
1 1
\1/ \l, .." 'l' 'l'
Mxy Analy.(b/a-1)-0.0609
Mxy Analy.(b/a-2)· -0.03
Mxy ~naly.(b/,.·3)· -0.Q9
2 3 4
.
1 1 1
5 6 7
N
--- b/ a- 1 -+- b/ a- 2 --*- b/ a- 3
FIGURE 21-PLAQUE SIMPLEMENT APPUYEE SOUS CHARGE CONCENTREE- REACTION AU COIN -
- 47 -
\V
8
1· ~ OKQ -+- ACM ---*- KA
% Erreur sur R 16~----------------------------------~
y R-12Mxy/PI
- B
12 f-
I
..
8
4
2 3 4 5 6 7 8 9
N FIGURE 22-PLAQUE CARREE SIMPLEMENT
APPUYEE. CHARGE CONCENTREE. ERREUR SUR LA REACTION AU COIN
- 48 -
10
My 0.2~--------------------------------~
0.18
0.16
0.14
0.12
My Analy.(b/a-1)- 0.1267
My Analy.(b/a-2)- 0.164
----------------~-----------... \
My Analy.(b/a-3)· 0.168
0.1~--~----~--~----~----~--~--~
1 .2 3 4 5 6 7
N
~ b/a-1 -+- b/a-2 --+- b/4
FIGURE 23-PLAQUE ENCASTREE SOUS CHARGE CONCENTREE-MOMENT D'ENCASTREMENT (My)
- 49 -
8
, --
r- IV.::4_P~A.QU~ fOQR~E_AyEf gEÊ.U~T~T_EXPEgI!:!EN!AQX_:
COUL et DAS ont proposé une méthode analytique et ont
accompli des essais expérimentaux sur un pont courbe simplement
supporté le long de deux rayons et soumis à trois types de charge
concontrées. Les données mécaniques sont celles d'un matériau en
plexiglas et sont indiquées sur la Fig.( 24 ). Cette plaque a été
étudiée égalemertt par ALLWOOD et CORNES qui ont fourni des
résultats numériques en considérant un maillage de 60 éléments
hybrides quadrilatéraux à 12 D.L ..
Nous avons également modélisé
découpage régulier en 60 élements DKQ
la dalle
(10 x 6
cCLŒbe avec un
entièr~. Les résultats reportés sur les Figures
sur la plaque
25 à 27
concernent les variations des déplacements w le long du rayon
central pour les trois cas de charge concentrée Fig. 24 ) et
les variations des moments de flexion M et M le long du rayon f· t
central pour les trois cas de charge ( Fig~ 28 à 31 ).
- 50 -
B
A
~roy/
V 1
CoractùistiqIJe!): E :r. 4.6 x. 105 Ib/po2. h =O./ü8po V:: o. jj
Cf\Ot"gements: PA -=p{)-=p(.. =1 lb
FiS 2.4-_ PLAQUE COUf\8E. OONNE~S ET DEc.oUPAGE.
- 51 -
w/100, po
1.7
1.2 '--__ ..J.--__ --'---__ --L-__ --L. __ ----' __ -----'
7 8 9 10 11 12 13
rayon, po
Experience -t- OKa
4- Sol. Analytique -8- Eléments hybrides
FIGURE 25-PLAQUE COURBE DEPLACEMENT SUIVANT ABC - CHARGE AU POINT A -
- 52 -
w/100, po
5
3
1~----~------~----~------~----~----~
7 8 9 10 11 12 13
rayon, po
Experie~ce -+- OKa'
-+- Sol. Analytique -B- Eléments hybrides
FIGURE 26- PLAQUE COURBE.DEPLACEMENT SUIVANT ABC- CHARGE AU POINT B
- 53 -
~-
1
1-w/100, po
5
3
1~· ----~------~----~------~----~-----~
7 8 9 10 11 12 13
rayon, po
-- Experience -t- OKa
-+ Sol. Analytique -8-- Eléments hybrides
FIGURE 27-PLAQUE COURBE. DEPLACEMENT SUIVANT ABC- CHARGE AU POINT C -
- 54 -
Mt, Ib.po/po 1.2 ,-----------------------,
0.9
0.6
8 9 10 11 12 13
rayon, po
-- Experience -+- OKa
*"" Sol. Analytique -tt- Eléments hybrides
FIGURE 28- PLAQUE COURBE MOMENT Mt SUIVANT ABC -CHARGE AU POINT A -
- 55 -
Mt,lb.pO/po 0.8~--------------------------------~
0.6
0.4
0.2 '-----~---------~-----'---~----' 7 8 9 10 11 12 13
rayon, po
-- Experience -t- OKa
-*- . Sol. Analytique -8- Eléments hybrides
FIGURE 29- PLAQUE COURBE. MOMENT Mt SUIVANT ABC - CHARGE AU POINT B -
- 56 -
Mr,lb.po/po
0.4
0.2
0 7 8 9 10 11 12 13
rayon, po
----- Experience -f-- OKa
-*- Sol. Analytique -B- Eléments hybrides
FIGURE 30- PLAQUE COURBE.MOMENT Mr SUIVANT ABC- CHARGE AU POINT B -
- 57 -
Mt,lb.po/po 1.2~------------------------------------~
0.8
0.4
o~----~----~----~------~----~----~
7 8 9 10 11 12 13
rayon, po
Experience +- OKa
--*- Sol. Analytique -B- Eléments hybrides
FIGURE 31- PLAQUE COURBE. MOMENT Mt - CHARGE AU POINT C -
- 58 -
Nous présentons sur la Fig. 32 les résultats de l'analyse
statique d'une plaque encastrée sur un côté, de forme
parallélipédique et soumise à une charge uniforme répartie. Les
flèches obtenues en six points sont comparées aux valeurs
obtenues avec l'élément rectangulaire ACM avec les éléments
triangulaires DKT et HSM. L'élément rectangulaire conduit à une
erreur de discétisation géométrique relativement importante et il
est de plus incompatible.
- 59 -
ELEMENT MAILLAGE POINT 1
DKT 4 X 4 0.304
* (41], [42] ( 2 . 4 )
HSM 4 X 4 0.264
[41],[42'] (11.1)
ACM 6 X 8 0.296
[25] ( 0 .3 )
DKQ 4 x 8 0.280 (6.1)
VALEURS EXPERIMENTALES [25] 0.297
mo;II098 4 x a avec: OKQ
DEPLACEMENT TRAVERSAL
POINT 2 POINT :3 POINT 4 POINT 5 POINT 6
0.198 0.113 0.121 0.056 0.023
( 2 . 9 ) ( 6 . 6 ) ( 6 . 2 ) ( 0 . 7 ) ( 2 . 3 ) .
0.173 0.100 0.095 0.043 0.021
(15.2) (17.8) (26.4) (22.5) ( 5 . 5 )
0.198 0.114 0.114 0.052 0.02
( 2 . 9 ) ( 6 . 2 ) ( 6 . 2 ) ( 7 .1) (10.45)
0.202 0.114 0.114 0.053 0.02 ( 6 . 5 ) (6.2) ( 6 . 2 ) ( 7 .0) (10.45)
0.204 0.121 0.129 0.056 0.022
* Pourcentage d'erreur (en valeur absolue) par rapport aux ~aleurs experimentales.
FIGURE 32- PLAQUE ENCASTREE AVEC RESULTATS EXPERIMENTAUX.
_. 60 -
" ..
CHAPITRE V
COMPORTEMENT DYNAMIQUE
v- COMPORTEMENT DE L'ELEMENT DKQ DANS LE DOMAINE DYNAMIQUE
Pour vérifier l'aptitude de l'élément à considérer les
problèmes dynamiques, nous avons calculé dans ce chapitre les
premières fréquences propres de deux structures pour lesquelles
nous disposons de solutions analytiques ou expérimentales.
- La première structure considerée est une plaque carrée appuyée
simplement s~r les bords. Le tableau 1 donne les résultats
obtenus pour les modes (1,1), (1,3), (3,1) et (3,3) avec
différents maillages.
Il est à remarquer que notre élément présente une convergence
satisfaisante vers la solution de référence.
- La seconde structure considérée est une plaque rectangulaire
encastrée sur tout le contour.
Nous pouvons également constater que les résultats concordent
bien avec les solutions de référence.
- 62 -
* - Présentation des deux exemples :
- Plaque carrée simplement appuyée sur tout le contour
E la f) =
h = 0,0 a = 1 v = 0,3 a p 0,91575 =
a
- Plaque rectangulaire encastrée sur son contour
1
[1 L = 0,18 l = 0,13 h = 6 x 10- 4
E 2,07 10 ·11
= X
-L p = 0,3 p = 7700
L
- 63 -
CONCLUSIONS
Nous pouvons constater à travers la série de tests effectués
que l'élément (DKQ) évalué présente les caractéristiques
suivantes:
-Les résultats de l'élément DKQ pour l'analyse élastique
statique des plaques minces associée à la théor ie de Kirchhof f
sont performant~ et ce independamment du rapport longueur sur
épaisseur ( tests de Robinson )
-Le Patch-test est là pour verifier que la compatibilité de
l'élément est assurée.
-Des rapports diverses pour des plaques rectangulaires
b/ a = 1, 2 , 3 présents dans l t analyse de celles-ci sous
differents cas de charges et de conditions aux bords, donnent des
résultats très fiables.
pqr -Nous observons en fin, qu'un bon
le cas de plaque courbe et que
comportement est constaté
l'élément DKQ est très
intéréssant dans son comportement dans le domaine dynamique
( vibration libre ).
-En conclusion, nous pouvons remarquer que l'élément DKQ est
très simple dans sa formulation et fiable e.t eff icace dans son
comportement.
- 64 -
REFERNCES
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- 69 -
CHAPITRE VI
ANNEXES
Annexe 1 :
Dérivation du déplacement transverse le long du contour ( S )
au point milieu ( k ) .. 1
west choisie cubique le long du côté donc •
a w -- = a a s 1 i =0 1
W 1 = w . + 2a 2 ·l + 3a3 ·l ,8. ,SI
J
( 1 )
1 12 13 w. 1 1 = w. + w .' + a 2 • + a 3 ] S= l,SI ( 2 )
En multipliant ( 1
soustraction on trouve :
par l et ( 2 ) par 2 et en faisant une
1 (w . , S]
+ w .) + 2 ( w. , Sil
- w j
a = 3
On remplace ( 3
w .- w ,S] ,Si
w . - W ,8] ,81
= 2.1
W k 1 ,8 8=1/2
dans (
[I( w
3 .
[ ( 3 2"
1 ) on obtient
, S j + w
1 8 1 +2(
13
2.1
w , 8 i
+ W .) ' 8 J
+ l
- 71 -
( 3 )
w.- w. ) ] 1 J
=
2( w.- w. ) ] 1 J
') 1<'
=W [
W ,- W , ,8] ,81
+ l. 2.1
W - W , s j , 81
3/2.-' -----l
, 1
2 (w, -w) ] 1 .J
+ 1 2
+ 3/4. [ l( W,8i + W,8j )
13
=W t ( 3 / 21 - 3 / 1) + W j ( 3 / 1
1 J + 2( w, - W,) ]
- 3/21) + w,(-1/4) , 1
+ W ,(-1/4) ,.J
'fi - 3 / 21 . ( W - WJ' ) -1 / 4 . (W , + W ,sk IJ ,SI ,SJ
Avec. 1" longueur du côté de noeud 1 et j. 1 J
a W W - --- 1 Dérivée 'de W au point i. ,8i - a s
i
w . = ,8 J
a W
a s 1 j
Dérivée de W au point J.
+
a W = a si k
-w Dér i vée de W au point k milieu, du···-,sk
côté ij
- 72 -
Annexe II :
Elément de référence et fonctions d' interpolation N. et 1
leures dérivées N. et N. 1'1; l'T)
TI
4 7 3 1
6 [
8 - 1 1
- 1
1 5 2
1
{ Ni } { : ;' } { cl N } 1
i ;-: (1-1;}:(1-T).(1+€+T) (1-T) . (2€-n) (1-F,) . (F,+2T)
1 -4 4 4
(1+€). (l-n). (l-€+n) (1-17) . (2F,-T) (1+1;) . (2 r/-1; ) 2 -
.4 4 4
(1+,~). (1+T)}. (l-€-n) (1+T). (2~+T) (1+€). (E,+2n) 3 -
4 4 4
(ç-l).(l+T).(l+ç-T) (n+l). (2ç-n) (E,-1}.(E,-2n) 4 -
4 ·4 4
2 (1-1; ).(1-T)} ( l- I; ~ )
5 -1; (l-n ) -2 , 2
2 (l-n }.(l+ç) (
2 1- TI )
6 2 2
-T) (1+F. )
-(1-1;2).(1+T) ( 1- E,~)
7 2 -1; (l+n )
2
(1-n 2 ).(1-1;) ( 1-2
n ) 8 2 -
2 -11 (1-f. )
- 73 -
Annexe III :
=
Fonction d'interpolation pour ~x
"(
On
~x
4
-2:
n
sin)' .. 1 J
- sin)'. 1 J
cos)' .. 1 J
s
] [:: ] k
pose )' i j = )'k cos}'. = Ck et sin}'. = Sk 1 J 1 J 8
= l: N .. ~ (Variation quadratique de /3 et ~ 1 X X Y i = 1 i
4 B
= -l: N .. w i=1 l,xi
+ l: N . . f3 1 X
(Hypothèse de Kirchhoff aux sommets ) i =5 i
4 B
= -l: N .. w l , xi
+ L Nk • (C. f3 1 n
i=5 - S.~
1 S i
=
=
i = 1
4
-l: N. w 1 ,x. i = 1 1
4
-l: N. . w 1 , X .
i = 1 1
B
+ l: N.C./3 lin
i =5
8
8
+ l: N.S.w i=5 1 l ,B
(Hypothèse de
Kirchhoff aux milieux 8
+ 1/2.l: NkC k (~n + f3 ) + L N S w n k k ,s k k=5 j k=5
k milieu du côté i-j et variation linéaire de f3 du côté )
n le long
8 8 N. . w
1 i = 1
,x. 1
- 1/2~~5NkCk (w,n i + w'/n~ +k~'iNkSkW,Sk
- 74 -
.. ' .......... ......
4 88.
= -2: N .. W 1 , x i
- 1/2.2: NkC k (w n + W ) + L NkSk·(-3wi/21i· k=5 'i ,nj k=5 J i = 1
- W 14 , S i
+ 3w/21 J i j
- W 14) 1 s .
J
W cubique le long du côté
) + (S e - C e )+ k x k y
j J
8 ~
+ 2: NkS k [-3w. 121 .. - 1/4{ S e + C e )+3w. 121 . . -1 1J k Y k x. J lJ
k =5 . i
- 1/4 ( sel- ce] k Y k x
J
8 U
-3/2 2: N S (w-w.) Il -1/4 .L NkCkS k ( 0 + 0 ) + k =5 k k 1 J 1 .J k :: 5 x 1 X
8
+ 1/4.2: NkS:{ e + e ) k::5 Yi Y j
En posant: a k= -Sk/lij
On trouve
b 3C S 14 t C - -c~ô/2 +S2 /4 k= - k k e 'k- k k'
4 B 8
(3 = L N.e + 3/2 L Nkak(wi-w)+ ·L Nkb k ( x i=1 1 Yi k=5 .J k::5
e + e )-x x
i j
8
- L Nkc k ( e + e k=5 Yi Y j
C . R - Hl H8 omme . p - < . . . • • . . . . . . . > . x x x
Où { Un} est : < w 1 ex 1
e ............. . e > Y4 Y1
- 75 - .
( 1 )
En développant ( 1 ) on aura :
H~ = 3 .( Nsas - NBa B )/2
/"---\
HZ = x
Pour trouver
Nsbs +
N -1 Nscs
( H4 x
HS ' X
( H7 ,HB
NBbB
- NBc B
H6 ' X
on remplace
,H9 on remplace
1 ,5 et 13 par Z ,6 et 8
1 ,5 et B par 3 ,7 et 6
(Hl0,Hl1,H1Z) on remplace 1 ,5 et B par 4 ,8 et 7
Un raisonne~ent analogue à celui qui vient d'être fait, nous
permet de trouver ~y
- 76 -
Annexe IV :
Elément cubique ( quadrilatère, 4 noe~ds )
fonctions d'interpolation utilisées dans
masse cohérente, ainsi que la charge équivalente.
le calcul de la
1)
u 4 .u3
> €
~
u 1 u2
u = u
u. l '1;
U 1, 1)
n. d. d. l = 12
i= 1, 2, 3, 4
La base polynomiale de la fonction d'interpolation est:
< P > = < 1
. { N } N= 8
a. ( a-ç-1) )
+ nd a. ( 1_ç2)
a. ( 2 3 1-n )
+ b. ( a+ç-n )
1_ç2) nd -b. (
b. ( 2 6 1-r) )
nd 3{: c. ( a+€+1) )
-c( 1_ç2)
-c. ( 2 9 1-1) }
d. ( a-€+1) ) r nd 4 11 d. ( 1_ç2)
-d. ( 2 12 l-T) )
Avec :a = ( 1- ç )( 1- T)
c = ( 1+ 1; )( 1+ 1) a = 2- 1;2_1)2 .
f,TI 2 3
~ TI TI
8 { ~ ~ } 8 { ~ ~ } 2 2
(l-1).(-3+3ç +1) +1) ) 2 2
(l-~).(-3+3n +~ +~ )
-a( 1+31;, ) (-1+F, )(1-E;2 )
(-l+n ) (l-n 2
) -a( 1+3n )
."} "?
(l-n).(+3-3~L-T)~-n ) (1+~) . (-3+31) -1; +~2) .,
-b( 1-31; ) (l+ç )(1-1; L)
( 1-T) )( 1-r) 2 ) -b( 1+31) )
2 ., (1-1).(+3-3ç _r)L+1) ) (l+E) . (3-31)
2 2 -f, +ç
-c( 1-31; ) (-1-1:
(-1-1) ) ( 1-1) 2 ) -c(
2 2 (1+1) . (-3+3€ +1) -1) ) (l-ç).(
-d( 1+31; ) (l-ç
(1+11 )(1-1) 2 ) -d(
b = ( 1+ ç ) ( 1- 11 )
d = ( 1- ç ) ( 1+ 11 )
- 77 -
)(1_1;2 )
1-311 )
2 2 3-31) -1; -1; )( 1-F,2 )
1-3T) )
)
)